第10讲 平面向量 极化恒等式讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习资料聚焦极化恒等式专题，围绕数量积定值、最值、范围等高考核心考点，按“证法推导—转化思想—7类题型分层”架构梳理知识，通过考点解读、解题策略提炼、典型例题精讲、分层训练四个环节，帮助学生构建从抽象数量积到直观模长运算的转化路径，突破向量问题难点。 资料突出“化繁为简”教学创新，以“抓中点—构模型—转平方差”为主线，结合几何直观培养数学眼光，通过圆轨迹最值分析等实例发展逻辑推理能力。设置基础巩固、能力提升、综合应用三级训练，配合即时反馈设计，助力学生高效掌握技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支持。

第10讲 极化恒等式 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 8 题型归纳 9 题型1：求向量数量积的定值 9 题型2：最值问题 11 题型3：取值范围问题 13 题型4：求向量数量积的最值范围--两向量共同的起点为动点 14 题型5：求向量数量积的最值范围--两向量终点均为动点 15 题型6：求向量数量积的最值范围--两向量的起点和终点均为动点 16 题型7：求参问题以及其它问题 18 巩固提升 18 极化恒等式是解决平面向量数量积问题的高效工具，在高考中常以选择题、填空题形式出现，偶见于解答题的向量环节，核心是将抽象数量积转化为直观模长运算，大幅简化计算、降低思维成本。以下从考查维度、核心特点、解题价值、命题趋势与备考建议展开分析。 一、高考命题特点 1. 位置与难度：多位于选择、填空的中间偏难题，分值5分，属于“技巧性送分题”，掌握方法可快速得分，未掌握则运算量大、易出错。 2. 题干特征：常出现“中点”“三等分点”“动点轨迹”“数量积求值/最值”等关键词，提示可优先用极化恒等式。 3. 核心价值：规避复杂基底代换与角度计算，通过构造中点、转化模长，将问题转化为线段长度的平方差，体现“化繁为简”的命题导向。 二、解题核心价值 1. 简化运算：无需用基底展开或坐标运算，直接利用图形性质求模长，大幅减少计算步骤（如矩形中四等分点的数量积计算，用极化恒等式可一步到位）。 2. 突破轨迹难点：解决动点数量积最值时，通过“找中点→定中线→求模长范围”，快速锁定临界位置（如P在圆上时，利用圆心到中点距离与半径确定PM的最值）。 3. 衔接几何与代数：强化直观想象与数学运算素养，为复杂向量综合题提供简化路径。 三、命题趋势与备考建议 1. 命题趋势：新高考更注重核心素养，极化恒等式作为“数形结合”的典型工具，考查频率呈上升趋势，且常与等和线、奔驰定理等向量工具交叉命题，提升综合应用要求。 2. 备考建议 ◦ 吃透核心模型：熟练掌握三角形模式的公式推导与几何意义，牢记“取中点→定基线→算平方差”的核心步骤。 ◦ 针对性刷题：聚焦中点、轨迹（圆、线段）、多中点综合三类题型，总结临界位置的判断方法（如圆的切线、线段端点）。 ◦ 结合其他工具：与建系法、等和线定理配合使用，应对复杂综合题，提升解题灵活性。 1. 知识目标：理解极化恒等式的核心公式及推导逻辑，掌握其几何意义（数量积转化为中线与半底边长的平方差），明确适用场景（含中点、数量积求值/最值等）。 2. 能力目标：能快速识别极化恒等式的适用题型，熟练通过“取中点→定基线→算平方差”三步法求解向量数量积，会结合圆、线段等轨迹求数量积的最值/范围，提升化繁为简与数形结合的解题能力。 3. 素养目标：在公式应用与几何转化中，深化数学运算、直观想象、逻辑推理核心素养，体会“抽象数量积→直观模长运算”的转化思想，掌握向量问题的高效解题技巧。 极化恒等式是解答向量问题的重要工具. 设 、 为两个向量,则 ,该式称为极化恒等式. 在解答向量的数量积问题时, 灵活运用极化恒等式可使问题快速获解. 一、极化恒等式的三种证法 证明极化恒等式的思路有三种. 证法 1. 由完全平方式可得 , 将上述两式相减得 ,可得 . 由该式可知, 两向量的数量积等于两向量的和、 差的平方差. 证法 2. 如图 1,设 ,其中 为平行四边形 的两条邻边. 图 1 由三角形法则可得 , 所以 , 将上述两式相减可得 即 . 由该式可知, 平行四边形两邻边的向量之积等于两对角线平方之差. 证法 3. 如图 2,在 中,设 为 的中点, 设 ,其中 为 的两条邻边. 由三角形法则可得 . 则 图 2 由该式可知,三角形两邻边的向量之积等于中线的平方与第三边一半的平方差. 二、极化恒等式中的转化思想 1、化动为定，破不定之惑 一般地，使用极化恒等式化解平面向量数量积问题具有较好的效果，但有些极化恒等式问题因涉及动点问题或运动变化等因素，使得问题的化解增加了难度，有时甚至会使极化恒等式的功效发挥不了，使解题者陷入困境．但若能将动态问题定态化处理，那么问题便可柳暗花明又一村． 已知的斜边的长为4，设是以为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是（ ）． A．B．C．D． 【解析】如图所示，在上，不妨取的中点，则． 设圆的半径为，而，则： ． 因此的取值范围是． 2、化动为静，破多动点之惑 极化恒等式使用的难点是动点问题，而其中涉及多个动点问题则是难上加难，让许多学生束手无策，使平面向量问题的难度增加，因此寻求破解的方法和策略显得尤其重要．一般地，可以通过将动态问题静态化来处理，这样的策略可以使得多动点问题转化为少动点问题，通过这样类似的转化直至降到一个动点问题或定点问题，然后再采用“化动为定”的策略，问题便迎刃而解． 3、化曲为直，破最值之惑 极化恒等式问题的破解之中，有些问题涉及动点的运动状态是一个曲线状态或曲折状态，如果直接运用极化恒等式往往使学生无从下手，一筹莫展，而对这类问题突破的基本原则或策略应是“化曲为直”，主要是借助有关平面几何性质将“曲折问题”得以化解． 【解析】在中，，若点A、B分别在直角坐标系的两坐标轴上运动时，的最大值是_____________． 如图所示，不妨取的中点为M，的中点为N，则由极化恒等式可得，结合三角形边长关系（两边之和大于第三边），对于，答案为18． 4、化普通为特殊，破极限之惑 平面向量极化恒等式应用问题，如果涉及的几何图形具有一般性，那么这类问题就更有“拦路虎”功能．解题的一个重要策略是取问题极限状态或特殊位置法进行，极限状态问题的化解是解决一般性问题的特殊情况，当然也要验证特殊状态位置是运动状态的两个极限，否则就不一定成立． 在锐角中，已知，则的取值范围是____________． 解析： 1. 如图，取的中点M，可得，应长度变化的极限位置是为直角三角形时的状态，而成为直角的可能有两种情况，即为直角和为直角．下面分两种情况进行分析：过点C作，垂足为，此时； 过点C作，垂足为C，此时，， 因此，故取值范围是． 三、极化恒等式的作用和使用范围 1、极化恒等式的作用： 建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化。 2、极化恒等式的适用范围： （1）共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化； （2）不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移， 等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题。 四、极化恒等式使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积， 如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小 或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边 或用基本不等式等求得中线长的最值(范围). 极化恒等式解决向量数量积和平面向量几何中应用 知识点一：极化恒等式及其推论 （1）极化恒等式： ①公式推导： ②几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． （2）平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． （3）三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． ①推导过程：由. ②记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差． （4）极化恒等式的适用范围： ①共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化； ②不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题. 知识点二：用向量方法解决平面几何 （1）用向量方法解决平面几何问题的步骤 ①建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系. （2）利用向量证明平面几何的两种经典方法及步骤： 〈1〉线性运算法 ①选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）； ②利用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； ④把计算结果“翻译”为几何问题. 〈2〉坐标运算法 ①建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）； ②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系； ④利用向量关系回答几何问题. 知识点三：平面几何中问题的具体转化方法 ①证明线段，可转化为证明； ②求线段的长度，通过建系或者线性运算用已知向量求模长； ③证明线段，只需证明存在一个实数，使成立； ④证明两线段，只需证明数量积； ⑤证明三点共线，只需证明存在一个，使成立. ⑥求向量数量积：通过建系或者线性运算用已知向量来表示所求向量再求数量积； 极化恒等式的解题核心是 “抓中点→构模型→转平方差”，将抽象向量数量积转化为直观的线段长度运算，避开复杂角度与基底代换，具体策略如下： 一、解题前提：锁定适用场景与核心模型 1. 适用题型信号（优先用极化恒等式） • 题干含“中点、三等分点、中点连线”； • 求向量数量积（\vec{a}·\vec{b}）的定值、最值或范围； • 动点轨迹为圆、线段、三角形（可转化为“定点+中点”模型）。 2. 核心模型（高考唯一高频模型） 二、避坑指南 1. 勿找错“定线段”：必须是两个向量的终点构成的线段2. 中点M必须是定线段AB的中点，而非动点的中点； 3. 圆轨迹求最值时，注意“圆心到M的距离”而非“原点到M的距离”； 4. 向量方向不影响结果：极化恒等式中平方项可抵消方向影响，无需考虑向量夹角。 题型1：求向量数量积的定值 【典型例题1】在中，是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)，且，，则的值是 ． 【答案】/0.875 【解析】由题意， 在中，是BC的中点， ， ∴ ∵，是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)， ∴，， ∴解得 ∴． 故答案为：. 【变式训练1-1】如图,在中,已知,点分別在边上, 且,若为的中点,则的值为________ 【变式训练1-2】如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则 A． B． C． D． 【变式训练1-3】向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【变式训练1-4】向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（    ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 题型2：最值问题 【经典例题1】四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】由题设，，取的中点，连接，，， 则，， 所以. 故答案为： 【经典例题2】已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】如图所示，由正六边形的几何性质可知，，，，，，均是边长为4的等边三角形， 当点位于正六边形的顶点时，取最大值4， 当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即， 所以． 所以， 即的最小值为8． 故选：D 【变式训练2-1】如图，是圆O的一条直径且，是圆O的一条弦，且，点P在线段上，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】如图所示,正方形的边长为分别在轴,轴的正半轴(含原点)上滑动,则的最大值是_________ 题型3：取值范围问题 【经典例题1】线段是圆的一条直径，且是圆上的任意两点，，动点在线段上，则的取值范围 ． 【答案】 【解析】由题意知，连接，为的中点， 则， 可得， 又因为，则圆心O到直线CD的距离为， 由点P在线段CD上可知，则， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练3-1】如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型4：求向量数量积的最值范围--两向量共同的起点为动点 【经典例题1】如图,已知是圆的直径,长为是圆上异于的一点,是圆所在平面上的任意一点,则的最小值为. 【答案】 【解析】由题意可知, 则, 取中点,连接, 由极化恒等式得, 又,可得的最小值为. 【变式训练4-1】已知是长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是 【变式训练4-2】已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为（） A．B．C．D． 【变式训练4-3】圆的直径弦，点在弦上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-4】四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-5】在面积为2的平行四边形中，点P为直线上的动点，则的最小值是_______． 【变式训练4-6】四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________. 【变式训练4-7】设锐角的面积为1,边的中点分别为为线段上的动点,则的最小值为_______ 题型5：求向量数量积的最值范围--两向量终点均为动点 【经典例题1】如图直角梯形中，是边上长为的可移动的线段，，，，则的最小值为，最大值为.    【答案】99148 【解析】在上取一点，使得，取的中点，连接,，如图所示： 则,，，，即， ， 当时，取得最小值，此时，所以. 当与重合时，，，则， 当与重合时，，，则， 所以， 故答案为：99；148. 【变式训练5-1】如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心､半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练5-2】如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则（ ） A． B． C． D． 题型6：求向量数量积的最值范围--两向量的起点和终点均为动点 【经典例题1】如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得，再由的范围，即可得到结果. 由题意可得， ， 当与正六边形的边垂直时，， 当点运动到正六边形的顶点时，， 所以，则，即. 故选：B 【变式训练6-1】窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 . 题型7：求参问题以及其它问题 【经典例题1】在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________． 【答案】 【解析】取线段MN的中点P，连接CP，过C作于O，如图，， 依题意，， 因的最小值为3，则的最小值为2，因此， 在中，，，在中，，， 所以. 故答案为： 【变式训练7-1】设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为___________. 【变式训练7-2】设点P为正三角形△ABC的边BC上的一个动点，当取得最小值时，的值为 . 【变式训练7-3】已知正方形的边长为4，点，分别为，的中点，如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有8个不同的点，使得成立，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 巩固提升 一、单选题 1．已知向量，，若，则（    ） A． B． C．7 D．8 2．如图，已知正八边形的边长为1，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．在中，，且，是的中点，是线段的中点，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 4．在同一直角坐标平面内，已知点，点P满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知是圆：的直径，、是圆上两点，且，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 6.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 7.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（    ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 8.已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A． B． C． D． 9.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（    ） A． B．0 C． D． 10.已知平面向，，，， ，若，则的最大值为（    ） A．8 B． C． D． 11.已知在△ABC中，，，，，P在CD上，，则的值为（    ） A． B． C．4 D．6 12.在中，内角所对的边分别为，且，点为外心，则（    ） A． B． C．10 D．20 13.如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14.在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15.在中，点E，F分别是线段的中点，点在直线上，若的面积为4，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 二、多选题 1.已知平面内三点，，，则（    ） A． B． C． D．与的夹角为 三、填空题 1.一个物体受到同一平面内三个力，，的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m.已知，方向为北偏东30°，，方向为北偏东60°，，方向为北偏西30°，这三个力的合力所做的功为 J. 2.正方形的边长为2，以为直径的圆，若点为圆上一动点，则的取值范围为 . 3.如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则的最大值是 ． 4.如图,在中,已知,点分別在边上, 且,若为的中点,则的值为________ 5.如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为 . 6.已知是边长为1的正六边形边上相异的三点，则的取值范围是 . 四、解答题 1.如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 学科网（北京）股份有限公司1 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 极化恒等式 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 8 题型归纳 9 题型1：求向量数量积的定值 9 题型2：最值问题 12 题型3：取值范围问题 15 题型4：求向量数量积的最值范围--两向量共同的起点为动点 18 题型5：求向量数量积的最值范围--两向量终点均为动点 21 题型6：求向量数量积的最值范围--两向量的起点和终点均为动点 23 题型7：求参问题以及其它问题 25 巩固提升 27 极化恒等式是解决平面向量数量积问题的高效工具，在高考中常以选择题、填空题形式出现，偶见于解答题的向量环节，核心是将抽象数量积转化为直观模长运算，大幅简化计算、降低思维成本。以下从考查维度、核心特点、解题价值、命题趋势与备考建议展开分析。 一、高考命题特点 1. 位置与难度：多位于选择、填空的中间偏难题，分值5分，属于“技巧性送分题”，掌握方法可快速得分，未掌握则运算量大、易出错。 2. 题干特征：常出现“中点”“三等分点”“动点轨迹”“数量积求值/最值”等关键词，提示可优先用极化恒等式。 3. 核心价值：规避复杂基底代换与角度计算，通过构造中点、转化模长，将问题转化为线段长度的平方差，体现“化繁为简”的命题导向。 二、解题核心价值 1. 简化运算：无需用基底展开或坐标运算，直接利用图形性质求模长，大幅减少计算步骤（如矩形中四等分点的数量积计算，用极化恒等式可一步到位）。 2. 突破轨迹难点：解决动点数量积最值时，通过“找中点→定中线→求模长范围”，快速锁定临界位置（如P在圆上时，利用圆心到中点距离与半径确定PM的最值）。 3. 衔接几何与代数：强化直观想象与数学运算素养，为复杂向量综合题提供简化路径。 三、命题趋势与备考建议 1. 命题趋势：新高考更注重核心素养，极化恒等式作为“数形结合”的典型工具，考查频率呈上升趋势，且常与等和线、奔驰定理等向量工具交叉命题，提升综合应用要求。 2. 备考建议 ◦ 吃透核心模型：熟练掌握三角形模式的公式推导与几何意义，牢记“取中点→定基线→算平方差”的核心步骤。 ◦ 针对性刷题：聚焦中点、轨迹（圆、线段）、多中点综合三类题型，总结临界位置的判断方法（如圆的切线、线段端点）。 ◦ 结合其他工具：与建系法、等和线定理配合使用，应对复杂综合题，提升解题灵活性。 1. 知识目标：理解极化恒等式的核心公式及推导逻辑，掌握其几何意义（数量积转化为中线与半底边长的平方差），明确适用场景（含中点、数量积求值/最值等）。 2. 能力目标：能快速识别极化恒等式的适用题型，熟练通过“取中点→定基线→算平方差”三步法求解向量数量积，会结合圆、线段等轨迹求数量积的最值/范围，提升化繁为简与数形结合的解题能力。 3. 素养目标：在公式应用与几何转化中，深化数学运算、直观想象、逻辑推理核心素养，体会“抽象数量积→直观模长运算”的转化思想，掌握向量问题的高效解题技巧。 极化恒等式是解答向量问题的重要工具. 设 、 为两个向量,则 ,该式称为极化恒等式. 在解答向量的数量积问题时, 灵活运用极化恒等式可使问题快速获解. 一、极化恒等式的三种证法 证明极化恒等式的思路有三种. 证法 1. 由完全平方式可得 , 将上述两式相减得 ,可得 . 由该式可知, 两向量的数量积等于两向量的和、 差的平方差. 证法 2. 如图 1,设 ,其中 为平行四边形 的两条邻边. 图 1 由三角形法则可得 , 所以 , 将上述两式相减可得 即 . 由该式可知, 平行四边形两邻边的向量之积等于两对角线平方之差. 证法 3. 如图 2,在 中,设 为 的中点, 设 ,其中 为 的两条邻边. 由三角形法则可得 . 则 图 2 由该式可知,三角形两邻边的向量之积等于中线的平方与第三边一半的平方差. 二、极化恒等式中的转化思想 1、化动为定，破不定之惑 一般地，使用极化恒等式化解平面向量数量积问题具有较好的效果，但有些极化恒等式问题因涉及动点问题或运动变化等因素，使得问题的化解增加了难度，有时甚至会使极化恒等式的功效发挥不了，使解题者陷入困境．但若能将动态问题定态化处理，那么问题便可柳暗花明又一村． 已知的斜边的长为4，设是以为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是（ ）． A．B．C．D． 【解析】如图所示，在上，不妨取的中点，则． 设圆的半径为，而，则： ． 因此的取值范围是． 2、化动为静，破多动点之惑 极化恒等式使用的难点是动点问题，而其中涉及多个动点问题则是难上加难，让许多学生束手无策，使平面向量问题的难度增加，因此寻求破解的方法和策略显得尤其重要．一般地，可以通过将动态问题静态化来处理，这样的策略可以使得多动点问题转化为少动点问题，通过这样类似的转化直至降到一个动点问题或定点问题，然后再采用“化动为定”的策略，问题便迎刃而解． 3、化曲为直，破最值之惑 极化恒等式问题的破解之中，有些问题涉及动点的运动状态是一个曲线状态或曲折状态，如果直接运用极化恒等式往往使学生无从下手，一筹莫展，而对这类问题突破的基本原则或策略应是“化曲为直”，主要是借助有关平面几何性质将“曲折问题”得以化解． 【解析】在中，，若点A、B分别在直角坐标系的两坐标轴上运动时，的最大值是_____________． 如图所示，不妨取的中点为M，的中点为N，则由极化恒等式可得，结合三角形边长关系（两边之和大于第三边），对于，答案为18． 