第4章 几何图形初步（高效培优单元测试·提升卷）数学沪科版2024七年级上册

第4章 几何图形初步（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．观察图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的立体图形是（   ） A． B． C． D． 2．学习情境·方位角：如图，甲从点A出发向北偏东方向走到点B，乙从点A出发向南偏西方向走到点C，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．小红发现钟面上时针和分针正好形成直角，这时的时刻可能是（ ） A．9时30分 B．12时 C．15时 D．3时30分 4．已知点在直线上，点，点在直线外，过三点中两点画一条直线，那么直线的条数有（    ） A．3条 B．1条 C．1条或3条 D．0条 5．点、、在同一直线上，，，是中点，则的长为（    ） A． B．或 C．或 D． 6．如图，是直线，O是上一点，，平分，则图中与互补的角有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，若与的和为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．已知，， 以O为顶点作射线， 使， 若设 ，则的值有可能为：①；②；③；④．以上结论中正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．如图，的度数是，以为一边，在的外部作 ，接着以为一边，在的外部作 ，再以为一边，在的外部作 ，……则的度数是（n是正整数）（    ） A． B． C． D． 10．如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；，依次进行这样的标记，则（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．下列几何图形： ①三角形； ②长方形； ③正方体； ④圆； ⑤圆锥；⑥圆柱．其中属于立体图形的是 12．一副三角板与如图摆放，，平分，平分，则的度数为 ． 13．如图，点C为线段上的一点，，M、N两点分别为的中点，若线段为，则的长为 ． 14．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． （1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ； （2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ． 3、 解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．如图，已知四点，请根据下列语句作图．    (1)画射线、直线、线段； (2)想一想，图中四点可以画多少条线段？多少条射线？ 16．如图，为的平分线，，，求： (1)的大小； (2)的大小． 17．如图，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． (1)如果，求的长； (2)如果，求的长． 18．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 ①________ 6 长方体 8 6 ②________ 正八面体 ③________ 8 12 正十二面体 ④________ 12 30 (2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是________； (3)一个多面体的面数比顶点数小12，且有42条棱，则这个多面体的顶点数是________． 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 19．如图所示，线段上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段上有个点时，线段总数共有条，如果上有个点时，线段总数共有条，如果线段上有个点时，线段总数共有条，． (1)当线段上有个点时，线段总数共有多少条？ (2)当线段上有个点时，线段总数共有多少条？（用含的式子表示） (3)当时，线段总数共有多少条？ 20．已知，射线在的内部，．将射线绕点O逆时针旋转形成射线． (1)如图1，若，那么和的度数相等吗？为什么？ (2)作射线，使射线为的平分线．如图2，当射线恰好平分时，求的度数； (3)若射线在的内部，且，若的值为定值，试求出n与这个定值． 21．已知O为直线上的一点，，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是 ；若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 22．【新知理解】 如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）． （2）若，点C是线段的“巧点”，则______； 【解决问题】 （3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并说明理由．    23．定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个角分成的两个角 中有一个角与已知的钝角互为补角，则称该射线为这个钝角的“割补线”． (1)如图1，，请判断是否为的“割补线”并说明理由； (2)若平分，且为的“割补线”，求的大小； (3)如图2，，在的内部作射线，使为的平分线，为的“割补线” ，当为的“割补线”时，请直接写出的度数． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 几何图形初步（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．观察图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查面动成体，掌握知识点是解题的关键． 根据面动成体，逐项分析判断即可． 【详解】解：由图形可以看出，左边的长方形的竖直的两个边与已知的直线平行，因而这两条边旋转形成两个圆柱面，旋转一周后形成的立体图形是一个以旋转轴为中心的空心圆柱． 故选D． 2．学习情境·方位角：如图，甲从点A出发向北偏东方向走到点B，乙从点A出发向南偏西方向走到点C，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方向角，先求得与正东方向的夹角的度数，即可求解． 【详解】解：与正东方向的夹角的度数是：， 则． 故选：C． 3．小红发现钟面上时针和分针正好形成直角，这时的时刻可能是（ ） A．9时30分 B．12时 C．15时 D．3时30分 【答案】C 【分析】本题考查的是钟面角，分别计算各选项中时针和分针的位置角度，判断是否满足直角条件即可． 【详解】解：选项A（9时30分）： 此时角度为，不满足直角条件． 选项B（12时）： 时针和分针均指向12，角度差为，不满足直角条件． 选项C（15时）： 此时角度为，，满足直角条件． 选项D（3时30分）： 此时角度为，不满足直角条件． 综上，只有选项C（15时）满足时针和分针成直角． 故选：C． 4．已知点在直线上，点，点在直线外，过三点中两点画一条直线，那么直线的条数有（    ） A．3条 B．1条 C．1条或3条 D．0条 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线，利用分类讨论思想是解题的关键．根据三点的不同位置分类讨论即可得出结果． 【详解】解：当三点在同一直线上时，如图1所示， 过每两点画一条直线，只能画1条直线； 当三点不在同一直线上时，如图2所示， 过每两点画一条直线，可以画3条直线． 综上所述，直线的条数有1条或3条． 故选：C． 5．点、、在同一直线上，，，是中点，则的长为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，分在点的右侧、在点的左侧两种情况进行计算即可，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解题的关键． 【详解】当在点的右侧时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵是中点， ∴； 当在点的左侧时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵是中点， ∴； 综上可知的长为或， 故选：． 6．如图，是直线，O是上一点，，平分，则图中与互补的角有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要几何图形中角度的计算，角平分线的定义，补角的定义，先根据已知条件证明，再由平角的定义推出，，据此证明，进而利用角平分线的定义得到，则可证明，得到，据此可得答案． 【详解】解；∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， 同理可得， ∵平分， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴图中与互补的角有，，共2个， 故选：C． 7．如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，若与的和为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，角度的和差计算；根据两个锐角角和角的顶点叠放在一起，可知，，与的和为，可算出的度数，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8．已知，， 以O为顶点作射线， 使， 若设 ，则的值有可能为：①；②；③；④．以上结论中正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，根据题意，分情况讨论射线和的位置，计算出的可能值即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 如图，分四种情况进行讨论： 由图可知：； ； ； ； 综上：正确的个数是4个； 故选A． 9．如图，的度数是，以为一边，在的外部作 ，接着以为一边，在的外部作 ，再以为一边，在的外部作 ，……则的度数是（n是正整数）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的运算、图形变化的规律，熟练掌握角的运算，结合图形找出隐含的规律是解题的关键．根据题意，依次计算出、、……，观察找到隐含的规律即可得到的度数． 【详解】解：的度数是， ， ，， ，， ， …… ． 故选：D． 10．如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；，依次进行这样的标记，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差，中点的性质，根据图形，找到线段之间的关系，即可求解，根据图形找到线段之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ， 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．下列几何图形： ①三角形； ②长方形； ③正方体； ④圆； ⑤圆锥；⑥圆柱．其中属于立体图形的是 【答案】③⑤⑥ 【分析】根据立体图形的概念和平面图形的定义对各选项进行分析即可． 【详解】解∶属于平面图形，属于立体图形． 故答案为∶． 【点睛】本题考查立体图形的定义，要注意立体图形与平面图形的区分是解题的关键． 12．一副三角板与如图摆放，，平分，平分，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了角的和差，角平分线，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 根据角平分线的定义分别表示出∠，再根据角之间的关系求出，即可求出的度数． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，点C为线段上的一点，，M、N两点分别为的中点，若线段为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和与差．明确线段之间的数量关系是解题的关键． 由题意知，，由中点可知，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵M、N两点分别为的中点， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：． 14．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． （1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ； （2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义——角的分位线．熟练掌握新定义，角的和差倍分关系，分类讨论，是解题的关键． （1）求出，根据，分别为与的3分位线，（，），得，得； （2）根据、分别为与的5分位线，得,或；，或,当, 时，,不合；当，时，， 得；当，时，，得；当，时，，不合． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，分别为与的3分位线，（，）， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵射线、分别为与的5分位线， ∴，∴, 或，∴； ，∴， 或，∴， 当, 时， ， ∵， ∴不合； 当，时， ， ∴， ∴； 当，时， ， ∴； 当，时， ， 不合． ∴或． 故答案为：或． 3、 解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．如图，已知四点，请根据下列语句作图．    (1)画射线、直线、线段； (2)想一想，图中四点可以画多少条线段？多少条射线？ 【答案】(1)见解析 (2)6条线段，12条射线 【分析】本题考查作图，直线，射线，线段的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据直线、射线、线段的定义画出图形即可； （2）根据射线和线段的定义写出它们的额条数即可 【详解】（1）解：如图，    （2）解：可以画6条线段， 可以画射线12条射线 16．如图，为的平分线，，，求： (1)的大小； (2)的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了角的计算，熟练掌握角平分线性质是解本题的关键． （1）由已知角度数以及两角之间的关系，求出所求即可； （2）由求出度数，再利用角平分线性质求出所求即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 则． 17．如图，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． (1)如果，求的长； (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，找准线段之间的和差关系，正确的计算，是解题的关键： （1）中点求出的长，线段的和差求出的长即可； （2）根据中点的定义结合线段的和差关系，求出，即可． 【详解】（1）解：点是线段的中点， ， ； （2）点是线段的中点，点是线段的中点， ， ． 18．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 ①________ 6 长方体 8 6 ②________ 正八面体 ③________ 8 12 正十二面体 ④________ 12 30 (2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是________； (3)一个多面体的面数比顶点数小12，且有42条棱，则这个多面体的顶点数是________． 【答案】(1)4，12，6，20 (2) (3)28 【分析】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用． （1）观察图形即可得出结论； （2）观察可得：顶点数+面数-棱数=2； （3）设多面体的顶点数为x，则多面体的面数为，代入（2）中的式子即可求解． 【详解】（1）解：观察图形，四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）解：观察表格可以看出：顶点数+面数-棱数=2， 关系式为：； 故答案为：； （3）解：设多面体的顶点数为x，则多面体的面数为， 由题意得：， 解得． 故答案为：28． 19．如图所示，线段上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段上有个点时，线段总数共有条，如果上有个点时，线段总数共有条，如果线段上有个点时，线段总数共有条，． (1)当线段上有个点时，线段总数共有多少条？ (2)当线段上有个点时，线段总数共有多少条？（用含的式子表示） (3)当时，线段总数共有多少条？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了线段的数量问题，用代数式表示图形的规律，代数式求值等知识点，从图形中发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）根据题意，数出线段的条数即可求解； （2）从图形中发现并总结出一般规律，然后用代数式表示出图形的规律即可； （3）将，代入（2）中的关系式即可得出答案． 【详解】（1）解：当线段上有个点时，线段总数共有条， 答：当线段上有个点时，线段总数共有条； （2）解：当线段上有个点时，线段总数共有条， 当线段上有个点时，线段总数共有条， 当线段上有个点时，线段总数共有条， ， 当线段上有个点时，线段总数共有：条， 答：当线段上有个点时，线段总数共有条； （3）解：当时， 线段总数共有条， 答：当时，线段总数共有条． 20．已知，射线在的内部，．将射线绕点O逆时针旋转形成射线． (1)如图1，若，那么和的度数相等吗？为什么？ (2)作射线，使射线为的平分线．如图2，当射线恰好平分时，求的度数； (3)若射线在的内部，且，若的值为定值，试求出n与这个定值． 【答案】(1)和的度数相等，理由见解析 (2)； (3)，此定值为． 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算． （1）分别求出，的度数，即可解答； （2）根据角平分线的定义以及，可得，即可解答； （3）设，分别求出，，再由，可得，即可解答． 【详解】（1）解：和的度数相等，理由如下： ，， ， ，， ，     ， （2）解：如图， 平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ． 即的度数是； （3）解：设， ， ， ∴， ∵， ， ， ， ∵的值为定值， ∴， ∴，此定值为． 21．已知O为直线上的一点，，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是 ；若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)北偏东；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1），得，，进而得，由此可得出答案；先求出，再根据角平分线定义得，再根据即可得出的度数； （2）设，则，，再根据角平分线定义得，进而得，由此可得出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏东， 故答案为：北偏东； ∵，， ∴， ∵射线恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：与之间的数量关系是：， 理由如下： 设， ∵， ∴， ∴，， ∵射线仍然平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．【新知理解】 如图①，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）． （2）若，点C是线段的“巧点”，则______； 【解决问题】 （3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”？并说明理由．    【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）t为或或或或12，理由见详解 【分析】（1）由“巧点”的定义进行判断即可求解； （2）由“巧点”的定义，按的位置进行分类讨论①，②，③，即可求解； （3）分当P为A、Q的巧点，Q为A、P的巧点时列方程求解即可． 【详解】（1）解：C是线段的中点， ， C是线段的“巧点”； 故答案：是； （2）解：①如图，点C是线段的“巧点”，   ， ； ②如图，点C是线段的“巧点”，   ， ； ③如图，点C是线段的“巧点”，   ， ； 故答案：或或； （3）解：t为或或或或12，理由如下： ①当是、的“巧点”， （ⅰ）如图，   ， ，， ， ， 解得：， （ⅱ）如图，   ， ，， ， ， 解得：； （iii）当，即时， ∴， 解得：； ②当是、的“巧点”， （ⅰ）图，   ， ，， ， ， ， ， 解得：； （ⅱ）如图，   ， 同理可得： ， 解得：； 此种情况不合题意，舍去； （iii）当，即时， ∴， 解得：； 综上所示：当t为或或或或12时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点”． 【点睛】本题考查了新定义，线段的和差，一元一次方程的应用，理解新定义，将为题转化为一元一次方程进行求解是解题关键． 23．定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个角分成的两个角 中有一个角与已知的钝角互为补角，则称该射线为这个钝角的“割补线”． (1)如图1，，请判断是否为的“割补线”并说明理由； (2)若平分，且为的“割补线”，求的大小； (3)如图2，，在的内部作射线，使为的平分线，为的“割补线” ，当为的“割补线”时，请直接写出的度数． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义，涉及角度的和差计算，角平分线的定义，解一元一次方程，熟练掌握知识点，正确理解新定义是解题的关键． （1）由于，那么，基即可证明； （2）由平分，得到，因为为的“割补线”，则，即可求解； （3）设，则，由于为的“割补线”，那么或，则或，①当时，由于为的“割补线”，那么或，当时，得到，当时，得到，②当时，则，那么当时，得到，当时，得到，分别解方程即可． 【详解】（1）解：是的“割补线”，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴是的“割补线”； （2）解：∵平分， ∴， ∴ ∵为的“割补线” ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵为的平分线， ∴设， ∴， ∵为的“割补线”， ∴或， ∴或， ①当时， ∵为的“割补线”， ∴或， 当时， ， 解得：， 此时（不符合题意，舍）； 当时， ， 解得：， ∴； ②当时， 则， ∵为的“割补线”， ∴或， 当时， ， 解得：（不符合题意，舍）； 当时， 解得：， ∴， 综上：的度数为或． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $