第03讲 平面向量基本定理及坐标表示讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量基本定理与坐标运算核心考点，按“基础定理—坐标表示—线性运算—数量积应用”逻辑架构组织知识，涵盖向量分解、坐标运算、模与夹角、平行垂直判定等高考高频考点。通过知识要点系统梳理、解题策略分步指导、分层题型专项训练（典型例题+变式训练），帮助学生构建从几何直观到代数运算的转化框架，突破向量与几何、三角综合应用难点。 讲义突出坐标法与建模思想，如在解决几何问题时引导学生建立坐标系转化向量关系，培养数学思维与数学语言表达能力。设置从基础概念辨析到综合应用的梯度练习，配合真题情境题训练，助力学生在有限时间内提升向量工具性应用能力，为教师把控复习节奏、实现精准教学提供清晰路径。

第03讲 平面向量基本定理与坐标运算 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 12 题型归纳 12 平面向量基本定理 12 题型01：平面向量基本定理及其应用 12 题型02：基底的概念 29 题型03：向量的正交分解 30 题型04：向量的坐标 31 向量的线性运算坐标表示 33 题型01：平面向量加法运算的坐标表示 33 题型02：平面向量减法运算的坐标表示 34 题型03：向量的数乘运算 36 题型04：平面向量的线性运算的坐标表示 37 题型05：根据线性运算的结果求参数 45 题型06：线段定比分点 49 题型07：由向量坐标判断向量是否平行 55 题型08：由向量平行求参数 57 题型09：三点共线向量法求参 63 题型10：平行与三角函数恒等变形 68 题型11：向量的模 70 向量的数量积 72 题型01：数量积的坐标运算 72 题型02：坐标运算求向量夹角 78 题型03：向量数量积与夹角的坐标表示 81 题型04：数量积：求模型 102 题型05：复合型夹角计算型 103 题型06: 向量模的坐标运算 107 题型07：向量垂直的坐标表示 110 题型08：投影向量的坐标表示 112 题型09：向量数量积有关的其他应用 116 题型10：利用建系解决平面向量的数量积（几何类） 120 题型11：坐标法解决最值问题 129 题型12：解答综合题 141 巩固提升 144 平面向量基本概念是高考数学的基础必考点，常以基础客观题为主，侧重概念辨析与简单应用，同时也是向量综合问题的解题前提，以下从考情、考点、命题规律及备考建议展开分析。 一、考情概况 1. 考查形式与分值：多以选择题、填空题出现，题号靠前，难度多为基础或中档，全国卷单题分值通常为5分，极少单独出解答题，常与线性运算、坐标表示等结合考查。 2. 核心素养：重点考查直观想象、数学运算、逻辑推理素养，强调向量“数”与“形”的双重属性，凸显数形结合、转化与化归思想的应用。 二、命题规律与趋势 1. 基础概念辨析：高频考查零向量、共线向量、单位向量等概念的正误判断，常设置易混淆选项，如将共线向量等同于相等向量、忽略零向量的特殊性等，需精准理解概念本质。 2. 结合线性运算：与向量加法、减法、数乘运算结合，考查向量的几何表示与线性表示，如用基底表示未知向量，或结合三角形、平行四边形考查向量关系。 3. 渗透综合应用：作为工具与平面几何、解析几何、三角函数等知识结合，如在解析几何中利用向量共线判断直线位置关系，此类题型难度中等，侧重知识迁移能力。 4. 命题趋势：近年命题更注重基础，强调概念的本质理解，减少复杂运算，同时逐步增加与生活实际、其他数学模块的关联，突出向量的工具性作用。 三．备考策略 1.夯实概念基础：通过对比辨析明确易混概念，结合图形强化直观理解； 2.强化基础题型训练：针对概念辨析题、简单线性表示题专项练习，提升解题速度与准确率； 3.注重思想应用：熟练运用数形结合思想，将向量问题转化为几何或代数问题，同时加强与其他模块的综合训练，提升知识融合能力。 平面向量基本定理与坐标运算学习目标 1. 知识目标：理解平面向量基本定理的内涵（不共线基底可表示任意向量，且分解唯一），熟记向量坐标的定义及线性运算、模、数量积、夹角的坐标公式，掌握向量共线、垂直的坐标条件。 2. 能力目标：能熟练选择合适基底分解向量，会建立坐标系将几何问题转化为坐标运算，能利用定理与坐标公式解决参数求解、关系判断等问题，提升数形结合与转化能力。 3. 素养目标：通过向量“几何形式→代数形式”的转化，培养逻辑推理、数学运算、直观想象核心素养，体会向量作为“桥梁”的工具价值，为后续解析几何、空间向量学习奠定基础。 一．平面向量基本定理和性质 1：共线向量基本定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa． （1）共线向量定理的理解：定理中限定了a≠0，这是因为如果a＝0，则λa＝0，当b≠0时，定理中的λ不存在；当b＝0时，定理中的λ不唯一．因此限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性． 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． （2）共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关). 说明：①平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； ②共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 2·平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 注意： (1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一； (3)如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到 (4)平面向量基本定理表示向量的实质是向量的加、减或数乘运算． (5) 平面向量基本定理应用思路：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 推论1：若，则． 推论2：若，则． 应用平面向量基本定理的关键点 （1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量． （2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来． （3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等． 二．线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B １、定比分点的概念：设点是直线上异于的任意一点，若存在一个实数 ，使，则叫做点分有向线段 所成的比，点叫做有向线段的以定比为的定比分点； ２、的符号与分点的位置之间的关系： 当点在线段上时；当点在线段的延长线上时　； 当点在线段的延长线上时； 当分有向线段所成的比为，则点分有向线段所成的比为。 ３、线段的定比分点公式：设、，分有向线段所成的比为，则， ⅰ、当时，就得到线段的中点公式。在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。 ⅱ、若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则， 特别地为的中点； 三．三点共线定理(等和线) 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 向量共线（平行）的坐标表示 1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为（），然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量． 2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若，，则的充要条件是”解题比较方便． 3．三点共线问题．A，B，C三点共线等价于与共线． 4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解． 四：平面向量的坐标运算 运算 坐标表示 和(差) 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘 已知a＝(x1，y1)，则λa＝(λx1，λy1)，其中λ是实数 向量的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) （一）向量的坐标 设，，则 =，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． ||＝． ， （二）向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设，，则 ， ，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． |a|＝． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （三）平面向量共线的坐标表示 1·共线向量定理应关注的两点 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0. 当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例 (2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定． 2．两个结论 (1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为. (2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 3．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线． 知识拓展 1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0． 2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为． 3．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为． 4．A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0，或(x2－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)，或(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)·(y3－y1)． (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②已知b≠0，则a∥b的充要条件是a＝λb(λ∈R)． (2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均为非零实数时，也可以利用坐标对应成比例来求解． 五．平面向量的数量积 1．向量的夹角 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角 0°≤≤180° θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b， θ＝90°⇔a⊥b (1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角． (2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°. (3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直． 求向量的夹角，有两种方法： (1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ＝求得． (2)公式法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π]． 2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 由图可知，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们的方向即有肯能相同，也有可能相反. 如图（1），当时，的方向与的方向相同，而且； 如图（2），当时，为零向量，即 如图（3），当时，的方向与的方向相同，而且 一般地，如果，都是非零向量，则称为向量在向量上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.因为==，所以两个非零向量，的数量积，等于在向量上的投影的数量与的模的乘积.这就是两个向量数量积的几何意义. 注意 1.平面向量数量积运算的常用公式： (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2) (a±b)2＝a2±2a·b＋b2． ②|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2) 2．有关向量夹角的两个结论： (1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立(因为a与b夹角为0时不成立)． (2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立(因为a与b夹角为π时不成立)． 3.求非零向量a，b的数量积的常见方法 直接法 若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算 几何法 根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解 坐标法 若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解 投影法 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 极化恒等式 3、解决向量投影问题应注意以下3点 （1）、向量在方向上的投影向量为（其中为与同向的单位向量），它是一个向量且与共线，其方向由与的夹角的余弦决定； （2）、向量在方向上的投影向量为； （3）、注意：在方向上的投影向量与在方向上的投影向量不同，即在方向上的投影向量可以表示为 4、求向量的模或其范围的方法 （1）、定义法：，； （2）、坐标法：设，则； （3）、几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解。 【注意】（1）形如的向量的模，可通过平方转化为数量的运算； （2）用定义法或坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个变量的函数，再利用函数的有关知识求解；用几何法求模的范围时，注意数形结合思想，常用三角不等式进行最值求解。 5．向量数量积的运算律 交换律 a·b＝b·a 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 数乘结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 （1） （2）当是实数时， 分配律 （1） （2） （3） （4） （5） 6．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 注：①只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是与的夹角，∠BAD才是与的夹角． ②零向量与任意向量的数量积为0. ③投影和两向量的数量积都是数量 ④实数运算满足消去律：若ab＝ca，a≠0，则b＝c．而在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，不能推出b＝c．即向量的数量积运算不满足消去律． ⑤向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c 不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线． 7．数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 8．平面向量数量积的类型及求法： （1）平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式；二是坐标公式． （2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简． 9.平面向量数量积主要有两个应用： （1）求夹角的大小：若，为非零向量，则由平面向量的数量积公式得（夹角公式），所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题． （2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角． 向量垂直问题 (1)当向量a与b是坐标形式时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示，且不共线的向量要知道其模与夹角，进行运算证明a·b＝0. (3)数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b. 知识五．平面向量的坐标表示及坐标运算 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． 2·数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 （当且仅当时等号成立） 平面向量的垂直问题，有两个类型： (1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． (2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． 六．平面向量常见建立坐标系方法 边长为的等边三角形 正方形 已知夹角的任意三角形 矩形 直角梯形 平行四边形 等腰梯形 圆 利用共线向量定理解题的策略 (1) 若非零向量、的方向相同或相反，则，又叫共线向量；a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用． 规定与任一向量平行. 向量平行无传递性，即，不能推出(可能为). (2) 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A，B，C三点共线⇔，共线．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔，共线． (3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. (4)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. (5)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 注意：共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同. 平面向量基本定理 题型01：平面向量基本定理及其应用 【典型例题1】在中，D为边上的一个三等分点，靠近，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】应用向量对应线段的位置、数量关系，用、表示出，即可得. 由题设. 故选：C 【典型例题2】（多选）如图，点、、分别为的边、、的中点，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】利用平面向量的线性运算逐项判断即可. 在中，，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D不正确． 故选：ABC． 【典型例题3】在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（   ）. A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】先选择两条不共线的向量作基底，再进行向量的线性运算，最后利用平面向量基本定理来求解即可． 由图可知：，， 因为，所以， 整理得：， 根据平面向量基本定理可得：，解得， 所以， 故选：A． 【典型例题4】在中，，，的平分线交于点．若，则 ． 【答案】 【解析】由题意在中，，再由三角形的角平分线定理可得：，最后由分点恒等式将用，表示出来，从而求出和即可 因为在中，，，所以， 又因为的平分线交于点， 所以在中，由正弦定理可得：， 同理在中， 因为，， 所以， 则， 所以，，则 故答案为： 【典型例题5】已知 三点共线于直线，对直线外任意一点，都有，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】先由A、B、C三点共线，得到，利用基本不等式“1”的妙用求最值. 由题意，A、B、C三点共线 所以存在实数λ使得，即， 所以 而 所以 则， 所以 当且仅当,即时取等号． 因此的最小值为． 故答案为：． 【变式训练1-1】在中，在上且，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据平面向量的线性运算来求得正确答案. 如图，在中，在上且，所以. 则 . 又因为，所以. 故选：B 【变式训练1-2】在△ABC中，边BC上的中线为AD，点O满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用向量的线性运算可求. 【变式训练1-3】如图，在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据已知条件结合平面向量基本定理求解即可. 因为在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，，， 所以 . ， 故， 故选：A. 【变式训练1-4】如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据条件得到，由共线定理的推论得到方程，求出答案. ，故， ，故， 因为三点共线，故，解得. 故选：C 【变式训练1-5】如图，在平行四边形中，，为的中点，为上的一点，且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据已知条件利用向量的加法法则用表示，再利用平面向量基本定理结合条件列出方程组，求解即可. ，为的中点， ，， 三点共线， 设 ， 又， ，解得. 故选：B. 【变式训练1-6】如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形的边长为1，则（  ）. A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】通过作辅助线，将相关向量线性表示出来，再利用数量积定义式和运算律计算即得. 如图，连接，延长交于点，延长交于点. 则由题意和图形的对称性，可知， 且，， 由题意可知， . 故选：D. 【变式训练1-7】设O为等腰内切圆的圆心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用余弦定理求出三角形中，再由内切圆性质得出，根据向量求出即可. 因为，所以，所以． 由余弦定理，得， 即，解得． 取BC的中点E，连接AE，如图， 则， 所以的内心O在线段AE上，OE为内切圆的半径， 因为，所以， 所以，得， 所以，所以， 又， 所以， 所以，所以． 故选：C 【变式训练1-8】已知平面上不共线的三点，点在该平面上且不与重合.若动点满足，则点一定落在的（    ） A．某一边上的高所在直线上 B．某一边上的中线所在直线上 C．某一内角的角平分线所在直线上 D．某一边上的中垂线所在直线上 【答案】B 【解析】根据向量的运算，对条件进行化简，得到，根据系数和为零得到三点共线，进而可得答案. 取的中点，则， 因为 所以， 又 所以三点共线， 即点在直线上，所以点一定落在的某一边上的中线所在直线上. 故选：B. 【变式训练1-9】如图，在平行四边形中，点在边上，点在边上，且与相交于点，若，则实数 . 【答案】/ 【解析】将用表示，然后利用三点共线列方程求解即可. 由得， 因为， 则， 因为三点共线， 所以，解得. 故答案为：. 【变式训练1-10】中，，，，是边上的中线，，分别为线段，上的动点，交于点.若面积为面积的一半，则的最小值为 【答案】2 【解析】利用平面向量的共线定理结合基底表示数量积，转化为函数求最值即可. 设，由向量共线的充要条件不妨设， 则， 即， 又面积为面积的一半可得：， 所以. ， 易知 当时，即重合时取得最小值. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：由点共线及向量间的关系，设、、得到，面积关系得，最后应用数量积运算律转化数量积为关键. 【变式训练1-11】如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，，，. (1)用表示，，； (2)求证：B，E，F三点共线. 【答案】(1)；；；(2)证明见解析. 【解析】（1）根据给定条件，利用向量加法法则、数乘向量直接计算作答. （2）由（1）的信息，结合向量减法法则，再借助共线向量求解作答. （1）在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，，，则， ，， 所以，，，. （2）由（1）知，，，于是有， 所以B，E，F三点共线. 【变式训练1-12】矩形中，，，动点满足，，则下列说法中正确的是 . ①若，则的面积为定值            ②若，则的最小值为4     ③若，则满足的点不存在    ④若，，则的面积为 【答案】①③④ 【解析】根据、的不同取值，分析点所在的位置，结合题意逐项分析即可. 对于①，当时，由向量加法的平行四边形法则知，点应该在边上， 在中，以为底边，高为点到的距离， 所以为定值，故①正确； 对于②，当时，由向量加法的平行四边形法则知，点应该在边上， 当位于点处时， 有最小值2，故②错误； 对于③，当时，取的中点，的中点，连接， 此时点位于上，如图点与重合，此时、夹角为， 同理，若点与重合，此时、夹角也为， 若不与、重合，设、夹角为，则， 又因为，， 所以 ， 因为、，所以、， 所以，由题意知，， 、夹角为，所以， 又因为、夹角为， 所以， ，，且，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以，所以、夹角为锐角， 综上，无论怎么移动，，都不会垂直，故③正确； 对于④，当，时，由向量加法的平行四边形法则作图， 此时到的距离为， 所以，故④正确. 故答案为：①③④ 【变式训练1-13】如图，中，，，CD与BE交于F，设，，，则为 ． 【答案】 【解析】设，，根据平面向量基本定理，将用已知向量，表示出来，列出方程组即可求解. 解：设， ， 同理设， ， 根据平面向量基本定理，得 ，解得， ， 故答案为： 【变式训练1-14】如图，三角形ABC中，，D是线段BC上一点，且，F为线段AB的中点，AD交CF于点M，若，则 . 【答案】/ 【解析】由于F为线段AB的中点，结合已知条件可得，再由直线与相交于点，设，则,从而得，进而求出的值 因为F为线段AB的中点， 所以, 因为， 所以， 所以, 因为， 所以, 由直线与相交于点，设，则 , 所以， 所以，解得 故答案为： 【变式训练1-15】如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则 . 【答案】 【解析】根据向量平行四边形法则及线性运算得，再利用平面向量基本定理建立方程即可求得参数. 由题意可知，因为点F在BE上， 所以， 所以，所以，所以. 故答案为： 【变式训练1-16】“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围为 . 【答案】 【解析】根据向量的共线表示以及平面向量基本定理，可表达出，结合图形特征以及数量积的运算即可求解. 过点作于所以且,其中, 当点与点重合时，在方向上的投影最大，此时,取得最大值为； 当点与点重合时，此时，即,故,取得的最小值为 的取值范围是． 故答案为：． 【变式训练1-17】如图，在中，，．点D在边BC上，且． (1)，，求； (2)，AD恰为BC边上的高，求角A； (3)，求t的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由题易知，转化问题为求的模，进而求解； （2）由AD为BC边上的高，则，即，根据，，整理即可求解； （3）易知，则，整理等式，结合且求解即可. （1）由题，因为，所以，即点为边的中点， 所以， 因为，，， 所以. （2）由题，因为，所以， 因为AD恰为BC边上的高，所以， 因为，， 且，， 所以 ， 所以，则. （3）由题，， 则， 因为，且，， 所以， 则， 所以， 因为，则， 因为，则， 解得. 题型02：基底的概念 【典型例题】若是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. A选项，，所以共线，不能作为基底. B选项，，所以共线，不能作为基底. C选项，，所以共线，不能作为基底. D选项，易知不共线，可以作为基底. 故选：D 【变式训练2-1】已知、是同一平面内的两个不共线向量，则下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BCD 【解析】利用基底的定义，逐项分析判断. 对于A，，A不可以； 对于B，假定与共线，则， 则且，矛盾，向量和不共线，B可以； 对于C，不能由表示出，即向量和不共线，C可以； 对于D，假定与共线，则， 则且，矛盾，向量和不共线，D可以. 故选：BCD 【变式训练2-2】在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【解析】确定是否不共线，不共线的就可以作为基底表示. 对于A．＝(0，0)，， 不可以作为平面的基底，不能表示出； 对于B．由于，不共线，可以作为平面的基底，能表示出； 对于C．，不共线， 可以作为平面的基底，能表示出； 对于D．，， 不可以作为平面的基底，不能表示出． 故选：BC. 【变式训练2-3】下列各组向量中，能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】根据向量作基底的条件，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 能作为基底的向量不可以是共线向量， 对A：，，，故//，不可作基底，故A错误； 对B：，，，故//，不可作基底，故B错误； 对C：，，，故，不共线，可以作基底，故C正确； 对D：，，，故//，不可作基底，故D错误； 故选：C. 题型03： 向量的正交分解 【典型例题】如果用分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先根据向量的坐标表示求出，再根据正交分解即可得解. 因为，所以， 所以. 故选：C. 【变式训练3-1】向量的正交分解：向量能表示成两个相互 的向量，，的线性组合，即，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解.把有序实数对叫做向量的坐标，记为 . 【答案】垂直； 【解析】略 【变式训练3-2】平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是 ． 【答案】 【解析】根据向量的正交分解直接可得答案. 因为点，所以 故答案为： 题型04： 向量的坐标 【典型例题】已知向量，点的坐标是，则点的坐标是 ． 【答案】 【解析】设点坐标为，表示出，即可求出. 设点坐标为，点的坐标是， ， 即，， 解得：，， 故点的坐标. 故答案为：. 【变式训练4-1】若向量的起点的坐标为，且，则终点的坐标为 . 【答案】 【解析】设点，由向量的坐标表示求得，再根据向量相等，即可求解. 设点，由向量的坐标表示， 可得向量， 因为，所以，解得，即终点的坐标为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了根据向量的坐标表示，以及向量相等的条件的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，以及相等向量的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 【变式训练4-2】向量的坐标表示为 ；坐标为的向量，用正交分解表示为 . 【答案】 【解析】根据向量的坐标表示，以及向量的正交分解，即可求解，得到答案. 根据向量的坐标表示，可得向量的坐标表示为， 坐标为的向量为，即坐标为的向量的正交分解为. 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量的正交分解，其中解答中熟记向量的坐标表示方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 【变式训练4-3】在平面直角坐标系中，向量，的方向如图所示，且，，则 ， . 【答案】 ； 【解析】设点，，根据数量积的坐标表示结合三角函数求解即可. 设点，， ∵，且， ∴，. ∵，， ∴，. 故，. 故答案为：； 向量的线性运算坐标表示 题型01：平面向量加法运算的坐标表示 【典型例题】已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用平面向量的坐标运算即可得解. 因为，， 所以. 故选：D. 【变式训练1-1】若向量，，则向量的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据平面向量的坐标运算可得答案. 向量，， 则向量. 故选：A. 【变式训练1-2】若，求 【答案】 【解析】根据平面向量的坐标表示和加法法则计算出答案. ， . 【变式训练1-3】已知点，向量，则向量 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】试题分析：,选A. 考点：向量运算 【变式训练1-4】已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用向量加法的坐标表示，求出的坐标 . 故选：B. 题型02：平面向量减法运算的坐标表示 【典型例题】已知向量，满足，，则 . 【答案】 【解析】首先计算出，，再进行线性运算即可. 因为，， 两式相加得，即， 所以， 故答案为：. 【变式训练2-1】已知向量，则 ． 【答案】 【解析】由向量的坐标运算求解即可. 向量， 所以. 故答案为：. 【变式训练2-2】已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用平面向量的坐标运算求解即可. ， . 故选：C. 【变式训练2-3】已知，则 . 【答案】 【解析】首先表示出，，再根据线性运算的坐标表示计算可得. 因为， 所以，， 所以. 故答案为： 【变式训练2-4】若，，则与向量同向的单位向量是 . 【答案】 【解析】先求出向量的坐标，然后计算与向量同向的单位向量即可. 因为, 所以, 所以与向量同向的单位向量为. 故答案为：. 题型03： 向量的数乘运算 【典型例题】已知点A（1,1,-4），B（2,-4,2），C为线段AB上的一点，且＝，则C点坐标为 ． 【答案】 【解析】设C（x，y，z），由已知条件，可推得，，再结合向量的相等性准则，即可求解． 设C， A（1,1,-4），B（2,-4,2）， ， ， ，解得， C点坐标为. 故答案为：. 【变式训练3-1】已知点，，若点满足，则点的坐标为 ． 【答案】 【解析】设，根据条件得到，，再利用向量相等即可求出结果. 设，因为，，所以，，又， 所以，解得，所以点的坐标为. 故答案为：. 题型04：平面向量的线性运算的坐标表示 【典型例题1】如图，在正方形网格中，向量，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为轴，为轴建立坐标系，求出各点坐标即可判断选项． 以为轴，为轴建立坐标系，则，． ，，，． ． 令．得到，，，． 解得，．所以． 故选：． 【典型例题2】已知点，将绕坐标原点逆时针方向旋转至，再将延长至，使，则点的坐标为 . 【答案】 【解析】由三角函数的定义和三角恒等变换结合向量的坐标表示计算即可. 设的终边对应的角为， ， 则的终边对应的角为， ， ， ， ， 故答案为：. 【典型例题3】如图所示，是正六边形的外接圆，若点是上的动点，设，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】建立平面直角坐标系，设，写出相关向量得到方程组，解出，则得到的表达式，求出其最值即可. 如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，不失一般性可假设正六边形边长为2， 则，，设， 则， 因为，即， 即， 则，解得， 则，因为，则 故答案为：. 【变式训练4-1】如图所示，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据平行四边形的对称性，利用中点坐标公式进行求解即可. 设第四个顶点为， 当是对角线时，则有， 当是对角线时，则有， 当是对角线时，则有， 故选：A 【变式训练4-2】已知向量，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直接利用平面向量的加法法则，直接计算可得答案. 向量，，则. 故选:C 【变式训练4-3】已知向量，若，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据平面向量的坐标运算求解. 由题意可得, 所以解得, 所以. 故选:A. 【变式训练4-4】已知点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】根据平面向量线性运算的坐标表示进行运算求解即可. 因为， 所以，则，故A不正确； 因为，故B正确； 因为，故C正确； 因为，故D不正确． 故选：BC. 【变式训练4-5】如图，向量，，若，，，为线段AB的5等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据向量的线性运算即可求解. 取的中点为，则也是，的中点， 故， 因此. 故选：C. 【变式训练4-6】已知平面上三点A、B、C的坐标分别是、、，P为直线AC上的一动点，问：P在什么位置时，取到最小值？ 【答案】当时，取到最小值，且 【解析】当时，取到最小值，设，利用、求出可得答案. 当时，取到最小值， 设，则，， 则，① 又因为，所以，② 由①②解得， 所以，解得， 所以当时，取到最小值， 此时. 【变式训练4-7】已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值． 【答案】或 【解析】根据已知条件及向量的线性运算，利用向量平行的条件即可求解. 因为向量，，， 所以，, 因为，，三点共线， 所以平行， 所以，即， 将代入中，得或. 【变式训练4-8】将所有平面向量组成的集合记作．如果对于向量，存在唯一的向量与之对应，其中坐标由确定，则把这种对应关系记为或者，简记为．例如就是一种对应关系．若在的条件下有最大值，则称此最大值为对应关系的模，并把的模记作；若存在非零向量及实数使得，则称为的一个特征值． (1)如果，求； (2)如果，计算的特征值，并求相应的； (3)若，要使有唯一的特征值，实数应满足什么条件？试找出一个对应关系，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②，并验证满足这两个条件． 【答案】(1)；(2)，其中且；(3)，答案见解析 【解析】（1）利用向量的坐标运算可得，可求得，可求得. （2）利用向量相等的条件可得，进而可求得，进而可得其中且． （3）利用，可得，进而可得，进而可证明当时，有唯一的特征值，且． （1）由题意，所以，当时，，最大值也为2，所以． （2）由，可得：， 解此方程组可得：，解得． 当时，解方程组，此时这两个方程是同一个方程， 所以此时方程有无穷多个解，为（写出一个即可），其中且． （3），可得． 因为都不为0，从而向量与平行， 所以存在实数满足，即． 要使存在且唯一，则应满足：． 当时，有唯一的特征值，且．具体证明为： 由的定义可知：，所以为特征值． 此时满足：，所以有唯一的特征值． 在的条件下，从而有． 【点睛】关键点点睛：新定义题型，考查数乘向量的坐标运算，相等向量的坐标的关系，考查运算求解能力与转化能力，学生的阅读理解能力是解本题的关键. 【变式训练4-9】个有次序的实数，，，所组成的有序数组，，，称为一个维向量，其中，2，，称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，，，称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且． (1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量． (2)证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量． (3)已知个两两垂直的2024维信号向量，，，满足它们的前个分量都是相同的，求证：． 【答案】(1)，1，1，，，，1，，，1，，，，1，1， (2)证明见解析 (3)证明见解析. 【解析】（1）由维信号向量的定义可写出4个两两垂直的4维信号向量； （2）假设存在6个两两垂直的6维信号向量，根据题意不妨设，利用，可得有3个分量为，进而可得的前3个分量中有个，则后3个分量中有个，，由题意可得，可证结论； （3）任取，计算内积，，设的第个分量之和为，利用，可得结论. （1）依题意，可写出4个两两垂直的4维信号向量为： ，，，． （2）假设存在6个两两垂直的6维信号向量， 因为将这6个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变， 所以不妨设， 因为，所以有3个分量为， 设的前3个分量中有个，则后3个分量中有个，， 则， ，则，矛盾， 所以不存在6个两两垂直的6维信号向量． （3）任取，计算内积， 将所有这些内积求和得到，则， 设的第个分量之和为， 则从每个分量的角度考虑，每个分量为的贡献为， 所以， 则，所以，故. 【点睛】方法点睛：新定义题型，认真阅读，弄清题意是关键，理解内积的定义，与所学内容类比，转化，考查运算求解能力与逻辑思维能力，对综合素养要求较高. 题型05：根据线性运算的结果求参数 【典型例题】过，的直线与x轴交于点P，设，则 【答案】 【解析】首先设，再根据向量相等，转化为方程组，即可求解. 设，则，， 则，得，， 故答案为： 【变式训练5-1】已知向量满足，，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 【答案】B 【解析】设出向量，的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出，的坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数，. 设，，又，， 所以，且， 解得，，即，.所以，则，解得，故. 故选：B. 【变式训练5-2】我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若E为AF的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构建以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系，设，标注相关点的坐标，进而可得坐标，结合，应用向量线性运算的坐标表示列方程求出即可. 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系，设，又为的中点，    ∴，则， 由，得：， ∴，解得，则 故选：B. 【变式训练5-3】在正六边形ABCDEF中，直线ED上的点M满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】建立平面直角坐标系，利用坐标法列关于的方程，解之即可求得的值. 在正六边形ABCDEF中，以A为原点， 分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 不妨令，则， , 由，可得，解之得 故选：B 【变式训练5-4】如图，在矩形中，为上一点，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】借助于矩形建立直角坐标系，利用坐标法求解. 建立如图示坐标系，由则有： 因为E为上一点，可设 所以. 因为，所以，即，解得：，所以. 由得： ，解得：，所以. 故选：D 【变式训练5-5】已知向量，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求出向量的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可. 因为向量，，则， 所以，解得. 故选：C. 题型06：线段定比分点 定比分点的定义 设点是直线上异于、的任意一点，若存在一个实数，使，则叫做点分有向线段所成的比，点叫做有向线段的以定比为的定比分点。 定比分点的坐标公式推导 设，，点分有向线段所成的比为，即。 因为，，所以。 根据向量相等的坐标表示可得。 解第一个方程： 同理，解第二个方程可得。 特殊情况 中点坐标公式：当时，点为线段的中点，此时中点的坐标为。 内分点与外分点：当时，点在线段上，称为内分点；当且时，点在线段或的延长线上，称为外分点。 【典型例题1】在中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】假设，根据，可得为重心，根据重心的坐标表示，可得结果. 由题意知：是的重心，设， 则有解得 故. 故选：C 【点睛】本题考查三角形的重心公式，属基础题. 【典型例题2】在平面直角坐标系中，为坐标原点，，点在直线上，且，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由点在直线上，且，可推出点在线段上或延长线上，转化成向量相等，再利用坐标求解 设，由题意得，且点在直线上，故可得以下两种情况： ①，此时有，可得，解得. ②，此时有，可得，解得. 综上所述，点的坐标为或. 故选：AB 【典型例题3】已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能. 因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 【典型例题4】已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能. 因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 【典型例题5】已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得，可得，即求． 点在线段的延长线上，且， ，即, 所以． 所以点P的坐标为. 故选：D. 【典型例题6】已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为 . 【答案】 【解析】由题 可得，可得，即求． 点在线段的延长线上，且， ， ,,,． 所以点P的坐标为. 故答案为：. 【变式训练6-1】已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解. 由题意得，点为中点，设点，则 ，解得， 所以点的坐标为. 故选:B． 【变式训练6-2】已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得，可得，即求． 点在线段的延长线上，且， ，即, 所以． 所以点P的坐标为. 故选：D. 【变式训练6-3】已知，，点P在直线AB上，且，求点P的坐标（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由向量的坐标表示分类讨论后计算即可. 设，因为，，且点P在直线AB上，故由可得以下两种情况： ，此时有，解得； 或，此时有，解得； 故选：AB 【变式训练6-4】已知，，若点分所成的比为，则 ， . 【答案】 【解析】依题意可得，再表示出、的坐标，即可得到方程组，解得即可； 解：因为点分所成的比为，所以，因为，，，所以，，所以 所以解得 故答案为：； 【变式训练6-5】已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为 . 【答案】 【解析】由题意转化为，再根据坐标表示向量，即可求解. 设，因为点在线段AB上，且， 即，所以， 即，解得：，， 即点的坐标为. 故答案为： 【变式训练6-6】已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标． 【答案】 【解析】设，根据题意列方程组即可求解. 设，由题意， 所以，解得，所以点的坐标为. 【变式训练6-7】如图，已知A（－2，1），B（1，3）． (1)求线段AB的中点M的坐标； (2)若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标． 【答案】(1)；(2)或. 【解析】（1）根据中点坐标公式进行求解即可； （2）根据平面共线向量的性质进行求解即可. （1）设， 因为A（－2，1），B（1，3）， 所以，即； （2）设， 当时，有； 当时，有. 题型07： 由向量坐标判断向量是否平行 【典型例题1】若向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由向量的概念，平行、垂直的坐标表示逐个判断即可. 对于A，B显然错误； 对于C：易知，两向量平行，故正确， 对于D：因为，故两向量不垂直，所以D错误， 故选：C 【典型例题2】已知、、三点的坐标分别为、、，判断向量与是否共线． 【答案】共线，理由见解析 【解析】求出向量与的坐标，利用共线向量的坐标表示可得出结论. 解：已知、、， 所以，，，则，所以，向量与共线. 【变式训练7-1】已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与反向 D．、可作一组基底 【答案】ABC 【解析】由，即可判断A、B、D，求出的坐标，即可判断C. 因为，， 所以，则，，故A、B正确； 因为，所以、不可作一组基底，故D错误； 又， 所以，则与反向，故C正确. 故选：ABC 【变式训练7-2】已知向量，则下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】求出的坐标，根据共线向量的坐标表示验证即可. 因为，所以. 若向量满足，则该向量与平行，检验易知A，D符合题意. 故选：AD. 【变式训练7-3】下列条件能使的是（    ） A． B． C． D．， 【答案】BC 【解析】由向量的模相等、向量相等、向量的模为0以及向量共线定理即可逐一判断各个选项. 对于A，向量模相等不一定能保证向量共线，故A错误； 对于B，能保证向量共线，且它们的模也相等，故B正确； 对于C，等价于是零向量，而零向量可以和任何向量共线，故C正确； 对于D，不存在任何实数使得，即方程组不可能成立，这意味着不能共线，故D错误. 故选：BC. 【变式训练7-4】已知向量，，那么与共线的一个向量是（    ） A．（6，4） B．（4，6） C．（0，4） D．（1，6） 【答案】A 【解析】首先利用向量线性运算的坐标表示求出对应坐标，再由各选项坐标对应的向量，结合平面向量共线定理判断是否与共线即可. 由题设，，显然，A正确， 对于B、C、D，不存在使坐标所对应的向量等于. 故选：A 【变式训练7-5】设，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 【答案】A 【解析】先得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立，得到答案. 若，则，即，故，充分性成立， 不妨设，此时，但不满足，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 题型08：由向量平行求参数 【典型例题1】已知向量，，，若，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】根据平面向量坐标运算和向量共线的坐标表示即可得到方程，解出即可. 由，，，得，， 又，所以，解得. 故选：A. 【典型例题2】已知平面向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由平面向量共线的坐标表示及充分条件，必要条件的定义即可得到答案. 若，则有，解得或， 所以“”是“”的不充分条件； 若，则，，所以， 所以“”是“”的必要条件， 综上，”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 【典型例题3】已知，，若，则的值为（    ） A． B．7 C． D．以上结果都不对 【答案】B 【解析】首先根据向量平行，求，再根据指数运算公式，以及对数运算公式化简求值. ，，解得：， ， ，所以.故选：B 【点睛】本题考查指对运算，换底公式，重点考查转化，变形，计算能力，属于中档题型 【典型例题4】已知向量 ，若与共线且同向，则实数λ的值为（    ） A．2 B．4 C． D．或4 【答案】C 【解析】通过向量共线且同向，即可求出实数的值并检验即可得解. 因为，，且与共线且同向， 所以，解得或， 当时，，则，满足题意； 当时，，则，不满足题意； 综上，. 故选：C． 【典型例题5】已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据向量坐标运算法则求，结合向量平行坐标表示列方程可得，化简求，再结合二倍角正切公式求结论. 因为，， 所以，又，， 所以， 若，则，与矛盾，故， 所以， 所以， 故选：D. 【变式训练8-1】，，，则实数（    ） A． B．3 C． D．-3 【答案】A 【解析】由向量平行的坐标公式计算即可. 因为，，， 所以，解得：. 故选：A. 【变式训练8-2】已知向量，则下列向量中与平行的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据向量平行的坐标运算、模长公式得出答案. 设与平行的单位向量为，则. 则与平行的单位向量为或.故选：A 【变式训练8-3】已知向量，且，则实数m的值（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】由向量的坐标运算公式可求得，再利用向量平行的坐标表示可求解. 又，，解得 故选：D 【变式训练8-4】已知向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由向量线性运算坐标表示求坐标，根据平行关系列方程求参数即可. 由题设，又， 所以，可得.故选：C 【变式训练8-5】已知向量，，，则“”是“ ”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】根据题意，若时，则，，得出，得出，反之，则，列式求出，结合充要条件的判定，即可得出结论. 解：已知，，若，则，， 可得，则有，所以充分条件成立， 反之，若，则，即：即：，解得：，所以必要条件成立， 综合可得：“”是“ ”的充要条件.故选：C. 【变式训练8-6】若向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由向量平行的充要条件结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 由题意，则“”是“”的充要条件. 故选：C． 【变式训练8-7】已知向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】计算出与后，结合向量共线的坐标运算即可得. 由，，则，， 由与共线，则有， 化简得，即. 故选：A. 【变式训练8-8】已知，，，，若存在非零实数使得，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【解析】根据向量共线的坐标表示可得，再结合基本不等式中的巧用“1”即可求解. 若存在非零实数使得，即，又，， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故选 ：B 【变式训练8-9】已知向量，，若存在，使得与的方向相反，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由两向量方向相反可知，由此可构造方程组求得，由可求得满足题意的的范围. ∵与方向相反，∴，∴，∴， 由得，∴实数t的取值范围是. 故答案为： 【变式训练8-10】下列各组向量是平行向量的有 ．(填序号) ①；②； ③；       ④. 【答案】① 【解析】根据向量共线的坐标公式逐一判断即可. 对于①，因为，所以； 对于②，因为，所以不平行； 对于③，因为，所以不平行； 对于④，因为，所以不平行. 故答案为：①. 【变式训练8-11】已知，，若，则 ． 【答案】/ 【解析】根据平面共线向量的坐标表示建立方程，解之即可求解. 由题意，得．因为， 所以，解得． 故答案为：． 【变式训练8-12】已知向量，，向量，，若，则实数 . 【答案】 【解析】根据题意可知，不共线，若，则，使得，代入结合向量相等运算． 根据题意可知，不共线 若，则，使得，即 则可得，解得 故答案为：． 题型09：三点共线向量法求参 1.用向量法求三点共线，则任何两点所对应的向量都互相平行。 2.共线第二定理：若A、B、C三点共线⇔＝x＋y且x＋y＝1． 【典型例题1】已知A，B，C是三角形的三个顶点，且向量，则实数m满足的条件为 . 【答案】 【解析】因A，B，C是三角形的三个顶点，则不与共线，据此可得答案. 由题，可得，. 因A，B，C是三角形的三个顶点，则不与共线，则. 故答案为：. 【典型例题2】已知向量，，，若B，C，D三点共线，则（    ） A．－16 B．16 C． D． 【答案】A 【解析】先求出和，根据B，C，D三点共线得到，进而列出方程求解. 由题意得，， 因为B，C，D三点共线，所以， 则，得.故选：A. 【典型例题3】已知，且三点共线.则（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【解析】根据向量共线的坐标表示，计算即可. 因为三点共线，所以与共线，则有，解得. 故选：A. 【典型例题4】．过，的直线与x轴交于点P，设，则 【答案】 【解析】首先设，再根据向量相等，转化为方程组，即可求解. 设，则，， 则，得，， 故答案为： 【典型例题5】已知，，，且，则 ． 【答案】 【解析】根据，可得向量坐标的对应关系，即，即可求解. 由题，，即，解得，， 所以. 故答案为： 【典型例题6】设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则 . 【答案】/ 【解析】根据平面的基的概念，判断，利用向量共线的坐标公式计算即得. 由题意可知，，，， 则，解得. 故答案为：. 【变式训练9-1】设，为平面内一个基底，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据平面向量共线定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可. 因为，， 所以， 因为A，B，D三点共线， 所以有，即 因为，为平面内一个基底， 所以，不是共线向量，因此有， 故选：D 【变式训练9-2】已知，，，且相异三点、、共线，则实数 . 【答案】 【解析】本题首先可根据向量的运算法则得出、，然后通过题意得出，最后通过向量平行的相关性质即可得出结果. ，， 因为相异三点、、共线，所以， 则，解得或， 当时，，、重合，舍去， 故，故答案为：. 【变式训练9-3】设O是坐标原点，已知=(k，12)，=(10，k)，=(4，5)，若A，B，C三点共线，则实数k的值为 . 【答案】11或-2 【解析】先求出和的坐标，利用向量和共线的性质x1y2﹣x2y1=0，解方程求出k的值． 由题意得=-=(k-4，7)， =-=(6，k-5)， 所以(k-4)(k-5)=6×7，k-4=7或k-4=-6，即k=11或k=-2. 故答案为11或-2. 【变式训练9-4】已知向量，，.若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求出向量，由题意可得，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，解之即可. 因为向量，，， 所以，， 因为、、三点共线，则，所以，，解得. 故选：C. 【变式训练9-5】已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】BCD 【解析】根据题意分析可知不共线，结合向量共线的坐标表示运算求解. 因为，，， 则， 若点A，B，C能构成三角形，即A，B，C不共线，则不共线， 可得，即， 结合选项可知A错误；BCD正确. 故选：BCD. 【变式训练9-6】已知，，，若，，三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】先根据向量加法求出，再利用向量共线的性质列出等式，最后求解. 已知，，则. 因为，，三点共线，所以与共线.可得. 即.等式两边同时除以（因为，若，则，此时），得到. 故选：B. 【变式训练9-7】已知向量，，，且，则 . 【答案】 【解析】根据向量的坐标线性运算即可求解. ， 由可知 解得故． 故答案为： 【变式训练9-8】若三点不能构成三角形，则 . 【答案】 【解析】三点不能构成三角形转化为三点共线，利用向量共线的坐标表示求解即可. 当三点共线，即时，三点不能构成三角形. 由已知得， ， 由得，，解得. 故答案为：. 【变式训练9-9】设，，，其中，，为坐标原点，若，，三点共线，则 ，的最小值为 . 【答案】 2 【解析】由题意求得，根据三点共线可得向量共线，利用向量共线的条件可得的值，将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案. 由，，可得， 由于，，三点共线，故共线， 所以，即， 则， 当且仅当，结合，即时取等号， 故答案为：2； 题型10：平行与三角函数恒等变形 【典型例题1】的三内角，，所对边长分别是，，，设向量，，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据，得到，再由正弦定理整理得到 ，然后由余弦定理求解. 设向量，， 因为， 所以， 由正弦定理得：， 即， 由余弦定理得， 因为，所以故选：B 【典型例题2】已知，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先利用以及倍角公式求出，进而根据可得，再代入计算即可. ，，， , 解得或，又，则，， 故选：B. 【变式训练10-1】已知△ABC的三边分别是a，b，c，设向量＝(sinB－sinA，a＋c)，＝(sinC，a＋b)，且∥，则B的大小是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用正弦定理，把已知条件转化为a2＋c2－b2＝－ac，利用余弦定理及可求出B. 因为∥， 所以(a＋b)(sinB－sinA)＝sinC(a＋c). 由正弦定理得，(a＋b)(b－a)＝c(a＋c)， 整理得：a2＋c2－b2＝－ac， 由余弦定理得cosB＝＝＝－.又0<B<π，所以B＝.故选：B 【变式训练10-2】已知向量，，若与共线，则的值为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据向量共线可求得；从而利用正余弦的齐次式求解方法可求得结果. 与共线         本题正确选项： 【变式训练10-3】已知中内角的对边分别为，向量，，为锐角且∥，．若，则的周长为 ． 【答案】 【解析】根据向量共线的坐标表示，列出方程，结合二倍角公式，同角三角函数间的商数关系，解得.再根据正弦定理，余弦定理，求出，从而求出三角形的周长. 设的外接圆半径为∵，∴， ∴，，，∴，即，又 ∴由正弦定理得：，∵，则由正弦定理得： ∴①，又由余弦定理得：∴， ，则代入①得： 解得：，即． 故答案为：. 题型11：向量的模 【典型例题1】已知，则 ． 【答案】 【解析】写出坐标，由坐标得到. ，∴. 故答案为： 【典型例题2】设点，若点P在直线上，且，则点的坐标为 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】将向量模长关系改写成向量共线的形式，注意分类计算坐标. ，点在直线上，且，或，故或，故点坐标为或， 故选：C. 【点睛】本题考查根据向量共线求解点的坐标问题，难度较易.共线三点间的模长倍数关系可以转化为共线向量的形式，注意方向问题. 【典型例题3】已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【解析】求出的坐标，除以，再考虑方向可得． 由得，即，， ， ， ， 与同向的单位向量为，反向的单位向量为． 故选：C． 【变式训练11-1】已知向量，，若，则 . 【答案】2或4 【解析】根据向量的坐标运算以及模长公式，可得答案. 由题意，得，则，解得或4. 故答案为：或. 【变式训练11-2】已知向量，则取得最小值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于向量的坐标，求得向量的坐标，利用坐标求向量的模长，计算化简可得，即可求解. 因为， 所以， 则 故当时，取得最小值. 故选：C. 【变式训练11-3】线段的端点为、，直线上的点，使，则 ． 【答案】或 【解析】由题意可得出或，根据题意可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值. 由已知得，， 由可得或. ①当时，可得，解得，此时，； ②当时，可得，解得，此时. 综上所述，或. 故答案为：或. 向量的数量积 题型01： 数量积的坐标运算 【典型例题1】已知向量，，则 ． 【答案】 【解析】利用向量数量积的坐标运算求解即可. 由，可得. 故答案为：. 【典型例题2】已知点，，为坐标原点，向量，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点坐标，然后得到向量坐标，由得到方程组，求出点坐标，即可得到. 设，则，， ∵，∴，解得，即， ∴. 故选：A. 【典型例题3】已知向量，，，则（   ） A．6 B．4 C．-6 D．-4 【答案】C 【解析】由向量的线性运算与数量积的坐标表示，可得答案. 因为，，，所以，， 则． 故选：C. 【典型例题4】设，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】利用向量数量积的坐标公式，结合同角的三角函数关系式，通过换元，将其化简为二次函数，根据二次函数的单调性即可求得. 由， 设，由正弦函数的性质知 ， 故当，即或时，的最大值是. 故答案为：. 【典型例题5】已知向量，，满足，则实数（ ） A．2 B． C． D．0 【答案】C 【解析】利用向量数量积的坐标表示以及模长公式列方程即可求得. 依题意可得， 所以，整理可得， 即可得，解得. 故选：C 【典型例题6】如图，已知是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，先利用坐标表示相关向量，再结合数量积的坐标表示和二次函数的性质计算可得. 以直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系（如图所示）， 则， 因为， 则点D在线段（不含端点）上， 设，则， 所以， 所以当时，取得最小值， 当时，， 故的取值范围为. 故选：A． 【变式训练1-1】设，则等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】根据平面向量坐标运算和数量积的坐标表示求解可得. 因为， 所以， 所以. 故选：B 【变式训练1-2】已知向量，，，则（   ） A．6 B．4 C．-6 D．-4 【答案】C 【解析】由向量的线性运算与数量积的坐标表示，可得答案. 因为，，，所以，， 则． 故选：C. 设，，则。同时，若为与的夹角，则。 【变式训练1-3】已知向量，，，则（ ） A．6 B．4 C．-6 D．-4 【答案】C 【解析】由向量的线性运算与数量积的坐标表示，可得答案. 因为，，，所以，， 则． 故选：C. 【变式训练1-4】已知向量，，且，则（ ） A． B．5 C．2 D．10 【答案】A 【解析】由向量的线性运算可得向量的坐标，利用向量的数量积的坐标运算，可得答案. ，， . 故选：A. 【变式训练1-5】已知向量，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据向量数量积的坐标公式计算求出的值，代入坐标，即可求其模长. 因为，所以，解得， 所以，则. 故选：B. 【变式训练1-6】已知向量，若，则实数的值为（ ） A．4 B．或1 C． D．4或 【答案】B 【解析】将平方化简得，然后利用数量积的坐标公式列式计算即可. 将两边平方，得， 由得， 即，解得或1. 故选：B. 【变式训练1-7】已知平面向量，满足，，且，则实数的值为（       ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】根据得到，列方程求解即可. ，， 因为，所以，解得. 故选：D. 【变式训练1-8】已知向量，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据数量积的坐标运算和辅助角公式可得，在利用倍角公式运算求解. 因为，可得， 所以． 故选：A． 【变式训练1-9】已知则（    ） A．(0，34，10) B．(-3，19，7) C．44 D．23 【答案】C 【解析】应用向量的坐标运算及数量积的坐标运算即可. ， 所以. 故选：C 【变式训练1-10】已知向量，且，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【解析】根据向量垂直列方程，由此求得的值. ， 由于，所以.故选：C 【变式训练1-11】已知向量，且，则实数（    ） A．-1 B．0 C．1 D．任意实数 【答案】B 【解析】根据向量的线性运算及向量垂直的向量关系计算求解 . 由，得， 解得.故选：B. 【变式训练1-12】已知向量，，则 . 【答案】 【解析】由向量数量积的坐标运算即可求解. 由题意可得：， 所以， 故答案为： 【变式训练1-13】已知平面向量，，且，则 . 【答案】 【解析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出，进而求出即可求出. 由，得，解得， 而，，则，解得， 所以. 故答案为： 题型02：坐标运算求向量夹角 求平面向量夹角的方法： （1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是； （2）坐标法：若非零向量、，则. 【典型例题1】已知向量，，，则向量与向量的夹角为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先利用平面向量的夹角公式求出夹角余弦值，再利用诱导公式结合角的范围进行求解.. 设向量与向量的夹角为，由题意，得，，， 所以，因为，， 所以，即向量与向量的夹角为.故选：D. 【典型例题2】在空间直角坐标系中，若，，与的夹角为，则的值为（       ） A．1 B． C．或 D．17或 【答案】D 【解析】根据题意，结合空间向量的数量积的运算公式和空间向量的夹角公式，列出方程，即可求解. 由题意，向量，， 可得，，， 因为与的夹角为，可得，即， 整理得，解得或.故选：D. 【典型例题3】已知平面向量，，，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求出，由平面向量夹角公式计算的值，结合向量夹角的范围即可求解. 由可得，所以，因为，所以， 故选：C. 【典型例题4】已知为整数，且，设平面向量与的夹角为，则的概率为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意可得，再根据向量夹角的坐标表示得到不等式，再用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得； 解：因为平面向量与的夹角为，且，所以，即，所以，因为为整数，且，，所以共有种可能，又因为，，所以或，①当时，由，即，所以或或或，满足题意； ②当时，由，即，所以或，满足题意； 故或或或或或共种情况符合题意，所以的概率为； 故选：D 【变式训练2-1】已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先计算出，利用向量夹角余弦公式求出答案. ，， 所以， ， 所以. 故选：D 【变式训练2-2】已知向量，若，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据平面向量垂直的坐标表示求得向量，再利用平面向量夹角的坐标计算公式求值即可. 因为，所以， 因为，所以，解得，所以， 设与夹角为，则， 即与夹角的余弦值为． 故选：A. 【变式训练2-3】已知平面向量，，则向量与的夹角大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据向量坐标的夹角余弦值表示即可得到答案. 由已知，， 所以，故. 故选：D. 【变式训练2-4】已知向量，且与的夹角为钝角，在实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】应用向量夹角的坐标公式求参数范围，注意反向共线的情况，即可得. 因为向量，且与的夹角为钝角， 所以，可得， 注意，需排除反向共线的情况，此时，即， 综上，． 故选：B 【变式训练2-5】已知向量，若向量的夹角是锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据平面向量数量积的坐标运算求解，再根据向量的夹角是锐角与数量积与向量共线的关系列式求解即可. 因为，所以， 因为向量，的夹角是锐角，所以 解得且，所以的取值范围是. 故选：C. 题型03：向量数量积与夹角的坐标表示 【典型例题1】已知平面向量，，若是直角三角形，则的可能取值是（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】A 【解析】计算，考虑当是直角顶点，是直角顶点，是直角顶点三种情况，根据向量的数量积为0得到答案. ，，则， 当是直角顶点时：，； 当是直角顶点时：，无解； 当是直角顶点时：，； 综上所述：或. 故选：A 【典型例题2】设平面向量，，满足：，，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】根据题设条件，设出的坐标，利用坐标运算进行求解 依题意，设，，. 根据，即，即，整理得. 显然，否则，，与已知矛盾，故可得. 由，即，故，解得. 故. 故答案为： 【典型例题3】已知是边长为6的等边三角形，是的内切圆上一动点，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】取的中点，建立平面直角坐标系，设，，表示出，，根据数量积的坐标表示及余弦函数的性质计算可得. 如图取的中点，建立平面直角坐标系，则，，， 则内切圆的圆心在上，设圆心为，则为靠近的三等分点，即， 内切圆的半径， 因为点是的内切圆上一动点，设，， 则，， 所以， 因为，所以， 则， 则，当，即时取得最大值. 故答案为： 【典型例题4】已知、、、、五个点，满足，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】根据题意设出合理的向量模，再将其置于坐标系中，利用坐标表示出，再用基本不等式求解出最值即可. 由题意设，则，， 设，如图，因为求的最小值， 则，，，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：. 【点睛】关键点睛：首先是对向量模的合理假设，然后为了进一步降低计算的复杂性，我们选择利用坐标法将涉及的各个点用坐标表示，最后得到，再利用基本不等式即可求出最 【典型例题5】已知向量，，. (1)若，，三点共线，求实数的值； (2)若为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据向量运算得，，进而结合向量共线的坐标表示求解即可； （2）结合题意得且与不共线，再根据数量积运算与共线的坐标表示求解即可. （1）解：因为，，， 所以，， 因为，，三点共线，所以与共线， 所以，解得. 所以实数的值 （2）解：因为向量，，， 所以，， 因为为锐角， 所以且与不共线，即，解得且， 所以，实数的取值范围是 【典型例题6】已知的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，. (1)若，试判断的形状并证明； (2)若，边长，角，求的面积. 【答案】(1)为等腰三角形，证明见解析；(2) 【解析】（1）由可得，再利用正弦定理即可证明结论； （2）由可得，再利用余弦定理可得到，解此方程即可求得的值，从而可求得的面积． （1）为等腰三角形，理由如下： ，，， ， 由正弦定理得：即，其中是外接圆半径， 为等腰三角形. （2），由题意可知， ， 由余弦定理可知， 即， 或（舍） ． 【典型例题7】已知、是同一平面内的两个向量，其中，． (1)求与的夹角； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）运用数量积求夹角； （2）夹角为锐角即，并且不平行于 ，运用数量积求解. （1） ； （2）因为与得夹角为锐角，，并且与不平行， 其中， 解得，并且； ； 综上，，. 【变式训练3-1】矩形中，，，动点满足，，，则下列说法中错误的是（    ） A．若，则的面积为定值 B．若，则的最小值为 C．若，则满足的点不存在 D．若，，则的面积为 【答案】B 【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求出点的坐标，利用平面向量的坐标运算逐项判断，可得出合适的选项. 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下所示的空间直角坐标系，    则点、、，则，， 因为，即点， 对于A选项，当时，，则点到直线的距离为， 则，A对； 对于B选项，当时，，则， 因为，则，则， 当且仅当时，等号成立，B错； 对于C选项，当时，则，，， ， 所以，若，则满足的点不存在，C对； 对于D选项，若，，则， 此时，点到直线的距离为，则，D对. 故选：B 【变式训练3-2】将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，……，，若的坐标为则的值为 【答案】 【解析】画图像可知，与交点为个，且和,和关于对称，所以，即可得出的值.    由题意，做出图象，可得函数 和直线 的所有交点共计个，根据余弦函数的中心对称性可知， 直线 的所有交点共计个，根据余弦函数的中心对称性可知，和,和关于对称， ∴则 故答案为: . 【变式训练3-3】如图，正六边形的边长为，半径为1的图的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为 【答案】 【解析】根据题意，以为原点建立平面直角坐标系，设点，则，将表示为关于的表达式，结合正六边形的性质算出的取值范围. 以为原点，六边形的左、右顶点所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则圆的方程为，当在轴下方，且位于正六边形与轴平行的边上时， 的纵坐标为，可得，其中， 设，则，． 可得，， 所以， 结合，当时，有最小值5， 当时，有最大值7，可知， 根据图形的对称性，可知：当在正六边形其它的边上时，也成立. 综上所述，的取值范围为. 故答案为： 【变式训练3-4】已知函数，其图像的最高点从左到右依次记为，，，，，其图像与轴的交点从左到右依次记为，，，，，则 【答案】 【解析】根据条件可得出，，，，，，，，， 然后得出，，，，这样即可得出答案. 根据题意得，，，， ，，，，，， ， ，， ， . 故答案为： 【变式训练3-5】已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【解析】由公式求出投影的数量，在乘与同方向的单位向量得到投影向量. 在方向上的投影的数量为， 所以在方向上的投影向量为， 故答案为：.值. 【变式训练3-6】已知向量，单位向量与向量的夹角为． (1)求向量； (2)若向量与坐标轴不平行，且与向量垂直，令，请将t表示为x的函数，并求的最大值． 【答案】(1)或；(2)，， 【解析】（1）设，向量是单位向量，向量与向量夹角为，解方程组，由此求出． （2）首先可判断向量，根据向量垂直，得到，即可得到，再由二次函数的性质计算可得． （1）解：设， 向量是单位向量， ． 向量与向量夹角为， ， ， 解方程组， 解得或． 或． （2）解：与坐标轴平行， 向量，又向量与向量垂直， ， ，即． 又 ， 即， 因为所以， 所以，； 所以当时，． 【变式训练3-7】（1）已知点，点是直线上一点，且，求点的坐标； （2）已知与的夹角为，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）的坐标为或；（2） 【解析】（1）设点的坐标，由向量的坐标运算求得，由转化得或，解方程可求点的坐标； （2）向量与夹角为锐角等价于且不平行于，解方程和不等式可求的取值范围． （1）设点的坐标，由， 得， 因为点是直线上一点，且， 所以或， 即 或， 解得或，所以点的坐标为或； （2）因为与的夹角为， 所以， ， 因为与的夹角为锐角，所以，即， 解得，又当与共线时有，解得，所以， 综上，实数的取值范围是． 【变式训练3-8】如图，平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基.若，则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为.        (1)记向量，，求向量在这个基下的斜坐标； (2)设，，求； (3)请以（2）中的问题为特例，提出一个一般性的问题，并解决问题. 【答案】(1)；(2)1；(3)答案见解析 【解析】（1）根据向量的线性运算、新定义运算可得答案； （2）根据向量的数量积运算可得答案； （3）设，，求的斜坐标表示公式，根据向量的数量积运算可得答案；或设，，的充要条件为. （1）， 所以，向量； （2）由已知，有，， ； （3）设，，求的斜坐标表示公式， ，， ， 或，设，，的充要条件为. 【变式训练3-9】已知坐标平面内，向量，，． (1)求满足的实数、； (2)若向量满足，且，求的坐标． 【答案】(1)，；(2)或 【解析】（1）借助向量坐标运算计算即可得； （2）借助向量坐标运算中垂直性质与模长公式计算即可得. （1）由，则有，解得， 即，； （2）设，则有，解得或， 故或. 【变式训练3-10】定义向量的“对应函数”为；函数的“对应向量”为（其中为坐标原点），记平面内所有向量的“对应函数”构成的集合为 (1)设，求证： (2)已知且，是函数的“对应向量”，，求 (3)已知，向量的“对应函数”在处取得最大值，当变化时，求的取值范围 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）根据题意，得到对应的向量为，即可得证； （2）化简函数，得到，进而求得的值； （3）根据题意，由函数 在处取得最大值，得到，求得，结合三角函数的有界性求得，结合单调性，即可求解. （1）证明：因为， 根据题意，可得函数对应的向量为， 又因为平面内所有向量的“对应函数”构成的集合为，所以； （2）由函数 ， 因为，所以， 又因为，所以， 可得. （3）由函数 ，其中， 因为在处取得最大值，所以， 即，此时， 令，可得， 即，其中， 可得，解得，所以， 当时，； 当时，单调递减，； 当时，单调递减，. 综合可得的取值范围为. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键时理解对应向量以及对应函数的定义，明确其内涵，能根据该定义结合向量的坐标运算进行求解. 【变式训练3-11】平面直角坐标系中，设点是线段的等分点，其中.    (1)当时，试用表示； (2)当时，求的值； (3)当时，求的最小值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由条件得，，由向量的线性运算即可求解； （2）由基底表示出，再求出，最后求模即可； （3）由基底表示出，，从而表示出，再利用求函数的最值的知识求出最小值． （1）由题意可得：， 当时，所以，. （2）因为，则， 由（1）可得：， 当时，则，， 所以 因为， 所以， 所以 （3）当时，，， 则，同理， 令， 当，2，3时，， 当时，上式有最小值为； 当 时，， 当，6，7时，，当时，上式有最小值为， 综上，的最小值为． 【点睛】关键点点睛：根据向量的线性运算得，即可结合数量积的运算求解. 【变式训练3-12】已知平面上不共线的三点，且，是的中点. (1)若，求的余弦值； (2)若是线段上任意一点，且，求的最小值； (3)若是内一点，且，求的最小值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）建立平面直角坐标系，分别写出点的坐标，再根据平面向量内积的定义即可求解. （2）先求解的坐标表示，再结合二次函数的最值求解的最小值. （3）先求解的坐标表示，再结合基本不等式求解的最小值. （1）依题意，以点为坐标原点，所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同， 所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同，建立平面直角坐标系，如图所示： 令，则，，，所以，， ，， ，， ， 所以. （2）依题意，以点为坐标原点，所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同， 所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同，建立平面直角坐标系，如图所示： 因为，所以，，， 因为直线的斜率为， 所以直线的方程为， 因为是线段上任意一点， 所以设，， ，， ， 因为， 所以当且仅当时，的最小值为. （3）设，则，如图所示： 因为， 所以，得， 因为， 所以，得， 所以 ， 当且仅当， 即时，取得最小值36， . 【变式训练3-13】如图，已知为平行四边形．    (1)若，，，求及的值； (2)记平行四边形的面积为，设，，求证： 【答案】(1)，；(2)证明见解析 【解析】（1）由，根据数量积的运算律求出，再根据计算可得； （2）由面积公式得到，将两边平方，再由同角三角函数的基本关系、夹角公式及数量积、模的坐标表示计算可得. （1）在平行四边形中， 所以 ， 即，解得， 所以 . （2）因为，将两边平方可得， 又， 所以， 整理得， 又，，， 所以， 所以. 【变式训练3-14】在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点在直线上运动，动点在直线上运动，为平面上的一个动点，记，，. (1)若，，求与夹角的余弦值； (2)若，求的取值范围； (3)若点，且满足，求的最小值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）直接使用数量积的定义和坐标表示即可求出夹角余弦值； （2）设，并由条件证明，进而得到，再验证对任意的都存在满足的即可； （3）设，，然后直接计算可知条件等价于，再使用不等式证明，最后给出取到等号的例子即可. （1）由于，，故. （2）设，，由于，，故 ，. 由，知. 所以，得. 对，令，则此时，. 所以的取值范围是. （3）设，. 由于，，，故. 从而，这表明条件等价于. 而在的条件下，我们有 （这一步使用了不等式，其中） ， 所以. 而当，时，有，且 . 所以的最小值是. 【点睛】方法点睛：解决的方法即是尽量借助于向量坐标计算，没有坐标的，可选设基向量，运用平面向量基本定理进行表达解决，有时还需利用函数的性质或基本不等式辅助解决. 题型04：数量积：求模型 【典型例题】已知向量，，若，则 ． 【答案】 【解析】求出的值，即可得出的值. 由题意，因为 所以， 所以，， 所以，故答案为：. 【变式训练4-1】已知非零向量满足，则与的夹角为 . 【答案】 【解析】由已知可得：，并且，整理可得，进而可得，即可得到，即，再根据向量的夹角公式可求答案. 因为，所以， 因为，所以， 两式相减得，所以，将代入第一个式子可得：， 所以，即.设向量与的夹角为，则， 因为，所以向量与的夹角大小为.故答案为：. 【变式训练4-2】已知同一平面内的单位向量，满足，则 ． 【答案】 【解析】根据题意得，两边平方得到，从而求出. 因为，所以， 两边平方得， 因为均是单位向量，所以，所以， 所以，所以.故答案为：. 【变式训练4-3】已知平面向量，满足，且，则与的夹角为 ． 【答案】 【解析】通过平方的方法化简已知条件，求得，再根据向量夹角公式求得正确答案. 因为，所以， 即，因为，所以， 记与的夹角为，则， 由于，所以，即与的夹角为．故答案为： 【变式训练4-4】设，，满足，且，，，则 . 【答案】 【解析】由已知得，两边同时平方即可求. 由已知得，两边同时平方得， 因为，所以， 所以， 故答案为：. 题型05：复合型夹角计算型 【典型例题】若向量，满足，，且，则向量与夹角的余弦值为（       ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可. 因为，且，所以， 因为， 所以向量与夹角的余弦值为，故选：D 【变式训练5-1】已知，，则向量与的夹角为（       ） A．90° B．60° C．30° D．0° 【答案】A 【解析】结合空间向量的夹角坐标运算公式以及三角恒等变换化简求出夹角的余弦值，进而可得到结果. 因为，， 所以，， 设向量与的夹角为，则 ， 因为，所以，故向量与的夹角为，故选：A. 【变式训练5-2】设向量，，则与夹角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由向量夹角的坐标运算可直接求得结果. ，.故选：B. 【变式训练5-3】已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用垂直向量的坐标表示求解，进而得到的坐标，利用向量数量积的坐标表示求解夹角的余弦值即可. 解：因为与垂直，故，解得，则, ，设与夹角为，则. 【变式训练5-4】已知平面向量，，则向量夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】平面向量的夹角公式的坐标表示即可求解. 由题意得，，则， 故选：C． 【变式训练5-5】已知在平面直角坐标系中为坐标原点，点、点，则向量和的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由向量夹角的公式求解即可，注意向量夹角的取值范围. 因为点、点，所以， 所以，， 设向量和的夹角为，因为， 又因为，所以， 所以向量和的夹角为. 故选：B. 【变式训练5-6】设，向量且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用垂直关系求出，再利用向量夹角的坐标表示求得答案. 由向量且，得，则， 所以. 故选：B 【变式训练5-7）已知向量，若，则与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据平面向量垂直的坐标表示求得向量，再利用平面向量夹角的坐标计算公式求值即可. 因为，所以， 因为，所以，解得，所以， 设与夹角为，则， 即与夹角的余弦值为． 故选：A. 【变式训练5-8】已知向量，，且在上的投影向量为，则与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】结合向量的坐标运算，根据投影向量公式求得，进而求出与的坐标，最后利用向量夹角的余弦值公式计算即可. 因为，，所以在上的投影向量为， 故，则，， 所以与夹角的余弦值为． 故选：A 【变式训练5-9】若，且与的夹角为钝角，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】利用向量夹角的定义建立不等式，再排除向量平行的特殊情况，求解参数范围即可. 设为与的夹角，则， 因为为钝角，所以，解得， 而此时与一定不平行，得到，解得， 综上可得的取值范围是. 故答案为： 【变式训练5-10】已知、、均为单位向量，且，则、之间夹角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】变形可得出，可得出，利用平面向量数量积的运算可求得的值，即可得解. 依题意，，则，即， 即，解得.故选：C. 题型06:向量模的坐标运算 【典型例题1】已知平面向量与的夹角为，则（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【解析】根据条件计算，，由计算可得结果. ∵，∴， ∵与的夹角为，，∴， ∴. 故选：D. 【典型例题2】已知向量，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由向量平行的坐标表示求得，再由模长公式即可求解； 因为， 所以，所以， 所以， 故选：B 【变式训练6-1】设，向量且，则（   ） A． B． C． D．10 【答案】C 【解析】根据向量垂直、平行列方程，求得，进而求得正确答案. 由于， 所以，解得， 所以， 所以. 故选：C 【变式训练6-2】已知向量，，，若，则正实数的值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示得到方程，解得即可. 因为，，， 所以，又，所以，解得或， 所以正实数的值为. 故选：B 【变式训练6-3】已知向最与的夹角为60°，，，则 ， . 【答案】 【解析】由题意，求得，再根据向量的数量积的运算和模的公式，即可求解. 由题意，，所以， 因为与的夹角为60°，， 所以， 所以. 故答案为：，. 【变式训练6-4】已知向量，，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】首先求出，再根据数量积的运算律得到，最后根据余弦函数的性质计算可得. 因为，所以， 所以 ， 又，所以， 所以当，即时，取得最大值且. 故答案为： 【变式训练6-5】已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】在平面直角坐标系xOy中，不妨设，，，由已知可得，由向量的加法和模的坐标运算结合基本不等式求解即可. 在平面直角坐标系xOy中，不妨设，，， 则，，， 所以， 当且仅当时等号成立， 因此，的最小值为2. 故选：C. 题型07：向量垂直的坐标表示 【典型例题】已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由向量垂直的坐标表示即可求解. 由， 则， 由， 所以， 解得：， 故选：A 【变式训练7-1】已知向量，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由向量共线以及垂直的坐标运算代入计算，即可得到结果. 由可得，解得，则， 由可得，解得. 故选：D 【变式训练7-2】已知向量若则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用向量垂直的坐标运算即可求解. 由， 因为所以， 故选：B. 【变式训练7-3】已知向量，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据平面向量的数量积公式求解即可. 根据题意，，若，则，所以. 故选：D 【变式训练7-4】已知向量 ，若 ，则   （   ） A．1 B．-1 C．0 D． 【答案】B 【解析】本题考查向量垂直的坐标表示，代入求值即可. ， 又， ，即， 解得：. 故选：B. 【变式训练7-5】已知向量，.若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】根据两向量垂直的坐标关系运算得解. 由，得，解得. 故选：D. 题型08： 投影向量的坐标表示 坐标表示推导 设，，根据向量数量积公式，可得。 那么在上的投影向量为。 将坐标代入可得：，，所以在上的投影向量的坐标为。 【典型例题1】已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用投影向量公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得结果． 在上的投影向量为． 故选：A． 【典型例题2】已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据条件，利用投影向量的定义，即可求解. 因为，， 所以在上的投影向量为, 故选：C. 【典型例题3】已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据平面向量数量积的性质，由模长求解，再根据投影向量的公式求解即可. 因为， 所以， 则， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 【典型例题4】已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C．. D． 【答案】D 【解析】计算，根据投影向量的计算公式直接计算即可. 因为，所以， 在上的投影向量为. 故选：D 【典型例题5】已知向量，则在上的投影向量的长度为（   ） A． B． C．10 D．20 【答案】B 【解析】利用数量积公式及投影向量长度公式计算即可. 由题可知，， 则在上的投影向量的长度为. 故选：B 【变式训练8-1】已知向量，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据投影向量定义公式计算求解即可得解. 在方向上的投影向量是， 故选：A. 【变式训练8-2】已知向量＝(0，－2)，＝(1，)，与同向的单位向量为，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B．3 C．－ D．－3 【答案】D 【解析】代入投影向量公式计算即可. 因为是与同向的单位向量， 所以向量在向量上的投影向量为＝＝－3. 故选：D. 【变式训练8-3】已知向量，，若，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用向量垂直的坐标表示求出，再利用投影向量的意义求解即可. 由向量，，得， 由，得，解得，，， 所以在上的投影向量为. 故选：B 【变式训练8-4】已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先求出向量的单位向量，然后利用投影向量公式求解即可. 设向量是与同向的单位向量，则， 则向量在方向上的投影向量为. 故选：D 【变式训练8-5】已知平面向量，满足：，，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意求出的坐标，再根据投影向量的公式计算即可. 因为，所以， 又因为，两式相减可得， 所以， 所以在方向上的投影向量为， 故选：A. 【变式训练8-6】（多选）已知向量，，且向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由数量积的坐标表示求得，再分类讨论，根据投影向量的概念求解． 由向量，，，得，所以，解得或. 当时，，， 所以向量在向量上的投影向量为； 当时，，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：BC 【变式训练8-7】在平面直角坐标系中，点，将绕原点逆时针旋转得到向量，则在上的投影向量的坐标是 ． 【答案】 【解析】由题意作图，由投影向量的定义在图中表示，根据一次函数与模长公式，可得答案. 由题意，过作，垂足为，作图如下： 由题意可知，， 为在上的投影向量， 则，， 设直线的函数解析式为，代入，解得， 则可设，则，解得， 所以. 故答案为：. 题型09：:向量数量积有关的其他应用 【典型例题1】已知向量，向量与向量的夹角为，则的最小值为（ ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【解析】由平面向量数量积的定义、平面向量数量积的运算性质结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 设，又，所以， 根据二次函数性质，所以当时，， 故选：B. 【典型例题2】已知向量，，，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】先求出的坐标，再利用模长公式，即可求出结果. 因为，， 所以， 因为， 所以，即， 解得 故选：A. 【典型例题3】已知向量满足，且，则（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【解析】由题意可得，，又，可得，可求. 因为，所以，所以，所以， 又因为，所以，又，所以， 所以，所以，所以. 故选：D. 【变式训练9-1】已知，，，则 . 【答案】/ 【解析】根据平面向量的线性运算，可求得，，再结合平面向量共线定理的坐标表示，即可求解. 由题意，，可得，， 又，所以，解得. 故答案为：. 【变式训练9-2】已知向量，，若，则 ． 【答案】 【解析】根据向量坐标运算求出的坐标，再利用向量垂直的性质列出方程，最后求解方程得到的值. 因为，，所以， 因为，所以，解得． 故答案为： 【变式训练9-3】设向量，，，若的最大值为5，则正实数m的值为 ． 【答案】 【解析】因，故用三角换元设，利用坐标计算，化简为三角函数求其最大值，得到关于的方程. 因，，则， ，设，， 则 ，其中， 因的最大值为5，则， 解得，则正实数m的值为. 故答案为：. 【变式训练9-4】设，则（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】利用向量模长的坐标表示以及垂直关系的向量表示，结合勾股定理计算即可. 由可得， 又可得， 在中，由勾股定理可得， 解得. 故选：C 【变式训练9-5】已知向量，则的最大值为 . 【答案】 【解析】首先表示出的坐标，再根据向量模的坐标表示、三角恒等变换公式及余弦函数的性质计算可得. 因为， 所以， 所以 ， 所以当，即时取得最大值，且. 故答案为： 【变式训练9-6】已知向量，，其中． (1)若，求角的大小； (2)若，求的值． 【答案】(1)或；(2) 【解析】（1）由，得，利用向量垂直坐标运算列式，进而解出的值即可； （2）由题意解出，进而弦化切得出，再根据角的范围解出即可. （1）由，得，所以，即， 因为，所以，所以或，解得或. （2）由题得，，化简得 即， 整理得， 因为，所以，齐次化后得， 即， 即， 解得 因为， 所以. 题型10：利用建系解决平面向量的数量积（几何类） 常见图形建立坐标系的方式及示例： 三角形 直角三角形 建系方式：以直角顶点为原点，两条直角边所在直线分别为轴和轴建立直角坐标系。 示例：在中，，以为原点，$CA$所在直线为轴，$CB$所在直线为轴。若，，则，。 等腰三角形 建系方式：将底边中点作为原点，底边所在直线为轴，底边上的高所在直线为轴。 示例：对于等腰，，，底边上的高。以$BC$中点为原点，$BC$所在直线为轴，$DA$所在直线为轴，则，，。 等边三角形 建系方式：以一边中点为原点，该边所在直线为轴，过中点且垂直于该边的直线为轴。 示例：设等边的边长为$2a$，以$BC$中点为原点，$BC$所在直线为轴，$OA$所在直线为轴。则，，。 四边形 矩形 建系方式：以矩形的一个顶点为原点，相邻的两边所在直线分别为轴和轴。 示例：矩形$ABCD$中，以为原点，$AB$所在直线为轴，$AD$所在直线为轴。若，，则，，。 正方形 建系方式：与矩形类似，以正方形的一个顶点为原点，相邻两边为坐标轴。 示例：正方形$ABCD$边长为，以为原点，$AB$、$AD$所在直线分别为、轴，则，，。也可将正方形中心作为原点，使坐标轴与正方形的边平行或垂直，此时，，，。 平行四边形 建系方式：若平行四边形有一个内角为直角或有一边与坐标轴平行等特殊情况，可根据其特点建系。一般可选取一边所在直线为轴，过一个顶点且垂直于该边的直线为轴。 示例：平行四边形ABCD中，轴，以为原点，$AB$所在直线为轴，过作AB的垂线为轴。若，到CD的距离为，，则，。 菱形 建系方式：以菱形的对角线交点为原点，两条对角线所在直线分别为轴和轴。 示例：菱形ABCD中，对角线，，以AC、BD交点为原点，AC所在直线为轴，BD所在直线为轴，则，，，。 圆 建系方式：以圆心为原点，以水平方向为轴，竖直方向为轴建立直角坐标系。 示例：圆的半径为，以圆心为原点建系。圆上一点的坐标可表示为，其中为$OP$与轴正半轴的夹角。 梯形 建系方式：对于梯形ABCD，若，可将AB所在直线作为轴，过点作$AB$的垂线作为轴。若梯形为等腰梯形，也可将两底中点连线所在直线作为轴，底所在直线为轴。 示例：在梯形ABCD中，，，，，高为。以为原点，AB所在直线为轴，过作$AB$的垂线为轴，则，，，。 【典型例题1】如图，在等腰梯形中，是线段上一点，且，动点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过点作，垂足为，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，利用，通过坐标运算和数量积的定义来求解最值. 过点作，垂足为， 以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 则， 其中， ， 当，即同向时，取最大值， 所以的最大值为. 故选：C. 【典型例题2】如下图，在梯形中，，，，，，则 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】根据平面向量数量积的计算公式和坐标表示求解即可. 因为梯形中，，，所以， 所以，解得. 以所在直线为轴，垂直于所在直线为轴建立如图所示坐标系， 由对称性不妨设点在点左侧，设，，， 则，，， 所以， 所以当时，取得最小值， 最小值为， 故答案为：； 【典型例题3】已知扇形半径为1，，弧上的点满足. (1)求的最大值； (2)求最小值. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）建立平面直角坐标系，设，，则，根据平面向量线性运算的坐标表示得到，再由辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； （2）利用坐标法表示出，再由三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得. （1）由题设，构建如下图示的直角坐标系，且， 设，，则， 所以，，， 由，得， 即，，解得， 所以， 所以当时，取得最大值，且. （2）由（1）可得，， 所以 ， 因为，所以当，即当时，取得最小值是. 【变式训练10-1】如图，已知中，，，是的中点，动点在以为直径的半圆弧上.则（ ） A． B．最小值为-2 C．在上的投影向量为 D．若的最大值为 【答案】ABD 【解析】由已知是的中点，易得，可判断A；根据投影向量的定义可判断C；以M为原点，直线AC为轴建立直角坐标系，设，则，写出各点坐标，表示各向量的坐标，用向量的坐标运算及三角恒等变形可判断C、D. 以M为原点，直线AC为轴建立直角坐标系（如图）， 设，则，在中，，，是的中点， 所以， ，则 ，，，， 所以，，， 对于A：因为是的中点，所以，故A正确； 对于B： 因为，所以，当时，取得最小值， 所以最小值为，故B正确； 对于C：在上的投影向量为，故C错误； 对于D：因为所以， 则，当时，取最大值.故D正确. 故选：ABD. 【变式训练10-2】窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．在正八边形中，若，则的值为 ；若正八边形的边长为2，是正八边形八条边上的动点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，由得到方程组，求出即可求得；设，则，令，则，移动直线，数形结合即可得答案. 正八边形的性质可知，以点为坐标原点， 分别以所在直线为轴，轴建立如图1所示的平面直角坐标系． 正八边形内角和为，则， 所以，， ， 因为，即 所以 解得所以． 设，则，则， 令，则，移动直线， 当直线运动到过线段时，取最小值，将代入，得； 当直线运动到过线段时，取最大值，点坐标代入，得． 所以的取值范围为． 故答案为：，. 【变式训练10-3】如图，梯形，且，，，则 ，E在线段上，则的最小值为 . 【答案】 / 【解析】取平面的一个基底，利用向量线性运算及数量积的运算律求出可得；作，以为原点建立平面直角坐标系，设，利用向量的坐标运算，结合二次函数求出最小值. 在梯形中，且，，则， 于是 ，则，又，所以； 作于，以为原点，正方向为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，， 令，则， ，， 因此， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：； 【点睛】方法点睛：求解平面几何中的平面向量数量积问题的常用方法有两种： ①利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题； ②建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解. 题型11：坐标法解决最值问题 【典型例题1】如图，在矩形中，，点为边上的任意一点（包含端点），为线段的中点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】构建合适的空间直角坐标系，应用坐标法求向量的数量积，结合相关函数的性质求数量积的范围. 以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则，，设， 所以，， 所以，又， 所以，即的取值范围是． 故答案为： 【典型例题2】已知圆的半径为，弦，为圆上一动点，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】以圆心为原点，过点且与直线的直线为轴，线段的垂直平分线所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的最大值. 以圆心为原点，过点且与直线的直线为轴， 线段的垂直平分线所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则、，设点， ，， 所以，，当且仅当时，取最大值. 故答案为：. 【典型例题3】已知平面向量不共线，且，，记与 的夹角是，则最大时，（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把表示为的函数，利用函数的性质求出当最大时的值，进而可求出的值. 设，则，， 所以.易得， ， 当时，取得最小值，取得最大值， 此时.故选C. 【典型例题4】已知向量满足 与的夹角为,,则的最大值为 . 【答案】 【解析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围. 设； 以OA所在直线为x,O为坐标原点建立平面直角坐标系, ∵ 与的夹角为, 则A（4,0）,B（2,2）,设C（x,y） ∵,∴x2+y2-6x-2y+9=0, 即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆, 表示点A,C的距离即圆上的点与点A（4,0）的距离； ∵圆心到B的距离为, ∴的最大值为． 【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键． 【典型例题5】已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______. 【答案】 【解析】，， ，,在时取得最小值, 解可得：,则夹角的取值范围 【变式训练11-1】在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且∠BAC=，，BC=1，P为BC中点．过点P作PQ⊥BC交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先建系，由三点共圆得点A的轨迹方程为，则，则，再由在方向上投影的几何意义可得解． 建立如图所示的平面直角坐标系，则B（-，0），C（，0），P（0，0）， 由可知，ABC三点在一个定圆上，且弦BC所对的圆周角为，所以圆心角为.圆心在BC的中垂线即轴上，且圆心到直线BC的距离为，即圆心为， 半径为. 所以点A的轨迹方程为：，则 ，则 ， 由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为|DP|=|x|， 则在方向上投影的最大值是，故选C． 【变式训练11-2】已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据，根据线性运算进行变换可求得；以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，利用坐标表示出，得到关于的二次函数，求得二次函数最小值即为结果. 由题意知：，设 以与交点为原点，为轴，为轴建立如下图所示的平面直角坐标系： ，，设 则， 当时，，本题正确选项： 【点睛】本题考查向量数量积的运算问题，涉及到利用定义的运算和数量积的坐标运算，解题关键是能够通过线性运算进行变换，通过数量积运算的定义求得夹角；再通过建立平面直角坐标系的方式，将问题转化为坐标运算，通过函数关系求解得到最值. 【变式训练11-3】已知是边长为的正三角形，为的外接圆的一条直径，为的边上的动点，则的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】 如图所示,以边所在直线为轴,以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系,因为该正三角形的边长为,,当点在边上时,设点,则 的最大值为;当点在边上时,因为直线的斜率为,所以直线的方程为:,设点,则, , 的最大值为;当点在边上时,因为直线的斜率为,所以直线的方程为:,设点,则的最大值为;综上,最大值为,故选A. 【变式训练11-4】已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图 三点共线， ∵是的重心， 解得， 结合图象可知 令 故 故 当且仅当等号成立，故选D 【变式训练11-5】.在矩形中， 动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A ∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=， 设点P的坐标为（cosθ+1， sinθ+2）， ∵， ∴（cosθ+1， sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， ∴cosθ+1=λ， sinθ+2=2μ， ∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2， ∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A 【变式训练11-6】已知正方形ABCD的边长为1，动点P满足，若，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解：以A为原点建立如图所示的直角坐标系： 则，，，，设， ,则由得，化简得：，又，，，，表示圆上的点到原点的距离得平方，其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方，即， 故选：C． 【变式训练11-7】已知是边长为2的正三角形，点为平面内一点，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 以点为坐标原点，所在直线为轴，过点与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，则、、 设因为所以点轨迹为 令则 则 由 得 故选 【变式训练11-8】如图所示，两个不共线向量的夹角为，分别为与的中点，点在直线上，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，设，则＝＝，所以，所以，则当时，取得最小值，故选B． 【变式训练11-9】如图，矩形中边的长为，边的长为，矩形位于第一象限，且顶点分别位于轴、轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，设， 则 因为 所以 则 所以的最大值为 所以选B 【变式训练11-10】已知△ABC中，．点P为BC边上的动点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】以BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得，设，运用向量的坐标表示，求得点A的轨迹，进而得到关于a的二次函数，可得最小值． 以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系， 可得，设， 由， 可得，即， 则 ， 当时，的最小值为．故选D． 【变式训练11-11】在中，，，点是所在平面内的一点，则当取得最小值时， 【答案】 【解析】【分析】由题意结合平面向量的定义可得，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算法则确定当取得最小值时点P的坐标，然后求解的值即可. ，， ，，以A为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系， 则，设， 则 ， 所以当x=2，y=1时取最小值， 此时.故选：B. 【变式训练11-12】已知非零向量满足，若函数在R 上存在极值，则和夹角的取值范围为 【答案】 【解析】设和的夹角为 ∵在上存在极值 ∴有两个不同的实根，即 ∵∴，即 ∵∴ 【变式训练11-13】正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、nR，则的最大值是________ 【答案】 【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），D（﹣1，1），P（，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2）， 又， 所以，则， 其几何意义为过点E（﹣3，﹣2）与点P（sinθ，cosθ）的直线的斜率， 设直线方程为y+2k（x+3），点P的轨迹方程为x2+y2＝1， 由直线与圆的位置关系有：， 解得：，即的最大值是1，故答案为：1 【变式训练11-14】已知向量，的夹角为，且，则的最小值为 【答案】 【解析】由题意可设,， 因此表示直线上一动点到定点距离的和,因为关于直线的对称点为，所以 题型12： 解答综合题 【典型例题】已知平面向量. (1)若，求的值； (2)若，求的值. (3)若与的夹角是钝角，求的取值范围. 【答案】(1)或3：；(2)1或；(3) 【解析】（1）利用即可； （2）利用得出值，再利用求模公式； （3）利用且不共线即可. （1）若，则. 整理得，解得或. 故的值为或3. （2）若，则有，即，解得或 当时，，则，得； 当时，，则，得. 综上，的值为1或. （3）因与的夹角是钝角，则，即，得， 又当与共线时，有，得，不合题意，则 综上，的取值范围为. 【变式训练12-1】在直角坐标系xOy中，已知点，，，点在三边围成的区域（含边界）上． (1)若，求； (2)设，用x，y表示． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用向量相等列方程即可求得，进而求得 （2）利用向量相等列方程即可求得，进而求得 （1），，， 则，， 则 则，解之得，经检验符合题意 则 （2），，， 则，， 由 可得，解之得 则 【变式训练12-2】在长方形中，，，、分别是线段、的中点，是长方形（含边界）内一点． (1)求； (2)求的值； (3)求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值； （2）利用平面向量数量积的坐标运算可求出，进而可求得的值； （3）设点，且，，利用平面向量数量积的坐标运算结合不等式的基本性质可得出的取值范围. （1）在长方形中，，， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、，所以，，， 所以，. （2）由平面向量数量积的坐标运算可得， 故. （3）设点，则，，则，， 所以，， 因为，，则，则， 所以，，即的取值范围是. 巩固提升 一、单选题 1.已知，，点P满足，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求出向量的坐标，进而求出点的坐标. 点，，则，于是， 所以点的坐标为. 故选：C 2.设向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由向量平行、垂直的坐标表示，及数量积、模长的坐标表示逐项判断. 对于A，由坐标易知不成立，错误； 对于B：，错误； 对于C：，正确， 对于D：，所以，错误， 故选：C 3.已知点，点是线段上的点，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用向量的坐标表示以及数乘运算解方程组可得结果. 设，则 由，解得， 即. 故选：A. 4.在平行四边形中，，点满足，点是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】用、作为基底表示出、，再由数量积的运算律及定义计算可得. 因为且点是的中点， 所以， 又， 所以 . 故选：B 5.如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点．若，，则的值为（   ）    A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】设，根据已知条件结合平面向量基本定理得出关于的方程组，求解得出的值，进而表示出，即可得出答案. 设，则由已知可得. 又 ， ， 所以联立得. 所以 ． 故选：D. 6.已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，，为线段上一点，为线段的中点，则的最小值为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【解析】依题意可得，从而转化为求的最小值，当时取得最小值，利用等面积法求出，即可得解, 因为，即为的中点，又，所以为的中点， 又正三角形的边长为，所以， 依题意，， 所以， 所以当时取得最小值， 如图，此时点在的位置，连接，则， 又，，所以， 所以， 所以. 故选：D      7.已知点Q是单位圆内接正十二边形边上的任意一点，设，则a的值可以为（    ） A．22.5 B．23.5 C．24.5 D．25.5 【答案】B 【解析】如图建立平面直角坐标系，表示出12个顶点的坐标，设，然后表示出，化简得，不妨设在上，表示出线段的方程，则表示出，利用二次函数的性质可求出其范围，从而可求出的范围，进而可求得答案. 如图建立平面直角坐标系，则， ， 设，则 ， ， ， ， 所以， 由正十二边形的对称性，不妨设在上， 因为，所以， 所以为，即， 所以， 因为对称轴为， 所以的最小值为， 最大值为， 所以， 所以， 即， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查向量的运算，考查二次函数的性质，解题的关键是建立平面直角坐标系，表示出各顶点的坐标，考查计算能力和数形结合的思想，属于较难题. 8.如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解析】根据平面向量共线定理求出，再由平面向量的线性运算和数量积的定义求解即可. 因为，分别为，的中点，所以，， 有，所以， 分别过作，则， 所以，在直角三角形中，易得， 设， 因为D，O，F三点共线，所以，即， 故， ， 故选：D. 9.已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（   ） A．－1 B． C． D． 【答案】C 【解析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果. ∵分别表示与方向的单位向量， ∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线， ∵，∴的平分线与垂直，故. 取的中点，连接，则， 由题意得，， ∴.    如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，故. 设，则，∴， ∴，， ∴， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 二、多选题 1.已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据数量积的坐标公式即可判断A；根据向量的模的坐标公式即可判断B；根据平面向量线性运算的坐标表示即可判断C；根据平面向量夹角的坐标公式即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：AC． 2.已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】由两个平面向量平行、垂直的坐标公式计算可分别判断A项、B项，由平面向量的模、数量积的坐标公式计算可分别判断C项、D项. 【详解】因为向量，， 若，则，所以，故A正确； 若，则，所以，故B正确； 若，解得，故C错误； 若，则，所以，故D正确； 故选：ABD. 3.已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．∥ B． C． D．与的夹角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】对于A：根据向量平行的坐标表示分析判断；对于B：根据向量垂直的坐标表示分析判断；对于D：根据模长的坐标表示分析判断；对于D：先求，进而可得向量夹角. 【详解】因为 对于选项A：因为，可知与不共线，故A错误； 对于选项B：因为，则， 所以，故B正确； 对于选项C：由，可得，故C正确； 对于选项D：因为， 所以，故D正确； 故选：BCD. 4.如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点满足，则下列说法正确的是（   ）    A．若，则 B．若，则为定值 C．若点在线段上，则为定值 D．若，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】建立如图所示平面直角坐标系，利用坐标法判断A、B，由及向量共线的坐标表示判断C，根据向量模的坐标表示得到，设，，利用辅助角公式计算D. 【详解】如图建立平面直角坐标系，则，，，，， 所以，，因为 所以，即； 对于A：若，则，所以，，所以，故A错误； 对于B：当时，，所以，又， 所以，故B正确； 对于C：因为，， 又点在线段上，所以，所以， 所以，故C正确； 对于D：若，又，所以，即， 设，， 所以，其中为锐角且， 所以当时取得最大值，且最大值为，故D正确. 故选：BCD    5.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（    ）    A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．若P在线段BC上，且，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】易得及的大小关系，即可判断A；易得当取得最小值时，点在上时，进而可判断B；根据数量积的几何意义可得当点在边上时，取得最大值，即可判断C；设，再根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理即可判断D. 【详解】对于A，由正八边形的结构特征可知：， 则，所以， 所以，故A正确； 对于B，由正八边形的结构特征可知， 当点在边上时（不包含两点）， 的夹角为锐角，此时， 当点在上时，设，则 则， 当时，取得最小值， 综上所述，的最小值为，故B正确； 对于C，由题意可知，当点在边上时， 在方向上的投影最大， 最大值为， 根据数量积的几何意义可得的最大值为，故C错误； 对于D，设， 则 ， 所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 6.已知向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若取得最大值，则 D．若，则在上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】A选项，由向量垂直数量积为0建立等式，解得的值；B选项，由向量平行坐标交叉相乘相等建立等式，求得的值；C选项，列出，由三角函数得到最大值点，即求得的值；D选项，将的值代入，由投影向量的公式即可求得结果. 【详解】对于A，若，则，则，解得，所以A正确； 对于B，若，则，所以，解得，所以B正确； 对于C，， 当，即时，取最大值，所以C错误； 对于D，若，则，所以在上的投影向量为，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题 1．在梯形中，已知，点分别在线段和上，则的最大值为 ． 【答案】3 【分析】 先建立平面直角坐标系，通过写出的坐标表示，再进行运算，最后根据取值范围得到最大值. 【解析】 如图建系，，所以，    设，则， 令， 则， 所以 当时取到等号. 故答案为：3 2．对集合，其中，定义向量集合，若对任意，存在，使得，则 . 【答案】5或 【分析】取,则存在使得，由此可以推出，继续取，则存在使得，由此可得，则，或，则，分类讨论即可求解. 【解析】取，则存在使得，从而可得，即， 所以一定是一正一负（因为0不属于集合），不妨令，则， 所以，所以， 取，则存在使得，从而可得， 若，则矛盾，故不可能同时大于0， 若，则矛盾，故不可能同时小于0， 所以必定有一正一负， 所以有：，则，或，则， 情况一：当，时，， 从而，或（舍去，集合元素间互异），或，即（舍去，与矛盾）， 此时（这里不考虑具体与的对应关系，因为由加法交换律可知，两个加数交换位置不影响结果）， 情况一：当，，， 从而，即（舍去，集合元素间互异），或（舍去，集合元素间互异），或，即， 此时（这里不考虑具体与的对应关系，因为由加法交换律可知，两个加数交换位置不影响结果）， 综上所述，或. 故答案为：5或. 【点睛】关键点点睛：关键在于得到，且，其中满足：，，或，，由此即可顺利得解. 3.已知三点共线，则P的值为 ． 【答案】2 【分析】得到后借助向量共线计算即可得出结果. 【详解】∵， ∴ ∵，∴，解得：. 故答案为：2 4.已知向量.若与共线，则实数的值为 . 【答案】 【分析】利用向量共线的坐标关系式求解即可. 【详解】因为； 所以，， 由于与共线，则， 解得. 故答案为： 5.在中，，，若为钝角或直角，点满足且，则的最小值为 【答案】/ 【分析】利用向量的坐标运算，来计算数量积，向量的加法与数乘，通过计算得到的等式转化为关于的函数，再利用对勾函数来求值域即可. 【详解】当为钝角或直角时，，且与不共线， ，由，可得， 解得， 若与共线，则，即， 所以的取值范围是2， 由题意可得，，， ， 由，可得， 展开式子:， 整理得， 进一步得到， 所以， 设，对其求导， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以， 此时，则 所以， 综上，的最小值为. 故答案为： 6.在平行四边形中，为边上的动点，为外接圆的圆心，，且，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据可知为的中点，结合圆的性质可知为直角三角形，故.由可求出线段的长，根据为边上的动点及平面向量共线定理可设，，然后以，为基底去计算的值即可求解. 【详解】 由可知为的中点. 又因为为外接圆的圆心，所以，所以为直角三角形， 所以，即，所以. 又，所以，所以. 又因为为边上的动点，所以，. 所以， 因为，所以，所以，所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题的解题关键是：根据可知为的中点，结合圆的性质可知为直角三角形，故.由，所以.根据为边上的动点及平面向量共线定理可设，，然后以，为基底去计算的值即可求解. 四、解答题 1.已知，. (1)求证：，不共线： (2)若，求实数m，n的值； (3)若与平行，求实数k的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用坐标关系即可求解； （2）计算向量坐标使和坐标相等； （3）计算与的坐标，再利用向量平行的坐标运算. 【详解】（1），，由于，故，不共线， （2） 则，解得. （3）， 与平行，则，得. 2.已知向量，． (1)求； (2)若向量，且，求m的值； (3)求与垂直的单位向量的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示求出，再利用坐标求出向量的模. （2）利用向量线性运算的坐标表示及向量共线的坐标表示求出值. （3）求出的坐标，再利用向量垂直的坐标表示求出一个向量，结合单位向量的意义求得答案. 【详解】（1）由向量，，得， 所以. （2）向量，则， 由，得，解得， 所以m的值为. （3），设与垂直的向量， 则，取，得，则， 与向量共线的单位向量为， 所以与垂直的单位向量的坐标或. 3.已知向量． (1)求； (2)若与平行，求实数的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，结合向量的模的坐标运算公式，即可求解； （2）根据题意，求得且，根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】（1）由向量，可得， 所以. （2）由向量， 可得且， 因为与平行，可得， 所以，解得. 4.已知平面向量，其中是夹角为的单位向量． (1)当，求与夹角的余弦值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）根据向量夹角公式即可求得答案； （2）若与的夹角为钝角，则且不共线，即可解得的取值范围． 【详解】（1）由已知，是夹角为的单位向量， 所以， 又，则， 所以， 又， 所以． （2）若与的夹角为钝角，则且不共线， 所以，且， 所以，且， 所以且． 5.已知向量，. (1)求； (2)已知，且，求向量与向量的夹角. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用向量减法的坐标表示求出，再借助坐标计算向量的模； （2）利用向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再结合已知向量的模求出夹角. 【详解】（1）由题知，，， 所以， 所以. （2）由题知，，， 设向量与向量的夹角为， 所以，即， 解得，因为，所以 所以向量与向量的夹角为. 6.如图所示，在中，为边上一点.过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）.    (1)若，若，，求的值. (2)若，，是线段上任意一点，求最大值. 【答案】(1)3 (2)2 【分析】（1）向量的线性表示，利用三角形法则及题所给条件即可得转化用，表示，根据三点共线找出等量关系即可求解； （2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）在中，由，又， 所以， 所以 ， 因为， 又，， 所以，， 所以， 又三点共线，且在线外， 所以有：，即. （2）由于，故是的中点，故， ， 当且仅当时取等号，故最大值为2. 7.如图，点分别是正方形的边、上两点，，，记点为的外心. (1)若，，，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，若，求的最大值. 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据向量数量积的坐标运算求得的值. （2）设，求得关于的表达式，进而求得的取值范围. （3）设，，将表示为关于的表达式，求得的取值范围，进而求得的最大值. 【解析】（1）以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系.，， 所以. （2）设，， 则，. ， 由于，根据对勾函数的性质可知. （3）； . 设，，则这两个式子为， 化简得 解得 所以， 设，， 令， 所以由对勾函数的性质得， 所以当时，即点与点重合时，取到最大值. 【点睛】求解平面向量数量积有关问题，有两个求解思路，一个是利用平面向量的基本定理，通过转化的方法来求得数量积；另一个思路是根据图形的特征，通过建立平面直角坐标系，利用坐标法来进行求解. 8.在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为． (1)已知，，求； (2)①已知，的夹角为和，的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，，且，若，求． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据“相离度”的定义代入相应值进行计算. （2）首先证明①，可得，根据，等价于即可证明； ②由左右同时平方可求得，由题知为的重心，然后以、为基底表示出、，进而求出，再代即可得解. 【解析】（1）． （2）①因为 ， 且，，则， 所以． 若，等价于，即， 所以的充分必要条件是； ②因， 则， 可得， 即，可得， 又因为，可知点为的重心，则， 可得，， 则， ， ， 可得， 所以． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 平面向量基本定理与坐标运算 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 12 题型归纳 12 平面向量基本定理 12 题型01：平面向量基本定理及其应用 12 题型02：基底的概念 19 题型03：向量的正交分解 20 题型04：向量的坐标 21 向量的线性运算坐标表示 21 题型01：平面向量加法运算的坐标表示 21 题型02：平面向量减法运算的坐标表示 22 题型03：向量的数乘运算 23 题型04：平面向量的线性运算的坐标表示 23 题型05：根据线性运算的结果求参数 27 题型06：线段定比分点 28 题型07：由向量坐标判断向量是否平行 32 题型08：由向量平行求参数 33 题型09：三点共线向量法求参 37 题型10：平行与三角函数恒等变形 39 题型11：向量的模 40 向量的数量积 41 题型01：数量积的坐标运算 41 题型02：坐标运算求向量夹角 45 题型03：向量数量积与夹角的坐标表示 47 题型04：数量积：求模型 54 题型05：复合型夹角计算型 54 题型06: 向量模的坐标运算 56 题型07：向量垂直的坐标表示 57 题型08：投影向量的坐标表示 58 题型09：向量数量积有关的其他应用 60 题型10：利用建系解决平面向量的数量积（几何类） 62 题型11：坐标法解决最值问题 68 题型12：解答综合题 72 巩固提升 74 平面向量基本概念是高考数学的基础必考点，常以基础客观题为主，侧重概念辨析与简单应用，同时也是向量综合问题的解题前提，以下从考情、考点、命题规律及备考建议展开分析。 一、考情概况 1. 考查形式与分值：多以选择题、填空题出现，题号靠前，难度多为基础或中档，全国卷单题分值通常为5分，极少单独出解答题，常与线性运算、坐标表示等结合考查。 2. 核心素养：重点考查直观想象、数学运算、逻辑推理素养，强调向量“数”与“形”的双重属性，凸显数形结合、转化与化归思想的应用。 二、命题规律与趋势 1. 基础概念辨析：高频考查零向量、共线向量、单位向量等概念的正误判断，常设置易混淆选项，如将共线向量等同于相等向量、忽略零向量的特殊性等，需精准理解概念本质。 2. 结合线性运算：与向量加法、减法、数乘运算结合，考查向量的几何表示与线性表示，如用基底表示未知向量，或结合三角形、平行四边形考查向量关系。 3. 渗透综合应用：作为工具与平面几何、解析几何、三角函数等知识结合，如在解析几何中利用向量共线判断直线位置关系，此类题型难度中等，侧重知识迁移能力。 4. 命题趋势：近年命题更注重基础，强调概念的本质理解，减少复杂运算，同时逐步增加与生活实际、其他数学模块的关联，突出向量的工具性作用。 三．备考策略 1.夯实概念基础：通过对比辨析明确易混概念，结合图形强化直观理解； 2.强化基础题型训练：针对概念辨析题、简单线性表示题专项练习，提升解题速度与准确率； 3.注重思想应用：熟练运用数形结合思想，将向量问题转化为几何或代数问题，同时加强与其他模块的综合训练，提升知识融合能力。 平面向量基本定理与坐标运算学习目标 1. 知识目标：理解平面向量基本定理的内涵（不共线基底可表示任意向量，且分解唯一），熟记向量坐标的定义及线性运算、模、数量积、夹角的坐标公式，掌握向量共线、垂直的坐标条件。 2. 能力目标：能熟练选择合适基底分解向量，会建立坐标系将几何问题转化为坐标运算，能利用定理与坐标公式解决参数求解、关系判断等问题，提升数形结合与转化能力。 3. 素养目标：通过向量“几何形式→代数形式”的转化，培养逻辑推理、数学运算、直观想象核心素养，体会向量作为“桥梁”的工具价值，为后续解析几何、空间向量学习奠定基础。 一．平面向量基本定理和性质 1：共线向量基本定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa． （1）共线向量定理的理解：定理中限定了a≠0，这是因为如果a＝0，则λa＝0，当b≠0时，定理中的λ不存在；当b＝0时，定理中的λ不唯一．因此限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性． 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． （2）共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关). 说明：①平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； ②共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 2·平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 注意： (1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一； (3)如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到 (4)平面向量基本定理表示向量的实质是向量的加、减或数乘运算． (5) 平面向量基本定理应用思路：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 推论1：若，则． 推论2：若，则． 应用平面向量基本定理的关键点 （1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量． （2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来． （3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等． 二．线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B １、定比分点的概念：设点是直线上异于的任意一点，若存在一个实数 ，使，则叫做点分有向线段 所成的比，点叫做有向线段的以定比为的定比分点； ２、的符号与分点的位置之间的关系： 当点在线段上时；当点在线段的延长线上时　； 当点在线段的延长线上时； 当分有向线段所成的比为，则点分有向线段所成的比为。 ３、线段的定比分点公式：设、，分有向线段所成的比为，则， ⅰ、当时，就得到线段的中点公式。在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。 ⅱ、若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则， 特别地为的中点； 三．三点共线定理(等和线) 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 向量共线（平行）的坐标表示 1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为（），然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量． 2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若，，则的充要条件是”解题比较方便． 3．三点共线问题．A，B，C三点共线等价于与共线． 4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解． 四：平面向量的坐标运算 运算 坐标表示 和(差) 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘 已知a＝(x1，y1)，则λa＝(λx1，λy1)，其中λ是实数 向量的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) （一）向量的坐标 设，，则 =，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． ||＝． ， （二）向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设，，则 ， ，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． |a|＝． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （三）平面向量共线的坐标表示 1·共线向量定理应关注的两点 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0. 当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例 (2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定． 2．两个结论 (1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为. (2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 3．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线． 知识拓展 1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0． 2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为． 3．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为． 4．A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0，或(x2－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)，或(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)·(y3－y1)． (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②已知b≠0，则a∥b的充要条件是a＝λb(λ∈R)． (2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均为非零实数时，也可以利用坐标对应成比例来求解． 五．平面向量的数量积 1．向量的夹角 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角 0°≤≤180° θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b， θ＝90°⇔a⊥b (1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角． (2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°. (3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直． 求向量的夹角，有两种方法： (1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ＝求得． (2)公式法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π]． 2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 由图可知，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们的方向即有肯能相同，也有可能相反. 如图（1），当时，的方向与的方向相同，而且； 如图（2），当时，为零向量，即 如图（3），当时，的方向与的方向相同，而且 一般地，如果，都是非零向量，则称为向量在向量上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.因为==，所以两个非零向量，的数量积，等于在向量上的投影的数量与的模的乘积.这就是两个向量数量积的几何意义. 注意 1.平面向量数量积运算的常用公式： (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2) (a±b)2＝a2±2a·b＋b2． ②|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2) 2．有关向量夹角的两个结论： (1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立(因为a与b夹角为0时不成立)． (2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立(因为a与b夹角为π时不成立)． 3.求非零向量a，b的数量积的常见方法 直接法 若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算 几何法 根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解 坐标法 若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解 投影法 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 极化恒等式 3、解决向量投影问题应注意以下3点 （1）、向量在方向上的投影向量为（其中为与同向的单位向量），它是一个向量且与共线，其方向由与的夹角的余弦决定； （2）、向量在方向上的投影向量为； （3）、注意：在方向上的投影向量与在方向上的投影向量不同，即在方向上的投影向量可以表示为 4、求向量的模或其范围的方法 （1）、定义法：，； （2）、坐标法：设，则； （3）、几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解。 【注意】（1）形如的向量的模，可通过平方转化为数量的运算； （2）用定义法或坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个变量的函数，再利用函数的有关知识求解；用几何法求模的范围时，注意数形结合思想，常用三角不等式进行最值求解。 5．向量数量积的运算律 交换律 a·b＝b·a 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 数乘结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 （1） （2）当是实数时， 分配律 （1） （2） （3） （4） （5） 6．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 注：①只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是与的夹角，∠BAD才是与的夹角． ②零向量与任意向量的数量积为0. ③投影和两向量的数量积都是数量 ④实数运算满足消去律：若ab＝ca，a≠0，则b＝c．而在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，不能推出b＝c．即向量的数量积运算不满足消去律． ⑤向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c 不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线． 7．数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 8．平面向量数量积的类型及求法： （1）平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式；二是坐标公式． （2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简． 9.平面向量数量积主要有两个应用： （1）求夹角的大小：若，为非零向量，则由平面向量的数量积公式得（夹角公式），所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题． （2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角． 向量垂直问题 (1)当向量a与b是坐标形式时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示，且不共线的向量要知道其模与夹角，进行运算证明a·b＝0. (3)数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b. 知识五．平面向量的坐标表示及坐标运算 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． 2·数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 （当且仅当时等号成立） 平面向量的垂直问题，有两个类型： (1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． (2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． 六．平面向量常见建立坐标系方法 边长为的等边三角形 正方形 已知夹角的任意三角形 矩形 直角梯形 平行四边形 等腰梯形 圆 利用共线向量定理解题的策略 (1) 若非零向量、的方向相同或相反，则，又叫共线向量；a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用． 规定与任一向量平行. 向量平行无传递性，即，不能推出(可能为). (2) 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A，B，C三点共线⇔，共线．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔，共线． (3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. (4)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. (5)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 注意：共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同. 平面向量基本定理 题型01：平面向量基本定理及其应用 【典型例题1】在中，D为边上的一个三等分点，靠近，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】应用向量对应线段的位置、数量关系，用、表示出，即可得. 由题设. 故选：C 【典型例题2】（多选）如图，点、、分别为的边、、的中点，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】利用平面向量的线性运算逐项判断即可. 在中，，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D不正确． 故选：ABC． 【典型例题3】在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（   ）. A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】先选择两条不共线的向量作基底，再进行向量的线性运算，最后利用平面向量基本定理来求解即可． 由图可知：，， 因为，所以， 整理得：， 根据平面向量基本定理可得：，解得， 所以， 故选：A． 【典型例题4】在中，，，的平分线交于点．若，则 ． 【答案】 【解析】由题意在中，，再由三角形的角平分线定理可得：，最后由分点恒等式将用，表示出来，从而求出和即可 因为在中，，，所以， 又因为的平分线交于点， 所以在中，由正弦定理可得：， 同理在中， 因为，， 所以， 则， 所以，，则 故答案为： 【典型例题5】已知 三点共线于直线，对直线外任意一点，都有，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】先由A、B、C三点共线，得到，利用基本不等式“1”的妙用求最值. 由题意，A、B、C三点共线 所以存在实数λ使得，即， 所以 而 所以 则， 所以 当且仅当,即时取等号． 因此的最小值为． 故答案为：． 【变式训练1-1】在中，在上且，设，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】在△ABC中，边BC上的中线为AD，点O满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】如图，在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-5】如图，在平行四边形中，，为的中点，为上的一点，且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-6】如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形的边长为1，则（  ）. A．0 B． C． D． 【变式训练1-7】设O为等腰内切圆的圆心，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-8】已知平面上不共线的三点，点在该平面上且不与重合.若动点满足，则点一定落在的（    ） A．某一边上的高所在直线上 B．某一边上的中线所在直线上 C．某一内角的角平分线所在直线上 D．某一边上的中垂线所在直线上 【变式训练1-9】如图，在平行四边形中，点在边上，点在边上，且与相交于点，若，则实数 . 【变式训练1-10】中，，，，是边上的中线，，分别为线段，上的动点，交于点.若面积为面积的一半，则的最小值为 【变式训练1-11】如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，，，. (1)用表示，，； (2)求证：B，E，F三点共线. 【变式训练1-12】矩形中，，，动点满足，，则下列说法中正确的是 . ①若，则的面积为定值            ②若，则的最小值为4     ③若，则满足的点不存在    ④若，，则的面积为 【变式训练1-13】如图，中，，，CD与BE交于F，设，，，则为 ． 【变式训练1-14】如图，三角形ABC中，，D是线段BC上一点，且，F为线段AB的中点，AD交CF于点M，若，则 . 【变式训练1-15】如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则 . 【变式训练1-16】“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围为 . 【变式训练1-17】如图，在中，，．点D在边BC上，且． (1)，，求； (2)，AD恰为BC边上的高，求角A； (3)，求t的取值范围． 题型02：基底的概念 【典型例题】若是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. A选项，，所以共线，不能作为基底. B选项，，所以共线，不能作为基底. C选项，，所以共线，不能作为基底. D选项，易知不共线，可以作为基底. 故选：D 【变式训练2-1】已知、是同一平面内的两个不共线向量，则下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式训练2-2】在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练2-3】下列各组向量中，能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型03： 向量的正交分解 【典型例题】如果用分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先根据向量的坐标表示求出，再根据正交分解即可得解. 因为，所以， 所以. 故选：C. 【变式训练3-1】向量的正交分解：向量能表示成两个相互 的向量，，的线性组合，即，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解.把有序实数对叫做向量的坐标，记为 . 【变式训练3-2】平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是 ． 