第01讲 平面向量基本概念讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026届高三数学二轮复习

该高中数学讲义聚焦平面向量基本概念高考核心考点，涵盖向量定义、零向量、单位向量、共线向量等基础概念及模的计算、几何表示与应用，按“概念辨析-几何表示-综合应用”逻辑分层，通过知识要点梳理、解题策略指导、典型例题与变式训练结合，帮助学生系统构建知识网络，突破易混概念等难点。 讲义创新采用“定义优先+图形辅助+反例排除”解题策略，如共线向量辨析中结合有向线段图形直观分析，用零向量特殊性举反例，培养学生数学思维与直观想象素养。设置10类分层题型，从基础概念到实际应用，配合即时反馈训练，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第01讲 平面向量基本概念 目 录 思维导图 1 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 5 题型归纳 5 题型01：平面向量的基本概念理解 5 题型02：向量与数量的辨析 10 题型03：向量的模 10 题型04：.零向量与单位向量 15 题型05：.相等向量 19 题型06：共线向量 20 题型07：相等向量与共线向量判断 30 题型08：平面向量的几何表示方法 32 题型09：平面向量在几何中的应用 41 题型10：平面向量在实际问题中的应用 44 平面向量基本概念是高考数学的基础必考点，常以基础客观题为主，侧重概念辨析与简单应用，同时也是向量综合问题的解题前提，以下从考情、考点、命题规律及备考建议展开分析。 一、考情概况 1. 考查形式与分值：多以选择题、填空题出现，题号靠前，难度多为基础或中档，全国卷单题分值通常为5分，极少单独出解答题，常与线性运算、坐标表示等结合考查。 2. 核心素养：重点考查直观想象、数学运算、逻辑推理素养，强调向量“数”与“形”的双重属性，凸显数形结合、转化与化归思想的应用。 二、命题规律与趋势 1. 基础概念辨析：高频考查零向量、共线向量、单位向量等概念的正误判断，常设置易混淆选项，如将共线向量等同于相等向量、忽略零向量的特殊性等，需精准理解概念本质。 2. 结合线性运算：与向量加法、减法、数乘运算结合，考查向量的几何表示与线性表示，如用基底表示未知向量，或结合三角形、平行四边形考查向量关系。 3. 渗透综合应用：作为工具与平面几何、解析几何、三角函数等知识结合，如在解析几何中利用向量共线判断直线位置关系，此类题型难度中等，侧重知识迁移能力。 4. 命题趋势：近年命题更注重基础，强调概念的本质理解，减少复杂运算，同时逐步增加与生活实际、其他数学模块的关联，突出向量的工具性作用。 平面向量基本概念的学习目标聚焦“理解本质、掌握核心、能辨会用”，具体如下： 1. 知识目标 （1） 精准掌握向量、零向量、单位向量、共线（平行）向量、相等向量的定义与核心特征，明确向量与数量的本质区别。 （2）牢记零向量、单位向量的特殊性质（如零向量与任一向量平行），厘清共线向量与相等向量的关系。 2. 能力目标 （1）能准确识别、表示各类向量，通过图形直观分析向量的方向与大小关系。 （2）具备判断向量相关命题正误的能力，能辨析易混概念（如区分共线与相等、单位向量的方向多样性）。 (3）初步运用向量基本概念解决简单几何问题（如判断线段平行、相等关系），为后续向量运算打基础。 3. 素养目标 （1） 培养直观想象素养，通过“数”（模）与“形”（方向）结合理解向量双重属性。 （2） 提升逻辑推理素养，通过概念辨析、命题判断形成严谨的数学思维。 （3） 体会数形结合、转化与化归思想，感知向量作为数学工具的实用性。 平面向量的有关概念 1·定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （1）向量的表示方法： ①具有方向的线段，叫做有向线段，以为始点，为终点的有向线段记作 ，的长度 记作.用有向线段表示向量，读作向量；(有向线段的三要素：起点、方向、长度) ②用小写字母表示：、. (印刷时，用黑体小写字母，手写时，小写字母要带箭头) (2)数量与向量的区别： ①数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小 ②向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. （3）向量与有向线段的区别和联系： ①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； ②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段； ③向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段.向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段. 2·向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．能比较大小 求平面向量的模常见方法： ①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． 3·特殊向量： 1 零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(注意与的含义与书写区别) 2 单位向量：长度等于1个单位的向量．与非零向量共线的单位向量. ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． 平行向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆． (4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量．模相等，方向相同； ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．模相等，方向相反. 说明：任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. 注意：（一）五个特殊向量 (1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0. (2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． (3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量． (4)与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－. （二）辨析向量有关概念的五个关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度． (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度． (5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线． 平面向量基本概念的解题核心是“抓定义本质、辨特殊情况、借数形结合”，具体策略如下： 一． 定义优先策略：紧扣概念核心特征 解题时先回归定义，以“大小+方向”为判断依据（向量的双重属性）： 1.涉及零向量：优先想到“长度为0，方向任意”，尤其注意“零向量与任一向量平行”的特殊性； 2.涉及单位向量：聚焦“长度为1”，忽略方向不唯一的陷阱； 3.区分共线/相等向量：共线只需“方向相同/相反”，相等需“长度+方向均相同”，二者不可混淆。 二． 图形辅助策略：化抽象为直观 向量问题常可通过画图简化，用有向线段表示向量，直观呈现方向、长度关系： 1.判断共线向量：观察有向线段是否平行（或在同一直线）； 2.分析相等向量：对比有向线段的长度和指向是否完全一致； 3.处理复杂命题：画图举例验证（如举零向量的反例排除错误选项）。 三．反例排除策略：规避易错陷阱 面对概念辨析题（尤其是判断题、选择题），用“反例法”快速排除错误选项： 1.若选项说“单位向量都相等”，举“水平向右和竖直向上的单位向量”反例； 2. 若选项说“共线向量一定相等”，举“方向相反、长度不同的共线向量”反例； 3.重点关注含“一定”“所有”“都”等绝对化表述的选项，优先用特殊向量（零向量、单位向量）验证。 四． 转化迁移策略：衔接后续知识 基础概念题常与简单线性运算结合，解题时需转化为“几何意义”或“代数表示”： 1.如用基底表示向量时，依托相等向量、共线向量的性质，将未知向量转化为已知向量的组合； 2与平面几何结合时，用向量共线判断直线平行，用相等向量判断线段相等，实现“向量问题→几何问题”的转化。 题型01：平面向量的基本概念理解 平行向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆． (4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量． 【典型例题1】1.下列说法正确的是（ ） A．向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上 B．两个有共同终点的向量，一定是共线向量 C．长度相等的向量叫做相等向量 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 【答案】D 【解析】分析：根据题意，结合向量的定义依次分析四个命题，综合即可得答案．详解： A，若向向量与向量是共线向量，则，或点在同一条直线上，故A错误； 对于B，共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不相同又不相反，故B错误； 对于C，长度相等的向量不一定相等向量，故C错误； 对于D，相等向量是大小相等，方向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，正确； 故选D. 点睛：本题考查向量的基本定义，关键是理解向量有关概念的定义． 【典型例题2】.下列说法： ①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同； ②若向量，满足，且与同向，则； ③若两个非零向量与满足，则，为相反向量； ④的充要条件是A与C重合，B与D重合. 其中错误的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】①错误. 两个空间向量相等，但与起点和终点的位置无关；②错误. 向量不能比较大小；③正确. ，为相反向量；④错误.   A与C，B与D不一定重合. ①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关. ②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小. ③正确. ，得，且，为非零向量，所以，为相反向量. ④错误. 由，知，且与同向，但A与C，B与D不一定重合. 故选：C 【点睛】易错点睛：向量是一个既有大小，又有方向的矢量，考虑向量的问题时，一定要注意这一点. 【典型例题3】．下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【答案】B 【解析】根据零向量特点即可判断A；根据向量模的定义即可判断B，根据单位向量以及向量共线的性质即可判断CD. 对A，既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误； 对B，由于与方向相反，长度相等，故B正确； 对C，起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误； 对D，若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误． 故选：B． 【变式训练1-1】．下列说法正确的是（    ） A．若两个非零向量共线，则必在同一直线上 B．若与共线，与共线，则与也共线 C．若则 D．若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是或 【答案】D 【解析】根据共线向量的概念即可判断A,B,D;根据相等向量的概念可以判断C. 方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，因此D正确； 若非零向量是共线向量，则未必在同一直线上，A错； 若，则与共线，与共线，但是与未必共线，B错； 由可以得到的大小相等，但方向不一定相同，C错. 故选：D. 【变式训练1-2】设为单位向量，下列命题中：①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则，假命题的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由向量是既有大小又有方向的量，两个非零向量平行的方向有两种情况：一是同向，二是反向，可判断 【详解】向量是既有大小又有方向的量，与的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若与平行，则与的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时，故②③也是假命题． 综上所述，假命题的个数是3． 故选：D 【变式训练1-3】设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是（     ） A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b| 【答案】C 【解析】因为向量的方向与向量a方向相同，向量的方向与向量b方向相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件． 【变式训练1-4】(多选)下列命题正确的有(　　) A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．单位向量都相等 C．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 D．“若A，B，C，D是不共线的四点，且＝”⇔“四边形ABCD是平行四边形” 【答案】AD 【解析】方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确； 单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B错误； 两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故C错误； A，B，C，D是不共线的点，＝，即模相等且方向相同，即平行四边形ABCD对边平行且相等，反之也成立，故D正确． 【变式训练1-5】．下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】D 【解析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断. 对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误； 对B，，且，方向相同才可判断，故B错误； 对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误； 对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确. 故选：D 【变式训练1-5】．下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】B 【解析】对于A：根据向量与数量的定义分析判断；对于B：根据向量相等和向量共线分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据零向量和向量共线分析判断. 对于选项A：因为为向量，均为数量，故A错误； 对于选项B：根据相等向量与平行向量的关系，知，即有，故B正确； 对于选项C：例如，满足且，但，故C错误； 对于选项D：由零向量可知：对任意，均有，即不一定成立，故D错误； 故选：B 题型02：向量与数量的辨析 【典型例题】下列各量中是向量的为（ ） A．海拔 B．压强 C．加速度 D．温度 【答案】C 【解析】向量是既有大小，又有方向的量， 海拔，压强，温度只有大小，没有方向，加速度既有大小，又有方向， 加速度是向量，故选：． 【变式训练2-1】给出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是( ) A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【答案】D 【解析】由物理知识可知，密度，路程，质量，功只有大小，没有方向，因此是数量而速度，位移既有大小又有方向，因此是向量.故选：D 题型03：向量的模 【典型例题1】下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则不是共线向量 【答案】C 【解析】A. 因为向量不能比较大小，所以该选项错误； B. 若，则不一定相等，有可能它们方向不同，但是模相等，所以该选项错误； C. 若，则，所以该选项正确； D. 若，则也有可能是共线向量，有可能方向相同模不相等，有可能方向相反，所以该选项错误. 故选：C 【典型例题2】如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ）． A． B． C． D．与不能比较大小 【答案】A 【解析】根据题意，作图，结合向量的几何意义，可得答案.由题意，作图如下： 则该飞机由先飞到，再飞到，则，，， 则飞机飞行的路程为，， 所以. 故选：A. 【典型例题3】已知，若，则 . 【答案】 【解析】直接由勾股定理求值即可. 由勾股定理可知，，即. 故答案为：. 【变式训练3-1】在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】根据，可得，进一步得出答案. 如图，连接AC， 由，得. 因为为半圆上的点，所以， 所以． 故选：A. 【变式训练3-2】下列结论中，正确的是 ． ①零向量只有大小没有方向 ②对任一向量，||＞0总是成立的 ③|| ④与线段BA的长度不相等． 【答案】③ 【解析】根据向量的概念，逐项判断即可得解. ①中，既有大小又有方向的量叫向量，∴大小与方向是向量的两个要素，∴①不正确； ②中，零向量的模为0，∴②不正确； ③中，由于与方向相反大小相等，∴③正确； ④中，与线段BA的长度相等，∴④不正确 故答案为：③． 【变式训练3-3】已知平面向量，的夹角为120°，且，，的最小值是 . 【答案】 【解析】求向量的模即求其模的平方，进而转为二次函数求最值即得． 因为平面向量，的夹角为120°，且，， ∵， 所以当时， 故答案为： 【变式训练3-4】已知，若，则 . 【答案】 【解析】直接由勾股定理求值即可. 由勾股定理可知，，即. 故答案为：. 【变式训练3-5】已知圆O的周长是，是圆O的直径，C是圆周上一点，于点D，则 . 【答案】 【解析】根据题设可得圆O的半径为1，结合已知条件及含的直角三角形的性质即可求. 由题设，圆O的半径为1，又，如下图示： 在中，，，所以. 故答案为： 【变式训练3-6】下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】（1）由向量的几何表示判断；（2）（3）（4）根据对零向量的规定判断. （1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误； （2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误； （3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确； （4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确． 故选：B 【变式训练3-7】若向量，满足，，求的最大值及最小值. 【答案】最大值是18，最小值是6. 【解析】根据向量的三角不等式即可求解. 因为，， 所以，当且仅当向量，方向相同时取得等号； ，当且仅当向量，方向相反时取得等号. 所以的最大值是18，最小值是6. 题型04：.零向量与单位向量 【典型例题1】【多选】下列说法错误的是（    ） A．零向量没有方向 B．零向量与零向量共线 C．若，，则 D．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量 【答案】AD 【解析】根据零向量的性质，即可判断选项A，B，根据平面向量的概念和性质，即可判断选项C，D. 对于A，根据零向量的性质可知，零向量可以是任意方向的，故A错误； 对于B，根据零向量的性质可知，零向量与任意向量共线，故B正确； 对于C，根据向量的性质可知，若，则，故C正确； 对于D，温度只有正负，没有方向，则温度为数量，故D错误； 故选：AD. 【典型例题2】下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】（1）由向量的几何表示判断；（2）（3）（4）根据对零向量的规定判断. （1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误； （2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误； （3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确； （4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确． 故选：B 【典型例题3】给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等.其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】根据零向量及单位向量的概念即可求解. 解：对①：零向量的方向是任意的，故①错误； 对②：零向量的长度为0，故②正确； 对③：零向量的方向是任意的，故③正确； 对④：单位向量的模都等于1，故④正确. 故选：C. 【典型例题4】下列说法中，正确的是（    ） ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的； ③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线． A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【解析】根据零向量、单位向量的性质即可判断各项的正误. ①长度为0的向量都是零向量，正确； ②零向量的方向任意，故错误； ③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误； ④任意向量与零向量都共线，正确； 故选：D 【变式训练4-1】已知向量，是单位向量，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】单位向量的模长都为，方向不一定相同，所以正确，故选：C． 【变式训练4-2】如果将平面内所有单位向量的起点放在同一点，那么它们的终点构成的图形是（    ） A．正方形 B．圆 C．线段 D．点 【答案】B 【解析】由单位向量的概念即可得出结论. 把所有单位向量的起点平行移动到同一点，向量终点的集合是距离点为单位长的点，那么它们的终点构成的图形是圆. 故选：B. 【变式训练4-3】已知平面内两点P、Q的坐标分别为（-2，4）、（2，1），则的单位向量= 【答案】 【解析】利用向量的单位向量的计算公式，即可求解. 由题意，两点的坐标分别为，可得向量， 所以向量的单位向量. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了单位向量的计算与求解，其中解答中熟记向量的单位向量的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 【变式训练4-4】下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】C 【解析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. 【变式训练4-5】给出下列命题：①若，则；②若，则；③，其中正确命题的序号是 【答案】②③ 【解析】根据相关知识，逐项分析即可. 对于①若，则，而不是，故错误；对于②若，则，正确；对于③正确，故填②③. 【点睛】本题主要考查了零向量，向量的模，相反向量，属于中档题. 【变式训练4-6】．下列说法正确的是（    ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 【答案】C 【解析】根据零向量和单位向量的概念求解. 零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，任意两个单位向量长度相同，方向无法判断. 故选：C. 【变式训练4-7】下列说法正确的是（    ） A．单位向量均相等 B．单位向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 【答案】C 【解析】对于A：由方向不一定相同否定结论；对于B：单位向量.否定结论； 对于C：零向量与任意向量平行.即可判断；对于D：，的方向可以是任意的. 否定结论. 【详解】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误； 对于B：单位向量.故B错误； 对于C：零向量与任意向量平行.正确； 对于D：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的. 故选：C 题型05：.相等向量 【典型例题1】如图，设是正六边形的中心，则与不相等的向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，.故选：D. 【变式训练5-1】已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（ ） A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 【答案】B 【解析】在四边形ABCD中， ，所以，且， 所以四边形为平行四边形． 故选：B 【变式训练5-2】下列有关四边形的形状判断错误的是（ ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为梯形 C．若，且，则四边形为菱形 D．若，且，则四边形为正方形 【答案】D 【解析】A选项，，则，所以四边形为平行四边形，A正确. B选项，，则，所以四边形为梯形，B正确. C选项，，则，四边形是平行四边形；由于，所以四边形是菱形，C正确. D选项，，则，所以四边形为平行四边形；由于，所以四边形为菱形，D选项错误. 故选：D 题型06：共线向量 【典型例题1】下列命题正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【解析】A选项，由零向量的定义进行判断；B选项，根据向量的模及相等向量判断； C选项，根据向量的性质判断，D选项，根据共线向量的定义判断； 对于A项：零向量的方向是任意的并不是没有方向，故A项错误； 对于B项：因为向量的模相等，但向量不一定相等，故B项错误； 对于C项：因为，，所以可得：，故C项正确； 对于D项：若，则不共线的，也有，，故D项错误. 故选：C. 【典型例题2】已知命题 在△中，若， 则；命题向量与向量相等的充要条件是且.下列四个命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据条件分别判断命题和命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可. 命题：在中，若，由于余弦函数在上单调递减，则，故命题为真命题； 命题：向量与向量相等的充要条件是向量与向量大小相等，方向相同，则命题是假命题. 则为真命题. 故选：A 【典型例题3】给出下列命题：①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线.其中正确的是（ ） A．①② B．② C．②③ D．③④ 【答案】B 【解析】①起点相同，方向相同，但大小不一定相同，所以两个非零向量的终点不一定相同，故错误；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同，故正确；③两个平行的非零向量的方向相同或相反，故错误；④两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故错误. 故选：B 【变式训练6-1】已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（   ） A． B． C． D．不存在这样的向量 【答案】A 【详解】因为向量与是两个不平行的向量，且且， 所以等于， 故选：A 【变式训练6-2】给出下列四个命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则与的方向相同或相反 B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C．若，则 D．“”的充要条件是“且” 【答案】B 【解析】利用向量的概念和共线向量的概念逐项判断即可. 零向量方向是任意的，且与任意向量都平行，所以当时，时，， 但不满足两向量方向相同或相反，选项A错误； 因为A，B，C，D是不共线的四点，，所以，故四边形ABCD为平行四边形， 若四边形ABCD为平行四边形，则，所以“是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件，选项B正确； 当时，，但不一定有，选项C错误； 当时，有且，当且方向相反时，， 所以“”是“且”的充分不必要条件，选项D错误． 故选：B． 【变式训练6-3】下列说法正确的是（    ） A．若两个非零向量共线，则必在同一直线上 B．若与共线，与共线，则与也共线 C．若则 D．若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是或 【答案】D 【解析】根据共线向量的概念即可判断A,B,D;根据相等向量的概念可以判断C. 方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，因此D正确； 若非零向量是共线向量，则未必在同一直线上，A错； 若，则与共线，与共线，但是与未必共线，B错； 由可以得到的大小相等，但方向不一定相同，C错. 故选：D. 【变式训练6-4】如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 【答案】(1) (2)，，，，，，． 【解析】（1）根据向量相等的概念直接求解；（2）根据共线向量的概念直接求解即可. （1）因为四边形是平行四边形，四边形是矩形，所以，． ． （2）与共线的向量有，，，，，，． 【变式训练6-5】下列说法正确的是（    ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【答案】A 【解析】利用向量模的性质判断A，利用向量的终点性质判断B，举反例判断C，D即可. 因为，所以向量与向量的长度相等，故A正确， 对于两个有共同起点，且长度相等的向量， 它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误， 当时，与可能不共线，故C错误 两个单位向量平行也可能反向，则不相等，故D错误． 故选：A． 【变式训练6-6】下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】D 【解析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断. 对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误； 对B，，且，方向相同才可判断，故B错误； 对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误； 对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确. 故选：D 【变式训练6-7】下列说法正确的是（    ） A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 C．模为1的向量都是相等向量 D．向量的模可以比较大小 【答案】D 【解析】由向量的相关概念逐一判断即可. 向量是有大小又有方向的矢量，不能比较大小，故A错； 由于零向量的方向不确定，故规定零向量与任意向量平行，故B错； 长度相等、方向相同的向量称为相等向量，模长为1的向量只规定了长度相等，方向不一等相同，故C错； 向量的模长是一个数量，因此可以比较大小，故D正确. 故选：D. 【变式训练6-8】下列说法错误的是（    ）． A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【解析】根据向量的定义，相反向量，单位向量，模的定义，判断选项. 和长度相等，方向相反，故A正确； 单位向量的方向不确定，故起点相同时，终点不一定相同，故B错误； 向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C正确； 向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D正确． 故选：B 【变式训练6-9】在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD的形状是 . 【答案】梯形 【解析】利用向量关系得出对边平行且边长不等，进而得出答案. 在四边形ABCD中，因为，所以， 又，所以四边形ABCD的形状是梯形. 故答案为：梯形 【变式训练6-10】如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形. （1）图中与共线的向量有________； （2）图中与相等的向量有________； （3）图中与模相等的向量有_________________； （4）图中与是______向量（填“相等”或“不相等”）； （5）与相等吗？ 【答案】（1），，（2）（3），，，（4）相等（5）不相等 【解析】根据题意得，（1）图中与共线的向量为、、； （2）与相等的向量有； （3）图中与模相等的向量有，，，； （4）相等； （5）与不相等； 故答案为：（1），，（2）（3），，，（4）相等（5）不相等 【变式训练6-11】关于空间向量的命题： ①方向不同的两个向量不可能是共线向量； ②长度相等，方向相同的向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若，则． 其中所有真命题的序号有 ． 【答案】② 【解析】根据平面向量的相关概念逐项分析判断. 对于①：由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误； 对于②：长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确； 对于③：平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误； 对于④：若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误. 故答案为：②. 【变式训练6-12】下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是 （填序号）． 【答案】②③④ 【解析】由零向量的定义、向量相等的条件、向量共线的条件、向量模的定义，判断各说法是否正确. 由零向量的定义可知，①正确； 时，不知道两个向量的方向，不能得到或，②错误； 两个向量共线，与模是否相等无关，③错误； 当时，满足，，但不能得到，④错误. 故答案为：②③④ 【变式训练6-13】在中，为边上靠近点的一个三等分点，为线段上的动点，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】先求得、的等量关系，然后利用基本不等式即可求得答案. 依题意，，， 、、三点共线，， ， 当且仅当，，时，即时等号成立. 故答案为：.      【变式训练6-14】下列命题是真命题的是 . (填序号) ①若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量； ②若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量； ③向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上； ④向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上. 【答案】①④ 【解析】向量为自由向量，共线向量所在的直线不一定重合，也可能平行. ①为真命题，A，B，C，D在一条直线上，向量的方向相同或相反，因此与是共线向量； ②为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，则的方向不确定，不能判断与是否为共线向量； ③为假命题，因为两个向量所在的直线可能没有公共点，所以四点不一定在一条直线上； ④为真命题，因为两个向量所在的直线有公共点A，且与是共线向量，所以三点共线. 故答案为：①④ 【变式训练6-15】如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据正六边形的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A，由正六边形的性质可得四边形为平行四边形，故，故A正确. 对于B，因为，故，故B正确. 对于C，由正六边形的性质可得，故，故C正确. 对于D，因为交于，故不成立，故D错误， 故选：D. 【变式训练6-16】如图，已知向量，和点P，以点P为起点，分别画有向线段表示下列向量：      (1)的相等向量； (2)的相反向量． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【解析】（1）根据相等向量的定义画图即可； （2）根据相反向量的定义画图即可. （1）如图，作有向线段，使与同向且长度相等，则即为的相等向量． （2）如图，作有向线段，使与反向且长度相等，则即为的相反向量．    题型07：相等向量与共线向量判断 【典型例题1】设是正方形ABCD的中心，则（ ） A．向量，，，是相等的向量 B．向量，，，是平行的向量 C．向量，，，是模不全相等的向量 D．， 【答案】D 【解析】 对于A项，，不共线，故A项错误； 对于B项，显然不平行，且三点不共线，故B项错误； 对于C项，根据正方形的性质，可知，，，的长度相等，故C项错误； 对于D项，根据正方形的性质，方向相同，方向相同. 又，，，的长度相等，所以，，故D项正确.故选：D. 【变式训练7-1】在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量： ①共线向量： ； ②方向相反的向量： ； ③模相等的向量： . 【答案】与，与 与，与 【解析】观察图形，，因此与是共线向量，并且方向相反； 与是共线向量，并且方向相反， 显然，因此的模相等. 【变式训练7-2】如图，EF，CH将正方形ABCD分成四个单位正方形(边长为1个单位长度).在以图中各点为端点的所有向量中，除向量外，与平行的向量有哪些?与平行且是单位向量的有哪些? 【答案】答案见解析 【解析】根据平行向量的定义，由图可知， 与平行的向量有：，，，，，，，，，，，， ，，，，， 其中的单位向量有：，，，，，，，，，，. 【变式训练7-3】如图，是正六边形的中心，且，，．在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问： （1）与相等的向量有哪些？ （2）的相反向量有哪些？ （3）与的模相等的向量有哪些？ 【答案】（1）;（2） （3） 【解析】（1）由相等向量定义知：与相等的向量有. （2）由相反向量定义知：的相反向量有. （3）由向量模长定义知：与的模相等的向量有 . 题型08：平面向量的几何表示方法 【典型例题1】．下列说法正确的是（    ） A．身高是一个向量 B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量 C．有向线段由方向和长度两个要素确定 D．有向线段和有向线段的长度相等 【答案】D 【解析】根据向量的定义及性质判断各项的正误即可. A：由向量即有大小（模长）又有方向的量，显然身高不是向量，故A错； B：温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B错； C：有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故C错； D：有向线段和有向线段的长度相等，故D对. 故选：D 【典型例题2】．在正中，与的夹角等于 ． 【答案】 【解析】根据向量夹角定义直接得到答案. 在正中，与的夹角等于. 故答案为： 【典型例题3】如图，在中，可以用同一条有向线段表示的向量是（    ）    A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【解析】根据相等向量的概念，得到和是相等向量，即可求解. 对于A中，向量和的方向相反，但长度相等，所以和不是相等向量； 对于B中，向量和的方向相同且长度相等，所以和是相等向量， 对于C中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量； 对于D中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量； 所以只有向量和可以用同一条有向线段表示. 故选：B. 【典型例题4】对下面图形的表示恰当的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】图像有起点有终点，有箭头有方向，可知其代表的是向量.故选：C. 【典型例题5】已知向量如图所示，下列说法不正确的是（ ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 【答案】D 【解析】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确．故选D． 【典型例题6】．在平面直角坐标系xOy中有三点，，．请用有向线段分别表示由A到B，由B到C，由C到A的位移． 【答案】答案见详解 【解析】求A到B的位移即向量，同理求出向量，即可.    如图，有向线段表示A到B的位移，有向线段表示B到C的位移，有向线段表示C到A的位移. 【典型例题7】．某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量，和． 【答案】答案见解析. 【解析】根据题意，在平面内任取一点为，按照要求进行绘制即可. 根据题意，在平面内任取一点为，按照题意要求方向，作线段，， 则向量，和如下所示： . 【变式训练8-1】画图表示小船的下列位移（用的比例尺）： （1）由A地向东北方向航行15km到达B地； （2）由A地向北偏西30°方向航行20km到达C地； （3）由C地向正南方向航行20km到达D地． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析 【解析】（1）根据的比例尺，即图上，作图如下， （2）根据的比例尺，即图上，作图如下， （3）根据的比例尺，即图上，作图如下， 【变式训练8-2】如图，以方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？ 【答案】答案见解析 【解析】模为的向量；模为的向量；模为的向量；模为的向量； 模为的向量；模为的向量共有个模， 下面对方向分析，正方形的边对应的向量共有个方向， 边长为的正方形的对角线对应的向量共个方向； 的矩形的对角线对应的向量共个方向； 的矩形对角线对应的向量共有个方向，所以共有个方向 【变式训练8-3】如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：n mile）．    【答案】2 n mile． 【解析】在直角三角形中求得向量的长度． 由题意， 所以向量的长度为2 n mile． 【变式训练8-4】在如图的方格纸中，画出下列向量．    (1)，点在点的正西方向； (2)，点在点的北偏西方向； (3)求出的值． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)3 【解析】（1）根据向量的大小和方向，作向量， （2）根据向量的大小和方向，作向量， （3）根据向量的模的定义求. （1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下：    （2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下：    （3）   . 【变式训练8-5】如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． (1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）； (2)求的模． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【解析】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量； （2）由题意可知，四边形是平行四边形，则可求得的模. （1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为， 又因为D点在B点的正北方，所以， 又，所以，即D、 C两点在坐标系中的坐标为，； 即可作出、、如下图所示. （2）如图，作出向量， 由题意可知，且， 所以四边形是平行四边形， 则， 所以的模为 【变式训练8-6】．选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量． (1)终点A在起点O正东方向3m处； (2)终点B在起点O正西方向3m处； (3)终点C在起点O东北方向4m处； (4)终点D在起点O西南方向2m处． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析； (4)答案见解析． 【解析】（1）从向东作长度为3m的有向线段； （2）从向西作长度为3m的有向线段； （3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段； （4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段． （1）从向东作长度为3m的有向线段：    （2）从向西作长度为3m的有向线段：    （3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段：    （4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段：    题型09：平面向量在几何中的应用 【典型例题1】已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（ ） A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 【答案】B 【解析】在四边形ABCD中， ，所以，且， 所以四边形为平行四边形．故选：B 【典型例题2】已知四边形，下列说法正确的是（ ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为矩形 C．若，且，则四边形为矩形 D．若，且，则四边形为梯形 【答案】A 【解析】A选项，若，则且，则四边形为平行四边形，正确； 选项，如图 ，但是四边形不是矩形，错误； 选项，若，且， 则四边形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故错误． 选项，若，且， 则四边形可以是平行四边形，也可以是梯形，故错误.故选：A 【变式训练9-1】已知是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据向量平行的意义进行判断即可. 一方面，时，可能共线，此时不构成四边形，充分性不成立； 另一方面，四边形为平行四边形时，则，故，必要性成立. 故“”是“四边形为平行四边形”的必要不充分条件. 故选：B 【变式训练9-2】如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：. 【答案】见解析 【解析】因为，所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以且. 又与的方向相同，所以. 同理可证，四边形是平行四边形，所以. 因为，，所以， 又与的方向相同，所以 【变式训练9-3】在平行四边形中，，分别为边、的中点，如图． （1）写出与向量共线的向量； （2）求证：． 【答案】（1）,；（2）证明见解析 【解析】（1）据题意，与向量共线的向量为：, ； （2）证明：是平行四边形，且，分别为边，的中点， ，且， 四边形是平行四边形， ，且，． 题型10：平面向量在实际问题中的应用 【典型例题1】某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量，和． 【答案】答案见解析. 【解析】根据题意，在平面内任取一点为， 按照题意要求方向，作线段，， 则向量，和如下所示： 【典型例题2】如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（ ）． A． B． C． D．与不能比较大小 【答案】A 【解析】由题意，作图如下： 则该飞机由先飞到，再飞到， 则，，， 则飞机飞行的路程为，，所以.故选：A. 【变式训练10-1】如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． （1）作出、、（图中1个单位长度表示100m）； （2）求的模． 【答案】（1）作图见解析；（2） 【解析】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为， 又因为D点在B点的正北方，所以， 又，所以， 即D、C两点在坐标系中的坐标为，； 即可作出、、如下图所示. （2）如图，作出向量， 由题意可知，且， 所以四边形是平行四边形， 则，所以的模为 【变式训练10-2】某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． （1）作出向量，，； （2）求 的模． 【答案】（1）见解析；（2）米 【解析】（1）作出向量，，；如图所示： （2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米， 所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米， 所以AD＝＝(米)， 所以|米. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 平面向量基本概念 目 录 思维导图 1 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 5 题型归纳 5 题型01：平面向量的基本概念理解 5 题型02：向量与数量的辨析 9 题型03：向量的模 9 题型04：.零向量与单位向量 11 题型05：.相等向量 14 题型06：共线向量 15 题型07：相等向量与共线向量判断 19 题型08：平面向量的几何表示方法 21 题型09：平面向量在几何中的应用 25 题型10：平面向量在实际问题中的应用 27 平面向量基本概念是高考数学的基础必考点，常以基础客观题为主，侧重概念辨析与简单应用，同时也是向量综合问题的解题前提，以下从考情、考点、命题规律及备考建议展开分析。 一、考情概况 1. 考查形式与分值：多以选择题、填空题出现，题号靠前，难度多为基础或中档，全国卷单题分值通常为5分，极少单独出解答题，常与线性运算、坐标表示等结合考查。 2. 核心素养：重点考查直观想象、数学运算、逻辑推理素养，强调向量“数”与“形”的双重属性，凸显数形结合、转化与化归思想的应用。 二、命题规律与趋势 1. 基础概念辨析：高频考查零向量、共线向量、单位向量等概念的正误判断，常设置易混淆选项，如将共线向量等同于相等向量、忽略零向量的特殊性等，需精准理解概念本质。 2. 结合线性运算：与向量加法、减法、数乘运算结合，考查向量的几何表示与线性表示，如用基底表示未知向量，或结合三角形、平行四边形考查向量关系。 3. 渗透综合应用：作为工具与平面几何、解析几何、三角函数等知识结合，如在解析几何中利用向量共线判断直线位置关系，此类题型难度中等，侧重知识迁移能力。 4. 命题趋势：近年命题更注重基础，强调概念的本质理解，减少复杂运算，同时逐步增加与生活实际、其他数学模块的关联，突出向量的工具性作用。 平面向量基本概念的学习目标聚焦“理解本质、掌握核心、能辨会用”，具体如下： 1. 知识目标 （1） 精准掌握向量、零向量、单位向量、共线（平行）向量、相等向量的定义与核心特征，明确向量与数量的本质区别。 （2）牢记零向量、单位向量的特殊性质（如零向量与任一向量平行），厘清共线向量与相等向量的关系。 2. 能力目标 （1）能准确识别、表示各类向量，通过图形直观分析向量的方向与大小关系。 （2）具备判断向量相关命题正误的能力，能辨析易混概念（如区分共线与相等、单位向量的方向多样性）。 (3）初步运用向量基本概念解决简单几何问题（如判断线段平行、相等关系），为后续向量运算打基础。 3. 素养目标 （1） 培养直观想象素养，通过“数”（模）与“形”（方向）结合理解向量双重属性。 （2） 提升逻辑推理素养，通过概念辨析、命题判断形成严谨的数学思维。 （3） 体会数形结合、转化与化归思想，感知向量作为数学工具的实用性。 平面向量的有关概念 1·定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （1）向量的表示方法： ①具有方向的线段，叫做有向线段，以为始点，为终点的有向线段记作 ，的长度 记作.用有向线段表示向量，读作向量；(有向线段的三要素：起点、方向、长度) ②用小写字母表示：、. (印刷时，用黑体小写字母，手写时，小写字母要带箭头) (2)数量与向量的区别： ①数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小 ②向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. （3）向量与有向线段的区别和联系： ①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； ②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段； ③向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段.向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段. 2·向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．能比较大小 求平面向量的模常见方法： ①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． 3·特殊向量： 1 零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(注意与的含义与书写区别) 2 单位向量：长度等于1个单位的向量．与非零向量共线的单位向量. ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． 平行向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆． (4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量．模相等，方向相同； ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．模相等，方向相反. 说明：任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. 注意：（一）五个特殊向量 (1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0. (2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． (3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量． (4)与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－. （二）辨析向量有关概念的五个关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度． (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度． (5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线． 平面向量基本概念的解题核心是“抓定义本质、辨特殊情况、借数形结合”，具体策略如下： 一． 定义优先策略：紧扣概念核心特征 解题时先回归定义，以“大小+方向”为判断依据（向量的双重属性）： 1.涉及零向量：优先想到“长度为0，方向任意”，尤其注意“零向量与任一向量平行”的特殊性； 2.涉及单位向量：聚焦“长度为1”，忽略方向不唯一的陷阱； 3.区分共线/相等向量：共线只需“方向相同/相反”，相等需“长度+方向均相同”，二者不可混淆。 二． 图形辅助策略：化抽象为直观 向量问题常可通过画图简化，用有向线段表示向量，直观呈现方向、长度关系： 1.判断共线向量：观察有向线段是否平行（或在同一直线）； 2.分析相等向量：对比有向线段的长度和指向是否完全一致； 3.处理复杂命题：画图举例验证（如举零向量的反例排除错误选项）。 三．反例排除策略：规避易错陷阱 面对概念辨析题（尤其是判断题、选择题），用“反例法”快速排除错误选项： 1.若选项说“单位向量都相等”，举“水平向右和竖直向上的单位向量”反例； 2. 若选项说“共线向量一定相等”，举“方向相反、长度不同的共线向量”反例； 3.重点关注含“一定”“所有”“都”等绝对化表述的选项，优先用特殊向量（零向量、单位向量）验证。 四． 转化迁移策略：衔接后续知识 基础概念题常与简单线性运算结合，解题时需转化为“几何意义”或“代数表示”： 1.如用基底表示向量时，依托相等向量、共线向量的性质，将未知向量转化为已知向量的组合； 2与平面几何结合时，用向量共线判断直线平行，用相等向量判断线段相等，实现“向量问题→几何问题”的转化。 题型01：平面向量的基本概念理解 平行向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆． (4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量． 【典型例题1】1.下列说法正确的是（ ） A．向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上 B．两个有共同终点的向量，一定是共线向量 C．长度相等的向量叫做相等向量 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 【答案】D 【解析】分析：根据题意，结合向量的定义依次分析四个命题，综合即可得答案．详解： A，若向向量与向量是共线向量，则，或点在同一条直线上，故A错误； 对于B，共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不相同又不相反，故B错误； 对于C，长度相等的向量不一定相等向量，故C错误； 对于D，相等向量是大小相等，方向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，正确； 故选D. 点睛：本题考查向量的基本定义，关键是理解向量有关概念的定义． 【典型例题2】.下列说法： ①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同； ②若向量，满足，且与同向，则； ③若两个非零向量与满足，则，为相反向量； ④的充要条件是A与C重合，B与D重合. 其中错误的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】①错误. 两个空间向量相等，但与起点和终点的位置无关；②错误. 向量不能比较大小；③正确. ，为相反向量；④错误.   A与C，B与D不一定重合. ①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关. ②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小. ③正确. ，得，且，为非零向量，所以，为相反向量. ④错误. 由，知，且与同向，但A与C，B与D不一定重合. 故选：C 【点睛】易错点睛：向量是一个既有大小，又有方向的矢量，考虑向量的问题时，一定要注意这一点. 【典型例题3】．下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【答案】B 【解析】根据零向量特点即可判断A；根据向量模的定义即可判断B，根据单位向量以及向量共线的性质即可判断CD. 对A，既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误； 对B，由于与方向相反，长度相等，故B正确； 对C，起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误； 对D，若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误． 故选：B． 【变式训练1-1】．下列说法正确的是（    ） A．若两个非零向量共线，则必在同一直线上 B．若与共线，与共线，则与也共线 C．若则 D．若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是或 【变式训练1-2】设为单位向量，下列命题中：①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则，假命题的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练1-3】设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是（     ） A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b| 【变式训练1-4】(多选)下列命题正确的有(　　) A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．单位向量都相等 C．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 D．“若A，B，C，D是不共线的四点，且＝”⇔“四边形ABCD是平行四边形” 【变式训练1-5】．下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【变式训练1-5】．下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 题型02：向量与数量的辨析 【典型例题】下列各量中是向量的为（ ） A．海拔 B．压强 C．加速度 D．温度 【答案】C 【解析】向量是既有大小，又有方向的量， 海拔，压强，温度只有大小，没有方向，加速度既有大小，又有方向， 加速度是向量，故选：． 【变式训练2-1】给出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是( ) A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 题型03：向量的模 【典型例题1】下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则不是共线向量 【答案】C 【解析】A. 因为向量不能比较大小，所以该选项错误； B. 若，则不一定相等，有可能它们方向不同，但是模相等，所以该选项错误； C. 若，则，所以该选项正确； D. 若，则也有可能是共线向量，有可能方向相同模不相等，有可能方向相反，所以该选项错误. 故选：C 【典型例题2】如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ）． A． B． C． D．与不能比较大小 【答案】A 【解析】根据题意，作图，结合向量的几何意义，可得答案.由题意，作图如下： 则该飞机由先飞到，再飞到，则，，， 则飞机飞行的路程为，， 所以. 故选：A. 【典型例题3】已知，若，则 . 【答案】 【解析】直接由勾股定理求值即可. 由勾股定理可知，，即. 故答案为：. 【变式训练3-1】在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【变式训练3-2】下列结论中，正确的是 ． ①零向量只有大小没有方向 ②对任一向量，||＞0总是成立的 ③|| ④与线段BA的长度不相等． 【变式训练3-3】已知平面向量，的夹角为120°，且，，的最小值是 . 【变式训练3-4】已知，若，则 . 【变式训练3-5】已知圆O的周长是，是圆O的直径，C是圆周上一点，于点D，则 . 【变式训练3-6】下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练3-7】若向量，满足，，求的最大值及最小值. 题型04：.零向量与单位向量 【典型例题1】【多选】下列说法错误的是（    ） A．零向量没有方向 B．零向量与零向量共线 C．若，，则 D．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量 【答案】AD 【解析】根据零向量的性质，即可判断选项A，B，根据平面向量的概念和性质，即可判断选项C，D. 对于A，根据零向量的性质可知，零向量可以是任意方向的，故A错误； 对于B，根据零向量的性质可知，零向量与任意向量共线，故B正确； 对于C，根据向量的性质可知，若，则，故C正确； 对于D，温度只有正负，没有方向，则温度为数量，故D错误； 故选：AD. 【典型例题2】下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】（1）由向量的几何表示判断；（2）（3）（4）根据对零向量的规定判断. （1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误； （2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误； （3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确； （4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确． 故选：B 【典型例题3】给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等.其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】根据零向量及单位向量的概念即可求解. 解：对①：零向量的方向是任意的，故①错误； 对②：零向量的长度为0，故②正确； 对③：零向量的方向是任意的，故③正确； 对④：单位向量的模都等于1，故④正确. 故选：C. 【典型例题4】下列说法中，正确的是（    ） ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的； ③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线． A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【解析】根据零向量、单位向量的性质即可判断各项的正误. ①长度为0的向量都是零向量，正确； ②零向量的方向任意，故错误； ③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误； ④任意向量与零向量都共线，正确； 故选：D 【变式训练4-1】已知向量，是单位向量，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】如果将平面内所有单位向量的起点放在同一点，那么它们的终点构成的图形是（    ） A．正方形 B．圆 C．线段 D．点 【变式训练4-3】已知平面内两点P、Q的坐标分别为（-2，4）、（2，1），则的单位向量= 【变式训练4-4】下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【变式训练4-5】给出下列命题：①若，则；②若，则；③，其中正确命题的序号是 【变式训练4-6】．下列说法正确的是（    ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 【变式训练4-7】下列说法正确的是（    ） A．单位向量均相等 B．单位向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 题型05：.相等向量 【典型例题1】如图，设是正六边形的中心，则与不相等的向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，.故选：D. 【变式训练5-1】已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（ ） A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 【变式训练5-2】下列有关四边形的形状判断错误的是（ ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为梯形 C．若，且，则四边形为菱形 D．若，且，则四边形为正方形 题型06：共线向量 【典型例题1】下列命题正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【解析】A选项，由零向量的定义进行判断；B选项，根据向量的模及相等向量判断； C选项，根据向量的性质判断，D选项，根据共线向量的定义判断； 对于A项：零向量的方向是任意的并不是没有方向，故A项错误； 对于B项：因为向量的模相等，但向量不一定相等，故B项错误； 对于C项：因为，，所以可得：，故C项正确； 对于D项：若，则不共线的，也有，，故D项错误. 故选：C. 【典型例题2】已知命题 在△中，若， 则；命题向量与向量相等的充要条件是且.下列四个命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据条件分别判断命题和命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可. 命题：在中，若，由于余弦函数在上单调递减，则，故命题为真命题； 命题：向量与向量相等的充要条件是向量与向量大小相等，方向相同，则命题是假命题. 则为真命题. 故选：A 【典型例题3】给出下列命题：①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线.其中正确的是（ ） A．①② B．② C．②③ D．③④ 【答案】B 【解析】①起点相同，方向相同，但大小不一定相同，所以两个非零向量的终点不一定相同，故错误；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同，故正确；③两个平行的非零向量的方向相同或相反，故错误；④两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故错误. 故选：B 【变式训练6-1】已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（   ） A． B． C． D．不存在这样的向量 【变式训练6-2】给出下列四个命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则与的方向相同或相反 B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C．若，则 D．“”的充要条件是“且” 【变式训练6-3】下列说法正确的是（    ） A．若两个非零向量共线，则必在同一直线上 B．若与共线，与共线，则与也共线 C．若则 D．若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是或 【变式训练6-4】如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 【变式训练6-5】下列说法正确的是（    ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【变式训练6-6】下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【变式训练6-7】下列说法正确的是（    ） A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 C．模为1的向量都是相等向量 D．向量的模可以比较大小 【变式训练6-8】下列说法错误的是（    ）． A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【变式训练6-9】在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD的形状是 . 【变式训练6-10】如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形. （1）图中与共线的向量有________； （2）图中与相等的向量有________； （3）图中与模相等的向量有_________________； （4）图中与是______向量（填“相等”或“不相等”）； （5）与相等吗？ 【变式训练6-11】关于空间向量的命题： ①方向不同的两个向量不可能是共线向量； ②长度相等，方向相同的向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若，则． 其中所有真命题的序号有 ． 【变式训练6-12】下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是 （填序号）． 【答案】②③④ 【解析】由零向量的定义、向量相等的条件、向量共线的条件、向量模的定义，判断各说法是否正确. 由零向量的定义可知，①正确； 【变式训练6-13】在中，为边上靠近点的一个三等分点，为线段上的动点，且，则的最小值为 . 【变式训练6-14】下列命题是真命题的是 . (填序号) ①若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量； ②若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量； ③向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上； ④向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上. 【变式训练6-15】如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练6-16】如图，已知向量，和点P，以点P为起点，分别画有向线段表示下列向量：      (1)的相等向量； (2)的相反向量． 题型07：相等向量与共线向量判断 【典型例题1】设是正方形ABCD的中心，则（ ） A．向量，，，是相等的向量 B．向量，，，是平行的向量 C．向量，，，是模不全相等的向量 D．， 【答案】D 【解析】 对于A项，，不共线，故A项错误； 对于B项，显然不平行，且三点不共线，故B项错误； 对于C项，根据正方形的性质，可知，，，的长度相等，故C项错误； 对于D项，根据正方形的性质，方向相同，方向相同. 又，，，的长度相等，所以，，故D项正确.故选：D. 【变式训练7-1】在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量： ①共线向量： ； ②方向相反的向量： ； ③模相等的向量： . 【变式训练7-2】如图，EF，CH将正方形ABCD分成四个单位正方形(边长为1个单位长度).在以图中各点为端点的所有向量中，除向量外，与平行的向量有哪些?与平行且是单位向量的有哪些? 【变式训练7-3】如图，是正六边形的中心，且，，．在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问： （1）与相等的向量有哪些？ （2）的相反向量有哪些？ （3）与的模相等的向量有哪些？ 题型08：平面向量的几何表示方法 【典型例题1】．下列说法正确的是（    ） A．身高是一个向量 B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量 C．有向线段由方向和长度两个要素确定 D．有向线段和有向线段的长度相等 【答案】D 【解析】根据向量的定义及性质判断各项的正误即可. A：由向量即有大小（模长）又有方向的量，显然身高不是向量，故A错； B：温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B错； C：有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故C错； D：有向线段和有向线段的长度相等，故D对. 故选：D 【典型例题2】．在正中，与的夹角等于 ． 【答案】 【解析】根据向量夹角定义直接得到答案. 在正中，与的夹角等于. 故答案为： 【典型例题3】如图，在中，可以用同一条有向线段表示的向量是（    ）    A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【解析】根据相等向量的概念，得到和是相等向量，即可求解. 对于A中，向量和的方向相反，但长度相等，所以和不是相等向量； 对于B中，向量和的方向相同且长度相等，所以和是相等向量， 对于C中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量； 对于D中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量； 所以只有向量和可以用同一条有向线段表示. 故选：B. 【典型例题4】对下面图形的表示恰当的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】图像有起点有终点，有箭头有方向，可知其代表的是向量.故选：C. 【典型例题5】已知向量如图所示，下列说法不正确的是（ ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 【答案】D 【解析】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确．故选D． 【典型例题6】．在平面直角坐标系xOy中有三点，，．请用有向线段分别表示由A到B，由B到C，由C到A的位移． 【答案】答案见详解 【解析】求A到B的位移即向量，同理求出向量，即可.    如图，有向线段表示A到B的位移，有向线段表示B到C的位移，有向线段表示C到A的位移. 【典型例题7】．某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量，和． 【答案】答案见解析. 【解析】根据题意，在平面内任取一点为，按照要求进行绘制即可. 根据题意，在平面内任取一点为，按照题意要求方向，作线段，， 则向量，和如下所示： . 【变式训练8-1】画图表示小船的下列位移（用的比例尺）： （1）由A地向东北方向航行15km到达B地； （2）由A地向北偏西30°方向航行20km到达C地； （3）由C地向正南方向航行20km到达D地． 【变式训练8-2】如图，以方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？ 【变式训练8-3】如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：n mile）． 【变式训练8-4】在如图的方格纸中，画出下列向量．    (1)，点在点的正西方向； (2)，点在点的北偏西方向； (3)求出的值． . 【变式训练8-5】如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． (1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）； (2)求的模． 【变式训练8-6】．选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量． (1)终点A在起点O正东方向3m处； (2)终点B在起点O正西方向3m处； (3)终点C在起点O东北方向4m处； (4)终点D在起点O西南方向2m处． 题型09：平面向量在几何中的应用 【典型例题1】已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（ ） A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 【答案】B 【解析】在四边形ABCD中， ，所以，且， 所以四边形为平行四边形．故选：B 【典型例题2】已知四边形，下列说法正确的是（ ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为矩形 C．若，且，则四边形为矩形 D．若，且，则四边形为梯形 【答案】A 【解析】A选项，若，则且，则四边形为平行四边形，正确； 选项，如图 ，但是四边形不是矩形，错误； 选项，若，且， 则四边形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故错误． 选项，若，且， 则四边形可以是平行四边形，也可以是梯形，故错误.故选：A 【变式训练9-1】已知是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练9-2】如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：. 【变式训练9-3】在平行四边形中，，分别为边、的中点，如图． （1）写出与向量共线的向量； （2）求证：． 题型10：平面向量在实际问题中的应用 【典型例题1】某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量，和． 【答案】答案见解析. 【解析】根据题意，在平面内任取一点为， 按照题意要求方向，作线段，， 则向量，和如下所示： 【典型例题2】如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（ ）． A． B． C． D．与不能比较大小 【答案】A 【解析】由题意，作图如下： 则该飞机由先飞到，再飞到， 则，，， 则飞机飞行的路程为，，所以.故选：A. 【变式训练10-1】如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． （1）作出、、（图中1个单位长度表示100m）； （2）求的模． 【变式训练10-2】某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． （1）作出向量，，； （2）求 的模． 1 学科网（北京）股份有限公司 $