2026年中考数学备战专题练习 专题十七：圆（2）寒假

专题十七:圆(2) 一、单选题 1．如图，，，是上的三个点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，解题关键是熟练掌握圆心角定理． 观察图形可得是弧的圆心角，是弧的圆周角，根据圆周角定理得即可求解． 【详解】解：弧弧， 其中是弧的圆心角，是弧的圆周角， ． 故选：． 2．圆心角为，半径为的扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形面积公式直接计算即可求解，掌握扇形面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故选：． 3．如图，点A，点B，点C在上，连接．若，，则的长为（　　）    A．π B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求弧长，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，在优弧上取一点E，连接，由圆内接四边形的性质得到，则由圆周角定理可得，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，在优弧上取一点E，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：B．    4．如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键，找出不在同一条直线上的三个点的所有组合即可． 【详解】解：依题意A，B；A，C；A，D；B，C；B，D；C，D加上点P可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：B． 5．如图，是的弦，半径，为圆周上一点，若的度数为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理，圆周角定理解决问题． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， 故选：B． 6．如图，是正方形对角线上一点，，，E在上，结论：①；②；③；④若，，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，得到，进而得到四点共圆，即可得到，判断①；证明，结合，判断②；证明，判断③；在中勾股定理求出的长，再根据等腰直角三角形的性质，求出的长，判断④． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴四点共圆， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴；故③正确； ∵， ∴， 在中，， 在中，；故④正确； 故选D． 【点睛】本题考查正方形的性质，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是得到四点共圆，证明三角形相似． 7．如图，的直径，D为半圆的中点，P点从D出发，沿的路径移动，移动到C点停止，Q点从B出发，沿下半圆的路径移动，移动到C点停止，Q的速度是P速度的倍，的长度变化的函数图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点P的运动速度为1，则点Q的运动速度为，运用特殊值，几何排除法求解即可． 【详解】解：设点P的运动速度为1，则点Q的运动速度为， 如图，当时，则，的长为， 连接，作于点E，作，交的延长线于点E，则四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴，故C，D不符合题意； 如图，当时，则，的长为， 连接，作于点E，作，交的延长线于点F，则四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴； 而A选项中，时，，且当时，图象为一条线段，而当时，随x不是均匀变化，故A不符合题意，B符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，弧长公式，解直角三角形，特殊值法的运用是解答本题的关键． 8．如图，为的直径，为外一点，过点作的切线，切点为，连接交于，．点在右侧的半圆上运动不与、重合，则(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 此题考查了切线的性质以及圆周角定理．首先连接，由为的直径，是的切线，根据圆周角定理与切线的性质，可得，，又由同角的余角相等，证得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， 是的切线， ， ， ， ， ， 故选：C． 9．如图，是的外接圆，D为的中点，于E，，，则的半径为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、线段垂直平分线的性质，连接、、，在上截取点，使得，连接，连接并延长交于，连接，证明，得出，从而可得，再由圆周角定理可得，，最后解直角三角形即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接、、，在上截取点，使得，连接，连接并延长交于，连接， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴的半径为， 故选：A． 10．如图，是的直径，点为延长线上一点，与相切于点，点在上，且，连接，若，则下列结论错误的是（    ）    A．四边形是菱形 B．是的切线 C． D． 【答案】D 【分析】连接，，，根据圆周角定理及切线的性质得，利用“”推出，进而可得，，再利用“”推出，得到，利用平行线的性质及菱形的判定定理推出四边形是菱形，利用“”推出，可得，从而推出是等边三角形，再利用直角三角形的三角函数即可得出结论． 【详解】解：如图，连接，，，    是的直径，与相切于点， ，， ， ， 在和中 ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是的半径， 是的切线， 故B选项正确，不符合题意； ， ， ， ， ， 四边形是菱形， 故A选项正确，不符合题意； 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故C选项正确，不符合题意； ， ， ， 故D选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 二、填空题 11．若扇形半径为4，圆心角为，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式，直接根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，该扇形的面积为， 故答案为：． 12．如图，在中，，，则的度数为    【答案】/45度 【分析】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等即可得到结论． 【详解】解：∵， ， ， ∴， 故答案为：． 13．如图，在中，是直径，，＝，，那么的长等于 . 【答案】 【分析】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，圆周角定理；根据垂径定理得到，，，利用圆周角定理求出求出，得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，求得，勾股定理即可得，垂径定理即可求得的长． 【详解】解：如图所示，设交于点， 是直径，丄， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．若用半径为12的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是圆锥的计算．根据弧长公式求出圆锥的底面周长，根据圆的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：设圆锥的底面半径为， 由题意得，圆锥的底面周长， ， 解得，， 故答案为：6． 15．如图，在矩形中，，，以的长为半径的交于点E，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】连接．则阴影部分的面积等于矩形的面积减去直角的面积和扇形的面积，进行求解即可． 【详解】解：连接．    根据题意，知，， 在中，，， ∴， ∴ 则阴影部分的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求不规则图形的面积，熟练掌握矩形的性质，扇形的面积公式，以及利用锐角三角函数值求角的度数，是解题的关键． 16．手工制作活动中，小明和小李两位同学制作圆锥，他们剪切了一个直径为的圆形纸片．如图，小明经过测量并剪下了一个圆弧所对的圆周角为（即）的扇面，小李利用剪下的扇面制作一个圆锥，则他们制作的圆锥的侧面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】此题考查了圆内接四边形性质，圆周角定理和扇形面积公式，在优弧取一点，连接，，由圆内接四边形性质，圆周角定理求出阴影部分扇形的圆心角为，然后用扇形面积公式即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【详解】如图，在优弧取一点，连接，， ∴， ∴， ∴， 则阴影部分扇形的圆心角为， ∴圆锥的侧面积为， 故答案为：． 17．如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，使得面积为24，连结，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】先整理得，过点C向上作线段，使得，则，结合整理得，证明，即，运用即定角定弦，故点D在以为直径的圆上，连接，并延长与交于一点，即为，运用勾股定理得，即可作答． 【详解】解：∵射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结， ∴ ∵面积为24， ∴ ∴， 过点C向上作线段，使得， ∵ ∴ 即 ∴， 连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点D在以为直径的圆上， ∵， 记圆心为直径的中点， 即的半径 连接，并延长与交于一点，即为， 此时为的最大值， 故 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，正确分析出点D在以为直径的圆上是解题的关键． 18．在四边形中，为内部的任一条射线（不等于），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，则面积的最大值是 ．    【答案】 【分析】连接，根据轴对称的性质可得，进而可得在半径为的上，证明是等边三角形，当取得最大值时，面积最大，根据圆的直径最大，进而得出最大值为，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵点关于的对称点为， ∴， ∵， ∴在半径为的上， 在优弧上任取一点，连接, 则， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 当取得最大值时，面积最大， ∵在上运动，则最大值为， 则面积的最大值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，等边三角形的性质，得出最大值为是解题的关键． 三、解答题 19．张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点． (1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若圆形轮片的直径为，圆心角，求弧的长． 【答案】(1)作图见详解 (2)弧的长为 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，弧长的计算方法，掌握垂直平分线的画法，弧长公式的计算方法是解题的关键． （1）线段的垂直平分线的交点即为圆心，根据画线段垂直平分线的方法即可求解； （2）根据弧长的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接； 分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接； 线段交于点，如图所示， ∴点即为所求圆心． （2）解：根据题意，如图所示，连接，圆形轮片的直径为，圆心角， ∴， ∴， ∴弧的长为． 20．已知：如图，．求作：以为弦的，使到和的距离相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图：角平分线与线段的垂直平分线，圆的相关性质，．根据题意，先作的平分线和线段的垂直平分线，相交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆即可． 【详解】解：作的平分线和线段的垂直平分线，相交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求． 理由：平分 到和的距离相等 垂直平分 是半径 即为的弦． 故即为所求． 21．在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为：、、．线段的端点坐标为，． (1)线段先向　　　平移　　　个单位，再向　　　平移　　　个单位与线段重合； (2)将绕点旋转后得到的，使的对应边为，直接写出点的坐标，并画出； (3)求点在旋转过程中所经过的路径的长． 【答案】(1)右，4，下，6 (2)；图见解析 (3)点在旋转过程中所经过的路径长． 【分析】此题主要考查了旋转变换和平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用平移的性质得出平移规律即可； （2）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用弧长公式进而求出答案． 【详解】（1）解：先向右平移4个单位，再向下平移6个单位与重合； 故答案为：右，4，下，6； （2）解：如图所示：； ； （3）解：， 点在旋转过程中所经过的路径长． 22．如图，在中，，D是斜边上一点，在射线上用尺规作一点E，使（不写作法，保留作图痕迹）．    【答案】见解析 【分析】先作的垂直平分线得到的中点O，再作的外接圆，则与射线的交点为E，利用圆周角定理可确定E点满足条件． 【详解】解：①作的中垂线交于点O ②以O为圆心，的长为半径，作圆， 则与射线的交点为E    【点睛】本题考查了作图一复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，本题主要利用了圆周角定理． 23．如图，为的直径，点在的延长线上，为上一点，连接分别是的中点，连接，延长交于点． (1)若，求证：是的切线； (2)在（1）的条件下，若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理、切线的判定以及解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，根据，可得，导角可得，进而可得证； （2）由设，，所以，证，根据平行线分线段成比例得，在 中，根据勾股定理，得，建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵为半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴设， 在中，根据勾股定理，得， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理， 得，，解得（舍）， ∴， ∴的半径为3． 24．如图，在平面直角坐标系中，． (1)将绕点旋转得，画出 ； (2)画出关于x轴对称的图形，写出三个顶点的坐标； (3)在（1）（2）的条件下，点可以看作是点绕着点C 怎样旋转得到，并求出点的旋转路径的长． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，； (3)顺时针旋转， 【分析】此题考查了旋转和轴对称的作图，弧长公式、勾股定理等知识，正确作图是关键． （1）找到绕点旋转得到的对应点，顺次连接即可； （2）找到关于x轴对称的对应点，顺次连接即可得到，写出三个顶点的坐标即可； （3）根据题意得到点可以看作是点绕着点C 顺时针旋转得到的，利用弧长公式求出点的旋转路径的长即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求，的三个顶点的坐标分别为； （3）解：在（1）（2）的条件下，点可以看作是点绕着点C 顺时针旋转得到的， ∵， ∴点的旋转路径的长为： ． 25．如图1，是中的平分线，，以为半径的与相交于点，且． (1)求证：是切线； (2)如图2，设与的切点为，连接．当时，求的半径； (3)若是线段的中点，连与交于，在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作于，根据角平分线的性质得出，根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，即可证得是切线； （2）连接，根据切线得出，根据“直径所对的圆周角是直角”，得出，推出，根据等边对等角，由，得出，则，公共角，证明，得出，由，得，计算求出、，计算，最后根据，计算即可求得的半径； （3）连接，过点作，交的延长线于，由（2）得，，，，，得出，，结合勾股定理得出，求出、，根据，求出，根据勾股定理计算，根据与的切点为，得出，，根据勾股定理计算，得出，由，得出，求出，根据是线段的中点，求出，推出，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似”，得出，，结合，计算，根据计算，求出的值，根据的边上的高和的边上的高相等，则，得出答案即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作于， ∵是的平分线，，，为半径， ∴，点也在圆上，即也为半径， 又∵， ∴是切线； （2）解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的半径为； （3）解：如图，连接，过点作，交的延长线于， ∵由（2）得，，，，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与的切点为， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵的边上的高和的边上的高相等， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的性质、圆的切线的判定、角平分线的性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知识点、作辅助线推理是解题的关键． 26．如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，，若平分且． (1)求的度数． (2)若，求的值． (3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长． 【答案】(1)90° (2) (3) 【分析】（1）先证明，结合，，可得，从而可得答案； （2）证明，可得，设，，可得，，根据勾股定理求出，可得，从而可得答案； （3）设的半径为r，过点O作于点M，连接交于点N，证明，，可得，证明，可得，，证明，，即，再解方程可得答案． 【详解】（1）解：如图1，过点C作于点H． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，D为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 设， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴； （3）解：如图2，过点O作于点M，连接交于点N． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得或（舍去）， 由（2）知：， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，求解锐角的正切，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 试卷第32页，共34页 试卷第31页，共35页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题十七:圆(2) 一、单选题 1．如图，，，是上的三个点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．圆心角为，半径为的扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．如图，点A，点B，点C在上，连接．若，，则的长为（　　）    A．π B． C． D． 4．如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 5．如图，是的弦，半径，为圆周上一点，若的度数为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，是正方形对角线上一点，，，E在上，结论：①；②；③；④若，，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，的直径，D为半圆的中点，P点从D出发，沿的路径移动，移动到C点停止，Q点从B出发，沿下半圆的路径移动，移动到C点停止，Q的速度是P速度的倍，的长度变化的函数图像为（    ） A． B． C． D． 8．如图，为的直径，为外一点，过点作的切线，切点为，连接交于，．点在右侧的半圆上运动不与、重合，则(　　) A． B． C． D． 9．如图，是的外接圆，D为的中点，于E，，，则的半径为（    ） A． B． C．5 D． 10．如图，是的直径，点为延长线上一点，与相切于点，点在上，且，连接，若，则下列结论错误的是（    ）    A．四边形是菱形 B．是的切线 C． D． 二、填空题 11．若扇形半径为4，圆心角为，则该扇形的面积为 ． 12．如图，在中，，，则的度数为    13．如图，在中，是直径，，＝，，那么的长等于 . 14．若用半径为12的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 ． 15．如图，在矩形中，，，以的长为半径的交于点E，则图中阴影部分的面积为 ．    16．手工制作活动中，小明和小李两位同学制作圆锥，他们剪切了一个直径为的圆形纸片．如图，小明经过测量并剪下了一个圆弧所对的圆周角为（即）的扇面，小李利用剪下的扇面制作一个圆锥，则他们制作的圆锥的侧面积为 ．（结果保留） 17．如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，使得面积为24，连结，则的最大值是 ． 18．在四边形中，为内部的任一条射线（不等于），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，则面积的最大值是 ．    三、解答题 19．张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点． (1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若圆形轮片的直径为，圆心角，求弧的长． 20．已知：如图，．求作：以为弦的，使到和的距离相等． 21．在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为：、、．线段的端点坐标为，． (1)线段先向　　　平移　　　个单位，再向　　　平移　　　个单位与线段重合； (2)将绕点旋转后得到的，使的对应边为，直接写出点的坐标，并画出； (3)求点在旋转过程中所经过的路径的长． 22．如图，在中，，D是斜边上一点，在射线上用尺规作一点E，使（不写作法，保留作图痕迹）．    23．如图，为的直径，点在的延长线上，为上一点，连接分别是的中点，连接，延长交于点． (1)若，求证：是的切线； (2)在（1）的条件下，若，求的半径． 24．如图，在平面直角坐标系中，． (1)将绕点旋转得，画出 ； (2)画出关于x轴对称的图形，写出三个顶点的坐标； (3)在（1）（2）的条件下，点可以看作是点绕着点C 怎样旋转得到，并求出点的旋转路径的长． 25．如图1，是中的平分线，，以为半径的与相交于点，且． (1)求证：是切线； (2)如图2，设与的切点为，连接．当时，求的半径； (3)若是线段的中点，连与交于，在（2）的条件下，求的值． 26．如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，，若平分且． (1)求的度数． (2)若，求的值． (3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长． 试卷第6页，共7页 试卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $