第08讲奔驰定理与三角形四心讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量与三角形四心（重心、外心、内心、垂心）的结合考点，按思维导图统领、高考分析定位、知识要点梳理、解题策略提炼、题型归纳突破的逻辑架构展开，通过直接应用、变形使用、综合应用三类题型训练，帮助学生构建从定理理解到面积比计算再到四心判定的完整解题体系。 讲义创新采用“定理搭桥+系数匹配+数形结合”三步解题法，如在奔驰定理应用中，先通过典型例题示范面积比直接计算，再结合变式训练强化向量式变形技巧，培养学生逻辑推理与数学运算素养。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合错题归因指导，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生高考向量综合题的解题能力。

第08讲 奔驰定理与三角形四心 目 录 思维导图 1 高考分析 1 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 8 题型归纳 8 题型01：直接奔驰定理求面积比 8 题型02： 变形使用奔驰定理求面积比 13 题型03：奔驰定理的综合应用 16 巩固提升 22 平面向量与三角形四心（重心、外心、内心、垂心）的结合是高考数学的高频热点，常以选择题、填空题形式出现，偶尔融入解答题作为解题工具，核心考查向量表示、性质应用及几何问题代数化能力，以下从多维度展开分析： 一、考情定位与命题特点 1. 分值与题型：全国卷中多为5分小题（选择/填空），难度中等偏上，侧重“四心”的向量判定、轨迹问题及与模、数量积的综合；新高考卷更注重与解析几何、三角函数的交叉，偶尔在解答题中作为转化桥梁。 2. 核心考点：聚焦四心的向量等价条件、轨迹过四心的向量表达式、奔驰定理的应用，以及建系法解决四心相关计算问题。 3. 命题趋势：近年命题更灵活，常以“动点轨迹过四心”“已知向量关系判断四心”为载体，融合单位向量、角平分线、中垂线等性质，强调数形结合与逻辑推理能力。 二、解题方法与失分点警示 1. 常用解题方法 ◦ 定义法：紧扣四心定义（如重心是中线交点、内心是角平分线交点），结合向量共线、垂直等性质判定。 ◦ 建系法：遇特殊图形（含直角、对称）时，通过建系将向量坐标化，利用坐标运算求解四心坐标或相关参数（如直角三角形垂心在直角顶点）。 ◦ 奔驰定理：统一四心的向量表达式，快速解决与面积比相关的四心问题，是高考中高效解题的“捷径”。 2. 高频失分点 ◦ 混淆四心的向量结论（如错记重心与内心的向量等式）； ◦ 向量坐标化时出错（如混淆点坐标与向量坐标）； ◦ 忽略特殊三角形的四心特殊性（如正三角形四心重合）； ◦ 计算数量积、模时粗心，导致结果错误。 三、备考建议 1. 夯实基础：熟记四心的向量等价条件，结合图形理解结论的推导过程，避免死记硬背。 2. 专项训练：针对“轨迹过四心”“向量关系判四心”“建系求四心坐标”三类题型进行专项练习，总结解题规律。 3. 融合拓展：加强与三角函数、解析几何的综合训练，学会用向量作为工具转化几何问题，提升综合解题能力。 1. 知识目标：掌握重心、外心、内心、垂心的定义及核心向量等价条件（如重心的向量和为零、内心的角平分线向量表示等），熟记奔驰定理等常用结论，明确四心的向量表达与几何性质的关联。 2. 能力目标：能通过向量关系判定三角形四心，会用向量法、建系法解决四心相关的参数求解、轨迹判断、数量积与模长计算等问题，提升知识迁移与综合应用能力。 3. 素养目标：在向量与几何性质的结合中，深化数形结合、转化与化归思想，培养逻辑推理、数学运算、直观想象核心素养，体会向量工具在几何问题中的应用价值。 知识点一：奔驰定理 奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则. 注：若为内一点，且满足，则、、的面积之比等于 证明：如图，令，即满足 ，，，故. 为内一点，，则. 重要结论：，，. 结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则： . 即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积. 结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有. 结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为. 即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比. 结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为. 即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形. 奔驰定理与三角形四心 ①若为的重心，则； ②若为的外心，则； ③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对. ④若为的垂心，则. 奔驰定理在三角形四心中的具体形式 是的重心 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 是的内心 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得 是的外心 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 是的垂心 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 备注：奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用． 知识点二：四心 平面向量与三角形“四心” 三角形的内心、外心、垂心与重心问题，尤其是与平面向量相结合后，学生考查时感觉比较棘手，错误率较高，甚至无从下手。因此，本讲将对与“四心”有关的知识进行总结归纳，借助典型例题说明解题要领。 四心的概念介绍： 重心：三条中线的交点，重心将中线长度分成2：1． 内心：三条角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等． 外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直． （一）三角形的内心 1·三角形的内心 内心的定义：三个内角的角平分线的交点（或内切圆的圆心).如图，点P 注：角平分线上的任意点到角两边的距离相等 2、 常见内心的向量表示： （1）（或） 其中分别是的三边的长 （2），则点的轨迹一定经过三角形的内心 （注：向量()所在直线过内心(是角平分线所在直线)） 3、破解内心问题，主要是利用了平面向量的共线法，通过构造与角平分线共线的向量，即两个单位向量的和向量。 拓展：是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，证明的轨迹一定通过的内心． 【解析】证明：、分别表示与、方向相同的单位向量， 的方向与的角平分线方向一致； 又， ； 的方向与的角平分线方向一致， 点的轨迹一定通过的内心． （二） 三角形的外心 1、 外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点（或外接圆的圆心） 注：外心到三角形各顶点的距离相等. 2、 常用外心的向量表示： （1） （2） 变形：P为平面ABC内一动点，若，则为三角形的外心 3、破解外心问题，关键是运用平面向量的加减法和数量积的运算，结合数量积的运算律从而得到三角形的外心。 （三）三角形的“重心” 1、重心的定义：三边中线的交点（重心是中线上的三等分点）.如图,点G 注：重心将中线长度分成 2、常见重心的向量表示： 设是的重心，为平面内任意一点. （1） （2），，， （3）若，则点的轨迹一定经过三角形的重心. 注：若、、，重心坐标为. 若，则点经过的重心； 3、 破解重心问题，关键是利用平面向量加法的几何意义 （四）三角形的“垂心” 1、垂心的定义：三条高线的交点，如图，点O 注：高线与对应边垂直 2、常见垂心的向量表示 （1） 证明：因为，所以，所以， 同理可得，，所以O为垂心 （2） *注* 向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)； 向量所在直线过的重心； 向量所在直线过的垂心； 奔驰定理与三角形四心的解题核心是 “定理搭桥+系数匹配+数形结合”，通过定理将向量关系转化为面积比或四心特征，再结合定义、建系运算突破，具体策略如下： 一、核心前提：吃透奔驰定理本质与四心关联 二、解题三步法：定理应用+四心判定+精准运算 第一步：识别题型，定向调用定理 第二步：四心判定技巧（快速锁定） 第三步：选最优运算方法（避繁就简） 1. 方法一：定理直接套用（选填题首选） 2. 方法二：建系法（计算类问题必用） 3. 方法三：定义辅助验证（避免结论混淆） ◦ 判定四心后，用定义验证（如重心是中线交点，内心是角平分线交点），确保结论正确； ◦ 特殊三角形（正三角形、直角三角形）可直接用四心特性简化（如直角三角形外心在斜边中点）。 四、避坑指南 1. 勿颠倒系数与面积的对应关系 2. 特殊角三角形慎用泛化结论：如直角三角形垂心在直角顶点，需结合定理灵活调整； 3. 向量方向不可忽视：定理中向量均以O为起点，若向量起点为顶点需先转化为以O为起点的向量再套用定理； 4. 系数非零且同号：O在△ABC内时，向量系数同号，若系数异号，O在三角形外，需结合题意判断。 题型01：直接奔驰定理求面积比 【典型例题1】点O是内一点，且满足．则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】法一：根据奔驰定理及可知， 所以 法二：由可得， 设，即， 可知三点共线，且反向共线，如下图所示： 故，.故选：C. 【典型例题2】设为内部的一点，且，则的面积与的面积之比为（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】法一：根据奔驰定理可知：，故选C 法二：延长至，使； 延长至，使，则 是△的重心，， ，，，故选：C． 【典型例题3】设O为△ABC所在平面内一点，满足273，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（ ） A．6 B． C． D．4 【答案】D 【解析】法一：根据奔驰定理的推论可得：，故选D 法二：不妨设，如图所示， 根据题意则， 即点O是△A1B1C1的重心，所以有k， 又因为 ， 那么， ， 故△ABC的面积与△BOC的面积的比值为.故选：D 【典型例题4】点P菱形ABCD内部一点，若，则菱形ABCD的面积与的面积的比为（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【解析】法一：根据奔驰定理及可知： 则， 又，所以 法二：如图，设中点为，中点为， 因为，即， 则，即， 则， 所以的面积与的面积的比值是6.故选：B. 【典型例题5】已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图， 则，， 因此，，同理， 于是得， 又，即，由“奔驰定理”有， 则，而与不共线，有，，即， 所以. 故选：A 【变式训练1-1】已知点A，B，C，P在同一平面内，，，，则等于（ ） A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6 【变式训练1-2】已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式训练1-3】点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D．2 【变式训练1-4】设是内一点，且，定义，其中分别是的面积，若，则的最小值是（    ） A． B．18 C．16 D．9 【变式训练1-5】设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则 A． B． C． D． 【变式训练1-6】（多选题）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，且，则 【变式训练1-7】（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，的面积分别为，则有．设O是锐角内的一点，分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则O为的重心 B．若，则 C．若，，则 D．若O为的垂心，则 【变式训练1-8】（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（   ）    A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 题型02： 变形使用奔驰定理求面积比 【典型例题1】已知点是所在平面内一点，若，则与的面积比为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】法一：将进行变形得到：， 根据奔驰定理的推论得：，故选A 法二：假设是等腰直角三角形，且是直角，， 建立如图所示平面直角坐标系，设， 则,， 依题意， 即， ， . 【典型例题2】若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABM与△ABC的面积之比为（ ） A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5 【答案】B 【解析】法一：将变形可得： 根据奔驰定理可知： 则，故选B 法二：如图，D为BC边的中点，则 因为－－＝ 所以，所以 所以.故选：B 【典型例题3】已知点A，B，C，P在同一平面内，，，，则等于（    ） A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6 【答案】B 【解析】由可得：, 整理可得：， 由可得，整理可得：， 所以，整理得：， 由奔驰定理可得：， 故选：. 