3.7 二次函数的图象与性质-【一战成名新中考】2026中考数学·纯练版总复习·一轮章节分层练优质PPT课件

该初中数学中考复习课件全面覆盖二次函数的基本性质、解析式确定、与方程不等式关系、图象变换等中考核心考点，严格对接中考说明，通过命题点分类分析考点权重，归纳出表达式转化、最值求解、多解法应用等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于以中考真题为载体，如2024广元解析式确定题、2025威海最值比较题，通过推理意识培养学生分类讨论能力，结合模型意识指导多解法突破策略，助力学生掌握答题技巧提高得分率，为教师提供系统复习框架，有效提升中考冲刺效率。

数学 1 2 第三章 函 数 第七节 二次函数的图象与性质 3 二次函数的基本性质 1.按要求将二次函数的表达式转化为其他形式： （1）二次函数 化为顶点式为_________________； （2）二次函数 化为一般式为_________________； （3）二次函数 化为一般式为________________. 4 2.根据已知条件写出你能得到的信息（如开口方向、对称轴、增减性等）， 看谁写得多，并在画图区内画出大致图象. （1） ； 画图区： 信息： 二次函数图象开口向上，顶点坐标为，与轴交于点，对称轴为直线，当时，有最小值0，当时，随的增大而减小，当时，随 的增大而增大 5 （2）已知, 的几组对应值如表所示. … 0 1 2 3 … … 0 1 0 … 画图区： 信息： 二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，有最大值为1，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 6 3.[2025威海]已知点，， 都在二次函数 的图象上，则，， 的大小关系是（ ） A. B. C. D. √ 7 4.已知二次函数 . （1）当时， 的最大值为___，最小值为____； 7 【解析】当时，随的增大而减小， 当时， 取得 最大值为7，当时，取得最小值为 ； （2）当时， 的最大值为____，最小值为____； 14 【解析】当时，随的增大而增大， 当时， 取得最小 值为，当时， 取得最大值为14； 8 （3）当时， 的最大值为___，最小值为____. 2 【解析】当时，， 当时，取得最小值 ， 又， 当时， 取得最大值2. 9 自变量取值范围确定，求二次函数最值需要分情况讨论： ①若对称轴在自变量取值范围内，则要从顶点和自变量取值范围的两个端 点中确定二次函数的最值； ②若对称轴不在自变量取值范围内，则要从自变量取值范围的两个端点中 确定二次函数的最值. 【解析】由二次函数 可知，抛物线开口向上，对称轴为直 线 . 10 第5题图 5.[2024呼和浩特]在同一平面直角坐标系中，函数 和 的图象大致如图所示，则 函数 的图象大致为 （ ） A. B. C. D. √ 11 6.如图，抛物线的对称轴为直线，与 轴的 一个交点的坐标为 ，下列结论： 第6题图 ；；； ； ； . 其中正确的是__________（填序号）. ②③④⑥ 12 【解析】 二次函数的图象开口向上，与轴的交点在 轴负半轴上， ，， 二次函数的对称轴为直线， ， ，，故①错误； 二次函数的图象与 轴有两个不 同的交点，，故②正确；根据图象可知，当 时， ，，故③正确； 二次函数的图象与 轴的一个交点 的坐标为，，，故④正确； ， ，故⑤错误；根据图象可知，当时， ， ，故⑥正确，综上所述，正确的有②③④⑥. 二次函数解析式的确定 7.[2024广元节选]在平面直角坐标系中，抛物线 经过 点，与轴交于点 ，求抛物线的函数解析式. 解：将，代入 ， 得：解得 抛物线的函数解析式为 . 14 8.［北师九下P43第1题改编］已知抛物线的顶点坐标为，且过点 ， 求抛物线的解析式. 解：设抛物线的解析式为 ， 将代入，得，解得 ， 抛物线的解析式为 . 15 9.多解法 已知抛物线的对称轴为直线 ，且经过点 ，求抛物线的解析式. 解：解法一： 抛物线的对称轴为直线 ， ,解得 ， 又 抛物线经过点，，解得 ， 抛物线的解析式为 . 16 解法二：抛物线的对称轴为直线，且与 轴交于点 ， 抛物线与轴的另一个交点为 ， 抛物线的解析式为 . 17 10.如图，直线与轴,轴分别交于, 两点，抛物线 经过, 两点.求抛物线的解析式. 第10题图 18 第10题图 解： 直线与轴，轴分别交于， 两点， ， ， 抛物线经过， 两点， 抛物线的解析式为 19 二次函数与方程、不等式的关系 11.如图是二次函数 的部分图象. 第11题图 （1）方程 的解是_______________；方程 的解是______________； , , 20 第11题图 （2）若，则方程 的解有___个； 2 （3）不等式 的解集是____________； 不等式 的解集是_____________. 或 21 12.易错 [2024宁夏]若二次函数的图象与轴有交点，则 的取值范围是_______. 变式12-1题图 22 变式12-1 多解法 [2024辽宁]如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与轴相交于点，，点的坐标为，若点 在 抛物线上，则 的长为___. 4 23 【解析】解法一： 抛物线过点， ， 解得 抛物线的解析式为 ， 抛物线的对称轴是直线 抛物线 与轴的交点为和， . 解法二：抛物线与轴交于点，又 ， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的一交点为 ， 另一交点为， . 24 变式12-2 已知二次函数为常数 .求证： 不论为何值，该二次函数图象与 轴总有两个公共点. 证明：当时， ， ， 解得， ， 不论为何值，该二次函数图象与 轴总有两个公共点. 25 二次函数图象的变换 13.[2025上海]抛物线 向下平移两个单位所得的抛物线解析式为 ____________. 求平移后二次函数解析式的思路： 若为一般式，需要先化为顶点式，根据平移方式即可得到平移后的顶点坐 标，结合平移不改变二次项系数即可得到平移后对应的顶点式. 26 变式13-1 [2024济宁]将抛物线向下平移 个单位长度.若 平移后得到的抛物线与轴有公共点，则 的取值范围是_______. 【解析】将抛物线向下平移 个单位长度得 ， 平移后得到的抛物线与 轴有公共点， ，解得 . 27 变式13-2 [2024牡丹江]将抛物线 向下平移5个单位长度后， 经过点，则 ___. 2 【解析】抛物线 向下平移5个单位长度后得到 ，把点 代入得到 ， . 28 14.[2024烟台改编]已知抛物线，将抛物线绕点 旋 转 后，得到新抛物线的解析式为________________；将抛物线沿 轴翻折后，得到的新抛物线的解析式为________________；将抛物线沿 轴翻折后，得到的新抛物线的解析式为_________________. 29 15.[2024泸州]已知二次函数是自变量 的图 象经过第一、二、四象限，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【解析】 二次函数的图象经过第一、二、四象限，， ， ，解得，的取值、 范围为 . √ 30 16.[2024苏州]二次函数的图象过点 ， ，，，其中，为常数，则 的值为____. 【解析】将，，代入 ， 得 ，把 代入得， ， . 31 17.多解法 [2023南充]若点在抛物线 上，则下列各 点在抛物线 上的是（ ） A. B. C. D. √ 32 【解析】解法一： 点在抛物线上， ， 把代入得，也不等于 ，故点 和点不在抛物线 上，A，C不合题意； 把代入得，故点 不在抛 物线上，B不合题意；把代入 得 ，故点在抛物线 上，D 符合题意. 33 解法二：抛物线可看作是抛物线 向左平移1个单位 长度得到的，点 向左平移1个单位长度后所得的点的坐标为 . 34 18.[2025陕西]在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴有两个交点，且这两个交点分别位于 轴两侧，则下列 关于该函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随 值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， √ 35 【解析】 二次函数的图象与 轴的两个交 点分别位于轴两侧， 一元二次方程 的两根异 号，，解得， 二次项系数 ，函数图象 开口向上，故结论A错误； 的对称轴为直 线， 当时，随 的增大而增大，故结论B错误； 当时，， 函数最小值为，故结论C错误；当 时，，， ，故结论D正确. 36 19.[2024青岛]二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ，则过点和点 的直线一定不经 过（ ） 第19题图 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 √ 37 第19题图 【解析】 函数图象开口向上，与轴交于正半轴，与 轴没有交点， ，，， 对称轴 为直线， ， ，在 轴正半轴 上，当时， ，则 在第二象限， 过 点， 的直线一定不经过第三象限. 38 20.[2022遂宁]抛物线，，为常数 的部分图象如图所 示，设，则 的取值范围是____________. 第20题图 39 【解析】 抛物线开口向上，， 抛物线的对称轴在 轴左侧，抛 物线经过点，，时，， ， ， 抛物线经过，， 抛物线经过 ，，， ， ，，， . 21.多解法 [2024福建]已知二次函数 的图象经过 ， 两点，则下列判断正确的是（ ） A. 可以找到一个实数，使得 B. 无论实数取什么值，都有 C. 可以找到一个实数，使得 D. 无论实数取什么值，都有 √ 41 【解析】解法一：二次函数 的图象经过 ，两点， ， ， ， ，恒小于，故A，B错误；令 ，解 得或， 当时，，当或 时， ， 正确，D错误. 42 解法二：二次函数解析式为， 二次函数的图 象开口向上，且对称轴为直线，顶点坐标为 ，当 时，，，当时， ， ，故A，B错误，不符合题意；当 时， ，由二次函数对称性可知点和点 关于对称轴 对称，在对称轴右侧，随的增大而增大，所以当 时， 43 ；当时， ，由二次函数对称性可知点 和点关于对称轴对称，在对称轴左侧，随 的增大而减小， 所以当时， 不一定大于0，故C正确，符合题意；D错误，不 符合题意. 22.[2024烟台]已知二次函数的与 的部分对应值如表： 1 5 0 5 9 5 下列结论：；②关于的一元二次方程 有两个 相等的实数根；③当时，的取值范围为 ；④若点 ，均在二次函数图象上，则 ；⑤满足 的的取值范围是或 .其中正确结论的 序号为________. ①②④ 45 第22题解图 【解析】把，，代入 得 解得 ，故 ①正确；，，， ，当 时， ，， 关 于的一元二次方程 有两个相等的 实数根，故②正确；根据表中数据可知该抛物线的 46 顶点坐标为， 当时，的取值范围为 ，故 ③错误；， 点，关于直线 对称，，故④正确；由 得 第22题解图 ，即 ， 画出函数和 图象如解图. 联立解得， ，由图 象可得，当或 时， ，即 ，故⑤错误，综上， 正确的结论为①②④. 23.[2024无锡节选]已知二次函数的图象经过点 和点 . （1）求这个二次函数的表达式； 解：把，代入 得： 解得 这个二次函数的表达式为 ； 48 （2）若点， 都在该二次函数的图象上，试比较 和 的大小，并说明理由. 解：， 都在该二次函数的图象上， ， ， ， 当，即时， ；当，即时， ；当，即时， . 49 变式 [2024攀枝花改编]在平面直角坐标系 中，二次函数 的对称轴为直线，点 ，在函数的图象 上.若，则 的取值范围为_ ______. 【解析】由题意得，即 ，解得 . 50 24.[2024安徽]已知抛物线为常数 的顶点横坐标比抛物线 的顶点横坐标大1. （1）求 的值； 解： 抛物线的顶点横坐标为， 的顶点横坐 标为1， ， ； 51 （2）点在抛物线上，点 在抛物线 上. 解： 点在抛物线 上， ， 在抛物线 上， ， ， . 52 ①若，且，，求 的值； 解：， ， ， ，，，， ； ②若，求 的最大值. 解：将代入 ， ， ， 当时，取最大值 . 53 25. [2024广西]课堂上，数学老师组织同学们围绕关于 的二次函数 的最值问题展开探究. 【经典回顾】二次函数求最值的方法. （1）老师给出，求二次函数 的最小值. ①请你写出对应的函数解析式； 解：当时， ； ②求当取何值时，函数有最小值，并写出此时的 值； 解：当时， 取得最小值，最小值为 ； 54 【举一反三】老师给出更多的值，同学们即求出对应的函数在 取何值 时， 的最小值.记录结果，并整理成下表： … 0 2 4 … … * 2 0 … 的最小值 … * … 注：*为②的计算结果. 55 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你 的发现.” 甲同学：“我发现，老师给了值后，我们只要取，就能得到 的最 小值.” 乙同学：“我发现，的最小值随值的变化而变化，当由小变大时， 的 最小值先增大后减小，所以我猜想 的最小值中存在最大值.” 56 （2）请结合函数解析式 ，解释甲同学的说法是否合理？ 解：合理，理由： ,且， 函数有最小值， 当时， 取得最小值， 故甲同学的说法合理； 57 （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正 确，说明理由. 解：正确， 当时， ， ， 有最大值， 当时，的最大值为 . 58 $