17.5 反证法 课件 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“反证法”核心知识点，通过“一个三角形中最多有一个直角”的情景导入，关联第九章已有知识，搭建从直接证明到间接证明的学习支架，引导学生初步体会反证法含义。 其亮点在于以“探究-归纳-应用”为主线，结合“一起探究”（三角形直角个数）和典例（平行线性质、斜边直角边定理）培养推理意识，巩固练习分层设计强化应用意识。课堂小结系统梳理步骤，助力学生形成结构化认知，教师可直接用于教学，有效引导学生掌握反证法逻辑，提升教学效果。

冀教（2024）版数学8年级上册 第十七章 特殊三角形 17.5 反证法 1.通过实例体会反证法的含义. 2.掌握反证法证明命题的一般步骤，能用反证法进行简单的推理证明. 3.借助实例感受反证法的思想. # 17.5 反证法（初中八年级数学） ## 一、导入新课（5分钟） 1. **情境激趣**：讲述“路边苦李”的故事——王戎七岁时，与小伙伴们在路边发现一棵结满李子的树，其他孩子争相摘李子，王戎却不动，说“这李子是苦的”。引导学生思考：“王戎没吃李子，怎么知道是苦的？”（引导学生说出：如果李子是甜的，路边人多，早就被摘光了，不会剩下满树李子，因此李子是苦的）。 2. **逻辑提炼**：点明王戎的思考方式是“反过来想”——先假设结论不成立，再推出矛盾，从而证明原结论正确。引出课题：“这种特殊的推理方法叫做反证法，今天我们就来学习反证法的原理和应用。” ## 二、探究新知（20分钟） ### （一）反证法的定义与核心思想 1. **定义**：反证法是一种间接证明的方法，它先假设命题的结论不成立（即假设结论的反面成立），然后通过逻辑推理，推出与已知条件、定义、公理、定理等相矛盾的结果，从而证明原命题的结论一定成立。 2. **核心思想**：“否定结论→推出矛盾→肯定结论”，即“正难则反”——当直接证明一个命题有困难时，可采用反证法。 ### （二）反证法的一般步骤 以“证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”为例，梳理反证法的步骤： 1. **第一步：假设结论不成立（反设）** 假设命题的结论反面成立。即假设“三角形的三个内角都大于60°”（“至少有一个”的反面是“全部都不”）。 2. **第二步：推出矛盾（归谬）** 根据假设进行推理：设三角形的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，则∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°，因此∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°。 但三角形内角和定理告诉我们“三角形内角和等于180°”，这与推理得出的“∠A+∠B+∠C>180°”矛盾。 3. **第三步：肯定原结论成立（结论）** 由于假设导致矛盾，说明假设不成立，因此原命题的结论成立，即“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”。 ### （三）反证法的适用场景 1. 直接证明困难的命题（如“两直线平行，同位角相等”的逆命题证明）； 2. 含有“至少”“至多”“唯一”“不可能”等关键词的命题（如“证明：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”）； 3. 否定性命题（如“证明：√2是无理数”）。 ### （四）注意事项 1. 反设时要准确把握结论的“反面”，避免反设错误（如“大于”的反面是“小于或等于”，而非“小于”；“至少有一个”的反面是“一个也没有”）； 2. 归谬时的推理必须严谨，矛盾的产生要与已知条件、定义、公理等相关，不能凭空制造矛盾； 3. 反证法的核心是“矛盾”，没有矛盾则无法证明原结论成立。 ## 三、例题讲解（12分钟） ### 例题1：基础应用（证明“唯一性”命题） - 题目：证明：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 - 解答： 1. 先证明“存在性”（略，已学过过直线外一点可作一条直线与已知直线平行）； 2. 再用反证法证明“唯一性”： ① 假设经过直线l外一点P，有两条直线a、b都与直线l平行； ② 根据平行公理的推论“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”，可得a∥b； ③ 但直线a、b都经过点P，两条互相平行的直线不能有公共点，这与“a、b都过P点”矛盾； ④ 因此假设不成立，原结论成立，即经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 - 强调：“唯一”的反面是“至少有两个”，反设时要明确这一点。 ### 例题2：综合应用（证明几何命题） - 题目：证明：在△ABC中，如果AB≠AC，那么∠B≠∠C。 - 解答： 1. 反设：假设∠B=∠C； 2. 归谬：根据“等角对等边”的性质，若∠B=∠C，则AB=AC；但已知条件是AB≠AC，这与推出的“AB=AC”矛盾； 3. 结论：因此假设不成立，原命题成立，即如果AB≠AC，那么∠B≠∠C。 - 小结：这是“正难则反”的典型案例，直接证明“AB≠AC→∠B≠∠C”不易，通过反设“∠B=∠C”，利用已有性质推出矛盾，简化证明过程。 ### 例题3：拓展应用（证明无理数） - 题目：证明：√2是无理数。 - 解答： 1. 反设：假设√2是有理数，那么可设√2=q/p（p、q为互质的正整数，即p、q的最大公因数为1）； 2. 归谬：两边平方得2=q²/p²，即q²=2p²，因此q²是偶数，所以q也是偶数（偶数的平方是偶数，奇数的平方是奇数）；设q=2k（k为正整数），则(2k)²=2p²，化简得4k²=2p²，即p²=2k²，因此p²也是偶数，p也是偶数； 3. 此时p、q都是偶数，说明它们的最大公因数至少为2，与“p、q互质”矛盾； 4. 结论：因此假设不成立，√2是无理数。 - 强调：反证法在数论证明中应用广泛，关键是通过代数运算推出与“互质”“整数”等定义的矛盾。 ## 四、课堂练习（8分钟） 1. 基础题：用反证法证明“在一个三角形中，最多有一个直角”，第一步应假设（ ） A. 三角形中有一个直角 B. 三角形中有两个直角 C. 三角形中有三个直角 D. 三角形中没有直角（答案：B） 2. 中档题：证明：垂直于同一条直线的两条直线平行（提示：反设两条直线不平行，即相交，推出与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾）。 3. 拓展题：证明：在△ABC中，若∠A>∠B>∠C，则∠C<60°（提示：反设∠C≥60°，推出∠A+∠B+∠C>180°，与内角和定理矛盾）。 - 要求：学生独立完成，教师巡视指导，重点关注反设是否准确、推理是否严谨，最后集体订正，讲解易错点（如反设错误、矛盾推导不充分）。 ## 五、课堂小结（2分钟） 1. 引导学生回顾：反证法的定义、一般步骤是什么？（反设→归谬→结论） 2. 强调关键点： - 反设是核心，要准确把握结论的反面； - 归谬要严谨，矛盾需与已知条件、定义、公理等相关； - 适用场景：直接证明困难、含“至少”“唯一”等关键词的命题。 3. 总结思想方法：反证法体现了“正难则反”的数学思想，为解决复杂命题提供了新的思路，后续学习中会在几何、代数等领域进一步应用。 学习目标 在证明一些命题为真命题时，一般用直接证明的方法，但有时用间接的证明方法可能更方便.反证法就是一种常用的间接证明方法. 情景导入 在第九章中，我们已经知道“一个三角形中最多有一个直角”这个结论.怎样证明它呢? 思考： 该命题直接去证明，显然比较麻烦，所以，我们如何去证明呢？ 情景导入 已知：如图17-5-1，∆ABC. 求证：在∆ABC中，如果它含直角，那么它只能有一个直角. 学生活动一 【一起探究】 探究新知 证明：假设∆ABC中，有两个（或三个）直角，不妨设∠A=∠B=90°. ∵∠A+∠B=180°， ∴∠A+∠B+∠C>180°. 这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾. 因此，三角形有两个(或三个)直角的假设是不成立的.所以，如果三角形含直角，那么它只能有一个直角. 探究新知 现在你能总结反证法的一般思路吗？ 学生活动二 【归纳总结】 探究新知 反证法证明的一般步骤： 第一步，假设命题的结论不成立。 第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果。 第三步，由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的。 探究新知 例1：用反证法证明平行线的性质定理一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.已知:如图，已知AB ∥CD，直线EF分别于直线AB,CD交于点G,H,∠1和∠2是同位角. 求证： ∠1= ∠2. 典例精讲 证明：假设∠1 ≠ ∠2 过点G作直线MN，使得∠EGN= ∠1 . ∵ ∠EGN= ∠1 , ∴MN ∥CD（基本事实） 又∵ AB ∥CD（已知） ∴过点G有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行， 这与“经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾。 ∴ ∠1 ≠ ∠2的假设是不成立的。 因此， ∠1= ∠2. 典例精讲 例2 用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 已知：如图，在 △ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′ = 90°，AB=A′B′，AC=A′C′， 求证：△ABC≌△A′B′C′. 典例精讲 证明：假设△ABC与△A′B′C′不全等，即BC≠B′C′. 不妨设BC＜B′C′.如图.在B′C′上截取连接A′D . 在△ABC和△A′B′C′中， ∵AC = A′C′，∠C = ∠C′，CB = C′D， ∴△ABC≌△A′DC′(SAS). ∴AB = A′D(全等三角形的对应边相等). ∴AB = A′B′ (已知)， ∴A′B′ = A′D(等量代换). 典例精讲 接上页证明∴∠B′ = ∠A′DB′(等边对等角). ∴∠A′DB′ ＜90°(三角形的内角和定理)， 即∠C′＜∠A′DB′＜90°(三角形的外角大于和它不 相邻的内角). 这与∠C′＝90°相矛盾. 因此，BC≠B′C′的假设不成立， 即△ABC与△A′B′C′不全等的假设不成立. 所以，△ABC≌△A′B′C′. 典例精讲 1．用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步　　　　　　.　　　　　　　　2．“a<b”的反面应是 （ ） A．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b 巩固练习 3．证明“在⊿ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设：（ ） A．三角形中至少有一个直角或钝角 B．三角形中至少有两个直角或钝角 C．三角形中没有直角或钝角 D．三角形中三个角都是直角或钝角 巩固练习 4．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中（ ） A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60° C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60° 巩固练习 5．完成下列证明．在△ABC中，若∠C是直角， 那么∠B一定是锐角． 证明：假设结论不成立， 则∠B是 或 ， 当∠B是 时，则 ，这与 矛盾； 当∠B是 时，则 ，这与 矛盾． 综上所述，假设不成立． ∴∠B一定是锐角． 巩固练习 1. ［2025石家庄新华区月考］用反证法证明命题“三角形中 必有一个内角小于或等于 ”时，首先应假设这个三角形中 ( ) C A. 有一个内角大于 B. 有一个内角小于 C. 每一个内角都大于 D. 每一个内角都小于 返回 考试考法 18 2. 如图，在中，，点 为 内一点，连接,, ， ，求证： ，用反证 法证明时应先假设( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 19 3. 命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相 平行”，用反证法证明时，最终推出与( )矛盾. B A. 两点确定一条直线 B. 在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条 C. 过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条 D. 垂直的定义 返回 考试考法 20 4.用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补. 【解】已知:如图,,,都被 所截. 求证: .; 考试考法 21 证明:假设 . , . , ,这和平角为 矛盾. 假设 不成立,即 . 返回 考试考法 5. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以 归纳为以下三个步骤： ，这与三角形的内角 和为 相矛盾，所以 不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角，， 中有两个直角，不妨设 . 正确的顺序应为( ) D A. ①②③ B. ①③② C. ③②① D. ③①② 返回 考试考法 23 反证法证明的一般步骤： 第一步，假设命题的结论不成立。 第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果。 第三步，由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的。 课堂小结 谢谢观看！ $