第06讲 平面向量的最值和取值范围讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习资料聚焦平面向量数量积及最值范围核心考点，按三角向量不等式、坐标法、极化恒等式等10大题型方法系统梳理，通过考情分析明确命题趋势，知识要点归纳公式与几何意义，解题策略指导方法选择，真题训练强化应用，形成完整复习链条。 资料突出几何直观与代数运算融合，如用极化恒等式快速求解含中点问题，坐标法将动点轨迹转化为函数最值，培养数学思维与运算能力。设置基础到综合分层练习，配合典型例题详解，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生数形结合与转化求解能力。

第06讲 平面向量的最值和取值范围 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 4 解题策略 7 题型归纳 7 平面向量求最值范围方法题型 7 题型01：利用三角向量不等式 7 题型02：定义法 13 题型03：基底法 20 题型04：几何意义法 28 题型05：坐标法 44 题型06：极化恒等式 55 题型07：矩形大法 63 题型08：等和线、等差线、等商线 67 题型09：平行四边形大法 83 题型10：向量对角线定理 93 平面向量最值常见题型 95 题型01：与向量的模有关的最值问题 95 题型02：与向量夹角有关的范围问题 98 题型03：与向量投影有关的最值问题 101 题型04：与平面向量数量积有关的最值问题 103 题型05：平面向量系数的取值范围问题 109 类型06： 平面向量与三角形四心的结合 115 巩固提升 118 平面向量数量积是高考数学的核心高频考点，兼具“代数运算”与“几何直观”双重属性，近五年（2021-2025）全国卷、新高考卷均稳定考查，以下从考情、考点、题型、命题趋势与备考策略展开分析。 一、考情概览：题型、分值与难度 1. 题型与分值 • 主流题型：以选择题（5分）、填空题（5分） 为主，偶见于解答题的小问（与三角函数、平面几何、解析几何综合） • 分值占比：每套试卷单独考查约5分，综合考查时合计8-10分，属于“低投入高回报”的基础必拿分模块。 2. 难度定位 • 核心难度：基础题与中档题为主（占比80%），侧重公式应用与基础运算；难题多为“数量积最值/范围”，需结合轨迹（圆、线段）或几何性质转化。 • 命题特点：不考偏难怪，聚焦核心公式与几何意义，突出“数形结合”与“转化思想”。 二、核心考点与命题角度 1. 基础运算类（必考，难度低） • 核心内容：数量积定义、坐标运算，运算律（交换律、数乘结合律、分配律）。 • 命题角度：已知模长与夹角求数量积；通过模的平方求模长；利用坐标直接计算数量积。 2. 几何应用类（高频，难度中） • 夹角问题：求两向量夹角，常结合垂直条件命题。 • 投影与投影向量：考查投影，多以坐标或几何图形为背景。 3. 综合转化类（热点，难度中-难） • 数量积定值/最值/范围： ◦ 定值：结合正方形、矩形、等腰三角形等规则图形，利用“中点模型”（极化恒等式）或坐标法快速求解。 ◦ 最值/范围：动点轨迹为圆、线段时，通过“极化恒等式”或“坐标建系”转化为函数最值问题• 与其他知识综合： ◦ 与平面几何结合：利用三角形中线、中位线、圆的性质转化数量积。 ◦ 与三角函数结合：通过向量数量积表示角度关系，转化为三角函数求值/最值。 ◦ 与解析几何结合：在直线、圆中通过坐标运算求数量积，体现向量的工具性。 三、命题趋势（2021-2025） 1. 稳定核心，弱化技巧：始终围绕“定义、坐标运算、几何意义”，淡化复杂基底代换，强化“直接应用”与“简单转化”。 2. 几何化趋势明显：数量积最值题常以“圆、三角形、线段”为载体，突出“几何意义优先，代数运算兜底”的命题逻辑。 3. 工具性凸显：与三角函数、平面几何的综合题增多，考查向量在解决几何问题中的“桥梁作用”，而非单纯的向量运算。 4. 极化恒等式成为热点：作为“数量积与几何长度转化”的核心工具，近三年高考中频繁用于中点相关的数量积计算与最值问题，是备考重点。 平面向量数量积是高考数学的“必拿分模块”，核心在于“掌握公式、灵活转化、数形结合”。备考中需聚焦基础运算，熟练三种核心方法，突破最值/范围类题型，即可轻松应对高考中的所有考查形式。 1. 知识目标：理解数量积的定义与几何意义“投影乘积”），熟记坐标运算公式、模长公式及极化恒等式，掌握垂直的充要条件。 2. 能力目标：能灵活用定义、坐标法、极化恒等式求解数量积定值、模长、夹角问题，会结合圆、线段等轨迹求数量积最值/范围，熟练处理与平面几何、三角函数的综合题，提升数形结合与转化求解能力。 3. 素养目标：在数量积的代数运算与几何意义转化中，深化逻辑推理、数学运算、直观想象核心素养，体会向量的工具价值，建立“几何直观→代数表达→问题解决”的思维模式。 平面向量范围与最值问题常用方法： （1）定义法 第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步：得出结论 （2）坐标法 第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步：将平面向量的运算坐标化 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 （3）基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 （4）几何意义法 第一步：先确定向量所表达的点的轨迹 第二步：根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 （5）极化恒等式 （1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明：不妨设 ，则， ① ② ①②两式相加得： （2）极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． ②三角形模式：（M为BD的中点） A B C M （6）矩形大法 矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：． 【证明】（坐标法）设，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy， 则，设，则 （7）等和线 （1）平面向量共线定理 已知，若，则三点共线；反之亦然． （2）等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线． ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； （8）平行四边形大法 1、中线长定理 2、为空间中任意一点，由中线长定理得： 两式相减： 技巧六．向量对角线定理 平面向量最值与范围的解题核心是 “先定类型，再选路径——几何直观优先，代数运算兜底”，通过“形化转化”（几何意义、图形性质）快速锁定方向，用“数化运算”（坐标、函数、不等式）精准求解，具体策略如下： 解题第一步：快速归类，锁定核心方法 核心方法：极化恒等式（含中点/定线段） • 解题步骤： 1. 找“定线段AB”（目标向量的终点构成），求长度 2. 取中点M，确定M为定点； 3. 分析动点P的轨迹，求最值（圆：圆心到M距离±半径；线段：端点到M距离）； 4. 代入公式计算数量积最值。 备用方法：坐标法（无中点/不规则图形） • 步骤：建系→标坐标→设动点坐标→转化数量积为函数 平面向量求最值范围方法题型 题型01：利用三角向量不等式 【典型例题1】已知，，且，则的最大值为（    ） A．5.5 B．5 C．6.5 D．6 【答案】A 【解析】， 又，当且仅当与同向时取得等号； 故. 故选：A. 【典型例题2】已知向量满足，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 由于：， ， 当且仅当时等号成立. 所以， 所以， 所以. 故选：B 【典型例题3】已知，，则的范围是 . 【答案】 【解析】设，， ，…①； ，…②； ①②得：，， （当且仅当时取等号）， 则，； （当且仅当与同向时取等号）， 的取值范围为. 故答案为：. 【典型例题4】已知是平面向量，且是互相垂直的单位向量，若对任意均有的最小值为，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】根据的最小值为，代入得关于的一元二次不等式，利用等号可以取到判断出，然后设为轴的方向向量，为轴方向向量，，则得关于点的轨迹方程，利用抛物线的定义将向量模长转化为距离，计算最小值.，即，所以，即，设为轴的方向向量，为轴方向向量，所以，对应的坐标为，所以，得；，因为为抛物线向上平移个单位，所以焦点坐标为，准线为，所以点到的距离与到的距离相等，，当且仅当时，取最小值. 故答案为： 【变式训练1-1】如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】 ， 所以， 所以，即， 解得. . 故选：D 【变式训练1-2】已知平面向量满足，设，若，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】设，则，则由条件知， 所以，所以， 又 所以． 故答案为：. 【变式训练1-3】已知，则向量的范围是 ． 【答案】 【解析】设， 所以①, 一方面，， 当且仅当与同向，与同向时取得最大值， 另一方面，， 其中，当且仅当与反向时取得最小值． 故． 故答案为： 【变式训练1-4】已知平面向量满足，设，若，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】设，则，则由条件知， 所以，所以， 又 所以． 故答案为：. 【变式训练1-5】已知向量满足，若对任意，恒成立，则 的取值范围是___________. 【答案】 【解析】解析：因为， 则， 因为， 由， 由，即，由，则恒成立. 由,即 则 ， 解得，又 所以. 故答案为： 【变式训练1-6】已知向量满足，，若关于的方程有解，记向量的夹角为，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】不妨令， 由，可得； ， 故可得， 整理得， 要使得该方程有解，则， 整理得，又因为， 故可得，解得. 又因为，故可得， 故可得. 故答案为：. 【变式训练1-7】已知平面向量满足：，若对满足条件的任意向量，恒成立，则的最小值是______________． 【答案】 【解析】由题意设， ， 由， ， 化简得恒成立，所以， ， ， ， 当且仅当且时取到等号； 故答案为： . 【变式训练1-8】已知平面向量，，满足，，，则的取值范围是___________． 【答案】. 【解析】如图， 设，则， 取的中点， 则， ， 又， ， ， ， ，即． 故答案为：． 题型02：定义法 【典型例题1】已知点A，B，C均位于单位圆（圆心为O，半径为1）上，且的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设为圆心，则，因为， 所以，所以， 所以 ， 因为，所以. 故选：C. 【典型例题2】已知向量、满足：，.设与的夹角为，则的最大值为___________. 【答案】/ 【解析】设，则，设向量、的夹角为， 若，则，可得， 由题意可得，解得， 所以，，， 所以，， 当时，即当时，取得最小值，此时取得最大值， 且. 故答案为：. 【典型例题3】已知向量，的夹角为，且，向量满足，且，记，，则的最大值为______. 【答案】 【解析】    设，则， 由，知，即， 所以， 因为，所以点在线段上， 设，则， 所以 故原问题转化为求的最大值， 在中，由余弦定理知， ，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为， 因为，所以，即， 所以， 即，即， 所以. 故答案为： 【变式训练2-1】八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角形，点O为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A，B所在位置如图所示，则的值为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【解析】如图：连接 因为中间是边长为2的正方形，且图中的各个三角形均为等腰直角三角形， 所以，，，. 所以 . 故选：A 【变式训练2-2】已知是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（    ）    A．7 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【解析】 如图，连接，作，， 易知是的中点，是的中点，由勾股定理得，， 故， 故，当反向时等号成立，故C正确. 故选：C 【变式训练2-3】已知向量，，满足，，，向量与向量的夹角为，则的最大值为______． 【答案】 【解析】依题意可知，所以，不妨设，，，则， 由与的夹角为可知，所以四点共圆，即点在的外接圆上. ，则，由正弦定理得的外接圆直径，所以的最大值为. 故答案为：. 【变式训练2-4】已知向量，满足，，且，若向量满足，则的最大值是______． 【答案】6 【解析】如图，设，，，， 连接，， 则由可知四边形为矩形， 则． 由， 可得， 连接， 则， 所以点在以点为圆心，4为半径的圆上， 所以的最大值为． 故答案为：6. 【变式训练2-5】已知向量，满足，，且，若向量与的夹角为30°，则的最大值是___________. 【答案】 【解析】 设 所以, 所以, 所以， 因为， 所以 所以四点共圆.设外接圆半径为, 要使最大，所以必须过圆心， 此时，在中，由余弦定理得. 由正弦定理得. 故答案为： 【变式训练2-6】已知向量，满足，若以向量为基底，将向量表示成 为实数），都有，则的最小值为________ 【答案】 【解析】由题可知， 不妨设，,,则点、分别在以原点为圆心，半径分别为和的圆上运动， 又 为实数），都有， 所以当、、三点共线时且此线与半径为2的圆相切时，向量的夹角最大，此时，的最小. 此时，在中，由余弦定理可得， , 故答案为：. 题型03：基底法 【典例例题1】已知平面向量，，满足，，，且与的夹角为，则的最大值为 ______________． 【答案】 【解析】∵，，， ∴cos＜，＞＝﹣，即与的夹角为， 如图，作，，，连接AC，BC，则＝，＝， ∴∠ACB＝， 又∠AOB＝，∴O，A，C，B四点共圆， 故当OC为圆的直径时，||最大， 此时A＝B＝，OA＝，OB＝1，∠BOC＝﹣∠AOC， 在中，OC＝， 在中，OC＝， ∴＝，即＝， ∴cos∠AOC＝（﹣cos∠AOC+sin∠AOC）， 整理得，2cos∠AOC＝sin∠AOC， ∴tan∠AOC＝2，cos∠AOC＝， ∴OC＝＝，即||的最大值为． 故答案为：． 【典例例题2】已知的内角的对边分别为，若，，为的中点，为的中点，，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】因为为的中点，为的中点， 所以, 因为，所以，所以 则， 所以. 因为，所以由余弦定理得， 所以，则，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故答案为： 【典例例题3】菱形的边长为，，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为______． 【答案】/ 【解析】设， 则 ， 所以当，时，取得最大值． 故答案为：． 【典例例题4】已知向量，满足，．若，且，则的最大值为______． 【答案】 【解析】令，，则，故，又，所以．以为直径作直角三角形的外接圆，进而得出当时，即取得最大值． 令，连接．设，因为，所以点在直线上，又，所以，即，所以．结合图形可知，当时，即取得最大值，且． 故答案为： 【典例例题5】如图，菱形的边长为为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为___________. 【答案】36 【解析】，，其中， 所以 ， 所以当时，取得最大值，最大值为. 故答案为：36 【变式训练3-1】在中，，，点D为的中点，点E为的中点，若，则的最大值为 . 【答案】 【解析】在中，，，点为的中点，点为的中点， 设，则， 设， 由余弦定理可得， 因为，可得，即，当且仅当时取等号， 又因为，则， 则 ， 即的最大值为． 故答案为：． 【变式训练3-2】已知菱形ABCD的边长为2，，点E，F分在边BC，CD上，，．若，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】如图， ，，且， ， ． 由题意可得，，， ， ，则， （当且仅当时等号成立）， 的最小值为． 故答案为：． 【变式训练3-3】已知菱形的边长为，，点、分别在边，上，，，若，则的最小值__________． 【答案】 【解析】,.由于,在区间上为增函数,故当时取得最小值为. 【变式训练3-4】如图，已知等腰中，，，点P是边上的动点，则（    ） A．为定值10 B．为定值6 C．为变量且有最大值为10 D．为变量且有最小值为6 【答案】A 【解析】设，因为， 所以, 又， ， 所以， 故选：A. 【变式训练3-5】平面四边形ABCD是边长为2的菱形，且，点N是DC边上的点，且，点M是四边形ABCD内或边界上的一个动点，则的最大值为______. 【答案】/ 【解析】如图所示，    根据数量积的几何意义知：当点M在C点时，在上的投影向量与同向，且长度最长， 所以此时最大， 因为，， 所以 ， 所以的最大值为. 故答案为： 【变式训练3-6】已知平面向量、、满足，，，，则最大值为__________. 【答案】 【解析】设与所成夹角为 则 因为，，所以的夹角为 设，则 所以，设到的距离为 则，所以 因为，所以点落在以点为圆心，以为半径的圆上 所以到的距离最大值为 所以的最大值为 所以的最大值为 故答案为： 【变式训练3-7】在中，为边上任意一点，为的中点，且满足，则的最小值为________. 【答案】/ 【解析】由为边上任意一点，则， ， 可得，则，即，由，可得，则， 故， 当时，取得最小值为. 故答案为：. 【变式训练3-8】在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为 ；若，则的最大值为 ． 【答案】 ． 【解析】在中，，，点为的中点，点为的中点， 由，则， 设， 由余弦定理可得， 因为，可得，即，当且仅当时取等号， 又因为，则， 则 ， 即的最大值为． 故答案为：；． 【变式训练3-9】在中，是边的中点，是线段的中点．若，的面积为，则取最小值时，则（   ） A．2 B． C．6 D．4 【答案】D 【解析】在中，由，的面积为，得，则， 由是边的中点，是线段的中点，得， ， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 在中，由余弦定理得：， 所以. 故选：D 题型04：几何意义法 【典型例题1】已知向量，满足，则的最小值是 ，最大值是 ． 【答案】 【解析】(几何法)：本题的关键是要挖掘隐含条件: 和是以为邻边的平行四边形的两条对角线， 故． 如图，是以为邻边的平行四边形的两条对角线，是以为圆心的单位圆上一动点，构造2个全等的平行四边形． 所以． 易知当三点共线时，最小，此时; 当时，最大，此时 ． (坐标法)：设，，则，， 所以， 则， 所以． (不等式法)：最小值:． (当且仅当和方向相反，即时，取“”)． 最大值:． (当且仅当，即时，取“=”)． (转化为二元最值问题)：令原题转化为，且， 求的最值． 方法1(数形结合):直线与圆弧有交点，如图可得． 方法2(判别式法):化简得得，所以． 故答案为：； 【典型例题2】已知，，是平面向量，满足，，，则向量在向量上的投影的数量的最小值是______. 【答案】 【解析】由，则， 即，即，即， 又由，所以，， 不妨设，，， 则，即， 即，则 故向量在向量上的投影的数量为， 又，所以， 所以向量在向量上的投影的数量的最小值是. 故答案为：. 【典型例题3】已知平面向量，，满足，，与的夹角为，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】∵，,∴， 如图所示，设平面向量，，都是以O为起点，终点分别是A,B,C， 则平面向量+的终点N到O的距离为2， 设AB的中点为M,则|MN|=1,∴N在以M为圆心，半径为1的圆周上. 由与的夹角为，∴点C在以AB为弦的圆周角为的优弧上， 当C,M,N共线，且C,N在直线AB的两侧，并且CM⊥AB时，|CN|最大，也就是取得最大值, 此时,, |CN|=, 故答案为：. 【典型例题4】已知非零平面向量，，满足：，的夹角为，与的夹角为，，，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】如图： 以点为起点作向量，，， 则，，， 由，的夹角为，与的夹角为可知：四点共圆， 由，得，， 在中：，即 所以，所以， 由同弧所对的圆周角相等，可得， 设，则， 在中：， 所以， ， ，， ，， ， 则的取值范围是 故答案为： 【典型例题5】已知平面向量，，，若，且，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】由题意知：向量，为单位向量， 因为，所以，则， 所以，即与夹角为. 如图作向量，，， 则，，，， 因此， 则， 所以， 故，，三点共线，即点在线段上， 则的几何意义表示线段的中点到线段上点的距离， 记线段的中点为，过点作于点，则， ，所以， 因此， 由图形可得，， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练4-1】已知O是所在平面内一点，且，，，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据，可得， 即可得； 即可知点轨迹是以为圆心，半径为的圆，如下图所示： 由图可知，当与圆相切时，取到最大， 又，可知此时. 故选：B. 【变式训练4-2】已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】由， 设，以为原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的坐标系， 由，得点在以为圆心，以1为半径的圆上， 又非零向量与的夹角为，设的起点为原点，则的终点在不含端点的两条射线上，设， 则的最小值为 ， 表示点到和的距离之和的最小值的倍， 则最小值为， 故选：B. 【变式训练4-3】已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，， ，两边平方，整理得到， 对任意实数恒成立，则，解得，则. 由于，如上图，，则 ，则的最小值为． 当且仅当终点在同一直线上时取等号. 故选：B． 【变式训练4-4】已知向量，，满足，，，则的最小值为（    ） A．－1 B． C．2 D．1 【答案】A 【解析】由题意设，，， 则，即，且， 解得，或. 由可得 ，即， 则，即的终点在以为圆心，1为半径的圆上, 故. 由圆的对称性，不妨令，即， 如图，连接，交圆于， 由点与圆的位置关系可知，. 故选：A. 【变式训练4-5】已知平面向量夹角为，且平面向量满足记为（）的最小值，则的最大值是__________． 【答案】 【解析】设，，，则，， 依题意可知，，，，故点在△的外接圆上. 其半径，为点到直线的距离， 显然，当运动到点处时，有最大值. 故答案为：. 【变式训练4-6】已知非零平面向量，，满足：，的夹角为，与的夹角为，，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】如图： 以点为起点作向量，，， 则，，， 由，的夹角为，与的夹角为可知：四点共圆， 由，得，， 在中：，即 所以，所以， 由同弧所对的圆周角相等，可得， 设，则， 在中：， 所以， ， ，， ，， ， 则的取值范围是 故答案为： 【变式训练4-7】平面向量满足：的夹角为，，则的最大值为_____. 【答案】/ 【解析】设，，，则有，， 设线段的中点为，则，， 则 ， 因为，， 所以的外接圆的直径， 所以点的轨迹是过、且半径为2的圆（除去两点），记圆心为， 当在圆上时，，此时（不能与重合）， 所以， 当不在圆上时， ，，又， 所以，所以， 所以， 所以， 故的最大值为. 故答案为： 【变式训练4-8】已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的最大值是______. 【答案】/ 【解析】根据题意，作图如下： 令， 根据题意可得：，且， 取中点为，故，点在以为直径的圆上运动； 显然当三点共线时，取得最大值，即； 不妨设三角形的外接圆圆心为，显然， 在三角形中，由正弦定理可得：，即， 故，当且仅当时取得，同时； 显然当三点共线时，取得最大值， 此时 故，当且仅当，且四点共线时取得. 故答案为：. 【变式训练4-9】已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的模取值范围是___________. 【答案】 【解析】如图1，令，，，则，取AB中点M . 由，可得， ， 所以，即C在以M为圆心、为半径的圆上. 由，当O、M、C三点共线时（M在线段OC上），. 由于O在以AB为弦的圆弧上，设圆心为G， 由正弦定理可知，即， 当时，圆G半径取得最大值. 当O、M、G三点共线（G在线段OM上），且时， 取得最大值，此时， 所以. 如图2，显然当O、M、C三点共线（点C在线段OM上）， 当时，圆G半径取得最小值. ，即M、G两点重合.取得最小值为2. 则时，. 故向量的模取值范围是 故答案为： 【变式训练4-10】已知向量，满足，且，若向量满足，则的最大值为________. 【答案】/ 【解析】因为，所以， 又，， 如图，向量的终点在以A点为圆心1为半径的圆上， 又， 所以的最大值为，即的最大值为. 故答案为：. 【变式训练4-11】已知向量，，满足，与的夹角为，则的最大值为______． 【答案】 【解析】因为，所以，． 设，，，则， ，，． 因为与的夹角为，所以， 的外接圆的直径为： 则动点的轨迹是半径为的圆中的优弧（不含点，）， 由，则动点的轨迹是以点为圆心、半径为的圆，如图， 结合图形可知，当点，，，四点共线，且在线段的延长线上时，最大，且最大值是， 故的最大值为． 故答案为： 【变式训练4-12】已知平面向量满足：，向量与向量的夹角为，，向量与向量的夹角为，则的最大值为___________. 【答案】60 【解析】 如图所示，设 所以，, 因为向量与向量的夹角为，向量与向量的夹角为， 所以 所以， 所以四点共圆. 在△中，由正弦定理得 所以因为. 在△中，由余弦定理得， 所以. 所以的最大值为60. 故答案为：60 【变式训练4-13】已知是同一平面上的3个向量，满足，，，则向量与的夹角为 ，若向量与的夹角为，则的最大值为 ． 【答案】 / 【解析】因为，，， 所以， 又，所以， 因为，，，如图，设，，， 则，， 又向量与的夹角为，则，又， 所以四点共圆，又， 所以， 设外接圆的半径为， 由正弦定理，所以的最大值为. 故答案为：； 题型05：坐标法 【典型例题1】如图，在等腰直角中，斜边，点在以BC为直径的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B．8 C． D．12 【答案】D 【解析】如图：以为原点，建立平面直角坐标系. 则，，可设， 则， 所以 所以. 又因为，所以. 故选：D 【典型例题2】如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交，于点，．当点在劣弧上运动时，的最小值为_________． 【答案】/ 【解析】如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，设， 则， 则， 由，得， 所以当，即时，取得最小值. 故答案为：. 【典型例题3】已知平面向量，，满足，，，与的夹角是，则的最大值为__________. 【答案】5 【解析】如图，设， 因为与的夹角是， 所以，所以点所在的圆中，弧所对的圆心角为， 所以点在两圆弧或上， 因为，设， 把代入中化简得 ， 因为此方程有解，所以 即， 化简得，解得； 把代入中化简得 ， 因为此方程有解，所以 即， 化简得，解得； 所以的最大值为5 【典型例题4】已知，，若动点P，Q与点A，M共面，且满足，，则的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图，则， 由，得点在以为圆心，2为半径的圆上， 由，得点在以为圆心，1为半径的圆上， 设， 则 ， 当时，能取到所有等号， 所以的最大值为1. 故选：C 【典型例题5】在梯形中，，，，，，，分别为线段和线段上（包括线段端点）的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】 以AB为x轴，过A垂直于AB的直线为y轴， 因为，所以, 因为，所以, , 当时，的最大值为3. 故选：D. 【变式训练5-1】在△ABC中，BC＝2，，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，即， 所以． 因为，，所以点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点）． 设所在圆的圆心为M，连接MB、MC、MD， 则MD⊥BC，，可得，，． 以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系， 可得，圆M的方程为， 设，则，结合， 可得， 因为A点在圆M：上运动， 所以，可得当时，，达到最大值． 综上所述，当时，有最大值． 故选：D． 【变式训练5-2】在中，，，是以为直径的圆上任意一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图：以中点为原点，建立平面直角坐标系， 则，，设，， 所以，， 所以. 因为，（其中且）. 所以. 从而. 故选：A 【变式训练5-3】已知向量，满足，，则的最大值为___________. 【答案】5 【解析】令， ， ， ， 令， 设，则 ，， 令， 若函数存在极值点，则是函数的唯一极值点， 显然，函数在取得最值， ， 故答案为：5. 【变式训练5-4】例15．设平面向量，，满足，与的夹角为，则的最大值为______． 【答案】/ 【解析】由题知，，与的夹角为， 以的起点为原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，设， 因为， 所以， 化简得，即， 所以的终点落在以为圆心，半径为的圆上， 易知在圆内，， 所以的最大值为， 故答案为：. 【变式训练5-5】已知平面向量满足，，，的夹角为，且，则的最大值是______. 【答案】 【解析】由题意设，， 所以， 即. 所以的最大值为圆上点到原点距离的最大值，即. 故答案为：. 【变式训练5-6】若平面向量，，满足，，，，则的最小值为______． 【答案】2 【解析】在平面直角坐标系内，令，设， 由，得，由，得，由，得，即， ， 则，当且仅当或时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 【变式训练5-7】如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系， 则，，， 设点坐标为，则，，， ∴， ∴当时，， 故答案为：． 【变式训练5-8】已知，，则的最小值是______. 【答案】 【解析】设， 则 由，则 即点在以为焦点，长轴为的椭圆上 所以满足 则，且 故当时，有最小值 故答案为： 【变式训练5-9】已知向量，满足，且的最小值为1（为实数），记，，则最大值为______. 【答案】-3 【解析】设, 由的最小值为1（为实数）， 到OA距离为1， 如图建立坐标系，， ，， ， ， 令 ， 令，得， 单调递减； 单调递增； 单调递减； 单调递增； ， ， ，即最大值为 故答案为： 【变式训练5-10】在矩形中，，，，分别是，上的动点，且满足，设，则的最小值为（    ） A．48 B．49 C．50 D．51 【答案】B 【解析】如图，建立平面直角坐标系， 则，，，， 设，，因为， 所以，，. 因为，所以，， 所以. 当且仅当，即，时取等号. 故选: B. 题型06：极化恒等式 【典型例题1】在边长为2的正方形中，动点P，Q在线段上，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】方法一：设的中点为， 则 （当为中点时取等号）. 方法二：建立平面直角坐标系如图所示.设， 因为在边长为2的正方形中，动点P，Q在线段上，且， 所以，， 所以 ， 所以当时，有最小值1.故选：C. 【典型例题2】已知中，，若所在平面内一点满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】如图，设中点为， 因为， 所有， 所以为中点， 所以, 又， 所以， 即，当且仅当时等号成立， 又 ，当且仅当时等号成立， 所以 所以. 故答案为：. 【典型例题3】在中，，点Q满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】设中点为M，则，则， ， 又 ， 由余弦定理可得： ， 有， 即， 即，当且仅当时，等号成立， 则， 即. 故答案为：. 【典型例题4】勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知为弧（含端点）上的一点，则的范围为 ． 【答案】 【解析】取中点为， 则 ， 其中易得，故． 故答案为：. 【典型例题5】点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】分别取，中点Q，R，连接，， 则由题，，即， 所以， 作图如下，由图可知当P运动到D或E时PQ最大， 所以 ， 所以的最大值为3. 故选：C. 【变式训练6-1】边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________． 【答案】 【解析】如下图所示： 设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径， ， 当为正方形的某边的中点时，， 当与正方形的顶点重合时，，即， 因此，． 故答案为：． 【变式训练6-2】四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】由题设，，取的中点，连接，，， 则，， 所以． 故答案为： 【变式训练6-3】摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以在高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮的最高点距离地面的高度为12，转盘的直径为10，A，B为摩天轮在地面上的两个底座，，点P为摩天轮的座舱，则的范围为 ． 【答案】 【解析】设C为AB的中点，如图示：由题意可知： , 则， 又因为，所以的取值范围是, 故答案为： 【变式训练6-4】已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（       ） A．16 B．12 C．5 D．4 【答案】C 【解析】如图，延长到D，使得． 因为，所以点P在直线上． 取线段的中点O，连接， 则． 显然当时，取得最小值， 因为，则，所以， 所以的最小值为． 故选：C． 【变式训练6-5】中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知，，所以是直角三角形，， 设内切圆半径为，则，解得， 设内切圆圆心为，因为是内切圆的一条直径， 所以，， 则，， 所以， 因为M为边上的动点，所以；当与重合时，， 所以的取值范围是， 故选：C 【变式训练6-6】如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，， ，则的取值范围为 ________________ ．   【答案】 【解析】在上取一点，使得，取的中点，连接，， 如图所示： 则，，， ，即． ， 当时，取得最小值，此时， 所以． 当与重合时，，， 则， 当与重合时，，， 则， 所以，即的取值范围为． 故答案为： 题型07：矩形大法 【典型例题1】已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为______． 【答案】/ 【解析】解法1：如图，因为，所以，故四边形为矩形， 设的中点为S，连接，则， 所以， 又为直角三角形，所以，故①， 设，则由①可得， 整理得：， 从而点S的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 显然点P在该圆内部，所以， 因为，所以 ； 解法2：如图，因为，所以， 故四边形为矩形，由矩形性质，， 所以，从而， 故Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆， 显然点P在该圆内，所以． 故答案为： ． 【典型例题2】在平面内，已知，，，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以四边形是平行四边形， 又，所以四边形是矩形， 从而，因为，所以，即【典型例题3】已知圆与，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是 ． 【答案】 【解析】以为邻边作矩形，则 由得 ，即， 的轨迹是以为圆心，半径为的圆， ， ． 【变式训练7-1】设向量，，满足，，，则的最小值是（       ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】建立坐标系，以向量，的角平分线所在的直线为轴，使得，的坐标分别为，，设的坐标为， 因为， 所以，化简得， 表示以为圆心，为半径的圆， 则的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值， 因为圆到原点的距离为，所以圆上的点到原点的距离的最小值为， 故选：B 【变式训练7-2】在平面内，已知，，，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以四边形是平行四边形， 又，所以四边形是矩形， 从而，因为，所以，即 【变式训练7-3】已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为______． 【答案】/ 【解析】解法1：如图，因为，所以，故四边形为矩形， 设的中点为S，连接，则， 所以， 又为直角三角形，所以，故①， 设，则由①可得， 整理得：， 从而点S的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 显然点P在该圆内部，所以， 因为，所以 ； 解法2：如图，因为，所以， 故四边形为矩形，由矩形性质，， 所以，从而， 故Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆， 显然点P在该圆内，所以． 故答案为： ． 【变式训练7-4】设向量，，满足，，，则的最小值是（       ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】建立坐标系，以向量，的角平分线所在的直线为轴，使得，的坐标分别为，，设的坐标为， 因为， 所以，化简得， 表示以为圆心，为半径的圆， 则的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值， 因为圆到原点的距离为，所以圆上的点到原点的距离的最小值为， 故选：B 题型08：等和线、等差线、等商线 【典型例题1】在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系.    则.不妨设. 因为，所以，解得：， 所以. 因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减. 所以当时最大；当时最小. 所以的取值范围是. 故答案为：. 【典型例题2】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】 作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设，则， ∵BC//EF，∴设，则 ∴， ∴ ∴ 故选：A. 【典型例题3】在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，设，， 当时，，所以， 所以，从而有； 当时，因为（，）， 所以，即， 因为、、三点共线，所以，即. 综上，的取值范围是. 故选：C. 【典型例题4】如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，， 点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动， 且.， 由向量加法的平行四边形法则， 为平行四边形的对角线， 该四边形应是以与的反向延长线为两邻边， 当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上， ， 的取值范围为. 故选：B 【典型例题5】在中，，点在线段（含端点）上运动，点是以为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，所以，即为等边三角形，以为轴，线段的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 分别以为圆心作半径为1的圆，如图，是所在圆的最低或最高点，点在线段，半圆，线段，半圆所围区域内，设，则，， ，，， 由得， 所以，， 因为，所以，即的最大值是． 故选：C． 【变式训练8-1】如图，，点由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据平面向量基本定理和平行四边形法则可知： 若取，则，点在阴影区域内，A正确； 若取，则，点在直线的上方，B错误； 若取，则，点在直线的下方，C错误； 若取，则，点在射线上，D错误， 故选：A. 【变式训练8-2】如图，B是的中点，，P是平行四边形内（含边界）的一点，且，则下列结论正确的个数为（    ） ①当时， ②当P是线段的中点时，， ③若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段 ④的最大值为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】当时，，则在线段上，故，故①错 当是线段的中点时， ，故②对 为定值1时，，，三点共线，又是平行四边形内（含边界）的一点，故的轨迹是线段，故③对 如图，过作，交于，作，交的延长线于， 则：； 又；，； 由图形看出，当与重合时：； 此时取最大值0，取最小值1；所以取最大值，故④正确 所以选项②③④正确. 故选：C 【变式训练8-3】在中，为上的中线，为的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点A，B，C），且M，N，G三点共线，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由题意， 设，， 则， 所以，，得， 所以（当且仅当时等号成立）. 故选：D 【变式训练8-4】在中，，M为线段EF的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 故 故，故. 当时等号成立. 故选：. 【变式训练8-5】在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 令，则， 因为，则，,， 又， 则， 则， 则， 又， 易知为减函数， 由单调性易得其值域为. 故选：B. 【变式训练8-6】如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若（）存在最大值，则的取值范围为（ ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设扇形所在圆的半径为1，以所在的直线为轴，为原点建立平面直角坐标系， 设，则，由题意可得 令 则在上不是单调函数，从而在上一定有零点 即在时有解，可得 解得，经检验此时取得最大值 故答案选 【变式训练8-7】（多选题）已知向量 满足，，， .则下列说法正确的是（    ） A．若点P在直线AB上运动，当取得最大值时，的值为 B．若点P在直线AB上运动， 在上的投影的数量的取值范围是 C．若点P在以r = 为半径且与直线AB相切的圆上，取得最大值时，的值为3 D．若点P在以r = 为半径且与直线AB相切的圆上，的范围是 【答案】BD 【解析】因为，即有，则以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则，由，得， 点确定的直线方程为：，即， 当点在直线上时，，即，， 因此当时，取得最大值，此时，，A错误； 在上的投影的数量， 当时，，当时，，当且仅当时取等号，即， 当时，，因为恒成立，则， 所以，即在上的投影的数量的取值范围是，B正确； 当点P在以r = 为半径且与直线AB相切的圆上时，因为与直线AB相切， 且半径为的圆的圆心轨迹是与直线平行，到直线距离为的两条平行直线， 设这两条与平行的直线方程为，则，解得或， 因此动圆圆心的轨迹为直线或直线， 设圆心为，则点在圆上，其中或， 于是令， ，显然点是直线或上任意一点， 即，从而无最大值，即无最大值，C错误； ，其中锐角满足， 显然，当圆心在直线时，，则， 当圆心在直线时，，则， 所以的范围是，D正确. 故选：BD 【变式训练8-8】如图，点是半径为的扇形圆弧上一点，且，若，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【解析】 如图所示，以为轴，过作与垂直的线作为轴， ，，，， 则，， 设， ，， ， 其中，又，所以， ，即时，取得最大值，即． 故选：C． 【变式训练8-9】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【解析】以为坐标原点，过点平行于的直线为轴建立平面直角坐标系， 如图所示，可得， 因为是边长为2的等边三角形，可得其外接圆的半径为， 因为点在的外接圆上，设，其中， 则，且， 又因为，可得且， 所以， 当时，即时，取得最大值为， 所以取得最大值为. 故选：C. 【变式训练8-10】对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】如图所示，过点作，交直线于点， 设，可得. 设，，则， 因为，所以， 由图可知，当与半圆相切时，最大， 又由，，可得， 所以，即最大为，所以的最大值为. 故选：B. 【变式训练8-11】平行四边形中，，，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且落在四边形内部任意一点，，若，则角的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，当在直线上时，， 当圆与的切点在延长线上时，圆落在四边形内部部分与直线没有公共点，此时， 当恰好切于点时，则，又，， 所以，则， 所以，则，故. 故选：B 【变式训练8-12】如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是 . 【答案】 【解析】如图，过作，交于，作，交的延长线于， 则：， 又因为，，则点为中点， 又是的中点，所以，则点在上， 由图形看出，当与重合时：，此时取最小值， 当与重合时：，此时取最大值， 所以的范围是 故答案为： 【变式训练8-13】如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 . 【答案】 【解析】因为,所以, 因为在一条直线上，所以, 所以,当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 【变式训练8-14】在扇形中，，为弧上的一个动点.若，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】由题意可知，在扇形中，，为弧上的一个动点. 不妨设，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 令，则，，,， 又， 则，则， 则， 又， 则， 则， 即， 故答案为：. 【变式训练8-15】在扇形中，，，C为弧上的一个动点，若，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则，， 设，则， 由得 从而 则，易知， 故在上单调递增， ∴，. 故. 故答案为： 题型09：平行四边形大法 【典型例题1】已知为单位向量，平面向量，满足，的取值范围是____. 【答案】 【解析】建系，不妨设，，，则，再利用柯西不等式将所求转化为，利用换元法求出最大值，最小值显然为共线方向时取得.不妨设，，，由已知，得，， ，令 ，则，又显然当，向量反 向时，最小，即，，此时，综上，的取值范围是. 故答案为：. 【典型例题2】如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】连接，，设是线段的中点，连接，则有. 设为和的夹角. 则 ， ， （当即时取等） 因为，所以当时，有最小值. ， （当即时取等） 当时，有最大值为3， 即有最大值3，所以的取值范围是. 故答案为： 【典型例题3】半径为的两圆和圆外切于点，点是圆上一点，点是圆上一点，则的取值范围为_______. 【答案】 【解析】设点关于点的对称点为，则点在圆上， 所以， ， 因为 ， 所以，， 因为， 当且仅当、同向且、反向时，， 当时，则，所以，， 所以，，所以，， 因为，则， 故当且四边形为菱形时，， 因此，. 故答案为：. 【典型例题4】如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】连接，，设是线段的中点，连接，则有. 设为和的夹角. 则 ， ， （当即时取等） 因为，所以当时，有最小值. ， （当即时取等） 当时，有最大值为3， 即有最大值3，所以的取值范围是. 故答案为： 【典型例题5】如图，C，D在半径为1的上，线段是的直径，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】以点O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 设点，， 则，， 则， 其中， 所以的最大值为： ， 则当时，取得最大值， 最小值为， 则当时，取得最小值， 综上，的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练 9-1】设圆，圆的半径分别为1，2，且两圆外切于点，点，分别是圆，圆上的两动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接分别与两圆交于，又两圆外切于点， 三点共线，连，延长交圆与，连， 分别为圆，圆的直径， ， 又，， 设为中点，连， 先固定，根据向量数量积的定义， 当在同向投影最大值时为与平行的圆切线的切点， 记为图中的点，此时在投影 ， 当且仅当，等号成立， 同理当在投影最小（在反向上）时， 为与平行的圆切线的切点， 记为图中的点，此时在投影， ， 当且仅当时，等号成立， ， 所以的数量积取值范围是. 故选：C. 【变式训练 9-2】设圆，圆的半径分别为1，2，且两圆外切于点，点，分别是圆，圆上的两动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接分别与两圆交于，又两圆外切于点， 三点共线，连，延长交圆与，连， 分别为圆，圆的直径， ， 又，， 设为中点，连， 先固定，根据向量数量积的定义， 当在同向投影最大值时为与平行的圆切线的切点， 记为图中的点，此时在投影 ， 当且仅当，等号成立， 同理当在投影最小（在反向上）时， 为与平行的圆切线的切点， 记为图中的点，此时在投影， ， 当且仅当时，等号成立， ， 所以的数量积取值范围是. 故选：C. 【变式训练 9-3如图，C，D在半径为1的上，线段是的直径，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】以点O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 设点，， 则，， 则， 其中， 所以的最大值为： ， 则当时，取得最大值， 最小值为， 则当时，取得最小值， 综上，的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练 9-4】已知为单位向量，平面向量，满足，的取值范围是____. 【答案】 【解析】建系，不妨设，，，则，再利用柯西不等式将所求转化为，利用换元法求出最大值，最小值显然为共线方向时取得.不妨设，，，由已知，得，， ，令 ，则，又显然当，向量反 向时，最小，即，，此时，综上，的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练 9-5】半径为的两圆和圆外切于点，点是圆上一点，点是圆上一点，则的取值范围为_______. 【答案】 【解析】设点关于点的对称点为，则点在圆上， 所以， ， 因为 ， 所以，， 因为， 当且仅当、同向且、反向时，， 当时，则，所以，， 所以，，所以，， 因为，则， 故当且四边形为菱形时，， 因此，. 故答案为：. 题型10：向量对角线定理 【典型例题1】已知平行四边形，，，，与交于点，若记，，，则（ ） A. B． C． D． 【答案】C 【解析】由对角线向量定理得， 所以， 而， 所以，选择C． 【典型例题2】如图，在圆中，若弦，弦，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，由对角向量定理得 所以选D． 【变式训练10-1】如图，在四边形ABCD中，，若，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，由对角线向量定理得 =，所以选A． 【变式训练10-2】已知平行四边形，，，，与交于点，若记，，，则（ ） B. B． C． D． 【答案】C 【解析】由对角线向量定理得， 所以， 而， 所以，选择C． 【变式训练10-3】如图，在圆中，若弦，弦，则的值是（ ） B． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，由对角向量定理得 所以选D． 【变式训练10-4】在四边形ABCD中，，若，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，由对角线向量定理得 =，所以选A． 平面向量最值常见题型 题型01：与向量的模有关的最值问题 【典型例题1】已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】由可知|（）||•|，所以的终点的轨迹是以的终点为圆心，|•|为半径的圆， ||的最大值是圆心与的终点之间的距离加上半径，即为|（）||•|，再将其化成，的模和夹角可解得． 【解析】解：设与的夹角θ， 由可知|（）||•|， 所以的终点的轨迹是以的终点为圆心，|•|为半径的圆， ||的最大值是圆心与的终点之间的距离加上半径， 即为|（）||•． ∵|||•||•| |•||cosθ| 2． 故选：B． 【典型例题2】已知，则的最小值为（　　） A．﹣1 B．1 C．4 D．7 【答案】根据条件进行数量积的运算即可得出，从而可得出的最小值，进而得出的最小值． 【解析】解：∵， ∴， ∴时，取最小值1， ∴的最小值为1． 故选：B． 【典型例题3】如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为( ) A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】 ，得到，所以， 结合的面积为，得到,得到， 所以， 故选D． 【点睛】三点共线的一个向量性质：已知O、A、B、C是平面内的四点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数、，使，且. 【变式训练1-1】已知为单位向量，且，向量满足，则的范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B[ 【解析】如图，，又，故选B． A B O 【变式训练1-2】已知平面向量不共线，且，，记与 的夹角是，则最大时，（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把表示为的函数，利用函数的性质求出当最大时的值，进而可求出的值. 设，则，， 所以.易得， ， 当时，取得最小值，取得最大值， 此时.故选C. 【变式训练1-3】如图，在等腰三角形中，已知，分别是上的点，且，（其中，），且，若线段的中点分别为，则的最小值为________. 3.已知向量满足 与的夹角为,,则的最大值为 . 【答案】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围. 【解析】设； 以OA所在直线为x,O为坐标原点建立平面直角坐标系, ∵ 与的夹角为, 则A（4,0）,B（2,2）,设C（x,y） ∵,∴x2+y2-6x-2y+9=0, 即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆, 表示点A,C的距离即圆上的点与点A（4,0）的距离； ∵圆心到B的距离为, ∴的最大值为． 【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键． 【变式训练1-4】已知向量满足 与的夹角为,,则的最大值为 . 【答案】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围. 学&科网 【解析】设； 以OA所在直线为x,O为坐标原点建立平面直角坐标系, ∵ 与的夹角为, 则A（4,0）,B（2,2）,设C（x,y）∵, ∴x2+y2-6x-2y+9=0, 即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆, 表示点A,C的距离即圆上的点与点A（4,0）的距离； ∵圆心到B的距离为, ∴的最大值为． 题型02：与向量夹角有关的范围问题 【典型例题1】设为非零向量2||，则与的夹角的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】设,,,问题转化为∠C最大值，可解决此题． 【解析】解：在△ABC中，设,,,问题转化为∠C最大值， 由正弦定理得：,又∵2||，∴sinCsinB, ∵C为锐角，∴C的最大值为． 故选：A． 【典型例题2】已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是________. 【答案】∪ ∵∠ABC为锐角，∴·＝3＋3m＋m>0，可得m>－. 由题意知，当m＝时，∥，且与同向. 故当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围是∪. 【变式训练2-1】已知，是平面向量，满足||＝4，||≤1且2，则cos，的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】推导出4，从而2，进而cos，当||＝1时，cos，的最小值为． 【解析】解：∵，是平面向量，满足||＝4，||≤1，且2， ∴4， ∴2， ∴cos， ∵||≤1，∴当||＝1时，cos，的最小值为． 故选：B． 【变式训练2-2】非零向量满足=，，则的夹角的最小值是 ． 【答案】 【解析】由题意得，，整理得，即 ，，夹角的最小值为． 解题反思：设,,且的夹角为,则． 【变式训练2-3】已知向量与的夹角为,时取得最小值,当时,夹角的取值范围为________________. 【答案】将表示为变量的二次函数,转化为求二次函数的最小值问题,当时,取最小值,由已知条件,得关于夹角的不等式,解不等式得解． 【解析】由题意知,,,所以 ,由二次函数的图像及其性质知,当上式取最小值时,.由题意可得,,求得,所以. 【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解． 【变式训练2-4】已知非零向量满足 ,若函数 在R 上存在极值,则和夹角的取值范围为 【答案】 【解析】,设和夹角为,因为有极值,所以,即,即,所以． 【变式训练2-5】非零向量满足=，，则的夹角的最小值是 ． 【答案】 【解析】由题意得，，整理得，即 ，，夹角的最小值为. 【变式训练2-6】已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______. 【答案】 【解析】，， ，,在时取得最小值, 解可得：,则夹角的取值范围 题型03：与向量投影有关的最值问题 【典型例题】若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 在方向上的投影为，其中为，的夹角． 又，故． 设，则有非负解，故 ， 故，故，故选A． 【指点迷津】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.另外，的几何意义就是向量在向量的投影与模的乘积，向量在向量的投影为． 【变式训练3-1】在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且∠BAC=，，BC=1，P为BC中点．过点P作PQ⊥BC交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先建系，由三点共圆得点A的轨迹方程为，则，则，再由在方向上投影的几何意义可得解． 建立如图所示的平面直角坐标系，则B（-，0），C（，0），P（0，0）， 由可知，ABC三点在一个定圆上，且弦BC所对的圆周角为，所以圆心角为.圆心在BC的中垂线即轴上，且圆心到直线BC的距离为，即圆心为， 半径为. 所以点A的轨迹方程为：，则 ，则 ， 由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为|DP|=|x|， 则在方向上投影的最大值是，故选C． 【变式训练3-2】设， ， ，且，则在上的投影的取值范围( ) A. B. C. D. 【答案】D 当时， 当 故当时， 取得最小值为，即 当时， ，即 ，综上所述故答案选 题型04：与平面向量数量积有关的最值问题 【典型例题1】已知是边长为的正三角形，为的外接圆的一条直径，为的边上的动点，则的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】 如图所示,以边所在直线为轴,以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系,因为该正三角形的边长为,,当点在边上时,设点,则 的最大值为;当点在边上时,因为直线的斜率为,所以直线的方程为:,设点,则, , 的最大值为;当点在边上时,因为直线的斜率为,所以直线的方程为:,设点,则的最大值为;综上,最大值为,故选A. 【典型例题2】已有正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________. 【答案】1 法三　由图知， 无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1， ∴·＝||·1＝1. 学&科网 当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC＝1，∴(·)max＝||·1＝1. 【典型例题3】已知的周长为6,且成等比数列,则的取值范围是______． 【答案】 解题反思：已知两个非零向量和,它们的夹角为,把数量叫做和的数量积(或内积),记作.即=,规定,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即=；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a·b＝x1x2＋y1y2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基 【变式训练4-1】已知正△ABC的边长为2，A，B分别在x轴，y轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是（　　） A． B．3 C．2 D． 【答案】设∠BAO＝θ，则∠CAx＝120°﹣θ，OA＝cosθ，求得点A，点C的坐标，进而求解，然后求解最大值． 【解析】解：设∠BAO＝θ，则∠CAx＝120°﹣θ， ∴OA＝cosθ，OB＝sinθ， ∴点A（2cosθ，0），由此可得点C（2cosθ+2cos（120°﹣θ），2sin（120°﹣θ））． 可得：（2cosθ+2cos（120°﹣θ），2sin（120°﹣θ））． ∴（2cosθ）[2cosθ+2cos（120°﹣θ）]+0×2cos（120°﹣θ） ＝2sinθcosθ+2cos2θ＝1+cos2θsin2θ ＝2sin（2θ）+1， 因为0≤θ，所以2θ， 所以sin（2θ）≤1， 则的最大值：3． 故选：B． 【变式训练4-2】已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据，根据线性运算进行变换可求得；以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，利用坐标表示出，得到关于的二次函数，求得二次函数最小值即为结果. 由题意知：，设 以与交点为原点，为轴，为轴建立如下图所示的平面直角坐标系： ，，设 则， 当时，，本题正确选项： 【点睛】本题考查向量数量积的运算问题，涉及到利用定义的运算和数量积的坐标运算，解题关键是能够通过线性运算进行变换，通过数量积运算的定义求得夹角；再通过建立平面直角坐标系的方式，将问题转化为坐标运算，通过函数关系求解得到最值. 【变式训练4-3】骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为2，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为2的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（　　） A．12 B． C． D． 【答案】以D为坐标原点，AD为x轴，过D作AD的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（﹣4，0），B（﹣3，），C（﹣1，），圆D的方程为x2+y2＝1，可设P（cosα，sinα），从而（cosα+4，sinα），（3，），由此能求出的最大值． 【解析】解：以D为坐标原点，AD为x轴，过D作AD的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A（﹣4，0），B（﹣3，），C（﹣1，）， 圆D的方程为x2+y2＝1，可设P（cosα，sinα）， ∴（cosα+4，sinα），（3，）， ∴3×（cosα+4）sinα＝3cosαsinα+12＝2cos（）+12， ∴的最大值为12+2． 故选：D． 【变式训练4-4】中，，，，且，则的最小值等于　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，向量，且， 可得点D在边BC上，， 所以，则，即， 所以时以C为直角的直角三角形． 如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为． 故选：C． 【变式训练4-5】已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（ ） A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 【答案】C 题型05：平面向量系数的取值范围问题 【典型例题1】已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是( ) A． B． C． D． 【答案】D 解得， 结合图象可知 令 故 故，当且仅当等号成立，故选D． 【典型例题2】在矩形中， 动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A ∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=， 设点P的坐标为（cosθ+1， sinθ+2）， ∵， ∴（cosθ+1， sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， ∴cosθ+1=λ， sinθ+2=2μ， ∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2， ∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A 【典型例题3】在中，点满足，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【解析】分析：用，表示出,根据三点共线得出的关系，利用基本不等式得出的最小值. 三点共线， 则 当且仅当即时等号成立.故选A. 【点睛】：考查向量减法的几何意义，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，以及基本不等式的应用。 【变式训练5-1】已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图 三点共线， ∵是的重心， 解得， 结合图象可知 令 故 故 当且仅当等号成立，故选D 【变式训练5-2】已知△ABO中，OA＝OB＝1，∠AOB，若OC与线段AB交于点P，且满足λ，||，则λ+μ的最大值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】线段OC与线段AB交于点P，设x （x≥1），进而得，P、A、B三点共线，得λ+μ＝x，最小，此时x最大，进而得结论． 【解析】解：∵线段OC与线段AB交于点P，设x （x≥1），则xλ，即， 又∵P、A、B三点共线，则1，即λ+μ＝x， ∵OA＝OB＝1，∴当P为AB中点时，最小，此时x最大， 又∠AOB，故此时， 又因为||，∴2，即x＝2，即λ+μ的最大值为2， 故选：D． 【变式训练5-3】在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则λ2+μ2的最小值为（　　） A． B． C． D．1 【答案】利用三点共线的向量表示得到λ+μ，再利用基本不等式求解即可． 【解析】解：∵N为AM中点，且满足， ∴λμ，∴2λ2μ， ∵M为边BC上任意一点， ∵2λ+2μ＝1，∴λ+μ， ∵λ2+μ2≥2λμ，∴2（λ2+μ2）≥（λ+μ）2， ∴λ2+μ2，当且仅当λ＝μ时取等号， ∴λ2+μ2的最小值为． 故选：C． 【变式训练5-4】已知正方形ABCD的边长为1，动点P满足，若，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：以A为原点建立如图所示的直角坐标系： 则，，，，设， ,则由得，化简得：，又，，，，表示圆上的点到原点的距离得平方，其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方，即， 故选：C． 【变式训练5-5】如图,在中, . （1）求的值； （2）设点在以为圆心, 为半径的圆弧上运动,且,其中.求的取值范围. 【答案】见解析 解题反思：平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围． 类型06： 平面向量与三角形四心的结合 【典型例题1】已知的三边垂直平分线交于点， 分别为内角的对边，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】如图，延长AO交△ABC的外接圆与点D，链接BD，CD，则∠ABD =∠ACD =90°， 所以 ① 又，② 把②代入①得，③ 又，所以④ 把④代入①得的取值范围是 【变式训练6-1】如图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且,则的最小值为（ ） C M N A B G Q A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得：,又,所以，因此，当且仅当时取等号，所以选C． 【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 【变式训练6-2】如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为 【答案】5 【变式训练6-3】已知点是锐角三角形的外心，若（， ），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵O是锐角△ABC的外心， ∴O在三角形内部，不妨设锐角△ABC的外接圆的半径为1， 又， ∴||=| |， 可得=++2mn⋅， 而⋅=||⋅||cos∠A0B<||⋅||=1. ∴1=++2mn⋅<+2mn， ∴ <−1或 >1，如果 >1则O在三角形外部，三角形不是锐角三角形， ∴ <−1， 故选：C. 巩固提升 一．选择 1．如图，四边形是边长为1的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等于　　 A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】解：以为原点，以所在直线为轴建立直角坐标系， 设点，， 则，，，，． 所以， ． 由于点在内（包含边界），目标函数为，如图所示， 当点为点时，取得最大值，其最大值为， 故选：． 2．已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于　　 A．13 B．15 C．19 D．21 【答案】A 【解析】解：由题意建立如图所示的坐标系， 可得，，，， ，， ，，， ， 由基本不等式可得， ， 当且仅当即时取等号， 的最大值为13， 故选：． 3．已知，是平面内互不相等的两个非零向量，且，与的夹角为，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】解：如图所示，设，，则． 由于，与的夹角为，可得中，，． 由正弦定理可得：的外接圆的半径．则点为圆上的动点． 由图可令， 则． ． 故选：． 4．设向量，的夹角定义： 若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，的最大值为　　 A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设，， 则， ，与的夹角为， 中，，， 由正弦定理可得：的半径为1， 则点为圆上与不重合的动点， 设， 由正弦定理可得，，， 则 ， 当时，取得最大值，且为． 故选：． 5．已知平面内互不相等的非零向量，满足，与的夹角为，则的最大值为　　 A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图所示，设，． 则．，与的夹角为， 中，，． 由正弦定理可得：的外接圆的半径．则点为圆上与点重合的动点． 由图可令：，． ，当时取等号． 的最大值为． 故选：． 6．已知向量与的夹角为，，，，，在时取最小值，当时，的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】解：由题意得： ， ， ， 由二次函数知，当上式取最小值时，， ，， 解得． 的取值范围为． 故选：． 7．已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值．当时，夹角的取值范围为　　 A． B．， C．， D． 【答案】C 【解析】解：由题意可得，， ， 由二次函数知，当上式取最小值时，， 由题意可得，求得， ， 故选：． 8．设向量、满足：，，的夹角是，若与的夹角为钝角，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：向量、满足：，，的夹角是，． 若与的夹角为钝角， 则，且与不共线， 即，且， 即，且． 求得，，即，，， 故选：． 9．在空间直角坐标系中，已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：点在直线上运动，存在实数使得，，， ，． ， 当且仅当时，上式取得最小值， ． 故选：． 10．已知的面积为1，为直角顶点，设向量，，，则的最大值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】解：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系， 设，，则，， ，，， 的面积为1，即有， 则 ． 当且仅当时，取得最大值1． 故选：． 11．已知向量，均为单位问量，且．向量与向量的夹角为，则的最大值为　　 A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】解：由，向量，为单位向量，可得，的夹角为．设，，．由向量，向量，均为单位问量 ，， ，． 设，，． 向量满足与的夹角为， ． 由等边三角形，点在外且为定值，可得的轨迹是两段圆弧，是所对的圆周角． 可知：当时是弧所在圆（上述圆弧）的直径时，取得最大值， 在中，由正弦定理可得：． ，取得最大值取得最大值是2． 故选：． 12．已知平面向量，，，满足，．若，， 则　　 A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】A 【解析】解： 的最大值为 故选：． 13．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是　　 A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】解：由题意可得， 可得， ，， 即为，， 当，即，同向时， 的最大值是． 故选：． 14．已知向量，向量，则的最大值，最小值分别是　　 A．，0 B．4， C．16，0 D．4，0 【答案】D 【解析】解：，， ，最大值为4，最小值为0． 故选：． 15．已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是　　 A． B． C．， D． 【答案】D 【解析】解：由是单位向量，且，则可设，，； 向量满足， ， ， 即， 它表示圆心为，半径为的圆； 又，，它表示圆上的点到点的距离，如图所示： 且， ； 即的取值范围是，． 故选：． 16．设，为单位向量，非零向量，，，若，的夹角为，则的最小值为　　 A． B． C．1 D．4 【答案】B 【解析】解：，为单位向量，非零向量，，，若，的夹角为， ， 则， 则， 当且仅当时，取等号， 故选：． 17．如图，的三边长为，且点分别在轴，轴正半轴上移动，点在线段的右上方．设，记，分别考查的所有可能结果，则（    ） A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值 C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值 【答案】B 【解析】设， 由余弦定理得 过点作轴，设垂足为， 在中，， 所以 在中， ， 所以 由 即 得， 所以， 当且仅当时取最小值，没有最大值． ， 其中， 因为，所以， 所以，当且仅当即时取最大值，没有最小值． 故选：B. 18．在矩形中，，，为矩形所在平面内的动点，且，则的最大值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【解析】如图，建立平面直角坐标系，设，中点为， 因为，，所以,，，， 得到，所以， 又因为，所以， 又，当且仅当（在的延长线上）三点共线时取等号， 所以， 故选：B. 19已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（    ） A．9 B．3 C． D．10 【答案】C 【解析】根据条件得， 得到，所以，即的最大值为， 故选：C. 20．如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，以为原点，建立直角坐标系. 由题意，梯形的高长为，则. 因为以为圆心的半径为的圆的方程为：，可设点，. 则 其中，， 故当时，. 故选：A. 21.在矩形中，，点是线段上一点，且满足.在平面中，动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，故设， 则, ，其中锐角满足，故的最大值为, 故选：A 22.已知，则的最大值为（    ） A． B．4 C．6 D． 【答案】C 【解析】如图所示， 不妨设，，，，，满足，，， 又，即， 由椭圆的定义可知点在以 为焦点，长轴长为4的椭圆上运动， ，，，所以该椭圆方程为， 而，即， 即，这表明了点在圆上面运动，其中点为圆心，为半径， 又，等号成立当且仅当，，三点共线， 故只需求的最大值即可，因为点在椭圆上面运动， 所以不妨设， 则， 所以当，且，，三点共线时， 有最大值，． 故选：C． 23．已知非零平面向量，的夹角为，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由向量，的夹角为及，得，即， 则，令， 于是 ，当且仅当，即时取等号， 由，解得， 所以当且时，取得最大值. 故选：B 24．如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．10 D．12 【答案】C 【解析】以点为坐标原点，的方向为轴，轴正方向，建立平面直角坐标系，则，， 设，所以，则， 因为，所以，即的最大值为10. 故答案为：C 25．如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的最小值（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 【答案】D 【解析】因为点是线段的中点，则， 则， 因为三点共线，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 26．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.如图甲是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图乙所示其外框是边长为4的正六边形，内部圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，点在圆上运动，则的最小值为（    ）    A．-8 B．-4 C．0 D．4 【答案】C 【解析】 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 设点，由题意知，， 则，， 所以， 因，则, 故当时，即时，取最小值0. 故选:C. 27．已知点、在圆上，且，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点、在圆上，且，为圆上任意一点， 因为，所以，是等边三角形，则， 不妨设、，设点， 所以，， 所以， 即的最小值为. 故选：C. 28．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系. 则设， 则 所以 所以当时, 取得最小值为. 故选：D. 299．已知向量的夹角为，且，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解析】因为向量的夹角为，且，则， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 30．扇形的半径为1，，点在弧上运动，则的最小值为（    ） A． B．0 C． D．-1 【答案】A 【解析】以为原点，以所在直线为轴，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系， 设，则，其中，，， 故，,， ， ，，， ， 的取值范围为,，故的最小值为； 故选：A． 31．已知在平面四边形中， ，，,，，点为边上的动点，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴， 过点作轴，过点作轴， ∵，，，，，∴，， ∴，∴，∴， ∴，∴，，， 设，∴，，，∴， 当时，取得最小值为，故选C. 32．已知平面向量满足，则最大值为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 与所成夹角为，则： ，则向量的夹角为60°， 设，则，故：，设O到BC的距离为， 则，由可知点A落在以O位圆心，4为半径的圆上， A到BC的距离的最大值为， 则△ABC的面积的最大值为： 故最大值为本题选择D选项. 33．设为单位向量，非零向量.若的夹角为，则的最大值等于（ ） A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 【答案】C 【解析】||= 只考虑x>0，则===⩽2，当且仅当=−时取等号。∴的最大值等于2.故答案为：2. 34．若向量，且，则的最大值是 A． 1 B． C． D． 3 【答案】D 【解析】 ,选D. 35.已知在三角形中， ，边的长分别为方程的两个实数根，若斜边上有异于端点的两点，且，则的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】有题可知. 建立如图所示的坐标系，有点. 设，则. 所以 . 因为点到边的距离，所以的面积为定值. 所以，故，故选C. 36．已知是单位向量，.若向量满足则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，，，则. 设 ，则，故，故选A. 37．已知非零向量满足，且关于的方程有实根，则向量与夹角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设与的夹角为θ，因为，所以， 本题选择B选项. 38．设是单位圆上三点，若，则的最大值为（ ） A． 3 B． C． D． 【答案】C 【解析】∵是半径为1的圆上三点， ， ∴根据余弦定理可知边所对的圆心角为60°则∠=30° 在中，根据正弦定理可知. ∴ 的最大值为，故选C. 39．已知向量与的夹角为， ， ， ， ， 在时取最小值，当时， 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则由题意有： ， 由向量关系可得： ， 则： ， 整理可得： ， 满足题意时： ， 据此可得三角不等式： ， 解得： ，即 的取值范围是 . 本题选择D选项. 40．已知平面向量， ， ， ，且.若为平面单位向量， 的最大值为（ ） A． B． 6 C． D． 7 【答案】C 【解析】，其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，当与共线时，取得最大值， ∴，则的最大值为，故选C. 41．如图在中， 为边上一点（含端点）， ，则的最大值为（ ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 【答案】D 【解析】 , , ，因为，所以，即的最大值为 . 42．已知点是边长为2的正方形的内切圆内（含边界）一动点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】建立坐标系如图所示，设，其中， ，易知，而，若设，则，由于，所以的取值范围是，故选C. 43．已知为单位向量，且，向量满足，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】法一：由得，即，所以，则有，又因为，所以，由于，所以有，解得： ，故选则D. 法二：设向量，设向量，则，所以有，即，所以点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆，如下图， 因为，可以看作圆上动点到原点距离的最大值、最小值，先求圆心到原点的距离为，所以， ，所以，故选择D. 44．如图，扇形中，，是中点，是弧上的动点，是线段上的动点，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 建立如图所示平面直角坐标系，设，则，故，因为，所以；又因为，所以（当且仅当取等号），应选答案D。 45.已知是两个单位向量，且夹角为，则与数量积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意： 当时，最小值为：，本题正确选项： 46.已知是边长为2的正三角形，点为平面内一点，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 以点为坐标原点，所在直线为轴，过点与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，则、、 设因为所以点轨迹为 令则 则 由 得 故选 47.如图所示，两个不共线向量的夹角为，分别为与的中点，点在直线上，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，设，则＝＝，所以，所以，则当时，取得最小值，故选B． 48.已知两点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的轨迹为圆，考虑该圆和直线有公共点（即相交或相切）可得实数的取值范围. 设，则 由得，因在直线上，故圆心到直线的距离 ，故，故选C. 【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：（1）如果为定点，且动点满足，则动点 的轨迹为圆； （2）如果中，为定长，为定值，则动点的轨迹为一段圆弧． 49.如图，在△中，点是线段上两个动点，且 ，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意求出x,y满足的等式，然后利用基本不等式中“1”的代换，求解最小值 如图可知x，y均为正，设， 共线， ， ， 则， ， 则的最小值为，故选D. 50.如图，矩形中边的长为，边的长为，矩形位于第一象限，且顶点分别位于轴、轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，设， 则 因为 所以 则 所以的最大值为 所以选B 51.已知△ABC中，．点P为BC边上的动点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】以BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得，设，运用向量的坐标表示，求得点A的轨迹，进而得到关于a的二次函数，可得最小值． 以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系， 可得，设， 由， 可得，即， 则 ， 当时，的最小值为．故选D． 52.已知圆：，：，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ∵圆：，圆：， 动圆满足与外切且与内切，设圆的半径为 ， 由题意得 ∴则的轨迹是以（ 为焦点，长轴长为16的椭圆， ∴其方程为 因为，即为圆 的切线，要的最小，只要最小，设，则 ，选A. 53.已知是边长为的正三角形，且.设函数，当函数的最大值为时，（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】用表示出，用表示出，然后表示出，代入，得到关于的函数，求出其最大值，令最大值等于，从而求出的值. , 因为是边长为的正三角形，且， 所以 又因，代入得 所以当时，取得最大，最大值为 所以，解得，舍去负根.故选D项. 54.如图，在中，、分别是、的中点，若（，），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用平面向量的线性运算，得出满足的不等关系，再利用线性规划思想求解. 由题意，当在线段上时，，当点在线段上时，，∴当在四边形内（含边界）时，（＊），又，作出不等式组（＊）表示的可行域，如图， 表示可行域内点与连线的斜率，由图形知，，即，∴，，故选C. 55．（多选题）在中，，点是等边（点与在的两侧）边上的一动点，若，则有（    ） A．当时，点必在线段的中点处 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的范围是 【答案】BCD 【解析】 如图，过中点作的平行线与的三边有两个交点，所以时，点有两种情况，故A错； 在三角形中由余弦定理得, 解得，则，， ， 以为原点，为轴，过点垂直向上的方向为轴建系， ，，，，，，，，， 当点在上时，， 当点在上时，设，， ， 则，，， 所以当时，最大为， 当点在上时，设，， ， 则，，， 当时，最大为， 综上可得，当点在点处时最大为，故B正确； 根据数量积的几何意义可得，当点在点处时最小， 此时，故C正确； 取中点，则， 因为，所以，故D正确. 故选：BCD. 56.（多选题）已知点A、B、P在上，则下列命题中正确的是（    ） A．，则的值是 B．，则的值是 C．，则的范围是 D．，且，则的范围是 【答案】BCD 【解析】由 当时， ，则A错，B正确； 由 因为，所以的范围是，故C正确； 设方程为， 由得 则，得 所以，故D正确． 故选：BCD 57．（多选题）已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为6 C． D．满足的点只有一个 【答案】AB 【解析】对于A选项，圆半径为2，弦，故为等边三角形， 取的中点，连接，则，所以，A正确； 对于选项，过点作平行于，交圆与点， 过点作，交延长线于点，连接， 则四边形为菱形， 由投影向量可知，当点与点重合时，取得最大值， 此时， 故的最大值为，B正确； 对于C选项，， 因为四边形为菱形，所以，且， 因为为定值， 故当与平行且方向相同时，取得最大值，最大值为， 当与平行且方向相反时，取得最小值，最小值为， 故，C错误； 对于D选项，因为点为圆上任意一点，故当重合时，， 又当时，满足，故满足的点有2个，D错误. 故选：AB 58．（多选题）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法正确的是（ ） A．为定值 B．的取值范围是 C．当时，为定值 D．的最大值为16 【答案】ACD 【解析】对于A，如图，过作直径， 由题意， 所以 为定值，故A正确； 对于B，若为中点，连接，则 ， 由题意，则，故B错误； 对于C，若，故， 则， 又，则，同理可得，故， 故C正确； 对于D，因为，则当弦均与重合时， 此时有最大值，为16，故D正确. 故选：ACD. 59．（多选题）如图，在梯形中，分别在线段上，且线段与线段的长度相等，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为18 C．的最大值为 D．的面积的最大值为 【答案】BCD 【解析】如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，设，则， 对于A,B，，故A错误，B正确； 对于C，， 当时，取得最大值，且最大值为，故C正确； 对于D，的面积 ，当时，取得最大值，且最大值为，故D正确． 故选：BCD. 60．（多选题）已知向量，，为平面向量，，，，，则（   ） A． B．的最大值为 C． D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】对A，设，根据有， 即，为圆心为，半径为的圆，又的几何意义为原点到圆上的距离，则，故A错误； 对B， ，则转化为求圆上的点到的距离最大值， 为，故B正确； 对C，，因为，故，故C正确； 对D，因为，故， 又因为，故， ， 故当时，取最小值取最小值，故D正确. 故选：BCD 二．填空题 1．在边长为2的等边三角形中，是的中点，为线段上一动点，则的取值范围为　，　． 【答案】3 【解析】解：由题意可得和的夹角为，设，，， ， 故当时，取得最小值为，当时，取得最大值为3， 故的取值范围为， 2．已知向量满足，与的夹角为，，则的最小值为　　． 【答案】 【解析】解：由向量，，与的夹角为， 可设，，，，， 由， 得； 化为， 所以点在以为圆心，以1为半径的圆的上； 且表示圆上的点到点的距离， 如图所示： 由图形知，的最小值为． 故答案为：． 3．已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，则实数的值是　　，向量的取值范围是　　． 【答案】； 【解析】解：（1）设与的夹角为，则， ， 当，上式有最小值为， 的最小值为，的最小值为3， ，解得． 又，，，此时． （2）由（1）可知，， 与的夹角为，且，，， 不妨设，，，， 向量的取值范围是． 故答案为：；． 4．已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是　且　． 【答案】且 【解析】解：，，且与的夹角为锐角， ，解得， 但当，即时，两向量同向，应舍去， 的取值范围为：且， 故答案为：且． 5．在中，为中线上一个动点，若，则的最小值是　　． 【答案】-2 【解析】解：以和做平行四边形． 则 因为为的中点 所以且反向 ， 设，， 其对称轴 所以当时有最小值 故答案为 6．设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于　　． 【答案】 【解析】解：， 只考虑， 则， 当且仅当时取等号． 则的最大值等于． 故答案为：． 7．已知，是夹角为的两个单位向量，非零向量，，，若，则的最小值为　1　． 【答案】1 【解析】解：． ，． ． 当时，取得最小值1． 的最小值为1． 故答案为：1． 8．， 分别为的中点，设以为圆心， 为半径的圆弧上的动点为 (如图所示)，则的取值范围是 ______________. 【答案】 【解析】 以A 为原点，以AB为x轴，以AD 为y轴建立平面直角坐标系，设，则， ， ， ， ，（其中 ），当时， 取得最大值，当在点位置时 ， 取最小值 ，则的取值范围. 9．定义域为的函数的图象的两个端点为A，B，是图象上的任意一点，其中，向量，其中O是坐标原点若不等式恒成立，则称函数在上“k阶线性近似”若在上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【解析】由题意知，，，；直线AB的方程为； ，； ，N两点的横坐标相同，且点N在直线AB上；， ，时取“”； 又，；要使恒成立，k的取值范围是． 故答案为：． 10．在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边　交于，若，，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 中，为边的中点，为的中点，且， ，， 同理，， 又与共线，存在实数，使， 即，，解得， ， 当且仅当时， “=”成立，故答案为. 11．设向量， ，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】由题知，又夹角为锐角即，由数量积运算可得 即．当时，夹角为，舍去．故本题应填． 12．已知梯形中， 是边上一点，且.当在边上运动时， 的最大值是________________． 【答案】 【解析】设，则 ，故． 13．已知点，O为原点，对于圆O：上的任意一点P，直线l：上总存在点Q满足条件，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 根据题意，是圆 上任意一点，可设， 若点满足条件，则是的中点，则的坐标为， 若在直线上，则，变形可得， 即表示单位圆上的点与点连线的斜率， 设过点的直线与圆相切，则有，解可得或， 则有，即的取值范围为,故答案为 14.如图，向量，，，P是以O为圆心、为半径的圆弧上的动点，若，则mn的最大值是______． 【答案】 【解析】因为，，，所以, 因为为圆上，所以，，，， ，，，故答案为1． 15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2a﹣c）•=c•且|﹣|=2，则△ABC面积的最大值为_____ 【答案】 【解析】∵（（2a﹣c）•=c•，可化为： 即：（2a-c）cacosB=cabcosC，∴（ 2a-c）cosB=bcosC， 根据正弦定理有（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（C+B），即 2sinAcosB=sinA， ∵sinA＞0，∴ ，即 ； ∵ ，即b2=4，根据余弦定理b2=a2+c2-2accosB， 可得4=a2+c2-ac，由基本不等式可知4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤4， ∴△ABC的面积 ，即当a=c=2时，△ABC的面积的最大值为．故答案为：. 16．已知点和圆上的动点，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】设已知圆的圆心为C,由已知可得，∴, 又由中点公式得，所以： 又因为，点P在圆(x−3)2+(y−4)2=4上，所以,且， 所以， 即,故，所以|PA|2+|PB|2的最大值为100，最小值为20. 的取值范围是. 17.已知单位向量满足，则的范围是 . 【答案】 【解析】设的夹角为， 因为， 又为单位向量，得到， 又，得到，所以， 故答案为：. 18.阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为3，动点满足，则的范围为 . 【答案】 【解析】以中点为原点，以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 因为，所以，. 设，因为，所以， 整理得，即. . 又， 则，则. 故答案为： 19．在中，，，，点P是内一点（含边界），若，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】以A原点，以所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系， 由，得， 设， 因为， 所以，得， 所以，又直线的方程为， 由，解得，此时最大， 所以. 故答案为： 20.如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，， ；的最大值为 ． 【答案】 2 2 【解析】由题意可知O为的中点，且， 则； 设，作，交的延长线于E， 在中， 故，则， ，又，故， 则， 故， 当时，取到最大值2， 故答案为：2；2 21．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点P在以的中点O为圆心、为半径的半圆上，若，则下列说法正确的是 ． ①    ②的最大值为 ③最大值为9    ④    【答案】①③ 【解析】对于①，因为，且点P在以的中点O为圆心，为半径的半圆上， 所以，则， 对于④，， 则， 对于③，如图，以点O为原点建立平面直角坐标系， 则， 因为点P在以的中点O为圆心，为半径的半圆上， 所以点P的轨迹方程为，且在x轴的下半部分， 设， 则， 所以， 因为，所以， 所以当时，取得最大值9，故③正确； 对于②，因为，所以， 即， 所以， 所以， 因为，所以当时，取得最大值，故②错误． 故答案为：①③ 22．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则的最大值为 ．    【答案】9 【解析】如图，过向作垂线，垂足为，则在上的投影向量是，   在上的投影向量可能与同向，也可能与反向， 在本题中与的夹角为锐角，所以是同向的， 由向量数量积的几何意义，． 由等边三角形边长为3，，得，即半圆的直径为2， 过点作直线的垂线，与直线的夹角为，， 则圆心到直线的距离为1，所以直线与圆相切， 记切点为，当点在半圆上运动到与重合时，，最大， 取最大值，最大值为． 故答案为：9. 23．如图，在梯形中，，，，.是线段上一点，（可与，重合），若，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】设，， ， ，故答案为. 24．在△ABC中，D为AB的中点，若，则的最小值是_______． 【答案】． 【解析】根据D为AB的中点，若，得到， 化简整理得，即， 根据正弦定理可得，进一步求得， 所以 ， 求导可得当时，式子取得最小值，代入求得其结果为，故答案为. 25．已知与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】∵l1：mx﹣y﹣3m+1=0与l2：x+my﹣3m﹣1=0， ∴l1⊥l2，l1过定点（3，1），l2过定点（1，3），∴点P的轨迹方程为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=2， 作垂直线段CD⊥AB，CD==1，所以点D的轨迹为, 则， 因为圆P和圆D的圆心距为，所以两圆外离， 所以|PD|最小值为，所以的最小值为4﹣2.故答案为：4﹣2. 26．如图，已知扇形的弧长为，半径为，点在弧上运动，且点不与点重合，则四边形面积的最大值为___________． 【答案】 【解析】已知扇形的弧长为，半径为，所以。 由三角形的面积公式可知，，所以四边形面积为，因为，所以，由此四边形面积为，，，所以最大值为，当时取等号。 27．若中，，为所在平面内一点且满足，则长度的最小值为_____． 【答案】 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，， 设，所以， 所以， 即，令，则，所以， 所以 ，当且仅当时，取得最小值. 28．在中，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，__________． 【答案】24. 【解析】 由，得，，，即， 以为坐标原点建立如图所示的坐标系，则，设， 则 ，当时取得最小值，此时， 则，故答案为. 29．在中,为的中点,,的面积为6,且交于点,将沿翻折,翻折过程中，与所成角的余弦值取值范围是__． 【答案】. 【解析】 ：如图所示，根据题意，过作的垂线，垂足为过作的垂线，垂足为由题,的面积为6， ，设 的夹角为， 故与所成角的余弦值取值范围是.即答案为. 30．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是________； 若向量，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，结合题意，可知，所以 ，因为，所以，所以，所以的范围是； 根据，可得，即，从而可以求得，所以， 因为，所以，所以当取得最大值1时，同时取得最小值0，这时取得最小值为，所以的最小值是. 31．已知，是两个单位向量，而，，，，则对于任意实数，的最小值是__________． 【答案】 【解析】 当且仅当时取等号，即的最小值是3. 32．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量,则最小值为___________． 【答案】 【解析】以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设正方形的边长为， 则    设  .又向量 所以， ∴，∴， ∴． 令，则所以当时，取最小值为. 33．如图，正方形的边长为，三角形是等腰直角三角形（为直角顶点），，分别为线段，上的动点（含端点），则的范围为__________． 【答案】 【解析】以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， ∵正方形的边长为，三角形是等腰直角三角形，∴．设， ∵，∴， 又，∴， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立。 又，∴，故的范围为． 34.在中， ， ，若为外接圆的圆心（即满足），则的值为__________. 【答案】8 【解析】设BC的中点为D，连结OD,AD，则，则： 35.已知的外接圆的圆心为，半径为2，且，则向量在向量方向上的投影为 【答案】 36.在中，，，点是所在平面内的一点，则当取得最小值时， 【答案】 【解析】【分析】由题意结合平面向量的定义可得，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算法则确定当取得最小值时点P的坐标，然后求解的值即可. 【详解】，， ，，以A为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系， 则，设， 则 ， 所以当x=2，y=1时取最小值， 此时.故选：B. 37.已知非零向量满足，若函数在R 上存在极值，则和夹角的取值范围为 【答案】 【解析】设和的夹角为 ∵在上存在极值 ∴有两个不同的实根，即 ∵∴，即 ∵∴ 38.已知向量满足：，则在上的投影长度的取值范围是 【答案】 【解析】试题分析：由，可得，整理得，根据则在上的投影长度为，而其投影肯定会不大于，所以其范围为． 39.正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、nR，则的最大值是________ 【答案】 【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），D（﹣1，1），P（，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2）， 又， 所以，则， 其几何意义为过点E（﹣3，﹣2）与点P（sinθ，cosθ）的直线的斜率， 设直线方程为y+2k（x+3），点P的轨迹方程为x2+y2＝1， 由直线与圆的位置关系有：， 解得：，即的最大值是1，故答案为：1 40.已知向量，的夹角为，且，则的最小值为 【答案】 【解析】 由题意可设,， 因此表示直线上一动点到定点距离的和,因为关于直线的对称点为，所以 41.已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，点为其外接圆的圆心.已知，则当角取到最大值时的面积为 【答案】 【解析】设中点为，则利用向量的加法得到，而，，以此求出．然后利用余弦定理和不等式确定C最大时b值，利用勾股定理确定直角三角形后得出面积． 设中点为，则 ，，即， 由知角为锐角，故 ， 当且仅当，即时最小，又在递减，故最大.此时，恰有，即为直角三角形， 。 42.在中，角、、所对的边分别为、、.、是线段上满足条件，的点，若，则当角为钝角时，的取值范围是 【答案】 【解析】依题意知分别是线段上的两个三等分点， 则有， ， 则，而， 则，得， 由为钝角知，又， 则有． 43．如图，棱形的边长为2，,M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为_______． 【答案】9 【解析】如图， 以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系， 由于菱形ABCD的边长为2，，M为DC的中点，故点，则， 设，N为菱形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为菱形ABCD及其内部区域. 因为，则， 令，则，由图像可得当目标函数过点时，取得最大值，此时，故答案为9. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 平面向量的最值和取值范围 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 4 解题策略 7 题型归纳 7 平面向量求最值范围方法题型 7 题型01：利用三角向量不等式 7 题型02：定义法 10 题型03：基底法 13 题型04：几何意义法 17 题型05：坐标法 23 题型06：极化恒等式 28 题型07：矩形大法 33 题型08：等和线、等差线、等商线 35 题型09：平行四边形大法 42 题型10：向量对角线定理 48 平面向量最值常见题型 49 题型01：与向量的模有关的最值问题 49 题型02：与向量夹角有关的范围问题 51 题型03：与向量投影有关的最值问题 52 题型04：与平面向量数量积有关的最值问题 53 题型05：平面向量系数的取值范围问题 55 类型06： 平面向量与三角形四心的结合 57 巩固提升 59 平面向量数量积是高考数学的核心高频考点，兼具“代数运算”与“几何直观”双重属性，近五年（2021-2025）全国卷、新高考卷均稳定考查，以下从考情、考点、题型、命题趋势与备考策略展开分析。 一、考情概览：题型、分值与难度 1. 题型与分值 • 主流题型：以选择题（5分）、填空题（5分） 为主，偶见于解答题的小问（与三角函数、平面几何、解析几何综合） • 分值占比：每套试卷单独考查约5分，综合考查时合计8-10分，属于“低投入高回报”的基础必拿分模块。 2. 难度定位 • 核心难度：基础题与中档题为主（占比80%），侧重公式应用与基础运算；难题多为“数量积最值/范围”，需结合轨迹（圆、线段）或几何性质转化。 • 命题特点：不考偏难怪，聚焦核心公式与几何意义，突出“数形结合”与“转化思想”。 二、核心考点与命题角度 1. 基础运算类（必考，难度低） • 核心内容：数量积定义、坐标运算，运算律（交换律、数乘结合律、分配律）。 • 命题角度：已知模长与夹角求数量积；通过模的平方求模长；利用坐标直接计算数量积。 2. 几何应用类（高频，难度中） • 夹角问题：求两向量夹角，常结合垂直条件命题。 • 投影与投影向量：考查投影，多以坐标或几何图形为背景。 3. 综合转化类（热点，难度中-难） • 数量积定值/最值/范围： ◦ 定值：结合正方形、矩形、等腰三角形等规则图形，利用“中点模型”（极化恒等式）或坐标法快速求解。 ◦ 最值/范围：动点轨迹为圆、线段时，通过“极化恒等式”或“坐标建系”转化为函数最值问题• 与其他知识综合： ◦ 与平面几何结合：利用三角形中线、中位线、圆的性质转化数量积。 ◦ 与三角函数结合：通过向量数量积表示角度关系，转化为三角函数求值/最值。 ◦ 与解析几何结合：在直线、圆中通过坐标运算求数量积，体现向量的工具性。 三、命题趋势（2021-2025） 1. 稳定核心，弱化技巧：始终围绕“定义、坐标运算、几何意义”，淡化复杂基底代换，强化“直接应用”与“简单转化”。 2. 几何化趋势明显：数量积最值题常以“圆、三角形、线段”为载体，突出“几何意义优先，代数运算兜底”的命题逻辑。 3. 工具性凸显：与三角函数、平面几何的综合题增多，考查向量在解决几何问题中的“桥梁作用”，而非单纯的向量运算。 4. 极化恒等式成为热点：作为“数量积与几何长度转化”的核心工具，近三年高考中频繁用于中点相关的数量积计算与最值问题，是备考重点。 平面向量数量积是高考数学的“必拿分模块”，核心在于“掌握公式、灵活转化、数形结合”。备考中需聚焦基础运算，熟练三种核心方法，突破最值/范围类题型，即可轻松应对高考中的所有考查形式。 1. 知识目标：理解数量积的定义与几何意义“投影乘积”），熟记坐标运算公式、模长公式及极化恒等式，掌握垂直的充要条件。 2. 能力目标：能灵活用定义、坐标法、极化恒等式求解数量积定值、模长、夹角问题，会结合圆、线段等轨迹求数量积最值/范围，熟练处理与平面几何、三角函数的综合题，提升数形结合与转化求解能力。 3. 素养目标：在数量积的代数运算与几何意义转化中，深化逻辑推理、数学运算、直观想象核心素养，体会向量的工具价值，建立“几何直观→代数表达→问题解决”的思维模式。 平面向量范围与最值问题常用方法： （1）定义法 第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步：得出结论 （2）坐标法 第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步：将平面向量的运算坐标化 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 （3）基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 （4）几何意义法 第一步：先确定向量所表达的点的轨迹 第二步：根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 （5）极化恒等式 （1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明：不妨设 ，则， ① ② ①②两式相加得： （2）极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． ②三角形模式：（M为BD的中点） A B C M （6）矩形大法 矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：． 【证明】（坐标法）设，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy， 则，设，则 （7）等和线 （1）平面向量共线定理 已知，若，则三点共线；反之亦然． （2）等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线． ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； （8）平行四边形大法 1、中线长定理 2、为空间中任意一点，由中线长定理得： 两式相减： 技巧六．向量对角线定理 平面向量最值与范围的解题核心是 “先定类型，再选路径——几何直观优先，代数运算兜底”，通过“形化转化”（几何意义、图形性质）快速锁定方向，用“数化运算”（坐标、函数、不等式）精准求解，具体策略如下： 解题第一步：快速归类，锁定核心方法 核心方法：极化恒等式（含中点/定线段） • 解题步骤： 1. 找“定线段AB”（目标向量的终点构成），求长度 2. 取中点M，确定M为定点； 3. 分析动点P的轨迹，求最值（圆：圆心到M距离±半径；线段：端点到M距离）； 4. 代入公式计算数量积最值。 备用方法：坐标法（无中点/不规则图形） • 步骤：建系→标坐标→设动点坐标→转化数量积为函数 平面向量求最值范围方法题型 题型01：利用三角向量不等式 【典型例题1】已知，，且，则的最大值为（    ） A．5.5 B．5 C．6.5 D．6 【答案】A 【解析】， 又，当且仅当与同向时取得等号； 故. 故选：A. 【典型例题2】已知向量满足，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 由于：， ， 当且仅当时等号成立. 所以， 所以， 所以. 故选：B 【典型例题3】已知，，则的范围是 . 【答案】 【解析】设，， ，…①； ，…②； ①②得：，， （当且仅当时取等号）， 则，； （当且仅当与同向时取等号）， 的取值范围为. 故答案为：. 【典型例题4】已知是平面向量，且是互相垂直的单位向量，若对任意均有的最小值为，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】根据的最小值为，代入得关于的一元二次不等式，利用等号可以取到判断出，然后设为轴的方向向量，为轴方向向量，，则得关于点的轨迹方程，利用抛物线的定义将向量模长转化为距离，计算最小值.，即，所以，即，设为轴的方向向量，为轴方向向量，所以，对应的坐标为，所以，得；，因为为抛物线向上平移个单位，所以焦点坐标为，准线为，所以点到的距离与到的距离相等，，当且仅当时，取最小值. 故答案为： 【变式训练1-1】如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式训练1-2】已知平面向量满足，设，若，则的取值范围为________． 【变式训练1-3】已知，则向量的范围是 ． 【变式训练1-4】已知平面向量满足，设，若，则的取值范围为________． 【变式训练1-5】已知向量满足，若对任意，恒成立，则 的取值范围是___________. 【变式训练1-6】已知向量满足，，若关于的方程有解，记向量的夹角为，则的取值范围是___________. 【变式训练1-7】已知平面向量满足：，若对满足条件的任意向量，恒成立，则的最小值是______________． 【变式训练1-8】已知平面向量，，满足，，，则的取值范围是___________． 题型02：定义法 【典型例题1】已知点A，B，C均位于单位圆（圆心为O，半径为1）上，且的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设为圆心，则，因为， 所以，所以， 所以 ， 因为，所以. 故选：C. 【典型例题2】已知向量、满足：，.设与的夹角为，则的最大值为___________. 【答案】/ 【解析】设，则，设向量、的夹角为， 若，则，可得， 由题意可得，解得， 所以，，， 所以，， 当时，即当时，取得最小值，此时取得最大值， 且. 故答案为：. 【典型例题3】已知向量，的夹角为，且，向量满足，且，记，，则的最大值为______. 【答案】 【解析】    设，则， 由，知，即， 所以， 因为，所以点在线段上， 设，则， 所以 故原问题转化为求的最大值， 在中，由余弦定理知， ，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为， 因为，所以，即， 所以， 即，即， 所以. 故答案为： 【变式训练2-1】八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角形，点O为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A，B所在位置如图所示，则的值为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【变式训练2-2】已知是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（    ）    A．7 B．12 C．14 D．16 【变式训练2-3】已知向量，，满足，，，向量与向量的夹角为，则的最大值为______． 【变式训练2-4】已知向量，满足，，且，若向量满足，则的最大值是______． 【变式训练2-5】已知向量，满足，，且，若向量与的夹角为30°，则的最大值是___________. 【变式训练2-6】已知向量，满足，若以向量为基底，将向量表示成 为实数），都有，则的最小值为________ 题型03：基底法 【典例例题1】已知平面向量，，满足，，，且与的夹角为，则的最大值为 ______________． 【答案】 【解析】∵，，， ∴cos＜，＞＝﹣，即与的夹角为， 如图，作，，，连接AC，BC，则＝，＝， ∴∠ACB＝， 又∠AOB＝，∴O，A，C，B四点共圆， 故当OC为圆的直径时，||最大， 此时A＝B＝，OA＝，OB＝1，∠BOC＝﹣∠AOC， 在中，OC＝， 在中，OC＝， ∴＝，即＝， ∴cos∠AOC＝（﹣cos∠AOC+sin∠AOC）， 整理得，2cos∠AOC＝sin∠AOC， ∴tan∠AOC＝2，cos∠AOC＝， ∴OC＝＝，即||的最大值为． 故答案为：． 【典例例题2】已知的内角的对边分别为，若，，为的中点，为的中点，，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】因为为的中点，为的中点， 所以, 因为，所以，所以 则， 所以. 因为，所以由余弦定理得， 所以，则，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故答案为： 【典例例题3】菱形的边长为，，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为______． 【答案】/ 【解析】设， 则 ， 所以当，时，取得最大值． 故答案为：． 【典例例题4】已知向量，满足，．若，且，则的最大值为______． 【答案】 【解析】令，，则，故，又，所以．以为直径作直角三角形的外接圆，进而得出当时，即取得最大值． 令，连接．设，因为，所以点在直线上，又，所以，即，所以．结合图形可知，当时，即取得最大值，且． 故答案为： 【典例例题5】如图，菱形的边长为为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为___________. 【答案】36 【解析】，，其中， 所以 ， 所以当时，取得最大值，最大值为. 故答案为：36 【变式训练3-1】在中，，，点D为的中点，点E为的中点，若，则的最大值为 . 【变式训练3-2】已知菱形ABCD的边长为2，，点E，F分在边BC，CD上，，．若，则的最小值为___________． 【变式训练3-3】已知菱形的边长为，，点、分别在边，上，，，若，则的最小值__________． 【变式训练3-4】如图，已知等腰中，，，点P是边上的动点，则（    ） A．为定值10 B．为定值6 C．为变量且有最大值为10 D．为变量且有最小值为6 【变式训练3-5】平面四边形ABCD是边长为2的菱形，且，点N是DC边上的点，且，点M是四边形ABCD内或边界上的一个动点，则的最大值为______. 【变式训练3-6】已知平面向量、、满足，，，，则最大值为__________. 【变式训练3-7】在中，为边上任意一点，为的中点，且满足，则的最小值为________. 【变式训练3-8】在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为 ；若，则的最大值为 ． 【变式训练3-9】在中，是边的中点，是线段的中点．若，的面积为，则取最小值时，则（   ） A．2 B． C．6 D．4 题型04：几何意义法 【典型例题1】已知向量，满足，则的最小值是 ，最大值是 ． 【答案】 【解析】(几何法)：本题的关键是要挖掘隐含条件: 和是以为邻边的平行四边形的两条对角线， 故． 如图，是以为邻边的平行四边形的两条对角线，是以为圆心的单位圆上一动点，构造2个全等的平行四边形． 所以． 易知当三点共线时，最小，此时; 当时，最大，此时 ． (坐标法)：设，，则，， 所以， 则， 所以． (不等式法)：最小值:． (当且仅当和方向相反，即时，取“”)． 最大值:． (当且仅当，即时，取“=”)． (转化为二元最值问题)：令原题转化为，且， 求的最值． 方法1(数形结合):直线与圆弧有交点，如图可得． 方法2(判别式法):化简得得，所以． 故答案为：； 【典型例题2】已知，，是平面向量，满足，，，则向量在向量上的投影的数量的最小值是______. 【答案】 【解析】由，则， 即，即，即， 又由，所以，， 不妨设，，， 则，即， 即，则 故向量在向量上的投影的数量为， 又，所以， 所以向量在向量上的投影的数量的最小值是. 故答案为：. 【典型例题3】已知平面向量，，满足，，与的夹角为，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】∵，,∴， 如图所示，设平面向量，，都是以O为起点，终点分别是A,B,C， 则平面向量+的终点N到O的距离为2， 设AB的中点为M,则|MN|=1,∴N在以M为圆心，半径为1的圆周上. 由与的夹角为，∴点C在以AB为弦的圆周角为的优弧上， 当C,M,N共线，且C,N在直线AB的两侧，并且CM⊥AB时，|CN|最大，也就是取得最大值, 此时,, |CN|=, 故答案为：. 【典型例题4】已知非零平面向量，，满足：，的夹角为，与的夹角为，，，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】如图： 以点为起点作向量，，， 则，，， 由，的夹角为，与的夹角为可知：四点共圆， 由，得，， 在中：，即 所以，所以， 由同弧所对的圆周角相等，可得， 设，则， 在中：， 所以， ， ，， ，， ， 则的取值范围是 故答案为： 【典型例题5】已知平面向量，，，若，且，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】由题意知：向量，为单位向量， 因为，所以，则， 所以，即与夹角为. 如图作向量，，， 则，，，， 因此， 则， 所以， 故，，三点共线，即点在线段上， 则的几何意义表示线段的中点到线段上点的距离， 记线段的中点为，过点作于点，则， ，所以， 因此， 由图形可得，， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练4-1】已知O是所在平面内一点，且，，，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 【变式训练4-3】已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-4】已知向量，，满足，，，则的最小值为（    ） A．－1 B． C．2 D．1 【变式训练4-5】已知平面向量夹角为，且平面向量满足记为（）的最小值，则的最大值是__________． 【变式训练4-6】已知非零平面向量，，满足：，的夹角为，与的夹角为，，，则的取值范围是______． 【变式训练4-7】平面向量满足：的夹角为，，则的最大值为_____. 【变式训练4-8】已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的最大值是______. 【变式训练4-9】已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的模取值范围是___________. 【变式训练4-10】已知向量，满足，且，若向量满足，则的最大值为________. 【变式训练4-11】已知向量，，满足，与的夹角为，则的最大值为______． 【变式训练4-12】已知平面向量满足：，向量与向量的夹角为，，向量与向量的夹角为，则的最大值为___________. 【变式训练4-13】已知是同一平面上的3个向量，满足，，，则向量与的夹角为 ，若向量与的夹角为，则的最大值为 ． 题型05：坐标法 【典型例题1】如图，在等腰直角中，斜边，点在以BC为直径的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B．8 C． D．12 【答案】D 【解析】如图：以为原点，建立平面直角坐标系. 则，，可设， 则， 所以 所以. 又因为，所以. 故选：D 【典型例题2】如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交，于点，．当点在劣弧上运动时，的最小值为_________． 【答案】/ 【解析】如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，设， 则， 则， 由，得， 所以当，即时，取得最小值. 故答案为：. 【典型例题3】已知平面向量，，满足，，，与的夹角是，则的最大值为__________. 【答案】5 【解析】如图，设， 因为与的夹角是， 所以，所以点所在的圆中，弧所对的圆心角为， 所以点在两圆弧或上， 因为，设， 把代入中化简得 ， 因为此方程有解，所以 即， 化简得，解得； 把代入中化简得 ， 因为此方程有解，所以 即， 化简得，解得； 所以的最大值为5 【典型例题4】已知，，若动点P，Q与点A，M共面，且满足，，则的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图，则， 由，得点在以为圆心，2为半径的圆上， 由，得点在以为圆心，1为半径的圆上， 设， 则 ， 当时，能取到所有等号， 所以的最大值为1. 故选：C 【典型例题5】在梯形中，，，，，，，分别为线段和线段上（包括线段端点）的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】 以AB为x轴，过A垂直于AB的直线为y轴， 因为，所以, 因为，所以, , 当时，的最大值为3. 故选：D. 【变式训练5-1】在△ABC中，BC＝2，，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-2】在中，，，是以为直径的圆上任意一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知向量，满足，，则的最大值为___________. 【变式训练5-4】例15．设平面向量，，满足，与的夹角为，则的最大值为______． 【变式训练5-5】已知平面向量满足，，，的夹角为，且，则的最大值是______. 【变式训练5-6】若平面向量，，满足，，，，则的最小值为______． 【变式训练5-7】如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为______． 【变式训练5-8】已知，，则的最小值是______. 【变式训练5-9】已知向量，满足，且的最小值为1（为实数），记，，则最大值为______. 【变式训练5-10】在矩形中，，，，分别是，上的动点，且满足，设，则的最小值为（    ） A．48 B．49 C．50 D．51 题型06：极化恒等式 【典型例题1】在边长为2的正方形中，动点P，Q在线段上，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】方法一：设的中点为， 则 （当为中点时取等号）. 方法二：建立平面直角坐标系如图所示.设， 因为在边长为2的正方形中，动点P，Q在线段上，且， 所以，， 所以 ， 所以当时，有最小值1.故选：C. 【典型例题2】已知中，，若所在平面内一点满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】如图，设中点为， 因为， 所有， 所以为中点， 所以, 又， 所以， 即，当且仅当时等号成立， 又 ，当且仅当时等号成立， 所以 所以. 故答案为：. 【典型例题3】在中，，点Q满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】设中点为M，则，则， ， 又 ， 由余弦定理可得： ， 有， 即， 即，当且仅当时，等号成立， 则， 即. 故答案为：. 【典型例题4】勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知为弧（含端点）上的一点，则的范围为 ． 【答案】 【解析】取中点为， 则 ， 其中易得，故． 故答案为：. 【典型例题5】点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】分别取，中点Q，R，连接，， 则由题，，即， 所以， 作图如下，由图可知当P运动到D或E时PQ最大， 所以 ， 所以的最大值为3. 故选：C. 【变式训练6-1】边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________． 【变式训练6-2】四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________． 【变式训练6-3】摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以在高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮的最高点距离地面的高度为12，转盘的直径为10，A，B为摩天轮在地面上的两个底座，，点P为摩天轮的座舱，则的范围为 ． 【变式训练6-4】已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（       ） A．16 B．12 C．5 D．4 【变式训练6-5】中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【变式训练6-6】如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，， ，则的取值范围为 ________________ ．   题型07：矩形大法 【典型例题1】已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为______． 【答案】/ 【解析】解法1：如图，因为，所以，故四边形为矩形， 设的中点为S，连接，则， 所以， 又为直角三角形，所以，故①， 设，则由①可得， 整理得：， 从而点S的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 显然点P在该圆内部，所以， 因为，所以 ； 解法2：如图，因为，所以， 故四边形为矩形，由矩形性质，， 所以，从而， 故Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆， 显然点P在该圆内，所以． 故答案为： ． 【典型例题2】在平面内，已知，，，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以四边形是平行四边形， 又，所以四边形是矩形， 从而，因为，所以，即【典型例题3】已知圆与，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是 ． 【答案】 【解析】以为邻边作矩形，则 由得 ，即， 的轨迹是以为圆心，半径为的圆， ， ． 【变式训练7-1】设向量，，满足，，，则的最小值是（       ） A． B． C． D．1 【变式训练7-2】在平面内，已知，，，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为______． 【变式训练7-4】设向量，，满足，，，则的最小值是（       ） A． B． C． D．1 题型08：等和线、等差线、等商线 【典型例题1】在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系.    则.不妨设. 因为，所以，解得：， 所以. 因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减. 所以当时最大；当时最小. 所以的取值范围是. 故答案为：. 【典型例题2】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】 作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设，则， ∵BC//EF，∴设，则 ∴， ∴ ∴ 故选：A. 【典型例题3】在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，设，， 当时，，所以， 所以，从而有； 当时，因为（，）， 所以，即， 因为、、三点共线，所以，即. 综上，的取值范围是. 故选：C. 【典型例题4】如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，， 点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动， 且.， 由向量加法的平行四边形法则， 为平行四边形的对角线， 该四边形应是以与的反向延长线为两邻边， 当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上， ， 的取值范围为. 故选：B 【典型例题5】在中，，点在线段（含端点）上运动，点是以为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，所以，即为等边三角形，以为轴，线段的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 分别以为圆心作半径为1的圆，如图，是所在圆的最低或最高点，点在线段，半圆，线段，半圆所围区域内，设，则，， ，，， 由得， 所以，， 因为，所以，即的最大值是． 故选：C． 【变式训练8-1】如图，，点由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对可以是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】如图，B是的中点，，P是平行四边形内（含边界）的一点，且，则下列结论正确的个数为（    ） ①当时， ②当P是线段的中点时，， ③若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段 ④的最大值为 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练8-3】在中，为上的中线，为的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点A，B，C），且M，N，G三点共线，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【变式训练8-4】在中，，M为线段EF的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-5】在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-6】如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若（）存在最大值，则的取值范围为（ ）    A． B． C． D． 【变式训练8-7】（多选题）已知向量 满足，，， .则下列说法正确的是（    ） A．若点P在直线AB上运动，当取得最大值时，的值为 B．若点P在直线AB上运动， 在上的投影的数量的取值范围是 C．若点P在以r = 为半径且与直线AB相切的圆上，取得最大值时，的值为3 D．若点P在以r = 为半径且与直线AB相切的圆上，的范围是 【变式训练8-8】如图，点是半径为的扇形圆弧上一点，且，若，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．4 【变式训练8-9】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【变式训练8-10】对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式训练8-11】平行四边形中，，，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且落在四边形内部任意一点，，若，则角的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-12】如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是 . 【变式训练8-13】如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 . 【变式训练8-14】在扇形中，，为弧上的一个动点.若，则的取值范围是________. 【变式训练8-15】在扇形中，，，C为弧上的一个动点，若，则的取值范围是______. 题型09：平行四边形大法 【典型例题1】已知为单位向量，平面向量，满足，的取值范围是____. 【答案】 【解析】建系，不妨设，，，则，再利用柯西不等式将所求转化为，利用换元法求出最大值，最小值显然为共线方向时取得.不妨设，，，由已知，得，， ，令 ，则，又显然当，向量反 向时，最小，即，，此时，综上，的取值范围是. 故答案为：. 【典型例题2】如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】连接，，设是线段的中点，连接，则有. 设为和的夹角. 则 ， ， （当即时取等） 因为，所以当时，有最小值. ， （当即时取等） 当时，有最大值为3， 即有最大值3，所以的取值范围是. 故答案为： 【典型例题3】半径为的两圆和圆外切于点，点是圆上一点，点是圆上一点，则的取值范围为_______. 【答案】 【解析】设点关于点的对称点为，则点在圆上， 所以， ， 因为 ， 所以，， 因为， 当且仅当、同向且、反向时，， 当时，则，所以，， 所以，，所以，， 因为，则， 故当且四边形为菱形时，， 因此，. 故答案为：. 【典型例题4】如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】连接，，设是线段的中点，连接，则有. 设为和的夹角. 则 ， ， （当即时取等） 因为，所以当时，有最小值. ， （当即时取等） 当时，有最大值为3， 即有最大值3，所以的取值范围是. 故答案为： 【典型例题5】如图，C，D在半径为1的上，线段是的直径，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】以点O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 设点，， 则，， 则， 其中， 所以的最大值为： ， 则当时，取得最大值， 最小值为， 则当时，取得最小值， 综上，的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练 9-1】设圆，圆的半径分别为1，2，且两圆外切于点，点，分别是圆，圆上的两动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练 9-2】设圆，圆的半径分别为1，2，且两圆外切于点，点，分别是圆，圆上的两动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练 9-3如图，C，D在半径为1的上，线段是的直径，则的取值范围是_________. 【变式训练 9-4】已知为单位向量，平面向量，满足，的取值范围是____. 【变式训练 9-5】半径为的两圆和圆外切于点，点是圆上一点，点是圆上一点，则的取值范围为_______. 题型10：向量对角线定理 【典型例题1】已知平行四边形，，，，与交于点，若记，，，则（ ） A. B． C． D． 【答案】C 【解析】由对角线向量定理得， 所以， 而， 所以，选择C． 【典型例题2】如图，在圆中，若弦，弦，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，由对角向量定理得 所以选D． 【变式训练10-1】如图，在四边形ABCD中，，若，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式训练10-2】已知平行四边形，，，，与交于点，若记，，，则（ ） B. B． C． D． 【变式训练10-3】如图，在圆中，若弦，弦，则的值是（ ） B． B． C． D． 【变式训练10-4】在四边形ABCD中，，若，，，则等于（ ） A． B． C． D． 平面向量最值常见题型 题型01：与向量的模有关的最值问题 【典型例题1】已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】由可知|（）||•|，所以的终点的轨迹是以的终点为圆心，|•|为半径的圆， ||的最大值是圆心与的终点之间的距离加上半径，即为|（）||•|，再将其化成，的模和夹角可解得． 【解析】解：设与的夹角θ， 由可知|（）||•|， 所以的终点的轨迹是以的终点为圆心，|•|为半径的圆， ||的最大值是圆心与的终点之间的距离加上半径， 即为|（）||•． ∵|||•||•| |•||cosθ| 2． 故选：B． 【典型例题2】已知，则的最小值为（　　） A．﹣1 B．1 C．4 D．7 【答案】根据条件进行数量积的运算即可得出，从而可得出的最小值，进而得出的最小值． 【解析】解：∵， ∴， ∴时，取最小值1， ∴的最小值为1． 故选：B． 【典型例题3】如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为( ) A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】 ，得到，所以， 结合的面积为，得到,得到， 所以， 故选D． 【点睛】三点共线的一个向量性质：已知O、A、B、C是平面内的四点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数、，使，且. 【变式训练1-1】已知为单位向量，且，向量满足，则的范围为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知平面向量不共线，且，，记与 的夹角是，则最大时，（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】如图，在等腰三角形中，已知，分别是上的点，且，（其中，），且，若线段的中点分别为，则的最小值为________. 3.已知向量满足 与的夹角为,,则的最大值为 . 【变式训练1-4】已知向量满足 与的夹角为,,则的最大值为 . 题型02：与向量夹角有关的范围问题 【典型例题1】设为非零向量2||，则与的夹角的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】设,,,问题转化为∠C最大值，可解决此题． 【解析】解：在△ABC中，设,,,问题转化为∠C最大值， 由正弦定理得：,又∵2||，∴sinCsinB, ∵C为锐角，∴C的最大值为． 故选：A． 【典型例题2】已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是________. 【答案】∪ 【变式训练2-1】已知，是平面向量，满足||＝4，||≤1且2，则cos，的最小值是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-2】非零向量满足=，，则的夹角的最小值是 ． 【变式训练2-3】已知向量与的夹角为,时取得最小值,当时,夹角的取值范围为________________. 【变式训练2-4】已知非零向量满足 ,若函数 在R 上存在极值,则和夹角的取值范围为 【变式训练2-5】非零向量满足=，，则的夹角的最小值是 ． 【变式训练2-6】已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______. 题型03：与向量投影有关的最值问题 【典型例题】若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 在方向上的投影为，其中为，的夹角． 又，故． 设，则有非负解，故 ， 故，故，故选A． 【指点迷津】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.另外，的几何意义就是向量在向量的投影与模的乘积，向量在向量的投影为． 【变式训练3-1】在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且∠BAC=，，BC=1，P为BC中点．过点P作PQ⊥BC交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-2】设， ， ，且，则在上的投影的取值范围( ) A. B. C. D. 题型04：与平面向量数量积有关的最值问题 【典型例题1】已知是边长为的正三角形，为的外接圆的一条直径，为的边上的动点，则的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】 如图所示,以边所在直线为轴,以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系,因为该正三角形的边长为,,当点在边上时,设点,则 的最大值为;当点在边上时,因为直线的斜率为,所以直线的方程为:,设点,则, , 的最大值为;当点在边上时,因为直线的斜率为,所以直线的方程为:,设点,则的最大值为;综上,最大值为,故选A. 【典型例题2】已有正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________. 【典型例题3】已知的周长为6,且成等比数列,则的取值范围是______． 【变式训练4-1】已知正△ABC的边长为2，A，B分别在x轴，y轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是（　　） A． B．3 C．2 D． 【变式训练4-2】已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为2，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为2的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（　　） A．12 B． C． D． 【变式训练4-4】中，，，，且，则的最小值等于　　 A． B． C． D． 【变式训练4-5】已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（ ） A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 题型05：平面向量系数的取值范围问题 【典型例题1】已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是( ) A． B． C． D． 【答案】D 解得， 结合图象可知 令 故 故，当且仅当等号成立，故选D． 【典型例题2】在矩形中， 动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A ∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=， 设点P的坐标为（cosθ+1， sinθ+2）， ∵， ∴（cosθ+1， sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， ∴cosθ+1=λ， sinθ+2=2μ， ∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2， ∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A 【典型例题3】在中，点满足，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【解析】分析：用，表示出,根据三点共线得出的关系，利用基本不等式得出的最小值. 三点共线， 则 当且仅当即时等号成立.故选A. 【点睛】：考查向量减法的几何意义，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，以及基本不等式的应用。 【变式训练5-1】已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是( ) A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知△ABO中，OA＝OB＝1，∠AOB，若OC与线段AB交于点P，且满足λ，||，则λ+μ的最大值为（　　） A． B．1 C． D．2 【变式训练5-3】在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则λ2+μ2的最小值为（　　） A． B． C． D．1 【变式训练5-4】已知正方形ABCD的边长为1，动点P满足，若，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【变式训练5-5】如图,在中, . （1）求的值； （2）设点在以为圆心, 为半径的圆弧上运动,且,其中.求的取值范围. 类型06： 平面向量与三角形四心的结合 【典型例题1】已知的三边垂直平分线交于点， 分别为内角的对边，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】如图，延长AO交△ABC的外接圆与点D，链接BD，CD，则∠ABD =∠ACD =90°， 所以 ① 又，② 把②代入①得，③ 又，所以④ 把④代入①得的取值范围是 【变式训练6-1】如图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且,则的最小值为（ ） C M N A B G Q A．2 B． C． D． 【变式训练6-2】如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为 【变式训练6-3】已知点是锐角三角形的外心，若（， ），则（ ） A. B. C. D. 巩固提升 一．选择 1．如图，四边形是边长为1的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等于　　 A． B． C． D．1 2．已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于　　 A．13 B．15 C．19 D．21 3．已知，是平面内互不相等的两个非零向量，且，与的夹角为，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 4．设向量，的夹角定义： 若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，的最大值为　　 A．2 B． C． D． 5．已知平面内互不相等的非零向量，满足，与的夹角为，则的最大值为　　 A．2 B． C． D． 6．已知向量与的夹角为，，，，，在时取最小值，当时，的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 7．已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值．当时，夹角的取值范围为　　 A． B．， C．， D． 8．设向量、满足：，，的夹角是，若与的夹角为钝角，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 9．在空间直角坐标系中，已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 10．已知的面积为1，为直角顶点，设向量，，，则的最大值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知向量，均为单位问量，且．向量与向量的夹角为，则的最大值为　　 A． B．1 C． D．2 12．已知平面向量，，，满足，．若，， 则　　 A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 13．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是　　 A．1 B．2 C． D． 14．已知向量，向量，则的最大值，最小值分别是　　 A．，0 B．4， C．16，0 D．4，0 15．已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是　　 A． B． C．， D． 16．设，为单位向量，非零向量，，，若，的夹角为，则的最小值为　　 A． B． C．1 D．4 17．如图，的三边长为，且点分别在轴，轴正半轴上移动，点在线段的右上方．设，记，分别考查的所有可能结果，则（    ） A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值 C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值 18．在矩形中，，，为矩形所在平面内的动点，且，则的最大值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 19已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（    ） A．9 B．3 C． D．10 20．如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 21.在矩形中，，点是线段上一点，且满足.在平面中，动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 22.已知，则的最大值为（    ） A． B．4 C．6 D． 23．已知非零平面向量，的夹角为，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 24．如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．10 D．12 25．如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的最小值（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 26．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.如图甲是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图乙所示其外框是边长为4的正六边形，内部圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，点在圆上运动，则的最小值为（    ）    A．-8 B．-4 C．0 D．4 27．已知点、在圆上，且，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 28．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 299．已知向量的夹角为，且，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D． 30．扇形的半径为1，，点在弧上运动，则的最小值为（    ） A． B．0 C． D．-1 31．已知在平面四边形中， ，，,，，点为边上的动点，则的最小值为 A． B． C． D． 32．已知平面向量满足，则最大值为( ) A． B． C． D． 33．设为单位向量，非零向量.若的夹角为，则的最大值等于（ ） A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 34．若向量，且，则的最大值是 A． 1 B． C． D． 3 35.已知在三角形中， ，边的长分别为方程的两个实数根，若斜边上有异于端点的两点，且，则的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 36．已知是单位向量，.若向量满足则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 37．已知非零向量满足，且关于的方程有实根，则向量与夹角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 38．设是单位圆上三点，若，则的最大值为（ ） A． 3 B． C． D． 39．已知向量与的夹角为， ， ， ， ， 在时取最小值，当时， 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 40．已知平面向量， ， ， ，且.若为平面单位向量， 的最大值为（ ） A． B． 6 C． D． 7 41．如图在中， 为边上一点（含端点）， ，则的最大值为（ ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 42．已知点是边长为2的正方形的内切圆内（含边界）一动点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 43．已知为单位向量，且，向量满足，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 44．如图，扇形中，，是中点，是弧上的动点，是线段上的动点，则的最小值为 A． B． C． D． 45.已知是两个单位向量，且夹角为，则与数量积的最小值为（ ） A． B． C． D． 46.已知是边长为2的正三角形，点为平面内一点，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 47.如图所示，两个不共线向量的夹角为，分别为与的中点，点在直线上，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 48.已知两点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 49.如图，在△中，点是线段上两个动点，且 ，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 50.如图，矩形中边的长为，边的长为，矩形位于第一象限，且顶点分别位于轴、轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 51.已知△ABC中，．点P为BC边上的动点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 52.已知圆：，：，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 53.已知是边长为的正三角形，且.设函数，当函数的最大值为时，（ ） A． B． C． D． 54.如图，在中，、分别是、的中点，若（，），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 55．（多选题）在中，，点是等边（点与在的两侧）边上的一动点，若，则有（    ） A．当时，点必在线段的中点处 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的范围是 56.（多选题）已知点A、B、P在上，则下列命题中正确的是（    ） A．，则的值是 B．，则的值是 C．，则的范围是 D．，且，则的范围是 57．（多选题）已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为6 C． D．满足的点只有一个 58．（多选题）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法正确的是（ ） A．为定值 B．的取值范围是 C．当时，为定值 D．的最大值为16 59．（多选题）如图，在梯形中，分别在线段上，且线段与线段的长度相等，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为18 C．的最大值为 D．的面积的最大值为 60．（多选题）已知向量，，为平面向量，，，，，则（   ） A． B．的最大值为 C． D．若，则的最小值为 二．填空题 1．在边长为2的等边三角形中，是的中点，为线段上一动点，则的取值范围为　，　． 2．已知向量满足，与的夹角为，，则的最小值为　　． 3．已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，则实数的值是　　，向量的取值范围是　　． 4．已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是　且　． 5．在中，为中线上一个动点，若，则的最小值是　　． 6．设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于　　． 7．已知，是夹角为的两个单位向量，非零向量，，，若，则的最小值为　1　． 8．， 分别为的中点，设以为圆心， 为半径的圆弧上的动点为 (如图所示)，则的取值范围是 ______________. 9．定义域为的函数的图象的两个端点为A，B，是图象上的任意一点，其中，向量，其中O是坐标原点若不等式恒成立，则称函数在上“k阶线性近似”若在上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围是______． 10．在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边　交于，若，，则的最小值是________． 11．设向量， ，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是__________． 12．已知梯形中， 是边上一点，且.当在边上运动时， 的最大值是________________． 13．已知点，O为原点，对于圆O：上的任意一点P，直线l：上总存在点Q满足条件，则实数k的取值范围是______． 14.如图，向量，，，P是以O为圆心、为半径的圆弧上的动点，若，则mn的最大值是______． 15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2a﹣c）•=c•且|﹣|=2，则△ABC面积的最大值为_____ 16．已知点和圆上的动点，则的取值范围是_________. 17.已知单位向量满足，则的范围是 . 18.阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为3，动点满足，则的范围为 . 19．在中，，，，点P是内一点（含边界），若，则的最大值为 . 20.如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，， ；的最大值为 ． 21．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点P在以的中点O为圆心、为半径的半圆上，若，则下列说法正确的是 ． ①    ②的最大值为 ③最大值为9    ④    22．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则的最大值为 ．    23．如图，在梯形中，，，，.是线段上一点，（可与，重合），若，则的取值范围是__________． 24．在△ABC中，D为AB的中点，若，则的最小值是_______． 的一条动弦，且，则的最小值是___________． 26．如图，已知扇形的弧长为，半径为，点在弧上运动，且点不与点重合，则四边形面积的最大值为___________． 27．若中，，为所在平面内一点且满足，则长度的最小值为_____． 28．在中，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，__________． 29．在中,为的中点,,的面积为6,且交于点,将沿翻折,翻折过程中，与所成角的余弦值取值范围是__． 30．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是________； 若向量，则的最小值为_________. 31．已知，是两个单位向量，而，，，，则对于任意实数，的最小值是__________． 32．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量,则最小值为___________． 33．如图，正方形的边长为，三角形是等腰直角三角形（为直角顶点），，分别为线段，上的动点（含端点），则的范围为__________． 34.在中， ， ，若为外接圆的圆心（即满足），则的值为__________. 35.已知的外接圆的圆心为，半径为2，且，则向量在向量方向上的投影为 36.在中，，，点是所在平面内的一点，则当取得最小值时， 37.已知非零向量满足，若函数在R 上存在极值，则和夹角的取值范围为 38.已知向量满足：，则在上的投影长度的取值范围是 39.正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、nR，则的最大值是________ 40.已知向量，的夹角为，且，则的最小值为 41.已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，点为其外接圆的圆心.已知，则当角取到最大值时的面积为 42.在中，角、、所对的边分别为、、.、是线段上满足条件，的点，若，则当角为钝角时，的取值范围是 43．如图，棱形的边长为2，,M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为_______． 学科网（北京）股份有限公司 $