辽宁大连市第八中学2026-2027学年高三上学期9月统一练习数学试题

大连市第八中学2026-2027学年度高三年级9月统一练习 数学学科 一、单选题 1．命题“，”的否定为（ ） A．， B．， C．， D．， 2．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 3．已知幂函数在上单调递减，则（ ） A． B． C． D． 4．某工厂的产量（单位：件）与资本投入（单位：万元）、劳动投入（单位：人）满足柯布—道格拉斯生产函数（其中，，为常数）在劳动投入不变的前提下，要使该工厂的产量提升20%，资本投入需增加60%，则该工厂资本产出的弹性系数约为（ ）（参考数据：，） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 5．函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 6．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 7．集合，，，则中元素的个数为（ ） A．136 B．133 C．134 D．135 8．已知、、，且满足，，，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．以下关系式能构成关于的函数的是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列选项正确的有（ ） A．的极大值点是 B．在上单调递增 C．当时， D．是的一个对称中心 11．设定义在上的函数和，记导函数为，且满足，，若为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 12．函数的最小值为__________． 13．已知函数，则满足的实数的取值范围是__________． 14．已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是__________． 四、解答题 15．已知集合，函数的定义域为． （1）若集合，求集合； （2）在（1）条件下，若，求； （3）在（1）条件下，若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围． 16．已知函数，． （1）求证：；； （2）解不等式； （3）当时，求证：． 17．已知函数是偶函数． （1）求的值； （2）若函数的图象与直线没有交点，求的取值范围； （3）若函数，，是否存在实数使得最小值为0，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18．已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，证明：有且只有一个零点； （3）求函数在上的最小值． 19．已知函数，，． （1）求的最大值； （2）对任意实数，恒成立，求实数的最大值； （3）若，且，其中，．求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ （2026年09月15日数学）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B A B B B C C BCD ABC ABC 12．1 13． 14． 15．【详解】（1）由函数，可得， 即，解得或，所以集合{或}， 则． （2）当时，可得集合， 由（1）知集合，所以． （3）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足且不能同时取等号，解得， 综上，实数的取值范围为． 16．（1）由题意可得：，所以， ， 所以，又因为，所以， ，所以． （2）由题意得，两边同乘得：，即， 令，不等式变为，因式分解得，解得， 即，取自然对数可得：，不等式解集为． （3）要证，转化为证， 两边同乘2（不等号方向不变），即证， 整理得，令， 求导得：，令， 解得：，当时，，故， 因此，即在上单调递增， 又，因此对任意，都有， 原不等式成立 17．【详解】（1）函数是偶函数，， 即恒成立． ，． （2）若函数的图象与直线没有交点， 则方程即方程无解． 令，则的图象与直线无交点． 在上是单调减函数，，．． （3）由题意函数，． 令，则， 函数的图象开口向上，对称轴为直线， 故当，即时，当时，函数取最小值，解得， 当，即时，当时，函数取最小值，解得：（舍去）， 当，即时，当时，函数取最小值，解得；（舍去）， 综上所述，存在满足条件． 18．【详解】（1）当时，，则，，所以切线的斜率为，所以当时，曲线在处的切线方程为． （2）证明：当时，， 令，则或，且，列表如下： 0 + 0 - 0 + 增 极大值 减 极小值 增 所以函数的极大值为， 极小值为，故当时，， 又因为，由零点存在定理可知，函数在上存在唯一零点． 综上所述，当时，函数有且只有一个零点． （3）因为，所以． ①当时，对任意的，，则且不恒为零， 此时函数在上单调递增，则； ②当时，由，可得，由，可得， 此时函数在上单调递减，在上单调递增， 则； ③当时，对任意的，且不恒为零， 此时函数在上单调递减，则． 综上所述，． 19．【详解】（1）解：由函数可得其定义域为，且， 令，即，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为． （2）解：由对于任意，都有，即， 因为函数，可得，令，可得． 当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，且， 所以，可得，解得，所以实数的最大值． （3）证明：由（2）知，所以，不妨设，， （4）因为，由（1）知：；由（2）知：， 所以要证，则只需证， 因为，可得，， 由，且，，在上单调递增， 可得，同理可得，即，， 所以只需证，即证， 又因为，所以，将此式乘以上式知只需证， 令，，得，故在上单调递增， 因为，所以，即， 所以成立，所以原不等式成立． 学科网（北京）股份有限公司 $