第04讲 平面向量的数量积讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量数量积核心考点，按定义、几何意义、坐标运算到夹角、模长、最值问题的逻辑层次构建知识体系，通过高考分析、知识要点梳理、解题策略指导、15类题型归纳及真题训练，帮助学生系统突破数量积运算、几何转化等难点，形成从基础到综合的复习路径。 讲义采用“几何意义优先，代数运算兜底”教学策略，创新设计极化恒等式、建系解题等专题突破，如通过典型例题对比投影与投影向量的区别，培养学生数学思维和直观想象能力。分层设置基础巩固与综合应用题型，配合即时反馈，助力学生高效掌握高考高频题型，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

第04讲 平面向量的数量积 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 8 题型归纳 8 题型01：平面向量数量积的定义 9 题型02：平面向量数量积的几何意义 10 题型03：平面向量数量积的坐标计算 14 题型04：求平面向量的夹角（定义法与坐标法) 18 题型05： 平面向量的模长问题 26 题型06：重根据向量模求参数 27 题型07：向量的投影与投影向量对比 31 题型08：平面向量垂直关系及等价条件 36 题型09：平面向量成锐角或钝角求参数 40 题型10：建系解题 45 题型11：求向量数量积（最值，范围）的极化恒等式法 57 题型12： 向量数量积与解三角形综合 61 题型13：拆分向量求数量积 62 题型14：利用向量求几何中线段长，夹角 65 题型15： 向量与物理 68 平面向量数量积是高考数学的核心高频考点，兼具“代数运算”与“几何直观”双重属性，近五年（2021-2025）全国卷、新高考卷均稳定考查，以下从考情、考点、题型、命题趋势与备考策略展开分析。 一、考情概览：题型、分值与难度 1. 题型与分值 • 主流题型：以选择题（5分）、填空题（5分） 为主，偶见于解答题的小问（与三角函数、平面几何、解析几何综合）。 • 分值占比：每套试卷单独考查约5分，综合考查时合计8-10分，属于“低投入高回报”的基础必拿分模块。 2. 难度定位 • 核心难度：基础题与中档题为主（占比80%），侧重公式应用与基础运算；难题多为“数量积最值/范围”，需结合轨迹（圆、线段）或几何性质转化。 • 命题特点：不考偏难怪，聚焦核心公式与几何意义，突出“数形结合”与“转化思想”。 二、高频题型与解题方法 数量积定值计算 含中点、固定模长、规则图形 定义法、坐标法、极化恒等式 2024新课标Ⅱ卷第3题， 2023全国乙卷 模长与夹角计算 已知数量积求模长，或已知模长与数量积求夹角 模长平方公式数量积最值/范围 动点轨迹为圆、线段，求范围 极化恒等式（抓中点转平方差）、坐标法（建系求函数值域） 2025北京卷， 2023全国乙卷（圆中数量积最值） 垂直与投影问题 题干含“垂直”，或求投影向量 垂直条件（）、投影公式 2024新课标Ⅰ卷，2022新高考Ⅱ卷 三、命题趋势（2021-2026） 1. 稳定核心，弱化技巧：始终围绕“定义、坐标运算、几何意义”，淡化复杂基底代换，强化“直接应用”与“简单转化”。 2. 几何化趋势明显：数量积最值题常以“圆、三角形、线段”为载体，突出“几何意义优先，代数运算兜底”的命题逻辑。 3. 工具性凸显：与三角函数、平面几何的综合题增多，考查向量在解决几何问题中的“桥梁作用”，而非单纯的向量运算。 4. 极化恒等式成为热点：作为“数量积与几何长度转化”的核心工具，近三年高考中频繁用于中点相关的数量积计算与最值问题，是备考重点。 平面向量数量积是高考数学的“必拿分模块”，核心在于“掌握公式、灵活转化、数形结合”。备考中需聚焦基础运算，熟练三种核心方法，突破最值/范围类题型，即可轻松应对高考中的所有考查形式。 1. 知识目标：理解数量积的定义与几何意义“投影乘积”），熟记坐标运算公式、模长公式及极化恒等式，掌握垂直的充要条件 2. 能力目标：能灵活用定义、坐标法、极化恒等式求解数量积定值、模长、夹角问题，会结合圆、线段等轨迹求数量积最值/范围，熟练处理与平面几何、三角函数的综合题，提升数形结合与转化求解能力。 3. 素养目标：在数量积的代数运算与几何意义转化中，深化逻辑推理、数学运算、直观想象核心素养，体会向量的工具价值，建立“几何直观→代数表达→问题解决”的思维模式。 知识点一：平面向量的数量积 1．向量的夹角 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角 0°≤≤180° θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b， θ＝90°⇔a⊥b (1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角． (2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°. (3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直． 求向量的夹角，有两种方法： (1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ＝求得． (2)公式法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π]． 2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 由图可知，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们的方向即有肯能相同，也有可能相反. 如图（1），当时，的方向与的方向相同，而且； 如图（2），当时，为零向量，即 如图（3），当时，的方向与的方向相同，而且 一般地，如果，都是非零向量，则称为向量在向量上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.因为==，所以两个非零向量，的数量积，等于在向量上的投影的数量与的模的乘积.这就是两个向量数量积的几何意义. 注意 1.平面向量数量积运算的常用公式： (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2) (a±b)2＝a2±2a·b＋b2． ②|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2) 2．有关向量夹角的两个结论： (1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立(因为a与b夹角为0时不成立)． (2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立(因为a与b夹角为π时不成立)． 3.求非零向量a，b的数量积的常见方法 直接法 若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算 几何法 根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解 坐标法 若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解 投影法 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 极化恒等式 解决向量投影问题应注意以下3点 （1）、向量在方向上的投影向量为（其中为与同向的单位向量），它是一个向量且与共线，其方向由与的夹角的余弦决定； （2）、向量在方向上的投影向量为； （3）、注意：在方向上的投影向量与在方向上的投影向量不同，即在方向上的投影向量可以表示为 4、求向量的模或其范围的方法 （1）、定义法：，； （2）、坐标法：设，则； （3）、几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解。 【注意】（1）形如的向量的模，可通过平方转化为数量的运算； （2）用定义法或坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个变量的函数，再利用函数的有关知识求解；用几何法求模的范围时，注意数形结合思想，常用三角不等式进行最值求解。 5．向量数量积的运算律 交换律 a·b＝b·a 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 数乘结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 （1） （2）当是实数时， 分配律 （1） （2） （3） （4） （5） 6．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 注：①只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是与的夹角，∠BAD才是与的夹角． ②零向量与任意向量的数量积为0. ③投影和两向量的数量积都是数量 ④实数运算满足消去律：若ab＝ca，a≠0，则b＝c．而在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，不能推出b＝c．即向量的数量积运算不满足消去律． ⑤向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c 不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线． 7．数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 8．平面向量数量积的类型及求法： （1）平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式；二是坐标公式． （2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简． 9.平面向量数量积主要有两个应用： （1）求夹角的大小：若，为非零向量，则由平面向量的数量积公式得（夹角公式），所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题． （2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角． 向量垂直问题 (1)当向量a与b是坐标形式时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示，且不共线的向量要知道其模与夹角，进行运算证明a·b＝0. (3)数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b. 10·数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 （当且仅当时等号成立） 平面向量的垂直问题，有两个类型： (1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． (2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． 平面向量数量积的解题核心是 “先定场景，再选方法——几何意义优先，代数运算兜底”，根据题干条件（模长、夹角、图形、轨迹）灵活选择最优解法，具体策略如下： 一、解题第一步：快速判定适用方法 1.题干关键特征 优先选择方法 核心优势 2.已知模长+夹角（明确） 定义法 直接套用公式，运算量最小 3.规则图形（正方形、矩形、直角三角形）+ 坐标可标 坐标法 转化为代数运算，无需想几何意义 4.含中点、三等分点 + 数量积定值/最值 极化恒等式 绕开角度，转成线段长度平方差 5.动点轨迹（圆、线段）+ 数量积范围 极化恒等式/坐标法 快速锁定临界位置（切线、端点） 6.含垂直、投影相关表述 垂直条件/投影公式 直接利用性质简化，避免复杂计算 二、四大核心方法详解（含步骤+示例） 1. 定义法：已知模长与夹角（基础题首选） 2. 坐标法：规则图形/可建系（通用兜底法） 3. 极化恒等式：中点/轨迹最值（技巧性提速法） 4. 几何意义法：垂直/投影/模长关联（快速简化法） 三、高频题型专项突破 1. 数量积定值计算 • 策略：优先用定义法（已知夹角）或坐标法（规则图形），含中点用极化恒等式。 • 关键：快速锁定已知条件，避免多余转化，直接套用对应公式。 2. 模长与夹角计算 3. 数量积最值/范围 • 策略： ◦ 轨迹为圆：极化恒等式（找中点M，求PM最值）或坐标法（设P(x,y)，转化为函数求值域）； ◦ 轨迹为线段：取线段端点，计算端点对应的数量积，端点值即为最值。 4. 综合题（与几何/三角函数结合） • 策略：先将向量问题转化为几何问题（如用向量垂直表示高线），或转化为三角函数（如用数量积表示角度关系），再结合对应知识求解。 四、避坑指南 1. 夹角判断错误：两向量必须共起点才算夹角，避免将“线段夹角”当作“向量夹角”； 2. 坐标标注错误：建系后核对对称点、中点坐标，避免后续计算出错； 3. 极化恒等式误用：中点必须是“定线段AB的中点”，而非动点的中点； 4. 运算律混淆： 题型01：平面向量数量积的定义 【典型例题】在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 【答案】C 【解析】利用向量数量积的定义求解. △ABC中，，，，与的夹角为角的补角， 则. 故选：C 【变式训练1-1】设向量，的夹角为，且，，则 ． 【答案】9 【解析】法1：由数量积的几何意义可知在向量上的投影的数量为，可得，即可求解； 法2：根据数量积的定义即可求解； 法3：根据题意设，的坐标，利用坐标运算即可求解. 法1：由向量数量积的几何意义得， 在向量上的投影的数量为， 所以，所以； 法2：根据数量积定义有， 所以； 法3：设，，， 所以. 故答案为：. 【变式训练1-2】在三角形中，在上的投影向量为，则 ． 【答案】 【解析】首先根据投影公式求，再转化向量，即可求解. 由题意，，为中点， 由在上的投影向量为， 即，又， 所以， 所以. 故答案为： 【变式训练1-3】已知向量在方向上的投影向量是是与同方向的单位向量），，则 . 【答案】 【解析】根据投影向量的定义求出，再由数量积的定义求. 因为向量在方向上的投影向量为，所以， 又，， 所以. 故答案为：. 题型02：平面向量数量积的几何意义 【典型例题1】已知在上的投影向量为，则的值为 . 【答案】 【解析】利用投影向量的定义及平面向量的数量积公式计算即可. 设与的夹角为， . 故答案为： 【典型例题2】如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】先分别过作、交于点和，求出，设，接着根据数量积定义以及题中所给条件求得，从而求出即可得解. 分别过作交于点，作交于点， 则， 设，则， 由题可知即， 所以，故的最小值为. 故答案为：. 【变式训练2-1】已知向量在向量方向上的投影向量为，且 ，则 (结果用数值表示) 【答案】 【解析】根据投影向量的计算公式，结合数量积的定义式求解. 因为向量在向量方向上的投影向量为， 即，故， 故答案为： 【变式训练2-2】）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图所示的是一个圆形，圆心为O，A，B是圆O上的两点，若，则 . 【答案】2 【解析】根据题意，利用数量积公式直接计算即可． 依题意，， 则． 故答案为：2． 【变式训练2-3】已知，，向量在方向上投影向量是，则为（    ） A．12 B．8 C．-8 D．2 【答案】A 【解析】由投影向量和数量积的定义即可得出结论. 在方向上投影向量为， ，. 故选：A 【变式训练2-4】在半径为的中，弦的长度为，则的值为（    ） A． B． C． D．与有关 【答案】B 【解析】取线段AB的中点D，得，利用向量数量积的运算，结合解直角三角形，求得. 取线段AB的中点D，得，所以. 所以. 故选：B 【变式训练2-5】（多选）正六边形ABCDEF的边长为2，G为正六边形边上的动点，则的值可能为（    ） A． B． C．12 D．16 【答案】ABC 【解析】利用投影向量求解向量数量积，得到的最小值和最大值，得到答案. 连接与相交于点，由正六边形的几何性质，⊥，， 正六边形ABCDEF的边长为2，故，， 故， 故点在上的投影为， 当点与点重合时，此时的投影向量为，与方向相同 此时取得最大值，最大值为， 故当与重合时，的投影向量为，与方向相反， 此时取得最小值，最小值为， 故，ABC正确，D错误. 故选：ABC 【变式训练2-6】如图，在梯形中，.点在阴影区域（含边界）中运动，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】求出和，根据数量积的几何意义，分析在上的投影向量即可得解. 作，垂足为F，记的中点为E， 由可知，梯形为等腰梯形，， 所以，，则， 所以，， 所以， 由数量积的几何意义可知，受在上的投影影响， 由图可知，当点P在BC上时，在上的投影向量为，数量积取得最小值， 当点P与点D重合时，在上的投影向量为，数量积取得最大值. 所以，即. 故答案为： 题型03：平面向量数量积的坐标计算 【典型例题1】已知向量，，则（ ） A．0 B．1 C．-1 D．-3 【答案】A 【解析】根据题意，利用向量的数量积和向量模的运算公式，准确运算，即可求解. 由向量，，可得，且， 则. 故选：A. 【典型例题2】菱形中，，点在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据菱形对角线垂直的性质建立直角坐标系，表示出各点的坐标，结合点E的坐标满足的条件和范围，再代入数量积即可求解. 建立如图所示坐标系，，，，， 设，，， 则，，， 所以. 故选：D． 【典型例题3】已知向量，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由向量的数量积的坐标运算求解即可. ∵，， ∴，， ∴． 故选：C 【典型例题4】已知平面向量，，且，则 . 【答案】4 【解析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得，即可求出集合，再根据数量积的坐标表示计算可得. 由，得，即， 整理得，解得，所以， 所以. 故答案为： 【变式训练3-1】设平面向量，，若与不能作为平面向量的一组基底，则（    ） A． B． C． D． 【答案】由条件，结合基底的定义列方程可求，再由数量积的坐标表示求. 【解析】因为与不能作为平面向量的一组基底， 所以，又，， 所以，故， 所以， 所以. 故选：B. 【变式训练3-2】已知和的夹角为，且，则（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】根据向量数量积运算求得正确答案. 【解析】 故选：C. 【变式训练3-3】莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为菜洛三角形，已知正三角形ABC的边长为1，点P为的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】根据题意，建立平面直角坐标系，求出相应向量的坐标，结合向量的数量积的坐标运算公式，即可求解. 【解析】根据题意，以为坐标原点，所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 因为正的边长为1，且点为的中点，所以， 点在以为圆心，为半径的圆上， 则, 所以， 则， 所以. 故选：B. 【变式训练3-4】在中，，，是所在平面内一点，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】根据向量的数量积以及基本不等式求解即可. 【解析】 ， ， ， ， ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 故选：D. 【变式训练3-5】（多选）关于平面向量，，，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．若，则与的夹角为钝角 D． 【答案】AD 【解析】 A √ 根据向量的运算律可知，A正确 B × 表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量，则与不一定相等 C × 当两个非零向量与的方向相反时，，此时与的夹角为，不是钝角 D √ 若与中至少有一个零向量，则，此时与共线； 若与均为非零向量，设与的夹角为，则，可得． 又，所以或，即与共线，反之也成立． 综上， 故选：AD. 【变式训练3-6】正六边形ABCDEF的边长为1，则 . 【答案】 【解析】正六边形如下图所示，，，且， 所以， 则. 故答案为： 【变式训练3-7】在平面直角坐标系xOy中，点，，． (1)求； (2)若实数满足，求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1），， 所以. （2），， 因为，所以， 解得 题型04：求平面向量的夹角（定义法与坐标法) 定义法 【典型例题1】已知平面向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】借助向量的数量积公式及夹角公式计算即可得. ， 则， 即，又， 故与的夹角为. 故选：B. 【典型例题2】已知向量满足与的夹角为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】对等式进行变形得，再运算数量积的运算求解即可. 【解析】设，由题得， 所以， ，所以， 所以，又， 所以， 故选:D. 【典型例题3】已知单位向量，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】求出，与，再应用夹角余弦公式求解即可. 【解析】解：因为，， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 故选：A. 【典型例题4】已知在平面直角坐标系中为坐标原点，点、点，则向量和的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点、点，所以， 所以，， 设向量和的夹角为，因为， 又因为，所以， 所以向量和的夹角为. 故选：B. 【典型例题5】已知向量，是单位向量，若，则与的夹角为 . 【答案】 【解析】借助向量数量积公式、模长与数量积的关系及向量夹角公式计算即可得. 由题意知，， 由，所以 ，即， 所以，所以， 由 ，得 . 故答案为：. 【变式训练4-1】已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 即， 所以， 所以， ∴， 故选：B. 【变式训练4-2】已知，若与的夹角为，则在的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为与的夹角为， 所以， 则， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 【变式训练4-3】在平面直角坐标系中，点在直线上，若向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可设，则， 所以在方向上的投影向量为. 故选：A 【变式训练4-4】已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在上的投影向量为， 则，， ， 所以与的夹角为. 故选：B. 【变式训练4-5】对于任意非零向量，若在上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，在上的投影为， 同理，在上的投影为， 因为任意非零向量在上的投影向量互为相反向量， 所以在上的投影互为相反数，所以， 则． 故选：D． 【变式训练4-6】已知向量，满足，，则 . 【答案】/ 【解析】利用向量的相关知识，计算出，借助数量积公式计算即可. 结合题意： 所以 因为 所以 所以. 故答案为： 【变式训练4-7】已知向量，，，且与的夹角为锐角，则t的取值范围是 （用区间表示）. 【答案】 【解析】因为与的夹角为锐角，故与数量积为正，且两向量不同向共线， 所以，解得. 故答案为： 【变式训练4-8】已知向量，为两个相互垂直的单位向量，则 . 【答案】 【解析】由题，， 又， 则，又， 则. 故答案为： 【变式训练4-9】已知向量，满足，，． (1)求的值； (2)求向量与的夹角． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由条件推理求得利用向量数量积的运算律即可求得； （2）利用计算向量夹角的公式，先求和，再代入公式计算即得. （1）因，, 由可得， ，即 于是，； （2）设向量与的夹角为， 则， 因， ，， 即与的夹角为． 【变式训练4-10】已知向量，满足. (1)若，求的值； (2)若的夹角为，求与夹角的余弦值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据向量平行，分类讨论同向或反向即可求解； （2）分别求出向量与的模，根据向量的夹角公式，即可求得答案. （1）因为，所以或， 当时，， 当， 所以的值为. （2）因为， 所以. 坐标法 【变式训练4-11】已知平面向量，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】根据题意，由平面向量数量积的坐标运算可得，再由平面向量的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【解析】， ， ， ，． 故选：B. 【变式训练4-12】单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】法一：将平方得，求出，再利用夹角公式求解；法二：设向量坐标化，确定，再利用向量夹角的坐标公式求解. 【解析】法一：因为，所以，所以. 由是单位向量，得，故. 所以，所以. 因为， 所以. 法二： 因为，所以.因为是单位向量， 所以设，，，则，，， 解得. 取，则. 因为，， 所以. 故选：B. 【变式训练4-13】已知向量，，若，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由向量，，得， 由，得，解得，，， 所以在上的投影向量为. 故选：B 题型05： 平面向量的模长问题 【典型例题】若向量满足，且，则 . 【答案】 【解析】由得； 由得； 由得，所以. 故答案为： 【变式训练5-1】若向量，，且，则（   ） A． B．45 C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，解得， 故， 故. 故选：C. 【变式训练5-2】已知向量，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【解析】向量，， 若，则，解得，所以， 可得，. 故选：D. 【变式训练5-3】已知向量，则的最大值为 . 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以 ， 所以当，即时取得最大值，且. 故答案为： 【变式训练5-4】已知向量满足，且，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由，可知，得：，故. 再由，可得：， 将代入，可得：，解得：. 故选：B 题型06：重根据向量模求参数 【典型例题1】若向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据，从而可得，从而可求解. 若，则，即，解得.故A正确. 故选：A. 【典型例题2】平面向量，，且．若，则（    ） A．0 B．2 C．0或 D． 【答案】C 【解析】根据平面向量的模与数量积运算可求得结果. 因为，所以， 即， 又因为，，， 所以，即，解得或． 故选：C． 【典型例题3】已知向量，均为单位向量，且，，则实数 ． 【答案】 【解析】根据垂直关系的向量表示以及数量积的运算律，将平方后，即可求得答案. 由题意知，，故，且， 即，故， 故答案为： 【典型例题4】已知向量，的夹角为，且． (1)求向量在向量上的投影向量； (2)若，求的值． 【答案】(1)；(2)或3. 【解析】（1）求出，再利用投影向量的意义求解即可. （2）利用向量数量积的运算律建立方程求解即得. （1）由向量，的夹角为，且，得， 所以向量在向量上的投影向量为. （2）由（1）知，，由，得，即， 整理得，解得或， 所以的值是或3. 【变式训练6-1】已知平面向量，满足，，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】由题意，结合计算即可求解. 【解析】由题意知，， ， 所以. 故选：D. 【变式训练6-2】）已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】设，，根据求出，再根据得到，最后根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得. 【解析】依题意设，， 由，所以，则， 又，且， 所以，即， 所以，当且仅当时取等号， 即的最大值为. 故选：C. 【变式训练6-3】已知均为单位向量，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】利用向量的模的计算可得，结合二次函数可求最小值. 【解析】因为均为单位向量，且且， 所以， ， 当时，的最小值为. 故选：B. 【变式训练6-4】已知平面向量，，且，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【解析】因为，所以两边平方即可得到关于的一元二次方程，解出即可. ，，， ，两边平方得：， 化简得到，，则. 故选：B. 【变式训练6-5】已知向量，，满足，则 ． 【答案】/或/或 【解析】利用，求出的值，利用平面向量坐标表示建立方程求解即可 因为，， 所以， ， 得． 故答案为： 【变式训练6-6】已知向量，，若，则 ． 【答案】 【解析】根据向量模的展开计算，得出，从而进一步利用向量的线性计算求解. 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 解得， 故答案为：. 【变式训练6-7】已知向量，，，且； (1)求与的夹角； (2)若，求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用向量垂直的坐标表示及向量的坐标运算，结合向量的模公式及向量的夹角公式即可求解； （2）根据（1）的结论及向量的数量积的坐标运算，结合向量的模公式即可求解. 【详解】（1）因为向量，，，且， 所以，解得， 所以，，得， 所以， 即与夹角的余弦值为． 又因为， 所以，即与的夹角为． （2）由（1）知，，， 所以，， 所以，解得． 所以的值为 题型07：向量的投影与投影向量对比 【典型例题1】已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】两边平方求出数量积，然后在根据投影向量公式计算即可. 【解析】因为是单位向量，所以，由得，则，得， 设与的夹角为，则在方向上的投影向量为. 故选：A. 【典型例题2】已知向量，的夹角为45°，且，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】化简求出，进而求出在上的投影向即可． 【解析】因为，所以，即， 所以，解得， 从而，在上的投影向量为． 故选：B． 【典型例题3】已知向量，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】根据题中条件及投影向量的定义计算即可求解. 【解析】由向量， 则，，， 则向量在上的投影向量为：. 故选：D. 【典型例题4】已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】设出的坐标，利用给定条件得到，再利用投影向量公式求解即可. 【解析】设，因为， 所以，解得，， 即向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 【变式训练7-1】已知向量与向量夹角为，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据投影向量的定义结合已知条件直接求解即可 因为向量与向量夹角为，， 所以， 则在上的投影向量为 ， 故选：A. 【变式训练7-2】已知平面向量，满足，则在方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，平方求得，结合投影向量的计算公式，即可求解； 由，，且， 平方得，解得， 所以在方向上的投影向量为. 故选：B. 【变式训练7-3】设的外心为O，且，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知条件可得为等边三角形，然后根据投影向量的定义求解即可, 由可知为中点，且为的外心， 所以， 所以为等边三角形，， 所以向量在向量方向上的投影向量为 . 故选：C 【变式训练7-4】已知是单位向量，且与垂直，与的夹角为135°，则在上的投影数量为 . 【答案】 【解析】由与垂直，结合与的夹角为135°，利用数量积的定义得到，再利用在上的投影的定义求解. 解：因为与垂直， 所以，即， 解得， 又因为与的夹角为135°， 所以，解得， 所以在上的投影数量为， 故答案为： 【变式训练7-5】已知平面向量，满足，且向量，的夹角为，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【解析】先求出数量积，再根据数量积的几何意义求解即可. 因为，且向量，的夹角为， 所以， 所以在方向上的数量投影为. 故答案为：. 【变式训练7-6】在中，已知，则向量在向量上的投影向量为 . 【答案】 【解析】由，可得，再由，得，则得，然后根据投影向量的定义求解即可. 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为 . 故答案为： 【变式训练7-7】已知，，则在方向上的投影向量坐标为 ． 【答案】 【解析】根据投影向量的定义和公式求解即可. 在方向上的投影向量为， ，， 代入计算，得到. 故答案为：. 【变式训练7-8】若非零向量，的夹角为锐角θ，且，则称被“同余”．已知被“同余”，且则在上的投影= 【答案】/ 【解析】根据被“同余”，计算，可求－在上的投影. 被“同余”，则 所以， －在上的投影为. 故答案为： 题型08：平面向量垂直关系及等价条件 【典型例题1】已知向量，，，若，则实数的值为（    ） A．7 B． C．2 D． 【答案】先求出，再根据两个向量垂直的坐标公式计算求解即可. 【解析】因为，， 所以， 由，得， 则，解得. 故选：B. 【典型例题2】若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】由数量积的定义可求出，再由向量垂直的性质求解即可得出答案. 【解析】解：，是夹角为的两个单位向量， 则，， 因为与垂直， 则， 即，解得. 故选：A. 【典型例题3】已知向量，．若，则（    ） A．1 B． C．12 D． 【答案】（方法一）由的坐标，求得的坐标，利用向量垂直的坐标表示式列出方程求解即得；（方法二）先由化简，再代入得坐标计算即得. 【解析】（方法一）由，，得． 由，得，即，解得． 故选：C． （方法二）由，得，即， 将 代入得，，解得． 故选：C． 【典型例题4】已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 . 【答案】 【解析】由与的夹角为，可得：， 又因为，是互相垂直的单位向量，所以有， 则， 解得， 故答案为：. 【典型例题5】已知向量，，若向量，则实数 ． 【答案】或4 【解析】根据向量线性运算和垂直的坐标表示求解即可. 由题意可得，， 因为，所以， 解得或4， 故答案为：或4 【变式训练8-1】已知向量满足，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】根据题意，，则，结合数量积运算律化简可解. 【解析】根据题意，，所以， 又，所以， 即，因为， 所以. 故选：A. 【变式训练8-2】已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求出的坐标，根据向量垂直的坐标表示列方程求解，即得答案. 因为，所以， 因为，所以，即，解得. 故选：D 【变式训练8-3】已知向量，若，则等于（    ） A．1或 B． C．或 D． 【答案】A 【解析】由可得，从而可求． 解：由向量垂直的坐标表示得， 解得或， 故选：A． 【变式训练8-4】已知向量，，若，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【解析】解法一：因为，所以， ，，， 故，解得； 解法二：因为，， 由得，解得. 故选：B. 【变式训练8-5】已知向量，.若，，则 . 【答案】 【解析】将垂直关系利用坐标表示，然后因式分解，根据对恒成立即可求解. 因为，，所以， 因为，所以. 即，整理得， 因为上式对恒成立，所以，解得. 故答案为： 【变式训练8-6】已知平面向量，，，若，则 . 【答案】4 【解析】利用平面向量的坐标运算求解. 解：因为平面向量，， 所以， 又因为，且， 所以，解得， 故答案为：4 【变式训练8-7】写出一个与向量垂直且模为2的向量 ． 【答案】（答案不唯一，或）. 【解析】向量与向量垂直，可设，模为，得到， 解得.因此，满足题意的或. 故答案为：（答案不唯一，或）. 【变式训练8-8】已知向量，满足，，且，则，的夹角是 . 【答案】 【解析】由得，，即， 据此可得：， ， 又与的夹角的取值范围为， 故与的夹角为 故答案为： 【变式训练8-9】平面向量，若存在整数使，且，试求的最大值． 【答案】2 【解析】先求出，然后代入计算，求出关系，进而利用二次函数的性质求的最大值． 由，得， 由， ， 即， 整理得， 又t为整数，当时，也为整数， 也为整数， 所以的最大值为2． 【变式训练8-10】已知，，且向量与的夹角为. (1)求与的值； (2)若向量与互相垂直，求实数k的值. 【答案】(1)，；(2)或 【解析】（1）运用向量数量积的定义和线性运算求解即可. （2）利用向量垂直的定义建立方程，求解参数即可. （1）由已知得， 所以. （2）已知与互相垂直，向量， 即，，所以或． 【变式训练8-11】已知向量，，，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】因为，又，所以， 所以， 又，则，解得． 故选：B. 题型09：平面向量成锐角或钝角求参数 【典型例题1】已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据夹角为钝角转化为数量积小于零且不共线即可. 因为夹角为钝角，所以且不反向共线， 所以即, 或不成立， 所以. 故答案为： 【典型例题2】已知，且与的夹角为 (1)求 与的夹角； (2)若向量与的夹角是锐角，求实数k的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）先求出再由向量的夹角公式求解即可； （2）由题意得，且向量与不共线，从而可求出实数k的取值范围. （1）设与的夹角为θ， 因为，且与的夹角为 所以，， 所以 ， 因为，所以 ； （2）因为向量与的夹角是锐角， 所以，且向量与不共线， 由，得， 所以，即， 解得或， 当与共线时，设， 因为与不共线，所以，解得或， 当时，当时，， 综上， 【典型例题3】已知，，与的夹角为. (1)求； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据模长公式即可求解. （2）根据数量积为负数，求解或，利用不共线可得，即可求解钝角时的范围. （1）因为，所以， 则， 故. （2）令，则， 所以，即，解得或， 当与共线时，则， 则时，与不共线，则， 又向量与的夹角为钝角， 则实数的取值范围为. 【变式训练9-1】设两个向量满足. (1)若，求与的夹角； (2)若的夹角为（1）中的，向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）先根据求出，再利用，即可求出夹角； （2）根据题意可得且与不共线，计算即可. （1）， 又， ，又； （2）的夹角为且， ， 向量与的夹角为锐角， 且与不共线， ，即， 解得：或且且， . 【变式训练9-2】已知两个单位向量与的夹角为，设，． (1)求最小值； (2)若与的夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）首先得，，然后利用模长公式将所求转换为关于的函数的最小值即可； （2）由题意得且，不共线，由此可列出关于的不等式组，从而求解. （1）由题意， 因为，，所以 所以， 所以，等号成立当且仅当， 所以最小值是； （2）因为，， 所以， 设，共线，即设， 因为向量与不共线， 所以，解得， 若与的夹角为钝角， 则，且， 解得的取值范围是. 【变式训练9-3】已知，，若与的夹角为钝角，求的取值范围. 【答案】. 【解析】本题根据向量夹角的计算公式结合夹角为钝角可得，再由与不平行可得，综合可得出结果. 因为与的夹角为钝角，所以，由题意可知与不平行， 所以且， 解得或. 所以的取值范围为. 【变式训练9-4】设是夹角为 的两个单位向量，如果. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定的值，使和共线； (3)若与的夹角为锐角，试求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）根据向量平行且有公共点得出三点共线； （2）应用两个向量平行系数关系求参； （3）把夹角为锐角转化为数量积大于零且向量不平行求参即可. （1）因为, ，可知共线，所以三点共线. （2）因为与共线， 所以可得, 即得. （3）因为与夹角为锐角， 所以 且与不平行， 若,可得,则， 或或. 所以的范围为. 【变式训练9-5】已知平面向量． (1)若，且，求的坐标； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)或；(2). 【解析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量垂直及模的坐标求法求解即得. （2）利用向量夹角公式，列式求解即得. （1）由，得，由，设， 由，得，解得， 所以的坐标是或. （2）依题意，，由与的夹角为锐角，得，且与不共线， 因此，解得且， 所以实数的取值范围是. 题型10：建系解题 【典型例题1】下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的半径均为△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形. 设点 P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（   ） A．18 B．24 C．36 D．48 【答案】C 【解析】以AD 为x 轴，E 为坐标原点建立平面直角坐标系 ，由圆D 方程设 写出向量的坐标，由数量积的坐标表示求出数量积，利用三角函数知识得最大值. 骑行过程中，ABCDE 相对不动，只有P 点绕D 点作圆周运动. 如图，以AD 为x轴，E 为坐标原点建立平面直角坐标系 ， 由题意 圆D 方程为 设 则 ， 易知当 时，取得最大值36. 故选 ：C . 【典型例题2】边长为2的等边中，，，则的最小值为 ． 【答案】． 【解析】以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算以及余弦函数的有界性可求得的最小值. 因为是边长为的等边三角形，且，则为的中点，故， 以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，    则、、，设点， ，， 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 【典型例题3】如图，四边形ABCD中，，，且，． (1)求角B值的大小； (2)已知M，N是线段BC上的两个动点，且，求的最小值． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）由已知可得，利用向量的数量积可得，可得，可求； （2）建立平面直角坐标系，设，可得，可求的最小值． （1），可得，且， ， 又，． （2）过作于，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 设，，， 则：，， ， 由可得时，. 【变式训练10-1】已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】以为原点，建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，计算即可. 【解析】以为原点， 为轴，为轴建立平面直角坐标系， 设，则， 所以， 由于正八边形的每个外角都为； 则， 所以. 故选：C. 【变式训练10-2】勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC上的一点，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】根据数量积的坐标运算即可求解. 【解析】如图所示，    以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，由，得，所以，，所以. 故选：C. 【变式训练10-3】在中，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】以为坐标原点，所在直线为x轴，过垂直BC的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，求得点的轨迹方程，取的中点为，求得的轨迹方程，数形结合可求. 【解析】由题意，以为坐标原点，所在直线为x轴，过垂直的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，由，可得是以为直径的圆， 所以的轨迹方程为， 取的中点为，设， 可得，所以，所以， 所以点的轨迹方程为，圆心为，半径为， 由，所以，所以， 所以， 所以. 故选：A. 【变式训练10-4】在矩形中，，，点满足，在平面中，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解. 【解析】以O为坐标原点（是中点），建立如图所示的直角坐标系， 因为在矩形中，，，，， 所以动点在以O为圆心，1为半径的圆上运动，故设， 则, ， 其中锐角满足，故的最大值为, 故选：A. 【变式训练10-5】已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（   ） A． B．0 C．12 D． 【答案】D 【解析】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 因为，，， 所以， 所以当时，取得最大值. 故选:D. 【变式训练10-6】已知图中正六边形的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1， 所以正六边形的内切圆的半径为， 外接圆的半径为， 因为 ， 又，即，可得， 所以的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用向量数量积的运算法则将转化为，从而得解. 【变式训练10-7】边长为2的等边中，，，则的最小值为 ． 【答案】． 【解析】以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算以及余弦函数的有界性可求得的最小值. 因为是边长为的等边三角形，且，则为的中点，故， 以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，    则、、，设点， ，， 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 【变式训练10-8】等边的边长为2，三角形所在平面内有一动点，满足，则的最小值为 ． 【答案】．/ 【解析】设的中点为，如图， 则， 因为，所以点在以为圆心，1为半径的圆上， 所以， 所以. 故答案为：． 【变式训练10-9】圆是锐角的外接圆，，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】依题意，设中点，的中点为，则垂直平分，垂直平分， 则. 以为圆心，1为半径作圆，则在该圆的四分之一圆弧上变化，如下图， 为中垂线交点，连接，由三角形为锐角三角形， 根据临界位置及图形可知，而， 所以，则范围是． 故答案为：. 【变式训练10-10】已知菱形的边长为2，，点是边上的一点，设在上的投影向量为，且满足，则等于 ；延长线段至点，使得，若点在线段上，则的最小值为 ． 【答案】 1 【解析】过点作⊥于点， 因为，故，故为的中点， 故， 以中点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， ，，设， 因为，所以， 解得， 故，， 设，， 故 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：1， 【变式训练10-11】窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为4，P是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为 ．    【答案】 【解析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，用向量的数量积坐标运算即可求解.    以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则 过作的垂线，垂足为， 正八边形中，边长为4，所以， 所以，所以，所以， 设， 则，所以， 因为是正八边形内的动点（含边界）， 所以的范围为 所以， 故答案为：. 【变式训练10-12】在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点（含端点）.    (1)若，求，的夹角的余弦值； (2)求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）法一：求出、、，再代入向量的夹角公式可得答案；法二：以为原点，、所在的直线为分别为轴建立平面直角坐标系，求出、的坐标，再由向量的夹角公式的坐标运算可得答案； （2）由（1）中的法二，设，，求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数配方法求最值可得答案. （1）法一： 由图知：，， ，， 因为，所以是的中点， ， 所以， 所以 ， 所以； 法二：以为原点，、所在的直线为分别为轴建立 如图所示的平面直角坐标系，则， 则，， 所以；    （2）由（1）中的法二，设，， ，， 所以， 因为，所以. 【变式训练10-13】如图，在菱形中，，是的中点，且． (1)求； (2)以为圆心，2为半径作圆弧，点是弧上的一点，求的最小值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据向量的线性运算，结合数量积的运算律，由夹角公式可得，即可根据锐角三角函数求解， （2）建立直角坐标系，利用向量的坐标运算，即可结合三角恒等变换以及三角函数的性质求解最值. （1）因为，， 所以， 所以， 所以，又，所以． 为等边三角形，又是中点， ，是直角三角形，，， ，； （2）以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 则，，设， 所以，， 所以， 其中，，，故， 故当时，取最小值， 所以，此时． 题型11：求向量数量积（最值，范围）的极化恒等式法 【典型例题1】已知圆的弦的中点为，点为圆上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】D 【解析】由题意，圆心，半径为3，且和，再由，即可求解. 圆，圆心，半径为3，如图，   为弦的中点，， 共线时等号成立， . 故选:D. 【典型例题2】已知A，B，C，D是半径为2的圆O上的四个动点，若，则的最大值为 . 【答案】24 【解析】取相应的中点，根据题意结合极化恒等式可得，分析可知E，F在以O为圆心，为半径的圆上，即可得结果. 如图：    分别取AB，CD的中点E，F，连接DE，CE，EF． 又，所以由极化恒等式得 ，， 所以 . 连接OE，OF，OA，OB，OC，OD， 由，，得， 所以E，F在以O为圆心，为半径的圆上，所以EF的最大值为， 所以的最大值为24. 故答案为：24. 【点睛】结论点睛：极化恒等式：在中，若为中点，则. 【变式训练11-1】在中，，，点在直线上，若的面积为，则的最小值是 . 【答案】 【解析】取的中点，连接，过点作于，是的高，由题意可得，，进而利用基本不等式可求得最小值. 在中，，，所以， 取的中点，连接，过点作于，是的高， 由的面积为，所以，所以， 由，所以可得，所以， 由题意可得， 所以， 所以 ， 当且仅当，即且与重合时取等号. 所以的最小值是. 【变式训练11-2】阅读下一段文字：，，两式相减得，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点． (1)若AD=BC=3，求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)；(2)7 【解析】（1）由极化恒等式知，代入即可得出答案. （2）因为，由极化恒等式知: ，因为，由极化恒等式知: ，解两个方程求出，再因为，代入即可得出答案. （1）由极化恒等式知． （2）设，， 因为，由极化恒等式知: ，因为，由极化恒等式知: ，所以   解得m=2，n=3， 所以． 题型12： 向量数量积与解三角形综合 【典型例题】中，若，则（    ） A．54 B．27 C．9 D． 【答案】利用正弦定理求出，再利用数量积的运算律求解即得. 【解析】在中，若，由正弦定理得， 所以. 故选：A. 【变式训练12-1】如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】先用余弦定理求出，再将向量用基底表示，借助向量运算性质计算即可. 【解析】由，解得. 设， 则 . 故选：C. 【变式训练12-2】已知钝角的面积为，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或6 【答案】根据题设求得，依题分角为钝角和角为钝角两种情况讨论检验，利用向量数量积的定义即可分别求得. 【解析】依题意，，解得， 若角为钝角，则， 由余弦定理，,符合题意， 此时，； 若角为钝角，则， 由余弦定理，， 此时,即，符合题意， 此时. 故选：C. 【变式训练12-3】已知平面向量，，满足，，，，则的最大值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】由，即点四点共圆，再利用余弦定理、正弦定理求解即可. 【解析】设， 由，，，则， 所以，又，所以， 即点四点共圆，要使最大，即为圆的直径， 在中，由余弦定理可得， 即，又由正弦定理可得， 即的最大值为， 故选：A. 题型13：拆分向量求数量积 【典型例题1】在艺术、建筑设计中，把短对角线与长对角线的长度之比为的菱形称为“白银菱形”.如图，在白银菱形ABCD中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设O是AC与BD的交点，则， 则 ， 所以 故选：C 【典型例题2】已知三棱锥的棱长均为2，且是BC的中点，则 . 【答案】1 【解析】解：， ， . 故答案为：1 【变式训练13-1】在平面四边形ABCD中，若，，且，，则（    ） A． B．8 C．10 D．3 【答案】B 【解析】 ∵，， ∴，， ∴ . 故选：B. 【变式训练13-2】如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则 .    【答案】8 【解析】 ， ， 故答案为： 【变式训练13-3】如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为 . 【答案】1 【解析】由，可得， 又，，三点共线， 则有， 由于，所以，即， 又， 且，，， 故 . 故答案为：1. 题型14：利用向量求几何中线段长，夹角 【典型例题1】如图，，分别是四边形的边，的中点，，，，，则线段的长是 . 【答案】 【解析】依题意，，，因，分别是四边形的边，的中点， 则， 如图，过点A作AG//CD交BC于点G，则，而，则有， 于是得，则 . 所以的长为. 故答案为：. 【典型例题2】如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图，以点B为原点，所在的直线为x轴建立直角坐标系，不妨设 设，，，，则，， 所以，所以. 所以，. 因为E，D，F共线， 所以， 所以 化简得. 因为， 所以. 所以. 【变式训练14-1】如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． 【变式训练14-2】在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 【答案】(1)四边形为梯形，证明见解析；(2) 【解析】（1）因为，， 所以， 又因为，所以， 又因为四点不共线，所以且，所以四边形为梯形． （2）因为， 所以， 因为为中点，所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以．      【变式训练14-3】在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为 【答案】/ 【解析】 由已知得即为向量与的夹角. 因为M、N分别是，边上的中点， 所以，. 又因为， 所以 ， , , 所以. 故答案为： 题型15： 向量与物理 【典型例题1】在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．的范围为 C．当时， D．当时， 【答案】C 【解析】如图所示，根据题意依次分析选项： 对于A，由于，且，则有，即. 又为定值，故越小越省力，越大越费力，A错误； 对于B，当时，，行李包不会处于平衡状态，即，B错误； 对于C，当时，有，则，C正确； 对于D，当时，有，则，D错误. 故选：C 【典型例题2】某人在静水中游泳，速度为千米/小时，现在他在水流速度为4千米/小时的河中游泳． (1)若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？ 【答案】(1)此人沿与河岸成的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时 (2)此人沿向量的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为方向游，实际前进的速度大小为千米/小时 【解析】（1）如图， 设此人游泳的速度为，水流的速度为， 以为邻边作，则此人的实际速度为， 由勾股定理知，且在中，，即， 故此人沿与河岸成的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时． （2）如图，设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为， 在中，，则， 故此人沿向量的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为方向游， 实际前进的速度大小为千米/小时． 【典型例题3】已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点，求，的合力对质点所做的功． 【答案】 【解析】依题意，， 则． 所以对质点所做的功为 【变式训练15-1】长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设与所成的角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则 ． 【答案】/ 【解析】由题意，游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，即航行的方向垂直河岸，由向量加法的几何意义可知，即 所以，解得， 故答案为：. 【变式训练15-2】如图，在一场足球比赛中，中场队员在点A位置得球，将球传给位于点B的左边锋，随即快速直向插上．边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前，球到达点C时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分．设，．（取）    (1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移； (2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？ 【答案】(1)位移大小为，方向为正前方；(2)相等 【解析】（1）由题意，为直角三角形， 由，， 得， 又， 所以中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移大小为，方向为正前方； （2）因为， 所以中场队员的位移与球的位移相等. 【变式训练15-3】平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.若与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】根据,先求得，再由，即可求解. 【解析】∵三个力平衡， ∴， ∴. 设与的夹角为，则， 即， 解得 故选：A. 【变式训练15-4】一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（    ） A． B． C． D． 【答案】要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸，利用勾股定理求出合速度，从而可求出航行时间. 【解析】设一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，设船的速度，水流速度， 要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸， 如图指：， 所以. 故选：A. 【变式训练15-5】平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 【答案】根据平衡状态得，结合向量的数量积求解即可． 【解析】由题意得，， 所以， 故选：C． 【变式训练15-6】物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】利用条件，先求出两个力的合力及，再利用功的计算公式即可求出结果. 【解析】因为，，所以，又，，所以，故. 故选：A. 学科网（北京）股份有限公司72 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 平面向量的数量积 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 8 题型归纳 8 题型01：平面向量数量积的定义 9 题型02：平面向量数量积的几何意义 9 题型03：平面向量数量积的坐标计算 11 题型04：求平面向量的夹角（定义法与坐标法) 13 题型05： 平面向量的模长问题 16 题型06：重根据向量模求参数 17 题型07：向量的投影与投影向量对比 18 题型08：平面向量垂直关系及等价条件 20 题型09：平面向量成锐角或钝角求参数 22 题型10：建系解题 25 题型11：求向量数量积（最值，范围）的极化恒等式法 29 题型12： 向量数量积与解三角形综合 31 题型13：拆分向量求数量积 32 题型14：利用向量求几何中线段长，夹角 33 题型15： 向量与物理 35 平面向量数量积是高考数学的核心高频考点，兼具“代数运算”与“几何直观”双重属性，近五年（2021-2025）全国卷、新高考卷均稳定考查，以下从考情、考点、题型、命题趋势与备考策略展开分析。 一、考情概览：题型、分值与难度 1. 题型与分值 • 主流题型：以选择题（5分）、填空题（5分） 为主，偶见于解答题的小问（与三角函数、平面几何、解析几何综合）。 • 分值占比：每套试卷单独考查约5分，综合考查时合计8-10分，属于“低投入高回报”的基础必拿分模块。 2. 难度定位 • 核心难度：基础题与中档题为主（占比80%），侧重公式应用与基础运算；难题多为“数量积最值/范围”，需结合轨迹（圆、线段）或几何性质转化。 • 命题特点：不考偏难怪，聚焦核心公式与几何意义，突出“数形结合”与“转化思想”。 二、高频题型与解题方法 数量积定值计算 含中点、固定模长、规则图形 定义法、坐标法、极化恒等式 2024新课标Ⅱ卷第3题， 2023全国乙卷 模长与夹角计算 已知数量积求模长，或已知模长与数量积求夹角 模长平方公式数量积最值/范围 动点轨迹为圆、线段，求范围 极化恒等式（抓中点转平方差）、坐标法（建系求函数值域） 2025北京卷， 2023全国乙卷（圆中数量积最值） 垂直与投影问题 题干含“垂直”，或求投影向量 垂直条件（）、投影公式 2024新课标Ⅰ卷，2022新高考Ⅱ卷 三、命题趋势（2021-2026） 1. 稳定核心，弱化技巧：始终围绕“定义、坐标运算、几何意义”，淡化复杂基底代换，强化“直接应用”与“简单转化”。 2. 几何化趋势明显：数量积最值题常以“圆、三角形、线段”为载体，突出“几何意义优先，代数运算兜底”的命题逻辑。 3. 工具性凸显：与三角函数、平面几何的综合题增多，考查向量在解决几何问题中的“桥梁作用”，而非单纯的向量运算。 4. 极化恒等式成为热点：作为“数量积与几何长度转化”的核心工具，近三年高考中频繁用于中点相关的数量积计算与最值问题，是备考重点。 平面向量数量积是高考数学的“必拿分模块”，核心在于“掌握公式、灵活转化、数形结合”。备考中需聚焦基础运算，熟练三种核心方法，突破最值/范围类题型，即可轻松应对高考中的所有考查形式。 1. 知识目标：理解数量积的定义与几何意义“投影乘积”），熟记坐标运算公式、模长公式及极化恒等式，掌握垂直的充要条件 2. 能力目标：能灵活用定义、坐标法、极化恒等式求解数量积定值、模长、夹角问题，会结合圆、线段等轨迹求数量积最值/范围，熟练处理与平面几何、三角函数的综合题，提升数形结合与转化求解能力。 3. 素养目标：在数量积的代数运算与几何意义转化中，深化逻辑推理、数学运算、直观想象核心素养，体会向量的工具价值，建立“几何直观→代数表达→问题解决”的思维模式。 知识点一：平面向量的数量积 1．向量的夹角 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角 0°≤≤180° θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b， θ＝90°⇔a⊥b (1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角． (2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°. (3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直． 求向量的夹角，有两种方法： (1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ＝求得． (2)公式法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π]． 2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 由图可知，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们的方向即有肯能相同，也有可能相反. 如图（1），当时，的方向与的方向相同，而且； 如图（2），当时，为零向量，即 如图（3），当时，的方向与的方向相同，而且 一般地，如果，都是非零向量，则称为向量在向量上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.因为==，所以两个非零向量，的数量积，等于在向量上的投影的数量与的模的乘积.这就是两个向量数量积的几何意义. 注意 1.平面向量数量积运算的常用公式： (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2) (a±b)2＝a2±2a·b＋b2． ②|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2) 2．有关向量夹角的两个结论： (1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立(因为a与b夹角为0时不成立)． (2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立(因为a与b夹角为π时不成立)． 3.求非零向量a，b的数量积的常见方法 直接法 若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算 几何法 根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解 坐标法 若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解 投影法 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 极化恒等式 解决向量投影问题应注意以下3点 （1）、向量在方向上的投影向量为（其中为与同向的单位向量），它是一个向量且与共线，其方向由与的夹角的余弦决定； （2）、向量在方向上的投影向量为； （3）、注意：在方向上的投影向量与在方向上的投影向量不同，即在方向上的投影向量可以表示为 4、求向量的模或其范围的方法 （1）、定义法：，； （2）、坐标法：设，则； （3）、几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解。 【注意】（1）形如的向量的模，可通过平方转化为数量的运算； （2）用定义法或坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个变量的函数，再利用函数的有关知识求解；用几何法求模的范围时，注意数形结合思想，常用三角不等式进行最值求解。 5．向量数量积的运算律 交换律 a·b＝b·a 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 数乘结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 （1） （2）当是实数时， 分配律 （1） （2） （3） （4） （5） 6．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 注：①只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是与的夹角，∠BAD才是与的夹角． ②零向量与任意向量的数量积为0. ③投影和两向量的数量积都是数量 ④实数运算满足消去律：若ab＝ca，a≠0，则b＝c．而在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，不能推出b＝c．即向量的数量积运算不满足消去律． ⑤向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c 不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线． 7．数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 8．平面向量数量积的类型及求法： （1）平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式；二是坐标公式． （2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简． 9.平面向量数量积主要有两个应用： （1）求夹角的大小：若，为非零向量，则由平面向量的数量积公式得（夹角公式），所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题． （2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角． 向量垂直问题 (1)当向量a与b是坐标形式时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示，且不共线的向量要知道其模与夹角，进行运算证明a·b＝0. (3)数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b. 10·数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 （当且仅当时等号成立） 平面向量的垂直问题，有两个类型： (1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． (2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． 平面向量数量积的解题核心是 “先定场景，再选方法——几何意义优先，代数运算兜底”，根据题干条件（模长、夹角、图形、轨迹）灵活选择最优解法，具体策略如下： 一、解题第一步：快速判定适用方法 1.题干关键特征 优先选择方法 核心优势 2.已知模长+夹角（明确） 定义法 直接套用公式，运算量最小 3.规则图形（正方形、矩形、直角三角形）+ 坐标可标 坐标法 转化为代数运算，无需想几何意义 4.含中点、三等分点 + 数量积定值/最值 极化恒等式 绕开角度，转成线段长度平方差 5.动点轨迹（圆、线段）+ 数量积范围 极化恒等式/坐标法 快速锁定临界位置（切线、端点） 6.含垂直、投影相关表述 垂直条件/投影公式 直接利用性质简化，避免复杂计算 二、四大核心方法详解（含步骤+示例） 1. 定义法：已知模长与夹角（基础题首选） 2. 坐标法：规则图形/可建系（通用兜底法） 3. 极化恒等式：中点/轨迹最值（技巧性提速法） 4. 几何意义法：垂直/投影/模长关联（快速简化法） 三、高频题型专项突破 1. 数量积定值计算 • 策略：优先用定义法（已知夹角）或坐标法（规则图形），含中点用极化恒等式。 • 关键：快速锁定已知条件，避免多余转化，直接套用对应公式。 2. 模长与夹角计算 3. 数量积最值/范围 • 策略： ◦ 轨迹为圆：极化恒等式（找中点M，求PM最值）或坐标法（设P(x,y)，转化为函数求值域）； ◦ 轨迹为线段：取线段端点，计算端点对应的数量积，端点值即为最值。 4. 综合题（与几何/三角函数结合） • 策略：先将向量问题转化为几何问题（如用向量垂直表示高线），或转化为三角函数（如用数量积表示角度关系），再结合对应知识求解。 四、避坑指南 1. 夹角判断错误：两向量必须共起点才算夹角，避免将“线段夹角”当作“向量夹角”； 2. 坐标标注错误：建系后核对对称点、中点坐标，避免后续计算出错； 3. 极化恒等式误用：中点必须是“定线段AB的中点”，而非动点的中点； 4. 运算律混淆： 题型01：平面向量数量积的定义 【典型例题】在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 【答案】C 【解析】利用向量数量积的定义求解. △ABC中，，，，与的夹角为角的补角， 则. 故选：C 【变式训练1-1】设向量，的夹角为，且，，则 ． 【变式训练1-2】在三角形中，在上的投影向量为，则 ． 【变式训练1-3】已知向量在方向上的投影向量是是与同方向的单位向量），，则 . 题型02：平面向量数量积的几何意义 【典型例题1】已知在上的投影向量为，则的值为 . 【答案】 【解析】利用投影向量的定义及平面向量的数量积公式计算即可. 设与的夹角为， . 故答案为： 【典型例题2】如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】先分别过作、交于点和，求出，设，接着根据数量积定义以及题中所给条件求得，从而求出即可得解. 分别过作交于点，作交于点， 则， 设，则， 由题可知即， 所以，故的最小值为. 故答案为：. 【变式训练2-1】已知向量在向量方向上的投影向量为，且 ，则 (结果用数值表示) 【变式训练2-2】）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图所示的是一个圆形，圆心为O，A，B是圆O上的两点，若，则 . 【变式训练2-3】已知，，向量在方向上投影向量是，则为（    ） A．12 B．8 C．-8 D．2 【变式训练2-4】在半径为的中，弦的长度为，则的值为（    ） A． B． C． D．与有关 【变式训练2-5】（多选）正六边形ABCDEF的边长为2，G为正六边形边上的动点，则的值可能为（    ） A． B． C．12 D．16 【变式训练2-6】如图，在梯形中，.点在阴影区域（含边界）中运动，则的取值范围为 . 题型03：平面向量数量积的坐标计算 【典型例题1】已知向量，，则（ ） A．0 B．1 C．-1 D．-3 【答案】A 【解析】根据题意，利用向量的数量积和向量模的运算公式，准确运算，即可求解. 由向量，，可得，且， 则. 故选：A. 【典型例题2】菱形中，，点在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据菱形对角线垂直的性质建立直角坐标系，表示出各点的坐标，结合点E的坐标满足的条件和范围，再代入数量积即可求解. 建立如图所示坐标系，，，，， 设，，， 则，，， 所以. 故选：D． 【典型例题3】已知向量，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由向量的数量积的坐标运算求解即可. ∵，， ∴，， ∴． 故选：C 【典型例题4】已知平面向量，，且，则 . 【答案】4 【解析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得，即可求出集合，再根据数量积的坐标表示计算可得. 由，得，即， 整理得，解得，所以， 所以. 故答案为： 【变式训练3-1】设平面向量，，若与不能作为平面向量的一组基底，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知和的夹角为，且，则（    ） A． B． C．3 D．9 【变式训练3-3】莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为菜洛三角形，已知正三角形ABC的边长为1，点P为的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式训练3-4】在中，，，是所在平面内一点，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-5】（多选）关于平面向量，，，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．若，则与的夹角为钝角 D． 【变式训练3-6】正六边形ABCDEF的边长为1，则 . 【变式训练3-7】在平面直角坐标系xOy中，点，，． (1)求； (2)若实数满足，求的值． 题型04：求平面向量的夹角（定义法与坐标法) 定义法 【典型例题1】已知平面向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】借助向量的数量积公式及夹角公式计算即可得. ， 则， 即，又， 故与的夹角为. 故选：B. 【典型例题2】已知向量满足与的夹角为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】对等式进行变形得，再运算数量积的运算求解即可. 【解析】设，由题得， 所以， ，所以， 所以，又， 所以， 故选:D. 【典型例题3】已知单位向量，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】求出，与，再应用夹角余弦公式求解即可. 【解析】解：因为，， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 故选：A. 【典型例题4】已知在平面直角坐标系中为坐标原点，点、点，则向量和的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点、点，所以， 所以，， 设向量和的夹角为，因为， 又因为，所以， 所以向量和的夹角为. 故选：B. 【典型例题5】已知向量，是单位向量，若，则与的夹角为 . 【答案】 【解析】借助向量数量积公式、模长与数量积的关系及向量夹角公式计算即可得. 由题意知，， 由，所以 ，即， 所以，所以， 由 ，得 . 故答案为：. 【变式训练4-1】已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知，若与的夹角为，则在的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】在平面直角坐标系中，点在直线上，若向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-4】已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-5】对于任意非零向量，若在上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-6】已知向量，满足，，则 . 【变式训练4-7】已知向量，，，且与的夹角为锐角，则t的取值范围是 （用区间表示）. 【变式训练4-8】已知向量，为两个相互垂直的单位向量，则 . 【变式训练4-9】已知向量，满足，，． (1)求的值； (2)求向量与的夹角． 【变式训练4-10】已知向量，满足. (1)若，求的值； (2)若的夹角为，求与夹角的余弦值. 坐标法 【变式训练4-11】已知平面向量，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-12】单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-13】已知向量，，若，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 题型05： 平面向量的模长问题 【典型例题】若向量满足，且，则 . 【答案】 【解析】由得； 由得； 由得，所以. 故答案为： 【变式训练5-1】若向量，，且，则（   ） A． B．45 C． D． 【变式训练5-2】已知向量，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【变式训练5-3】已知向量，则的最大值为 . 【变式训练5-4】已知向量满足，且，则（    ） A． B． C．3 D． 题型06：重根据向量模求参数 【典型例题1】若向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据，从而可得，从而可求解. 若，则，即，解得.故A正确. 故选：A. 【典型例题2】平面向量，，且．若，则（    ） A．0 B．2 C．0或 D． 【答案】C 【解析】根据平面向量的模与数量积运算可求得结果. 因为，所以， 即， 又因为，，， 所以，即，解得或． 故选：C． 【典型例题3】已知向量，均为单位向量，且，，则实数 ． 【答案】 【解析】根据垂直关系的向量表示以及数量积的运算律，将平方后，即可求得答案. 由题意知，，故，且， 即，故， 故答案为： 【典型例题4】已知向量，的夹角为，且． (1)求向量在向量上的投影向量； (2)若，求的值． 【答案】(1)；(2)或3. 【解析】（1）求出，再利用投影向量的意义求解即可. （2）利用向量数量积的运算律建立方程求解即得. （1）由向量，的夹角为，且，得， 所以向量在向量上的投影向量为. （2）由（1）知，，由，得，即， 整理得，解得或， 所以的值是或3. 【变式训练6-1】已知平面向量，满足，，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练6-2】）已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【变式训练6-3】已知均为单位向量，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-4】已知平面向量，，且，则（    ） A． B． C． D．0 【变式训练6-5】已知向量，，满足，则 ． 【变式训练6-6】已知向量，，若，则 ． 【变式训练6-7】已知向量，，，且； (1)求与的夹角； (2)若，求的值． 题型07：向量的投影与投影向量对比 【典型例题1】已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】两边平方求出数量积，然后在根据投影向量公式计算即可. 【解析】因为是单位向量，所以，由得，则，得， 设与的夹角为，则在方向上的投影向量为. 故选：A. 【典型例题2】已知向量，的夹角为45°，且，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】化简求出，进而求出在上的投影向即可． 【解析】因为，所以，即， 所以，解得， 从而，在上的投影向量为． 故选：B． 【典型例题3】已知向量，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】根据题中条件及投影向量的定义计算即可求解. 【解析】由向量， 则，，， 则向量在上的投影向量为：. 故选：D. 【典型例题4】已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】设出的坐标，利用给定条件得到，再利用投影向量公式求解即可. 【解析】设，因为， 所以，解得，， 即向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 【变式训练7-1】已知向量与向量夹角为，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】已知平面向量，满足，则在方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】设的外心为O，且，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-4】已知是单位向量，且与垂直，与的夹角为135°，则在上的投影数量为 . 【变式训练7-5】已知平面向量，满足，且向量，的夹角为，则在方向上的数量投影为 . 【变式训练7-6】在中，已知，则向量在向量上的投影向量为 . 【变式训练7-7】已知，，则在方向上的投影向量坐标为 ． 【变式训练7-8】若非零向量，的夹角为锐角θ，且，则称被“同余”．已知被“同余”，且则在上的投影= 题型08：平面向量垂直关系及等价条件 【典型例题1】已知向量，，，若，则实数的值为（    ） A．7 B． C．2 D． 【答案】先求出，再根据两个向量垂直的坐标公式计算求解即可. 【解析】因为，， 所以， 由，得， 则，解得. 故选：B. 【典型例题2】若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】由数量积的定义可求出，再由向量垂直的性质求解即可得出答案. 【解析】解：，是夹角为的两个单位向量， 则，， 因为与垂直， 则， 即，解得. 故选：A. 【典型例题3】已知向量，．若，则（    ） A．1 B． C．12 D． 【答案】（方法一）由的坐标，求得的坐标，利用向量垂直的坐标表示式列出方程求解即得；（方法二）先由化简，再代入得坐标计算即得. 【解析】（方法一）由，，得． 由，得，即，解得． 故选：C． （方法二）由，得，即， 将 代入得，，解得． 故选：C． 【典型例题4】已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 . 【答案】 【解析】由与的夹角为，可得：， 又因为，是互相垂直的单位向量，所以有， 则， 解得， 故答案为：. 【典型例题5】已知向量，，若向量，则实数 ． 【答案】或4 【解析】根据向量线性运算和垂直的坐标表示求解即可. 由题意可得，， 因为，所以， 解得或4， 故答案为：或4 【变式训练8-1】已知向量满足，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】已知向量，若，则等于（    ） A．1或 B． C．或 D． 【变式训练8-4】已知向量，，若，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【变式训练8-5】已知向量，.若，，则 . 【变式训练8-6】已知平面向量，，，若，则 . 【变式训练8-7】写出一个与向量垂直且模为2的向量 ． 【变式训练8-8】已知向量，满足，，且，则，的夹角是 . 【变式训练8-9】平面向量，若存在整数使，且，试求的最大值． 【变式训练8-10】已知，，且向量与的夹角为. (1)求与的值； (2)若向量与互相垂直，求实数k的值. 【变式训练8-11】已知向量，，，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 题型09：平面向量成锐角或钝角求参数 【典型例题1】已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据夹角为钝角转化为数量积小于零且不共线即可. 因为夹角为钝角，所以且不反向共线， 所以即, 或不成立， 所以. 故答案为： 【典型例题2】已知，且与的夹角为 (1)求 与的夹角； (2)若向量与的夹角是锐角，求实数k的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）先求出再由向量的夹角公式求解即可； （2）由题意得，且向量与不共线，从而可求出实数k的取值范围. （1）设与的夹角为θ， 因为，且与的夹角为 所以，， 所以 ， 因为，所以 ； （2）因为向量与的夹角是锐角， 所以，且向量与不共线， 由，得， 所以，即， 解得或， 当与共线时，设， 因为与不共线，所以，解得或， 当时，当时，， 综上， 【典型例题3】已知，，与的夹角为. (1)求； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据模长公式即可求解. （2）根据数量积为负数，求解或，利用不共线可得，即可求解钝角时的范围. （1）因为，所以， 则， 故. （2）令，则， 所以，即，解得或， 当与共线时，则， 则时，与不共线，则， 又向量与的夹角为钝角， 则实数的取值范围为. 【变式训练9-1】设两个向量满足. (1)若，求与的夹角； (2)若的夹角为（1）中的，向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【变式训练9-2】已知两个单位向量与的夹角为，设，． (1)求最小值； (2)若与的夹角为钝角，求的取值范围． 【变式训练9-3】已知，，若与的夹角为钝角，求的取值范围. 【变式训练9-4】设是夹角为 的两个单位向量，如果. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定的值，使和共线； (3)若与的夹角为锐角，试求的取值范围. 【变式训练9-5】已知平面向量． (1)若，且，求的坐标； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 题型10：建系解题 【典型例题1】下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的半径均为△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形. 设点 P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（   ） A．18 B．24 C．36 D．48 【答案】C 【解析】以AD 为x 轴，E 为坐标原点建立平面直角坐标系 ，由圆D 方程设 写出向量的坐标，由数量积的坐标表示求出数量积，利用三角函数知识得最大值. 骑行过程中，ABCDE 相对不动，只有P 点绕D 点作圆周运动. 如图，以AD 为x轴，E 为坐标原点建立平面直角坐标系 ， 由题意 圆D 方程为 设 则 ， 易知当 时，取得最大值36. 故选 ：C . 【典型例题2】边长为2的等边中，，，则的最小值为 ． 【答案】． 【解析】以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算以及余弦函数的有界性可求得的最小值. 因为是边长为的等边三角形，且，则为的中点，故， 以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，    则、、，设点， ，， 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 【典型例题3】如图，四边形ABCD中，，，且，． (1)求角B值的大小； (2)已知M，N是线段BC上的两个动点，且，求的最小值． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）由已知可得，利用向量的数量积可得，可得，可求； （2）建立平面直角坐标系，设，可得，可求的最小值． （1），可得，且， ， 又，． （2）过作于，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 设，，， 则：，， ， 由可得时，. 【变式训练10-1】已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-2】勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC上的一点，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练10-3】在中，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-4】在矩形中，，，点满足，在平面中，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-5】已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（   ） A． B．0 C．12 D． 【变式训练10-6】已知图中正六边形的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练10-7】边长为2的等边中，，，则的最小值为 ． 【变式训练10-8】等边的边长为2，三角形所在平面内有一动点，满足，则的最小值为 ． 【变式训练10-9】圆是锐角的外接圆，，则的取值范围是 ． 【变式训练10-10】已知菱形的边长为2，，点是边上的一点，设在上的投影向量为，且满足，则等于 ；延长线段至点，使得，若点在线段上，则的最小值为 ． 【变式训练10-11】窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为4，P是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为 ．    【变式训练10-12】在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点（含端点）.    (1)若，求，的夹角的余弦值； (2)求的取值范围. 【变式训练10-13】如图，在菱形中，，是的中点，且． (1)求； (2)以为圆心，2为半径作圆弧，点是弧上的一点，求的最小值． 题型11：求向量数量积（最值，范围）的极化恒等式法 【典型例题1】已知圆的弦的中点为，点为圆上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】D 【解析】由题意，圆心，半径为3，且和，再由，即可求解. 圆，圆心，半径为3，如图，   为弦的中点，， 共线时等号成立， . 故选:D. 【典型例题2】已知A，B，C，D是半径为2的圆O上的四个动点，若，则的最大值为 . 【答案】24 【解析】取相应的中点，根据题意结合极化恒等式可得，分析可知E，F在以O为圆心，为半径的圆上，即可得结果. 如图：    分别取AB，CD的中点E，F，连接DE，CE，EF． 又，所以由极化恒等式得 ，， 所以 . 连接OE，OF，OA，OB，OC，OD， 由，，得， 所以E，F在以O为圆心，为半径的圆上，所以EF的最大值为， 所以的最大值为24. 故答案为：24. 【点睛】结论点睛：极化恒等式：在中，若为中点，则. 【变式训练11-1】在中，，，点在直线上，若的面积为，则的最小值是 . 【变式训练11-2】阅读下一段文字：，，两式相减得，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点． (1)若AD=BC=3，求的值； (2)若，，求的值． 题型12： 向量数量积与解三角形综合 【典型例题】中，若，则（    ） A．54 B．27 C．9 D． 【答案】利用正弦定理求出，再利用数量积的运算律求解即得. 【解析】在中，若，由正弦定理得， 所以. 故选：A. 【变式训练12-1】如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练12-2】已知钝角的面积为，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或6 【变式训练12-3】已知平面向量，，满足，，，，则的最大值等于（    ） A． B． C． D． 题型13：拆分向量求数量积 【典型例题1】在艺术、建筑设计中，把短对角线与长对角线的长度之比为的菱形称为“白银菱形”.如图，在白银菱形ABCD中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设O是AC与BD的交点，则， 则 ， 所以 故选：C 【典型例题2】已知三棱锥的棱长均为2，且是BC的中点，则 . 【答案】1 【解析】解：， ， . 故答案为：1 【变式训练13-1】在平面四边形ABCD中，若，，且，，则（    ） A． B．8 C．10 D．3 【变式训练13-2】如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则 .    【变式训练13-3】如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为 . 题型14：利用向量求几何中线段长，夹角 【典型例题1】如图，，分别是四边形的边，的中点，，，，，则线段的长是 . 【答案】 【解析】依题意，，，因，分别是四边形的边，的中点， 则， 如图，过点A作AG//CD交BC于点G，则，而，则有， 于是得，则 . 所以的长为. 故答案为：. 【典型例题2】如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图，以点B为原点，所在的直线为x轴建立直角坐标系，不妨设 设，，，，则，， 所以，所以. 所以，. 因为E，D，F共线， 所以， 所以 化简得. 因为， 所以. 所以. 【变式训练14-1】如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【变式训练14-2】在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 【变式训练14-3】在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为 题型15： 向量与物理 【典型例题1】在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．的范围为 C．当时， D．当时， 【答案】C 【解析】如图所示，根据题意依次分析选项： 对于A，由于，且，则有，即. 又为定值，故越小越省力，越大越费力，A错误； 对于B，当时，，行李包不会处于平衡状态，即，B错误； 对于C，当时，有，则，C正确； 对于D，当时，有，则，D错误. 故选：C 【典型例题2】某人在静水中游泳，速度为千米/小时，现在他在水流速度为4千米/小时的河中游泳． (1)若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？ 【答案】(1)此人沿与河岸成的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时 (2)此人沿向量的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为方向游，实际前进的速度大小为千米/小时 【解析】（1）如图， 设此人游泳的速度为，水流的速度为， 以为邻边作，则此人的实际速度为， 由勾股定理知，且在中，，即， 故此人沿与河岸成的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时． （2）如图，设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为， 在中，，则， 故此人沿向量的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为方向游， 实际前进的速度大小为千米/小时． 【典型例题3】已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点，求，的合力对质点所做的功． 【答案】 【解析】依题意，， 则． 所以对质点所做的功为 【变式训练15-1】长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设与所成的角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则 ． 【变式训练15-2】如图，在一场足球比赛中，中场队员在点A位置得球，将球传给位于点B的左边锋，随即快速直向插上．边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前，球到达点C时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分．设，．（取）    (1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移； (2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？ 【变式训练15-3】平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.若与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-4】一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（    ） A． B． C． D． 【变式训练15-5】平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 【变式训练15-6】物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（    ） A．25 B．5 C． D． 学科网（北京）股份有限公司72 学科网（北京）股份有限公司 $