第09讲 平面向量等和线讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量等和线专题，涵盖系数和、积、比值等14类高考高频题型，按“基础定义-解题策略-综合应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理构建等和线与基底、轨迹的内在联系，结合“定基线-作平行线-求系数和”三步法指导，搭配典型例题与变式训练，帮助学生系统突破向量压轴难点。 讲义创新采用“题型模块化+策略模板化”教学方法，如在解决系数和最值问题时，引导学生通过平移等和线结合相似三角形或坐标运算，培养直观想象与数学运算素养。设置从基础巩固到综合提升的分层练习，配合避坑指南与临界位置分析，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生数形结合与转化思想的应用能力。

第09讲 平面向量“等和线” 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 5 题型归纳 5 题型01：利用爪型图（定比分点恒等式）速求参数 6 题型02：利用系数和为1速求参数 7 题型03：等和线和系数为1型 ： 8 题型04：等和线：和系数不全是1型 11 题型05： 等和线题型：型 15 题型06：等和线：系数积型 20 题型07：等和线：系数比值型 22 题型08：等和线题型：分数型 23 题型09：等和线：系数二次型 27 题型10：轨迹型 30 题型11：向量共线定理：构造方程组求系数 31 题型12：向量共线定理：结合不等式求最值 32 题型13： 等和线与数列 35 题型14：综合问题 38 巩固提升 77 等和线是平面向量基本定理的延伸，核心是“平行直线上向量线性组合的系数和为定值”，在新高考中常以选填压轴形式出现，偶见于大题辅助化简，侧重考查数形结合与转化思想，是向量与几何融合的高频热点，难度中等偏上，区分度较强。 一．高频命题方向 • 系数和最值/范围：结合动点轨迹（如圆、线段、区域），用等和线平移找临界（相切、端点）求λ+μ的最值或范围，是高考最常见题型。 • 三点共线判定：利用k=1快速判断三点共线，常嵌入向量线性运算、几何图形证明中。 • 参数计算：已知向量线性表达式与等和线条件，求λ、μ或其他参数值，多与面积比、长度比结合。 • 综合应用：与数量积、模长、夹角等结合，需建系或用几何性质转化后再用等和线求解。 二、解题策略与步骤 1. 标准解题三步法 1. 定基线：确定k=1的等和线（即直线AB），明确基底与起点O。 2. 作平行线：过动点P作AB的平行线（即等和线），结合轨迹约束（如圆、线段）找临界位置（相切、端点）。 3. 求系数和：用相似三角形、长度比或坐标运算，计算对应k值（系数和），得最值或范围。 2. 常用辅助方法 • 建系法：直角三角形选直角顶点为原点，一般三角形选顶点为原点，将向量坐标化，用函数或不等式求系数和范围。 • 几何转化法：遇圆、椭圆等轨迹，利用切线、半径等几何性质确定等和线临界位置。 • 特殊值法：选端点、中点等特殊位置代入，快速验证或求解参数。 三、高考命题趋势与备考建议 1. 趋势分析 • 题型稳定：以选填为主，分值5分，难度中高，侧重系数和最值与范围。 • 融合性强：与几何图形（三角形、圆、四边形）、三角函数、函数最值等结合，考查综合应用能力。 • 思想突出：强调数形结合、转化与化归，弱化复杂运算，突出思维能力考查。 2. 备考建议 • 夯实基础：熟记等和线定理及系数和规律，明确不同位置对应的k值范围。 • 专项训练：针对系数和最值、三点共线、参数计算等题型专项练习，总结临界位置判断技巧。 • 方法融合：灵活运用建系法、几何转化法，根据题目条件选择最优解法，提升解题效率。 • 避坑指南：注意向量起点一致（均为O），若起点不同需先转化；区分等和线位置与k值关系，避免颠倒；关注轨迹约束，防止遗漏临界情况。 1. 知识目标：理解等和线的核心定义（基于平面向量基本定理，平行直线上向量线性组合的系数和为定值），熟记等和线位置与系数和k的对应规律（如直线AB对应k=1、过原点对应k=0等），掌握定理的适用条件（基底固定、向量起点一致）。 2. 能力目标：能快速确定基底与基线（k=1的等和线），会通过平移等和线找临界位置（相切、端点）求解系数和的最值/范围，熟练结合建系法、几何转化法解决等和线与三角形、圆等图形的综合问题，提升数形结合与转化求解能力。 3. 素养目标：在等和线应用中深化逻辑推理、直观想象、数学运算核心素养，体会“几何直观→代数表达→最值求解”的转化思想，掌握向量问题的简化技巧，为解决复杂向量综合题奠定基础。 知识点一：平面向量共线定理推论（爪形结构） 若点互不重合，是三点所在平面上的任意点，且，则三点共线是的充要条件. 证明1.由三点共线. 由得. 即，共线，故A，B，C三点共线. 证明2.由三点共线. 由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得. 故.令，则有. 知识点二：等和线 【问题1】若，那么点在线段的什么位置？ 答：在BC上取一点N，，可以理解为点在直线上运动 【问题2】若时，如何理解点的位置？ 答：则，可以理解为点的轨迹为平行于的直线，且点A到该直线的距离是点A到距离的2倍 等和线定义 平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线上或在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线 等和线性质 性质一：当等和线恰为直线时，等于1； 性质二：定值的变化与等和线到点的距离成正比 【典型例题1】在平行四边形中ABCD中，E和F分别是CD和BC边上的中点，且,其中，则___________. 【解析】连接，交于G，∵共线，则，且 记，则， 【典型例题2】给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°，如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是______. 【解析】设，则,而，当时，取最大值， 平面向量等和线的解题核心是 “定基底→找基线→平移等和线→求系数和”，通过几何直观锁定临界位置，快速解决系数和的最值、范围或参数问题，具体策略如下： 一、解题前提：吃透3个核心要素 1. 明确基底与起点： 2. 牢记基线与k=1：基线是过两基底终点的直线AB，对应系数和λ+μ=1（三点共线充要条件），是所有等和线的“基准线”。 3. 掌握k值变化规律：等和线与基线平行，系数和k随等和线远离起点O而增大，靠近O而减小；过O点的等和线k=0，与基线关于O对称的等和线k=-1。 二、标准解题四步法（通用模板） 第一步：定基底，锁基线 第二步：分析动点轨迹，找临界位置 • 明确动点P的约束条件（如在线段、圆、三角形内），根据轨迹特征确定等和线的平移边界： ◦ 轨迹为线段：临界位置是线段的两个端点（等和线过端点时）； ◦ 轨迹为圆/椭圆：临界位置是与等和线平行的切线（距离起点O最远/最近的切线）； ◦ 轨迹为区域（如三角形）：临界位置是区域的边界线与等和线平行的情况。 第三步：用几何方法求k值（系数和） 1. 相似三角形法（首选）： 2. 建系坐标法（复杂轨迹适用）： 3. 特殊值法（验证用）： 第四步：整合结果，确定答案 • 结合临界位置的k值，确定系数和λ+μ的最值、范围或参数值，注意轨迹是否包含边界（含端点则取等号）。 四、避坑指南 1. 勿忽视起点一致性：若向量起点不同需以A为新起点 2. 等和线必须平行于基线：若平移后直线与基线不平行，不能用等和线定理，需换方法。 3. 圆的切线需注意方向：求最值时，要区分“远离O”和“靠近O”的切线，避免漏算负值（若轨迹在O另一侧，k可能为负）。 4. 相似比对应准确：OH'是起点O到等和线的距离，OH是O到基线的距离，比例关系不能颠倒。 题型01：利用爪型图（定比分点恒等式）速求参数 【典型例题1】在平行四边形ABCD中，点E满足，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】根据向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解. 因为，则， 整理得，可得， 所以. 故选：A. 【变式训练1-1】在中，，．若点满足，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】若D为所在平面的一点，，则（ ）. A. B. C. D. 【变式训练1-3】平行四边形ABCD中，M为BC的中点，若，则_______ 题型02：利用系数和为1速求参数 【典型例题1】如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则 ． 【答案】 【解析】由题可用表示，后由B，P，N三点共线可得答案. ． 因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以． 又B，P，N三点共线，所以，． 【典型例题2】已知向量，不共线，点P满足，x，.证明： (1)若，则点P是线段AB的中点； (2)是A、B、P三点共线的充要条件. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）结合已知，由平面向量线性运算可得，即可证明； （2）根据平面向量的线性运算可证充分性，由共线向量定理和向量的线性运算计算可证必要性，即可证明. （1）因为的，所以，即， 所以，所以，所以P是线段AB的中点. （2）充分性： 若，则，所以， 所以，所以， 所以A、B、P三点共线； 必要性： 因为A、B、P三点共线，所以存在实数x满足：， 所以，即， 所以，所以 综上所述，是A、B、P三点共线的充要条件. 【变式训练2-1】在中，N是AC上的一点，且，P是BN上的一点，设，则实数m的值为______. 【变式训练2-2】如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m＝________． 题型03：等和线和系数为1型 ： 形如，求值或者范围，其中可以理解对应系数如，称之为“和”系数为1.这种类型，可以直接利用“基底线”平移，做比值即可求得 【典型例题1】在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，当时， 可得，从而有；当时，有，根据、、三点共线，可得，进而可得，从而即可求解. 解：由题意，设，，当时，，所以， 所以，从而有；当时，因为（，）， 所以，即， 因为、、三点共线，所以，即. 综上，的取值范围是.故选：C. 【典型例题2】长度都为的向量，的夹角为，点在以为圆心的圆弧（劣弧）上，，则的最大值是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵=m+n，∴2=（m+n）2， ∴，即， 即m2+n2+mn=1，故，（当且仅当m=n时，等号成立）；故，故的最大值为，故答案为． 【典型例题3】.在平行四边形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若,则的最大值为 A．1 B． C． D．3 【答案】D 【解析】分析：由题意结合平面向量数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由AB=1，AD=2,∠BAD=，得BD=，所以∠ABD=∠CDB=90°, 故圆C与BD相切于点D. 又，所以. 所以. △ABC中，则，， 据此可得， 当与方向相同时，取得最大值：， 所以的最大值是3.本题选择D选项. 【变式训练3-1】已知在中，，，，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设，则的最大值为 A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知的内角的对边分别为，且.M为内部的一点，且，若，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P是以C为圆心且与BD相切的圆上，若，则的最大值为（ ） A.3 B. C. D.2 【变式训练3-4】已知在内，且，，则____． 【变式训练3-5】在△ABC中，∠BAC=，以AB为一边向△ABC外作等边三角形ABD，∠BCD=2∠ACD，则____________ ． 【变式训练3-6】已知在中，，，，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设，则的最大值为 A． B． C． D． 【变式训练3-7】如图，A、B、C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若，则λ+μ的取值范围是 A．(-∞,-1) B．(-1,0) C．(0,1) D．(1,+∞) 题型04：等和线：和系数不全是1型 形如，求值或者范围.一般动点多在圆上，则可以通过三角换元，构造三角函数辅助角形式求最值 【典型例题1】已知为等边三角形，动点在以为直径的圆上，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设等边的边长为2，以边的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，通过向量的坐标运算，将、用表示出来，然后利用辅助角公可求出的最大值 解：设的边长为2，不妨以线段的中点为坐标原点， 建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、、，以线段直径的圆的方程为， 设点，则，，， 由于，则，解得， 所以，， 因此，的最大值为，故选:C. 【典型例题2】如图，点是半径为1的扇形圆弧上一点，，，若，则的最小值是（ 　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对两边同时平方可得出的关系，通过三角换元即可求解. 由题：，点是半径为1的扇形圆弧上一点，则， 则， 即，， 化简得：，令， 因为，，，先增大后减小， 所以的最小值为较小值， 即的最小值为，所以的最小值为1.故选：B 【典型例题3】已知正三角形的边长为，是边的中点，动点满足，且，其中，则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以为原点，为轴建立直角坐标系，则得到，由得到，得到答案. 如图所示：以为原点，为轴建立直角坐标系 设，则得到 设 得到 当时有最大值，此时，有最大值故答案选D 【变式训练4-1】在直角梯形中， ， ， ， 分别为， 的中点，以为圆心， 为半径的圆交于，点在弧上运动（如图）.若，其中， ，则的取值范围是 A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知扇形的圆心角是，半径是1，是弧上不与重合的一点，设，若存在最大值，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】O是的外心，，，则（    ） A． B． C． D．或 【变式训练4-4】在矩形ABCD中，，，P为矩形内一点，且若，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【变式训练4-5】在中，，，，为的外心，若，、，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-6】已知正三角形的边长为2，D是边的中点，动点P满足，且，其中，则的最大值为 ． 题型05： 等和线题型：型 【解题攻略】 形如，求值或者范围，有如下思维： 1. 如果动点P在圆上运动，可以通过圆的参数方程转化为辅助角求解。 1. 可以借助等和线，找到=定值，然后代入消元求解单元变量范围或最值 形如，求值或者范围，有如下思维： 2. 如果动点P在圆上运动，可以通过圆的参数方程转化为辅助角求解。 3. 可以借助等和线，找到=定值，然后代入消元求解单元变量范围或最值 1. 【典型例题1】如图，在直角梯形中，，∥，，，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：以 点为坐标原点，方向为 轴， 轴正方向建立直角坐标系，如图所示，设点的坐标为 ，由意可知： ， 据此可得： ，则： ，目标函数： ， 其中 为直线系 的截距， 当直线与圆相切时，目标函数取得最大值 . 当直线过点 时，目标函数取得最小值 ，则的取值范围是 .本题选择B选项. 【典型例题2】已知锐角满足，且O为的外接圆圆心，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，将平方整理得，设，则有，再设，则有==，求解即可. 解：如图所示： 由正弦定理可得：，所以， 在中，由余弦定理可得, 又因为,所以. 又因为， 所以， 即有：，即，所以， 设，可得，又因为为锐角三角形，所以， 所以，设，则有， 所以==， 所以故选：A. 【典型例题3】在直角梯形中，，，，，分别为，的中点，以为圆心，为半径的半圆分别交及其延长线于点，，点在上运动（如图）.若，其中，，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据直角坐标系，根据向量的坐标运算，即可表达出，进而用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解. 分别以所在直线为轴，轴，方向为正方向建立直角坐标系，知, 设，由得：，即 , 则， 由可得：，则，故. 则的取值范围是   . 故选：C 【典型例题4】在中，点满足.若存在点，使得，且，则的取值范围是 ． 【答案】（﹣2，0） 【解析】由，得，结合条件，得到m＝﹣3λ﹣1，n＝3λ﹣1，利用mn＞0．可求出实数λ的取值范围，由此可计算出m﹣n的取值范围． 由，可得，所以，，则m＝﹣3λ﹣1，n＝3λ﹣1， 由于mn＞0，则（﹣3λ﹣1）（3λ﹣1）＞0，即（3λ+1）（3λ﹣1）＜0，解得， ∵λ＞0，所以，，m﹣n＝（﹣3λ﹣1）﹣（3λ﹣1）＝﹣6λ∈（﹣2，0），故答案为（﹣2，0） 【典型例题5】将两个直角三角形如图拼在一起，当点在线段上移动时，若，当取最大值时，的值是 ． 【答案】 【解析】如图所示：设且，由题意知，当 取最大值时，点与点重合．中，由余弦定理 求得 又 ， 故答案为 【变式训练5-1】.上变动（如图所示），若，其中，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】在中，点满足，若线段上的一点满足，则的取值范围是 . 【变式训练5-3】已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则的取值范围为_____． 【变式训练5-4】在中，点满足.若存在点，使得，且，则的取值范围是___． 【变式训练5-5】在平行四边形中，，.若，则 . 题型06：等和线：系数积型 【典型例题1】在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可. 建立如图所示的直角坐角坐标系，过作，垂足为， 因为， 所以有，   ，设，， 因此有因为， 所以有，而， 所以， 当时，有最大值，当，xy有最小值，所以的取值范围是 【典型例题2】如图，已知是以原点为圆心，半径为的圆与轴的交点，点在劣弧（包含端点）上运动，其中，，作于．若记，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点坐标，由向量相等表示 ，转化为二次函数求最值 设， 则 因为，所以，由（2）得：，代入（1）得： 因为，所以，又因为 所以，当时，取得最大值；当时，取得最小值.故选：B 【变式训练6-1】在中，，，是的外心，若，则 . 【变式训练6-2】已知点是的中位线上任意一点，且，实数满足，设、、、的面积分别为，，，，记，，，则取最大值时，的值为 . 题型07：等和线：系数比值型 【典型例题1】设向量,其中.若,则的最小值为 . 【答案】 【解析】根据向量关系建立等式，求出，即可求得的最小值. 由题：向量,其中， 若,即 ， 所以即，解得：，， 当时，取得最小值.故答案为： 【典型例题2】在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上移动，设，则最大值是 . 【答案】4 【解析】建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程，设出，求出三个向量的坐标，用P的坐标表，则，根据直线AP:与有交点,求出范围． 解：以为原点，分别以方向为轴，建立如图所示直角坐标系： 所以，，，，所以，， 因为圆与直线相切，而，圆心，所以半径，所以圆：， 设,则，，又 所以，则，所以 所以表示坐标原点A与点P两点之间连线的斜率的2倍， 因为动点在圆上移动，所以直线AP:与有交点， 则圆心到的距离为解得:，则 所以，则最大值是4.故答案为：4． 【变式训练7-1】在中，，，若（，均大于0），则的值为 . 【变式训练7-2】在中，,是的内心，若，则 A． B． C． D． 题型08：等和线题型：分数型 形如，求值或者范围，一般情况下，则可以通过等和线或者， 然后对采用均值不等式中的“1”的代换技巧。 【典型例题1】如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的的最小值是（       ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【解析】根据平面向量共线定理可设，，，，再结合得，最后运用基本不等式可求解. 设，，，， 则，，，，. 所以， 当且仅当，时等号成立.所以的的最小值是.故选：B 【典型例题2】如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的最小值为 .    【答案】 【解析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最小值. 因为，所以， 所以，又，， 所以，因为，，三点共线，所以，由图可知，， 所以， 当且仅当，即、时取等号，所以的最小值为.   故答案为： 【典型例题3】已知向量，，且，若x，y均为正数，的最小值是 . 【答案】 【解析】根据，得到，再用“”的代换后利用基本不等式即可. ，，即， ， 当且仅当，又即时等号成立.故答案为：. 【典型例题4】在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交或其延长线于不同的两点，且，若的最小值为，则正数的值为 . 【答案】 【解析】利用平面向量的线性运算法则求得，可得，则，展开后利用基本不等式可得的最小值为，结合的最小值为列方程求解即可. 因为点是的三等分点， 则， 又由点三点共线，则， ， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值为 ,则有, 解可得或(舍），故，故答案为2. 【典型例题5】在△ABC中，D为AC上一点且满足，若P为 BD上一点，且满足（为正实数），则的最小值为 . 【答案】4 【解析】由B、P、D三点共线，得，由平面向量的线性运算，又由和平面向量基本定理得到，再由基本不等式知识即可求解．   ∵B、P、D三点共线，∴设 ∵，∴，∴， 由和平面向量基本定理得：，∴，∵为正实数， ∴， 当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为4．故答案为：4． 【变式训练8-1】在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为 A． B． C． D． 【变式训练8-2】在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且，点F为线段BD上的一动点（包含端点），若，则的取值范围为 ． 【变式训练8-4】已知是正实数，的三边长为，点是边(与点不重合)上任一点，且．若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【变式训练8-5】已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则 ；与周长之比的取值范围为 ． 题型09：等和线：系数二次型 形如，求关于二次型值或者范围，有如下思维： （1）图形比较规则，建立直角坐标系来解决向量问题； （2）得到关于的不等式中没有，所以取，建立之间的关系； （3）用判别式求得的范围，化简所求式子至二次函数的形式； （4）根据二次函数的最值及的范围求出最值. 【典型例题1】已知正方形ABCD的边长为1，动点P满足，若，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】建系后，写出四个顶点的坐标，设出动点P的坐标，将已知向量坐标化，得圆的方程再根据向量知识得，，最后利用的几何意义做题即可． 解：以A为原点建立如图所示的直角坐标系： 则，，，，设， ,则由得，化简得：，又，，，，表示圆上的点到原点的距离得平方，其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方，即，故选C． 【典型例题2】已知向量，的夹角为，且，向量满足，且，记，，则的最大值为 . 【答案】 【解析】设, 由共线定理可知点在线段上，设，则 ，根据投影的计算方法，结合三角恒等变换公式，推出 ，可将原问题转化为求的最大值，再利用等面积法，进一步将问题转化为求的最小值，然后结合余弦定理和基本不等式，得解.   设，则， 由，知，即，所以， 因为，所以点在线段上，设，则， 所以 故原问题转化为求的最大值，在中，由余弦定理知， ，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为，因为，所以，即， 所以，即，即， 所以.故答案为： 【变式训练9-1】在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则最大值是 . 【变式训练9-2】设点在以为圆心，半径为1的圆弧上运动（包含、两个端点），，且，则的取值范围为 . 题型10：轨迹型 向量型求动点轨迹： 利用向量几何意义与坐标运算，寻找转化为坐标。 ①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； ③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入. 【典型例题1】在中，，是的内心，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由且，易知动点的轨迹为以为邻边的平行四边形的内部（含边界），在中，由，利用余弦定理求得边，再由和，求得内切圆的半径，从而得到，再由动点的轨迹所覆盖的面积得解. 因为且，根据向量加法的平行四边形运算法则， 所以动点的轨迹为以为邻边的平行四边形的内部（含边界），因为在中，，所以由余弦定理得： ， 所以，即，解得：， ，所以 . 设的内切圆的半径为 ，所以 所以.所以. 所以动点的轨迹所覆盖的面积为：.故选：A 【变式训练10-1】在中，，点满足，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-2】设点M、N分别是不等边的重心与外心，已知、，且．则动点C的轨迹E ； 【变式训练10-3】在中， ，，，是的内心，若，其中，，则动点的轨迹所覆盖的面积为 ． 题型11：向量共线定理：构造方程组求系数 【经典例题1】如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为________ 【答案】2 【解析】， ， 则有 【变式训练11-1】已知△ABC中，，，直线PC与QB交于点O，若，则______． 【变式训练11-2】已知中，，，与相交于点，，则有序数对（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-3】在中，已知，，与交于点O.若，则 . 【变式训练11-4】在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（    ） A． B． C． D．1 题型12：向量共线定理：结合不等式求最值 【典型例题1】在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由题设，如下图示：， 又，， ∴，由三点共线，有， ∴， 当且仅当时等号成立.故选：A 【典型例题2】在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】根据平面向量基本定理，将用和表示，再利用，，三点共线，求得，再利用基本不等式求得最值. 由，，共线，可设， 由,,三点共线，故可设， 则有，解得：， 故， 由题意，，，三点共线， 故可设， 则，整理得， 故， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为 【典型例题3】（多选）如图所示,在凸四边形ABCD中，对边BC，AD的延长线交于点E，对边AB，DC的延长线交于点F,若，，，则（ ） A. B. C. 的最大值为1 D. 【答案】ABD 【解析】显然A正确，注意规律（分点恒等式） 对于B选项： , （分点恒等式） （三点共线定理），故B正确 补充：也可以同梅涅劳斯定理求出B选项. 对于C选项：，故C错误； 对于D选项：，故D正确 【变式训练12-1】在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是 ． 【变式训练12-2】在中，的交点为，过作动直线分别交线段于两点，若，则的最小值为_____. 【变式训练12-3】已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，且其中，则的最小值为 . 【变式训练12-4】如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，.若，，则的最小值是 . 【变式训练12-5】如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设，． (1)若，，求的值；(2)若点为线段的中点，求的最小值． 题型13： 等和线与数列 【经典例题1】如图，平面四边形中，点D为动点，的面积是面积的3倍，数列满足，，当时，恒有，则数列的前6项和为（    ）． A．2020 B．1818 C．911 D．912 【答案】D 【解析】连接交于点，根据，得，则， 再根据，设，，，转化为，根据与不共线，得到，即，变形为，由等比数列的定义得到 是等比数列，得到通项公式，再用累加法得到，然后用分组求和法求解. 如图，连接交于点， 由，得，， 设，，， ，又与不共线， 所以，则，即，所以，所以， 即，所以是以2为首项，4为公比的等比数列， 所以，由，，…，， 累加得，所以， 所以．故选：D． 【经典例题2】如图，点为的边上一点，，为边上的一列点，满足，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据向量的运算、共线向量的表示和等差数列的判定得出数列和的关系. 因为，所以，所以， 因为，且， 所以，得，所以， 又，所以数列表示首项为，公差为的等差数列， 所以.故选：B. 【变式训练13-1】如图，已知点为 的边 上一点， ， 为边 上的一列点，满足 ，其中实数列 中， ， ，则 A．46 B．30 C．242 D．161 【答案】D 【解析】因为 ，所以，设 ，，又因为， ，  以 ，又 ，所以数列表示首项为，公比为的等比数列，所以，,故选D． 【变式训练13-2】已知四边形ABCD，为边BC边上一点，连接交BD于，点满足，其中是首项为1的正项数列，，则的前n项 .    【答案】 【解析】由结合共线向量定理的推论可得，则可求得，再由可得，从而得，则得，然后利用分组求和法可求得结果. 因为，所以， 因为三点共线，所以，所以， 因为，所以是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以，因为，所以， 所以，因为， 所以因为，所以， 所以， 故答案为： 题型14：综合问题 【经典例题1】在中，，，若是的中点，则；若是的一个三等分点，则；若是的一个四等分点，则 (1)如图①，若，用，表示，你能得出什么结论？并加以证明． (2)如图②，若，，与交于，过点的直线与，分别交于点，． ①利用（1）的结论，用，表示； ②设，，求的最小值． 【答案】(1)，证明见解析；(2)①；② 【解析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）①依题意可得，，由、、三点共线，设，结合（1）的结论用，表示出，由、、三点共线，设，同理表示出，根据平面向量基本定理得到方程，求出、，再代入即可； ②依题意可得，，结合①的结论及共线定理即得出，再利用基本不等式即可求解. （1）猜想：， 证明：因为，所以 ，因为，，所以 （2）①若，，则，， 因为、、三点共线，设， 则， 因为、、三点共线，设， 则， 因为与不共线，所以，解得， 所以. ②因为，， 所以，， 所以， 因为、、三点共线，所以， 所以， 因为，所以，， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【经典例题2】在中，过重心的直线与边交于，与边交于，点不与重合.设面积为，面积为. （1）求； （2）求证：； （3）求的取值范围. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【解析】（1）利用三角形重心的性质，又，即可求. （2）设、，由题设得、，而共线则有，由，列方程确定的关系，进而求证结论； （3）由，结合（2）的结论及二次函数的性质，即可求范围. （1）为的重心，若延长交于，则是的中点， ∴，而，即， ∴. （2）设，，又， ∴，，由共线，则有， ∵，， ∴，又， 综上，， ∴，即，可得， ∴，则得证. （3）由（2）知：，而， ∴. 【经典例题3】如图，在等腰梯形中，，，，是的中点.    (1)记，且，求，值； (2)记，是线段上一动点，且，求的取值范围. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）由，将两边平方，结合数量积的运算律及定义得到方程，解得即可； （2）建立平面直角坐标系，利用坐标法表示出数量积，再根据对勾函数的性质计算可得. （1）依题意， 所以， 即， 即，又，解得，（负值舍去）； （2）    过点作，如图建立平面直角坐标系，因为，， 所以，，，，， 所以，，， 因为，所以 所以， 所以 ， 令，， 设且，则， 当时，，则，又， 所以； 当时，，则，又， 所以； 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，，且， 所以， 所以，即的取值范围为. 【经典例题4】如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点． (1)延长交于点Q（图1），求的值； (2)过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，． （i）求证为定值； （ii）设的面积为，的面积为，求的最小值． 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）. 【解析】（1）根据题意，将作为基底表示，由三点共线可知，的系数之和为1，即可求出的值； （2）（i）根据题意，将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1，即可求出为一定值；（ii）根据题意，，，，由可将化为关于的函数，利用函数性质求的最小值即可. （1）依题意，因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 设，则有， 因为三点共线，所以，解得， 即，所以，所以； （2）（i）根据题意, 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线，所以， 化简得， 即为定值，且定值为3； （ii）根据题意，， ， 所以， 由（i）可知，则， 所以， 易知，当时，有最小值，此时. 【经典例题5】已知平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，连接EF交AC于点M，且满足，，，则（ ） A． B．1 C． D．－ 【答案】B 【解析】， 故 【经典例题6】在中，已知，，与交于点O.若，则 . 【答案】 【解析】根据向量线性运算的几何表示可得，，然后利用共线向量的推论即得. 因为，， 所以，，又， 所以，，又与交于点O， 所以，所以，即， 【变式训练13-1】如图,在扇形中,,点在圆弧(包含端点)上运动,若,则的取值范围是 【变式训练13-2】如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 . 【变式训练13-3】如图，在中，点O 是BC 的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设AB=，AC=，则的最小值为 . 【变式训练13-4】在矩形中，已知分别是上的点，且满足．若点在线段上运动，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-5】给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，，则的取值范围为________ 【变式训练13-6】边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含短点)上运动，是圆上及其内部的动点，设向量，则的取值范围是（ ） 【变式训练13-7】如图，在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练13-8】直角梯形,是边长为2的正三角形，是平面上的动点，，，则的值可以为（ ） A. 0 B.1 C.2 D.3 【变式训练13-9】如图，在中，，为线段上的动点，与相交于点，设，，则的最小值为 ． 【变式训练13-10】如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设，则2x+y的最小值为( ) A．－1 B．1 C．2 D．3 【变式训练13-11】如图，在梯形中，，且，点是以为圆心，为半径的圆上的一点，若，则的最小值为 ．    【变式训练13-12】如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若. (1)与的关系；(2)求的最小值 【变式训练13-13】如图，在中，D是BC中点，E在边AB上，且，AD与CE交于点O． (1)用，表示； (2)过点O作直线交线段AB于点G，交线段AC于点H，且，，求t的值； 【变式训练13-14】设是边上的点，,若，则 =（ ） 一、单选题 1．如图，在长方形ABCD中，点M，N分别是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 5.已知点在所在的平面内，且.过点的直线与直线分别交于，设，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6.已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 7.在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8.如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 1.若正方形边长为，点为其内切圆上的动点，，则的取值范围是 . 2.已知在中，点P满足，动点M在的三边及内部运动，设，则的取值范围为 .（用区间表示） 3如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点M，N，满足，，（，），若，则的值为 ． 4.如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 . 5.在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是 ． 6.窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从该窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形内角和为，若，则 ；若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为 ． 7.在中，点满足为线段的中点，过点作一条直线与边分别交于点两点.设，当与的面积比为时，则的值为 . 8.在中，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 ． 9.如图，直角梯形中，，，若为三条边上的一个动点，且，则下列结论中正确的是 ．（把正确结论的序号都填上） ①满足的点有且只有1个； ②满足的点有且只有2个； ③能使取最大值的点有且只有2个； ④能使取最大值的点有无数个． 10.已知为的内心，，且满足，则的最大值为 . 11.如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则 ． 12.中，为边的中点，为中线上的一点且，则的最小值为 . 13.如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，则的最小值为 . 14.如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为 . 三、解答题 1.已知向量，不共线，点P满足，x，.证明： (1)若，则点P是线段AB的中点； (2)是A、B、P三点共线的充要条件. 2.如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. (1)用、表示； (2)求的值. 3.如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，. (1)用与表示； (2)求的取值范围； (3)若点为的重心，是否存在，使得，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 5 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 平面向量“等和线” 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 5 题型归纳 5 题型01：利用爪型图（定比分点恒等式）速求参数 6 题型02：利用系数和为1速求参数 7 题型03：等和线和系数为1型 ： 9 题型04：等和线：和系数不全是1型 16 题型05： 等和线题型：型 24 题型06：等和线：系数积型 32 题型07：等和线：系数比值型 34 题型08：等和线题型：分数型 37 题型09：等和线：系数二次型 46 题型10：轨迹型 50 题型11：向量共线定理：构造方程组求系数 52 题型12：向量共线定理：结合不等式求最值 55 题型13： 等和线与数列 60 题型14：综合问题 64 巩固提升 77 等和线是平面向量基本定理的延伸，核心是“平行直线上向量线性组合的系数和为定值”，在新高考中常以选填压轴形式出现，偶见于大题辅助化简，侧重考查数形结合与转化思想，是向量与几何融合的高频热点，难度中等偏上，区分度较强。 一．高频命题方向 • 系数和最值/范围：结合动点轨迹（如圆、线段、区域），用等和线平移找临界（相切、端点）求λ+μ的最值或范围，是高考最常见题型。 • 三点共线判定：利用k=1快速判断三点共线，常嵌入向量线性运算、几何图形证明中。 • 参数计算：已知向量线性表达式与等和线条件，求λ、μ或其他参数值，多与面积比、长度比结合。 • 综合应用：与数量积、模长、夹角等结合，需建系或用几何性质转化后再用等和线求解。 二、解题策略与步骤 1. 标准解题三步法 1. 定基线：确定k=1的等和线（即直线AB），明确基底与起点O。 2. 作平行线：过动点P作AB的平行线（即等和线），结合轨迹约束（如圆、线段）找临界位置（相切、端点）。 3. 求系数和：用相似三角形、长度比或坐标运算，计算对应k值（系数和），得最值或范围。 2. 常用辅助方法 • 建系法：直角三角形选直角顶点为原点，一般三角形选顶点为原点，将向量坐标化，用函数或不等式求系数和范围。 • 几何转化法：遇圆、椭圆等轨迹，利用切线、半径等几何性质确定等和线临界位置。 • 特殊值法：选端点、中点等特殊位置代入，快速验证或求解参数。 三、高考命题趋势与备考建议 1. 趋势分析 • 题型稳定：以选填为主，分值5分，难度中高，侧重系数和最值与范围。 • 融合性强：与几何图形（三角形、圆、四边形）、三角函数、函数最值等结合，考查综合应用能力。 • 思想突出：强调数形结合、转化与化归，弱化复杂运算，突出思维能力考查。 2. 备考建议 • 夯实基础：熟记等和线定理及系数和规律，明确不同位置对应的k值范围。 • 专项训练：针对系数和最值、三点共线、参数计算等题型专项练习，总结临界位置判断技巧。 • 方法融合：灵活运用建系法、几何转化法，根据题目条件选择最优解法，提升解题效率。 • 避坑指南：注意向量起点一致（均为O），若起点不同需先转化；区分等和线位置与k值关系，避免颠倒；关注轨迹约束，防止遗漏临界情况。 1. 知识目标：理解等和线的核心定义（基于平面向量基本定理，平行直线上向量线性组合的系数和为定值），熟记等和线位置与系数和k的对应规律（如直线AB对应k=1、过原点对应k=0等），掌握定理的适用条件（基底固定、向量起点一致）。 2. 能力目标：能快速确定基底与基线（k=1的等和线），会通过平移等和线找临界位置（相切、端点）求解系数和的最值/范围，熟练结合建系法、几何转化法解决等和线与三角形、圆等图形的综合问题，提升数形结合与转化求解能力。 3. 素养目标：在等和线应用中深化逻辑推理、直观想象、数学运算核心素养，体会“几何直观→代数表达→最值求解”的转化思想，掌握向量问题的简化技巧，为解决复杂向量综合题奠定基础。 知识点一：平面向量共线定理推论（爪形结构） 若点互不重合，是三点所在平面上的任意点，且，则三点共线是的充要条件. 证明1.由三点共线. 由得. 即，共线，故A，B，C三点共线. 证明2.由三点共线. 由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得. 故.令，则有. 知识点二：等和线 【问题1】若，那么点在线段的什么位置？ 答：在BC上取一点N，，可以理解为点在直线上运动 【问题2】若时，如何理解点的位置？ 答：则，可以理解为点的轨迹为平行于的直线，且点A到该直线的距离是点A到距离的2倍 等和线定义 平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线上或在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线 等和线性质 性质一：当等和线恰为直线时，等于1； 性质二：定值的变化与等和线到点的距离成正比 【典型例题1】在平行四边形中ABCD中，E和F分别是CD和BC边上的中点，且,其中，则___________. 【解析】连接，交于G，∵共线，则，且 记，则， 【典型例题2】给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°，如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是______. 【解析】设，则,而，当时，取最大值， 平面向量等和线的解题核心是 “定基底→找基线→平移等和线→求系数和”，通过几何直观锁定临界位置，快速解决系数和的最值、范围或参数问题，具体策略如下： 一、解题前提：吃透3个核心要素 1. 明确基底与起点： 2. 牢记基线与k=1：基线是过两基底终点的直线AB，对应系数和λ+μ=1（三点共线充要条件），是所有等和线的“基准线”。 3. 掌握k值变化规律：等和线与基线平行，系数和k随等和线远离起点O而增大，靠近O而减小；过O点的等和线k=0，与基线关于O对称的等和线k=-1。 二、标准解题四步法（通用模板） 第一步：定基底，锁基线 第二步：分析动点轨迹，找临界位置 • 明确动点P的约束条件（如在线段、圆、三角形内），根据轨迹特征确定等和线的平移边界： ◦ 轨迹为线段：临界位置是线段的两个端点（等和线过端点时）； ◦ 轨迹为圆/椭圆：临界位置是与等和线平行的切线（距离起点O最远/最近的切线）； ◦ 轨迹为区域（如三角形）：临界位置是区域的边界线与等和线平行的情况。 第三步：用几何方法求k值（系数和） 1. 相似三角形法（首选）： 2. 建系坐标法（复杂轨迹适用）： 3. 特殊值法（验证用）： 第四步：整合结果，确定答案 • 结合临界位置的k值，确定系数和λ+μ的最值、范围或参数值，注意轨迹是否包含边界（含端点则取等号）。 四、避坑指南 1. 勿忽视起点一致性：若向量起点不同需以A为新起点 2. 等和线必须平行于基线：若平移后直线与基线不平行，不能用等和线定理，需换方法。 3. 圆的切线需注意方向：求最值时，要区分“远离O”和“靠近O”的切线，避免漏算负值（若轨迹在O另一侧，k可能为负）。 4. 相似比对应准确：OH'是起点O到等和线的距离，OH是O到基线的距离，比例关系不能颠倒。 题型01：利用爪型图（定比分点恒等式）速求参数 【典型例题1】在平行四边形ABCD中，点E满足，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】根据向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解. 因为，则， 整理得，可得， 所以. 故选：A. 【变式训练1-1】在中，，．若点满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【变式训练1-2】若D为所在平面的一点，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】易知，则，即 【变式训练1-3】平行四边形ABCD中，M为BC的中点，若，则_______ 【答案】 【解析】过A点作AE∥BD，且AE=BD，则有,显然，，则，故 题型02：利用系数和为1速求参数 【典型例题1】如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则 ． 【答案】 【解析】由题可用表示，后由B，P，N三点共线可得答案. ． 因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以． 又B，P，N三点共线，所以，． 【典型例题2】已知向量，不共线，点P满足，x，.证明： (1)若，则点P是线段AB的中点； (2)是A、B、P三点共线的充要条件. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）结合已知，由平面向量线性运算可得，即可证明； （2）根据平面向量的线性运算可证充分性，由共线向量定理和向量的线性运算计算可证必要性，即可证明. （1）因为的，所以，即， 所以，所以，所以P是线段AB的中点. （2）充分性： 若，则，所以， 所以，所以， 所以A、B、P三点共线； 必要性： 因为A、B、P三点共线，所以存在实数x满足：， 所以，即， 所以，所以 综上所述，是A、B、P三点共线的充要条件. 【变式训练2-1】在中，N是AC上的一点，且，P是BN上的一点，设，则实数m的值为______. 【答案】 【解析】根据给定条件，利用基底向量表示出，再借助平面向量基本定理列式计算作答. 在中，由得：，因为P是BN上的一点，则有， 即，， 又，且不共线，于是得，解得， 所以实数m的值为. 【变式训练2-2】如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m＝________． 【答案】 【解析】 题型03：等和线和系数为1型 ： 形如，求值或者范围，其中可以理解对应系数如，称之为“和”系数为1.这种类型，可以直接利用“基底线”平移，做比值即可求得 【典型例题1】在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，当时， 可得，从而有；当时，有，根据、、三点共线，可得，进而可得，从而即可求解. 解：由题意，设，，当时，，所以， 所以，从而有；当时，因为（，）， 所以，即， 因为、、三点共线，所以，即. 综上，的取值范围是.故选：C. 【典型例题2】长度都为的向量，的夹角为，点在以为圆心的圆弧（劣弧）上，，则的最大值是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵=m+n，∴2=（m+n）2， ∴，即， 即m2+n2+mn=1，故，（当且仅当m=n时，等号成立）；故，故的最大值为，故答案为． 【典型例题3】.在平行四边形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若,则的最大值为 A．1 B． C． D．3 【答案】D 【解析】分析：由题意结合平面向量数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由AB=1，AD=2,∠BAD=，得BD=，所以∠ABD=∠CDB=90°, 故圆C与BD相切于点D. 又，所以. 所以. △ABC中，则，， 据此可得， 当与方向相同时，取得最大值：， 所以的最大值是3.本题选择D选项. 【变式训练3-1】已知在中，，，，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设，则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图:设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于,过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于,过A作,垂足为,然后根据向量知识将的最大值转化为的最大值来求, 如图:设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于,过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于, 过A作,垂足为,交BC于K，此时圆P的圆心为,BC=5,,,其中,又,所以,当Q在BC的下方时, ; 当Q在BC上时,,当Q在BC的上方时,, 根据平面几何知识,可知当Q为、 D为K时，最大，所以x+y取最大， 所以：x+y的最大值为：．故选：C． 【变式训练3-2】已知的内角的对边分别为，且.M为内部的一点，且，若，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】把已知等式中向量用表示后可求得，由余弦定理得的关系，求出的最值，再由不等式性质得结论． ∵，∴， ∴，又， ∴，， 由余弦定理得， 由（当且仅当时取等号），得， ∴，∴，即的最大值是．故选：A. 【变式训练3-3】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P是以C为圆心且与BD相切的圆上，若，则的最大值为（ ） A.3 B. C. D.2 【答案】A 【解析】根据图形可知，当点P在圆上运动到与A点距离最大时 有最大值，此时，过A点作BD的垂线，如图所示垂足分别为M、N，则 【变式训练3-4】已知在内，且，，则____． 【答案】 【解析】首先根据题意，画出相应的图形，利用题中所给的条件，列出相应的等量关系式，根据平面向量基本定理，得到对应的结果. 如图， 设BO与AC相交于D，则由，可得， 设CO与AB相交于E，则由，可得， 因B,O,D三点共线，故存在实数m， 使， 因C,O,E三点共线，故存在实数n，使得 ， 所以，解得， ，所以，，故答案是：. 【变式训练3-5】在△ABC中，∠BAC=，以AB为一边向△ABC外作等边三角形ABD，∠BCD=2∠ACD，则____________ ． 【答案】 【解析】以A为原点建立直角坐标系，则设，， ，,则，根据三倍角公式建立方程可求出m,利用点的坐标运算求出 即可. 如图建系， 设，则， 根据三倍角公式，有， 于是 也即 解得，于是 从而. 【变式训练3-6】已知在中，，，，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设，则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图:设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于,过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于,过A作,垂足为,然后根据向量知识将的最大值转化为的最大值来求, 如图:设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于,过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于, 过A作,垂足为,交BC于K，此时圆P的圆心为,BC=5,,,其中,又,所以,当Q在BC的下方时, ; 当Q在BC上时,,当Q在BC的上方时,, 根据平面几何知识,可知当Q为、 D为K时，最大，所以x+y取最大， 所以：x+y的最大值为：．故选：C． 【变式训练3-7】如图，A、B、C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若，则λ+μ的取值范围是 A．(-∞,-1) B．(-1,0) C．(0,1) D．(1,+∞) 【答案】B 【解析】首先由C,O,D三点共线且点D在圆外可设，再由B,A,D三点共线且点D在圆外可得，然后结合三角形法则可得，进而可得， 所以得到，从而 ，最后将其与已知向量式对比即可求出λ与μ，据此问题即可解答． 由点D是圆O外一点且C,O,D三点共线，可设， 由B,A,D三点共线且点D在圆外可得，又，∴， ∴，∴． 又，∴，∴．故选B． 题型04：等和线：和系数不全是1型 形如，求值或者范围.一般动点多在圆上，则可以通过三角换元，构造三角函数辅助角形式求最值 【典型例题1】已知为等边三角形，动点在以为直径的圆上，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设等边的边长为2，以边的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，通过向量的坐标运算，将、用表示出来，然后利用辅助角公可求出的最大值 解：设的边长为2，不妨以线段的中点为坐标原点， 建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、、，以线段直径的圆的方程为， 设点，则，，， 由于，则，解得， 所以，， 因此，的最大值为，故选:C. 【典型例题2】如图，点是半径为1的扇形圆弧上一点，，，若，则的最小值是（ 　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对两边同时平方可得出的关系，通过三角换元即可求解. 由题：，点是半径为1的扇形圆弧上一点，则， 则， 即，， 化简得：，令， 因为，，，先增大后减小， 所以的最小值为较小值， 即的最小值为，所以的最小值为1.故选：B 【典型例题3】已知正三角形的边长为，是边的中点，动点满足，且，其中，则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以为原点，为轴建立直角坐标系，则得到，由得到，得到答案. 如图所示：以为原点，为轴建立直角坐标系 设，则得到 设 得到 当时有最大值，此时，有最大值故答案选D 【变式训练4-1】在直角梯形中， ， ， ， 分别为， 的中点，以为圆心， 为半径的圆交于，点在弧上运动（如图）.若，其中， ，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F（1，1.5），P（cosα，sinα）（0≤α），由λμ得，（cosα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，），λ，μ用参数α进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论． 解：建立如图所示的坐标系， 则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F（1，1.5），P（cosα，sinα）（0≤α）， 由λμ得，（cosα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，）⇒cosα＝2λ﹣μ，sinα＝λ ⇒λ，∴6λ+μ＝6（）2（sinα+cosα）＝2sin（） ∵，∴sin（） ∴2sin（）∈[2，2]，即6λ+μ的取值范围是[2，2]．故选D． 【变式训练4-2】已知扇形的圆心角是，半径是1，是弧上不与重合的一点，设，若存在最大值，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】建立平面直角坐标系，由的坐标以及求得，根据三角函数最大值的知识列不等式，从而求得的取值范围. 依题意可知三角形是等边三角形，以为原点建立如图所示平面直角坐标系， 则，设，由于， 所以，所以，解得， 所以， 其中，由于， 要使有最大值，则存在，则，所以， .故选：A 【变式训练4-3】O是的外心，，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】根据外心的性质，结合数量积运算求解，注意讨论是否在上. 当在上，则为的中点，满足，符合题意， ∴，则； 当不在上，取的中点，连接，则， 则， 同理可得： ∵， ， 联立可得，解得，故选：D. 【变式训练4-4】在矩形ABCD中，，，P为矩形内一点，且若，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】可根据条件画出图形，根据图形设，且，则又可用表示为：所以根据平面向量基本定理得到：，所以，最大值为1，所以的最大值为． 如图，设，， 则：； 又；；； 的最大值为．故选B． 【变式训练4-5】在中，，，，为的外心，若，、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出图形，先推导出，同理得出，由此得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出的值. 如下图所示，取线段的中点，连接，则且， ， 同理可得， ， 由，可得，即， 解得，，因此，.故选：C. 【变式训练4-6】已知正三角形的边长为2，D是边的中点，动点P满足，且，其中，则的最大值为 ． 【答案】/2.5 【解析】构建以为原点，为x、y轴的直角坐标系，确定相关点坐标并设且()，由向量线性关系的坐标表示列方程得到关于的三角函数式，应用正弦型函数性质求最大值. 由题设，在以为圆心，1为半径的圆上或圆内， 构建以为原点，为x、y轴的直角坐标系，如下图示： 所以，，，令且()， 所以，，， 又，即， 所以，而， 则， 故当时，有最大值.故答案为： 题型05： 等和线题型：型 【解题攻略】 形如，求值或者范围，有如下思维： 1. 如果动点P在圆上运动，可以通过圆的参数方程转化为辅助角求解。 1. 可以借助等和线，找到=定值，然后代入消元求解单元变量范围或最值 形如，求值或者范围，有如下思维： 2. 如果动点P在圆上运动，可以通过圆的参数方程转化为辅助角求解。 3. 可以借助等和线，找到=定值，然后代入消元求解单元变量范围或最值 1. 【典型例题1】如图，在直角梯形中，，∥，，，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：以 点为坐标原点，方向为 轴， 轴正方向建立直角坐标系，如图所示，设点的坐标为 ，由意可知： ， 据此可得： ，则： ，目标函数： ， 其中 为直线系 的截距， 当直线与圆相切时，目标函数取得最大值 . 当直线过点 时，目标函数取得最小值 ，则的取值范围是 .本题选择B选项. 【典型例题2】已知锐角满足，且O为的外接圆圆心，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，将平方整理得，设，则有，再设，则有==，求解即可. 解：如图所示： 由正弦定理可得：，所以， 在中，由余弦定理可得, 又因为,所以. 又因为， 所以， 即有：，即，所以， 设，可得，又因为为锐角三角形，所以， 所以，设，则有， 所以==， 所以故选：A. 【典型例题3】在直角梯形中，，，，，分别为，的中点，以为圆心，为半径的半圆分别交及其延长线于点，，点在上运动（如图）.若，其中，，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据直角坐标系，根据向量的坐标运算，即可表达出，进而用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解. 分别以所在直线为轴，轴，方向为正方向建立直角坐标系，知, 设，由得：，即 , 则， 由可得：，则，故. 则的取值范围是   . 故选：C 【典型例题4】在中，点满足.若存在点，使得，且，则的取值范围是 ． 【答案】（﹣2，0） 【解析】由，得，结合条件，得到m＝﹣3λ﹣1，n＝3λ﹣1，利用mn＞0．可求出实数λ的取值范围，由此可计算出m﹣n的取值范围． 由，可得，所以，，则m＝﹣3λ﹣1，n＝3λ﹣1， 由于mn＞0，则（﹣3λ﹣1）（3λ﹣1）＞0，即（3λ+1）（3λ﹣1）＜0，解得， ∵λ＞0，所以，，m﹣n＝（﹣3λ﹣1）﹣（3λ﹣1）＝﹣6λ∈（﹣2，0），故答案为（﹣2，0） 【典型例题5】将两个直角三角形如图拼在一起，当点在线段上移动时，若，当取最大值时，的值是 ． 【答案】 【解析】如图所示：设且，由题意知，当 取最大值时，点与点重合．中，由余弦定理 求得 又 ， 故答案为 【变式训练5-1】.上变动（如图所示），若，其中，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】结合题意建立直角坐标系，得到各点的坐标，再由得到，，从而得到，由此可求得的取值范围. 结合题意建立直角坐标，如图所示：. 则，，，，，， 则，，，，∵， ∴，∴，， ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∴，故，即.故选：A. 【变式训练5-2】在中，点满足，若线段上的一点满足，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】利用向量三点共线定理得到即可. ，，. ，，三点共线， ，，，， 【变式训练5-3】已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，， 均为单位向量，即，， 点是单位圆上的动点， 的取值范围是， 又 的取值范围为.故答案为： 【变式训练5-4】在中，点满足.若存在点，使得，且，则的取值范围是___． 【答案】（﹣2，0） 【解析】由，得，结合条件，得到m＝﹣3λ﹣1，n＝3λ﹣1，利用mn＞0．可求出实数λ的取值范围，由此可计算出m﹣n的取值范围． 由，可得，所以，，则m＝﹣3λ﹣1，n＝3λ﹣1，由于mn＞0，则（﹣3λ﹣1）（3λ﹣1）＞0，即（3λ+1）（3λ﹣1）＜0，解得， ∵λ＞0，所以，，m﹣n＝（﹣3λ﹣1）﹣（3λ﹣1）＝﹣6λ∈（﹣2，0）， 故答案为（﹣2，0） 【变式训练5-5】在平行四边形中，，.若，则 . 【答案】/ 【解析】利用向量的线性运算结合已知条件把用表示，再由平面向量基本定理可求得的值，从而可求得的值. 因为在平行四边形中，，，所以，因为，所以，所以，故答案为：    题型06：等和线：系数积型 【典型例题1】在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可. 建立如图所示的直角坐角坐标系，过作，垂足为， 因为， 所以有，   ，设，， 因此有因为， 所以有，而， 所以， 当时，有最大值，当，xy有最小值，所以的取值范围是 【典型例题2】如图，已知是以原点为圆心，半径为的圆与轴的交点，点在劣弧（包含端点）上运动，其中，，作于．若记，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点坐标，由向量相等表示 ，转化为二次函数求最值 设， 则 因为，所以，由（2）得：，代入（1）得： 因为，所以，又因为 所以，当时，取得最大值；当时，取得最小值.故选：B 【变式训练6-1】在中，，，是的外心，若，则 . 【答案】 【解析】由题意，可得，，然后利用数量积的几何意义即可化简，求解出的值即可得答案. 解：因为， 所以，， 因为是的外心， 所以由数量积的几何意义有，， 所以,， 所以，解得，所以.故答案为：. 【变式训练6-2】已知点是的中位线上任意一点，且，实数满足，设、、、的面积分别为，，，，记，，，则取最大值时，的值为 . 【答案】 【解析】由题设条件得到，进而求得，结合基本不等式，求得，得出点为的中点，进而求得取最大值时，的值. 由题意，、、、的面积分别为，，，， 记，，，所以， 以为点是的中位线上任意一点，且, 所以， 所以，当且仅当时取等号，此时点为的中点， 因为实数满足， 又由，可得，所以. 故答案为：. 题型07：等和线：系数比值型 【典型例题1】设向量,其中.若,则的最小值为 . 【答案】 【解析】根据向量关系建立等式，求出，即可求得的最小值. 由题：向量,其中， 若,即 ， 所以即，解得：，， 当时，取得最小值.故答案为： 【典型例题2】在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上移动，设，则最大值是 . 【答案】4 【解析】建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程，设出，求出三个向量的坐标，用P的坐标表，则，根据直线AP:与有交点,求出范围． 解：以为原点，分别以方向为轴，建立如图所示直角坐标系： 所以，，，，所以，， 因为圆与直线相切，而，圆心，所以半径，所以圆：， 设,则，，又 所以，则，所以 所以表示坐标原点A与点P两点之间连线的斜率的2倍， 因为动点在圆上移动，所以直线AP:与有交点， 则圆心到的距离为解得:，则 所以，则最大值是4.故答案为：4． 【变式训练7-1】在中，，，若（，均大于0），则的值为 . 【答案】15 【解析】利用平面向量基本定理和向量三角形法则，可表示，进而求出，的值，即可求出结果. 如图所示，在中，， 因为，所以，所以，① 在中，， 因为，所以，所以，代入①， 得， 因为，所以，， 所以，故答案为：. 【变式训练7-2】在中，,是的内心，若，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示， 设三角形的三条内角平分线BE、AD、CF相交于点I．∵A，I，D三点共线， ∴存在实数λ使得，∵AB=BC=5，I是△ABC的内心， ∴AD平分BC，∴．∴， 同理由C，I，F三点共线和角平分线的性质可得=， ∴，解得，∴ 与=m+n比较可得：m=，，则m：n=6：5．故选B． 题型08：等和线题型：分数型 形如，求值或者范围，一般情况下，则可以通过等和线或者， 然后对采用均值不等式中的“1”的代换技巧。 【典型例题1】如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的的最小值是（       ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【解析】根据平面向量共线定理可设，，，，再结合得，最后运用基本不等式可求解. 设，，，， 则，，，，. 所以， 当且仅当，时等号成立.所以的的最小值是.故选：B 【典型例题2】如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的最小值为 .    【答案】 【解析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最小值. 因为，所以， 所以，又，， 所以，因为，，三点共线，所以，由图可知，， 所以， 当且仅当，即、时取等号，所以的最小值为.   故答案为： 【典型例题3】已知向量，，且，若x，y均为正数，的最小值是 . 【答案】 【解析】根据，得到，再用“”的代换后利用基本不等式即可. ，，即， ， 当且仅当，又即时等号成立.故答案为：. 【典型例题4】在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交或其延长线于不同的两点，且，若的最小值为，则正数的值为 . 【答案】 【解析】利用平面向量的线性运算法则求得，可得，则，展开后利用基本不等式可得的最小值为，结合的最小值为列方程求解即可. 因为点是的三等分点， 则， 又由点三点共线，则， ， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值为 ,则有, 解可得或(舍），故，故答案为2. 【典型例题5】在△ABC中，D为AC上一点且满足，若P为 BD上一点，且满足（为正实数），则的最小值为 . 【答案】4 【解析】由B、P、D三点共线，得，由平面向量的线性运算，又由和平面向量基本定理得到，再由基本不等式知识即可求解．   ∵B、P、D三点共线，∴设 ∵，∴，∴， 由和平面向量基本定理得：，∴，∵为正实数， ∴， 当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为4．故答案为：4． 【变式训练8-1】在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，设，，，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求，可得，再由已知条件求得，，，考虑建立以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值. 在中，设，，， ，即，即，， ，，，，， ，即，又，， ，则，所以，，解得，. 以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、， 为线段上的一点，则存在实数使得， ， 设，，则，，， ，，消去得，， 所以，， 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：A. 【变式训练8-2】在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由sinB=cosA•sinC化简可求 cosC=0 即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得,由，为单位向量，可得，，可得,可得，则由，利用基本不等式求解最小值． 中设，，，， 即，， ，，，， ，，，根据直角三角形可得，， ，，， 以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴建立直角坐标系可得，，，P为直线上的一点， 则存在实数使得, 设，，则，，, , ，则, , 故所求的最小值为,故选：D. 【变式训练8-3】在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且，点F为线段BD上的一动点（包含端点），若，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由向量加法法则可得，根据F为线段BD上的一动点（包含端点）有且、，构造并利用导数研究单调性，进而确定值域，即可得结果. 由， 所以且，结合目标式有，，， ，（舍）， 故在、上递减，在上递增， 当时，当时， 所以．故答案为： 【变式训练8-4】已知是正实数，的三边长为，点是边(与点不重合)上任一点，且．若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算得到x、y的关系式，再由题给条件得到关于m的不等式，利用均值定理即可得到实数的取值范围. 以C为原点分别以CB、CA为x、y轴建立平面直角坐标系如图： 则，则 则，又点P在直线：上，则有，即由恒成立， 可得恒成立，由，可得 则（当且仅当时等号成立）又，，则 则，则，则， 则实数的取值范围是故答案为： 【变式训练8-5】已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则 ；与周长之比的取值范围为 ． 【答案】 3 【解析】连接AG并延长，交BC于F，可得，变形可得，根据D、G、E三点共线，即可得答案；设的边长为1，设与周长之比，可得，根据余弦定理，可求得表达式，代入可得，根据的范围，可得的范围，利用导数，结合的范围，即可得答案. 连接AG并延长，交BC于F，如图所示由题意得，F为BC中点， 所以，又G为重心，所以，所以，即，因为D、G、E三点共线，所以，即.设的边长为1，设与周长之比，则，在中，由余弦定理得，所以，即， 所以，由（1）可得，即代入上式，可得 由题意得，所以，又，所以， 又，所以，因为，所以，令，则， 令，则，所以在上为增函数， 所以，所以与周长之比的取值范围为 题型09：等和线：系数二次型 形如，求关于二次型值或者范围，有如下思维： （1）图形比较规则，建立直角坐标系来解决向量问题； （2）得到关于的不等式中没有，所以取，建立之间的关系； （3）用判别式求得的范围，化简所求式子至二次函数的形式； （4）根据二次函数的最值及的范围求出最值. 【典型例题1】已知正方形ABCD的边长为1，动点P满足，若，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】建系后，写出四个顶点的坐标，设出动点P的坐标，将已知向量坐标化，得圆的方程再根据向量知识得，，最后利用的几何意义做题即可． 解：以A为原点建立如图所示的直角坐标系： 则，，，，设， ,则由得，化简得：，又，，，，表示圆上的点到原点的距离得平方，其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方，即，故选C． 【典型例题2】已知向量，的夹角为，且，向量满足，且，记，，则的最大值为 . 【答案】 【解析】设, 由共线定理可知点在线段上，设，则 ，根据投影的计算方法，结合三角恒等变换公式，推出 ，可将原问题转化为求的最大值，再利用等面积法，进一步将问题转化为求的最小值，然后结合余弦定理和基本不等式，得解.   设，则， 由，知，即，所以， 因为，所以点在线段上，设，则， 所以 故原问题转化为求的最大值，在中，由余弦定理知， ，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为，因为，所以，即， 所以，即，即， 所以.故答案为： 【变式训练9-1】在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则最大值是 . 【答案】 【解析】建立合适的直角坐标系，求出各个点的坐标，根据点到直线的距离公式求得圆的方程，再求出点坐标，建立关于的不等式，令代入不等式，根据判别式大于零可得的范围，化简为关于的二次函数，开口向下，可取得最大值，求出最大值时的值可证明其存在，即可得出结果. 解：以为原点，分别以方向为轴，建立如图所示直角坐标系： 所以，，，，所以，， 因为圆直线相切，而，圆心，所以半径，所以圆：， 因为，即，因为动点在圆上或圆内移动， 所以，设，则，所以不等式可化为：， 所以，易得不等式有解，则， 所以，即，解得， 所以原式， 所以当，，即，时，.故答案为： 【变式训练9-2】设点在以为圆心，半径为1的圆弧上运动（包含、两个端点），，且，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】根据共线向量基本定理,设,结合条件可求得的等量关系，根据M的位置可求得的范围，同时根据基本不等式，求得的取值范围， 即可得的取值范围。 设与相交于,且 由，，三点共线可得即,所以 又因为所以 即当时，,此时 当与(或)点重合时,此时,此时所以 由基本不等式,可得当或时, 当x=1且y=1时，x+y=2，xy=1，则即 题型10：轨迹型 向量型求动点轨迹： 利用向量几何意义与坐标运算，寻找转化为坐标。 ①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； ③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入. 【典型例题1】在中，，是的内心，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由且，易知动点的轨迹为以为邻边的平行四边形的内部（含边界），在中，由，利用余弦定理求得边，再由和，求得内切圆的半径，从而得到，再由动点的轨迹所覆盖的面积得解. 因为且，根据向量加法的平行四边形运算法则， 所以动点的轨迹为以为邻边的平行四边形的内部（含边界），因为在中，，所以由余弦定理得： ， 所以，即，解得：， ，所以 . 设的内切圆的半径为 ，所以 所以.所以. 所以动点的轨迹所覆盖的面积为：.故选：A 【变式训练10-1】在中，，点满足，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，不妨用坐标法处理；建立平面直角坐标系，根据题意，求得点坐标，根据向量线性运算的几何意义，求得动点构成的图形形状以及范围，结合余弦定理和三角形面积公式，即可求得面积. 【详解】根据题意，不妨过点作的垂线，垂足为， 以为坐标原点，建立平面直角坐标系如下所示： 根据题意，可得坐标如下：， 设点的坐标为，由可得：， 故可得.则点坐标为.设点的坐标为，由， 由向量的线性运算性质可知，点的轨迹是： 以为一组邻边的平行四边形内的任意一点，含边界. 故可得， 故可得,则. 则以为一组邻边的平行四边形的面积 .故选：. 【变式训练10-2】设点M、N分别是不等边的重心与外心，已知、，且．则动点C的轨迹E ； 【答案】 【解析】设点，由重心坐标和外心坐标，结合圆的几何性质以及列方程，化简后求得轨迹E的方程． 设点，则的重心，∵是不等边三角形，∴， 再设的外心，∵已知，∴MN∥AB，∴， ∵点N是的外心，∴，即， 化简整理得轨迹E的方程是. ∴动点C的轨迹E是指焦点在轴上的标准位置的一个椭圆（去掉其顶点）． 故答案为：. 【变式训练10-3】在中， ，，，是的内心，若，其中，，则动点的轨迹所覆盖的面积为 ． 【答案】 【解析】试题分析：由，.可得点P的轨迹如图的阴影部分的面积， 在三角形ABC中由余弦定理可得解得AB=5. 所以三角形ABC的面积为. 又由. 所以阴影部分面积.故填. 题型11：向量共线定理：构造方程组求系数 【经典例题1】如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为________ 【答案】2 【解析】， ， 则有 【变式训练11-1】已知△ABC中，，，直线PC与QB交于点O，若，则______． 【答案】 【解析】写2次 故 【变式训练11-2】已知中，，，与相交于点，，则有序数对（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据平面向量共线定理得到，，利用、分别表示出，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得、，再代入计算可得. 依题意、、三点共线，故， 所以 ， 又、、三点共线，故， 则 ， 所以，解得，所以，又，所以， 所以有序数对. 【变式训练11-3】在中，已知，，与交于点O.若，则 . 【答案】 【解析】根据向量线性运算的几何表示可得，，然后利用共线向量的推论即得. 因为，， 所以，，又， 所以，，又与交于点O， 所以，所以，即 【变式训练11-4】在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】利用向量的线性运算求得，由此求得m，n，进而求得. 因为，所以，则. 因为A，P，D三点共线，所以. 因为，所以. 因为E是边AB的中点，所以.因为E，P，F三点共线， 所以， 则，解得，从而，，故. 题型12：向量共线定理：结合不等式求最值 【典型例题1】在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由题设，如下图示：， 又，， ∴，由三点共线，有， ∴， 当且仅当时等号成立.故选：A 【典型例题2】在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】根据平面向量基本定理，将用和表示，再利用，，三点共线，求得，再利用基本不等式求得最值. 由，，共线，可设， 由,,三点共线，故可设， 则有，解得：， 故， 由题意，，，三点共线， 故可设， 则，整理得， 故， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为 【典型例题3】（多选）如图所示,在凸四边形ABCD中，对边BC，AD的延长线交于点E，对边AB，DC的延长线交于点F,若，，，则（ ） A. B. C. 的最大值为1 D. 【答案】ABD 【解析】显然A正确，注意规律（分点恒等式） 对于B选项： , （分点恒等式） （三点共线定理），故B正确 补充：也可以同梅涅劳斯定理求出B选项. 对于C选项：，故C错误； 对于D选项：，故D正确 【变式训练12-1】在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是 ． 【答案】8 【解析】将变形后，由，，三点共线，可得，则，化简后利用基本不等式可求出其最小值. 因为，所以． 因为，，三点共线，所以， 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值是8. 【变式训练12-2】在中，的交点为，过作动直线分别交线段于两点，若，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】如图：由三点共线，可得存在实数，使得， 由三点共线，可得存在实数，使得， 所以，解得，所以，因为三点共线，所以存在实数， 使得，所以，所以， 所以， 当且仅当，时，取等号. 【变式训练12-3】已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，且其中，则的最小值为 . 【答案】 【解析】先由平面向量的基本定理得到，然后由三点共线得，用基本不等式求解最小值即可. 如图： 因为，所以，又，所以， ，所以, ， 又三点共线，所以， 所以，，当且仅当时， 即时，等号成立 【变式训练12-4】如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，.若，，则的最小值是 . 【答案】 【解析】平面向量基本定理，借助三点共线，找出的关系式，的最值利用消元法求解范围即可. 平面向量基本定理，借助三点共线可知： ， 得 解得 ，所以 【变式训练12-5】如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设，． (1)若，，求的值；(2)若点为线段的中点，求的最小值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据图形用表示，再用表示，由三点共线即可求解. （2）用表示，再由三点共线的等式关系，再结合基本不等式即可求解. （1）因为为线段上靠近点的三等分点， 所以， 设，即，， 所以， 又因为，， 所以，， 所以， 即， 又因为三点共线，则，解得， 所以，所以. （2）由（1）可知，， 而，， 所以， 又因为点为线段的中点， 所以,即， 又由三点共线， 所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 题型13： 等和线与数列 【经典例题1】如图，平面四边形中，点D为动点，的面积是面积的3倍，数列满足，，当时，恒有，则数列的前6项和为（    ）． A．2020 B．1818 C．911 D．912 【答案】D 【解析】连接交于点，根据，得，则， 再根据，设，，，转化为，根据与不共线，得到，即，变形为，由等比数列的定义得到 是等比数列，得到通项公式，再用累加法得到，然后用分组求和法求解. 如图，连接交于点， 由，得，， 设，，， ，又与不共线， 所以，则，即，所以，所以， 即，所以是以2为首项，4为公比的等比数列， 所以，由，，…，， 累加得，所以， 所以．故选：D． 【经典例题2】如图，点为的边上一点，，为边上的一列点，满足，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据向量的运算、共线向量的表示和等差数列的判定得出数列和的关系. 因为，所以，所以， 因为，且， 所以，得，所以， 又，所以数列表示首项为，公差为的等差数列， 所以.故选：B. 【变式训练13-1】如图，已知点为 的边 上一点， ， 为边 上的一列点，满足 ，其中实数列 中， ， ，则 A．46 B．30 C．242 D．161 【答案】D 【解析】因为 ，所以，设 ，，又因为， ，  以 ，又 ，所以数列表示首项为，公比为的等比数列，所以，,故选D． 【变式训练13-2】已知四边形ABCD，为边BC边上一点，连接交BD于，点满足，其中是首项为1的正项数列，，则的前n项 .    【答案】 【解析】由结合共线向量定理的推论可得，则可求得，再由可得，从而得，则得，然后利用分组求和法可求得结果. 因为，所以， 因为三点共线，所以，所以， 因为，所以是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以，因为，所以， 所以，因为， 所以因为，所以， 所以， 故答案为： 题型14：综合问题 【经典例题1】在中，，，若是的中点，则；若是的一个三等分点，则；若是的一个四等分点，则 (1)如图①，若，用，表示，你能得出什么结论？并加以证明． (2)如图②，若，，与交于，过点的直线与，分别交于点，． ①利用（1）的结论，用，表示； ②设，，求的最小值． 【答案】(1)，证明见解析；(2)①；② 【解析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）①依题意可得，，由、、三点共线，设，结合（1）的结论用，表示出，由、、三点共线，设，同理表示出，根据平面向量基本定理得到方程，求出、，再代入即可； ②依题意可得，，结合①的结论及共线定理即得出，再利用基本不等式即可求解. （1）猜想：， 证明：因为，所以 ，因为，，所以 （2）①若，，则，， 因为、、三点共线，设， 则， 因为、、三点共线，设， 则， 因为与不共线，所以，解得， 所以. ②因为，， 所以，， 所以， 因为、、三点共线，所以， 所以， 因为，所以，， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【经典例题2】在中，过重心的直线与边交于，与边交于，点不与重合.设面积为，面积为. （1）求； （2）求证：； （3）求的取值范围. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【解析】（1）利用三角形重心的性质，又，即可求. （2）设、，由题设得、，而共线则有，由，列方程确定的关系，进而求证结论； （3）由，结合（2）的结论及二次函数的性质，即可求范围. （1）为的重心，若延长交于，则是的中点， ∴，而，即， ∴. （2）设，，又， ∴，，由共线，则有， ∵，， ∴，又， 综上，， ∴，即，可得， ∴，则得证. （3）由（2）知：，而， ∴. 【经典例题3】如图，在等腰梯形中，，，，是的中点.    (1)记，且，求，值； (2)记，是线段上一动点，且，求的取值范围. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）由，将两边平方，结合数量积的运算律及定义得到方程，解得即可； （2）建立平面直角坐标系，利用坐标法表示出数量积，再根据对勾函数的性质计算可得. （1）依题意， 所以， 即， 即，又，解得，（负值舍去）； （2）    过点作，如图建立平面直角坐标系，因为，， 所以，，，，， 所以，，， 因为，所以 所以， 所以 ， 令，， 设且，则， 当时，，则，又， 所以； 当时，，则，又， 所以； 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，，且， 所以， 所以，即的取值范围为. 【经典例题4】如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点． (1)延长交于点Q（图1），求的值； (2)过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，． （i）求证为定值； （ii）设的面积为，的面积为，求的最小值． 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）. 【解析】（1）根据题意，将作为基底表示，由三点共线可知，的系数之和为1，即可求出的值； （2）（i）根据题意，将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1，即可求出为一定值；（ii）根据题意，，，，由可将化为关于的函数，利用函数性质求的最小值即可. （1）依题意，因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 设，则有， 因为三点共线，所以，解得， 即，所以，所以； （2）（i）根据题意, 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线，所以， 化简得， 即为定值，且定值为3； （ii）根据题意，， ， 所以， 由（i）可知，则， 所以， 易知，当时，有最小值，此时. 【经典例题5】已知平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，连接EF交AC于点M，且满足，，，则（ ） A． B．1 C． D．－ 【答案】B 【解析】， 故 【经典例题6】在中，已知，，与交于点O.若，则 . 【答案】 【解析】根据向量线性运算的几何表示可得，，然后利用共线向量的推论即得. 因为，， 所以，，又， 所以，，又与交于点O， 所以，所以，即， 【变式训练13-1】如图,在扇形中,,点在圆弧(包含端点)上运动,若,则的取值范围是 【答案】 【解析】如图,取的四等分点(靠近点),作出直线,则,令. 所以点在与直线平行的直线上,设交直线于,则 当重合时,取最大值4; 当重合时,取最小值1;综上可知,. 【变式训练13-2】如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 . 【答案】 【解析】根据向量性质得出的关系，再应用基本不等式计算积的最大值即可. 因为,所以, 因为在一条直线上，所以,所以,当且仅当时取等号，所以的最大值为. 【变式训练13-3】如图，在中，点O 是BC 的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设AB=，AC=，则的最小值为 . 【答案】 【解析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最小值. 根据题意，，所以， 所以， 又，，所以， 因为三点共线，所以，由图可知，， 所以， 当且仅当，即、时取等号，所以的最小值为. 【变式训练13-4】在矩形中，已知分别是上的点，且满足．若点在线段上运动，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】建立基底，，则，然后将设，最终表示为，然后得到，进而求出范围． 矩形中，已知分别是上的点，且满足，    设，则，， 联立，可解得，因为点在线段上运动，则可设， ，， 又，所以，， 因为，所以． 【变式训练13-5】给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，，则的取值范围为________ 【答案】， 【解析】由等和线性质知：连接，当点在点时，；作的平行线，当与相切时，当点在切点时， 【变式训练13-6】边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含短点)上运动，是圆上及其内部的动点，设向量，则的取值范围是（ ） 【答案】C 【解析】如图，设，由等和线结论，.此为的最小值； 同理，设，由等和线结论，.此为的最大值. 综上可知. 【变式训练13-7】如图，在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图：由等和线性质知：，所以当在如图所示位置时，取得最大值， 【变式训练13-8】直角梯形,是边长为2的正三角形，是平面上的动点，，，则的值可以为（ ） A. 0 B.1 C.2 D.3 【答案】BC 【解析】如图 【变式训练13-9】如图，在中，，为线段上的动点，与相交于点，设，，则的最小值为 ． 【答案】1 【解析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量的推论求出的关系，再借助对勾函数性质求出最小值. 在中，由为线段上的动点，，得， 则， 则，又，于是， 因为点共线，因此，解得， 令，则，， 显然对勾函数在上单调递增，则当时，，， 所以当时，取得最小值1. 故答案为：1 【变式训练13-10】如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设，则2x+y的最小值为( ) A．－1 B．1 C．2 D．3 【答案】 【解析】取AD中点F，则，直线FP交AE于G， 设 ∵ FPG三点共线 ，∴， 当P在中点时，G与E重合，此时t取到最小值， 【变式训练13-11】如图，在梯形中，，且，点是以为圆心，为半径的圆上的一点，若，则的最小值为 ．    【答案】 【解析】建立如图平面直角坐标系，设，利用平面向量线性运算的坐标表示和相等向量建立方程组，解出x、y，进而利用辅助角公式化简可得（其中），结合正弦函数的想即可求解. 以A为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，如图所示．    所以，设， 则， 所以． 所以．所以． 所以， 其中，所以， 此时，所以的最小值为． 【变式训练13-12】如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若. (1)与的关系；(2)求的最小值 【答案】(1)，(2) 【解析】（1）根据向量线性运算得，再利用三点共线的结论即可； （2）利用（1）中结论再结合基本不等式即可. （1），又，，，又三点共线，. （2）因为，， ， 当且仅当取等，所以的最小值为. 【变式训练13-13】如图，在中，D是BC中点，E在边AB上，且，AD与CE交于点O． (1)用，表示； (2)过点O作直线交线段AB于点G，交线段AC于点H，且，，求t的值； 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由E，O，C三点共线，得，又，从两个角度用，表示，从而得的值得解； （2）因为H，O，G三点共线，所以，转化为用，表示，可得的值； （1）因为A，O，D三点共线，所以，，且E，O，C三点共线， 所以存在实数，使，其中D是BC中点，且， 所以 即，解得，，所以． （2）因为H，O，G三点共线，所以存在实数，使， 其中，，所以， 根据平面向量基本定理可得：即，所以． 【变式训练13-14】设是边上的点，,若，则 =（ ） 【答案】 【解析】因为，所以，因为，所以，由于此时等和线为，所以，即. 一、单选题 1．如图，在长方形ABCD中，点M，N分别是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】选取作为基底，表示出，根据平面向量基本定理列方程求解即可. 【详解】由图可知，， 所以，解得，则. 故选：A. 2．在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为动点，所以不容易利用数量积来得到的关系，因为六边形为正六边形，所以建立坐标系各个点的坐标易于确定， 可得：，则，所以设，则由可得：，因为在内，且，所以所满足的可行域为，代入可得：，通过线性规划可得：. 3.如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用平面向量共线的推论直接计算即可. 因为，， 所以. 因为三点共线，所以，解得. 故选：D. 4.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，根据题意，求得且，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 以为坐标原点，过点平行于的直线为轴建立平面直角坐标系， 如图所示，可得， 因为是边长为2的等边三角形，可得其外接圆的半径为， 因为点在的外接圆上，设，其中， 则，且， 又因为，可得且， 所以， 当时，即时，取得最大值为， 所以取得最大值为. 故选：C. 5.已知点在所在的平面内，且.过点的直线与直线分别交于，设，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用平面向量基本定理可得，再利用基本不等式可求最小值.    设的中点为，连接，则， 故即，故为的中点， 因为三点共线，故存在实数，使得， 故，而， 因为不共线，故即， ， 当且仅当时等号成立，故的最小值为， 故选：C. 6.已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解即可. 由，得，且， 而三点共线，则，即， 所以， 所以. 故选：A. 7.在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，其中，推导出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 因为在边上（不包含端点），不妨设，其中， 即， 所以，， 又因为，则，，其中、均为正数， 且有， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故则的最小值是. 故选：A. 8.如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】建立平面直角坐标系，可得半圆弧的方程为：，设，根据向量的坐标运算法则算出关于的式子，利用三角换元与正弦函数的性质求解即可． 由题意可以所在直线为x轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 结合已知得，，， 半圆弧的方程为：， 设，则，，， 由得：， 解得：， 所以， 因为在上，所以， 又， 则可设，，， 将，代入整理得： ， 由得， 所以，， 故的取值范围是. 故选：D. 二、填空题 1.若正方形边长为，点为其内切圆上的动点，，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】以正方体的中心为原点，建立平面直角坐标系，设点的坐标为，根据题意得到，求得，结合三角函数的性质，即可求解. 以正方体的中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为正方体的棱长为，可得， 又由正方形的内切圆的方程为，设点的坐标为， 则，， 因为，可得， 所以，可得， 因为，所以. 故答案为：    2.已知在中，点P满足，动点M在的三边及内部运动，设，则的取值范围为 .（用区间表示） 【答案】 【解析】利用可得出P为的重心，取中点再利用三点共线，可得取得最小值1，再当点M与C重合时，取得最大值2，从而可得的范围. 因为，所以， 整理得，所以P为的重心， 取AC的中点D，则. 因为，所以， 所以当点M在线段BP上时，取得最小值1， 当点M与C重合时，取得最大值2， 所以的取值范围为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 3如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点M，N，满足，，（，），若，则的值为 ． 【答案】 【解析】用向量表示，再利用点M，O，N共线列式计算作答. 因平行四边形的对角线相交于点，则， 而，于是得， 又点M，O，N共线， 因此，，即，又，解得， 所以. 故答案为： 4.如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 . 【答案】 【解析】根据向量性质得出的关系，再应用基本不等式计算积的最大值即可. 因为,所以, 因为在一条直线上，所以, 所以,当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 5.在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是 ． 【答案】8 【解析】将变形后，由，，三点共线，可得，则，化简后利用基本不等式可求出其最小值. 因为，所以． 因为，，三点共线，所以， 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值是8. 故答案为：8 6.窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从该窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形内角和为，若，则 ；若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 2 【解析】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，由，列出方程组，求得，从而得到；设，由即可求得的最小值. ，以点A为坐标原点，分别以AB，AF所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系， 正八边形内角和为，则， 所以，，，，，，， ，，， 因为，则， 所以，解得，，所以； 设，则，，， 则， 所以，当点P在线段CD上时，取最大值． 故答案为：2；． 7.在中，点满足为线段的中点，过点作一条直线与边分别交于点两点.设，当与的面积比为时，则的值为 . 【答案】3 【解析】由，得，再由是的中点，结合已知条件可得，从而由三点共线，得，因为面积比得出，化简后求值. 因为，所以，得. 又是的中点，，， 所以. 因为三点共线，所以，且， 所以， 即. 故答案为： 8.在中，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】根据题意，由平面向量的线性运算可得，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.    因为，所以，因为， 所以，且三点共线， 则，， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故答案为： 9.如图，直角梯形中，，，若为三条边上的一个动点，且，则下列结论中正确的是 ．（把正确结论的序号都填上） ①满足的点有且只有1个； ②满足的点有且只有2个； ③能使取最大值的点有且只有2个； ④能使取最大值的点有无数个． 【答案】②④ 【解析】分类讨论，求出当在边上，在边上，在边上时，的取值范围以及的范围，然后根据所求判断正误. 当在边上时，如图，取中点，连接，则 设，， ， 又， ，， ，， 当在边上时，，，， 当在边上时，设，， ， ，， ，，； ①当时，，此时点就是点；或，此时点在上，故错误； ②当时，有或，这样的点有两个，故正确； ③的最大值为，此时，这样的点有且只有1个，故错误； ④的最大值为，当在边上时，恒有，这样的点有无数个，故正确. 故答案为：②④. 10.已知为的内心，，且满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】延长交于D，将取值问题转换为的比值问题，根据图形将比值展开，根据内心的几何性质求解即可. 设内切圆半径为r，延长交于D，则，即， 由三点共线，得， ， ，. 当，即，亦即时等号成立，故. 故答案为：. 11.如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则 ． 【答案】/ 【解析】由题可用表示，后由B，P，N三点共线可得答案. ． 因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以． 又B，P，N三点共线，所以，． 故答案为： 12.中，为边的中点，为中线上的一点且，则的最小值为 . 【答案】9 【解析】根据题意可知，然后根据三点共线得出，再通过基本不等式求解即可. 如下图所示： 因为，为边的中点，所以； 又三点共线，所以； 则， 当且仅当，即时，等号成立； 因此的最小值为9. 故答案为：9 13.如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，则的最小值为 . 【答案】3 【解析】先由题意得，进而由共线定理得，接着结合基本不等式即可求解. 因为，， 所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立. 所以的最小值为3. 故答案为：3. 【点睛】思路点睛：根据已知条件关系和所求问题的特征，结合向量的环境优先考虑共线定理中的三点共线系数和为1，故先由题意得，从而由共线定理得，接着结合基本不等式可求解. 14.如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为 . 【答案】1 【解析】由，为上一点，且满足，可求得，再用及表示出及，进而求数量积即可. 由，可得， 又，，三点共线， 则有， 由于，所以，即， 又， 且，，， 故 . 故答案为：1. 三、解答题 1.已知向量，不共线，点P满足，x，.证明： (1)若，则点P是线段AB的中点； (2)是A、B、P三点共线的充要条件. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）结合已知，由平面向量线性运算可得，即可证明； （2）根据平面向量的线性运算可证充分性，由共线向量定理和向量的线性运算计算可证必要性，即可证明. （1）因为的，所以，即， 所以，所以，所以P是线段AB的中点. （2）充分性： 若，则，所以， 所以，所以， 所以A、B、P三点共线； 必要性： 因为A、B、P三点共线，所以存在实数x满足：， 所以，即， 所以，所以 综上所述，是A、B、P三点共线的充要条件. 2.如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. (1)用、表示； (2)求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，再由即可得解； （2）利用平面向量的共线定理到，进而得到，再利用平面向量的基本定理即可得解. （1）因为，则，所以， 因为为的中点，故. （2）因为、、三点共线，则，，， 所以存在，使得，即， 所以， 又因为，且、不共线， 所以，则， 所以，故. 3.如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，. (1)用与表示； (2)求的取值范围； (3)若点为的重心，是否存在，使得，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)；(3)存在， 【解析】（1）利用向量的线性运算可得答案； （2）利用向量的线性运算、数量积的运算可得答案； （3），， 若，，三点共线，则，求出可得答案. （1）； （2），且，即， 所以， 又因为，所以； （3）若点为的重心，则， 又因为， 若，，三点共线，则使得， 可得，解得， 所以存在，使得，，三点共线. 5 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $