相似三角形的证明专项训练-2025-2026学年 人教版九年级数学下册

相似三角形的证明专项训练 相似三角形的证明专项训练 考点目录 利用三边对应成比例证明相似 利用两角对应相等证明相似 利用两边对应成比例与夹角相等证明相似 补充条件使得三角形相似 考点一 利用三边对应成比例证明相似 例1.(25-26九年级上安徽毫州期中)如图，点O是ABC的边BC上一点，连接A0,点D,E,F分别是OA, OB,OC的中点，连接DE,DF.求证：△ABC∽△DEF E 例2.(24-25九年级上广西·期中)如图所示，在5×8的网格中，ABC和aDEF的顶点都在边长为1的小正方形 的顶点上. (I)填空：∠BAC= EF= (2)判断ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论. 相似三角形的证明专项训练 变式1.(25-26九年级上广西南宁·开学考试)如图，在ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，连接DE. (I)尺规作图：作BC的垂直平分线GF,交BC于点F.(不写作法，保留作图痕迹) (2)在第(1)问的条件下，连接DF,EF,AF.求证：四边形ADFE为平行四边形. D B 例2.(24-25九年级上·浙江绍兴·期末)如图是由边长为1的小正方形组成的4×4网格，A,B,C三点均在格点上. 0分瓷与G的能 AB (②)在网格中画△ABE,使A,B,E三点组成的三角形与ABC相似.（只需画出一个） 2 相似三角形的证明专项训练 考点二 利用两角对应相等证明相似 例1.(25-26九年级上·福建泉州期中)如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，EF⊥BE交CD于F,求证： △ABE∽△DEF. A B 例2.(25-26九年级上陕西咸阳期中)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，连接BD, LABD=LC.请你用尺规作图法在BC边上找一点E,连接DE,使得△ABD∽△ECD.(不与作法，保留作图痕 迹) B D 相似三角形的证明专项训练 例3.(25-26九年级上·河南开封期中)如图，在菱形ABCD中，∠ADB=2∠A. (I)实践操作：利用尺规，作∠ADB的平分线DE交AB于点E,(要求不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，求证：△DBE∽△ABD. B D 例4.(25-26九年级上安徽安庆期中)己知：如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD,AE交CB 的延长线于点E.求证：4-BE AC AE 相似三角形的证明专项训练 变式1.(25-26八年级上·上海期中)己知在梯形ABCD中，ADBC,∠AEB+∠C=180°； (I)求证：△ADE∽△DBC; (2)连接EC,若CD=AD·BC，求证：LDCE=∠ADB. O E B 变式2.(25-26九年级上·福建福州期中)己知：如图，在ABC中，D、E分别在边AB、AC上，连接DE, AD=6,EC=1,BD=6,AE=8,求证：∠AED=∠B. A D E 相似三角形的证明专项训练 变式3.(25-26九年级上·湖南常德·期中)如图，CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE. (I)证明：△ABC∽△DEB; (2)若AB=8,AC=6,DE=4.求线段BD的长 E B D 变式4.(25-26九年级上北京通州期中)如图，在ABC中，点D是边AB上一点，点E为ABC外一点， DE∥BC,连接BE,∠E=∠A,求证：△EDB∽△ABC. D B C 6 相似三角形的证明专项训练 考点三 利用两边对应成比例与夹角相等证明相似 例1.(25-26九年级上河南周口期中)如图，线段AB与CD相交于点P,AP=5,CP=3,BP=10,DP=6.求 证：△APC∽△BPD,并写出△APC与△BPD的相似比. P B 例2.(25-26九年级上陕西西安·期中)如图，在ABC和aDEF中，∠C=∠F,AC=4cm,BC=7cm,DF=8cm, EF=14cm,那么ABC与aDEF相似吗？请说明理由 > 相似三角形的证明专项训练 例3.(25-26九年级上辽宁鞍山期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AB>CD,点E,F分别在 AC,BC上，且LFAC=LEDA,∠ACD=∠ADC,AF2=BF.CE,求证：△ABF∽△CDE. D B 例4.(2526九年级上河南鹤壁·期中)如图，在正方形ABCD中，P为CD的中点，Q为BC上一点，已知AB=4 ,CQ=1,求证：△PCQ∽△ADP. D B Q P 相似三角形的证明专项训练 变式1.(25-26九年级上江西鹰潭期中)(1)解方程：x2-2x-2=0. (2)如图，点D为ABC边AB上一点，AD=2,BD=6,AC=4,求证：△ACD∽△ABC. A D 变式2.(2526九年级上陕西榆林·期中)如图，在ABC中，点E、F在BC边上，连接AE、AF,点Q在AB边 上，连接②已4C5r,6G求证：△4C6oAAm. 0 相似三角形的证明专项训练 变式3.(25-26九年级上·辽宁大连·期中)如图，点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上， BE=4,EC=12,CF=3.求证：△ABEn△ECF, D B E 变式4.(25-26九年级上·陕西咸阳期中)如图，在ABC中，D在AB边上，连接CD,AC=4,AD=2, BD=6,求证：△ACD∽△ABC. B 10相似三角形的证明专项训练 相似三角形的证明专项训练 考点目录 利用三边对应成比例证明相似 利用两角对应相等证明相似 利用两边对应成比例与夹角相等证明相似 补充条件使得三角形相似 考点一 利用三边对应成比例证明相似 例1.(25-26九年级上安徽毫州期中)如图，点O是ABC的边BC上一点，连接A0,点D,E,F分别是OA, OB,OC的中点，连接DE,DF.求证：△ABC∽△DEF EO F 【答案】见解析 【详解】证明：~点D,E,F分别是OA,OB,OC的中点， DE-48.EF-BC DF-TAC. 2 即Ag=8C=4C=2, DE EF DF △ABC∽△DEF. 例2.(24-25九年级上：广西·期中)如图所示，在5×8的网格中，ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形 的顶点上. (1)填空：∠BAC= EF= (2)判断ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论. B 【答案】(1)135°；√10 (2)△ABCn△DEF,证明见解析 【详解】(1)解：如图所示，取格点G,连接GB,GA, 相似三角形的证明专项训练 B 由网格得，点G,A,C三点共线 GB2=1P+22=5,AB2=12+22=5,AG=12+32=10 ∴GB=AB,GB2+AB2=AG2 ∴△ABG是等腰直角三角形 ∴.∠BAG=45 .∠BAC=180°-∠BAG=135°； 由勾股定理得，EF=V?+32=√0； (2)解：在△DEF中，DE=P+1P=√2，DF=2,EF=V+32=V0, ~在ABC中，AB=VP+22=V5,AC=V12+32=V10,BC=5 2.DE_DF EF 0 AB AC BC 5 △ABC∽△DEF. 变式1.(25-26九年级上广西南宁·开学考试)如图，在ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，连接DE. (I)尺规作图：作BC的垂直平分线GF,交BC于点F,(不写作法，保留作图痕迹) (②)在第(1)问的条件下，连接DF,EF,AF.求证：四边形ADFE为平行四边形. A D B 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【详解】(1)解：GF为所作，如图， y G米D B (2)证明：GF垂直平分BC, 2 相似三角形的证明专项训练 :BF CF, :F是BC的中点， D是AB的中点， DF是△ABC的中位线， DF∥AC, 同理可证，EF∥AD, 四边形ADFE为平行四边形. 例2.(24-25九年级上·浙江绍兴期末)如图是由边长为1的小正方形组成的4×4网格，A,B,C三点均在格点上. 0分别深受与%的位， (②)在网格中画△ABE,使A,B,E三点组成的三角形与ABC相似.（只需画出一个） 【答案】①4-5，BC-2 BC =2’ AB (2)见解析 【详解】(1)解：~AB=2,BC=√22+22=22 :4B-5,BC-5 BC2’AB (2)解：如图 B E2 “AB=2,BC=2√2，AC=V22+4=25,BE,=VP+下=√2，AE=VP+32=0, AB BC=AC=, BE AB AE △ABC∽△EBA. 相似三角形的证明专项训练 当点E在点E,处时，同理可证△ABC∽△E,BA, 4 相似三角形的证明专项训练 考点二 利用两角对应相等证明相似 例1.(25-26九年级上·福建泉州期中)如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，EF⊥BE交CD于F,求证： △ABE∽△DEF. D A B 【答案】见解析 【详解】证明：：四边形ABCD是矩形， .∠A=∠D=90°， :∠AEB+∠ABE=90°， :EF⊥BE, ∴.∠AEB+∠DEF=90°， ·∠DEF=∠ABE, △ABE∽△DEF, 例2.(25-26九年级上陕西咸阳期中)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，连接BD, ∠ABD=∠C.请你用尺规作图法在BC边上找一点E,连接DE,使得△ABD∽△ECD.(不与作法，保留作图痕 迹)》 B A D 【答案】见解析 【详解】解：如图所示，点E即为所求 B D 证明：DE⊥BC, ∴∠DEC=90°=∠A, 相似三角形的证明专项训练 ∠ABD=LC, △ABD∽△ECD. 例3.(25-26九年级上河南开封期中)如图，在菱形ABCD中，∠ADB=2∠A. B D (I)实践操作：利用尺规，作∠ADB的平分线DE交AB于点E,(要求不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，求证：△DBE∽△ABD. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】(1)解：如图，即为所求作； B D (2)证明：：DE是∠ADB的平分线， ∠ADB=2∠BDE, :∠ADB=2∠A, .∠BDE=∠A, 又：∠DBE=∠ABD, △DBE∽△ABD. 例4.(25-26九年级上·安徽安庆期中)已知：如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD,AE交CB AB BE 的延长线于点E.求证： AC AE B 【答案】见解析 【详解】证明：：AE⊥AD,∠DAE=∠BAC=90°， ∠BAE=LDAC. :AD是直角三角形ABC斜边上的中线， 6 相似三角形的证明专项训练 AD=DC=BD. LC=∠DAC.LBAE=∠C. 又∠E=∠E, △BAE~△ACE. AB BE ACAE· 变式1.(25-26八年级上·上海期中)己知在梯形ABCD中，ADBC,∠AEB+∠C=180°； E 夕 (I)求证：△ADE∽△DBC; (2)连接EC,若CD2=AD·BC,求证：∠DCE=∠ADB. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】(1)证明：~ADIBC, ∠ADE=LDBC, ∠AEB+∠C=180°，∠AEB+∠AED=180°， LAED=∠C, 在△ADE与△DBC中， ∠ADE=∠DBC ∠AED=∠C .△ADE∽△DBC; (2)证明：如图， D 由(1)知，△ADEn△DBC, 1 相似三角形的证明专项训练 AD DE 即DEDB=ADBC, DB BC CD2=AD.BC ∴CD=DEDB, 即CD-DE 且∠CDE=∠BDC, DB CD aCDE∽△BDC, ∴∠DCE=LDBC, ,∠ADE=∠DBC, LDCE=∠ADB. 变式2.(25-26九年级上·福建福州期中)已知：如图，在ABC中，D、E分别在边AB、AC上，连接DE, AD=6,EC=1,BD=6,AE=8,求证：∠AED=∠B. A D E B 【答案】见解析 【详解】证明：已知AD=6,BD=6, .AB=AD+BD=6+6=12. 己知AE=8,EC=1, ·AC=AE+EC=8+1=9. 可得D=6?,4B.8-2 AC93’AB123 :P5,且∠4是△DE与e4CB的公共角。 AC AB ∴可得△ADE~△ACB. ·∠AED=∠B. 变式3.(25-26九年级上·湖南常德·期中)如图，CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE, E A B D (I)证明：△ABC∽△DEB; (2)若AB=8,AC=6,DE=4.求线段BD的长. d 相似三角形的证明专项训练 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【详解】(1)证明：：CA1AD,ED⊥AD, ∠A=∠D=90°，∠C+∠ABC=90°， :CB⊥BE, ∠DBE+LABC=90°， LC=∠DBE, △ABC∽△DEB; (2)解：：△ABC∽△DEB, AC AB .… DB DE 68 DB 4' 解得BD=3. 变式4.(25-26九年级上北京通州期中)如图，在ABC中，点D是边AB上一点，点E为ABC外一点， DE∥BC,连接BE,∠E=∠A.求证：△EDB∽△ABC, D 【答案】见解析 【详解】证明：~DE∥BC, ∴.∠EDB=∠ABC, ∠E=∠A, ∴△EDB∽△ABC. 9 相似三角形的证明专项训练 考点三 利用两边对应成比例与夹角相等证明相似 例1.(25-26九年级上河南周口期中)如图，线段AB与CD相交于点P,AP=5,CP=3,BP=10,DP=6.求 证：△APC∽△BPD,并写出△APC与△BPD的相似比. B 【答案】证明见解析，相似比为) 【详解】证明：AP=5,CP=3,BP=10,DP=6, 又8品君 .AP CP BPDP ∠APC=∠BPD, .△APC∽△BPD, AC AP CP 1 BD=BP=DP=2' ∴△APC与△BPD的相似比为；， 例2.(25-26九年级上陕西西安期中)如图，在ABC和aDEF中，∠C=∠F,AC=4cm,BC=7cm,DF=8cm, EF=14cm,那么ABC与aDEF相似吗？请说明理由， 【答案】相似，理由见解析 【详解】解：ABC与aDEF相似.理由如下： AC =4 cm,BC=7cm,DF =8 cm EF =14 cm AC 4 1 BC 7 1 DF82’EF142' AC BC DF EF' ∠C=∠F, △ABC与△DEF相似. 例3.(25-26九年级上辽宁鞍山期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB>CD,点E,F分别在 10