解直角三角形的应用：仰角与俯角问题、坡度坡比问题、方位角问题专项训练-2025-2026学年人教版九年级数学下册

解直角三角形的应用：仰角与俯角问题、坡度坡比问题、方位角问题专项训练 解直角三角形的应用：仰角与俯角问题、坡度坡比问题、方位角问题专项训练 考点目录 解直角三角形的应用：仰角与俯角问题 解直角三角形的应用：坡度坡比问题 解直角三角形的应用：方位角问题 考点一 解直角三角形的应用：仰角与俯角问题 例1．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，在某机场的地面雷达观测站处，观测到空中点处的一架飞机的仰角为，飞机沿水平线方向飞行到达点处，此时观测到飞机的仰角为，飞机继续沿与水平线成角的方向爬升到点处，此时观测到飞机的仰角为．已知为千米．（、、、、、在同一竖直平面内） (1)求、两点之间的距离； (2)若飞机的飞行速度保持9千米／分钟，求飞机从点飞行到点所用的时间是多少分钟？（，结果精确到0.01） 例2．（2025·浙江·一模）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法． 【实践活动】如图1，小明、小亮分别在点处同时测得热气球的仰角，，，点在地面的同一条直线上，于点．（测角仪的高度忽略不计） 【问题解决】（1）计算热气球离地面的高度．（参考数据：，，） 【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案．爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高．根据他的想法与思路，完成以下填空： （2）如图2，在锐角三角形中，设，，，于点，用含和的代数式表示． 例3．（2025·天津·一模）为了解学校附近一斜坡旁边一棵直立大树的高度，该校数学兴趣小组进行实地测量．如图，在斜坡顶部点C处测得大树顶端A的仰角为，大树底端B的俯角为，从点C出发沿远离大树的水平方向走4米到达点D处，测得大树顶端A的仰角为，点A，B，C，D在同一平面，延长交于点E． (1)求线段的长度．（结果保留整数） (2)计算大树的高度．（结果保留整数）（参考数据：，） 例4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）“大搬快聚”让老百姓过上了幸福的生活．如图①是丽水市政府给某贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，） (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求这栋房屋高． 例5．（25-26九年级上·陕西西安·期中）学习小组为测量学校三号楼的高度，设计了以下测量方案：小志站在五号楼一层的C处（小志身高），看到三号楼楼顶的A处，此时测得仰角为，随后上到三楼，在E处看到三号楼楼顶的A处仰角为，两视线之间的距离，（、D、E在同一直线上且垂直于地面），请根据测量数据求三号楼的高度（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 变式1．（25-26九年级上·山西晋城·期中）如图，皇城相府位于山西省晋城市阳城县，其中的河山楼雄伟险峻，是一处罕见的明清两代城堡式住宅建筑群，被专家誉为“中国北方第一文化巨族之宅”．某数学兴趣小组运用所学知识，对河山楼的高度进行测量．为减小测量误差，对每个数据都进行多次测量，并取平均值作为测量结果．如图，河山楼顶部为点，楼底部为点，与水平地面垂直．以下是他们的测量数据：小组成员在点处测得顶部点的仰角为，向河山楼方向行走35m后到达点，在点处测得顶部点的仰角为．已知测角仪的高度m，且点在同一水平线上，点在同一竖直平面内，，．请根据以上数据，求河山楼的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 变式2．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 变式3．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）某校为检测师生体温，在校门口安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”的截面示意图．身高米的嘉嘉做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为．如果测得嘉嘉的有效测温区间的长度是米，那么测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，计算结果精确到，，） 变式4．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，为了测量消防训练塔楼的高度，在离该塔楼底部8米的处，放置一台高1.5米的测角仪，测得塔楼顶端的仰角，点在边上．求这个塔楼的高度．（精确到0.1米）【参考数据：，，】 变式5．（2025·安徽六安·二模）为重温“红色记忆”，学校组织研学活动，途经某抗日纪念碑所在地．在了解相关历史背景后，利用无人机采集了纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，的长表示点A到水平地面的距离．无人机从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点A正上方的点E处时，测得米． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，D，B四点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离的长（结果精确到1米，参考数据：，，，，，）． 考点二 解直角三角形的应用：坡度坡比问题 例1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）【阅读】如图，中，，，延长到点，使，设，则，．据此可以求出． 【探究】如图，，试用上述方法求出______． 【运用】城市公路一段下沉通道剖面如图所示，正常情况下，汽车可以沿方向或其相反方向通行，其中是正常水平路面，是通道底部水平路面，是与水平方向夹角为的斜坡，已知，某次暴雨引起通道积水，水面宽度．小张驾车打算从此路段经过，经查阅资料得知，小张所驾汽车可安全通过最深为的水面，问小张是否能够从此积水路段安全通过？请通过计算说明理由．（参考数据） 例2．（2025·安徽淮南·二模）某铁路路基的横断面是四边形，其中，路基顶宽，路基底宽，斜坡的坡度，斜坡的坡度，因路基一侧靠近河流，现需要对斜坡进行加固，使得改造后的坡角（）减小，求改造后的路基底宽长．（参考数据：，，） 例3．（25-26九年级上·上海闵行·期中）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度为16米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为（A、B、P、Q四点在同一平面） (1)求路段的长； (2)当下引桥坡度时，如果测速路段限速，小汽车用时2秒匀速通过电子眼区间测速路段，那么小汽车是否超速呢？（参考数据：，，，，，，） 例4．（25-26九年级上·重庆·期中）周末小南和小开相约爬山（图为山的截面图，山脚处的点、在同一水平线上），在处测得山顶的仰角为，在处测得山顶的仰角为，斜坡米，坡度为，水平观景步道米，山顶到山底的垂直高度为米．（参考数据：，，，） (1)求的长度； (2)入口在水平道路中点处，若小南和小开从点同时出发，小南由的线路到达山顶，小开由的线路到达山顶，若小南的平路速度为米分，小南的爬山速度为米分，小开的平路速度为米分，小开的爬山速度为米分（小开在斜坡，斜坡的速度相同），请问谁先到达山顶处？请通过计算说明理由．（结果保留小数点后一位） 变式1．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）每逢雨季，天降大雨，山体滑坡灾害时有发生，北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示：，斜坡长30米，坡角．为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过时，可以确保山体不滑坡． (1)求坡顶与地面的距离等于多少米？（精确到米） (2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B不动，坡顶A沿削进到E点处，求至少是多少米？（精确到米） 变式2．（25-26九年级上·上海·阶段练习）定义：如图1，已知点Q、R是的边上的两个定点，点P是边上的一个动点，当时，称点P是线段的最佳视野点． 如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点A到水平地面的距离为5米，在水平地面的E处有一个自动扶梯米，点A、B、C在同一直线上．某一时刻，自动扶梯上一行人（用点G表示）到地面的高度为米时，他与自动扶梯底端E处的水平距离米．（忽略行人的高度） (1)当行人行走在水平地面时，发现点H恰好是屏幕的最佳视野点，此时，．求的长； (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由． 变式3．（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 变式4．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量旗杆的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影子长米，斜坡坡面上的影子米，太阳光与水平地面成角， 斜坡的坡度为， 求旗杆的高度．（精确到1米）． 考点三 解直角三角形的应用：方位角问题 例1．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，B地位于A地的正东方向，D地位于B地正北方，且位于A地北偏东，D与A相距1800m．C地位于B地北偏东方向上，且C与B地相距800m，E地位于D地南偏东方向上，且位于C地正北方． (1)请求出C、E两地间的距离．（结果保留根号） (2)甲以每分钟90米的速度从D出发，沿路线D→A→B跑步前进，与此同时，乙以每分钟60米的速度从D出发，沿路线D→E→C→B步行前进，通过计算说明，甲、乙两人谁先到达B地．（结果精确到）（参考数据：，，） 例2．（25-26九年级上·重庆·期中）近日，某高校“益路同行”志愿服务队受邀参加2025年全国青少年公益实践成果展．队员们将从学校南门集合点处出发，乘车前往展会主会场点处，开展为期两天的公益项目现场演示、互动体验活动与跨校志愿经验分享．出发前，家长志愿者协助查询了两条不同的出行线路，一条以城市快速路为主，全程无红绿灯干扰；另一条途经多个居民区，可顺路完成小型公益宣传预热．路线如图：①；②．经勘测，点在点的正南方向，且在点的北偏西30°方向；点在点的东南方向，在点的正东方向，且在点的东北方向12千米处；点在点的正东方向千米处． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)由于时间紧迫，受邀的志愿服务队成员决定选择一条较短的路线到达主会场，请通过计算说明他们应该选择线路①还是线路②？（参考数据：，，） 例3．（25-26九年级上·重庆万州·期中）为了满足市民健身需求，万州区市政部门在望江公园内沿江边修建了四边形循环步道．如图，经勘测，点在点的正南方，点在点的正东方，点在点的东北方向米处，点在点的南偏西方向，点在点的北偏西方向．（参考数据： (1)求的长度（结果精确到1米）； (2)小花准备从点跑步到点去见小华，小花决定选择一条较短线路，请计算说明小花应选择路线，还是路线？ 例4．（25-26九年级上·重庆·期中）第十二届世界城市日在重庆举办，“半山崖线步道”及“嘉陵江滨江路”吸引了众多游客打卡，小玉打卡了半山崖线步道，小雅打卡了嘉陵江滨江路、如图，，，，， 在同一平面内，他们同时从步行出发，约定在处汇合．小玉先从沿南偏东的方向游览千米到达处，然后继续向的北偏东方向游览到达处，最后沿着 的北偏东方向到达处，且小玉在和两地都停留了分钟拍照、小雅先从沿正东方向游览至处并停留分钟拍照，再沿的南偏东方向到达处，恰好在的正北方向 千米处． (1)求，两地之间的距离（结果保留根号）； (2)若小玉游览速度为千米时，小雅游览速度为千米时，请问小玉和小雅谁先到达处？通过计算说明（结果保留小数点后一位，参考数据：，）． 变式1．（25-26九年级上·重庆渝北·月考）如图是一块四边形的荷花池，顶点位于点的正北方向，点位于点的正东方向，点位于点的北偏东方向，点位于点的北偏西方向，测得米． (1)求荷花池边的长．（结果保留整数） (2)小渝和小北同时从出发前往，小渝以50米/分的速度沿走，小北以40米/分的速度沿走，请通过计算说明谁先到达点． 参考数据：，，，，． 变式2．（25-26九年级上·重庆江北·期中）小月和小黄升入大学后，想利用假期来一场说走就走的旅行．如图A，B，C，D是四个必打卡的景点，而且沿途的风景也很美丽，该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，也在的南偏西方向，在的北偏东方向．（参考数据：，） (1)求南环线的长度（结果保留小数点后一位）； (2)小月选择走北环线，小黄选择走南环线，两人同时从景点出发，小黄在途中发现小月的相机电池落在自己背包里了，于是小黄决定到之后前往与小月汇合，已知小黄的步行速度与小月的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求北环线的长度．（结果保留小数点后一位） 变式3．（25-26九年级上·山东东营·期中）科技改变生活，手机导航极大地方便了我们的出行．如图，小明一家自驾到济南古镇游玩，到达地后导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达古镇，小明发现古镇恰好在地的正北方向，求，两地的距离．（结果保留根号） 变式4．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，两艘运输船从海岛B出发，在海岛A测得海岛B在其正南方60海里处，海岛C在海岛A的北偏东方向上，且在海岛B的东北方向上．海岛B在海岛D的南偏西方向上，海岛C在海岛D的北偏西方向上．（参考数据：，，） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)甲、乙两艘运输船同时从海岛B出发，前往海岛C装卸物品（装卸物品的时间相同），之后甲船开往海岛A，乙船开往海岛D．已知甲船的速度为每小时40海里，乙船的速度为每小时30海里，请通过计算说明甲船和乙船谁先到达目的地． 2 学科网（北京）股份有限公司 $解直角三角形的应用：仰角与俯角问题、坡度坡比问题、方位角问题专项训练 解直角三角形的应用：仰角与俯角问题、坡度坡比问题、方位角问题专项训练 考点目录 解直角三角形的应用：仰角与俯角问题 解直角三角形的应用：坡度坡比问题 解直角三角形的应用：方位角问题 考点一 解直角三角形的应用：仰角与俯角问题 例1．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，在某机场的地面雷达观测站处，观测到空中点处的一架飞机的仰角为，飞机沿水平线方向飞行到达点处，此时观测到飞机的仰角为，飞机继续沿与水平线成角的方向爬升到点处，此时观测到飞机的仰角为．已知为千米．（、、、、、在同一竖直平面内） (1)求、两点之间的距离； (2)若飞机的飞行速度保持9千米／分钟，求飞机从点飞行到点所用的时间是多少分钟？（，结果精确到0.01） 【答案】(1)18千米 (2) 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点， ， ，， ． 设， 在中， ， ， ， ， 解得：， ， ∴在中，． ∴、两点之间的距离为18千米． （2）解：过点作于点， ，， ， ，， ， ． 在中，千米， ． 在中，， （千米）． ∴飞机从点飞行到点所用的时间为（分钟）． 例2．（2025·浙江·一模）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法． 【实践活动】如图1，小明、小亮分别在点处同时测得热气球的仰角，，，点在地面的同一条直线上，于点．（测角仪的高度忽略不计） 【问题解决】（1）计算热气球离地面的高度．（参考数据：，，） 【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案．爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高．根据他的想法与思路，完成以下填空： （2）如图2，在锐角三角形中，设，，，于点，用含和的代数式表示． 【答案】（1）的高度为；（2） 【详解】解：（1） 设， ， 解得， 答：的高度为； （2）解：设， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， 解得． 即． 例3．（2025·天津·一模）为了解学校附近一斜坡旁边一棵直立大树的高度，该校数学兴趣小组进行实地测量．如图，在斜坡顶部点C处测得大树顶端A的仰角为，大树底端B的俯角为，从点C出发沿远离大树的水平方向走4米到达点D处，测得大树顶端A的仰角为，点A，B，C，D在同一平面，延长交于点E． (1)求线段的长度．（结果保留整数） (2)计算大树的高度．（结果保留整数）（参考数据：，） 【答案】(1)线段的长度约为3米 (2)大树的高度约为5米 【详解】（1）解：根据题意可知， ∴， ∵， ∴， ∴， 设米， ∴米， 在中，（米）， 在中，， 解得， ∴米，（米）； 答：线段的长度约为米； （2）解：（米）， 答：大树的高度约为5米． 例4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）“大搬快聚”让老百姓过上了幸福的生活．如图①是丽水市政府给某贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，） (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求这栋房屋高． 【答案】(1)米 (2)米 【详解】（1）解：房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，， ，，， 在中，，， ，， （米）； 答：屋顶到横梁的距离约为米； （2）过作于， 设， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 米， ， 解得：， ∴米， （米）， 答：房屋的高约为米． 例5．（25-26九年级上·陕西西安·期中）学习小组为测量学校三号楼的高度，设计了以下测量方案：小志站在五号楼一层的C处（小志身高），看到三号楼楼顶的A处，此时测得仰角为，随后上到三楼，在E处看到三号楼楼顶的A处仰角为，两视线之间的距离，（、D、E在同一直线上且垂直于地面），请根据测量数据求三号楼的高度（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 【答案】三号楼的高度约为 【详解】解：过A作于H， 则， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 答：三号楼的高度AB约为 变式1．（25-26九年级上·山西晋城·期中）如图，皇城相府位于山西省晋城市阳城县，其中的河山楼雄伟险峻，是一处罕见的明清两代城堡式住宅建筑群，被专家誉为“中国北方第一文化巨族之宅”．某数学兴趣小组运用所学知识，对河山楼的高度进行测量．为减小测量误差，对每个数据都进行多次测量，并取平均值作为测量结果．如图，河山楼顶部为点，楼底部为点，与水平地面垂直．以下是他们的测量数据：小组成员在点处测得顶部点的仰角为，向河山楼方向行走35m后到达点，在点处测得顶部点的仰角为．已知测角仪的高度m，且点在同一水平线上，点在同一竖直平面内，，．请根据以上数据，求河山楼的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】河山楼的高度约为． 【详解】解：如图，延长交于点， 由题可知四边形和四边形都是矩形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：河山楼的高度约为． 变式2．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【答案】(1)建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； (2)图见解析，建筑物的高度为，建筑物的高度为． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； （2）解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， 变式3．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）某校为检测师生体温，在校门口安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”的截面示意图．身高米的嘉嘉做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为．如果测得嘉嘉的有效测温区间的长度是米，那么测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，计算结果精确到，，） 【答案】测温门顶部A处距地面的高度约为米 【详解】解：延长交于点E，设为x米，由题意可知，，， 在中，， ∴米． 在中，， ∴米． ∵， ∴， ， ∴， ∴米． 答：测温门顶部A处距地面的高度约为米． 变式4．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，为了测量消防训练塔楼的高度，在离该塔楼底部8米的处，放置一台高1.5米的测角仪，测得塔楼顶端的仰角，点在边上．求这个塔楼的高度．（精确到0.1米）【参考数据：，，】 【答案】这个塔楼的高度约为米 【详解】解：在中，， ， ， （米）． 答：这个塔楼的高度约为米． 变式5．（2025·安徽六安·二模）为重温“红色记忆”，学校组织研学活动，途经某抗日纪念碑所在地．在了解相关历史背景后，利用无人机采集了纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，的长表示点A到水平地面的距离．无人机从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点A正上方的点E处时，测得米． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，D，B四点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离的长（结果精确到1米，参考数据：，，，，，）． 【答案】点到地面的距离的长约为27米 【详解】解：由题意得，四边形为矩形， 米， 在中，， ， ． 在中，， ， ， 设米 米， 米， ， 解得， （米） 答：点到地面的距离的长约为27米． 考点二 解直角三角形的应用：坡度坡比问题 例1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）【阅读】如图，中，，，延长到点，使，设，则，．据此可以求出． 【探究】如图，，试用上述方法求出______． 【运用】城市公路一段下沉通道剖面如图所示，正常情况下，汽车可以沿方向或其相反方向通行，其中是正常水平路面，是通道底部水平路面，是与水平方向夹角为的斜坡，已知，某次暴雨引起通道积水，水面宽度．小张驾车打算从此路段经过，经查阅资料得知，小张所驾汽车可安全通过最深为的水面，问小张是否能够从此积水路段安全通过？请通过计算说明理由．（参考数据） 【答案】探究：；运用：小张不能够从此积水路段安全通过，理由见解析 【详解】解：探究：如图，作线段的垂直平分线交于点，连接， 则， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴, 故答案为：； 运用：小张不能够从此积水路段安全通过，理由如下： 过作于点， 由题可得，， ∵， ∴， ∴小张不能够从此积水路段安全通过． 例2．（2025·安徽淮南·二模）某铁路路基的横断面是四边形，其中，路基顶宽，路基底宽，斜坡的坡度，斜坡的坡度，因路基一侧靠近河流，现需要对斜坡进行加固，使得改造后的坡角（）减小，求改造后的路基底宽长．（参考数据：，，） 【答案】 【详解】解：分别过点A，D作，，垂足分别为点F，G． 由题意知，． 的坡度， ， 可设，则． 的坡度， ，，， ，解得， ． 在中，， ． 答：改造后的路基底宽长约为． 例3．（25-26九年级上·上海闵行·期中）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度为16米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为（A、B、P、Q四点在同一平面） (1)求路段的长； (2)当下引桥坡度时，如果测速路段限速，小汽车用时2秒匀速通过电子眼区间测速路段，那么小汽车是否超速呢？（参考数据：，，，，，，） 【答案】(1)12米 (2)小汽车没有超速 【详解】（1）解：由题意，得， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点A作于M，于H． 由题意，得， 设米， ∵下引桥坡度， ∴米， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米，米， 在中，， 即， 解得， ∴，， ∴， ∴小汽车的速度为， ∵， ∴小汽车没有超速． 例4．（25-26九年级上·重庆·期中）周末小南和小开相约爬山（图为山的截面图，山脚处的点、在同一水平线上），在处测得山顶的仰角为，在处测得山顶的仰角为，斜坡米，坡度为，水平观景步道米，山顶到山底的垂直高度为米．（参考数据：，，，） (1)求的长度； (2)入口在水平道路中点处，若小南和小开从点同时出发，小南由的线路到达山顶，小开由的线路到达山顶，若小南的平路速度为米分，小南的爬山速度为米分，小开的平路速度为米分，小开的爬山速度为米分（小开在斜坡，斜坡的速度相同），请问谁先到达山顶处？请通过计算说明理由．（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)米 (2)小开先到达山顶处，理由见解析 【详解】（1）解：如图，过作于点，过作于点，延长交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 根据题意可得米，米，， ∵斜坡坡度为， ∴， 设，， ∴， 解得：， ∴米，米， ∴米， ∴（米）， 在中，， ∴， ∴米； （2）解：小开先到达山顶处，理由， 由（）得，米，米，米， 在中，， ∴， ∴米， ∴（米）， ∴米， 在中，，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∵为中点， ∴（米）， ∴小南先到达山顶处的时间为： （分）； 小开先到达山顶处的时间为： （分）， ∵， ∴小开先到达山顶处． 变式1．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）每逢雨季，天降大雨，山体滑坡灾害时有发生，北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示：，斜坡长30米，坡角．为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过时，可以确保山体不滑坡． (1)求坡顶与地面的距离等于多少米？（精确到米） (2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B不动，坡顶A沿削进到E点处，求至少是多少米？（精确到米） 【答案】(1)米 (2)至少是米 【详解】（1）解：∵在中，坡角， ∴， ∵斜坡长30米， ∴（米）， ∴（米）， （2）解：由（1）得米，米， 连接，过点作，如图所示： ∵经过地质人员勘测，当坡角不超过时，可以确保山体不滑坡． ∴， ∵， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，， 则（米）， ∴至少是米． 变式2．（25-26九年级上·上海·阶段练习）定义：如图1，已知点Q、R是的边上的两个定点，点P是边上的一个动点，当时，称点P是线段的最佳视野点． 如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点A到水平地面的距离为5米，在水平地面的E处有一个自动扶梯米，点A、B、C在同一直线上．某一时刻，自动扶梯上一行人（用点G表示）到地面的高度为米时，他与自动扶梯底端E处的水平距离米．（忽略行人的高度） (1)当行人行走在水平地面时，发现点H恰好是屏幕的最佳视野点，此时，．求的长； (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)的长是10米； (2)不同意，理由见解析． 【详解】（1）解：如图，连接， 由题意得，，，米，则， 设，则，， ∵点H恰好是屏幕的最佳视野点， ， ， 解得：舍去，， 米， 米， 的长是10米； （2）解：不同意，理由如下： 作的垂直平分线交于K，交EF于点I，分别延长与交于点L， 由题意，可得：，， ∵自动扶梯上一行人用点G表示到地面的高度为米时，他与自动扶梯底端E处的水平距离米， 自动扶梯的坡度是， ， ∵， ， ，，， ， ， ∵， ， 点I不是自动扶梯上的最佳视野点． 变式3．（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； （2）解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 变式4．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量旗杆的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影子长米，斜坡坡面上的影子米，太阳光与水平地面成角， 斜坡的坡度为， 求旗杆的高度．（精确到1米）． 【答案】16米 【详解】解：延长，两线交于E，过点D作于点Q， ∵太阳光与水平地面成角， ∴， ∵米， 斜坡的坡度为， ∴, 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴（米） ∵米， ∴（米）， ∴， ∴ （米）， ∴旗杆的高度约为16米． 考点三 解直角三角形的应用：方位角问题 例1．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，B地位于A地的正东方向，D地位于B地正北方，且位于A地北偏东，D与A相距1800m．C地位于B地北偏东方向上，且C与B地相距800m，E地位于D地南偏东方向上，且位于C地正北方． (1)请求出C、E两地间的距离．（结果保留根号） (2)甲以每分钟90米的速度从D出发，沿路线D→A→B跑步前进，与此同时，乙以每分钟60米的速度从D出发，沿路线D→E→C→B步行前进，通过计算说明，甲、乙两人谁先到达B地．（结果精确到）（参考数据：，，） 【答案】(1)C、E两地间的距离为 (2)甲先到达B地 【详解】（1）解：根据题意，可知， 是等腰直角三角形， m， 如图，过E点作交于点F， 又， 四边形是平行四边形， ， 是等边三角形， ， ． （2）根据题意，可知 甲所需时间为（分）， 乙所需时间为（分）， ， 甲先到达B地． 例2．（25-26九年级上·重庆·期中）近日，某高校“益路同行”志愿服务队受邀参加2025年全国青少年公益实践成果展．队员们将从学校南门集合点处出发，乘车前往展会主会场点处，开展为期两天的公益项目现场演示、互动体验活动与跨校志愿经验分享．出发前，家长志愿者协助查询了两条不同的出行线路，一条以城市快速路为主，全程无红绿灯干扰；另一条途经多个居民区，可顺路完成小型公益宣传预热．路线如图：①；②．经勘测，点在点的正南方向，且在点的北偏西30°方向；点在点的东南方向，在点的正东方向，且在点的东北方向12千米处；点在点的正东方向千米处． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)由于时间紧迫，受邀的志愿服务队成员决定选择一条较短的路线到达主会场，请通过计算说明他们应该选择线路①还是线路②？（参考数据：，，） 【答案】(1)千米 (2)线路②，见解析 【详解】（1）解：作交于，如图： 由题意得：，， 千米， ， ， 在中，， （千米）， 在中，， （千米）， （千米）． （2）解： 作交于， 由题意得：，千米， 四边形是矩形， 由（1）得：千米，千米， （千米），（千米）， （千米）， 根据题意得：， ， （千米）， 在中，， ∴（千米）， （千米）， 线路①的路程为：（千米）， 线路②的路程为：（千米）， ， 选择线路②． 例3．（25-26九年级上·重庆万州·期中）为了满足市民健身需求，万州区市政部门在望江公园内沿江边修建了四边形循环步道．如图，经勘测，点在点的正南方，点在点的正东方，点在点的东北方向米处，点在点的南偏西方向，点在点的北偏西方向．（参考数据： (1)求的长度（结果精确到1米）； (2)小花准备从点跑步到点去见小华，小花决定选择一条较短线路，请计算说明小花应选择路线，还是路线？ 【答案】(1)米 (2)选择路线，理由见解析 【详解】（1）解：如图，过点作于， 由题意得，，米， 在中， （米）， 由题意得， ， 在中， （米）； ∴的长度为490米． （2）解：，， 为等腰直角三角形， 米， 在中， 米， 米， 由题意得，， ∵点在点的正南方，点在点的正东方， ， 在中， 米， 则米， 路线的长为：（米）， 的长为：（米）， ， 小花应选择路线比较． 例4．（25-26九年级上·重庆·期中）第十二届世界城市日在重庆举办，“半山崖线步道”及“嘉陵江滨江路”吸引了众多游客打卡，小玉打卡了半山崖线步道，小雅打卡了嘉陵江滨江路、如图，，，，， 在同一平面内，他们同时从步行出发，约定在处汇合．小玉先从沿南偏东的方向游览千米到达处，然后继续向的北偏东方向游览到达处，最后沿着 的北偏东方向到达处，且小玉在和两地都停留了分钟拍照、小雅先从沿正东方向游览至处并停留分钟拍照，再沿的南偏东方向到达处，恰好在的正北方向 千米处． (1)求，两地之间的距离（结果保留根号）； (2)若小玉游览速度为千米时，小雅游览速度为千米时，请问小玉和小雅谁先到达处？通过计算说明（结果保留小数点后一位，参考数据：，）． 【答案】(1)，两地之间的距离为； (2)小玉先到达 处． 【详解】（1）解：如图，过作于点，过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意得，，，，， ∴， ∴在中，， ∴， 在，， ∴，两地之间的距离为； （2）解：如图，过作于点，过作于点，延长，交于点，过作于点，则， 由题意得，，， 则，， ∴， 由（）得四边形是矩形，，， 在，，， ∴， ∴，， 在，， ∴ 小玉所花时间为： ； 小雅所花时间为： ， ∵， ∴小玉先到达 处． 变式1．（25-26九年级上·重庆渝北·月考）如图是一块四边形的荷花池，顶点位于点的正北方向，点位于点的正东方向，点位于点的北偏东方向，点位于点的北偏西方向，测得米． (1)求荷花池边的长．（结果保留整数） (2)小渝和小北同时从出发前往，小渝以50米/分的速度沿走，小北以40米/分的速度沿走，请通过计算说明谁先到达点． 参考数据：，，，，． 【答案】(1)荷花池边的长约为米； (2)小渝先到达点． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点，    又∵顶点位于点的正北方向，点位于点的正东方向， ∴， ∴四边形是矩形， ∴（米），， ∵在中，，（米）． ∴米，（米）， ∴（米），（米）， ∵，在中，， ∴， ∴（米）， 答：荷花池边的长约为米； （2）解：在中，米，（米）， ∴（米）， 小渝走的路程为（米），时间为（分）， 小北走的路程为（米），时间为（分）， ， 答：小渝先到达点． 变式2．（25-26九年级上·重庆江北·期中）小月和小黄升入大学后，想利用假期来一场说走就走的旅行．如图A，B，C，D是四个必打卡的景点，而且沿途的风景也很美丽，该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，也在的南偏西方向，在的北偏东方向．（参考数据：，） (1)求南环线的长度（结果保留小数点后一位）； (2)小月选择走北环线，小黄选择走南环线，两人同时从景点出发，小黄在途中发现小月的相机电池落在自己背包里了，于是小黄决定到之后前往与小月汇合，已知小黄的步行速度与小月的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求北环线的长度．（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)南环线的长度为． (2)北环线的长度为． 【详解】（1）解：过点A作于点E，如图 有， ，， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴． 答：南环线的长度为． （2）过点D作的延长线于点F，如图 有， 设小黄的步行速度为，则小月的步行速度为，两人步行时间为t小时，有， ∴， ∵， ， ， ， ， 解得（舍去）或者， ， ， ． 答：北环线的长度为． 变式3．（25-26九年级上·山东东营·期中）科技改变生活，手机导航极大地方便了我们的出行．如图，小明一家自驾到济南古镇游玩，到达地后导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达古镇，小明发现古镇恰好在地的正北方向，求，两地的距离．（结果保留根号） 【答案】，两地的距离为千米． 【详解】解：作于，则， 由题意得，，， 在中，千米， 在中，， ∴（千米）， 答：，两地的距离为千米． 变式4．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，两艘运输船从海岛B出发，在海岛A测得海岛B在其正南方60海里处，海岛C在海岛A的北偏东方向上，且在海岛B的东北方向上．海岛B在海岛D的南偏西方向上，海岛C在海岛D的北偏西方向上．（参考数据：，，） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)甲、乙两艘运输船同时从海岛B出发，前往海岛C装卸物品（装卸物品的时间相同），之后甲船开往海岛A，乙船开往海岛D．已知甲船的速度为每小时40海里，乙船的速度为每小时30海里，请通过计算说明甲船和乙船谁先到达目的地． 【答案】(1)海里； (2)甲船先到达目的地． 【详解】（1）解：过点作交延长线与点， 根据题意，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴海里， ∴海里； （2）解：过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知海里，海里， 在中，， ∴海里， 在中，， ∴海里， ∵， 在中，， ∴海里，海里， ∴甲船走过的路程为（海里）， 乙船走过的路程为（海里）， ∴甲船所用时间为（小时）， 乙船所用时间为（小时）， ∵， ∴甲船先到达目的地． 2 学科网（北京）股份有限公司 $