【典型例题4】设、为内的两点，且，，则的面积与的面积之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】法一：将变形可得：， 根据奔驰定理可得：， 再将变形可得：， 根据奔驰定理可得：，所以 法二：设，， ，， 由平行四边形法则知， 的面积与的面积之比， 同理由，可得的面积与的面积之比为， 的面积与的面积之比为，故选：D． 【典型例题5】已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得， 设，则. 由于，所以A，B，D三点共线，如图所示， ∵与反向共线，，∴，∴， ∴. 故选：D 【变式训练2-1】点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D． 【变式训练2-2】已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】）已知等边 的边长为1，．则 的面积为 【变式训练2-4】已知为中线AD的中点,过点的直线与AB,AC分别交于点E,F,若与的面积之比为,则实数的值为 _____. 【变式训练2-5】设点O在的内部，且，则的面积与的面积之比是___________ 【变式训练2-6】已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则=______． 题型03：奔驰定理的综合应用 【典型例题1】奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵是的垂心，延长交与点， ∴ ， 同理可得，∴：， 又， ∴， 又，∴， 不妨设，其中， ∵， ∴，解得或， 当时，此时， 则都是钝角，则，矛盾. 故，则，∴是锐角，， 于是，解得.故选：A. 【典型例题2】奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，因为，所以， 同理，，所以为的垂心。 因为四边形的对角互补，所以， ． 同理，， ， ． ， ． 又 ． 由奔驰定理得.故选C． 【典型例题3】（多选）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（ ） A．若是的重心，则有 B．若，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，且，则 【答案】ABD 【解析】对于A，是的重心，则, 代入就得到,正确； 对于B，设点P到边的距离分别为， 由得，， 即，与已知条件比较知，， 则是的内心，正确； 对于，即， 与比较得到，，错误； 对于D，是的外心，且，则，设三角形外接圆半径为R， 所以， 代入奔驰定理即可得到，正确，故选：ABD. 【典型例题4】（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若O是锐角内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.则（ ） A．O为的外心 B． C． D． 【答案】BCD 【解析】依题意，， 同理OA⊥CB，OC⊥AB，则O为的垂心，A错误； 如图，直线分别交AB，AC于P，Q，由选项A知，， ，，则， 又，即有，又， 因此，B正确； 由选项B知，，同理， ， 同理可得，因此，C正确； ， 同理可得，所以，D正确.故选：BCD 【典型例题5】“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则，是内的一点，∠，∠，∠分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，，且，则 C．若，则为的垂心 D．若为的内心，且，则 【答案】BCD 【解析】根据题意得到，A错误，计算，根据比例关系得到B正确，确定得到C正确，根据面积公式得到，得到D正确，得到答案. 【详解】对选项A：，则，错误； 对选项B：，， 故，，正确； 对选项C：，即，故， 同理可得，，故为的垂心，正确； 对选项D：，故，设内接圆半径为， ，，，即， 即，，正确. 故选：BCD 【变式训练3-1】“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 【变式训练3-2】“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若O是锐角内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.则（    ） A．O为的外心 B． C． D． 【变式训练3-3】“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，、、的面积分别为、、，则.若是锐角内的一点，、、是的三个内角，且点满足，则（    ） A．为的垂心 B． C． D． 【变式训练3-4】“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，的面积分别为，则有．设O是锐角内的一点，分别是的三个内角，以下命题不正确的有（    ） A．若，则O为的重心 B．若，则 C．若，，则 D．若O为的垂心，则 【变式训练3-5】奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-6】设是内一点，且，，定义，其中、、分别是、、的面积，若，则的最小值是（    ） A．8 B．9 C．16 D．18 巩固提升 一、单选题 1.已知中，，过点的直线分别交射线于不同的两点，则与 的面积之比的最小值为（    ） A． B． C． D．2 2.如图，是等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若与的面积相等，则（    ） A． B． C． D． 3.△ABC满足，∠BAC＝60°，设M是△ABC内的一点（不在边界上），定义f（M）＝（x，y，z），其中x，y，z分别表示△MBC，△MCA，△MAB的面积，若，则的最小值为（    ） A．24 B．9 C．16 D． 4.已知P是内部一点，且，则面积之比为（    ） A．1：3：5 B．5：3：1 C．1：9：25 D．25：9：1 5.已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 6.设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 7.设、为内的两点，且，，则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 8.已知O为内一点，且，则与面积比为（    ） A． B． C． D． 9.已知为内一点，且，则与面积比为（    ） A． B． C． D． 10.在中，是直线上的点.若，记的面积为，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 1.已知O是面积为4的△ABC内部一点，且有，则△AOC的面积为__________. 2.已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x，y满足＋x＋y＝0，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记＝λ1，＝λ2，＝λ3，则λ2λ3取最大值时，3x＋y的值为_______. 3.设点P在内且为的外心，，如图.若的面积分别为，x，y，则的最大值是________. 4.在中，过重心G的直线交边AB于点P，交边AC于点Q，设的面积为，的面积为，且，则的取值范围为_________． 5.已知为所在平面内一点，有下列结论： ①若为的内心，则存在实数使； ②若，则为的外心； ③若，则为的内心； ④若，则与的面积比为． 其中正确的结论是 ________．（写出所有正确结论的序号） 6.年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”做为奔驰轿车的标志，象征着陆上，水上和空中的机械化，而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世界十大著名的商标之一（图一）.已知为内一点，，，的面积分别为，，，则有，我们称之为“奔驰定理”（图二）.已知的内角的对边分别为，且，为内的一点且为内心.若，则的最大值为___________. 7.点为内一点，，则的面积之比是___________. 8.设点O在内部，且，则与的面积之比为___________. 9.已知是内一点，，设的面积为的面积为，则_______． 1 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 奔驰定理与三角形四心 目 录 思维导图 1 高考分析 1 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 8 题型归纳 8 题型01：直接奔驰定理求面积比 8 题型02： 变形使用奔驰定理求面积比 19 题型03：奔驰定理的综合应用 26 巩固提升 37 平面向量与三角形四心（重心、外心、内心、垂心）的结合是高考数学的高频热点，常以选择题、填空题形式出现，偶尔融入解答题作为解题工具，核心考查向量表示、性质应用及几何问题代数化能力，以下从多维度展开分析： 一、考情定位与命题特点 1. 分值与题型：全国卷中多为5分小题（选择/填空），难度中等偏上，侧重“四心”的向量判定、轨迹问题及与模、数量积的综合；新高考卷更注重与解析几何、三角函数的交叉，偶尔在解答题中作为转化桥梁。 2. 核心考点：聚焦四心的向量等价条件、轨迹过四心的向量表达式、奔驰定理的应用，以及建系法解决四心相关计算问题。 3. 命题趋势：近年命题更灵活，常以“动点轨迹过四心”“已知向量关系判断四心”为载体，融合单位向量、角平分线、中垂线等性质，强调数形结合与逻辑推理能力。 二、解题方法与失分点警示 1. 常用解题方法 ◦ 定义法：紧扣四心定义（如重心是中线交点、内心是角平分线交点），结合向量共线、垂直等性质判定。 ◦ 建系法：遇特殊图形（含直角、对称）时，通过建系将向量坐标化，利用坐标运算求解四心坐标或相关参数（如直角三角形垂心在直角顶点）。 ◦ 奔驰定理：统一四心的向量表达式，快速解决与面积比相关的四心问题，是高考中高效解题的“捷径”。 2. 高频失分点 ◦ 混淆四心的向量结论（如错记重心与内心的向量等式）； ◦ 向量坐标化时出错（如混淆点坐标与向量坐标）； ◦ 忽略特殊三角形的四心特殊性（如正三角形四心重合）； ◦ 计算数量积、模时粗心，导致结果错误。 三、备考建议 1. 夯实基础：熟记四心的向量等价条件，结合图形理解结论的推导过程，避免死记硬背。 2. 专项训练：针对“轨迹过四心”“向量关系判四心”“建系求四心坐标”三类题型进行专项练习，总结解题规律。 3. 融合拓展：加强与三角函数、解析几何的综合训练，学会用向量作为工具转化几何问题，提升综合解题能力。 1. 知识目标：掌握重心、外心、内心、垂心的定义及核心向量等价条件（如重心的向量和为零、内心的角平分线向量表示等），熟记奔驰定理等常用结论，明确四心的向量表达与几何性质的关联。 2. 能力目标：能通过向量关系判定三角形四心，会用向量法、建系法解决四心相关的参数求解、轨迹判断、数量积与模长计算等问题，提升知识迁移与综合应用能力。 3. 素养目标：在向量与几何性质的结合中，深化数形结合、转化与化归思想，培养逻辑推理、数学运算、直观想象核心素养，体会向量工具在几何问题中的应用价值。 知识点一：奔驰定理 奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则. 注：若为内一点，且满足，则、、的面积之比等于 证明：如图，令，即满足 ，，，故. 为内一点，，则. 重要结论：，，. 结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则： . 即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积. 结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有. 结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为. 即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比. 结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为. 即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形. 奔驰定理与三角形四心 ①若为的重心，则； ②若为的外心，则； ③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对. ④若为的垂心，则. 奔驰定理在三角形四心中的具体形式 是的重心 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 是的内心 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得 是的外心 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 是的垂心 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 备注：奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用． 知识点二：四心 平面向量与三角形“四心” 三角形的内心、外心、垂心与重心问题，尤其是与平面向量相结合后，学生考查时感觉比较棘手，错误率较高，甚至无从下手。因此，本讲将对与“四心”有关的知识进行总结归纳，借助典型例题说明解题要领。 四心的概念介绍： 重心：三条中线的交点，重心将中线长度分成2：1． 内心：三条角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等． 外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直． （一）三角形的内心 1·三角形的内心 内心的定义：三个内角的角平分线的交点（或内切圆的圆心).如图，点P 注：角平分线上的任意点到角两边的距离相等 2、 常见内心的向量表示： （1）（或） 其中分别是的三边的长 （2），则点的轨迹一定经过三角形的内心 （注：向量()所在直线过内心(是角平分线所在直线)） 3、破解内心问题，主要是利用了平面向量的共线法，通过构造与角平分线共线的向量，即两个单位向量的和向量。 拓展：是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，证明的轨迹一定通过的内心． 【解析】证明：、分别表示与、方向相同的单位向量， 的方向与的角平分线方向一致； 又， ； 的方向与的角平分线方向一致， 点的轨迹一定通过的内心． （二） 三角形的外心 1、 外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点（或外接圆的圆心） 注：外心到三角形各顶点的距离相等. 2、 常用外心的向量表示： （1） （2） 变形：P为平面ABC内一动点，若，则为三角形的外心 3、破解外心问题，关键是运用平面向量的加减法和数量积的运算，结合数量积的运算律从而得到三角形的外心。 （三）三角形的“重心” 1、重心的定义：三边中线的交点（重心是中线上的三等分点）.如图,点G 注：重心将中线长度分成 2、常见重心的向量表示： 设是的重心，为平面内任意一点. （1） （2），，， （3）若，则点的轨迹一定经过三角形的重心. 注：若、、，重心坐标为. 若，则点经过的重心； 3、 破解重心问题，关键是利用平面向量加法的几何意义 （四）三角形的“垂心” 1、垂心的定义：三条高线的交点，如图，点O 注：高线与对应边垂直 2、常见垂心的向量表示 （1） 证明：因为，所以，所以， 同理可得，，所以O为垂心 （2） *注* 向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)； 向量所在直线过的重心； 向量所在直线过的垂心； 奔驰定理与三角形四心的解题核心是 “定理搭桥+系数匹配+数形结合”，通过定理将向量关系转化为面积比或四心特征，再结合定义、建系运算突破，具体策略如下： 一、核心前提：吃透奔驰定理本质与四心关联 二、解题三步法：定理应用+四心判定+精准运算 第一步：识别题型，定向调用定理 第二步：四心判定技巧（快速锁定） 第三步：选最优运算方法（避繁就简） 1. 方法一：定理直接套用（选填题首选） 2. 方法二：建系法（计算类问题必用） 3. 方法三：定义辅助验证（避免结论混淆） ◦ 判定四心后，用定义验证（如重心是中线交点，内心是角平分线交点），确保结论正确； ◦ 特殊三角形（正三角形、直角三角形）可直接用四心特性简化（如直角三角形外心在斜边中点）。 四、避坑指南 1. 勿颠倒系数与面积的对应关系 2. 特殊角三角形慎用泛化结论：如直角三角形垂心在直角顶点，需结合定理灵活调整； 3. 向量方向不可忽视：定理中向量均以O为起点，若向量起点为顶点需先转化为以O为起点的向量再套用定理； 4. 系数非零且同号：O在△ABC内时，向量系数同号，若系数异号，O在三角形外，需结合题意判断。 题型01：直接奔驰定理求面积比 【典型例题1】点O是内一点，且满足．则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】法一：根据奔驰定理及可知， 所以 法二：由可得， 设，即， 可知三点共线，且反向共线，如下图所示： 故，.故选：C. 【典型例题2】设为内部的一点，且，则的面积与的面积之比为（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】法一：根据奔驰定理可知：，故选C 法二：延长至，使； 延长至，使，则 是△的重心，， ，，，故选：C． 【典型例题3】设O为△ABC所在平面内一点，满足273，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（ ） A．6 B． C． D．4 【答案】D 【解析】法一：根据奔驰定理的推论可得：，故选D 法二：不妨设，如图所示， 根据题意则， 即点O是△A1B1C1的重心，所以有k， 又因为 ， 那么， ， 故△ABC的面积与△BOC的面积的比值为.故选：D 【典型例题4】点P菱形ABCD内部一点，若，则菱形ABCD的面积与的面积的比为（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【解析】法一：根据奔驰定理及可知： 则， 又，所以 法二：如图，设中点为，中点为， 因为，即， 则，即， 则， 所以的面积与的面积的比值是6.故选：B. 【典型例题5】已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图， 则，， 因此，，同理， 于是得， 又，即，由“奔驰定理”有， 则，而与不共线，有，，即， 所以. 故选：A 【变式训练1-1】已知点A，B，C，P在同一平面内，，，，则等于（ ） A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6 【答案】B 【解析】由可得：, 整理可得：， 由可得，整理可得：， 所以，整理得：， 由奔驰定理可得：，故选：. 【变式训练1-2】已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】由，得， 如图，分别是的中点， 则， 所以在线段上，且， 得，设，则，所以， 因为，，， 所以，则，解得. 故选：B 【变式训练1-3】点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【解析】 因为， 所以，即， 取中点为点， 则，即， 所以在中线上，且 过，分别作边上的高，垂足为， 则， 所以，， 所以， 所以， 故选：C. 【变式训练1-4】设是内一点，且，定义，其中分别是的面积，若，则的最小值是（    ） A． B．18 C．16 D．9 【答案】B 【解析】设中，角的对边分别为， ，由，得， ，若，则，， 有，得， ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是18. 故选：B 【变式训练1-5】设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接并延长，则通过的中点，过，分别向所在直线作垂线，垂足分别为，， 如图所示 与的面积之比为 根据三角形相似可知，则 即 由平行四边形法则得 根据待定系数法有，则 故选 【变式训练1-6】（多选题）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，且，则 【答案】ABD 【解析】对于A，是的重心，则, 代入就得到,正确； 对于B，设点P到边的距离分别为， 由得，，即，与已知条件比较知，，则是的内心，正确； 对于，即， 与比较得到，，错误； 对于D，是的外心，且，则，设三角形外接圆半径为R， 所以， 代入奔驰定理即可得到，正确， 故选：ABD. 【变式训练1-7】（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，的面积分别为，则有．设O是锐角内的一点，分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则O为的重心 B．若，则 C．若，，则 D．若O为的垂心，则 【答案】ABD 【解析】A：若为的中点，连接，则，故共线，即在中线上，同理可得在其它两中线上，故O为的重心，正确； B：若，由题设知，即O为的重心， 所以，，，， 则，正确； C：由题设，若， 所以，即O为的重心，则， 而，则，故，， 所以，错误； D：由，则， 同理，， 因为O为的垂心，则， 所以， 同理得：，， 则， 令， 由，则， 同理：， ， 综上，， 由已知可得，正确. 故选：ABD 【变式训练1-8】（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（   ）    A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 【答案】ABD 【解析】对A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故，，三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线， 所以为的重心，A正确； 对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； 对C选项，若，，为的外心，则， 设的外接圆半径为，故，， ， 故，，， 所以，C错误； 对D选项，若为的垂心，， 则， 如图，，，，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， ，则，D正确； 故选：ABD. 题型02： 变形使用奔驰定理求面积比 【典型例题1】已知点是所在平面内一点，若，则与的面积比为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】法一：将进行变形得到：， 根据奔驰定理的推论得：，故选A 法二：假设是等腰直角三角形，且是直角，， 建立如图所示平面直角坐标系，设， 则,， 依题意， 即， ， . 【典型例题2】若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABM与△ABC的面积之比为（ ） A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5 【答案】B 【解析】法一：将变形可得： 根据奔驰定理可知： 则，故选B 法二：如图，D为BC边的中点，则 因为－－＝ 所以，所以 所以.故选：B 【典型例题3】已知点A，B，C，P在同一平面内，，，，则等于（    ） A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6 【答案】B 【解析】由可得：, 整理可得：， 由可得，整理可得：， 所以，整理得：， 由奔驰定理可得：， 故选：. 【典型例题4】设、为内的两点，且，，则的面积与的面积之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】法一：将变形可得：， 根据奔驰定理可得：， 再将变形可得：， 根据奔驰定理可得：，所以 法二：设，， ，， 由平行四边形法则知， 的面积与的面积之比， 同理由，可得的面积与的面积之比为， 的面积与的面积之比为，故选：D． 【典型例题5】已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得， 设，则. 由于，所以A，B，D三点共线，如图所示， ∵与反向共线，，∴，∴， ∴. 故选：D 【变式训练2-1】点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解析】如图，延长交于点， 设，则， 因为共线， 所以，解得， 所以，， 则， 由， 得，即， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 【变式训练2-2】已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由正弦定理,又，，，所以得,因为,所以. 设可得则是的重心，，利用,,所以,所以,同理可得,.所以与的面积之比为即为. 故选：A. 【变式训练2-3】）已知等边 的边长为1，．则 的面积为 【答案】 【解析】以的中点为原点，所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 因为, 所以， 故， ，， 设的夹角为， ， 所以，， 点到直线的长度为， 的面积为. 故答案为： 【变式训练2-4】已知为中线AD的中点,过点的直线与AB,AC分别交于点E,F,若与的面积之比为,则实数的值为 _____. 【答案】或 【解析】 设 ,则 由 所以,即 又 所以,联立,解得或 又,所以,所以或 故答案为：或 【变式训练2-5】设点O在的内部，且，则的面积与的面积之比是___________ 【答案】5 【解析】由变形可得：， 整理可得：， 根据奔驰定理可得：，则. 故答案为：5. 【变式训练2-6】已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则=______． 【答案】 【解析】∵，∴． 设中点为，中点为，则, ∵为的中位线，且， ∴，即． 故答案为：． 题型03：奔驰定理的综合应用 【典型例题1】奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵是的垂心，延长交与点， ∴ ， 同理可得，∴：， 又， ∴， 又，∴， 不妨设，其中， ∵， ∴，解得或， 当时，此时， 则都是钝角，则，矛盾. 故，则，∴是锐角，， 于是，解得.故选：A. 【典型例题2】奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，因为，所以， 同理，，所以为的垂心。 因为四边形的对角互补，所以， ． 同理，， ， ． ， ． 又 ． 由奔驰定理得.故选C． 【典型例题3】（多选）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（ ） A．若是的重心，则有 B．若，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，且，则 【答案】ABD 【解析】对于A，是的重心，则, 代入就得到,正确； 对于B，设点P到边的距离分别为， 由得，， 即，与已知条件比较知，， 则是的内心，正确； 对于，即， 与比较得到，，错误； 对于D，是的外心，且，则，设三角形外接圆半径为R， 所以， 代入奔驰定理即可得到，正确，故选：ABD. 【典型例题4】（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若O是锐角内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.则（ ） A．O为的外心 B． C． D． 【答案】BCD 【解析】依题意，， 同理OA⊥CB，OC⊥AB，则O为的垂心，A错误； 如图，直线分别交AB，AC于P，Q，由选项A知，， ，，则， 又，即有，又， 因此，B正确； 由选项B知，，同理， ， 同理可得，因此，C正确； ， 同理可得，所以，D正确.故选：BCD 【典型例题5】“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则，是内的一点，∠，∠，∠分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，，且，则 C．若，则为的垂心 D．若为的内心，且，则 【答案】BCD 【解析】根据题意得到，A错误，计算，根据比例关系得到B正确，确定得到C正确，根据面积公式得到，得到D正确，得到答案. 【详解】对选项A：，则，错误； 对选项B：，， 故，，正确； 对选项C：，即，故， 同理可得，，故为的垂心，正确； 对选项D：，故，设内接圆半径为， ，，，即， 即，，正确. 故选：BCD 【变式训练3-1】“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 【答案】ABD 【解析】对A，取BC的中点D，连接MD，AM，结合奔驰定理可得到，进而即可判断A； 对B，设内切圆半径为，从而可用表示出，，，再结合奔驰定理即可判断B； 对C，设的外接圆半径为，根据圆的性质结合题意可得，，，从而可用表示出，，，进而即可判断C； 对D，延长AM交BC于点D，延长BO交AC于点F，延长CO交AB于点E，根据题意结合奔驰定理可得到，，从而可设，，则，，代入即可求解，进而即可判断D． 对于A，取BC的中点D，连接MD，AM， 由，则， 所以， 所以A，M，D三点共线，且， 设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，， 所以为的重心，故A正确； 对于B，由为的内心，则可设内切圆半径为， 则有，，， 所以， 即，故B正确； 对于C，由为的外心，则可设的外接圆半径为， 又，， 则有，，， 所以，， ，所以，故C错误； 对于D，如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E， 由为的垂心，，则， 又，则，， 设，，则，， 所以，即， 所以，所以，故D正确； 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：解答D选项的关键是通过做辅助线（延长AM交BC于点D，延长BO交AC于点F，延长CO交AB于点E），根据题意，结合奔驰定理得到，，再设，，得到，，进而即可求解． 【变式训练3-2】“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若O是锐角内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.则（    ） A．O为的外心 B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由确定出点O是三角形的垂心，判断A；利用直角三角形角的关系、边角关系计算判断B，C；由直角三角形边角关系计算判断D作答. 依题意，， 同理OA⊥CB，OC⊥AB，则O为的垂心，A错误； 如图，直线分别交AB，AC于P，Q，由选项A知，， ，，则， 又，即有，又， 因此，B正确； 由选项B知，，同理， ， 同理可得，因此，C正确； ， 同理可得，所以，D正确. 故选：BCD 【变式训练3-3】“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，、、的面积分别为、、，则.若是锐角内的一点，、、是的三个内角，且点满足，则（    ） A．为的垂心 B． C． D． 【答案】ABD 【解析】首先可根据得出，用相同的方式得出、，即可得出A正确，然后作辅助线，根据、即可得出B正确，再然后通过正弦定理得出，即，用相同的方式得出，即可得出C错误，最后结合解三角形面积公式以及B项得出、、，根据“奔驰定理”得出，结合C项即可得出D正确. A项：，即， ，，， 同理可得，， 故为的垂心，A正确； B：如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点， 因为，所以，， 因为，所以，， 则 ，B正确； C项：在中，由正弦定理易知， 因为，， 所以， 即，， 同理可得， 故，C错误； D项：，同理可得，， 则 ， 同理可得，， 因为， 所以将、、代入，可得， 因为， 所以， 故成立，D正确， 故选：ABD. 【变式训练3-4】“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，的面积分别为，则有．设O是锐角内的一点，分别是的三个内角，以下命题不正确的有（    ） A．若，则O为的重心 B．若，则 C．若，，则 D．若O为的垂心，则 【答案】C 【解析】对于A：如下图所示， 假设为的中点，连接，则，故共线，即在中线上， 同理可得在另外两边的中线上，故O为的重心，即A正确； 对于B： 由奔驰定理O是内的一点，的面积分别为， 则有可知， 若，可得，即B正确； 对于C： 由可知，， 又，所以 由可得，； 所以，即C错误； 对于D：由四边形内角和可知，，则， 同理，， 因为O为的垂心，则， 所以，同理得，， 则， 令， 由，则， 同理：，， 综上，， 根据奔驰定理得，即D正确. 故选：C 【变式训练3-5】奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】延长交于点P， 是的垂心，， ． 同理可得，． 又， ． 又， ． 不妨设，其中． ， ，解得． 当时，此时，则A，B，C都是钝角，不合题意，舍掉． 故，则，故C为锐角， ∴，解得， 故选：B． 【变式训练3-6】设是内一点，且，，定义，其中、、分别是、、的面积，若，则的最小值是（    ） A．8 B．9 C．16 D．18 【答案】B 【解析】设中，角的对边分别为， ， 依题意可知， 所以，且是正实数， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以的最小值是. 故选：B. 巩固提升 一、单选题 1.已知中，，过点的直线分别交射线于不同的两点，则与 的面积之比的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】如图，连接 在，所以 则 过点的直线分别交射线于不同的两点， 则设，，且 所以 所以 则 所以 因为， 所以 即，所以 ，当且仅当，即时，等号成立. 则与 的面积之比的最小值为. 故选：C. 2.如图，是等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若与的面积相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵D在线段BC上，且， ∴， 又E为线段AD上一点，若与的面积相等， ∴，则E为AD的中点， 又，， 所以， 故选：D 3.△ABC满足，∠BAC＝60°，设M是△ABC内的一点（不在边界上），定义f（M）＝（x，y，z），其中x，y，z分别表示△MBC，△MCA，△MAB的面积，若，则的最小值为（    ） A．24 B．9 C．16 D． 【答案】D 【解析】由已知可得， ， , 又， 即，解得， 所以， 当且仅当，时，取等号. 故选：D. 4.已知P是内部一点，且，则面积之比为（    ） A．1：3：5 B．5：3：1 C．1：9：25 D．25：9：1 【答案】B 【解析】设的面积为， 由，得， 有， 又，令， 则三点共线，且， 即点在上，且， 所以以为底，的高为的， 故，同理可得，， 所以. 故选：B 5.已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 可得，即点P在线段BC上，且 则与的面积之比等于 故选：B 6.设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 因为， 所以， 所以O为的重心， 设， 所以， 则， 所以， 所以， 故选：A 7.设、为内的两点，且，，则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，， ，， 由平行四边形法则知， 的面积与的面积之比， 同理由，可得的面积与的面积之比为， 的面积与的面积之比为， 故选：D． 8.已知O为内一点，且，则与面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以OB、OC为邻边做平行四边形OBDC如图所示， 则. 因为，所以，所以. 在AB边上取三等分点E、F，连结OE. 因为所以，所以四边形OEBD为平行四边形，所以，所以. 所以O到AB的距离是C到AB距离的一半，所以与面积比为. 故选：C 9.已知为内一点，且，则与面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设线段，的中点分别为，， 如图所示， 由，得， 即，故， 所以点在的中位线上，即， ，， 故， 故选：C. 10.在中，是直线上的点.若，记的面积为，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 依题意作上图， 设 ， 由条件 ， ∴ ， ，， ∴点D在AB的延长线上，并且 ， ∴  ， 故选：D. . 二、填空题 1.已知O是面积为4的△ABC内部一点，且有，则△AOC的面积为__________. 【答案】1 【解析】如图，设AC中点为M，BC中点为N. 因为，所以，即，所以O为中位线MN的中点， 所以. 故答案为：1 2.已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x，y满足＋x＋y＝0，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记＝λ1，＝λ2，＝λ3，则λ2λ3取最大值时，3x＋y的值为_______. 【答案】2 【解析】由题意可知λ1＋λ2＋λ3＝1. 因为P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EFBC， 所以λ1＝，所以λ2＋λ3＝， 所以λ2λ3≤，当且仅当λ2＝λ3＝时，等号成立， 所以λ2λ3取最大值时，P为EF的中点. 延长AP交BC于M，则M为BC的中点， 所以PA＝PM，所以， 又因为，所以x＝y＝，所以3x＋y＝2. 故答案为：2. 3.设点P在内且为的外心，，如图.若的面积分别为，x，y，则的最大值是________. 【答案】 【解析】根据奔驰定理得，，即， 平方得， 又因为点P是的外心，所以，且， 所以， ，解得， 当且仅当时取等号.所以. 故答案为：. 4.在中，过重心G的直线交边AB于点P，交边AC于点Q，设的面积为，的面积为，且，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】根据题意，连接，作图如下： ， 在三角形中，因为为其重心，故可得 结合已知条件可得：， 因为三点共线，故可得，即， 由题设可知，， 又，得， 故，令，可得，， 则，又在单调递减，单调递增， 当时，，当时，，当时，， 故. 故答案为：. 5.已知为所在平面内一点，有下列结论： ①若为的内心，则存在实数使； ②若，则为的外心； ③若，则为的内心； ④若，则与的面积比为． 其中正确的结论是 ________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】① 【解析】设中点， 对于①若为的内心，所以在的角平分线上， 因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，令，所以在的角平分线上，即与共线， 所以存在实数使，即，故①正确； 对于②，若， 则， 所以在中线上且，即为三角形重心，故②错误； 对于③，，所以为的外心，故③错误； 若，则， 即， 所以为上靠近的三等分点， 所以， 故与的面积比为，故④错误． 故答案为：① 6.年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”做为奔驰轿车的标志，象征着陆上，水上和空中的机械化，而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世界十大著名的商标之一（图一）.已知为内一点，，，的面积分别为，，，则有，我们称之为“奔驰定理”（图二）.已知的内角的对边分别为，且，为内的一点且为内心.若，则的最大值为___________. 【答案】 【解析】为的内心，，， ， ，， 即，，； （当且仅当时取等号）， ，，（当且仅当时取等号）， 的最大值为. 故答案为：. 7.点为内一点，，则的面积之比是___________. 【答案】 【解析】因为，所以， 设为中点，为中点，为三角形的中位线，则， 因为， 可得，所以三点共线，且， 则，， 分别设， 由图可知，，， 则，所以，而，所以， 所以，， 所以， 即的面积之比等于. 故答案为：. 8.设点O在内部，且，则与的面积之比为___________. 【答案】3∶1 【解析】 如图，延长到，使得,延长到，使得，延长到,使得. 因为，所以， 所以是的重心， 设， 所以, 所以， 同理,. 所以与的面积之比为. 故答案为：3:1 9.已知是内一点，，设的面积为的面积为，则_______． 【答案】 【解析】过点作,交于点,交于点连接并延长交于点,作,垂足为,作,垂足为 因为，, 所以 因为, 所以.故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $