2.6 正多边形与圆 同步训练 2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2.6 正多边形与圆 同步训练 一、单选题 1．如图，正方形内接于，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（   ） A． B．6 C．24 D．12 3．如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，若⊙O是正方形与正六边形的外接圆，则正方形与正六边形的周长之比为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点O，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在的内接正五边形中，，交于点，则图中等腰三角形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二、填空题 7．如图，是正五边形的边上的动点（与点不重合），连接，则的度数的取值范围是 ． 8．如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A~H）且顺次连接点A~H构成正八边形，则该正八边形的中心角为 度． 9．正三角形外接圆和内切圆的周长之比为 10．如图，正九边形的两条邻边分别与相切于点、，点在上，连接、，则的度数为 ． 11．如图，将两个全等的边长为6的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为、，连接，则的长为 ． 三、解答题 12．一个多边形的所有内角与它的外角和的和是． (1)求该多边形的边数； (2)若该多边形为正多边形，求中心角的度数． 13．请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，圆内多边形是矩形，请作出该圆的圆心；点 即为所求； (2)在图2中，圆内正多边形是正五边形，请作出垂直的直径．线段 即为所求． 14．大圆O和小圆O为同心圆，正六边形为大圆O的内接正六边形，连接．连接与交于点K，同时小圆O与相切于点K． (1)求证：是小圆O的切线． (2)若，求阴影部分的面积．（结果用表示） 15．如图，已知，请用尺规做的内接正四边形．（保留作图痕迹，不写做法） 16．今年假期，你有没有和父母或者小伙伴一起走进影院去看一下国漫电影《哪吒2》呀？影片中，玉虚宫的镇宫之宝“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八边形”的宫殿，你想知道这座建筑有多大吗？ 问题一：要求出“正八边形”的面积，我们可以把一个“正八边形”均分成八个顶角为______度的等腰三角形； 问题二：中，，，，求的面积和的值分别是多少？（可以作的中垂线交于D，交于E，则为等腰三角形，） 问题三：若“正八边形”的边长为，求：正八边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】此题主要考查了正多边形和圆，根据正方形内接于即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴的度数， 故选：A． 2．C 【分析】本题主要考查了正多边形， 先画出图形，可知，再作，即可求出，然后根据勾股定理求出，进而求出答案. 【详解】解：设正六边形的中心O，一边是，则，作于点G， 可知是等边三角形，且正六边形是由6个等边三角形组成. 如图，在中，， ∴， ∴， 所以这个正六边形的面积. 故选：C. 3．B 【分析】根据正多边形的性质求和的度数，再根据是的中点求，进而求的度数，最后根据圆周角定理可得． 【详解】解：连接． ∵六边形是正六边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形与圆、圆周角定理，熟练掌握正多边形的相关计算是解题关键． 4．A 【分析】本题考查了正多边形和圆，找出圆内接正方形与内接正六边形的边长关系，是解决问题的关键．由圆与正方形和正六边形性质知，正方形边长等于外接圆半径的倍，正六边形边长与外接圆半径相等，则结果可求． 【详解】解： 连接，如图所示： 设此圆的半径为R， ∵在正方形中， , 则内接正方形的边长， ∵在正六边形中， ， 为等边三角形， 则内接正六边形的边长， ∴内接正方形和内接正六边形的边长之比为， ∴正方形与正六边形的周长之比 ． 故选：A． 5．B 【分析】本题考查多边形的内角与外角，掌握正八边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键． 根据正八边形的性质以及圆周角定理进行计算即可． 【详解】解：如图，由正八边形的对称性可知，点是正八边形的中心， 所以， 故选：B． 6．C 【分析】本题主要考查了正多边形的圆，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关性质定理． 根据正五边形的性质，可得，进而得到图中等腰三角形有：，，，，，共5个． 【详解】解：由题可得，，，， ，， ， 图中等腰三角形有：，，，，，共5个． 故答案为：C． 7． 【分析】本题考查了正五边形以及圆周角定理，解题的关键是掌握正五边形的性质以及圆周角定理． 正五边形的中心角为，进而可以求出，得出的度数的取值范围即可． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形的中心角为， ， 点P与点A，E不重合， ∴的度数的取值范围是． 故答案为：． 8．45 【分析】本题主要考查了正多边形的中心角，解题的关键是掌握中心角公式． 根据正多边形的中心角公式进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， ， ∴正八边形的中心角为， 故答案为：． 9． 【分析】本题主要考查了正三角形的外接圆和内接圆的周长．设点O是正三角形的内心，连接，过点O作于点D，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，设点O是正三角形的内心，连接，过点O作于点D，则， ∴， ∴正三角形外接圆和内接圆的周长之比为． 故答案为： 10． 【分析】根据正九边形的性质求出内角的度数，再根据切线的性质得到，由三四边形的内角和是求出的度数，由周角的定义以及圆周角定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，， 正九边形的两条邻边分别与相切于点、， ， 又正九边形的一个内角， ， ， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，连接，设与相交于点，则，，由正六边形的性质得是等边三角形，即得，，利用勾股定理求出即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与相交于点，则，， ∵多边形是正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 12．(1) (2) 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，中心角的含义． （1）设该多边形的边数为，根据多边形的内角和与外角和可得方程，解之即可. （2）利用（1）的结论，可得该多边形是正七边形，然后利用中心角的含义：正边形的每个中心角都等于,进行计算即可解答． 【详解】（1）解：设该多边形的边数为， 由题意可得：， 解得：， ∴该多边形的边数为7. （2）解：由（1）可得该多边形是正七边形， 中心角的度数． 13．(1)作图见解析， (2)作图见解析， 【分析】本题考查了矩形的性质，垂径定理，圆周角定理；熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接，，交点即为圆心． （2）延长交于点，作射线交圆于点，则即为所求． 【详解】（1）解：如图1，连接，，相交于点，则点即为所求． （2）解：如图2，延长交于点，作射线交圆于点，则即为所求． 14．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，设交于H，可证明垂直平分，则，再由切线的性质得到，进而可证明，得到，据此可证明结论； （2）证明是等边三角形，则可求出的长，进而求出的长，求出，则可求出，最后根据即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，设交于H， ∵正六边形为大圆O的内接正六边形， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵小圆O与相切于点K， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H在小圆O上， 又∵， ∴是小圆O的切线； （2）解：∵正六边形为大圆O的内接正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∵小圆O与相切于点K， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆综合，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键． 15．图见解析 【分析】本题考查了作正方形，考查了圆的基本性质，正方形的判定；先在圆上确定一点，连接并延长交于点，再作的垂直平分线交于B、D，连接，则四边形就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形为所作． 垂直平分，为的直径， 为的直径， ， ，，， 四边形是矩形 , 四边形是正方形， 又都在圆上， 四边形是的内接正方形． 16．问题一：45；问题二：，；问题三：． 【分析】本题考查正多边形的有关运算，含的直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握含的直角三角形性质和利用正方形的面积解决正八边形的面积是解决本题的关键． 问题一：根据正八边形分成的八个等腰三角形的顶角组成，可得等腰三角形每个顶角的度数； 问题二：根据及的长可得和的长度，进而可得的长度，的面积，，把相关数值代入计算即可； 问题三：延长正八边形的四条边相交成正方形，则补充的四个小三角形为等腰直角三角形，求得正方形的边长后，正八边形的面积正方形的面积4个等腰直角三角形的面积，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：问题一：八个等腰三角形的顶角组成， 每个顶角的度数为：， 故答案为：45； 问题二：作的中垂线交于D，交于E， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； 问题三：如图，延长正八边形的四条边相交成正方形，则补充的四个小三角形为全等的等腰直角三角形， 正八边形的边长为， ∴， ， 正方形的边长为， 正八边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $