第02讲 平面向量的线性运算讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026届高三数学二轮复习

该高中数学讲义聚焦平面向量线性运算高考核心考点，涵盖加法、减法、数乘运算及共线定理、基本定理等内容，按运算逻辑与几何意义分层构建知识体系。通过知识要点梳理、解题策略指导、题型归纳训练等环节，帮助学生突破法则应用、几何表示等难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义采用“法则-几何-应用”三阶教学法，创新设计“爪形结构”突破三点共线问题，用基底法强化线性表示训练，结合典型例题与变式练习培养直观想象和数学运算素养。分层练习保障复习效果，助力教师把控节奏，有效提升学生应考能力。

第02讲 平面向量的线性运算 目 录 思维导图 2 高考分析 3 学习目标 4 知识要点 4 解题策略 9 题型归纳 9 一：平面向量的加法 9 题型01：向量的加法 9 题型02：向量加法法则 13 题型03：向量加法运算律的应用 16 题型04：向量加法法则的几何应用 18 题型05：向量加法的实际应用 21 二：向量的减法 22 题型01：向量的减法运算 22 题型02：向量减法法则 24 题型03：向量加减法的运算律 25 题型04：向量减法法则的几何应用 28 题型05：向量加减法的综合问题 32 三：实数与向量积 39 题型01：对向量数乘运算的理解 39 题型02：平面向量的数乘运算 40 题型03：向量的模 40 题型04：向量共线的判定 41 题型05：证明三点共线 42 题型06：判断点所在的位置 45 题型07：利用向量共线求参数 46 题型08：向量共线定理推论（爪形结构的应用） 48 四：平面向量基本定理 60 题型01：基底的概念 66 题型02：基底在向量线性表示中的应用 68 题型03：用已知向量表示所求向量 68 题型04：利用平面向量基本定理求参数 71 题型05：利用向量的线性运算求参数】 75 五：利用向量的线性运算解决实际问题 82 平面向量线性运算的高考分析平面向量线性运算（加法、减法、数乘）是高考向量板块的核心基础，常以客观题为主，兼具工具性与综合性，是连接向量概念与向量综合问题的关键纽带，以下从考情、核心考点、命题规律及备考建议展开分析。 1、 考情概况 1. 考查形式与分值：多以选择题、填空题呈现，全国卷单题分值5分，题号多在3-10题区间，难度以基础至中档为主，极少单独出解答题，常与坐标运算、共线定理、平面向量基本定理结合，或作为工具融入解析几何、三角函数等综合题。 2. 核心素养：重点考查直观想象、数学运算、逻辑推理素养，凸显向量“数”与“形”的双重属性，强化数形结合、转化与化归思想的应用。 2、 核心考查内容 1. 加法：三角形法则、平行四边形法则，几何意义的应用，与平面图形（三角形、平行四边形）结合求向量关系 2. 减法：三角形法则， 向量差的几何表示，用已知向量表示未知向量 3. 数乘： 4. 线性组合： 基底表示（不共线向量作为基底），用基底表示未知向量，基底的选择与转化 3、 命题规律与趋势 1. 基础运算与几何意义：高频考查线性运算的法则应用，如在三角形、平行四边形中用已知向量表示目标向量，或结合图形判断线性运算结果，侧重对三角形法则、平行四边形法则的理解。 2. 共线定理的应用：常以含参数的线性组合形式出现，通过共线向量充要条件建立方程求参数，或判断三点共线，需注意零向量的特殊性。 3. 结合坐标运算：将线性运算转化为坐标运算，与向量的模、数量积、垂直等结合，如已知向量坐标求线性运算结果，或通过坐标判断共线、垂直关系。 4. 渗透综合应用：作为工具与平面几何、解析几何、三角函数等融合，如在解析几何中利用向量共线求直线斜率，或在三角形中结合正弦、余弦定理求解边长与角度，体现向量的工具性。 5. 命题趋势：近年命题更注重基础运算的准确性与几何意义的理解，减少复杂运算，增加与实际图形、其他模块的关联，强调知识迁移能力。 平面向量线性运算的学习目标围绕“掌握法则、理解意义、灵活应用”展开，具体如下： 1. 知识目标 • 熟练掌握向量加法、减法、数乘的定义、核心法则（三角形法则、平行四边形法则）及运算性质。 • 牢记数乘向量的长度、方向规律，精准理解共线向量定理（b=λa，a≠0）的条件与结论。 • 明确线性运算与向量概念（如相等、共线向量）的关联，掌握基底表示的基本原理。 2. 能力目标 • 能规范运用运算法则，进行向量线性运算（直接运算、化简表达式），确保结果准确。 • 能结合图形（三角形、平行四边形等），用已知向量表示未知向量，实现“形→数”的转化。 • 会运用共线向量定理判断向量共线、三点共线，或求解参数值，提升逻辑推理能力。 • 初步具备将线性运算与平面几何、坐标表示结合的应用能力，为后续综合问题奠基。 3. 素养目标 • 深化直观想象素养，通过图形理解线性运算的几何意义，强化“数”与“形”的联动思维。 • 提升数学运算素养，养成规范运算、严谨推理的习惯，增强运算准确性与效率。 • 体会转化与化归思想，学会将复杂向量问题转化为基础运算或几何问题，感知向量的工具价值。 知识点一．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|， 当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 向量的运算有两种方法： （一）几何运算：往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是： （１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）； （２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）； 求已知向量的和或差：①共起点的向量求和用平行四边形法则； ②求差用向量减法的几何意义； ③求首尾相连向量的和用三角形法则． （二）坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单） 注意常用的结论： 1． 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝．特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．有运用以上结论也可以判断一个图形是否为封闭图形. 2向量加法的多边形法则是向量加法的三角形法则的推广，是由求两个向量的和推广到求多个向量的和，强调的也是“首尾相接”. 3若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)． 4若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心． 5．在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论： (1) ＋＋＝0； (2) ＝(＋)； (3) ＝(＋)＝(＋)． 6．若＝λ＋μ (λ，μ为常数)， 则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1． 7．向量形式的三角不等式 对于任意两个向量a，b，都有： ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|； （1）．当向量，不共线时，作，，则，如图(1)，根据三角形的三边关系，有 （2）．当与同向共线或，中至少有一个为零向量时，作法同上，如图(2)，此时； 当与反向共线或，中至少有一个为零向量时， 不妨设，作法同上，如图(3)，此时. 故对于任意向量，，总有①. 由于， 所以， 即②. 将①②两式结合起来，即，我们称之为向量形式的三角不等式 当a，b不共线时： ①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值； 1 的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系． 知识点二：向量共线定理 1：向量共线定理：如果且，则；反之若且，则一定存在唯一实数，使． 2：平面向量共线定理推论： 已知在线段上，且，则 平面向量共线定理推论：若点互不重合，是三点所在平面上的任意点，且，则三点共线是的充要条件。 证明1.由三点共线。 由得. 即，共线，故A，B，C三点共线。 证明2.由三点共线. 由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得. 故.令，则有. 爪形结构的应用 1.证明三点共线：若能证明存在实数，使得成立，则可判定，，三点共线。 2.向量的线性表示：已知，，三点共线及相关向量关系，可利用爪形结构将用和表示出来，进而进行向量的运算和求解。例如，在中，是BC上一点，且，则。 3.解决几何问题：在平面几何中，对于涉及线段比例、点的位置关系等问题，可通过建立爪形结构，利用向量的运算和性质来求解。如求三角形的重心、内心、外心等特殊点的向量表示时，爪形结构往往能发挥重要作用。 知识点三：平面向量基底的概念 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使，我们把不共线的向量，叫作表示这一平面内所有向量的一组基底。 （一）对平面向量基底的理解 1.基底的不唯一性：平面内任何两个不共线的向量都可以作为一组基底，所以基底的选择不是唯一的。例如，在平面直角坐标系中，通常选取与轴、轴正方向同向的两个单位向量，作为基底，但也可以选择其他不共线的向量对作为基底，如与也可以作为一组基底。 2.基底的确定性：一旦选定了一组基底，，那么平面内的任意向量都可以用这组基底唯一地表示出来。也就是说，对于给定的向量，若，则，是唯一确定的。例如，已知，为基底，若，那么这里的和是唯一确定的，不会存在其他一组数，使得成立（除非且）。 3.基底向量的性质：作为基底的两个向量，必须是不共线的。因为如果两个向量共线，那么它们只能表示与其共线的向量，无法表示平面内的所有向量。例如，若与共线，设（为实数），那么对于不与共线的向量，就无法用，线性表示出来。 （二）平面向量基底的意义 1.几何意义：从几何角度看，基底向量可以理解为平面内的一组“基本方向”。以这两个基底向量为边可以构成一个平行四边形，而平面内的任意向量都可以通过这个平行四边形的边和对角线来表示。 2.代数意义：平面向量基底为向量的运算和研究提供了一种代数化的方法。通过将向量用基底表示，可以将向量的问题转化为实数的运算问题。比如，已知，，那么，等运算都可以通过基底的系数进行，使得向量的运算更加规范和便于操作。 平面向量线性运算的解题核心是“法则选对、图形借力、定理破题”，围绕“数”（运算化简）与“形”（几何意义）双重属性展开，具体策略如下： 1. 法则匹配策略：选对工具，精准运算 2. 图形辅助策略：化抽象为直观，简化转化 3. 共线定理破题策略：处理参数与共线问题 4. 基底转化策略：统一向量“语言”，简化运算 5. 坐标转化策略：化“形”为“数”，规避方向陷阱 一、平面向量的加法 题型01：向量的加法 【典型例题1】.如图，已知向量、，用向量加法的三角形法则作出向量． (1)   (2)   (3)   【答案】(1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析 【解析】（1）（2）（3）利用平面向量加法的三角形法则可作出向量. （1）解：作，，，则即为所求作的向量。    （2）解：作，，，则即为所求作的向量。    （3）解：作，，，则即为所求作的向量。        【典型例题2】.如图，已知向量，求作和向量. 【答案】答案见解析 【解析】利用平行四边形法则可得答案。 三个向量不共线，用平行四边形法则来作。如图 （1）在平面内任取一点O，作，； （2）作平行四边形AOBC，则； （3）再作向量； （4）作平行四边形，则＝，即即为所求。 【典型例题3】等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据向量加法运算，即可求解。 根据向量加法运算可知，. 故选：A 【典型例题4】化简等于________. 【答案】 【解析】运用向量运算律计算即可。 故答案为：. 【典型例题5】已知点D，E，F分别是的边，，的中点，则下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】根据向量加减法的三角形法则及中点，再利用三角形的中位线及平行四边形的性质即可求解。 对于A,，故A正确； 对于B,，故B正确； 对于C，因为D，E，F分别是的边，，的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，即，故C正确； 对于D，因为F为的中点，所以，所以，故D错误。 故选：ABC． 【变式训练1-1】在平行四边形ABCD中，_________。 【变式训练1-2】在四边形中， ，则四边形是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形 【变式训练1-3】．向量 （    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】.下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【变式训练1-5】. （多选）已知,且是非零向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【变式训练1-6】若为非零向量，且，则（ ） A.，且与方向相同 B.反向 C. D.无论什么关系均可 【变式训练1-7】化简下列各式： (1); (2). 题型02：向量加法法则 【典型例题1】在中，M是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据向量的加法法则计算。 如图，作平行四边形，因为M是的中点，所以M也是的中点，则. 故选：C. 【典型例题2】（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据向量加减运算可得结果。 ， 故选：B． 【典型例题3】如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据给定图形，利用向量加法的平行四边形法则计算即得。 依题意，， 所以. 故选：A 【典型例题4】已知四边形为菱形，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据菱形的性质，结合平面向量加法的运算性质进行判断即可。 对于A，，故A错误； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以，故D错误。 故选：C 【变式训练2-1】如图，在矩形中，（　　）   A． B． C． D． 【变式训练2-2】如图，正六边形中， . 【变式训练2-3】（多选）对于菱形ABCD，下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 【变式训练2-4】. （多选）已知在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，则下列结论不正确的是（ ）. A.， B. C. D. 【变式训练2-5】如图，在正六边形中，是其中心。则： ① ; ② ; ③ ． 【变式训练2-6】如图，在平行四边形ABCD中，（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-7】已知点O是两条对角线的交点，则下面结论中正确的是（    ）。 A． B． C． D． 题型03：向量加法运算律的应用 【典型例题1】已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解析】根据向量的加法运算律判断 因为向量的加法满足交换律和结合律， 所以，，，，都等于， 故选：A 【典型例题2】等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据平面向量加法的运算律计算可得； 解： 故选：B 【典型例题3】已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中结果为的是 .（填序号） 【答案】①④/④① 【解析】利用向量加法的运算法则化简各项向量的线性表达式，即可确定结果是否为. ①; ②; ③; ④. 故答案为：①④. 【变式训练3-1】向量化简后等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】设P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则①P；②；③中成立的序号为________. 【变式训练3-3】如图所示，在梯形ABCD中，,AC与BD交于O点，则_______. 【变式训练3-4】在平行四边形中，____________。 【变式训练3-5】化简： （1）. (2). 题型04：向量加法法则的几何应用 【典型例题1】若在中，，，且，，则的形状是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【解析】根据条件便有，再由便可得出，从而便可得到为等腰直角三角形。 解：如图，   ； ； 为等腰直角三角形。 故选：D． 【典型例题2】若在四边形ABCD中，，则一定有（ ）. A.四边形ABCD是矩形 B.四边形ABCD是菱形 C.四边形ABCD是正方形 D.四边形ABCD是平行四边形 【答案】D 【解析】因为，所以，即且， 所以四边形ABCD是平行四边形，故选D. 【典型例题3】设P是所在平面内的一点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由平行四边形法则知，点P为线段AC的中点， .故选C. 【典型例题4】如图，在正六边形中，＋＋＝（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知,,代入条件根据向量加法的运算法则计算即可得到答案。 由题意可知： ,, 所以. 故选：D 【变式训练4-1】在平行四边形ABCD中，设，下列等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【变式训练4-2】若点O是的外心，且，则的内角C等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-4】已知正方形ABCD的边长为2，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-5】设，为单位向量，则的最大值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练4-6】若点O是的外心，且，则的内角C等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-7】如图，已知D，E，F分别为的三边BC，AC，AB的中点。求证：. 题型05：向量加法的实际应用 【典型例题】已知某人在静水中游泳的速度为，河水的流速度为，现此人在河中游泳。 （1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？ （2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？ 参考数据：． 【答案】(1）方向为与水流方向成，速度为 （2）方向与水流方向成，速度为 【解析】（1）用表示河水的流速，表示该人在静水中游泳的速度。以，为邻边作平行四边形，用为此人游泳的实际速度，在矩形中求解中得； （2）同（1）用表示河水的流速，表示此人自身游泳的速度，以，为邻边作平行四边形，表示此人实际游泳的速度，在平行四边形中求解。 （1）如图①，用表示河水的流速，表示该人在静水中游泳的速度。以，为邻边作平行四边形，用为此人游泳的实际速度。 在中，，，所以． 所以，所以． 故此人实际前进速度为，方向为与水流方向成． （2）如图②，用表示河水的流速，表示此人自身游泳的速度，以，为邻边作平行四边形，表示此人实际游泳的速度。 所以有， 所以，所以． 故此人实际前进速度为，方向与水流方向成．      图①               　　　  图② 【变式训练5-1】一架救援直升机从地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达地，再由地沿正北方向飞行40 km到达地，求此时直升机与地的相对位置。 【变式训练5-2】甲、乙、丙、丁四名射手按下列路线组织传球：甲机器人按北偏东的方向将球传给机器人乙，然后机器人乙按南偏东的方向将球传给机器人丙，机器人丙再按西南方向传给机器人丁，利用向量加法求出球的位移向量，并确定此向量模的大小。 二．向量的减法 题型01：向量的减法运算 【典型例题1】如图，已知向量、，求作． (1)   (2)   (3)   (4)   【答案】(1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析 【解析】（1）（2）（3）（4）根据平面向量的减法法则可作出向量. （1）解：作，，则，即即为所求作的向量。    （2）解：作，，则，即即为所求作的向量。    （3）解：作，，则，即即为所求作的向量。    （4）解：作，，则，即即为所求作的向量。    【变式训练1-1】如图，已知向量，，，求作向量． 【变式训练1-2】向量，化简后等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】在中，分别是的中点，则___________. 题型02：向量减法法则 【典型例题1】如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据向量运算得. 由图知， 故选：B. 【典型例题2】（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据平面向量减法运算化简。 根据平面向量减法运算可得 . 故选：A 【变式训练2-1】在△ABC中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】在平行四边形ABCD中，等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】化简______. 【变式训练2-5】【多选】下列结果为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-6】下列化简结果错误的是（    ） A． B． C． D． 题型03：向量加减法的运算律 【典型例题1】下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案。 A：，不符合题意； B：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：B 【典型例题2】.下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用向量的线性运算，逐一对各个选项分析判断，即可求出结果。 对于选项A，由向量加法的运算律可知，所以选项A正确， 对于选项B，因为，所以选项B错误， 对于选项C，因为，所以选项C正确， 对于选项D，因为，， 所以，故选项D正确， 故选：B. 【典型例题3】在平行四边形ABCD中，( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】在平行四边形ABCD中，.故选B. 【典型例题4】化简下列各式： ①；②； ③；④. 其中结果为的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】①. ②. ③. ④. 以上各式化简后结果均为,故选D. 【变式训练3-1】在平行四边形ABCD中，M为AB上任一点，则等于（ ） A. B. C. D. 【变式训练3-2】在平行四边形ABCD中，( ) A. B. C. D. 【变式训练3-3】.化简下列各式： ①;②; ③;④. 其中结果为的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【变式训练3-4】（多选）给出下列不等式或等式，其中可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【变式训练3-5】下列四式不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-6】下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-7】下列向量运算结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-8】.____________. 【变式训练3-9】.设是的相反向量，则下列说法正确的有_________.（填序号） ①与的长度必相等；②； ③与一定不相等；④是的相反向量。 题型04：向量减法法则的几何应用 【典型例题1】若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由向量模长的三角不等式可求得的取值范围。 由向量模长的三角不等式可得，当且仅当、的方向相同时，等号成立； ，当且仅当、的方向相反时，等号成立， 因此，的取值范围是， 故选：A． 【典型例题2】如图，在平行四边形ABCD中，下列计算结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据向量运算的几何意义，结合条件逐项分析即得。 因为四边形为平行四边形， 对A，，正确； 对B，，错误； 对C，，正确； 对D，，正确。 故选：B. 【典型例题3】在中，设，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用给定条件结合平面向量的线性运算求解即可。 因为，，， 所以， 因为，， 所以，故D正确。 故选：D. 【典型例题4】在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】根据向量的线性运算，结合模的定义及等边三角形的定义即可判断。 ，，则， 是等边三角形。 故选：A 【变式训练4-1】. （多选）对于菱形ABCD，下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 【变式训练4-2】（多选）在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AD，BE，CF交于点G，则（ ） A. B. C. D. 【变式训练4-3】如图，在中，，E是的中点。设，．则正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练4-4】如图，点在一条直线上，且,则( ) A. B. C. D. 【变式训练4-5】在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式训练4-6】设P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则下列等式：①;②;③.其中成立的序号为____________. 【变式训练4-7】如图，在中，D，E分别为边AC，BC上的任意一点，O为AE，BD的交点，已知，用表示向量. 【变式训练4-8】如图，O为内一点，，，.求作： (1)+-； (2)--. 【变式训练4-9】已知，求的取值范围。 题型05：向量加减法的综合问题 一、单选题 【典型例题1】化简（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得。 . 故选：D 【典型例题2】化简（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据向量的线性运算求解。 由题意可得：. 故选：D. 【典型例题3】在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 【答案】B 【解析】由相等向量，向量的减法运算求解即可。 因为，所以四边形ABCD是平行四边形， 又因为，即， 所以平行四边形ABCD是矩形。 故选：B. 【典型例题4】如图，在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据正六边形的性质与平面向量加法运算法则即可得答案。 连接，，交于点， 由正六边形的性质可知，六个小三角形均为全等的正三角形， 所以且， ， 故选：C 【变式训练1】下列向量关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【变式训练3】在矩形中，，，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 【变式训练4】如图，已知平面向量满足，则（    ）    A． B． C． D． 【变式训练5】在中，已知是边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练6】已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 【典型例题1】下列结论恒为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】利用平面向量的线性运算逐个选项直接求解判断即可。 对于A，，A错； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确。 故选：BCD 【典型例题2】设，是两个非零向量，则下列描述错误的有（    ） A．若，则存在实数，使得. B．若，则. C．若，则，反向。 D．若，则，一定同向 【答案】ACD 【解析】根据向量加法的意义判断选项A，C；根据平面向量加法的平行四边形法则可判断选项B；根据平面向量平行的性质可判断选项D. 对于选项A：当，由向量加法的意义知，方向相反且， 则存在实数，使得，故选项A错误； 对于选项B：当，则以，为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长， 则，故选项B正确； 对于选项C：当，由向量加法的意义知，方向相同，故选项C错误； 对于选项D：当时，则，同向或反向，故选项D错误； 综上所述：选项ACD错误， 故选：ACD. 【变式训练1】下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（    ） A．向量与可能平行 B．点P在线段EF上 C． D． 三、填空题 【典型例题】化简： (1) ;            (2) ; (3) ;            (4) ． 【答案】 【解析】根据向量加减法的几何意义进行运算即可。 （1）； (2)； (3)； (4). 故答案为：；；；. 【变式训练1】如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则 .    【变式训练2】已知非零向量，满足：，作，，则 . 【变式训练3】如图，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，则等式： ①    ②    ③    ④ 其中正确的题号是 ． 四、解答题 【典型例题】如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点。 （1）若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由。 （2）化简，并在图中作出表示该化简结果的向量。 【答案】(1）菱形，理由见解析；（2）答案见解析 【解析】（1）根据平面向量加法的运算法则，结合菱形的定义进行求解判断即可； （2）根据三角形中位线定理，结合平面向量运算法则进行求解即可。 （1）由条件知， 即，又四边形是平行四边形，故四边形是菱形。 （2）由平行四边形及三角形中位线的性质可知． 所以． 作出向量如图所示。 【变式训练】如图，在中，，. （1），求的值； （2）若，，试用，表示. 三．实数与向量积 题型01：对向量数乘运算的理解 【典型例题】设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（    ） A．与的方向相反 B．与的方向相同 C． D． 【答案】B 【解析】由平面向量的基本概念及数乘运算一一判定即可。 对于A，当时，与的方向相同，当时，与的方向相反，故A不正确；对于B，显然，即B正确； 对于C，，由于与1的大小不确定，故与的大小关系不确定，故C不正确； 对于D，是向量，而表示长度，两者不能比较大小，故D不正确。 故选：B 【变式训练1-1】已知m、n是实数，、是向量，对于命题： ①     ② ③若，则     ④若，则 其中正确命题的个数是：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型02：平面向量的数乘运算 【典型例题】计算：______。 【答案】 【解析】根据向量的数乘运算法则即可得出结果。 易知， 故答案为： 【变式训练2-1】已知，若记，则______。 【变式训练2-2】若，则下列各式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型03：向量的模 【典型例题】已知正方形边长为,则__________。 【答案】 【解析】由向量的加减法法则化简向量，利用正方形对角线长度为可得。 ∵正方形边长为1，∴． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查向量的加减法的三角形法则，属于基础题。 【变式训练3-1】若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】如图，在矩形ABCD中，，．设，，，则______。 【变式训练3-3】已知非零向量，满足，则_________. 【变式训练3-4】已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 题型04：向量共线的判定 【典型例题】已知平面向量，，则“”是“存在，使得”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】利用向量共线的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得。 当，时，满足，但不存在，使得； 当时，可得； 所以“”是“存在，使得”的必要不充分条件。 故选：A 【变式训练4-1】已知、、均为非零向量，且，，则（    ） A．与垂直 B．与同向 C．与反向 D．与反向 【变式训练4-2】设，是两个不共线的向量，关于向量，有①，；②，；③；，④；．其中，共线的有 ．（填序号） 【变式训练4-3】判断下列各小题中的向量，是否共线： （1），（其中两个非零向量和不共线）； (2)，. 题型05：证明三点共线 【典型例题1】已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是（    ） A．A, B, D B．A, B, C C．B, C, D D．A, C, D 【答案】A 【解析】根据给定条件，求出，再利用共线向量定理逐项判断作答。 向量，不共线，且，，， ，则有，而有公共点B，有A，B，D共线，A是； ，不存在实数，使得，因此不共线，A，B，C不共线，B不是； ，不存在实数，使得，因此不共线，B，C，D不共线，C不是； ，不存在实数，使得，因此不共线，A，C，D不共线，D不是。 故选：A 【典型例题2】设不共线的两个向量，，若，，.求证：、、三点共线。 【答案】证明见解析 【解析】由，得到，从而得到，结合公共点，得到、、三点共线。 因为，， ， 而， 所以得到 所以和共线，又有公共点， 所以、、三点共线。 【点睛】本题考查向量的线性运算，平面向量共线定理证明点共线，属于简单题。 【典型例题3】【多选】已知A，B，C，是三个不同的点，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．A，B，C三点共线 【答案】ABD 【解析】根据向量运算求出即可依次判断。 由题可得，，, ，故A正确；，故B正确；，故C错误； 由可得，A为公共点，故A，B，C三点共线，故D正确。 故选：ABD. 【典型例题4】已知向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线 C．A，B，D三点共线 D．B，C，D三点共线 【答案】C 【解析】根据向量共线定理进行判断即可。 因为不共线，，，， 易得互不共线，所以A，B，C三点不共线，B，C，D三点不共线，故AD错误； 又，易得不共线，则A，C，D三点不共线，故B错误； 而，所以A，B，D三点共线，故C正确。 故选：C. 【变式训练5-1】已知，，，则（    ） A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【变式训练5-2】已知，则共线的三点为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知向量与向量不共线，，，，则一定共线的三点是（    ） A．M, P, Q B．M, N, P C．N, P, Q D．M, N, Q 【变式训练5-4】已知，为不共线的向量，且，，则（    ） A．共线 B．共线 C．共线 D．共线 【变式训练5-5】设，是不共线的两个非零向量。 （1）若，，，求证：A，B，C三点共线； （2）若与共线，求实数的值。 【变式训练5-6】设两个非零向量，不共线，已知，，，问：是否存在实数，使得A，B，D三点共线，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 题型06：判断点所在的位置 【典型例题1】已知O是所在平面内一点，且，那么（    ） A．点O在的内部 B．点O在的边上 C．点O在边所在的直线上 D．点O在的外部 【答案】D 【解析】根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案。 因为，所以四边形OACB为平行四边形。从而点O在的外部。 故选：D 【典型例题2】在 中，点 满足 ，则（    ） A．点 不在直线 上 B．点 在 的延长线上 C．点 在线段 上 D．点 在 的延长线上 【答案】B 【解析】由已知条件可得，从而可得与共线，进而可得结论 因为，得， 所以， 所以三点共线，且点 在 的延长线上， 故选：B 【典型例题3】已知平面内一点P及△ABC，若，则P与△ABC的位置关系是（    ） A．P在△ABC外部 B．P在线段AB上 C．P在线段AC上 D．P在线段BC上 【答案】B 【解析】运用向量的加减法运算进行化简，再结合共线定理判定出点位置。 因为， 所以 所以点P在线段AB上 故选：B 【变式训练6-1】是所在平面内一点，，则点必在（    ） A．内部 B．在直线上 C．在直线上 D．在直线上 【变式训练6-2】已知O，A，M，B为平面上四点，且，实数，则( ) A.点M在线段AB上 B.点B在线段AM上 C.点A在线段BM上 D.O，A，M，B四点一定共线 【变式训练6-3】若O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的( ). A.外心 B.垂心 C.内心 D.重心 【变式训练6-4】点P是所在平面内一点，若，其中，则点P一定在( ) A.内部 B.AC边所在的直线上 C.AB边所在的直线上 D.BC边所在的直线上 题型07：利用向量共线求参数 【典型例题1】已知.其中与不共线且B，C，D三点共线，求的值。 【答案】. 【解析】利用平面向量的线性运算、共线的性质进行求解。 由B，C，D三点共线，得， 又， 所以， ， 所以，即， 所以，解得. 【典型例题2】已知，是两个不共线的向量，而和共线，则实数k的值为___________ 【答案】## 【解析】由平面向量共线定理即可求解。 解：由向量共线定理知有且只有1个实数，使得， 所以，解得. 故答案为：. 【典型例题3】已知，是不共线的向量，，若三点共线，则实数满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据向量的线性运算，可表达出，然后根据向量共线即可求解。 ,, 因为三点共线，所以,故 ，所以 故选：D 【变式训练7-1】已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（    ） A． B．2 C．4 D． 【变式训练7-2】已知是两个不共线的向量，向量．若，则（    ） A． B． C．2 D． 【变式训练7-3】设是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则________. 【变式训练7-4】设，是两个不共线向量，若向量与方向相反，则实数______. 【变式训练7-5】设，是两个不共线的向量，如果，，. （1）求证：A，B，D三点共线； （2）试确定的值，使和共线； （3）若与不共线，试求的取值范围。 【变式训练7-6】已知两个非零向量不共线，且与共线，求实数k的值。 【变式训练7-7】设是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则 . 题型08：向量共线定理推论（爪形结构的应用） 1． 选择题 【典型例题1】.如图，在中，为线段上的一点，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用和平面向量的加法和减法运算可得答案。 因为，所以， 即，所以.故选：C. 【典型例题2】已知为所在平面内一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用向量线性运算规则计算即可。 因为，所以， 则，所以A选项和B选项不正确； 由可得，，所以C选项正确，D选项不正确。 故选：C． 【典型例题3】如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别交AB，AC两边于与M，N（三角形顶点不重合）两点，且，，则2x+y的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由三点共线得出满足的关系，然后由基本不等式得出结论。 因为是△ABC的重心，所以， 又，，所以， 因为三点共线，所以，即， 显然，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立。 所以的最小值是． 故选：A． 【典型例题4】在中，D为中点，连接，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】以为一组基底，利用平面向量的线性运算得到的表达式，进而得到，由此得解。 因为为边的中点，所以，， 因为，所以， 所以， 又，因此有，则. 故选：C 【典型例题5】如图，在△OAB中，点P在边AB上，且．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据向量的线性运算求得正确答案。 由于，所以， 所以 .故选：B 【典型例题6】如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】确定，得到，根据计算得到答案。 ，故，则， 又是上一点，所以，解得. 故选：A. 【变式训练8-1】在中，点是边上一点，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（    ）    A．8 B．12 C．32 D．16 【变式训练8-3】如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练8-4】如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则的值为（    ）    A．2 B．3 C． D．5 【变式训练8-5】中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最大值为16 D．的最小值为4 【变式训练8-6】在中，，为边上一点，与交于点，若，则（    ） A． B． C． D．2 【变式训练8-7】如图，在△中，，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-8】如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB､AC两边交于M､N两点（M､N与B､C不重合），设，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-9】在中，为边上一点，与交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练8-10】在△ABC中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-11】已知点在所在的平面内，且.过点的直线与直线分别交于，设，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练8-12】如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（ ） A． B．4 C． D．3 二、填空题 【典型例题1】已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则 ；的最小值为 . 【答案】 6 【解析】根据三点共线和为的重心，可得，进而可得，的最小值可利用基本不等式可得。 因为点为的重心，所以，则. 因为三点共线，， 所以，，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为6. 故答案为：；6 【典型例题2】在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是 . 【答案】 【解析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论求出的关系，再利用基本不等式求出最小值。 在中，点为重心，则， 而点共线，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 【变式训练8-1】已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，，，其中．则的最小值为 ． 【变式训练8-2】在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是 . 【变式训练8-3】如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则 . 【变式训练8-4】如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点M，N，满足，，（，），若，则的值为 ． 三、解答题 【典型例题1】设两个非零向量，不共线，已知，，，问：是否存在实数，使得A，B，D三点共线，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 【答案】存在实数 【解析】根据，B，D三点共线，存在，使，再根据两个非零向量，不共线即可计算求参。 设存在，使得A，B，D三点共线， ，． 又，B，D三点共线，存在，使， ，， 存在实数，使得A，B，D三点共线。 【典型例题2】如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线。 （1）用、表示； （2）求的值。 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，再由即可得解； （2）利用平面向量的共线定理到，进而得到，再利用平面向量的基本定理即可得解。 （1）因为，则，所以， 因为为的中点，故. （2）因为、、三点共线，则，，， 所以存在，使得，即， 所以， 又因为，且、不共线， 所以，则， 所以，故. 【变式训练8-1】在 中，点 分别在边和边上，且 交 于点 ，设. （1）试用表示; （2）点在边上，且满足三点共线，试确定点的位置。 【变式训练8-2】如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若. （1）与的关系； （2）求的最小值 【变式训练8-3】经过的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设，. （1）证明：为定值； （2）求m＋n的最小值。 【变式训练8-4】如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. （1）若，求和的值； （2）若，求的最小值。 四．平面向量基本定理 题型01：基底的概念 【典型例题1】如果是平面内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是（ ） A．若存在实数使成立，则 B．平面内任意向量都可以表示为，其中 C．不一定在平面内 D．对于平面内任意向量，使得实数有无数对 【答案】B 【解析】根据基底的概念和平面向量共线的充要条件可判断选项A；根据平面向量基本定理即可逐一进行判断选项B、C、D. 对于A，因为是平面内所有向量的一个基底，所以，不共线。 根据向量共线的充要条件可得：若存在实数使成立，则，故A错误； 对于B，根据平面向量基本定理可判断B正确； 对于C，根据平面向量基本定理可得：一定在平面内，故C错误； 对于D，根据平面向量基本定理可得：对于平面内任意向量，使得实数有且只有一对，故D错误； 故选：B. 【典型例题2】已知向量，不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】通过判断向量是否共线即可得解。 对于A，令，即， 所以无解， 故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，A正确； 对于B，因为，即向量与共线，故不能作为平面向量的一个基底；B错误； 对于C，令，即， 所以无解， 故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，C正确； 对于D，令，即， 所以无解， 故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，D正确 故选：ACD. 【典型例题3】在中，是上一点，且，用基底表示向量，则 . 【答案】 【解析】由题意可得出，利用平面向量的减法可得出关于、的表达式。 如下图所示： 在中，是上一点，且，则， 所以，，故. 故答案为：. 【典型例题4】如图，在中，已知D是的中点，G是的重心，设向量，向量．试用向量、分别表示向量、、． 【答案】；； 【解析】由平面向量的线性运算，结合平面向量的基本定理求解即可。 解：在中，已知是的中点，是的重心。 又向量，向量． 则； ； ． 【变式训练1-1】设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（ ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【变式训练1-2】多选题如果是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ） A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面内任一向量，使得实数对有无穷多个 C．若向量与共线，则有且只有一个实数，使得 D．若实数，使得，则且 【变式训练1-3】多选题设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（ ） A．给定向量，总存在向量，使； B．给定向量和，总存在实数和，使； C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使； D．若，存在单位向量和正实数，使，则. 【变式训练1-4】多选题若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-5】如图，△ABO中，已知，，，，则用向量，表示＝ ． 【变式训练1-6】如图，是以向量，为邻边的平行四边形、是对角线的交点，且，．试用、表示、、． 【变式训练1-7】如图，在平行四边形中，点M为中点，点N在上，. （1）设，，用，表示向量； （2）求证：M，N，C三点共线。 【变式训练1-8】如图所示，中，点为的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，，相交于点，设，. （1）用，表示，； （2）若，，求，的值。 题型02：三点共线在线性表示中的应用 （1） 参数求值 涉及平面向量的参数求值问题，往往通过题目条件中的平面向量的线性关系式进行合理变形与转化，实现满足平面向量共线定理的条件，进而利用平面向量共线定理构建系数之间的关系式，从而得以确定对应的参数求值问题。 【典型例题1】如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为(    ) A． B． C．1 D．3 【答案】A 【解析】利用向量的线性运算将条件化为，再根据、、三点共线，得出，解得. 由题意可知，，所以， 又，即. 因为、、三点共线，所以，解得. 故选：A． 【典型例题2】如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点。 （1）若，求的值； （2）设，，，，求的值； 【答案】(1)；(2)3. 【解析】（1）利用向量的线性运算的几何表示，将用表示，进而即得； （2）由，将用表示，利用三点共线即得。 （1）因， 所以， 又因为的中点， 所以， 所以，又， 所以； （2）因，，，， 所以，，又因， 所以， 又因，，三点共线， 所以，即. 【变式训练2-1】在中，D为BC上一点。若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且＝x，＝y，求的值为________。 【变式训练2-3】如图，在△OAB中，，AD与BC交于点M，设在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1. （2） 线段比例 涉及平面向量的线段比例问题，破解的关键就是合理挖掘题目条件，利用平面向量共线定理，构建不同平面向量之间的线性关系，结合系数的正负取值情况确定相应线段之间的比例。此类问题的表示形式可以是线段比例关系的确定、三角形面积的比值、位置关系的判定等相关的应用问题。 【典型例题】在中，点满足，则与的面积比为___________。 【答案】## 【解析】由平面向量的加法法则可得到点的位置，再用面积公式，即可得到面积的比值。 取边的中点，连接，如图所示， 因为，即，所以，即点为的中点，所以. 故答案为： 【变式训练2-4】点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D． 题型03：用已知向量表示所求向量 【典型例题1】在中，D为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据向量加减法运算法则运算求解即可。 解：因为中，D为BC的中点， 所以，， 故选：B 【典型例题2】如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用向量的加减法法则和平面向量基本定理求解。 因为在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点， 所以， 所以 . 故选：B 【变式训练3-1】在中，已知为上一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】【多选】）在等边三角形中，与交于点F，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-5】中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-6】已知是的边上的中线，若，则 .（用表示） 【变式训练3-7】如图所示，在中，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式训练3-8】如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-9】在中，若点满足，，则 . 【变式训练3-10】在中， D为AC上一点且满足 若P为BD的中点，且满足 则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-11】在正六边形中，，若，则（    ） A． B．3 C． D． 题型04：利用平面向量基本定理求参数 【典型例题1】如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点。若，则实数的值为（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】由共线、共线分别可得、，进而得、求参数，得，最后由且共线求参数. 由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选：A 【点睛】关键点点睛：令、，利用不同参数及表示出为关键。 【典型例题2】在中， 若是的内心，的延长线交于， 则有称之为三角形的内角平分线定理， 现已知，，且， 则实数（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由角平分线定理可得出，求得，再由角平分线定理可得，由向量相等的性质可得结果。 因为是的内心，的延长线交于， ，，， 由角平分线定理可得，可得，， 即，则， 又因为，，且为的角平分线， 所以，，所以，， 又，且向量、不共线，所以，，所以. 故选：C. 【典型例题3】在中，点为线段的中点，点满足，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用平面向量基本定理根据题意将用表示出来，从而可求出，进而可求得结果。 因为点D为线段BC的中点，点E满足， 所以，所以， 消去，得， 所以， 所以，，所以． 故选：D． 【变式训练4-1】如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】如图，在中，已知是线段与的交点，若，则的值为 . 【变式训练4-3】在中，分别在边上，且，若，则 ，线段与交于点，则 ． 题型05：利用向量的线性运算求参数 【典型例题1】在中，点是的中点，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，，根据点在上，即可列方程求解。 由题意点是的中点，所以， 又，所以， 解得， 又因为点在上， 所以，解得或（舍去）。 故选：B. 【典型例题2】在中，，点E在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用向量的线性运算将用与表示出来，再利用向量共线定理的推理即可得解。 因为，所以， 则 ， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C 【变式训练1】已知在中，，则（    ） A． B． C． D．1 【变式训练2】在平行四边形中，，，与交于点．设，，请用表示 ；若，则 ． 【变式训练3】在平行四边形中，，延长交于点．若，则 ． 【变式训练4】已知三角形中，，是上中线的三等分点满足，记，则 . 题型06：线性运算：“中点”风帆型计算 【典型例题1】如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】由题意设，则可得，再结合可求出，再表示出，再结合已知条件可求得的值。 由题意设，因为，所以，所以 ，因为， 所以，解得，所以， 因为，，，， 所以 ,故选：C. 【典型例题2】已知是边长为2的等边三角形，点在线段上，，点在线段上，且与的面积相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由与的面积相等以及可得，从而是的中点，再根据数量积的定义即可求得. 如图所示： ，，而，， 所以是的中点，，， .故选：C 【变式训练1】在中，为中点，为中点，则下列结论中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】如图，在中，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】如图，在中，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 题型07：线性运算四边形计算型 【典型例题1】.已知在平行四边形 中，，线段 交于点O，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选定基底，根据向量的加减以及数乘运算即可求得答案。 如图示，， 则 ,故选：D 【变式训练1】在平行四边形中，对角线与交于点为中点，与交于点，若 ，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F在BE上且为中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【变式训练3】在平行四边形中，点在边上，点在边上，且，，点为线段的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4】如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点，若以向量为基底表示向量，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 题型08：线性运算两线交点型 【典型例题】如图，已知为中的平分线。过点A作的垂线，过点C作交于点E．若与交于点F，且，则（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】B 【解析】延长交于点G，可证F为的中点，根据余弦定理可求，再根据中线向量公式可求. 延长交于点G，如图。 由于，于是是的外角平分线。 又，于是E为的中点，进而F为的中点。 根据角平分线定理，有，根据余弦定理，有， 因此有．故选：B. 【变式训练1】中，点M是BC的中点，点N为AB上一点，AM与CN交于点D，且，.则（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练2】如图，在中，D是BC边中点，CP的延长线与AB交于AN，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】如图，在中，，，其中，，若AM与BN相交于点Q，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4】在中，点是上一点，且，是中点，与交点为，又，则（    ）    A． B． C． D． 五．利用向量的线性运算解决实际问题 题型01： 利用向量判定直线平行 【典型例题1】如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形。 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为四边形是平行四边形， 所以，， 因为，， 所以，即，且， 所以四边形是平行四边形。 【典型例题2】在中，点，分别在线段，上，，.求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：设，，则. 又，.所以，. 在中，， 所以，即与共线，故. 【变式训练1】如图，已知是的三条高，且交于点，于点，于点，求证：． 【变式训练2】若分别是平面四边形的边的中点。 （1）求的值； （2）证明：四边形为平行四边形。 【变式训练3】如图，设分别是梯形的对角线的中点。 （1）试用向量的方法证明：； （2）若，求的值。 题型02： 利用向量求线段长度或证明线段相等 【典型例题1】如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图，以点B为原点，所在的直线为x轴建立直角坐标系，不妨设 设，，，， 则，， 所以，所以. 所以，. 因为E，D，F共线，所以， 所以，化简得. 因为， 所以.所以. 【变式训练1】如图，四边形是正方形，，的延长线交的延长线于点．求证：． 【变式训练2】如图，四边形是正方形，是对角线上的一点（不包括端点），，分别在边，上，且四边形是矩形，试用向量法证明：． 考点03： 由平面向量的性质判断图形的形状 【典型例题】设四边形中，且，则这个四边形是________。 【答案】等腰梯形 【解析】根据相等向量定义，结合可得结果。 ，且，∴四边形为梯形。 又，四边形为等腰梯形。 故答案为：等腰梯形。 【变式训练1】，，，均为非零向量，且，，，则四边形ABCD的形状是______。 【变式训练2】在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ）。 A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．无法判断 题型04：向量在功力问题中的应用 【典型例题】如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？ 【答案】与铅垂线成角的绳子的拉力是，与铅垂线成角的绳子的拉力是. 【解析】如图，作，使， 则，. 设向量分别表示两根绳子的拉力， 则表示物体所受的重力，且N. 所以 (N）， (N)． 所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是， 与铅垂线成60°角的绳子的拉力是. 【变式训练1】已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为20N，合力与的夹角为，那么的大小为（ ） A． B．10 C．20 D． 【变式训练2】已知两个力的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为（ ） A． B． C． D． 【变式训练3】如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为__________ 题型05：向量在速度问题中的应用 【典型例题】长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输如图所示，一艘船从长江南岸点出发，以的速度沿方向行驶，到达对岸点，且与江岸垂直，同时江水的速度为向东 则船实际航行的速度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意画出矢量图如下： 为船速及航行方向，， 为水速及方向， 为实际航行速度及方向， 由此. 【变式训练1】河水从东向西流，流速为2km/h，一艘船以km/h垂直于水流方向向北横渡，则船实际航行的速度的大小是______km/h 【变式训练2】一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40m/s，则鹰的飞行速度为（ ） A． B． C． D． 【变式训练3】一条河的两岸平行，河的宽度为560m，一艘船从一岸出发到河对岸，已知船的静水速度，水流速度，则行驶航程最短时，所用时间是__________（精确到）。 【变式训练4】在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？ 【变式训练5】某人骑车以速度向正东方向行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速的大小和方向。 【变式训练6】如图，一艘船从A点出发，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时，河水的流速为2km/h，求船实际航行速度的大小与方向（用与水流方向的夹角表示）。 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 平面向量的线性运算 目 录 思维导图 2 高考分析 3 学习目标 4 知识要点 4 解题策略 9 题型归纳 9 一：平面向量的加法 9 题型01：向量的加法 9 题型02：向量加法法则 15 题型03：向量加法运算律的应用 20 题型04：向量加法法则的几何应用 22 题型05：向量加法的实际应用 27 二：向量的减法 30 题型01：向量的减法运算 30 题型02：向量减法法则 33 题型03：向量加减法的运算律 36 题型04：向量减法法则的几何应用 41 题型05：向量加减法的综合问题 48 三：实数与向量积 60 题型01：对向量数乘运算的理解 60 题型02：平面向量的数乘运算 61 题型03：向量的模 62 题型04：向量共线的判定 65 题型05：证明三点共线 67 题型06：判断点所在的位置 73 题型07：利用向量共线求参数 75 题型08：向量共线定理推论（爪形结构的应用） 81 四：平面向量基本定理 106 题型01：基底的概念 106 题型02：基底在向量线性表示中的应用 114 题型03：用已知向量表示所求向量 120 题型04：利用平面向量基本定理求参数 127 题型05：利用向量的线性运算求参数】 133 五：利用向量的线性运算解决实际问题 148 平面向量线性运算的高考分析平面向量线性运算（加法、减法、数乘）是高考向量板块的核心基础，常以客观题为主，兼具工具性与综合性，是连接向量概念与向量综合问题的关键纽带，以下从考情、核心考点、命题规律及备考建议展开分析。 1、 考情概况 1. 考查形式与分值：多以选择题、填空题呈现，全国卷单题分值5分，题号多在3-10题区间，难度以基础至中档为主，极少单独出解答题，常与坐标运算、共线定理、平面向量基本定理结合，或作为工具融入解析几何、三角函数等综合题。 2. 核心素养：重点考查直观想象、数学运算、逻辑推理素养，凸显向量“数”与“形”的双重属性，强化数形结合、转化与化归思想的应用。 2、 核心考查内容 1. 加法：三角形法则、平行四边形法则，几何意义的应用，与平面图形（三角形、平行四边形）结合求向量关系 2. 减法：三角形法则， 向量差的几何表示，用已知向量表示未知向量 3. 数乘： 4. 线性组合： 基底表示（不共线向量作为基底），用基底表示未知向量，基底的选择与转化 3、 命题规律与趋势 1. 基础运算与几何意义：高频考查线性运算的法则应用，如在三角形、平行四边形中用已知向量表示目标向量，或结合图形判断线性运算结果，侧重对三角形法则、平行四边形法则的理解。 2. 共线定理的应用：常以含参数的线性组合形式出现，通过共线向量充要条件建立方程求参数，或判断三点共线，需注意零向量的特殊性。 3. 结合坐标运算：将线性运算转化为坐标运算，与向量的模、数量积、垂直等结合，如已知向量坐标求线性运算结果，或通过坐标判断共线、垂直关系。 4. 渗透综合应用：作为工具与平面几何、解析几何、三角函数等融合，如在解析几何中利用向量共线求直线斜率，或在三角形中结合正弦、余弦定理求解边长与角度，体现向量的工具性。 5. 命题趋势：近年命题更注重基础运算的准确性与几何意义的理解，减少复杂运算，增加与实际图形、其他模块的关联，强调知识迁移能力。 平面向量线性运算的学习目标围绕“掌握法则、理解意义、灵活应用”展开，具体如下： 1. 知识目标 • 熟练掌握向量加法、减法、数乘的定义、核心法则（三角形法则、平行四边形法则）及运算性质。 • 牢记数乘向量的长度、方向规律，精准理解共线向量定理（b=λa，a≠0）的条件与结论。 • 明确线性运算与向量概念（如相等、共线向量）的关联，掌握基底表示的基本原理。 2. 能力目标 • 能规范运用运算法则，进行向量线性运算（直接运算、化简表达式），确保结果准确。 • 能结合图形（三角形、平行四边形等），用已知向量表示未知向量，实现“形→数”的转化。 • 会运用共线向量定理判断向量共线、三点共线，或求解参数值，提升逻辑推理能力。 • 初步具备将线性运算与平面几何、坐标表示结合的应用能力，为后续综合问题奠基。 3. 素养目标 • 深化直观想象素养，通过图形理解线性运算的几何意义，强化“数”与“形”的联动思维。 • 提升数学运算素养，养成规范运算、严谨推理的习惯，增强运算准确性与效率。 • 体会转化与化归思想，学会将复杂向量问题转化为基础运算或几何问题，感知向量的工具价值。 知识点一．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|， 当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 向量的运算有两种方法： （一）几何运算：往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是： （１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）； （２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）； 求已知向量的和或差：①共起点的向量求和用平行四边形法则； ②求差用向量减法的几何意义； ③求首尾相连向量的和用三角形法则． （二）坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单） 注意常用的结论： 1． 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝．特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．有运用以上结论也可以判断一个图形是否为封闭图形. 2向量加法的多边形法则是向量加法的三角形法则的推广，是由求两个向量的和推广到求多个向量的和，强调的也是“首尾相接”. 3若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)． 4若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心． 5．在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论： (1) ＋＋＝0； (2) ＝(＋)； (3) ＝(＋)＝(＋)． 6．若＝λ＋μ (λ，μ为常数)， 则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1． 7．向量形式的三角不等式 对于任意两个向量a，b，都有： ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|； （1）．当向量，不共线时，作，，则，如图(1)，根据三角形的三边关系，有 （2）．当与同向共线或，中至少有一个为零向量时，作法同上，如图(2)，此时； 当与反向共线或，中至少有一个为零向量时， 不妨设，作法同上，如图(3)，此时. 故对于任意向量，，总有①. 由于， 所以， 即②. 将①②两式结合起来，即，我们称之为向量形式的三角不等式 当a，b不共线时： ①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值； 1 的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系． 知识点二：向量共线定理 1：向量共线定理：如果且，则；反之若且，则一定存在唯一实数，使． 2：平面向量共线定理推论： 已知在线段上，且，则 平面向量共线定理推论：若点互不重合，是三点所在平面上的任意点，且，则三点共线是的充要条件。 证明1.由三点共线。 由得. 即，共线，故A，B，C三点共线。 证明2.由三点共线. 由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得. 故.令，则有. 爪形结构的应用 1.证明三点共线：若能证明存在实数，使得成立，则可判定，，三点共线。 2.向量的线性表示：已知，，三点共线及相关向量关系，可利用爪形结构将用和表示出来，进而进行向量的运算和求解。例如，在中，是BC上一点，且，则。 3.解决几何问题：在平面几何中，对于涉及线段比例、点的位置关系等问题，可通过建立爪形结构，利用向量的运算和性质来求解。如求三角形的重心、内心、外心等特殊点的向量表示时，爪形结构往往能发挥重要作用。 知识点三：平面向量基底的概念 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使，我们把不共线的向量，叫作表示这一平面内所有向量的一组基底。 （一）对平面向量基底的理解 1.基底的不唯一性：平面内任何两个不共线的向量都可以作为一组基底，所以基底的选择不是唯一的。例如，在平面直角坐标系中，通常选取与轴、轴正方向同向的两个单位向量，作为基底，但也可以选择其他不共线的向量对作为基底，如与也可以作为一组基底。 2.基底的确定性：一旦选定了一组基底，，那么平面内的任意向量都可以用这组基底唯一地表示出来。也就是说，对于给定的向量，若，则，是唯一确定的。例如，已知，为基底，若，那么这里的和是唯一确定的，不会存在其他一组数，使得成立（除非且）。 3.基底向量的性质：作为基底的两个向量，必须是不共线的。因为如果两个向量共线，那么它们只能表示与其共线的向量，无法表示平面内的所有向量。例如，若与共线，设（为实数），那么对于不与共线的向量，就无法用，线性表示出来。 （二）平面向量基底的意义 1.几何意义：从几何角度看，基底向量可以理解为平面内的一组“基本方向”。以这两个基底向量为边可以构成一个平行四边形，而平面内的任意向量都可以通过这个平行四边形的边和对角线来表示。 2.代数意义：平面向量基底为向量的运算和研究提供了一种代数化的方法。通过将向量用基底表示，可以将向量的问题转化为实数的运算问题。比如，已知，，那么，等运算都可以通过基底的系数进行，使得向量的运算更加规范和便于操作。 平面向量线性运算的解题核心是“法则选对、图形借力、定理破题”，围绕“数”（运算化简）与“形”（几何意义）双重属性展开，具体策略如下： 1. 法则匹配策略：选对工具，精准运算 2. 图形辅助策略：化抽象为直观，简化转化 3. 共线定理破题策略：处理参数与共线问题 4. 基底转化策略：统一向量“语言”，简化运算 5. 坐标转化策略：化“形”为“数”，规避方向陷阱 一、平面向量的加法 题型01：向量的加法 【典型例题1】.如图，已知向量、，用向量加法的三角形法则作出向量． (1)   (2)   (3)   【答案】(1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析 【解析】（1）（2）（3）利用平面向量加法的三角形法则可作出向量. （1）解：作，，，则即为所求作的向量。    （2）解：作，，，则即为所求作的向量。    （3）解：作，，，则即为所求作的向量。        【典型例题2】.如图，已知向量，求作和向量. 【答案】答案见解析 【解析】利用平行四边形法则可得答案。 三个向量不共线，用平行四边形法则来作。如图 （1）在平面内任取一点O，作，； （2）作平行四边形AOBC，则； （3）再作向量； （4）作平行四边形，则＝，即即为所求。 【典型例题3】等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据向量加法运算，即可求解。 根据向量加法运算可知，. 故选：A 【典型例题4】化简等于________. 【答案】 【解析】运用向量运算律计算即可。 故答案为：. 【典型例题5】已知点D，E，F分别是的边，，的中点，则下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】根据向量加减法的三角形法则及中点，再利用三角形的中位线及平行四边形的性质即可求解。 对于A,，故A正确； 对于B,，故B正确； 对于C，因为D，E，F分别是的边，，的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，即，故C正确； 对于D，因为F为的中点，所以，所以，故D错误。 故选：ABC． 【变式训练1-1】在平行四边形ABCD中，_________。 【答案】## 【解析】先用平行四边形法则，再用三角形法则。 平行四边形ABCD中，. 故答案为：. 【变式训练1-2】在四边形中， ，则四边形是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【解析】根据向量加法的几何意义即可求解。 因为四边形中，, 所以四边形为平行四边形， 故选：D 【变式训练1-3】．向量 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用向量加法的三角形法则及向量加法的运算律即可求解。 由，故B正确。 故选：B. 【变式训练1-4】.下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，故A错误；，故B错误；表示与c共线的向量，而表示与a共线的向量，故C错误；根据平面向量数量积的运算性质可知D正确。故选D. 【变式训练1-5】. （多选）已知,且是非零向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】为零向量。零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，A,C正确，B,D错误。 【变式训练1-6】若为非零向量，且，则（ ） A.，且与方向相同 B.反向 C. D.无论什么关系均可 【答案】A 【解析】当两个非零向量与不共线时，的方向与的方向都不相同，且； 向量与同向时，的方向与的方向都相同，且； 向量与反向且时，的方向与的方向相同（与的方向相反），且 .故选A. 【变式训练1-7】化简下列各式： (1); (2). 【答案】(1).(2) 【解析】(1）根据向量的加法法则求解即可。 （2）根据向量的加法法则求解即可。 解：(1). (2) . 【点睛】本题主要考查了向量的加法法则，属于基础题型。 题型02：向量加法法则 【典型例题1】在中，M是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据向量的加法法则计算。 如图，作平行四边形，因为M是的中点，所以M也是的中点，则. 故选：C. 【典型例题2】（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据向量加减运算可得结果。 ， 故选：B． 【典型例题3】如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据给定图形，利用向量加法的平行四边形法则计算即得。 依题意，， 所以. 故选：A 【典型例题4】已知四边形为菱形，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据菱形的性质，结合平面向量加法的运算性质进行判断即可。 对于A，，故A错误； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以，故D错误。 故选：C 【变式训练2-1】如图，在矩形中，（　　）   A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据给定条件，利用向量的加法法则计算即得。 在矩形中，. 故选：B 【变式训练2-2】如图，正六边形中， . 【答案】 【解析】将平移到，平移到，根据平面向量的加法运算即可求解。 将平移到，平移到， 故. 故答案为：. 【变式训练2-3】（多选）对于菱形ABCD，下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】易知向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B结论正确，A结论错误；因为,且,所以,即C结论正确；因为,所以D结论正确。 【变式训练2-4】. （多选）已知在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，则下列结论不正确的是（ ）. A.， B. C. D. 【答案】ABD 【解析】对于A，在四边形ABCD中，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，，所以，故C正确； 对于D，，故D错误。故选ABD. 【变式训练2-5】如图，在正六边形中，是其中心。则： ① ; ② ; ③ ． 【答案】 【解析】根据几何图形的加法及运算律化简求值即可。 ①． ②． ③． 故答案为：；；. 【变式训练2-6】如图，在平行四边形ABCD中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直接由平面向量加法的平行四边形法则求解即可。 由题意得，. 故选：B. 【变式训练2-7】已知点O是两条对角线的交点，则下面结论中正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据平面向量线性运算法则计算可得； 对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D错误； 故选：B 题型03：向量加法运算律的应用 【典型例题1】已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解析】根据向量的加法运算律判断 因为向量的加法满足交换律和结合律， 所以，，，，都等于， 故选：A 【典型例题2】等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据平面向量加法的运算律计算可得； 解： 故选：B 【典型例题3】已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中结果为的是 .（填序号） 【答案】①④/④① 【解析】利用向量加法的运算法则化简各项向量的线性表达式，即可确定结果是否为. ①; ②; ③; ④. 故答案为：①④. 【变式训练3-1】向量化简后等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据向量的线性运算求解即可。 由, 故选：A 【变式训练3-2】设P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则①P；②；③中成立的序号为________. 【答案】② 【解析】若成立，则，即，显然不成立，故①错误； 若，则，即，由四边形ABCD为平行四边形知，故②正确； 若，则，即，故③错误。 【变式训练3-3】如图所示，在梯形ABCD中，,AC与BD交于O点，则_______. 【答案】 【解析】. 【变式训练3-4】在平行四边形中，____________。 【答案】 【解析】因为,所以。 【变式训练3-5】化简： （1）. (2). 【答案】（1）.(2). 【解析】（1）. (2) 题型04：向量加法法则的几何应用 【典型例题1】若在中，，，且，，则的形状是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【解析】根据条件便有，再由便可得出，从而便可得到为等腰直角三角形。 解：如图，   ； ； 为等腰直角三角形。 故选：D． 【典型例题2】若在四边形ABCD中，，则一定有（ ）. A.四边形ABCD是矩形 B.四边形ABCD是菱形 C.四边形ABCD是正方形 D.四边形ABCD是平行四边形 【答案】D 【解析】因为，所以，即且， 所以四边形ABCD是平行四边形，故选D. 【典型例题3】设P是所在平面内的一点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由平行四边形法则知，点P为线段AC的中点， .故选C. 【典型例题4】如图，在正六边形中，＋＋＝（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知,,代入条件根据向量加法的运算法则计算即可得到答案。 由题意可知： ,, 所以. 故选：D 【变式训练4-1】在平行四边形ABCD中，设，下列等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】在平行四边形ABCD中，，故B不正确，故选B. 【变式训练4-2】若点O是的外心，且，则的内角C等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，又因为，所以四边形为菱形，且，即可得答案。 由得，， 因为点O是的外心，则， 结合向量加法的几何意义知， 四边形为菱形，且，    所以的内角C等于. 故选：A. 【变式训练4-3】如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据向量加法的平行四边形法则分析求解。 因为为平行四边形，所以. 故选：B. 【变式训练4-4】已知正方形ABCD的边长为2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由向量的线性运算结合向量的模长概念即可求解。 . 故选：D. 【变式训练4-5】设，为单位向量，则的最大值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】利用向量的性质求解即可。 因为，，为单位向量，所以. 当且仅当同向时，取到等号。 故选：C 【变式训练4-6】若点O是的外心，且，则的内角C等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，又因为，所以四边形为菱形，且，即可得答案。由得，， 因为点O是的外心，则， 结合向量加法的几何意义知， 四边形为菱形，且，    所以的内角C等于. 故选：A. 【变式训练4-7】如图，已知D，E，F分别为的三边BC，AC，AB的中点。求证：. 【答案】见解析 【解析】由题意知，， 所以 . 题型05：向量加法的实际应用 【典型例题】已知某人在静水中游泳的速度为，河水的流速度为，现此人在河中游泳。 （1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？ （2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？ 参考数据：． 【答案】(1）方向为与水流方向成，速度为 （2）方向与水流方向成，速度为 【解析】（1）用表示河水的流速，表示该人在静水中游泳的速度。以，为邻边作平行四边形，用为此人游泳的实际速度，在矩形中求解中得； （2）同（1）用表示河水的流速，表示此人自身游泳的速度，以，为邻边作平行四边形，表示此人实际游泳的速度，在平行四边形中求解。 （1）如图①，用表示河水的流速，表示该人在静水中游泳的速度。以，为邻边作平行四边形，用为此人游泳的实际速度。 在中，，，所以． 所以，所以． 故此人实际前进速度为，方向为与水流方向成． （2）如图②，用表示河水的流速，表示此人自身游泳的速度，以，为邻边作平行四边形，表示此人实际游泳的速度。 所以有， 所以，所以． 故此人实际前进速度为，方向与水流方向成．      图①               　　　  图② 【变式训练5-1】一架救援直升机从地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达地，再由地沿正北方向飞行40 km到达地，求此时直升机与地的相对位置。 【答案】直升机位于地北偏东30°方向，且距离地km处 【解析】根据向量加法的三角形法则及勾股定理即可求解。 如图所示， 设，分别是直升机的位移，则表示两次位移的合位移，即. 在中，. 在中，，， 即此时直升机位于地北偏东30°方向，且距离地km处。 【变式训练5-2】甲、乙、丙、丁四名射手按下列路线组织传球：甲机器人按北偏东的方向将球传给机器人乙，然后机器人乙按南偏东的方向将球传给机器人丙，机器人丙再按西南方向传给机器人丁，利用向量加法求出球的位移向量，并确定此向量模的大小。 【答案】答案见解析 【解析】作出示意图，用、、、分别表示甲、乙、丙、丁四名射手的位置，可知球的最终位移为，分析、的形状，可求得的值，即可得出结论。 根据题意画出示意图如图，用、、、分别表示甲、乙、丙、丁四名射手的位置， 则球的位移为，故球的最终位移为， 依题意知为正三角形，故． 又因为，，所以， 所以为等腰直角三角形，所以． 二．向量的减法 题型01：向量的减法运算 【典型例题1】如图，已知向量、，求作． (1)   (2)   (3)   (4)   【答案】(1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析 【解析】（1）（2）（3）（4）根据平面向量的减法法则可作出向量. （1）解：作，，则，即即为所求作的向量。    （2）解：作，，则，即即为所求作的向量。    （3）解：作，，则，即即为所求作的向量。    （4）解：作，，则，即即为所求作的向量。    【变式训练1-1】如图，已知向量，，，求作向量． 【答案】见解析 【解析】利用向量减法的三角形法则即可求解。 由向量减法的三角形法则， 令,则, 令,所以.如下图中即为. 【变式训练1-2】向量，化简后等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用平面向量的加法与减法可化简所得向量式。 . 故选：D. 【变式训练1-3】在中，分别是的中点，则___________. 【答案】 【解析】由向量的加法与减法法则求解即可 利用三角形中位线定理知， 所以. 故答案为： 题型02：向量减法法则 【典型例题1】如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据向量运算得. 由图知， 故选：B. 【典型例题2】（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据平面向量减法运算化简。 根据平面向量减法运算可得 . 故选：A 【变式训练2-1】在△ABC中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直接利用向量的减法的三角形法则求解即可。 因为，， 所以， 故选：B 【变式训练2-2】（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用向量的加法减法运算即可求解。 原式． 故选：A. 【变式训练2-3】在平行四边形ABCD中，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据平面向量的加法和减法的运算法则即可得解。 解：. 故选：D. 【变式训练2-4】化简______. 【答案】 【解析】根据向量加减法法则计算化简。 ． 故答案为：． 【变式训练2-5】【多选】下列结果为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】根据向量加减法的运算方法即可逐项判断。 A项，； B项，； C项，； D项，. 故选：BCD. 【变式训练2-6】下列化简结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据向量加减法运算法则计算即可 对A，原式，正确； 对B，原式，正确； 对C，原式，正确； 对D，原式，错误。 故选：D． 题型03：向量加减法的运算律 【典型例题1】下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案。 A：，不符合题意； B：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：B 【典型例题2】.下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用向量的线性运算，逐一对各个选项分析判断，即可求出结果。 对于选项A，由向量加法的运算律可知，所以选项A正确， 对于选项B，因为，所以选项B错误， 对于选项C，因为，所以选项C正确， 对于选项D，因为，， 所以，故选项D正确， 故选：B. 【典型例题3】在平行四边形ABCD中，( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】在平行四边形ABCD中，.故选B. 【典型例题4】化简下列各式： ①；②； ③；④. 其中结果为的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】①. ②. ③. ④. 以上各式化简后结果均为,故选D. 【变式训练3-1】在平行四边形ABCD中，M为AB上任一点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】在平行四边形ABCD中，,所以.故选B. 【变式训练3-2】在平行四边形ABCD中，( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】在平行四边形ABCD中，.故选B. 【变式训练3-3】.化简下列各式： ①;②; ③;④. 其中结果为的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】①. ②. ③. ④. 以上各式化简后结果均为，故选D. 【变式训练3-4】（多选）给出下列不等式或等式，其中可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABCD 【解析】A中，当与不共线时成立； B中，当时成立； C中，当与共线，方向相反，且时成立； D中，当与共线，且方向相同时成立。 【变式训练3-5】下列四式不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由向量的加法与减法原则求解即可。 ， ， ， . 故选：A. 【变式训练3-6】下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据平面向量线性运算法则计算可得。 对于A： ，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确； 故选：B 【变式训练3-7】下列向量运算结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据向量加减法的线性运算，直接判断选项即可。 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确； 故选：A 【变式训练3-8】.____________. 【答案】 【解析】. 【变式训练3-9】.设是的相反向量，则下列说法正确的有_________.（填序号） ①与的长度必相等；②； ③与一定不相等；④是的相反向量。 【答案】①②④ 【解析】因为的相反向量是，故③不正确。其他均正确。 (3); (4) 题型04：向量减法法则的几何应用 【典型例题1】若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由向量模长的三角不等式可求得的取值范围。 由向量模长的三角不等式可得，当且仅当、的方向相同时，等号成立； ，当且仅当、的方向相反时，等号成立， 因此，的取值范围是， 故选：A． 【典型例题2】如图，在平行四边形ABCD中，下列计算结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据向量运算的几何意义，结合条件逐项分析即得。 因为四边形为平行四边形， 对A，，正确； 对B，，错误； 对C，，正确； 对D，，正确。 故选：B. 【典型例题3】在中，设，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用给定条件结合平面向量的线性运算求解即可。 因为，，， 所以， 因为，， 所以，故D正确。 故选：D. 【典型例题4】在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】根据向量的线性运算，结合模的定义及等边三角形的定义即可判断。 ，，则， 是等边三角形。 故选：A 【变式训练4-1】. （多选）对于菱形ABCD，下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】易知向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B结论正确，A结论错误；因为,且,所以,即C结论正确；因为,所以D结论正确。 【变式训练4-2】（多选）在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AD，BE，CF交于点G，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】因为D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，所以，故A错误；，故B正确；，故C正确；由题意知，点G为的重心，所以，D正确。故选BCD. 【变式训练4-3】如图，在中，，E是的中点。设，．则正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用平面向量的线性运算逐个选项分析求解即可。 对于A，利用三角形定则可得，故A错误， 对于B，因为，故B错误， 对于C，因为E是的中点，所以，故C错误 对于D，因为，所以，故D正确。 故选：D 【变式训练4-4】如图，点在一条直线上，且,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意知.故选D. 【变式训练4-5】在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】根据向量的减法法则可得，由三边相等关系即可得出结果。 因为，， 所以， 所以为等边三角形。 故选：A 【变式训练4-6】设P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则下列等式：①;②;③.其中成立的序号为____________. 【答案】② 【解析】若成立，则，即,显然不成立，故①错误；若成立，则,即，由四边形ABCD为平行四边形知，故②正确；若成立，则，即，显然不成立，故③错误。 【变式训练4-7】如图，在中，D，E分别为边AC，BC上的任意一点，O为AE，BD的交点，已知，用表示向量. 【答案】见解析。 【解析】在中，有， 在中，， 在中，， 所以在中， 【变式训练4-8】如图，O为内一点，，，.求作： (1)+-； (2)--. 【答案】(1）答案见解析；（2）答案见解析 【解析】（1）根据向量加法、减法的几何意义画出图像。 （2）根据向量加法、减法的几何意义画出图像。 （1）设是的中点，连接并延长，使. +-. (2)--=-(+）. 【变式训练4-9】已知，求的取值范围。 【答案】 【解析】向量加、减法的三角形法则和三角形的三边关系直接求得。 解∵， ∴，即的取值范围是． 题型05：向量加减法的综合问题 一、单选题 【典型例题1】化简（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得。 . 故选：D 【典型例题2】化简（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据向量的线性运算求解。 由题意可得：. 故选：D. 【典型例题3】在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 【答案】B 【解析】由相等向量，向量的减法运算求解即可。 因为，所以四边形ABCD是平行四边形， 又因为，即， 所以平行四边形ABCD是矩形。 故选：B. 【典型例题4】如图，在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据正六边形的性质与平面向量加法运算法则即可得答案。 连接，，交于点， 由正六边形的性质可知，六个小三角形均为全等的正三角形， 所以且， ， 故选：C 【变式训练1】下列向量关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由向量加减法的运算规则，验证各选项的结果。 ，A选项错误； ，B选项错误； ，C选项错误； 由向量加法的运算法则，有，D选项正确。 故选：D. 【变式训练2】在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】根据向量加减法法则及模的定义判断。 因为，，，， 所以， 所以是等边三角形。 故选：A． 【变式训练3】在矩形中，，，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【解析】根据向量的加法运算法化简，根据矩形的特征可求对角线的长度，进而可求模长。 在矩形中，由，可得， 又因为，故，故． 故选：A. 【变式训练4】如图，已知平面向量满足，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，过分别作的平行线，不妨设，可得，进而可得答案。 设，过分别作的平行线， 分别交于， 如图，不妨设， 所以， 则， 从而， 故. 故选：A.    【变式训练5】在中，已知是边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用向量的减法运算即可得到答案。 解：， 则有， 可得． 故选：C. 【变式训练6】已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据向量加法的三角形法则及是正三角形，逐一判断即可。 解：对于A，因为，, 所以，故正确； 对于B，因为,(为中点），故错误； 对于C，因为(为中点）, (为中点）, 所以，故正确； 对于D，因为，， 所以，故正确。 故选：B. 二、多选题 【典型例题1】下列结论恒为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】利用平面向量的线性运算逐个选项直接求解判断即可。 对于A，，A错； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确。 故选：BCD 【典型例题2】设，是两个非零向量，则下列描述错误的有（    ） A．若，则存在实数，使得. B．若，则. C．若，则，反向。 D．若，则，一定同向 【答案】ACD 【解析】根据向量加法的意义判断选项A，C；根据平面向量加法的平行四边形法则可判断选项B；根据平面向量平行的性质可判断选项D. 对于选项A：当，由向量加法的意义知，方向相反且， 则存在实数，使得，故选项A错误； 对于选项B：当，则以，为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长， 则，故选项B正确； 对于选项C：当，由向量加法的意义知，方向相同，故选项C错误； 对于选项D：当时，则，同向或反向，故选项D错误； 综上所述：选项ACD错误， 故选：ACD. 【变式训练1】下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】根据向量的线性运算分别判断即可。 解：对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D不合题意； 故选：ABC． 【变式训练2】已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（    ） A．向量与可能平行 B．点P在线段EF上 C． D． 【答案】BC 【解析】根据平面向量线性运算化简得到，即可判断ABC选项； 根据点为线段靠近点的三等分点得到，，，然后得到，即可判断D选项。 因为，所以，即，所以点为线段靠近点的三等分点，故A错，BC正确； 设边上的高为，因为，分别为，中点，所以，，又点为线段靠近点的三等分点，，，所以，则，，所以，故D错。 故选：BC. 三、填空题 【典型例题】化简： (1) ;            (2) ; (3) ;            (4) ． 【答案】 【解析】根据向量加减法的几何意义进行运算即可。 （1）； (2)； (3)； (4). 故答案为：；；；. 【变式训练1】如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则 .    【答案】/1.25 【解析】首先连接，根据平面向量的加法几何意义得到，即可得到答案。 连接，如图所示：    . 所以. 故答案为： 【变式训练2】已知非零向量，满足：，作，，则 . 【答案】 【解析】构造平行四边形，可得为正三角形，根据图形可得答案。 构造如图所示的平行四边形，，, 则，， 则为正三角形， 故， 则平行四边形为菱形， 故OB平分， 则. 故答案为： 【变式训练3】如图，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，则等式： ①    ②    ③    ④ 其中正确的题号是 ． 【答案】③④ 【解析】根据向量的线性运算逐项分析判断。 对于①：，故①错误； 对于②：，故②错误； 对于③：，故③正确； 对于④：，故④正确； 故答案为：③④. 四、解答题 【典型例题】如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点。 （1）若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由。 （2）化简，并在图中作出表示该化简结果的向量。 【答案】(1）菱形，理由见解析；（2）答案见解析 【解析】（1）根据平面向量加法的运算法则，结合菱形的定义进行求解判断即可； （2）根据三角形中位线定理，结合平面向量运算法则进行求解即可。 （1）由条件知， 即，又四边形是平行四边形，故四边形是菱形。 （2）由平行四边形及三角形中位线的性质可知． 所以． 作出向量如图所示。 【变式训练】如图，在中，，. （1），求的值； （2）若，，试用，表示. 【答案】(1)；(2) 【解析】(1）在中运用向量的加法与相反向量及数乘关系可求解； （2），，两式相减化简整理可得答案。 （1）， 所以，， 故. （2）因为， ， 所以， 故. 三．实数与向量积 题型01：对向量数乘运算的理解 【典型例题】设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（    ） A．与的方向相反 B．与的方向相同 C． D． 【答案】B 【解析】由平面向量的基本概念及数乘运算一一判定即可。 对于A，当时，与的方向相同，当时，与的方向相反，故A不正确；对于B，显然，即B正确； 对于C，，由于与1的大小不确定，故与的大小关系不确定，故C不正确； 对于D，是向量，而表示长度，两者不能比较大小，故D不正确。 故选：B 【变式训练1-1】已知m、n是实数，、是向量，对于命题： ①     ② ③若，则     ④若，则 其中正确命题的个数是：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】①和②属于数乘对向量与实数的分配律，③中若，结论不成立，④中若，结论不成立。 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确； ③中若，与没有确定关系，结论不成立，错误； ④中若，m与n没有确定关系，结论不成立，错误。 故①②两个命题正确。 故选：B 题型02：平面向量的数乘运算 【典型例题】计算：______。 【答案】 【解析】根据向量的数乘运算法则即可得出结果。 易知， 故答案为： 【变式训练2-1】已知，若记，则______。 【答案】 【解析】由向量的线性运算，求解的值。 ， ∴， 则有， ∴. 故答案为： 【变式训练2-2】若，则下列各式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意在线段中得到与和的位置关系，根据向量共线定理对逐个选项逐一判断即可得到结果。 ∵，故可得与和的位置关系如图所示： 且， 由向量共线定理可得，，，， 可得不正确的为A， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了向量共线定理，由题意得到与和的位置关系是解题的关键，属于中档题。 题型03：向量的模 【典型例题】已知正方形边长为,则__________。 【答案】 【解析】由向量的加减法法则化简向量，利用正方形对角线长度为可得。 ∵正方形边长为1，∴． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查向量的加减法的三角形法则，属于基础题。 【变式训练3-1】若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据向量减法及几何意义，即可求解。 因为， 由减法的三角形法则知， 当同向时，， 当反向时，， 所以的取值范围是. 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量减法的三角形法则及几何意义，属于中档题。 【变式训练3-2】如图，在矩形ABCD中，，．设，，，则______。 【答案】 【解析】延长直线，使得直线上一点满足，同理延长直线，使得直线上一点满足，画出图形，则，进而求解即可。 延长直线，使得直线上一点满足，同理延长直线，使得直线上一点满足， 如图所示， 则，， 则. 故答案为：. 【变式训练3-3】已知非零向量，满足，则_________. 【答案】 【解析】由已知，结合向量的减法法则，可以得出一个特殊的等边三角形，再根据向量加法的平行四边形法得出，从而求得结果。 如图，设，，则，以OA，OB为边作平行四边形OACB，则. 因为，所以△OAB是等边三角形，四边形OACB是一个菱形，，所以， 所以. 故答案为：． 【变式训练3-4】已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据向量加法的三角形法则及是正三角形，逐一判断即可。 解：对于A，因为，, 所以，故正确； 对于B，因为,(为中点），故错误； 对于C，因为(为中点）, (为中点）, 所以，故正确； 对于D，因为，， 所以，故正确。 故选：B. 题型04：向量共线的判定 【典型例题】已知平面向量，，则“”是“存在，使得”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】利用向量共线的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得。 当，时，满足，但不存在，使得； 当时，可得； 所以“”是“存在，使得”的必要不充分条件。 故选：A 【变式训练4-1】已知、、均为非零向量，且，，则（    ） A．与垂直 B．与同向 C．与反向 D．与反向 【答案】C 【解析】根据数乘向量的定义可得出结论。 因为，，所以与同向，与反向，所以与反向。 故选：C. 【变式训练4-2】设，是两个不共线的向量，关于向量，有①，；②，；③；，④；．其中，共线的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】根据向量共线的条件对各选项逐一判断即可。 ①，共线； ②，共线； ③，共线； ④和无法表示成，所以不共线。 故答案为：①②③ 【变式训练4-3】判断下列各小题中的向量，是否共线： （1），（其中两个非零向量和不共线）； (2)，. 【答案】；（1）共线；（2）共线。 【解析】用向量共线定理判断。 (2)，, 所以，所以，共线。 （3）因为，， 所以， 所以. 所以，共线。 题型05：证明三点共线 【典型例题1】已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是（    ） A．A, B, D B．A, B, C C．B, C, D D．A, C, D 【答案】A 【解析】根据给定条件，求出，再利用共线向量定理逐项判断作答。 向量，不共线，且，，， ，则有，而有公共点B，有A，B，D共线，A是； ，不存在实数，使得，因此不共线，A，B，C不共线，B不是； ，不存在实数，使得，因此不共线，B，C，D不共线，C不是； ，不存在实数，使得，因此不共线，A，C，D不共线，D不是。 故选：A 【典型例题2】设不共线的两个向量，，若，，.求证：、、三点共线。 【答案】证明见解析 【解析】由，得到，从而得到，结合公共点，得到、、三点共线。 因为，， ， 而， 所以得到 所以和共线，又有公共点， 所以、、三点共线。 【点睛】本题考查向量的线性运算，平面向量共线定理证明点共线，属于简单题。 【典型例题3】【多选】已知A，B，C，是三个不同的点，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．A，B，C三点共线 【答案】ABD 【解析】根据向量运算求出即可依次判断。 由题可得，，, ，故A正确；，故B正确；，故C错误； 由可得，A为公共点，故A，B，C三点共线，故D正确。 故选：ABD. 【典型例题4】已知向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线 C．A，B，D三点共线 D．B，C，D三点共线 【答案】C 【解析】根据向量共线定理进行判断即可。 因为不共线，，，， 易得互不共线，所以A，B，C三点不共线，B，C，D三点不共线，故AD错误； 又，易得不共线，则A，C，D三点不共线，故B错误； 而，所以A，B，D三点共线，故C正确。 故选：C. 【变式训练5-1】已知，，，则（    ） A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【答案】A 【解析】根据平面向量的共线定理判断即可 由题意得，又有公共点B，所以A，B，D三点共线。 故选：A 【变式训练5-2】已知，则共线的三点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据向量的线性运算以及共线定理判断即可。 不满足共线定理，A错误； 不满足共线定理，B错误； ， ， 不满足共线定理，C错误； ，D正确。 故选：D. 【变式训练5-3】已知向量与向量不共线，，，，则一定共线的三点是（    ） A．M, P, Q B．M, N, P C．N, P, Q D．M, N, Q 【答案】A 【解析】求出，由向量共线定理判断哪两个向量共线后可得三点共线。 题设中三个向量显然不共线， ，，， 这些向量中只有，即，所以三点共线。 其他没有两个向量满足（是实数）的形式。 故选：A． 【变式训练5-4】已知，为不共线的向量，且，，则（    ） A．共线 B．共线 C．共线 D．共线 【答案】B 【解析】根据，，求出和，再根据与不共线，可得不共线，根据与共线，且有公共点，可得共线，根据与不共线，可得不共线，根据与不共线，可得不共线。 因为，，， 所以，， 因为，为不共线，所以为非零向量， 若存在，使得， 则，即， 因为，不共线，所以，即，此方程组无解， 故与不共线，所以不共线，故A不正确； 因为，即与共线，又与有公共点，所以共线，故B正确； 若存在，使得，则，即， 因为，不共线，所以，即，此方程组无解， 故与不共线，所以不共线，故C不正确； 若存在，使得，则，即， 因为，不共线，所以，即，此方程组无解， 故与不共线，所以不共线，故D不正确。 故选：B 【变式训练5-5】设，是不共线的两个非零向量。 （1）若，，，求证：A，B，C三点共线； （2）若与共线，求实数的值。 【答案】(1）证明见解析；(2) 【解析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可。（2）由共线性质求出参数即可。 （1）证明：， 而， 与共线，且有公共点， ，B，C三点共线。 （2）与共线， 存在实数，使得，即． 与不共线，解得， ． 【变式训练5-6】设两个非零向量，不共线，已知，，，问：是否存在实数，使得A，B，D三点共线，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 【答案】存在实数 【解析】根据，B，D三点共线，存在，使，再根据两个非零向量，不共线即可计算求参。 设存在，使得A，B，D三点共线， ，． 又，B，D三点共线，存在，使， ，， 存在实数，使得A，B，D三点共线。 题型06：判断点所在的位置 【典型例题1】已知O是所在平面内一点，且，那么（    ） A．点O在的内部 B．点O在的边上 C．点O在边所在的直线上 D．点O在的外部 【答案】D 【解析】根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案。 因为，所以四边形OACB为平行四边形。从而点O在的外部。 故选：D 【典型例题2】在 中，点 满足 ，则（    ） A．点 不在直线 上 B．点 在 的延长线上 C．点 在线段 上 D．点 在 的延长线上 【答案】B 【解析】由已知条件可得，从而可得与共线，进而可得结论 因为，得， 所以， 所以三点共线，且点 在 的延长线上， 故选：B 【典型例题3】已知平面内一点P及△ABC，若，则P与△ABC的位置关系是（    ） A．P在△ABC外部 B．P在线段AB上 C．P在线段AC上 D．P在线段BC上 【答案】B 【解析】运用向量的加减法运算进行化简，再结合共线定理判定出点位置。 因为， 所以 所以点P在线段AB上 故选：B 【变式训练6-1】是所在平面内一点，，则点必在（    ） A．内部 B．在直线上 C．在直线上 D．在直线上 【答案】B 【解析】根据共线定理可知即与共线，从而可确定点一定在边所在直线上。 ， ， ，即与共线 ∴点一定在边所在直线上。 故选：B． 【变式训练6-2】已知O，A，M，B为平面上四点，且，实数，则( ) A.点M在线段AB上 B.点B在线段AM上 C.点A在线段BM上 D.O，A，M，B四点一定共线 【答案】B 【解析】由题意得，即. 又，所以点B在线段AM上.故选B. 【变式训练6-3】若O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的( ). A.外心 B.垂心 C.内心 D.重心 【答案】D 【解析】令D为BC的中点，则，于是有， 所以A，D，P三点共线，即点P的轨迹一定通过的重心.故选D. 【变式训练6-4】点P是所在平面内一点，若，其中，则点P一定在( ) A.内部 B.AC边所在的直线上 C.AB边所在的直线上 D.BC边所在的直线上 【答案】B 【解析】. 三点共线.点P一定在AC边所在的直线上. 题型07：利用向量共线求参数 【典型例题1】已知.其中与不共线且B，C，D三点共线，求的值。 【答案】. 【解析】利用平面向量的线性运算、共线的性质进行求解。 由B，C，D三点共线，得， 又， 所以， ， 所以，即， 所以，解得. 【典型例题2】已知，是两个不共线的向量，而和共线，则实数k的值为___________ 【答案】## 【解析】由平面向量共线定理即可求解。 解：由向量共线定理知有且只有1个实数，使得， 所以，解得. 故答案为：. 【典型例题3】已知，是不共线的向量，，若三点共线，则实数满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据向量的线性运算，可表达出，然后根据向量共线即可求解。 ,, 因为三点共线，所以,故 ，所以 故选：D 【变式训练7-1】已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】D 【解析】根据已知求出.根据已知可得共线，进而得出，代入向量整理得出方程组，求解即可得出答案。 由已知可得，，. 因为A，C，D三点共线，所以共线， 则，使得， 即， 整理可得. 因为，不共线， 所以有，解得. 故选：D. 【变式训练7-2】已知是两个不共线的向量，向量．若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】利用向量共线定理，结合向量基本定理得到参数关系，即可求参数值。 由题设且，故，则，可得. 故选：A 【变式训练7-3】设是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则________. 【答案】4 【解析】根据向量共线定理可得存在实数使，从而得到关于的方程组，进而可求出. 由题意可知与共线， 所以存在实数使， 因为不共线， 所以解得或， 因为向量与的方向相同，所以，即， 故答案为：4 【变式训练7-4】设，是两个不共线向量，若向量与方向相反，则实数______. 【答案】 【解析】根据题意由共线定理可得存在实数，使，从而可得关于的方程组，进而可求出. 由题意知，与共线， ∴存在实数，使. ∵，不共线， ∴解得或， ∵与反向， ∴，. 故答案为： 【变式训练7-5】设，是两个不共线的向量，如果，，. （1）求证：A，B，D三点共线； （2）试确定的值，使和共线； （3）若与不共线，试求的取值范围。 【答案】(1）证明过程见解析；(2)；(3) 【解析】（1）要证明A，B，D三点共线，只需证明向量与共线； （2）两向量与（）共线，所以存在唯一实数，使.由此列方程组可解； （3）知两向量不共线，求参数。可先求两向量共线时的参数值，实数集中去除这些值，即为不共线的参数值或范围。 (1) 证明：因为， 所以与共线。 因为与有公共点B， 所以A，B，D三点共线。 (2) 因为与共线， 所以存在实数，使. 因为，不共线，所以 所以. (3) 假设与共线，则存在实数m，使. 因为，不共线，所以 所以. 因为与不共线， 【变式训练7-6】已知两个非零向量不共线，且与共线，求实数k的值。 【答案】或． 【解析】利用平面向量共线得充要条件计算即可。 因为与共线， 所以存在实数，使， 即． 由于不共线，所以． 即实数k的值为或． 【变式训练7-7】设是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则 . 【答案】4 【解析】根据向量共线定理可得存在实数使，从而得到关于的方程组，进而可求出. 由题意可知与共线， 所以存在实数使， 因为不共线， 所以解得或， 因为向量与的方向相同，所以，即， 故答案为：4 题型08：向量共线定理推论（爪形结构的应用） 1． 选择题 【典型例题1】.如图，在中，为线段上的一点，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用和平面向量的加法和减法运算可得答案。 因为，所以， 即，所以.故选：C. 【典型例题2】已知为所在平面内一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用向量线性运算规则计算即可。 因为，所以， 则，所以A选项和B选项不正确； 由可得，，所以C选项正确，D选项不正确。 故选：C． 【典型例题3】如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别交AB，AC两边于与M，N（三角形顶点不重合）两点，且，，则2x+y的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由三点共线得出满足的关系，然后由基本不等式得出结论。 因为是△ABC的重心，所以， 又，，所以， 因为三点共线，所以，即， 显然，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立。 所以的最小值是． 故选：A． 【典型例题4】在中，D为中点，连接，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】以为一组基底，利用平面向量的线性运算得到的表达式，进而得到，由此得解。 因为为边的中点，所以，， 因为，所以， 所以， 又，因此有，则. 故选：C 【典型例题5】如图，在△OAB中，点P在边AB上，且．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据向量的线性运算求得正确答案。 由于，所以， 所以 .故选：B 【典型例题6】如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】确定，得到，根据计算得到答案。 ，故，则， 又是上一点，所以，解得. 故选：A. 【变式训练8-1】在中，点是边上一点，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用向量共线定理设，，通过线性运算得，结合题目条件得到方程组，解出即可。 作出如图所示图形： 三点共线，故可设，， 则， ，，解得.故选：D. 【变式训练8-2】如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（    ）    A．8 B．12 C．32 D．16 【答案】C 【解析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，然后利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可。 因为，所以，因为，所以， 因为三点共线，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是32. 故选：C 【变式训练8-3】如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据向量线性运算得，再利用三点共线的结论即可得到值。 ∵，∴， 又，∴， ∵B，P，D三点共线，∴，∴. 故选：A. 【变式训练8-4】如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则的值为（    ）    A．2 B．3 C． D．5 【答案】A 【解析】根据及三点共线结论求得的值。 因为点是的中点， 所以， 又因为 所以， 因为三点共线， 所以， 所以. 故选：A 【变式训练8-5】中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最大值为16 D．的最小值为4 【答案】D 【解析】AB选项，根据向量基本定理和共线定理得到，从而利用基本不等式求出的最大值为；CD选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最大值，得到答案。 AB选项，因为，所以， 故， 因为三点共线，设，即， 故， 令，故， 为正实数，由基本不等式得，解得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，AB错误； CD选项，， 当且仅当，即时，等号成立，C错误，D正确。 故选：D 【变式训练8-6】在中，，为边上一点，与交于点，若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】结合图形，根据平面向量的共线定理和向量的线性运算，得出，从而有，最后利用共线向量基本定理的推论得出，即可求出y的值。 解：∵，则， ∴， .∵，，三点共线，所以， 解得：， 故选：A. 【变式训练8-7】如图，在△中，，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据已知条件用表示，结合共线定理的推论即可求得参数值。 因为，又，则， 故 因为三点共线，故可得，解得. 故选：A. 【变式训练8-8】如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB､AC两边交于M､N两点（M､N与B､C不重合），设，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依据三点共线得到关于的等式，再依据均值定理去求的最小值 因为G是△ABC的重心，所以 由于M､G､N共线，所以，即 所以 （当且仅当即时取等号） 故选：D 【变式训练8-9】在中，为边上一点，与交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据向量的线性运算，结合图像，利用作为基底，表示，根据共线定理的推论，建立方程，可得答案。 由题意作图如下： 由，则， 所以， 由共线，则，由，则， 所以，整理可得， 由共线，则，解得，即， 由， 则，所以. 故选：B. 【变式训练8-10】在△ABC中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点A、E、D共线得，，再根据“1”的代换，运用基本不等式即可求得答案。 因为，，所以， 由A，E，D三点共线可得，且， 所以， 当且仅当，即时，取等号。 故选：D. 【变式训练8-11】已知点在所在的平面内，且.过点的直线与直线分别交于，设，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用平面向量基本定理可得，再利用基本不等式可求最小值。 设的中点为，连接，则， 故即，故为的中点， 因为三点共线，故存在实数，使得， 故，而， 因为不共线，故即， ， 当且仅当时等号成立，故的最小值为， 故选：C. 【变式训练8-12】如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（ ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【解析】利用三角形重心性质，得，再由平面向量基本定理设，即，对照系数，得，最后运用常值代换法，由基本不等式即可求得的最小值。 如图，延长交于点，因点是的重心， 则，① 因三点共线，则，使， 因，，代入得，，② 由①，②联立，可得，，消去即得，， 则， 当且仅当时等号成立， 即时，取得最小值，为. 故选：C. 二、填空题 【典型例题1】已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则 ；的最小值为 . 【答案】 6 【解析】根据三点共线和为的重心，可得，进而可得，的最小值可利用基本不等式可得。 因为点为的重心，所以，则. 因为三点共线，， 所以，，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为6. 故答案为：；6 【典型例题2】在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是 . 【答案】 【解析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论求出的关系，再利用基本不等式求出最小值。 在中，点为重心，则， 而点共线，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 【变式训练8-1】已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，，，其中．则的最小值为 ． 【答案】 【解析】利用平面向量基本定理得到，然后由三点共线得到系数和为1，解出，用基本不等式求解最小值。 如图所示： 因为，所以 又，所以 ，所以 , 三点共线，，化简得； ，当且仅当，，取等； 故答案为：. 【变式训练8-2】在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是 . 【答案】 【解析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论求出的关系，再利用基本不等式求出最小值。 在中，点为重心，则， 而点共线，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 【变式训练8-3】如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则 . 【答案】/ 【解析】结合图形由向量的减法和三点共线可求； ， 因为为线段AC上靠近点的三等分点，所以， 所以， 又三点共线，所以， 故答案为：. 【变式训练8-4】如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点M，N，满足，，（，），若，则的值为 ． 【答案】 【解析】用向量表示，再利用点M，O，N共线列式计算作答。 因平行四边形的对角线相交于点，则， 而，于是得， 又点M，O，N共线， 因此，，即，又，解得， 所以. 故答案为： 三、解答题 【典型例题1】设两个非零向量，不共线，已知，，，问：是否存在实数，使得A，B，D三点共线，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 【答案】存在实数 【解析】根据，B，D三点共线，存在，使，再根据两个非零向量，不共线即可计算求参。 设存在，使得A，B，D三点共线， ，． 又，B，D三点共线，存在，使， ，， 存在实数，使得A，B，D三点共线。 【典型例题2】如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线。 （1）用、表示； （2）求的值。 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，再由即可得解； （2）利用平面向量的共线定理到，进而得到，再利用平面向量的基本定理即可得解。 （1）因为，则，所以， 因为为的中点，故. （2）因为、、三点共线，则，，， 所以存在，使得，即， 所以， 又因为，且、不共线， 所以，则， 所以，故. 【变式训练8-1】在 中，点 分别在边和边上，且 交 于点 ，设. （1）试用表示; （2）点在边上，且满足三点共线，试确定点的位置。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）先利用进行线性运算，再利用三点共线的性质即可求得参数； （2）利用平面向量基本定理，由对应系数相等可解出参数。 （1） 在 中，由 ，可得 ，且 ， 设 ，则 ， 又因为 三点共线，可得 ，解得 . 可得 . (2) 设 ，所以 ， 因为 ，又因为 ，三点共线，所以 ， 即，又因为，由平面向量基本定理得， 所以 ，解得 ，所以满足 . 【变式训练8-2】如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若. （1）与的关系； （2）求的最小值 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据向量线性运算得，再利用三点共线的结论即可； （2）利用（1）中结论再结合基本不等式即可。 （1），又， ， ， 又三点共线，. （2）因为，，， 当且仅当取等， 所以的最小值为. 【变式训练8-3】经过的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设，. （1）证明：为定值； （2）求m＋n的最小值。 【答案】(1）证明见解析 (2) 【解析】（1）利用三角形重心的性质，结合平面向量共线定理进行求解即可； （2）运用基本不等式进行求解即可。 （1）设， 因为的重心是G点， 所以， ， ， 因为G， P，Q三点共线， 所以存在，使得，即， 所以有； （2）因为， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以m＋n的最小值为. 【变式训练8-4】如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. （1）若，求和的值； （2）若，求的最小值。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）利用基底法，用表示出，即可求解。 （2）先根据已知条件，得到，，再根据，即可得，再根据三点共线，得，再由基本不等式，即可求解。 （1）因为，所以， 所以， 又是线段的中点，所以， 又，且不共线， 所以. （2）因为， ， 由（1）可知，，所以， 因为三点共线，所以，即 又， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 四．平面向量基本定理 题型01：基底的概念 【典型例题1】如果是平面内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是（ ） A．若存在实数使成立，则 B．平面内任意向量都可以表示为，其中 C．不一定在平面内 D．对于平面内任意向量，使得实数有无数对 【答案】B 【解析】根据基底的概念和平面向量共线的充要条件可判断选项A；根据平面向量基本定理即可逐一进行判断选项B、C、D. 对于A，因为是平面内所有向量的一个基底，所以，不共线。 根据向量共线的充要条件可得：若存在实数使成立，则，故A错误； 对于B，根据平面向量基本定理可判断B正确； 对于C，根据平面向量基本定理可得：一定在平面内，故C错误； 对于D，根据平面向量基本定理可得：对于平面内任意向量，使得实数有且只有一对，故D错误； 故选：B. 【典型例题2】已知向量，不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】通过判断向量是否共线即可得解。 对于A，令，即， 所以无解， 故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，A正确； 对于B，因为，即向量与共线，故不能作为平面向量的一个基底；B错误； 对于C，令，即， 所以无解， 故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，C正确； 对于D，令，即， 所以无解， 故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，D正确 故选：ACD. 【典型例题3】在中，是上一点，且，用基底表示向量，则 . 【答案】 【解析】由题意可得出，利用平面向量的减法可得出关于、的表达式。 如下图所示： 在中，是上一点，且，则， 所以，，故. 故答案为：. 【典型例题4】如图，在中，已知D是的中点，G是的重心，设向量，向量．试用向量、分别表示向量、、． 【答案】；； 【解析】由平面向量的线性运算，结合平面向量的基本定理求解即可。 解：在中，已知是的中点，是的重心。 又向量，向量． 则； ； ． 【变式训练1-1】设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（ ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【解析】根据基底的定义判断即可。 ①不共线可以做基底，②不可以做基底； ③不共线可以做基底，④不可以做基底； 故所在平面所有向量的基的是①③. 故选：B. 【变式训练1-2】多选题如果是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ） A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面内任一向量，使得实数对有无穷多个 C．若向量与共线，则有且只有一个实数，使得 D．若实数，使得，则且 【答案】BCD 【解析】利用平面向量的基本定理可判断A、B、D；利用向量共线定理可判断C；从而得出答案。 根据平面向量基本定理可知正确， 根据平面向量基本定理可知，如果一个平面的基底确定， 那任意一个向量在此基底下的实数对都是唯一的，故选项错误， 当两向量的系数均为0，这样的有无数个，故选项错误， 若实数，使得，则和可以有1个等于零，错误。 故选：． 【变式训练1-3】多选题设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（ ） A．给定向量，总存在向量，使； B．给定向量和，总存在实数和，使； C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使； D．若，存在单位向量和正实数，使，则. 【答案】ABD 【解析】根据向量减法说明A；根据平面向量基本定理判断B；举例说明C；根据平面向量基本定理，结合三角形的性质，即可判断D. 对A，给定向量，总存在向量，使， 即，显然存在，所以A正确。 对B，因为向量，，在同一平面内且两两不共线，由平面向量的基本定理可得： 总存在实数和，使，故B正确。 对C，给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使， 当分解到方向的向量长度大于时，向量没办法按分解，所以C不正确。 对D，存在单位向量、和正实数，，由于，向量、的模为1，由三角形的三边关系可得，所以D成立。 故选：ABD 【变式训练1-4】多选题若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】利用平面向量的基本定理和基底的概念逐项判断即可。 对于A选项，因为，所以与共线，不能作为平面向量的基底，故A正确； 对于B选项，因为，所以与共线，不能作为平面向量的基底，故B正确； 对于C选项，因为，所以与共线，不能作为平面向量的基底，故C正确； 对于D选项， 若存在实数使得，则，无解，所以与不共线，可以作为平面的基底，故D错误。 故选：ABC. 【变式训练1-5】如图，△ABO中，已知，，，，则用向量，表示＝ ． 【答案】 【解析】设，结合已知可得，结合共线可得，求解即可。 设，因为，， 所以， 又A，P，N三点共线，B，P，M三点共线，所以， 解得，所以. 故答案为：. 【变式训练1-6】如图，是以向量，为邻边的平行四边形、是对角线的交点，且，．试用、表示、、． 【答案】，， 【解析】根据平面向量线性运算法则计算可得。 因为，，所以，， 所以 ； ； ． 【变式训练1-7】如图，在平行四边形中，点M为中点，点N在上，. （1）设，，用，表示向量； （2）求证：M，N，C三点共线。 【答案】(1)；（2）证明见解析 【解析】（1）根据向量的线性运算化简求解即可。 （2）先求得，然后利用共线向量基本定理即可证明。 （1） . （2）因为， 且由（1）知，所以， 所以，又C为公共点，所以M，N，C三点共线。 【变式训练1-8】如图所示，中，点为的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，，相交于点，设，. （1）用，表示，； （2）若，，求，的值。 【答案】(1)；；(2), 【解析】（1）由向量的线性运算及平面向量的基本定理，即可求解；（2）直接利用向量的线性运算和相等向量的充要条件，求出和即可。 （1）因为在中，点为的中点， 所以； 所以， 则 （2）因为， 又， 所以， 即，解得： 题型02：三点共线在线性表示中的应用 （1） 参数求值 涉及平面向量的参数求值问题，往往通过题目条件中的平面向量的线性关系式进行合理变形与转化，实现满足平面向量共线定理的条件，进而利用平面向量共线定理构建系数之间的关系式，从而得以确定对应的参数求值问题。 【典型例题1】如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为(    ) A． B． C．1 D．3 【答案】A 【解析】利用向量的线性运算将条件化为，再根据、、三点共线，得出，解得. 由题意可知，，所以， 又，即. 因为、、三点共线，所以，解得. 故选：A． 【典型例题2】如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点。 （1）若，求的值； （2）设，，，，求的值； 【答案】(1)；(2)3. 【解析】（1）利用向量的线性运算的几何表示，将用表示，进而即得； （2）由，将用表示，利用三点共线即得。 （1）因， 所以， 又因为的中点， 所以， 所以，又， 所以； （2）因，，，， 所以，，又因， 所以， 又因，，三点共线， 所以，即. 【变式训练2-1】在中，D为BC上一点。若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先求得的等量关系式，然后利用基本不等式求得正确答案。 由于三点共线，所以， 所以 ， 当且仅当. 故选：C 【变式训练2-2】已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且＝x，＝y，求的值为________。 【答案】3 【解析】以为基底，由G是的重心和M，G，N三点共线，可得，即求。 根据条件：， 如图设D为BC的中点，则 因为G是的重心，， ， 又M，G，N三点共线， ，即. 故答案为：3. 【变式训练2-3】如图，在△OAB中，，AD与BC交于点M，设在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1. 【答案】证明见解析 【解析】由三点共线计算可得，由三点共线，计算可得，即可求得，由三点共线，计算可得，消去,即可证得结果。 因为三点共线，所以存在实数，使得 ， 又三点共线，所以存在实数，使得, 由于不共线，所以,解得. 故. 因为三点共线，所以存在实数，使得, 消去,得＋＝1. （2） 线段比例 涉及平面向量的线段比例问题，破解的关键就是合理挖掘题目条件，利用平面向量共线定理，构建不同平面向量之间的线性关系，结合系数的正负取值情况确定相应线段之间的比例。此类问题的表示形式可以是线段比例关系的确定、三角形面积的比值、位置关系的判定等相关的应用问题。 【典型例题】在中，点满足，则与的面积比为___________。 【答案】## 【解析】由平面向量的加法法则可得到点的位置，再用面积公式，即可得到面积的比值。 取边的中点，连接，如图所示， 因为，即，所以，即点为的中点，所以. 故答案为： 【变式训练2-4】点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解析】如图，延长交于点，设，则，根据平面向量共线定理得推理求出，从而可确定的位置，即可得出答案。 如图，延长交于点， 设，则， 因为共线， 所以，解得， 所以，， 则， 由， 得，即， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 题型03：用已知向量表示所求向量 【典型例题1】在中，D为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据向量加减法运算法则运算求解即可。 解：因为中，D为BC的中点， 所以，， 故选：B 【典型例题2】如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用向量的加减法法则和平面向量基本定理求解。 因为在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点， 所以， 所以 . 故选：B 【变式训练3-1】在中，已知为上一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】结合已知条件，利用向量的线性运算即可求解。 因为， 所以 . 故选：B. 【变式训练3-2】在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和等腰梯形的性质进行求解即可。 因为在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点， 所以可得：． 故选：B. 【变式训练3-3】【多选】）在等边三角形中，与交于点F，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】利用向量的线性运算证明选项AC正确，，故选项B错误；，故选项D错误。 解：因为，所以，故选项A正确； 因为，所以，故选项B错误； 由于B，E，F三点共线，所以． 又，从而解得故选项C正确； ，故选项D错误。 故选：AC 【变式训练3-4】如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】运用平面向量的三角形法则和数乘向量，直接求解。 在中，， ∴. 故选：A． 【变式训练3-5】中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据向量的线性运算即可求解。 , 故选：A    【变式训练3-6】已知是的边上的中线，若，则 .（用表示） 【答案】 【解析】根据向量加法的几何意义，结合向量对应线段的位置关系用表示出. 由题意知：.    故答案为： 【变式训练3-7】如图所示，在中，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解。 根据向量的线性运算法则，可得： . 故选：A. 【变式训练3-8】如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得。 因为， 所以 . 故选：C 【变式训练3-9】在中，若点满足，，则 . 【答案】2 【解析】利用平面向量的线性运算计算即可。 易知， 又因为，所以. 故答案为：2. 【变式训练3-10】在中， D为AC上一点且满足 若P为BD的中点，且满足 则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据平面向量的线性运算计算即可。 因为，所以， 则， 所以，，. 故选：D. 【变式训练3-11】在正六边形中，，若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解析】根据向量的线性运算法则和运算律求解即可。 ， 所以，所以. 故选：D. 题型04：利用平面向量基本定理求参数 【典型例题1】如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点。若，则实数的值为（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】由共线、共线分别可得、，进而得、求参数，得，最后由且共线求参数. 由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选：A 【点睛】关键点点睛：令、，利用不同参数及表示出为关键。 【典型例题2】在中， 若是的内心，的延长线交于， 则有称之为三角形的内角平分线定理， 现已知，，且， 则实数（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由角平分线定理可得出，求得，再由角平分线定理可得，由向量相等的性质可得结果。 因为是的内心，的延长线交于， ，，， 由角平分线定理可得，可得，， 即，则， 又因为，，且为的角平分线， 所以，，所以，， 又，且向量、不共线，所以，，所以. 故选：C. 【典型例题3】在中，点为线段的中点，点满足，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用平面向量基本定理根据题意将用表示出来，从而可求出，进而可求得结果。 因为点D为线段BC的中点，点E满足， 所以，所以， 消去，得， 所以， 所以，，所以． 故选：D． 【变式训练4-1】如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出辅助线，得到，，从而，，得到，得到答案。 连接DE， 由题意可知，，所以，则， 所以，所以， 则， 故. 又，所以，则. 故选：A 【变式训练4-2】如图，在中，已知是线段与的交点，若，则的值为 . 【答案】 【解析】设，将表示为，继而化为，利用三点共线求得，即可求得答案。 设，由得， 故 ， 由得， 故, 由于三点共线，故，则， 又，故， 所以， 故答案为： 【变式训练4-3】在中，分别在边上，且，若，则 ，线段与交于点，则 ． 【答案】 9 【解析】根据线性运算用表示出，对比已知即可得；设，用表示出，记，根据平面向量基本定理列方程组即可求得，然后得解。 因为，所以． 因为，所以， 则，故． 因为三点共线，所以． 因为，所以，所以． 因为三点共线，所以设，所以， 则解得，则． 故答案为：；9. 题型05：利用向量的线性运算求参数 【典型例题1】在中，点是的中点，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，，根据点在上，即可列方程求解。 由题意点是的中点，所以， 又，所以， 解得， 又因为点在上， 所以，解得或（舍去）。 故选：B. 【典型例题2】在中，，点E在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用向量的线性运算将用与表示出来，再利用向量共线定理的推理即可得解。 因为，所以， 则 ， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C 【变式训练1】已知在中，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】根据向量的线性运算即可求解。 , 由于，故， 故解得， 故选：A    【变式训练2】在平行四边形中，，，与交于点．设，，请用表示 ；若，则 ． 【答案】 【解析】根据向量的线性运算法则结合平面向量基本定理，将，用表示出来即可求解。 ， 如图，三点共线， 设，则， 所以， 三点共线， 设，则， 所以， 所以，记得， 所以，又，即得. 故答案为：；. 【变式训练3】在平行四边形中，，延长交于点．若，则 ． 【答案】/ 【解析】根据向量的线性运算，用表示，求出得解。 四边形为平行四边形，， ，则是的中点， ． 又， ，，． 故答案为：.    【变式训练4】已知三角形中，，是上中线的三等分点满足，记，则 . 【答案】1 【解析】结合图形，由平面向量线性运算和平面向量的基本定理求解即可。 如图， ，所以，所以. 故答案为：1. 题型06：线性运算：“中点”风帆型计算 【典型例题1】如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】由题意设，则可得，再结合可求出，再表示出，再结合已知条件可求得的值。 由题意设，因为，所以，所以 ，因为， 所以，解得，所以， 因为，，，， 所以 ,故选：C. 【典型例题2】已知是边长为2的等边三角形，点在线段上，，点在线段上，且与的面积相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由与的面积相等以及可得，从而是的中点，再根据数量积的定义即可求得. 如图所示： ，，而，， 所以是的中点，，， .故选：C 【变式训练1】在中，为中点，为中点，则下列结论中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】建立平面直角坐标系，用设坐标的方法寻找结论成立的特例。 不妨设，，，，，如图所示： ，，若，则，满足条件的存在，例如满足等式，可能成立； 设F为AB中点， ，CF与AD的交点即为重心G，因为G为AD的三等分点，E为AD中点，所以CE与CG不共线，不成立； ，，若，则，满足条件的存在，例如满足等式，可能成立； ，所以成立，故选：. 【变式训练2】如图，在中，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由向量加减法的线性运算即可求解。 ，， ，而，所以， .故选：B 【变式训练3】如图，在中，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】利用向量的线性运算求得，由此求得，进而求得. 因为是的中点，所以． 所以，所以，所以．故选：D 题型07：线性运算四边形计算型 【典型例题1】.已知在平行四边形 中，，线段 交于点O，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选定基底，根据向量的加减以及数乘运算即可求得答案。 如图示，， 则 ,故选：D 【变式训练1】在平行四边形中，对角线与交于点为中点，与交于点，若 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据给定条件，结合平行四边形性质，用表示出即可求解作答。 平行四边形的对角线与交叉点，如图， 则，而点为的中点， 有，由得：， 则有， 所以.故选：C 【变式训练2】如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F在BE上且为中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用向量加减法的几何意义即三角形法则与平行四边形法则，进行运算即可。 点F在BE上且为中点，且E是对角线AC上靠近点的三等分点， 则 ，故选：A. 【变式训练3】在平行四边形中，点在边上，点在边上，且，，点为线段的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】选择作为基底，根据向量的加减运算即可求得答案。 由题意可知，，即，， 则 ,故选：A 【变式训练4】如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点，若以向量为基底表示向量，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先表示出，联立，反解出即可 点分别为的中点，，，， ，，故选：C 题型08：线性运算两线交点型 【典型例题】如图，已知为中的平分线。过点A作的垂线，过点C作交于点E．若与交于点F，且，则（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】B 【解析】延长交于点G，可证F为的中点，根据余弦定理可求，再根据中线向量公式可求. 延长交于点G，如图。 由于，于是是的外角平分线。 又，于是E为的中点，进而F为的中点。 根据角平分线定理，有，根据余弦定理，有， 因此有．故选：B. 【变式训练1】中，点M是BC的中点，点N为AB上一点，AM与CN交于点D，且，.则（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据向量基本定理得到，结合平面向量共线定理得推论得到，求出. 因为点M是BC的中点，所以，故，则，故， 因为三点共线，所以存在使得， 即，则， 所以，解得：.故选：A 【变式训练2】如图，在中，D是BC边中点，CP的延长线与AB交于AN，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，将用表示，再根据N，P，C三点共线，即可得解。 设， 则， 因为N，P，C三点共线，所以，解得，所以，所以.故选：B. 【变式训练3】如图，在中，，，其中，，若AM与BN相交于点Q，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设条件运用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理，将由，线性表示，再由Q，M，A三点共线得到关于，的关系式，从而确定正确选项。 由题意得， 因为Q，M，A三点共线，由三点共线可得向量的线性表示中的系数之和为1， 所以， 化简整理得．故选：C． 【变式训练4】在中，点是上一点，且，是中点，与交点为，又，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据得到是的一个三等分点，然后利用中位线的性质得到，即可得到.   ，， ，即是的一个三等分点，过点作的平行线交于， 是中点，，且是的中点，从而，， ，又，则.故选：C． 五．利用向量的线性运算解决实际问题 题型01： 利用向量判定直线平行 【典型例题1】如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形。 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为四边形是平行四边形， 所以，， 因为，， 所以，即，且， 所以四边形是平行四边形。 【典型例题2】在中，点，分别在线段，上，，.求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：设，，则. 又，.所以，. 在中，， 所以，即与共线，故. 【变式训练1】如图，已知是的三条高，且交于点，于点，于点，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明：由题意，，，∴． 设，则． 同理． 于是． ∴，∴． 【变式训练2】若分别是平面四边形的边的中点。 （1）求的值； （2）证明：四边形为平行四边形。 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）因为是边的中点，所以，， 又因为，， 所以， 所以 （2）连接， 因为分别是平面四边形的边的中点， 所以在和中， 由中位线定理得：，， 所以， 因为不共线，所以， 所以四边形为平行四边形 【变式训练3】如图，设分别是梯形的对角线的中点。 （1）试用向量的方法证明：； （2）若，求的值。 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）分别为中点，，， ； ，可设， ，又，，. (2)，， 由（1）知：，， ，则，. 题型02： 利用向量求线段长度或证明线段相等 【典型例题1】如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图，以点B为原点，所在的直线为x轴建立直角坐标系，不妨设 设，，，， 则，， 所以，所以. 所以，. 因为E，D，F共线，所以， 所以，化简得. 因为， 所以.所以. 【变式训练1】如图，四边形是正方形，，的延长线交的延长线于点．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则，． 设，则，． 又∵，∴，∴． 又∵，∴． 由得或（舍去），∴． 设，则由和共线得， 得， ∴，∴，， ∴，∴． 【变式训练2】如图，四边形是正方形，是对角线上的一点（不包括端点），，分别在边，上，且四边形是矩形，试用向量法证明：． 【答案】证明见解析 【解析】证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，， 则，，，， ∴，． ∴， ， ∴，∴． 考点03： 由平面向量的性质判断图形的形状 【典型例题】设四边形中，且，则这个四边形是________。 【答案】等腰梯形 【解析】根据相等向量定义，结合可得结果。 ，且，∴四边形为梯形。 又，四边形为等腰梯形。 故答案为：等腰梯形。 【变式训练1】，，，均为非零向量，且，，，则四边形ABCD的形状是______。 【答案】矩形 【解析】由向量关系得到对角线互相平分且相等，进而可得四边形ABCD的形状。 由已知，， 则且共线反向，且共线反向， 则四边形ABCD为平行四边形， 又，对角线相等， 所以四边形ABCD为矩形。 故答案为：矩形。 【变式训练2】在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ）。 A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．无法判断 【答案】C 【解析】利用向量加法运算的几何应用求，可知，即可判断四边形的形状。 由， ∴，即，而， ∴为梯形。 故选：C 【变式训练3】如图，在平行四边形ABCD的对角线BD所在的直线上取两点E，F，使BE=DF．用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形。 【答案】见解析 【解析】如图， 因为四边形为平行四边形， 所以. 又在直线上， 所以, 从而, 所以,即与平行且相等， 所以四边形是平行四边形。 题型04：向量在功力问题中的应用 【典型例题】如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？ 【答案】与铅垂线成角的绳子的拉力是，与铅垂线成角的绳子的拉力是. 【解析】如图，作，使， 则，. 设向量分别表示两根绳子的拉力， 则表示物体所受的重力，且N. 所以 (N）， (N)． 所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是， 与铅垂线成60°角的绳子的拉力是. 【变式训练1】已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为20N，合力与的夹角为，那么的大小为（ ） A． B．10 C．20 D． 【答案】A 【解析】设，的对应向量分别为、， 以、为邻边作平行四边形如图， 则，对应力，的合力 ，的夹角为，四边形是矩形， 在中，，， .故选：A． 【变式训练2】已知两个力的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设的对应向量分别为，以为邻边作平行四边形, 如图，则对应力的合力， ∵的夹角为，∴四边形是矩形， 又合力与的夹角为，在中，，， ∴.故选：B． 【变式训练3】如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为__________ 【答案】 【解析】一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，所以重力， 因为，与水平夹角均为，， 由向量加法的平行四边形法则可知的方向是竖直向上的，且 ， 所以物体的重力大小为 题型05：向量在速度问题中的应用 【典型例题】长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输如图所示，一艘船从长江南岸点出发，以的速度沿方向行驶，到达对岸点，且与江岸垂直，同时江水的速度为向东 则船实际航行的速度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意画出矢量图如下： 为船速及航行方向，， 为水速及方向， 为实际航行速度及方向， 由此. 【变式训练1】河水从东向西流，流速为2km/h，一艘船以km/h垂直于水流方向向北横渡，则船实际航行的速度的大小是______km/h 【答案】4 【解析】由题意，如图，表示水流速度，表示船在静水中的速度， 则表示船的实际速度， 则， ，故答案为4. 【变式训练2】一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40m/s，则鹰的飞行速度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，，且，则. 【变式训练3】一条河的两岸平行，河的宽度为560m，一艘船从一岸出发到河对岸，已知船的静水速度，水流速度，则行驶航程最短时，所用时间是__________（精确到）。 【答案】6 【解析】因为行程最短，所以船应该朝上游的方向行驶， 所以船的速度为km/h, 所以所用时间是 【变式训练4】在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？ 【答案】船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为 【解析】如图所示，表示水流的速度，表示船实际航行的速度，表示船行驶的速度，在中，可得,从而得，，即可得答案。 解：设表示水流的速度，表示船实际航行的速度，表示船行驶的速度， 则四边形为平行四边形。 所以，， 因为，于是， 所以，， 故船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为. 【变式训练5】某人骑车以速度向正东方向行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速的大小和方向。 【答案】实际风速的大小是，为西北风。 【解析】设实际风速为，由题意可知，此人以速度向正东方向行驶时，感到的风速为，当速度为时感到的风速为，作出对应的图形，根据向量的线性运算及向量的模长公式，即可得解。 设实际风速为，由题意可知，此人以速度向正东方向行驶时，感到的风速为，当速度为时感到的风速为， 如图，设，，. ∵，∴，这就是速度为时感到的由正北方向吹来的风速。 ∵，∴，这就是速度为时感到的由东北方向吹来的风速， 由题意知，，，∴为等腰直角三角形， ∴，，即. ∴实际风速的大小是，为西北风。 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的应用，解决问题的关键是抓住“人觉得风的速度是合速度”，再根据它们之间的关系进行分析，考查学生的分析判断能力与转化思想，属于中档题。 【变式训练6】如图，一艘船从A点出发，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时，河水的流速为2km/h，求船实际航行速度的大小与方向（用与水流方向的夹角表示）。 【答案】船实际航行速度的大小为，方向与水流速间的夹角为． 【解析】作出图形，利用勾股定理，即可得出结论。 解：如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，以，为邻边作平行四边形，则就是船实际航行的速度。 在中，，， ， ， ． 故船实际航行速度的大小为，方向与水流速间的夹角为． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $