相似三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的实际应用专项训练-2025-2026学年人教版九年级数学下册

相似三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的实际应用专项训练 相似三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的实际应用专项训练 考点目录 相似三角形的性质 相似三角形的判定 相似三角形的实际应用 考点一 相似三角形的性质 例1．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在菱形中，延长至点，使得，连接交边于点．若，则菱形的周长为（　　） A．30 B．24 C．20 D．12 例2．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例3．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，连接交于点，若，，则线段的长度为（   ） A．6 B．7 C．8 D． 例4．（25-26九年级上·福建莆田·期中）如图，，，，则与的周长之比为 ． 例5．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，，，，则的长是 ． 例6．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点．若的面积为2，则四边形的面积为 ． 例7．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知，若的面积为12，求的面积． 例8．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，点在边上，且，连接，点在线段上，连接，． (1)求证：； (2)若，求的长． 变式1．（25-26九年级上·广东佛山·期中）邢窑是河北著名瓷窑，也是我国北方最早烧制白瓷的窑厂．如图，嘉嘉用两根木棍，制成一个测量工具，测量白瓷瓶瓶底内径的长．若两木棍交于点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，直线，每相邻两条直线之间的距离均相等，点，，分别在直线，，上，交于点，交于点，分别交直线，于点，，若四边形的面积为2，则的面积为（   ） A． B． C．5 D． 变式3．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）如图，在中，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，，点在边上，且，连接，点是的延长线上一点，连接，若，则的长为 ． 变式5．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，，，，则的值为 ． 变式6．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，，垂足为E，，交于点F，若，，当时，的长是 ． 变式7．（25-26九年级上·河北邢台·期中）如图，． (1)若平分，求的度数； (2)若，求的长． 变式8．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，已知． (1)尺规作图：在的边上找一点，使．（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的度数． 考点二 相似三角形的判定 例1．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，，则下列各式中，不能说明的是（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，点D是的边上的一点，，，当 时，． 例5．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，点在边的延长线上，过点作，连接，请添加一个条件： （不添加字母及辅助线），使．（写出一个即可） 例6．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在和中，，再添加条件 可以使． 例7．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在矩形中，点在边上，交于，求证：．    例8．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，点在边上，连接，．请你用尺规作图法在边上找一点，连接，使得．（不与作法，保留作图痕迹） 变式1．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在与中，，添加下列条件，不能得到与相似的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，在五边形中，，延长，分别交直线与点，．若添加一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 变式4．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，已知，P是上一点，连接，要使，只需添加条件 ．（只要写出一种合适的条件） 变式5．（25-26九年级上·吉林长春·期中）在中，P为AB上的一点，下列四个条件：①；②；③；④等，其中能判断的有 ． 变式6．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，已知中，，点P（与点B不重合）是边上的一点，那么当与、满足 时，与相似． 变式7．（25-26九年级上·湖南永州·期中）已知：如图，C是AB上一点，，，，求证：． 变式8．（25-26九年级上·江西·期末）如图，在等腰中，，是的角平分线，是腰边上的高，垂足为点．求证：． 考点三 相似三角形的实际应用 例1．（25-26九年级上·河北邢台·期中）手电筒的灯泡位于点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处．点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为（   ） A．1m B． C． D． 例2．（25-26九年级上·海南儋州·期中）杠杆原理在机械设计中应用广泛，如图1是用杠杆提升重物的示意图，当施加动力时杠杆绕支点转动．如图2所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，小林身高，在路灯的照射下，影子不全落在地面上．小林离路灯的距离，落在地面上影长，留在墙上的影高，则路灯高为（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26九年级上·山西晋中·期中）《九章算术》记载了一种测量竖直的古井水面以上部分深度的方法：如图，在井口的点处立一根垂直于井口的木杆，从木杆顶端观察井水水面点处，视线与井口的直径交于点．若测得，，，则井口距离水面的深度为 m． 例5．（25-26九年级上·福建泉州·期中）土圭之法是在平台中央竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为 尺． 例6．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是米，则车宽的长度为 米． 例7．（25-26九年级上·福建泉州·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”测量大树的高度，如图，他通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且使边与点在同一条直线上．已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离，测得，求树高． 例8．（25-26九年级上·广西贵港·期中）［综合与实践］ 同学们综合利用数学和物理知识可以解决生活中很多实际问题．例如：已知树，和灯柱，如图1所示，在灯柱上有一盏路灯（与重合），树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下： ①根据光源确定物体在地面上的影子；②测量出相关数据，如高度，影长等； ③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据． 根据上述内容，解答下列问题： (1)如图1，若树的高度为4米，其离路灯的距离为6米，两棵树的影长，均为3米，两棵树之间的距离为6米，求树的高度； (2)如图2，建筑物高为50米，建筑物上有一个LED广告牌，合计总高度为60米，两座建筑物之间的直线距离为30米．一个观测者（身高不计）先站在处观测，发现能看见广告牌的底端处，观测者沿着直线向前走了10米到处观测，发现刚好看到广告牌的顶端处．则广告牌的高度为多少米？ 变式1．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）小亮在测量一根电线杆的高度时，制定了如下的测量方案：如图，先在地面的适当位置处平放一面镜子，然后沿着电线杆的底部与镜子所在的直线向后退，退到在镜子中刚好能看到电线杆的顶端为止．此时，测得小亮眼睛到地面的距离，小亮到处的距离，电线杆底部到的距离．电线杆的高度的值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，物理课上张明做小孔成像试验，已知蜡烛与成像板之间的距离为，要使烛焰的像是烛焰的2倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛（    ）的地方． A．10 B．12 C．8 D．9 变式3．（25-26九年级上·河南南阳·期中）医圣祠位于河南省南阳市城东温凉河畔，为纪念东汉医学家张仲景而建，为了纪念医圣张仲景，某中医药文化广场有一尊张仲景雕像．数学兴趣小组的同学为测量雕像的高度（顶端到水平地面的距离），在雕像旁的水平地面C处放置一面镜子，组员小明沿直线后退到点处，此时恰好在镜子里看到雕像的顶端．已知米，米，小明的眼睛距地面的高度米，则雕像的高度（    ）米 A． B． C． D． 变式4．（25-26九年级上·浙江金华·期中）在数学活动课上，小东利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点处的镜子中看到教学楼的顶部时，测得小东的眼睛与地面的距离，同时测得，，则教学楼高度 ． 变式5．（25-26九年级上·福建泉州·期中）中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，记照板“内芯”的高度为，观测者的眼睛（图中用点表示）与在同一水平线上．若经测量得到数据，，则测杆上的长是 cm． 变式6．（25-26九年级上·福建宁德·期中）小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是 ； 变式7．（25-26九年级上·浙江金华·期中）某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物、凸透镜和光屏．并调整到合适的高度．如图，主光轴垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为6厘米的发光物进行移动，使物距为24厘米，光线，通过凸透镜后传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为9.6厘米． (1)求像的长度． (2)已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过主光轴上的点，求的长． 变式8．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）文峰木塔位于陕西省三原县境内，是西北地区唯一一座木质古塔．小张想用课堂上学到的知识，来测量文峰木塔的高度（底部不可到达）．如图，小张在点处竖立一根高为1.6米的标杆（即米），此时，地面上的点、标杆的顶端、木塔的顶端在一条直线上；随后，他在地面上的点处放置一个测角仪（测角仪的高度忽略不计），测得的度数为，经过测量得知：米，米．已知点在同一直线上，，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小张求出文峰木塔的高度（结果保留一位小数） 2 学科网（北京）股份有限公司 $相似三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的实际应用专项训练 相似三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的实际应用专项训练 考点目录 相似三角形的性质 相似三角形的判定 相似三角形的实际应用 考点一 相似三角形的性质 例1．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在菱形中，延长至点，使得，连接交边于点．若，则菱形的周长为（　　） A．30 B．24 C．20 D．12 【答案】B 【详解】解：在菱形中，，； ， ， ； ， ， ， ， 则菱形的周长为； 故选：B． 例2．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：∵在正方形和正方形中， ∴，， ∴， ∴， ∴， 得， ∵，， ∴，， ∵， 得． 故选：B． 例3．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，连接交于点，若，，则线段的长度为（   ） A．6 B．7 C．8 D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，则，， ∴． 故选：A． 例4．（25-26九年级上·福建莆田·期中）如图，，，，则与的周长之比为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴相似比为，则与的周长之比为． 故答案为：． 例5．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，，，，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 例6．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点．若的面积为2，则四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：四边形是矩形， ， 点E是的中点， ， ， ， ， 和同高， ， 和同高 是矩形的对角线 故答案为：． 例7．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知，若的面积为12，求的面积． 【答案】 【详解】解：∵，相似比为， ∴， ∵的面积为， ∴的面积， 答：的面积为． 例8．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，点在边上，且，连接，点在线段上，连接，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：由（1）得：， ， ， ， ， ， ． 变式1．（25-26九年级上·广东佛山·期中）邢窑是河北著名瓷窑，也是我国北方最早烧制白瓷的窑厂．如图，嘉嘉用两根木棍，制成一个测量工具，测量白瓷瓶瓶底内径的长．若两木棍交于点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， 又， ． 故选：C． 变式2．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，直线，每相邻两条直线之间的距离均相等，点，，分别在直线，，上，交于点，交于点，分别交直线，于点，，若四边形的面积为2，则的面积为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【详解】解：∵，每相邻两条直线之间的距离均相等， ∴分别为各边中点，为中点， ∴， ， ， 同理：， ， ， ， ， ， 故选：D． 变式3．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）如图，在中，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 故选：A． 变式4．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，，点在边上，且，连接，点是的延长线上一点，连接，若，则的长为 ． 【答案】6 【详解】解：过点D作，如图所示： ∵， ∴， 则， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴，， 设， ∵， ∴ ∴， ∴， 即：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， 解得：， 故答案为：6． 变式5．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，，，，则的值为 ． 【答案】 【详解】 即， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为。 变式6．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，，垂足为E，，交于点F，若，，当时，的长是 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图，作的外接圆，连接，过点O作于点M，过点O作于点N， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 即， ∴，； ∴的半径为， ∵， 即， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴． 的长是． 故答案为：． 变式7．（25-26九年级上·河北邢台·期中）如图，． (1)若平分，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，（负值已舍）． 变式8．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，已知． (1)尺规作图：在的边上找一点，使．（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求， （2）解：在中，∵， ∴， 由（1）可得， ∴. 考点二 相似三角形的判定 例1．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵， ∴， 故A不符合题意； B、∵， ∴， 故B不符合题意； C、由图形可知，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故C不符合题意； D、由已知条件无法证明与相似，故D符合题意， 故选：D． 例2．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、∵，， ∴，故此选项不符合题意； B、添加，无法判断，故此选项符合题意； C、∵，， ∴，故此选项不符合题意； D、∵，， ∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 例3．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，，则下列各式中，不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，可以根据有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，不可以证明，故此选项符合题意； 故选：D． 例4．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，点D是的边上的一点，，，当 时，． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵，当时， 则， ∴， ∴． 故答案为：． 例5．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，点在边的延长线上，过点作，连接，请添加一个条件： （不添加字母及辅助线），使．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵， ∴， 当添加或时，可根据“两角对应相等的两个三角形相似”得到； 当添加或时，则有，所以，可根据“两角对应相等的两个三角形相似”得到； 当添加时，可根据“两组对应边分别成比例且它们的夹角也相等的两个三角形相似”得到； 故答案为（答案不唯一）． 例6．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在和中，，再添加条件 可以使． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵， ∴，即， 添加：，则， 添加：，则， 添加：，则， 故答案为：（答案不唯一） 例7．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在矩形中，点在边上，交于，求证：．    【答案】见解析 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， ， ∴， ∴， ∴． 例8．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，点在边上，连接，．请你用尺规作图法在边上找一点，连接，使得．（不与作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【详解】解：如图所示，点即为所求． 证明：∵， ∴， ∵， ∴． 变式1．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在与中，，添加下列条件，不能得到与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； B、添加，结合得，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； C、添加，已知的角不是成比例的两边的夹角，不能证明，本选项符合题意； D、添加，可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意． 故选：C． 变式2．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、添加条件，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，不可以证明，故此选项符合题意； D、添加条件，可以根据有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； 故选：C． 变式3．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，在五边形中，，延长，分别交直线与点，．若添加一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A、， ， 若， 可得，， ， 因此选项A不符合要求；   选项B、若，且， 则（两直线平行，同位角相等）， 此时满足“两边对应成比例且夹角相等”，可判定， 因此选项B不符合要求；   选项C、若，结合产生的内错角、同位角等角度关系， 可推导出另一组角相等，进而通过：两角对应相等判定， 因此选项C不符合要求；   选项D、若，该比例式中对应的角并非与的夹角， （即不满足“两边对应成比例且夹角相等”的判定条件）， 也无法通过其他相似判定定理推导相似， 因此该条件无法判定， 所以选项D符合要求． 故选：D． 变式4．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，已知，P是上一点，连接，要使，只需添加条件 ．（只要写出一种合适的条件） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由题意得：， ∴若添加时，则可根据“两组角对应相等的两个三角形相似”判定； 若添加时，则可根据“两组角对应相等的两个三角形相似”判定； 若添加（）时，则可根据“两组对应边成比例且它们的夹角也相等的两个三角形相似”判定； 故答案为（答案不唯一）． 变式5．（25-26九年级上·吉林长春·期中）在中，P为AB上的一点，下列四个条件：①；②；③；④等，其中能判断的有 ． 【答案】①②③ 【详解】解：①，，； ②，，； ③，，； ④，但对应边夹角不是公共角，所以无法判定． 故答案为：①②③． 变式6．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，已知中，，点P（与点B不重合）是边上的一点，那么当与、满足 时，与相似． 【答案】 【详解】解：当时，与相似，理由如下： ∵，， ∴， 故答案为：． 变式7．（25-26九年级上·湖南永州·期中）已知：如图，C是AB上一点，，，，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：，， ， ， ， ． 变式8．（25-26九年级上·江西·期末）如图，在等腰中，，是的角平分线，是腰边上的高，垂足为点．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：等腰中，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 考点三 相似三角形的实际应用 例1．（25-26九年级上·河北邢台·期中）手电筒的灯泡位于点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处．点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为（   ） A．1m B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得，，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 即， 故选：C． 例2．（25-26九年级上·海南儋州·期中）杠杆原理在机械设计中应用广泛，如图1是用杠杆提升重物的示意图，当施加动力时杠杆绕支点转动．如图2所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得， 则的长度是． 故选：C ． 例3．（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，小林身高，在路灯的照射下，影子不全落在地面上．小林离路灯的距离，落在地面上影长，留在墙上的影高，则路灯高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过作于，过作交于，交于， ∴四边形和为矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：A． 例4．（25-26九年级上·山西晋中·期中）《九章算术》记载了一种测量竖直的古井水面以上部分深度的方法：如图，在井口的点处立一根垂直于井口的木杆，从木杆顶端观察井水水面点处，视线与井口的直径交于点．若测得，，，则井口距离水面的深度为 m． 【答案】 【详解】解：根据题意得，， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 例5．（25-26九年级上·福建泉州·期中）土圭之法是在平台中央竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为 尺． 【答案】24 【详解】解：，， ， ， ， 根据题意得：尺，尺， （尺）， 第二时刻的影长为24尺. 故答案为： 例6．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是米，则车宽的长度为 米． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，垂足为，交于点， 则，设米， 由得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即， 解得，， ∴． 故答案为：． 例7．（25-26九年级上·福建泉州·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”测量大树的高度，如图，他通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且使边与点在同一条直线上．已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离，测得，求树高． 【答案】 【详解】解：由题意得：，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 例8．（25-26九年级上·广西贵港·期中）［综合与实践］ 同学们综合利用数学和物理知识可以解决生活中很多实际问题．例如：已知树，和灯柱，如图1所示，在灯柱上有一盏路灯（与重合），树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下： ①根据光源确定物体在地面上的影子；②测量出相关数据，如高度，影长等； ③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据． 根据上述内容，解答下列问题： (1)如图1，若树的高度为4米，其离路灯的距离为6米，两棵树的影长，均为3米，两棵树之间的距离为6米，求树的高度； (2)如图2，建筑物高为50米，建筑物上有一个LED广告牌，合计总高度为60米，两座建筑物之间的直线距离为30米．一个观测者（身高不计）先站在处观测，发现能看见广告牌的底端处，观测者沿着直线向前走了10米到处观测，发现刚好看到广告牌的顶端处．则广告牌的高度为多少米？ 【答案】(1)树的高度为米 (2)广告牌的高度为米 【详解】（1）解：由题意画出图形，如图， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 答：树的高度为米； （2）如图， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：米， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴（米）， 答：广告牌的高度为米． 变式1．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）小亮在测量一根电线杆的高度时，制定了如下的测量方案：如图，先在地面的适当位置处平放一面镜子，然后沿着电线杆的底部与镜子所在的直线向后退，退到在镜子中刚好能看到电线杆的顶端为止．此时，测得小亮眼睛到地面的距离，小亮到处的距离，电线杆底部到的距离．电线杆的高度的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得，， ， ， ∵，，， ， ． 故选：A． 变式2．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，物理课上张明做小孔成像试验，已知蜡烛与成像板之间的距离为，要使烛焰的像是烛焰的2倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛（    ）的地方． A．10 B．12 C．8 D．9 【答案】C 【详解】设蜡烛距小孔，则小孔距成像板， 由题意可知：， ∴， ∴，解得． 即蜡烛与成像板之间的小孔相距． 故选：C． 变式3．（25-26九年级上·河南南阳·期中）医圣祠位于河南省南阳市城东温凉河畔，为纪念东汉医学家张仲景而建，为了纪念医圣张仲景，某中医药文化广场有一尊张仲景雕像．数学兴趣小组的同学为测量雕像的高度（顶端到水平地面的距离），在雕像旁的水平地面C处放置一面镜子，组员小明沿直线后退到点处，此时恰好在镜子里看到雕像的顶端．已知米，米，小明的眼睛距地面的高度米，则雕像的高度（    ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得：，， ， ， 米，米，米， ， （米）； 故选． 变式4．（25-26九年级上·浙江金华·期中）在数学活动课上，小东利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点处的镜子中看到教学楼的顶部时，测得小东的眼睛与地面的距离，同时测得，，则教学楼高度 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， 即， 解得， 则教学楼高度， 故答案为：． 变式5．（25-26九年级上·福建泉州·期中）中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，记照板“内芯”的高度为，观测者的眼睛（图中用点表示）与在同一水平线上．若经测量得到数据，，则测杆上的长是 cm． 【答案】28 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； 故答案为28． 变式6．（25-26九年级上·福建宁德·期中）小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是 ； 【答案】 【详解】解：∵小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是6：13，∴， ∵烛焰的高是3cm， ∴， ∴， 故答案为：． 变式7．（25-26九年级上·浙江金华·期中）某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物、凸透镜和光屏．并调整到合适的高度．如图，主光轴垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为6厘米的发光物进行移动，使物距为24厘米，光线，通过凸透镜后传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为9.6厘米． (1)求像的长度． (2)已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过主光轴上的点，求的长． 【答案】(1)2.4厘米 (2)厘米 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴，即， 解得：， 答：像的长度为2.4厘米； （2）由题意得：，为矩形， ∴，厘米， ∴，即， 解得：， 答：的长为厘米． 变式8．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）文峰木塔位于陕西省三原县境内，是西北地区唯一一座木质古塔．小张想用课堂上学到的知识，来测量文峰木塔的高度（底部不可到达）．如图，小张在点处竖立一根高为1.6米的标杆（即米），此时，地面上的点、标杆的顶端、木塔的顶端在一条直线上；随后，他在地面上的点处放置一个测角仪（测角仪的高度忽略不计），测得的度数为，经过测量得知：米，米．已知点在同一直线上，，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小张求出文峰木塔的高度（结果保留一位小数） 【答案】文峰木塔的高度约为20.8米 【详解】解：， ， ， ， ，即①， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， ②， 联立①②得：， 解得， 文峰木塔的高度约为20.8米． 2 学科网（北京）股份有限公司 $