题型04： 向量的坐标 【典型例题】已知向量，点的坐标是，则点的坐标是 ． 【答案】 【解析】设点坐标为，表示出，即可求出. 设点坐标为，点的坐标是， ， 即，， 解得：，， 故点的坐标. 故答案为：. 【变式训练4-1】若向量的起点的坐标为，且，则终点的坐标为 . 【变式训练4-2】向量的坐标表示为 ；坐标为的向量，用正交分解表示为 . 【变式训练4-3】在平面直角坐标系中，向量，的方向如图所示，且，，则 ， . 向量的线性运算坐标表示 题型01：平面向量加法运算的坐标表示 【典型例题】已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用平面向量的坐标运算即可得解. 因为，， 所以. 故选：D. 【变式训练1-1】若向量，，则向量的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】若，求 【变式训练1-3】已知点，向量，则向量 A． B． C． D． 【变式训练1-4】已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 题型02：平面向量减法运算的坐标表示 【典型例题】已知向量，满足，，则 . 【答案】 【解析】首先计算出，，再进行线性运算即可. 因为，， 两式相加得，即， 所以， 故答案为：. 【变式训练2-1】已知向量，则 ． 【变式训练2-2】已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】已知，则 . 【变式训练2-4】若，，则与向量同向的单位向量是 . 题型03： 向量的数乘运算 【典型例题】已知点A（1,1,-4），B（2,-4,2），C为线段AB上的一点，且＝，则C点坐标为 ． 【答案】 【解析】设C（x，y，z），由已知条件，可推得，，再结合向量的相等性准则，即可求解． 设C， A（1,1,-4），B（2,-4,2）， ， ， ，解得， C点坐标为. 故答案为：. 【变式训练3-1】已知点，，若点满足，则点的坐标为 ． 题型04：平面向量的线性运算的坐标表示 【典型例题1】如图，在正方形网格中，向量，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为轴，为轴建立坐标系，求出各点坐标即可判断选项． 以为轴，为轴建立坐标系，则，． ，，，． ． 令．得到，，，． 解得，．所以． 故选：． 【典型例题2】已知点，将绕坐标原点逆时针方向旋转至，再将延长至，使，则点的坐标为 . 【答案】 【解析】由三角函数的定义和三角恒等变换结合向量的坐标表示计算即可. 设的终边对应的角为， ， 则的终边对应的角为， ， ， ， ， 故答案为：. 【典型例题3】如图所示，是正六边形的外接圆，若点是上的动点，设，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】建立平面直角坐标系，设，写出相关向量得到方程组，解出，则得到的表达式，求出其最值即可. 如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，不失一般性可假设正六边形边长为2， 则，，设， 则， 因为，即， 即， 则，解得， 则，因为，则 故答案为：. 【变式训练4-1】如图所示，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知向量，，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】已知向量，若，则=（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-4】已知点，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-5】如图，向量，，若，，，为线段AB的5等分点，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-6】已知平面上三点A、B、C的坐标分别是、、，P为直线AC上的一动点，问：P在什么位置时，取到最小值？ 【变式训练4-7】已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值． 【变式训练4-8】将所有平面向量组成的集合记作．如果对于向量，存在唯一的向量与之对应，其中坐标由确定，则把这种对应关系记为或者，简记为．例如就是一种对应关系．若在的条件下有最大值，则称此最大值为对应关系的模，并把的模记作；若存在非零向量及实数使得，则称为的一个特征值． (1)如果，求； (2)如果，计算的特征值，并求相应的； (3)若，要使有唯一的特征值，实数应满足什么条件？试找出一个对应关系，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②，并验证满足这两个条件． 【变式训练4-9】个有次序的实数，，，所组成的有序数组，，，称为一个维向量，其中，2，，称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，，，称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且． (1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量． (2)证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量． (3)已知个两两垂直的2024维信号向量，，，满足它们的前个分量都是相同的，求证：． 题型05：根据线性运算的结果求参数 【典型例题】过，的直线与x轴交于点P，设，则 【答案】 【解析】首先设，再根据向量相等，转化为方程组，即可求解. 设，则，， 则，得，， 故答案为： 【变式训练5-1】已知向量满足，，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 【变式训练5-2】我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若E为AF的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式训练5-3】在正六边形ABCDEF中，直线ED上的点M满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式训练5-4】如图，在矩形中，为上一点，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式训练5-5】已知向量，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型06：线段定比分点 定比分点的定义 设点是直线上异于、的任意一点，若存在一个实数，使，则叫做点分有向线段所成的比，点叫做有向线段的以定比为的定比分点。 定比分点的坐标公式推导 设，，点分有向线段所成的比为，即。 因为，，所以。 根据向量相等的坐标表示可得。 解第一个方程： 同理，解第二个方程可得。 特殊情况 中点坐标公式：当时，点为线段的中点，此时中点的坐标为。 内分点与外分点：当时，点在线段上，称为内分点；当且时，点在线段或的延长线上，称为外分点。 【典型例题1】在中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】假设，根据，可得为重心，根据重心的坐标表示，可得结果. 由题意知：是的重心，设， 则有解得 故. 故选：C 【点睛】本题考查三角形的重心公式，属基础题. 【典型例题2】在平面直角坐标系中，为坐标原点，，点在直线上，且，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由点在直线上，且，可推出点在线段上或延长线上，转化成向量相等，再利用坐标求解 设，由题意得，且点在直线上，故可得以下两种情况： ①，此时有，可得，解得. ②，此时有，可得，解得. 综上所述，点的坐标为或. 故选：AB 【典型例题3】已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能. 因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 【典型例题4】已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能. 因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 【典型例题5】已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得，可得，即求． 点在线段的延长线上，且， ，即, 所以． 所以点P的坐标为. 故选：D. 【典型例题6】已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为 . 【答案】 【解析】由题 可得，可得，即求． 点在线段的延长线上，且， ， ,,,． 所以点P的坐标为. 故答案为：. 【变式训练6-1】已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【变式训练6-2】已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】已知，，点P在直线AB上，且，求点P的坐标（ ） A． B． C． D． 【变式训练6-4】已知，，若点分所成的比为，则 ， . 【变式训练6-5】已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为 . 【变式训练6-6】已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标． 【变式训练6-7】如图，已知A（－2，1），B（1，3）． (1)求线段AB的中点M的坐标； (2)若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标． 题型07： 由向量坐标判断向量是否平行 【典型例题1】若向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由向量的概念，平行、垂直的坐标表示逐个判断即可. 对于A，B显然错误； 对于C：易知，两向量平行，故正确， 对于D：因为，故两向量不垂直，所以D错误， 故选：C 【典型例题2】已知、、三点的坐标分别为、、，判断向量与是否共线． 【答案】共线，理由见解析 【解析】求出向量与的坐标，利用共线向量的坐标表示可得出结论. 解：已知、、， 所以，，，则，所以，向量与共线. 【变式训练7-1】已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与反向 D．、可作一组基底 【变式训练7-2】已知向量，则下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】下列条件能使的是（    ） A． B． C． D．， 【变式训练7-4】已知向量，，那么与共线的一个向量是（    ） A．（6，4） B．（4，6） C．（0，4） D．（1，6） 【变式训练7-5】设，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 题型08：由向量平行求参数 【典型例题1】已知向量，，，若，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】根据平面向量坐标运算和向量共线的坐标表示即可得到方程，解出即可. 由，，，得，， 又，所以，解得. 故选：A. 【典型例题2】已知平面向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由平面向量共线的坐标表示及充分条件，必要条件的定义即可得到答案. 若，则有，解得或， 所以“”是“”的不充分条件； 若，则，，所以， 所以“”是“”的必要条件， 综上，”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 【典型例题3】已知，，若，则的值为（    ） A． B．7 C． D．以上结果都不对 【答案】B 【解析】首先根据向量平行，求，再根据指数运算公式，以及对数运算公式化简求值. ，，解得：， ， ，所以.故选：B 【点睛】本题考查指对运算，换底公式，重点考查转化，变形，计算能力，属于中档题型 【典型例题4】已知向量 ，若与共线且同向，则实数λ的值为（    ） A．2 B．4 C． D．或4 【答案】C 【解析】通过向量共线且同向，即可求出实数的值并检验即可得解. 因为，，且与共线且同向， 所以，解得或， 当时，，则，满足题意； 当时，，则，不满足题意； 综上，. 故选：C． 【典型例题5】已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据向量坐标运算法则求，结合向量平行坐标表示列方程可得，化简求，再结合二倍角正切公式求结论. 因为，， 所以，又，， 所以， 若，则，与矛盾，故， 所以， 所以， 故选：D. 【变式训练8-1】，，，则实数（    ） A． B．3 C． D．-3 【变式训练8-2】已知向量，则下列向量中与平行的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】已知向量，且，则实数m的值（    ） A． B．1 C． D． 【变式训练8-4】已知向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-5】已知向量，，，则“”是“ ”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式训练8-6】若向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练8-7】已知向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-8】已知，，，，若存在非零实数使得，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【变式训练8-9】已知向量，，若存在，使得与的方向相反，则实数t的取值范围是 ． 【变式训练8-10】下列各组向量是平行向量的有 ．(填序号) ①；②； ③；       ④. 【变式训练8-11】已知，，若，则 ． 【变式训练8-12】已知向量，，向量，，若，则实数 . 题型09：三点共线向量法求参 1.用向量法求三点共线，则任何两点所对应的向量都互相平行。 2.共线第二定理：若A、B、C三点共线⇔＝x＋y且x＋y＝1． 【典型例题1】已知A，B，C是三角形的三个顶点，且向量，则实数m满足的条件为 . 【答案】 【解析】因A，B，C是三角形的三个顶点，则不与共线，据此可得答案. 由题，可得，. 因A，B，C是三角形的三个顶点，则不与共线，则. 故答案为：. 【典型例题2】已知向量，，，若B，C，D三点共线，则（    ） A．－16 B．16 C． D． 【答案】A 【解析】先求出和，根据B，C，D三点共线得到，进而列出方程求解. 由题意得，， 因为B，C，D三点共线，所以， 则，得.故选：A. 【典型例题3】已知，且三点共线.则（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【解析】根据向量共线的坐标表示，计算即可. 因为三点共线，所以与共线，则有，解得. 故选：A. 【典型例题4】．过，的直线与x轴交于点P，设，则 【答案】 【解析】首先设，再根据向量相等，转化为方程组，即可求解. 设，则，， 则，得，， 故答案为： 【典型例题5】已知，，，且，则 ． 【答案】 【解析】根据，可得向量坐标的对应关系，即，即可求解. 由题，，即，解得，， 所以. 故答案为： 【典型例题6】设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则 . 【答案】/ 【解析】根据平面的基的概念，判断，利用向量共线的坐标公式计算即得. 由题意可知，，，， 则，解得. 故答案为：. 【变式训练9-1】设，为平面内一个基底，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】已知，，，且相异三点、、共线，则实数 . 【变式训练9-3】设O是坐标原点，已知=(k，12)，=(10，k)，=(4，5)，若A，B，C三点共线，则实数k的值为 . 【变式训练9-4】已知向量，，.若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-5】已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式训练9-6】已知，，，若，，三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 【变式训练9-7】已知向量，，，且，则 . 【变式训练9-8】若三点不能构成三角形，则 . 【变式训练9-9】设，，，其中，，为坐标原点，若，，三点共线，则 ，的最小值为 . 题型10：平行与三角函数恒等变形 【典型例题1】的三内角，，所对边长分别是，，，设向量，，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据，得到，再由正弦定理整理得到 ，然后由余弦定理求解. 设向量，， 因为， 所以， 由正弦定理得：， 即， 由余弦定理得， 因为，所以故选：B 【典型例题2】已知，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先利用以及倍角公式求出，进而根据可得，再代入计算即可. ，，， , 解得或，又，则，， 故选：B. 【变式训练10-1】已知△ABC的三边分别是a，b，c，设向量＝(sinB－sinA，a＋c)，＝(sinC，a＋b)，且∥，则B的大小是（ ） A． B． C． D． 【变式训练10-2】已知向量，，若与共线，则的值为 A． B． C． D． 【变式训练10-3】已知中内角的对边分别为，向量，，为锐角且∥，．若，则的周长为 ． 题型11：向量的模 【典型例题1】已知，则 ． 【答案】 【解析】写出坐标，由坐标得到. ，∴. 故答案为： 【典型例题2】设点，若点P在直线上，且，则点的坐标为 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】将向量模长关系改写成向量共线的形式，注意分类计算坐标. ，点在直线上，且，或，故或，故点坐标为或， 故选：C. 【点睛】本题考查根据向量共线求解点的坐标问题，难度较易.共线三点间的模长倍数关系可以转化为共线向量的形式，注意方向问题. 【典型例题3】已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【解析】求出的坐标，除以，再考虑方向可得． 由得，即，， ， ， ， 与同向的单位向量为，反向的单位向量为． 故选：C． 【变式训练11-1】已知向量，，若，则 . 【变式训练11-2】已知向量，则取得最小值时的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-3】线段的端点为、，直线上的点，使，则 ． 向量的数量积 题型01： 数量积的坐标运算 【典型例题1】已知向量，，则 ． 【答案】 【解析】利用向量数量积的坐标运算求解即可. 由，可得. 故答案为：. 【典型例题2】已知点，，为坐标原点，向量，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点坐标，然后得到向量坐标，由得到方程组，求出点坐标，即可得到. 设，则，， ∵，∴，解得，即， ∴. 故选：A. 【典型例题3】已知向量，，，则（   ） A．6 B．4 C．-6 D．-4 【答案】C 【解析】由向量的线性运算与数量积的坐标表示，可得答案. 因为，，，所以，， 则． 故选：C. 【典型例题4】设，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】利用向量数量积的坐标公式，结合同角的三角函数关系式，通过换元，将其化简为二次函数，根据二次函数的单调性即可求得. 由， 设，由正弦函数的性质知 ， 故当，即或时，的最大值是. 故答案为：. 【典型例题5】已知向量，，满足，则实数（ ） A．2 B． C． D．0 【答案】C 【解析】利用向量数量积的坐标表示以及模长公式列方程即可求得. 依题意可得， 所以，整理可得， 即可得，解得. 故选：C 【典型例题6】如图，已知是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，先利用坐标表示相关向量，再结合数量积的坐标表示和二次函数的性质计算可得. 以直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系（如图所示）， 则， 因为， 则点D在线段（不含端点）上， 设，则， 所以， 所以当时，取得最小值， 当时，， 故的取值范围为. 故选：A． 【变式训练1-1】设，则等于（    ） A． B． C． D．1 【变式训练1-2】已知向量，，，则（   ） A．6 B．4 C．-6 D．-4 【变式训练1-3】已知向量，，，则（ ） A．6 B．4 C．-6 D．-4 【变式训练1-4】已知向量，，且，则（ ） A． B．5 C．2 D．10 【变式训练1-5】已知向量，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-6】已知向量，若，则实数的值为（ ） A．4 B．或1 C． D．4或 【变式训练1-7】已知平面向量，满足，，且，则实数的值为（       ） A． B． C．2 D．3 【变式训练1-8】已知向量，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-9】已知则（    ） A．(0，34，10) B．(-3，19，7) C．44 D．23 【变式训练1-10】已知向量，且，则（    ） 【变式训练1-11】已知向量，且，则实数（    ） A．-1 B．0 C．1 D．任意实数 【变式训练1-12】已知向量，，则 . 【变式训练1-13】已知平面向量，，且，则 . 题型02：坐标运算求向量夹角 求平面向量夹角的方法： （1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是； （2）坐标法：若非零向量、，则. 【典型例题1】已知向量，，，则向量与向量的夹角为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先利用平面向量的夹角公式求出夹角余弦值，再利用诱导公式结合角的范围进行求解.. 设向量与向量的夹角为，由题意，得，，， 所以，因为，， 所以，即向量与向量的夹角为.故选：D. 【典型例题2】在空间直角坐标系中，若，，与的夹角为，则的值为（       ） A．1 B． C．或 D．17或 【答案】D 【解析】根据题意，结合空间向量的数量积的运算公式和空间向量的夹角公式，列出方程，即可求解. 由题意，向量，， 可得，，， 因为与的夹角为，可得，即， 整理得，解得或.故选：D. 【典型例题3】已知平面向量，，，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求出，由平面向量夹角公式计算的值，结合向量夹角的范围即可求解. 由可得，所以，因为，所以， 故选：C. 【典型例题4】已知为整数，且，设平面向量与的夹角为，则的概率为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意可得，再根据向量夹角的坐标表示得到不等式，再用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得； 解：因为平面向量与的夹角为，且，所以，即，所以，因为为整数，且，，所以共有种可能，又因为，，所以或，①当时，由，即，所以或或或，满足题意； ②当时，由，即，所以或，满足题意； 故或或或或或共种情况符合题意，所以的概率为； 故选：D 【变式训练2-1】已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】已知向量，若，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】已知平面向量，，则向量与的夹角大小为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】已知向量，且与的夹角为钝角，在实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-5】已知向量，若向量的夹角是锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型03：向量数量积与夹角的坐标表示 【典型例题1】已知平面向量，，若是直角三角形，则的可能取值是（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】A 【解析】计算，考虑当是直角顶点，是直角顶点，是直角顶点三种情况，根据向量的数量积为0得到答案. ，，则， 当是直角顶点时：，； 当是直角顶点时：，无解； 当是直角顶点时：，； 综上所述：或. 故选：A 【典型例题2】设平面向量，，满足：，，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】根据题设条件，设出的坐标，利用坐标运算进行求解 依题意，设，，. 根据，即，即，整理得. 显然，否则，，与已知矛盾，故可得. 由，即，故，解得. 故. 故答案为： 【典型例题3】已知是边长为6的等边三角形，是的内切圆上一动点，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】取的中点，建立平面直角坐标系，设，，表示出，，根据数量积的坐标表示及余弦函数的性质计算可得. 如图取的中点，建立平面直角坐标系，则，，， 则内切圆的圆心在上，设圆心为，则为靠近的三等分点，即， 内切圆的半径， 因为点是的内切圆上一动点，设，， 则，， 所以， 因为，所以， 则， 则，当，即时取得最大值. 故答案为： 【典型例题4】已知、、、、五个点，满足，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】根据题意设出合理的向量模，再将其置于坐标系中，利用坐标表示出，再用基本不等式求解出最值即可. 由题意设，则，， 设，如图，因为求的最小值， 则，，，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：. 【点睛】关键点睛：首先是对向量模的合理假设，然后为了进一步降低计算的复杂性，我们选择利用坐标法将涉及的各个点用坐标表示，最后得到，再利用基本不等式即可求出最 【典型例题5】已知向量，，. (1)若，，三点共线，求实数的值； (2)若为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据向量运算得，，进而结合向量共线的坐标表示求解即可； （2）结合题意得且与不共线，再根据数量积运算与共线的坐标表示求解即可. （1）解：因为，，， 所以，， 因为，，三点共线，所以与共线， 所以，解得. 所以实数的值 （2）解：因为向量，，， 所以，， 因为为锐角， 所以且与不共线，即，解得且， 所以，实数的取值范围是 【典型例题6】已知的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，. (1)若，试判断的形状并证明； (2)若，边长，角，求的面积. 【答案】(1)为等腰三角形，证明见解析；(2) 【解析】（1）由可得，再利用正弦定理即可证明结论； （2）由可得，再利用余弦定理可得到，解此方程即可求得的值，从而可求得的面积． （1）为等腰三角形，理由如下： ，，， ， 由正弦定理得：即，其中是外接圆半径， 为等腰三角形. （2），由题意可知， ， 由余弦定理可知， 即， 或（舍） ． 【典型例题7】已知、是同一平面内的两个向量，其中，． (1)求与的夹角； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）运用数量积求夹角； （2）夹角为锐角即，并且不平行于 ，运用数量积求解. （1） ； （2）因为与得夹角为锐角，，并且与不平行， 其中， 解得，并且； ； 综上，，. 【变式训练3-1】矩形中，，，动点满足，，，则下列说法中错误的是（    ） A．若，则的面积为定值 B．若，则的最小值为 C．若，则满足的点不存在 D．若，，则的面积为 【变式训练3-2】将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，……，，若的坐标为则的值为 【变式训练3-3】如图，正六边形的边长为，半径为1的图的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为 【变式训练3-4】已知函数，其图像的最高点从左到右依次记为，，，，，其图像与轴的交点从左到右依次记为，，，，，则 【变式训练3-5】已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为 ． 【变式训练3-6】已知向量，单位向量与向量的夹角为． (1)求向量； (2)若向量与坐标轴不平行，且与向量垂直，令，请将t表示为x的函数，并求的最大值． 【变式训练3-7】（1）已知点，点是直线上一点，且，求点的坐标； （2）已知与的夹角为，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【变式训练3-8】如图，平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基.若，则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为.        (1)记向量，，求向量在这个基下的斜坐标； (2)设，，求； (3)请以（2）中的问题为特例，提出一个一般性的问题，并解决问题. 【变式训练3-9】已知坐标平面内，向量，，． (1)求满足的实数、； (2)若向量满足，且，求的坐标． 【变式训练3-10】定义向量的“对应函数”为；函数的“对应向量”为（其中为坐标原点），记平面内所有向量的“对应函数”构成的集合为 (1)设，求证： (2)已知且，是函数的“对应向量”，，求 (3)已知，向量的“对应函数”在处取得最大值，当变化时，求的取值范围 【变式训练3-11】平面直角坐标系中，设点是线段的等分点，其中.    (1)当时，试用表示； (2)当时，求的值； (3)当时，求的最小值. 【变式训练3-12】已知平面上不共线的三点，且，是的中点. (1)若，求的余弦值； (2)若是线段上任意一点，且，求的最小值； (3)若是内一点，且，求的最小值. 【变式训练3-13】如图，已知为平行四边形．    (1)若，，，求及的值； (2)记平行四边形的面积为，设，，求证： 【变式训练3-14】在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点在直线上运动，动点在直线上运动，为平面上的一个动点，记，，. (1)若，，求与夹角的余弦值； (2)若，求的取值范围； (3)若点，且满足，求的最小值. 题型04：数量积：求模型 【典型例题】已知向量，，若，则 ． 【答案】 【解析】求出的值，即可得出的值. 由题意，因为 所以， 所以，， 所以，故答案为：. 【变式训练4-1】已知非零向量满足，则与的夹角为 . 【变式训练4-2】已知同一平面内的单位向量，满足，则 ． 【变式训练4-3】已知平面向量，满足，且，则与的夹角为 ． 【变式训练4-4】设，，满足，且，，，则 . 题型05：复合型夹角计算型 【典型例题】若向量，满足，，且，则向量与夹角的余弦值为（       ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可. 因为，且，所以， 因为， 所以向量与夹角的余弦值为，故选：D 【变式训练5-1】已知，，则向量与的夹角为（       ） A．90° B．60° C．30° D．0° 【变式训练5-2】设向量，，则与夹角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 【变式训练5-4】已知平面向量，，则向量夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-5】已知在平面直角坐标系中为坐标原点，点、点，则向量和的夹角为（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-6】设，向量且，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-7）已知向量，若，则与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-8】已知向量，，且在上的投影向量为，则与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-9】若，且与的夹角为钝角，则的取值范围是 ． 【变式训练5-10】已知、、均为单位向量，且，则、之间夹角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 题型06:向量模的坐标运算 【典型例题1】已知平面向量与的夹角为，则（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【解析】根据条件计算，，由计算可得结果. ∵，∴， ∵与的夹角为，，∴， ∴. 故选：D. 【典型例题2】已知向量，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由向量平行的坐标表示求得，再由模长公式即可求解； 因为， 所以，所以， 所以， 故选：B 【变式训练6-1】设，向量且，则（   ） A． B． C． D．10 【变式训练6-2】已知向量，，，若，则正实数的值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【变式训练6-3】已知向最与的夹角为60°，，，则 ， . 【变式训练6-4】已知向量，，则的最大值为 ． 【变式训练6-5】已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 题型07：向量垂直的坐标表示 【典型例题】已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由向量垂直的坐标表示即可求解. 由， 则， 由， 所以， 解得：， 故选：A 【变式训练7-1】已知向量，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练7-2】已知向量若则（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】已知向量，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-4】已知向量 ，若 ，则   （   ） A．1 B．-1 C．0 D． 【变式训练7-5】已知向量，.若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 题型08： 投影向量的坐标表示 坐标表示推导 设，，根据向量数量积公式，可得。 那么在上的投影向量为。 将坐标代入可得：，，所以在上的投影向量的坐标为。 【典型例题1】已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用投影向量公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得结果． 在上的投影向量为． 故选：A． 【典型例题2】已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据条件，利用投影向量的定义，即可求解. 因为，， 所以在上的投影向量为, 故选：C. 【典型例题3】已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据平面向量数量积的性质，由模长求解，再根据投影向量的公式求解即可. 因为， 所以， 则， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 【典型例题4】已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C．. D． 【答案】D 【解析】计算，根据投影向量的计算公式直接计算即可. 因为，所以， 在上的投影向量为. 故选：D 【典型例题5】已知向量，则在上的投影向量的长度为（   ） A． B． C．10 D．20 【答案】B 【解析】利用数量积公式及投影向量长度公式计算即可. 由题可知，， 则在上的投影向量的长度为. 故选：B 【变式训练8-1】已知向量，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】已知向量＝(0，－2)，＝(1，)，与同向的单位向量为，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B．3 C．－ D．－3 【变式训练8-3】已知向量，，若，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【变式训练8-4】已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【变式训练8-5】已知平面向量，满足：，，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【变式训练8-6】（多选）已知向量，，且向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【变式训练8-7】在平面直角坐标系中，点，将绕原点逆时针旋转得到向量，则在上的投影向量的坐标是 ． 题型09：:向量数量积有关的其他应用 【典型例题1】已知向量，向量与向量的夹角为，则的最小值为（ ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【解析】由平面向量数量积的定义、平面向量数量积的运算性质结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 设，又，所以， 根据二次函数性质，所以当时，， 故选：B. 【典型例题2】已知向量，，，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】先求出的坐标，再利用模长公式，即可求出结果. 因为，， 所以， 因为， 所以，即， 解得 故选：A. 【典型例题3】已知向量满足，且，则（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【解析】由题意可得，，又，可得，可求. 因为，所以，所以，所以， 又因为，所以，又，所以， 所以，所以，所以. 故选：D. 【变式训练9-1】已知，，，则 . 【变式训练9-2】已知向量，，若，则 ． 【变式训练9-3】设向量，，，若的最大值为5，则正实数m的值为 ． 【变式训练9-4】设，则（ ） A．1 B． C． D．2 【变式训练9-5】已知向量，则的最大值为 . 【变式训练9-6】已知向量，，其中． (1)若，求角的大小； (2)若，求的值． 题型10：利用建系解决平面向量的数量积（几何类） 常见图形建立坐标系的方式及示例： 三角形 直角三角形 建系方式：以直角顶点为原点，两条直角边所在直线分别为轴和轴建立直角坐标系。 示例：在中，，以为原点，$CA$所在直线为轴，$CB$所在直线为轴。若，，则，。 等腰三角形 建系方式：将底边中点作为原点，底边所在直线为轴，底边上的高所在直线为轴。 示例：对于等腰，，，底边上的高。以$BC$中点为原点，$BC$所在直线为轴，$DA$所在直线为轴，则，，。 等边三角形 建系方式：以一边中点为原点，该边所在直线为轴，过中点且垂直于该边的直线为轴。 示例：设等边的边长为$2a$，以$BC$中点为原点，$BC$所在直线为轴，$OA$所在直线为轴。则，，。 四边形 矩形 建系方式：以矩形的一个顶点为原点，相邻的两边所在直线分别为轴和轴。 示例：矩形$ABCD$中，以为原点，$AB$所在直线为轴，$AD$所在直线为轴。若，，则，，。 正方形 建系方式：与矩形类似，以正方形的一个顶点为原点，相邻两边为坐标轴。 示例：正方形$ABCD$边长为，以为原点，$AB$、$AD$所在直线分别为、轴，则，，。也可将正方形中心作为原点，使坐标轴与正方形的边平行或垂直，此时，，，。 平行四边形 建系方式：若平行四边形有一个内角为直角或有一边与坐标轴平行等特殊情况，可根据其特点建系。一般可选取一边所在直线为轴，过一个顶点且垂直于该边的直线为轴。 示例：平行四边形ABCD中，轴，以为原点，$AB$所在直线为轴，过作AB的垂线为轴。若，到CD的距离为，，则，。 菱形 建系方式：以菱形的对角线交点为原点，两条对角线所在直线分别为轴和轴。 示例：菱形ABCD中，对角线，，以AC、BD交点为原点，AC所在直线为轴，BD所在直线为轴，则，，，。 圆 建系方式：以圆心为原点，以水平方向为轴，竖直方向为轴建立直角坐标系。 示例：圆的半径为，以圆心为原点建系。圆上一点的坐标可表示为，其中为$OP$与轴正半轴的夹角。 梯形 建系方式：对于梯形ABCD，若，可将AB所在直线作为轴，过点作$AB$的垂线作为轴。若梯形为等腰梯形，也可将两底中点连线所在直线作为轴，底所在直线为轴。 示例：在梯形ABCD中，，，，，高为。以为原点，AB所在直线为轴，过作$AB$的垂线为轴，则，，，。 【典型例题1】如图，在等腰梯形中，是线段上一点，且，动点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过点作，垂足为，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，利用，通过坐标运算和数量积的定义来求解最值. 过点作，垂足为， 以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 则， 其中， ， 当，即同向时，取最大值， 所以的最大值为. 故选：C. 【典型例题2】如下图，在梯形中，，，，，，则 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】根据平面向量数量积的计算公式和坐标表示求解即可. 因为梯形中，，，所以， 所以，解得. 以所在直线为轴，垂直于所在直线为轴建立如图所示坐标系， 由对称性不妨设点在点左侧，设，，， 则，，， 所以， 所以当时，取得最小值， 最小值为， 故答案为：； 【典型例题3】已知扇形半径为1，，弧上的点满足. (1)求的最大值； (2)求最小值. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）建立平面直角坐标系，设，，则，根据平面向量线性运算的坐标表示得到，再由辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； （2）利用坐标法表示出，再由三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得. （1）由题设，构建如下图示的直角坐标系，且， 设，，则， 所以，，， 由，得， 即，，解得， 所以， 所以当时，取得最大值，且. （2）由（1）可得，， 所以 ， 因为，所以当，即当时，取得最小值是. 【变式训练10-1】如图，已知中，，，是的中点，动点在以为直径的半圆弧上.则（ ） A． B．最小值为-2 C．在上的投影向量为 D．若的最大值为 【变式训练10-2】窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．在正八边形中，若，则的值为 ；若正八边形的边长为2，是正八边形八条边上的动点，则的取值范围是 ． 【变式训练10-3】如图，梯形，且，，，则 ，E在线段上，则的最小值为 . 题型11：坐标法解决最值问题 【典型例题1】如图，在矩形中，，点为边上的任意一点（包含端点），为线段的中点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】构建合适的空间直角坐标系，应用坐标法求向量的数量积，结合相关函数的性质求数量积的范围. 以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则，，设， 所以，， 所以，又， 所以，即的取值范围是． 故答案为： 【典型例题2】已知圆的半径为，弦，为圆上一动点，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】以圆心为原点，过点且与直线的直线为轴，线段的垂直平分线所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的最大值. 以圆心为原点，过点且与直线的直线为轴， 线段的垂直平分线所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则、，设点， ，， 所以，，当且仅当时，取最大值. 故答案为：. 【典型例题3】已知平面向量不共线，且，，记与 的夹角是，则最大时，（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把表示为的函数，利用函数的性质求出当最大时的值，进而可求出的值. 设，则，， 所以.易得， ， 当时，取得最小值，取得最大值， 此时.故选C. 【典型例题4】已知向量满足 与的夹角为,,则的最大值为 . 【答案】 【解析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围. 设； 以OA所在直线为x,O为坐标原点建立平面直角坐标系, ∵ 与的夹角为, 则A（4,0）,B（2,2）,设C（x,y） ∵,∴x2+y2-6x-2y+9=0, 即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆, 表示点A,C的距离即圆上的点与点A（4,0）的距离； ∵圆心到B的距离为, ∴的最大值为． 【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键． 【典型例题5】已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______. 【答案】 【解析】，， ，,在时取得最小值, 解可得：,则夹角的取值范围 【变式训练11-1】在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且∠BAC=，，BC=1，P为BC中点．过点P作PQ⊥BC交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是（　　） A． B． C． D． 【变式训练11-2】已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练11-3】已知是边长为的正三角形，为的外接圆的一条直径，为的边上的动点，则的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练11-4】已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是( ) A． B． C． D． 【变式训练11-5】.在矩形中， 动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【变式训练11-6】已知正方形ABCD的边长为1，动点P满足，若，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【变式训练11-7】已知是边长为2的正三角形，点为平面内一点，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练11-8】如图所示，两个不共线向量的夹角为，分别为与的中点，点在直线上，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练11-9】如图，矩形中边的长为，边的长为，矩形位于第一象限，且顶点分别位于轴、轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练11-10】已知△ABC中，．点P为BC边上的动点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【变式训练11-11】在中，，，点是所在平面内的一点，则当取得最小值时， 【变式训练11-12】已知非零向量满足，若函数在R 上存在极值，则和夹角的取值范围为 【变式训练11-13】正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、nR，则的最大值是________ 【变式训练11-14】已知向量，的夹角为，且，则的最小值为 题型12： 解答综合题 【典型例题】已知平面向量. (1)若，求的值； (2)若，求的值. (3)若与的夹角是钝角，求的取值范围. 【答案】(1)或3：；(2)1或；(3) 【解析】（1）利用即可； （2）利用得出值，再利用求模公式； （3）利用且不共线即可. （1）若，则. 整理得，解得或. 故的值为或3. （2）若，则有，即，解得或 当时，，则，得； 当时，，则，得. 综上，的值为1或. （3）因与的夹角是钝角，则，即，得， 又当与共线时，有，得，不合题意，则 综上，的取值范围为. 【变式训练12-1】在直角坐标系xOy中，已知点，，，点在三边围成的区域（含边界）上． (1)若，求； (2)设，用x，y表示． 【变式训练12-2】在长方形中，，，、分别是线段、的中点，是长方形（含边界）内一点． (1)求； (2)求的值； (3)求的取值范围． 巩固提升 一、单选题 1.已知，，点P满足，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 2.设向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3.已知点，点是线段上的点，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4.在平行四边形中，，点满足，点是的中点，则（   ） A． B． C． D． 5.如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点．若，，则的值为（   ）    A． B． C．1 D．2 6.已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，，为线段上一点，为线段的中点，则的最小值为（   ） A． B．0 C． D． 7.已知点Q是单位圆内接正十二边形边上的任意一点，设，则a的值可以为（    ） A．22.5 B．23.5 C．24.5 D．25.5 8.如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点，则（   ） A． B．2 C． D．1. 9.已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（   ） A．－1 B． C． D． 二、多选题 1.已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2.已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3.已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．∥ B． C． D．与的夹角的余弦值为 4.如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点满足，则下列说法正确的是（   ）    A．若，则 B．若，则为定值 C．若点在线段上，则为定值 D．若，则的最大值为 5.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（    ）    A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．若P在线段BC上，且，则的取值范围为 6.已知向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若取得最大值，则 D．若，则在上的投影向量为 三、填空题 1．在梯形中，已知，点分别在线段和上，则的最大值为 ． 2．对集合，其中，定义向量集合，若对任意，存在，使得，则 . 3.已知三点共线，则P的值为 ． 4.已知向量.若与共线，则实数的值为 . 5.在中，，，若为钝角或直角，点满足且，则的最小值为 6.在平行四边形中，为边上的动点，为外接圆的圆心，，且，则的最小值为 . 四、解答题 1.已知，. (1)求证：，不共线： (2)若，求实数m，n的值； (3)若与平行，求实数k的值. 2.已知向量，． (1)求； (2)若向量，且，求m的值； (3)求与垂直的单位向量的坐标． 3.已知向量． (1)求； (2)若与平行，求实数的值 4.已知平面向量，其中是夹角为的单位向量． (1)当，求与夹角的余弦值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 5.已知向量，. (1)求； (2)已知，且，求向量与向量的夹角. 6.如图所示，在中，为边上一点.过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）.    (1)若，若，，求的值. (2)若，，是线段上任意一点，求最大值. 7.如图，点分别是正方形的边、上两点，，，记点为的外心. (1)若，，，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，若，求的最大值.. 8.在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为． (1)已知，，求； (2)①已知，的夹角为和，的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，，且，若，求． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $