1.5.1.2有理数的乘法运算律 课件2025－2026学年湘教版数学七年级上册

该初中数学课件围绕有理数乘法运算律展开，通过回顾有理数乘法法则和小学乘法运算律，引导学生计算对比算式发现结果相等，自然衔接旧知与新知，搭建从具体运算到抽象规律的学习支架。 其亮点在于设置合作探究验证运算律，结合典例精析正逆向运用，通过错误辨析强化符号意识，融入游戏互动提升兴趣。发展学生抽象能力与运算能力，教师可借助丰富实例和分层练习，高效提升教学效果与学生学习效率。

湘教版（2024）数学7年级上册 第1章 有理数 1.5.1.2有理数的乘法运算律 1. 有理数的乘法法则： 2. 小学学过乘法的哪些运算律： 两数相乘，同号得正， 任何数与 0 相乘，积仍为 0. 异号得负，并把绝对值相乘. 乘法交换律、结合律和乘法对加法的分配律. # 1.5.1.2有理数的乘法运算律（初中七年级数学） ## 一、导入新课（5分钟） 1. **旧知衔接**：先带领学生回顾有理数乘法法则，随后给出两组算式让学生快速计算：第一组\((-3)×5\)与\(5×(-3)\)；第二组\([(-2)×3]×(-4)\)与\((-2)×[3×(-4)]\)。学生算出两组算式结果分别相等后，继续抛出算式\((-5)×(2 - 4)\)和\((-5)×2 - (-5)×4\)，引导学生观察结果。 2. **引出课题**：学生发现结果依旧相等，此时提问“小学学过的乘法运算律，在有理数乘法中是否同样适用？”，由此自然引出本节课主题——有理数的乘法运算律，同时点明掌握它能简化有理数乘法计算。 ## 二、探究新知（20分钟） 小学学过的乘法交换律、结合律和分配律，在有理数范围内同样适用，下面结合实例详细探究这三种运算律： 1. **乘法交换律** - 定义：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变。 - 符号表示：对于任意有理数\(a\)、\(b\)，都有\(a×b = b×a\)。 - 实例验证：比如计算\((-\frac{2}{3})×(-\frac{9}{4})\)，结果为\(\frac{3}{2}\)；交换因数位置得\((-\frac{9}{4})×(-\frac{2}{3})\)，结果同样是\(\frac{3}{2}\)。该运算律可帮助调整因数顺序，方便后续约分等操作。 2. **乘法结合律** - 定义：三个有理数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 - 符号表示：对于任意有理数\(a\)、\(b\)、\(c\)，都有\((a×b)×c = a×(b×c)\)。 - 实例验证：计算\([(-2)×(-5)]×3\)，先算括号内得\(10×3 = 30\)；若调整结合顺序为\((-2)×[(-5)×3]\)，先算括号内得\((-2)×(-15)=30\)。此运算律常和交换律搭配，优先结合易计算的因数。 3. **乘法分配律** - 定义：一个有理数同两个或多个有理数的和（或差）相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把所得的积相加（或相减）。 - 符号表示：对于任意有理数\(a\)、\(b\)、\(c\)，都有\(a×(b + c)=a×b + a×c\)，拓展形式为\(a×(b + c - d)=a×b + a×c - a×d\)。 - 实例验证：计算\(4×(-\frac{1}{2} + 3)\)，先算括号内得\(4×\frac{5}{2}=10\)；用分配律计算则是\(4×(-\frac{1}{2}) + 4×3=-2 + 12 = 10\)。它的核心价值是将复杂和式乘法转化为简单单项式乘法，简化计算。 4. **运算律核心技巧** 运用交换律和结合律时，可优先将互为倒数、积为整数的因数结合，或同号因数结合；运用分配律时，遇到括号内是分数且括号外是整数的情况，可利用分配律拆分计算，避免通分麻烦。同时要注意，交换因数位置时需连同符号一起交换。 ## 三、例题讲解（12分钟） ### 例题1：交换律与结合律综合运用 - 题目：计算\((-10)×(-\frac{1}{3})×0.1×6\) - 解答：① 交换因数位置：\((-10)×0.1×(-\frac{1}{3})×6\)；② 合理结合：\([(-10)×0.1]×[(-\frac{1}{3})×6]=(-1)×(-2)=2\)。 - 小结：通过交换律调整顺序，结合律将易计算的因数分组，大幅简化运算。 ### 例题2：乘法分配律正向运用 - 题目：计算\((\frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{2})×12\) - 解答：① 运用分配律拆分：\(\frac{1}{4}×12 + \frac{1}{6}×12 - \frac{1}{2}×12\)；② 分别计算：\(3 + 2 - 6=-1\)。 - 小结：括号内为分数，括号外的12是各分母的公倍数，用分配律可直接消去分母，简化计算。 ### 例题3：乘法分配律逆向运用 - 题目：计算\(-3.14×35 + 3.14×(-45) + 3.14×10\) - 解答：① 逆向用分配律提取公共因数\(3.14\)：\(3.14×(-35 - 45 + 10)\)；② 计算括号内并求解：\(3.14×(-70)=-219.8\)。 - 小结：当算式中多个乘法项有相同因数时，逆向用分配律可合并计算，减少重复运算。 ## 四、课堂练习（8分钟） 1. **基础题**：计算\((-2)×3×(-5)\)和\((-4)×(5 - 8)\)（答案：30；12）。 2. **中档题**：计算\((-\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{4})×(-24)\)（答案：2，提示：\(-\frac{1}{2}×(-24) + \frac{2}{3}×(-24) - \frac{1}{4}×(-24)=12 - 16 + 6 = 2\)）。 3. **拓展题**：已知\(a = -2\)，\(b = 3\)，\(c = -4\)，求\(a×(b×c) - (a×b)×c + a×(b - c)\)的值（答案：-2，提示：前两项利用结合律结果相等相减为0，只需计算\(-2×(3 - (-4))=-14\)）。 练习后重点讲解分配律逆向运用的技巧，纠正学生运用分配律时符号出错的问题。 ## 五、课堂小结（2分钟） 1. 回顾三种运算律的定义和符号表示，明确其核心作用是简化有理数乘法运算； 2. 强调运用运算律的关键：灵活搭配，优先结合易计算的因数，运用分配律时注意符号； 3. 梳理易错点：交换因数时漏带符号、分配律拆分时漏乘某项或符号错误； 4. 指出运算律是后续学习复杂代数运算的基础，需熟练掌握并灵活运用。 情景导入 有理数乘法的运算律 1 (1) 先填空，再判断下面三组算式的结果是否分别相等. ① (-6)×[4＋(-9)]＝(-6)× ＝ . (-6)×4＋(-6)×(-9)＝ ＋ ＝ . 合作探究 ② (-6)×[(-4)＋9]＝(-6)× ＝ . (-6)×(-4)＋(-6)×9＝ ＋ ＝ . -5 30 -24 54 30 5 -30 24 (-54) -30 合作探究 ③ (-6)×[(-4)＋(-9)]＝(-6)× ＝ . (-6)×(-4)＋(-6)×(-9)＝ ＋ ＝ . (2) 将 (1) 中的有理数换成其他有理数，各组算式的结果分别相等吗? 你能发现什么？ -13 78 24 54 78 知识要点 即一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加. 一般地，有理数的乘法满足乘法对加法的分配律： a×(b＋c)＝ ， (b＋c)×a＝ . a×b＋a×c b×a＋c×a 合作探究 (1) 先填空，再判断下面两组算式的结果是否分别相等. ① ＝ ， ＝ ； ② [(-2)×3]×(-4)＝ ×(-4)＝ ， (-2)× [3×(-4)]＝(-2)× ＝ . (2) 将 (1) 中的有理数换成其他有理数，各组算式的结果分别相等吗？你能发现什么？ (-6) 24 12 -24 知识要点 一般地，有理数的乘法满足如下两个运算律： a×b＝b×a； (a×b)×c＝a×(b×c). 乘法交换律 乘法结合律 即：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变； 三个有理数相乘，先把前两个数相乘， 或者先把后两个数相乘，积不变. 典例精析 例1 计算： 解：(1)原式 ＝-39＋14 ＝-25. ······ 乘法对加法的分配律 (3) (-12.5)×(-2.5)×(-8)×4. (2) 原式 ＝－30＋20＋15－12 ＝－7. (3) 原式＝(-12.5)×(-8)×(-2.5)×4 ＝100×(－10) ＝－1000. ＝(-12.5)×(-8)×[(-2.5)×4] ······ 乘法交换律 ······ 乘法结合律 练一练 1.计算： ? ? ? __ __ __ 解法有错吗？错在哪里？ 解: 原式＝ ＝－8－18＋4－15 ＝－41＋4 ＝－37 计算： 议一议 正确解法： 特别提醒： 1.不要漏掉符号； 2.不要漏乘. _____ ______ ______ ______ ＝－8＋18－4＋15 ＝－12＋33 ＝21. 想一想 (-1)×a＝ . 问题：利用有理数的乘法运算律计算： (-1)×a＋a ＝ (-1)×a＋1×a ＝[(-1)＋1]×a ＝0×a ＝0. 因此 (-1)×a 与 a 互为相反数， 即 (-1)×a＝-a. -a 多个有理数相乘 2 探究：观察下列各式，它们的积是正的还是负的？ 2×3×4×(-5)； 2×3×(-4)×(-5)； 2×(-3)×(-4)×(-5)； (-2)×(-3)×(-4)×(-5). 算式 得数 负因数的个数 2×3×4×(-5) 2×3×(-4)×(-5) 2×(-3)×(-4)×(-5) (-2)×(-3)×(-4)×(-5) -120 1 120 2 -120 3 120 4 思考：（1）几个不为 0 的数相乘，积的符号与负数的个数之间有什么关系？ （2）有一个因数为 0 时，积是多少？ 归纳总结 几个不等于 0 的数相乘， 当有_____个负数时，积为正数； 当有_____个负数时，积为负数. 奇数 偶数 奇负偶正 有一个因数为 0 时，积是 0. 典例精析 例3 计算： (1) (－8)×(－1)×(－3)×4×(－5) 解：(1) 原式＝ 8×1×3×4×5 (2) 原式＝ ＝480. ＝－32. ①先确定积的符号 ②再确定积的绝对值 练一练 解： 1. 计算： 游戏互动 如图所示，有 5 张写着不同有理数的卡片，从中抽出几张卡片，并将这几张卡片上的数字相乘. 2 -3 4 -5 0 (2) 若抽出三张，则哪三张卡片所得的积最小，最小是多少？ (1) 若抽出两张，则哪两张卡片所得的积最大，最大是多少？ (-3)×(-5) = 15 2×4×(-5) = -40 1. 母题教材P35T3下列式子中，积为负的是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 20 2. 观察算式 ，在解题过程中，能使 运算变得简便的运算律是( ) C A. 乘法交换律 B. 乘法结合律 C. 乘法交换律、结合律 D. 分配律 返回 考试考法 21 3. 如图所示的计算过程可以解释的运算规 律为( ) D A. 加法结合律 B. 乘法结合律 C. 乘法交换律 D. 分配律的逆用 返回 考试考法 22 4. ［2025杭州余杭区月考］在简便运算时，把 变形成最合适的形式是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 23 5. 若的值记为，则 的值可表 示为( ) C A. B. C. D. 【点拨】因为的值记为，所以 . 返回 考试考法 24 6. 2 025个有理数相乘，如果积为0，那么在2 025个有理数 中( ) C A. 全部为0 B. 只有一个数为0 C. 至少有一个数为0 D. 有两个数互为相反数 返回 考试考法 25 7. 小阳在计算 时，不小心将 一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数，导致他无法计 算，在求助老师时，老师告诉他：“被盖住的数是4，7，10， 11中的一个，并且这道题直接用乘法结合律来计算会非常简 便”，则被盖住的数最可能是( ) B A. 4 B. 7 C. 10 D. 11 返回 考试考法 26 8.计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . 考试考法 27 （3） . 原式 . 返回 考试考法 有理数乘法 有理数乘法运算律 多个有理数相乘 乘法交换律：a×b＝b×a 乘法对加法的分配律： a×(b＋c) = a×b＋a×c 几个不是零的数相乘，负因数的个数为奇数时，积为负数；偶数时，积为正数 有一个因数为 0，积为 0 乘法结合律： (a×b)×c ＝ a×(b×c) 课堂小结 谢谢观看！ $