4、化普通为特殊，破极限之惑 平面向量极化恒等式应用问题，如果涉及的几何图形具有一般性，那么这类问题就更有“拦路虎”功能．解题的一个重要策略是取问题极限状态或特殊位置法进行，极限状态问题的化解是解决一般性问题的特殊情况，当然也要验证特殊状态位置是运动状态的两个极限，否则就不一定成立． 在锐角中，已知，则的取值范围是____________． 解析： 1. 如图，取的中点M，可得，应长度变化的极限位置是为直角三角形时的状态，而成为直角的可能有两种情况，即为直角和为直角．下面分两种情况进行分析：过点C作，垂足为，此时； 过点C作，垂足为C，此时，， 因此，故取值范围是． 三、极化恒等式的作用和使用范围 1、极化恒等式的作用： 建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化。 2、极化恒等式的适用范围： （1）共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化； （2）不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移， 等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题。 四、极化恒等式使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积， 如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小 或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边 或用基本不等式等求得中线长的最值(范围). 极化恒等式解决向量数量积和平面向量几何中应用 知识点一：极化恒等式及其推论 （1）极化恒等式： ①公式推导： ②几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． （2）平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． （3）三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． ①推导过程：由. ②记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差． （4）极化恒等式的适用范围： ①共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化； ②不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题. 知识点二：用向量方法解决平面几何 （1）用向量方法解决平面几何问题的步骤 ①建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系. （2）利用向量证明平面几何的两种经典方法及步骤： 〈1〉线性运算法 ①选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）； ②利用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； ④把计算结果“翻译”为几何问题. 〈2〉坐标运算法 ①建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）； ②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系； ④利用向量关系回答几何问题. 知识点三：平面几何中问题的具体转化方法 ①证明线段，可转化为证明； ②求线段的长度，通过建系或者线性运算用已知向量求模长； ③证明线段，只需证明存在一个实数，使成立； ④证明两线段，只需证明数量积； ⑤证明三点共线，只需证明存在一个，使成立. ⑥求向量数量积：通过建系或者线性运算用已知向量来表示所求向量再求数量积； 极化恒等式的解题核心是 “抓中点→构模型→转平方差”，将抽象向量数量积转化为直观的线段长度运算，避开复杂角度与基底代换，具体策略如下： 一、解题前提：锁定适用场景与核心模型 1. 适用题型信号（优先用极化恒等式） • 题干含“中点、三等分点、中点连线”； • 求向量数量积（\vec{a}·\vec{b}）的定值、最值或范围； • 动点轨迹为圆、线段、三角形（可转化为“定点+中点”模型）。 2. 核心模型（高考唯一高频模型） 二、避坑指南 1. 勿找错“定线段”：必须是两个向量的终点构成的线段2. 中点M必须是定线段AB的中点，而非动点的中点； 3. 圆轨迹求最值时，注意“圆心到M的距离”而非“原点到M的距离”； 4. 向量方向不影响结果：极化恒等式中平方项可抵消方向影响，无需考虑向量夹角。 题型1：求向量数量积的定值 【典型例题1】在中，是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)，且，，则的值是 ． 【答案】/0.875 【解析】由题意， 在中，是BC的中点， ， ∴ ∵，是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)， ∴，， ∴解得 ∴． 故答案为：. 【变式训练1-1】如图,在中,已知,点分別在边上, 且,若为的中点,则的值为________ 【答案】4 【解析】取的中点,连接,则, 在中,, 【变式训练1-2】如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取HF中点O，则,，因此，选A. 【变式训练1-3】向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【解析】可以把三角形补形为平行四边形，,利用已知条件求解即可. 由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得． 故选：A． 【变式训练1-4】向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（    ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 【答案】D 【解析】由题设有，代入极化恒等式求即可. 由题设，，， . 故选：D 题型2：最值问题 【经典例题1】四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】由题设，，取的中点，连接，，， 则，， 所以. 故答案为： 【经典例题2】已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】如图所示，由正六边形的几何性质可知，，，，，，均是边长为4的等边三角形， 当点位于正六边形的顶点时，取最大值4， 当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即， 所以． 所以， 即的最小值为8． 故选：D 【变式训练2-1】如图，是圆O的一条直径且，是圆O的一条弦，且，点P在线段上，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得， 为使最小，只需最小， 所以只需，根据圆的性质可得，此时为中点， 又，因此， 所以的最小值为. 故选：B 【变式训练2-2】如图所示,正方形的边长为分别在轴,轴的正半轴(含原点)上滑动,则的最大值是_________ 【答案】2 【解析】如图, 取的中点,的中点,连接,则 （当且仅当三点共线时等号成立.)由极化恒等式得 题型3：取值范围问题 【经典例题1】线段是圆的一条直径，且是圆上的任意两点，，动点在线段上，则的取值范围 ． 【答案】 【解析】由题意知，连接，为的中点， 则， 可得， 又因为，则圆心O到直线CD的距离为， 由点P在线段CD上可知，则， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练3-1】如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 又 ， 且，所以． 设与的夹角为， 则． 因为，所以． 故选：C． 【变式训练3-2】在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方法一；依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 方法二：极化恒等式 记AB的中点为M，连接CM，则 由极化恒等式可得： 即 故选：D 题型4：求向量数量积的最值范围--两向量共同的起点为动点 【经典例题1】如图,已知是圆的直径,长为是圆上异于的一点,是圆所在平面上的任意一点,则的最小值为. 【答案】 【解析】由题意可知, 则, 取中点,连接, 由极化恒等式得, 又,可得的最小值为. 【变式训练4-1】已知是长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是 【答案】 【解析】设点为中点,则, 设中点为,连接, 则, 由极化恒等式得, 在中,, 可得, 所以当时,的最小值为, 因此的最小值为 【变式训练4-2】已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为（） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】因为动点满足， 所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如下图所示： 设为的中点， 则； 所以当取最小值时，取得最小值； ， 所以.故选：C 【变式训练4-3】圆的直径弦，点在弦上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据平面向量的线性运算法则，得到，再由圆的性质，得到的最小值，即可得出结果. 由题意可得， ， 为使最小，只需，根据圆的性质可得，此时为中点时， 又，因此， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式训练4-4】四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，四边形为菱形，，可得， 在中，由余弦定理得到， 连接和交于点，则点为的中点， 连接，，，则，， 所以． 故选：B. 【变式训练4-5】在面积为2的平行四边形中，点P为直线上的动点，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】取的中点O，作交于点H 则． 如图所示，当点P运动到点H且使与时，等号成立，故有最小值为． 【变式训练4-6】四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】由题设，，取的中点，连接，，， 则，， 所以.故答案为： 【变式训练4-7】设锐角的面积为1,边的中点分别为为线段上的动点,则的最小值为_______ 【答案】 【解析】解：如图所示,取的中点为点到的距离, 由极化恒等式,, , 则 题型5：求向量数量积的最值范围--两向量终点均为动点 【经典例题1】如图直角梯形中，是边上长为的可移动的线段，，，，则的最小值为，最大值为.    【答案】99148 【解析】在上取一点，使得，取的中点，连接,，如图所示： 则,，，，即， ， 当时，取得最小值，此时，所以. 当与重合时，，，则， 当与重合时，，，则， 所以， 故答案为：99；148. 【变式训练5-1】如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心､半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意，，且，， 所以，， 所以， 易知，当时，最小， 所以，即，解得， 故的最小值为． 故选：B． 【变式训练5-2】如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.由极化恒等式可得：.故选：A 题型6：求向量数量积的最值范围--两向量的起点和终点均为动点 【经典例题1】如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得，再由的范围，即可得到结果. 由题意可得， ， 当与正六边形的边垂直时，， 当点运动到正六边形的顶点时，， 所以，则，即. 故选：B 【变式训练6-1】窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，、、、、、均为边长为的等边三角形， 当点位于正六边形的顶点时，取最大值， 当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即， 所以，. 所以，. 故答案为：. 【变式训练6-2】边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 . 【答案】 【解析】如下图所示： 设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径， ， 当为正方形的某边的中点时，， 当与正方形的顶点重合时，，即， 因此，. 故答案为：. 题型7：求参问题以及其它问题 【经典例题1】在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________． 【答案】 【解析】取线段MN的中点P，连接CP，过C作于O，如图，， 依题意，， 因的最小值为3，则的最小值为2，因此， 在中，，，在中，，， 所以. 故答案为： 【变式训练7-1】设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为___________. 【答案】C为顶角的等腰三角形 【解析】取BC的中点D，连接PD，P0D，如图所示： ，同理，， ，设O为AB的中点， 即三角形ABC为以C为顶角的等腰三角形. 故答案为：C为顶角的等腰三角形． 【变式训练7-2】设点P为正三角形△ABC的边BC上的一个动点，当取得最小值时，的值为 . 【答案】 【解析】取边的中点为，连接线段，设正三角形的边长为 则， 则当取最小值时，也取最小值， 又，此时，点在上靠近的四等分点， 在中，由余弦定理， 可得， 由正弦定理可得：. 【变式训练7-3】已知正方形的边长为4，点，分别为，的中点，如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有8个不同的点，使得成立，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示,设的中点为,则,两式平方相减，所以（可由计划恒等是直接得出）， 即，所以,由对称性可知每个边上存在两个点，所以点在边的中点和顶点之间，故,解得，故选:D 巩固提升 一、单选题 1．已知向量，，若，则（    ） A． B． C．7 D．8 【答案】A 【解析】利用向量的坐标运算及向量共线的坐标表示求出，再利用数量积的坐标表示计算即得. 由向量，，得，由，得， 解得，于是，所以. 故选：A 2．如图，已知正八边形的边长为1，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】建立适当的平面直角坐标系，由向量数量积的坐标公式即可求解. 分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， 可得，，，，， 所以，， 所以． 故选：C． 3．在中，，且，是的中点，是线段的中点，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】建系求出各点的坐标，进而应用数量积的坐标运算即可. 如图，以为原点，，所在直线分别为轴，轴建立直角坐标系， 则，，， 因为是的中点，所以， 因为是线段的中点，所以， 所以，，， 所以， 所以. 故选：C. . 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是建立直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算，从而得解. 4．在同一直角坐标平面内，已知点，点P满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设,由得的轨迹方程，再由向量的坐标表示出，由不等式的性质即可求出结果. 设，， 所以，即， 所以， ，所以的最小值为. 故选：A 5．已知是圆：的直径，、是圆上两点，且，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意设弦的中点为，然后利用平面向量的数量积从而求解. 由题意知，不妨设弦的中点为，因为，则为等边三角形，所以可得， 则，设与的夹角为， 所以， 因为，所以的最小值为，故D正确. 故选：D. 6.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【解析】可以把三角形补形为平行四边形，,利用已知条件求解即可. 由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得． 故选：A． 7.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（    ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 【答案】D 【解析】由题设有，代入极化恒等式求即可. 由题设，，， . 故选：D 8.已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方法一 根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值， 方法二：极化恒等式 解：取的中点,连接,取的中点,连接, 由是边长为2的等边三角形,为中线的中点, 则： 所以. 故选：． 9.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【解析】根据的位置进行分类讨论，根据向量数量积运算求得正确答案. 设， 当与重合时，； 当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知，， 则， 直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为， 当在线段（除）上运动时，设， 所以， 当在线段上运动时，设， 所以， 当在线段（除）上运动时，设， 所以. 综上所述，的最小值为. 故选：C 10.已知平面向，，，， ，若，则的最大值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意由各向量间的夹角以及模长，画出图形利用圆心角和圆周角的关系并由向量数量积定义可得结果. 如下图所示： 令，，， 由余弦定理得，， 因为，所以， 则C点在圆E的优弧AB上运动，可得圆心角， 其中，，，， 则，所以， 所以 故选：B． 11.已知在△ABC中，，，，，P在CD上，，则的值为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【解析】由三点共线求出，再由得出的值. 三点共线，，， 故选：C 12.在中，内角所对的边分别为，且，点为外心，则（    ） A． B． C．10 D．20 【答案】C 【解析】结合图形，利用垂径定理得到，再利用向量的线性运算及数量积运算即可求得结果. 记的中点为，连结，如图， 因为点为的外心，为的中点，所以，则， 所以. 故选：C. 13.如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取中点，连接，求出的取值范围，再根据 结合数量积的运算律求解即可. 取中点，连接， 因为是边长为2的正方形，动点在以为直径的半圆上， 所以当在点或点时，取得最大值， 当在弧中点时，取得最小值， 的取值范围为， 又因为，，， 所以 ， 因为的取值范围为， 所以的取值范围为，的取值范围为， 故选：B 14.在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题. 如图中，O为AB中点， （极化恒等式） 共起点的数量积问题可以使用. 如图，取中点，则由极化恒等式知， ，要求取值范围，只需要求最大，最小即可. 由图，可知最大时，P在D点，即，此时， 最小时，P在O点，即，此时. 综上所得，取值范围为: . 故选：D. 15.在中，点E，F分别是线段的中点，点在直线上，若的面积为4，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】利用图形将转化成，代入即得，根据的面积为4得，利用进行放缩，由即得最小值. 如图，分别过点，作于，于，取中点,连接. 易得，因，， 则， 故① 又的面积为4，因 点E，F分别是线段的中点，易得, 故的面积 ,即得，由图知，, 则由①可得：,当且仅当且时等号成立， 即的最小值是4. 故选：C. 二、多选题 1.已知平面内三点，，，则（    ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】ACD 【解析】根据平面向量的坐标运算，共线的坐标表示，以及数量积运算的坐标表示即可求解. 由题意，得，，，则A正确； 因为，所以与不平行，则B错误； 因为，所以，则C正确； 因为， 且，所以与的夹角为，则D正确. 故选:ACD. 三、填空题 1.一个物体受到同一平面内三个力，，的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m.已知，方向为北偏东30°，，方向为北偏东60°，，方向为北偏西30°，这三个力的合力所做的功为 J. 【答案】 【解析】先建立平面直角坐标系，分别得出三个力，，的坐标，计算其合力的坐标，同时得出位移的坐标表示，用数量积计算合力所做的功即可. 以三个力的作用点为坐标原点，正东方向为x轴正半轴，正北方向为y轴正半轴建立平面直角坐标系，如图所示. 由已知可得，，. ∴. 又位移， 所以. 故这三个力的合力所做的功为. 故答案是：. 2.正方形的边长为2，以为直径的圆，若点为圆上一动点，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设点，根据向量的坐标运算结合正弦值的有界性运算求解. 如图，以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则， ∵圆M为标准单位圆，设点，则， ∴， 又∵，则. 故答案为：. 3.如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则的最大值是 ． 【答案】2 【解析】如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON， 则， 又OMON＋NM＝AD＋AB＝， 当且仅当O，N，M三点共线时取等号． 所以的最大值为2． 故答案为：2. 4.如图,在中,已知,点分別在边上, 且,若为的中点,则的值为________ 【答案】4 【解析】解：取的中点,连接,则, 在中,, 5.如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为 . 【答案】 【解析】先求得的取值范围，再利用向量数量积的运算法则将所求转化为，从而得解. 因为正方形的边长为2，取的中点，连接， 当在点或点时，， 当在弧中点时，， 所以的取值范围为， 因为，， 所以 ， 因为，所以，故， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 6.已知是边长为1的正六边形边上相异的三点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】一方面，而，，不重合，所以；另一方面，设中点为，那么，设在六边形的端点上，同理不妨设在六边形的端点上．分四种情况即可得，剩下的只需证明何时取等并且可以遍历中的每一个数． 首先， ，这里是最长的那条对角线的长度， 等号取到当且仅当同向，且，而这意味着重合，矛盾. 所以. 另一方面，我们先舍弃互不重合的条件，然后证明： 设中点为，那么， 然后，设A所在的边的端点为，则， （这是因为，记，其中为原点，确定的， 那么是一次函数，从而t属于时，有） 所以我们可以不妨设A在六边形的端点上. 同理，我们可以不妨设C在六边形的端点上. 此时分以下四种情况： (1)重合，此时， (2) 为相邻顶点，此时， (3) 相隔一个顶点，此时， (4) 为对径点，此时， 综上，， 所以，即使去掉互不重合的条件，我们仍有， 这就说明，互不重合时，有， 然后，取等条件如图所示： 具体说明如下：构造一个到六边形的函数（即从数映射到点）， 使得，并且只沿着最近的轨道， 这样在的情况下，互不重合 同时设，那么，而连续， 所以在的情况下，必定取遍， 这就意味着，的取值范围就是， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：对分以下四种情况： (1)重合，此时， (2) 为相邻顶点，此时， (3) 相隔一个顶点，此时， (4) 为对径点，此时 四、解答题 1.如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）用、表示，再根据数量积的定义及运算律计算可得； （2）用、表示、，根据数量积的运算律求出，即可得证. （1）因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以，即，所以． 学科网（北京）股份有限公司1 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $