专题 6.3 反比例函数的应用（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲练

本讲义聚焦反比例函数的应用，系统梳理求解析式（含k值与象限关系）、实际问题建模（变量关系转化）、几何综合（k的几何意义与图形面积）、与一次函数综合（交点、比较大小、实际应用）等核心知识点，形成从基础到综合的学习支架，帮助学生逐步掌握应用方法。 资料通过题型分类精析（例题+变式+小结）与分层练习（基础巩固+能力提升）结合，强调解题步骤与易错点，如用k的几何意义解决面积问题，结合饮水机水温、交通流量等实例培养数学眼光与模型意识。课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，提升运算能力与推理意识。

专题 6.3 反比例函数的应用 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 【知识点一】求反比例函数的解析式 1 【题型1】反比例函数位置与K值关系 1 【小结归纳】 4 【知识点二】实际问题与反比例函数 4 【题型 2】用反比例函数解决实际问题 4 【小结归纳】 6 【知识点三】反比例函数与几何综合 6 【题型3】反比例函数与几何综合 7 【知识点四】一次函数与反比例函数图象综合判断 13 【题型4】一次函数与反比例函数图象综合判断 13 【知识点五】一次函数与反比例函数图象交点问题 15 【题型5】一次函数与反比例函数图象综合比较大小 15 【题型6】一次函数与反比例函数图象实际应用 17 【题型7】一次函数与反比例函数图象实际应用 21 【知识点六】一次函数与反比例函数的其他综合应用 26 【题型8】一次函数与反比例函数图象实际应用 27 二．同步练习​ 30 【基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 30 【能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 44 一.知识梳理与题型分类精析 【知识点一】求反比例函数的解析式 解题步骤：（1）设反比例函数解析式为；（2）确定函数图象上一个已知点的坐标；（3）代入已知点的坐标，求出K的值；（4）写出解析式，结合实际问题写出自变量取值范围。 【题型1】反比例函数位置与K值关系 【例题1】（2025·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标特征，反比例函数的性质，由点的坐标特征以及题意得出在第三象限，由反比例函数的性质可得图象经过的两个点是，，再求出反比例函数的解析式即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：由题意可得，点在第二象限，在第一象限，在第二或三象限， ∵点，，分别在三个不同象限， ∴在第三象限， 由反比例函数的性质可得：图象经过的两个点是，， 将代入反比例函数的解析式可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数的解析式可得， 故答案为：． 【变式1】（2025·云南楚雄·三模）若点关于轴对称的点在反比例函数（）的图象上，则这个函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．当时，函数图象位于第一、三象限；时函数图象位于第二、四象限． 先求得点关于轴对称的点的坐标，然后根据题意求得��的值，进而即可求解． 解：点关于轴对称的点为， 把代入中，可得，解得， ∴这个函数的图象分别位于第一、第三象限， 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，已知反比例函数的图象经过的顶点B，的面积为3，则反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于． 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即，再由所在的象限判断k的符号，求出满足条件的k的值，即可解答． 解：∵的面积为3， ∴， 解得 ∵， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 故答案为：． 【变式3】点A（m，n）是双曲线上一点，且m、n是一元二次方程的两根，则双曲线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出与的乘积，再结合反比例函数求出的值，进而得到双曲线解析式． 解：∵、是一元二次方程的两根， ∴． ∵点在双曲线上， ∴， ∴双曲线的解析式为． 故答案为：． 【小结归纳】 （1）k 的符号确定象限分布：k 正一三，k 负二四"；（2）易错点：忽略的限制，或混淆象限坐标的正负关系；（3）应用技巧：遇到点在反比例函数图象上的问题，优先利用建立关系。 【知识点二】实际问题与反比例函数 核心思路：建立数学模型，将实际问题中的变量关系转化为反比例函数关系，再利用函数性质求解。 解题步骤：（1）审题分析：找出题目中两个相关联的变量，利用乘积为定值判断其是否成反比例关系；（2）设函数解析式：设，其中x，y为 对应实际问题中的变量；（3）求 k 值：根据题目给出的一组实际数据，代入求出 k；（4）检验作答：验证结果是否符合实际情境，规范书写答案。 【题型 2】用反比例函数解决实际问题 【例题2】 【变式1】（2025九年级上·山东·专题练习）学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到即停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A．水温从升高到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．早晨8点接通电源从开始加热，可以保证当天上午喝到不超过的水 D．在单次加热—降温的过程中，水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目—浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息，数形结合是解决本题的关键． 解：A、∵开机加热时水温每分钟上升， ∴水温从升高到，需要的时间为，故A选项不符合题意． B、由题意可得点在反比例函数的图象上， 设反比例函数的解析式为， 将点代入，可得， ∴水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意． C、令，则， ∴， 即饮水机每经过，要重新从开始加热一次， 从8点至9点30分，经过的时间为，， 而水温加热到，需要的时间为， 故9点30分时，饮水机第三次从开始加热了， 令，则， 即9点30分时，饮水机的水温为，故C选项不符合题意． D、水温从升高到所需要的时间为， 令，则， 解得， ∴水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）2025年湖南某城市引入了智能交通管理系统，该系统通过实时监控交通流量来优化信号灯的配时．假设某条主干道的交通流量Q（单位：辆/小时）与车辆的平均速度v（单位：千米/小时）之间的关系可以用反比例函数来描述．已知当车辆的平均速度为40千米/小时，交通流量Q为1200辆/小时．如果交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到 千米/小时． 【答案】48 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式．设，根据题意求出k，然后代入即可求得答案． 解：设， 由题可知，当时，， ∴， ∴当时，， 即交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到48千米/小时， 故答案为：48． 【小结归纳】 已知两个对称点均在反比例函数图象上，可利用对称点坐标关系，结合 列方程求解； 解题的关键：对称点的横纵坐标乘积相等并且等于 k。 【知识点三】反比例函数与几何综合 核心思路：结合反比例函数性质（k 的几何意义）和几何图形面积、周长、坐标特征，建立函数与几何的联系。 解题关键与步骤：（1）掌握 k 的几何意义：过双曲线上任意一点作 x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，所得直角三角形面积为|k|；（2）分析几何图形：若涉及面积：利用图形面积公式，结合 k 的几何意义建立等式求 k 或点坐标；若涉及坐标：通过图形的对称性（如关于原点对称）、线段关系（如中点、平行）求双曲线上点的坐标，进而求 k；（3）辅助线构造：必要时作 x 轴、y 轴垂线，将不规则图形转化为规则图形（矩形、三角形），利用 k 的几何意义解题。 【题型3】反比例函数与几何综合 【例题3】（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，四边形是正方形，曲线在第一象限经过点，则双曲线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形判定及性质，正方形性质，一次函数与坐标轴交点等．根据题意过点作轴，证明，再由一次函数得，，继而得到，后设反比例解析式为，再将代入求解即可． 解：过点作轴， ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∵直线与轴、轴分别相交于、两点， ∴令，则，即，， 令，则，即，， ∴， ∴， ∴， 设反比例解析式为， ∴将代入中得：， ∴双曲线的解析式为：， 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为8，则的值为（   ） A．4 B．8 C．16 D．24 【答案】D 【分析】作轴于点E，轴于点F，可证明，得到，，设，得到，设直线的函数解析式为，求得直线的函数解析式为，求出，得到，即可得到答案． 解：解∶如图，作轴于点E，轴于点F， ， ， ， ， ， ， ，， 点A、点C在函数的图象上， 设， ， ， ，， ， ， ， 设直线的函数解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的函数解析式为， ，即， ， 解得或， 经检验或是原方程的解， 当时轴，点C在x轴上，不符合题意，舍去， ， ， 故选：D． 【点拨】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式2】（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点．连接，求点到线段的距离 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的计算，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 先确定，根据两点的纵坐标相等可得轴，且，，然后运用等面积法求解即可． 解：∵点、在反比例函数的图象上， ∴， ∴，即， ∵过点的一次函数的图象与轴交于点， ∴轴，且，， ∴， 设点到线段的距离为h， 又∵， ∴， 解得：， ∴点到线段的距离为． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积V（）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）． （1）求出这个函数的解析式； （2）当气球体积为时，气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了完全起见，气球的体积应满足什么条件？ 【答案】（1）函数的解析式为；（2）气球内的气压是120千帕；（3）为了安全起见，气球的体积应不小于 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确建立函数关系式并会运用函数关系式是解题的关键； （1）直接运用待定系数法即可解答； （2）将代入（1）中的函数式求即可； （3）将代入（1）中的函数式求即可解答． 解：（1）解：设这个函数的解析式，则有：， 解得：， ∴这个函数的解析式； （2）解：当时，千帕， 答：气球内的气压是120千帕． （3）解：根据题意，当时，为安全范围， ∴， 解得，， 故为了安全起见，气球的体积应不小于． 【变式3】（25-26九年级上·陕西铜川·期中）如图，点，在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为C，连接，． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）若点P是反比例函数图象上一点，且，请求出点P的坐标． 【答案】（1），点B的坐标为；（2）或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出的面积，再利用面积公式求出点P的坐标即可． 解：（1）解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得； ∴点B的坐标为； （2）解：∵轴，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， 解得或， 当时，；当时，， ∴点P的坐标为或． 【知识点四】一次函数与反比例函数图象综合判断 核心思路：根据一次函数和反比例函数中系数k，b，m符号，判断图象所在象限；或根据图象位置，反推系数符号。 【题型4】一次函数与反比例函数图象综合判断 【例题4】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图像经过的象限，掌握知识点是解题的关键． 分类讨论：①当时，，②当时，，逐项分析判断即可． 解：①当时，， ∴一次函数经过第二、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限，选项C符合题意； ②当时，， ∴一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数经过第二、四象限，所有选项都不符合题意； 故选C． 【变式1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）在同一平面直角坐标系中，当时，一次函数与反比例函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象综合判断，先根据一次函数中的，得一次函数交于轴的负半轴，再结合，则经过第一、三象限，即可作答． 解：∵一次函数中的， ∴一次函数交于轴的负半轴， 故B和D选项不符合题意； ∵， ∴经过第一、三、四象限，经过第一、三象限， 故选：A． 【变式2】（2025九年级上·山东·专题练习）关于x的函数和在同一坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数及反比例函数的图象与系数的关系，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数：当时，图象在第一、三象限；当时，图象在第二、四象限． 根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系依次分析各项即可． 解：A、从一次函数的图象知与反比例函数的图象一致，正确； B、从一次函数的图象从左向右上升知，而与y轴的负半轴相交知相矛盾，错误； C、从一次函数的图象从左向右上升知，而与y轴的负半轴相交知相矛盾，错误； D、因为，所以一次函数的图象不过原点，错误； 故选． 【知识点五】一次函数与反比例函数图象交点问题 核心思路：整合前五种题型的解题方法，结合图象性质、方程思想、数形结合思想，解决较复杂的计算、比较、决策类问题。 常见题型及解题步骤： 1. 比较函数值大小 思路：结合图象，找出两个函数图象的交点横坐标，以交点为分界点，划分自变量取值范围，判断同一范围内两个函数值的大小关系； 【题型5】一次函数与反比例函数图象综合比较大小 【例题5】（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知点、都在反比例函数的图象上，且满足，比较的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、比较反比例函数值的大小，正确利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）把点的坐标代入反比例函数解析式中求出的值，即可得到反比例函数的解析式； （2）根据，可得反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而减小，据此增减性即可得到答案． 解：（1）解：反比例函数的图象经过点 ∴， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：∵反比例函数的解析式为，， 反比例函数图象经过第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，                点、均在反比例函数的图象上，且， ． 【变式1】（2023·湖北武汉·模拟预测）如果反比例函数的图象经过点、，，且，那么和的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能比较 【答案】A 【分析】先根据反比例函数图象经过点得出，判断此函数图象所在的象限，再根据判断出、所在的象限，根据此函数的增减性即可解答． 解：反比例函数图象经过点， ， 此函数的图象在二、四象限，在每一象限内随的增大而增大， ， 、两点均位于第二象限， ． 故选：． 【点拨】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键． 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）正比例函数与反比例函数的图象经过点、两点，、．若．点在反比例函数上．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，依据题意，由正比例函数与反比例函数的图象经过点两点，，从而结合正比例函数关于原点对称，反比例函数关于原点对称，故，，又，则，再由，可得，即进而函数的图象分布在第二、第四象限，并且在每一个象限内随的增大而增大，又故可判断得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 解：∵正比例函数与反比例函数的图象经过点两点，， 又∵正比例函数关于原点对称，反比例函数关于原点对称， ∴，，， ， ， ， ， ∴函数的图象分布在第二、第四象限，并且在每一个象限内随的增大而增大， 又 ， 故答案为：． 2. 实际应用中的决策问题 思路：将实际问题中的两个变化量分别用一次函数和反比例函数表示，通过比较函数值、求交点等方式解决决策问题（如 “选择哪种方案更省钱”）； 【题型6】一次函数与反比例函数图象实际应用 【例题6】（25-26九年级上·山东东营·月考）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： （1）求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ （3）当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】（1），；（2）至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室；（3）有效，理由见分析 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入求出x的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 解：（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得： ∴反比例函数的表达式为 把代入中得：， 解得： ∴ 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为 （2）解：将代入中得：， 解得：， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室． （3）解：有效， 理由：把将代入中得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴此次消毒有效． 【变式1】（2023·河北保定·一模）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【答案】C 【分析】根据图象中的数据逐项分析求解即可． 解：∵， ∴玻璃加热速度为， 故A选项不合题意； 由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴玻璃温度下降时，y与x的函数关系式是， 故B选项不合题意； ∴设玻璃温度上升时的函数表达式为， 由题可得，在正比例函数图象上， 代入点可得，， ∴玻璃温度上升时，y与x的函数关系式是， ∴将代入，得， ∴将代入，得， ∴， ∴能够对玻璃进行加工时长为， 故C选项符合题意； 将代入得，， ∴， ∴玻璃从降至室温需要的时间为， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的应用，读懂函数图像，获取信息是解决本题的关键． 【变式2】（2023·山东青岛·二模）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是 分钟．    【答案】12 【分析】首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入确定两个自变量的值，差即为有效时间． 解：药物燃烧时y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入，得：， 把代入，得：， ∵， ∴那么此次消毒的有效时间是12分钟， 故答案为：12． 【点拨】本题考查了反比例函数与正比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． 3. 与几何图形结合的综合计算 思路：融合一次函数、反比例函数的交点问题与几何图形的面积、周长计算，先求函数解析式，再求交点坐标，最后结合几何性质求解； 【题型7】一次函数与反比例函数图象实际应用 【例题7】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于，两点，与轴、轴分别交于点，，已知点的坐标为，点的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点是第四象限反比例函数图象上一点，当的面积为时，求点的坐标； （3）反比例函数的图象上是否存在一点．使得，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数解析式为；（2）点的坐标为或；（3）或． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题、待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）由点坐标求出反比例函数解析式，再求出点坐标，进而求出直线解析式； （）过作轴交于点，设，则，则，然后分，，求出的值即可； （）分当点在第四象限时， 当点在第二象限时两种情况分析即可． 解：（1）解：把代入，得， ∴反比例函数的解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵一次函数（）的图象过，， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：如图，过作轴交于点， 设，则， ∴， ∴， ∴， ，整理得：， 解得：， ∵， ∴； ，整理得：， 解得：， ∵， ∴， 综上可得：点的坐标为或； （3）解：当点在第四象限时，如图，构造等腰直角三角形，且， 过作轴，再分别过作的垂线段，垂足分别为， 则， ∴ ， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由点和点坐标同上可得直线解析式为， 联立 ， 解得或 （与点重合，舍去）， ∴； 当点在第二象限时，如图，构造等腰直角三角形且， 同理可得直线解析式为， 联立得 ， 解得或 （与点重合，舍去）， ∴， 综上，或． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点是射线上一点，过点作轴于点，以为边在其右侧作正方形，过点的双曲线交边于点，则的值为（    ）    A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确掌握代入法和数形结合思想是解题的关键．先联立函数解析式求出，根据点A的横坐标和正方形的边长，得到点C，D，E的横坐标，代入反比例函数的解析式，得到点E的纵坐标，即的长度，结合正方形的边长，得到的长度，即可得到答案． 解：根据题意得，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵点C，D，E的横坐标为：， 把代入反比例函数得：， 即，， ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与反比例函数的图象交于点． （1） ； （2）过点作轴于点，以为边向下作正方形，与轴重合，则 ． 【答案】 10 20 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合．（1）先求得的值，再利用待定系数法即可求解； （2）利用正方形的性质求得边长，得到的长，利用勾股定理求得，据此计算即可求解． 解：（1）把点代入，得， 解得， 故； 故答案为：10； （2）由（1）知，又知轴，四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：20． 【知识点六】一次函数与反比例函数的其他综合应用 【题型8】一次函数与反比例函数图象实际应用 【例题8】（2025·甘肃临夏·二模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点． （1）点D的坐标为________； （2）不等式的解集是________； （3）已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积． 【答案】（1）；（2）或；（3）20 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的性质： （1）将点的坐标分别代入正比例函数与反比例函数中，即可得出的值，再根据反比例函数的对称性可得点的坐标； （2）利用图象可得反比例函数图象在正比例函数图象上方时，自变量的取值范围； （3）作于，由勾股定理求出的长，利用菱形的面积公式可得答案． 解：（1）解：将代入得， ∴， ∴， ∵点与关于原点对称， ∴； 故答案为：； （2）解：将代入得， 即反比例函数解析式为：， 由图象知，当或时，， 故答案为：或； （3）解：作于， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积为． 【变式1】（24-25八年级下·全国·单元测试）已知函数的图象如图所示．给出下列结论： ①两函数图象的交点的坐标为； ②当时，； ③； ④当逐渐增大时，随的增大而增大，随的增大而减小． 其中，正确的是（   ）． A．①② B．② C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．根据题意可以求得两函数图象的交点A的坐标，从而可以判断①；根据点A的坐标可以判断②；根据点B的横坐标可以分别求出点B、C的坐标，从而可以得到的值，从而可以判断③；根据函数图象可以判断④． 解：由题意可得，， 解得，， 将代入，得， ∴两函数图象的交点A的坐标为，故①正确； 由图象可知，当时，，故②错误； 将代入得，， 将代入得，， ∴，故③正确； 由图象可知，当逐渐增大时，随的增大而增大，随的增大而减小，故④正确； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数和的图象如图所示．已知矩形的边，分别在轴正半轴和轴正半轴上，分别交，于点，，分别交，于点，，直线与轴交于点，连结．若，，则的面积为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了平行于坐标轴的直线上点的坐标的特征，反比例函数的性质，以及反比例函数与一次函数的综合应用，根据，可得点，的坐标，再由轴，轴，结合反比例函数和的表达式可求出点，，，的坐标用含，的代数式表示，进而可得线段，的长，待定系数法求得直线的解析式，即可求出线段的长，进而可得的面积． 解：四边形是矩形，，， ，，， 轴，轴， 点，的横坐标为，点，的纵坐标为， 点，在反比例函数的图象上， ，， 点，在反比例函数的图象上， ，， ，， 设直线的解析式为代入，， 得 解得： ∴直线的解析式为 当时， ∴， ∵ ∴ 的面积为， 故答案为： 二．同步练习​ 【基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知y是x的反比例函数，当时，，则下列关于y与x之间的函数关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式．根据反比例函数的定义，设函数式为，代入当时，，进行求出的值，即可作答． 解：∵y是x的反比例函数， ∴设函数式为， ∵当时，， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 2．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数的图象． 根据反比例函数图象求出，进而判断一次函数的图象即可． 解：∵反比例函数的图象经过二、四象限， ∴， ∵， ∴一次函数的图象经过二、三、四象限， 只有A符合题意． 故选：A． 3．（25-26七年级上·河南信阳·期中）如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）与物距（蜡烛到小孔的距离）x（单位：）成反比例关系，当时，，则y关于x的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 利用待定系数法求出函数表达式即可； 解：由题意设：， 把时，，代入， 得； ∴关于的函数表达式为； 故选：C． 4．（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴于点C．若，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出点B的坐标是解题的关键．设A的横坐标为a，则纵坐标为，根据题意得出点B的坐标为，代入即可求得k的值． 解：设A的横坐标为a，则纵坐标为， ∵，轴， ∴B的横坐标为，轴， ∴， ∵点B在函数的图象上， ∴， 故选：C． 5．（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于，两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的交点问题，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线与反比例函数图象的两个交点一定关于原点对称． 解：由题意可知，点与点B关于原点对称， 点的坐标为， 故选：A． 6．（2023·河北保定·一模）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【答案】C 【分析】根据图象中的数据逐项分析求解即可． 解：∵， ∴玻璃加热速度为， 故A选项不合题意； 由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴玻璃温度下降时，y与x的函数关系式是， 故B选项不合题意； ∴设玻璃温度上升时的函数表达式为， 由题可得，在正比例函数图象上， 代入点可得，， ∴玻璃温度上升时，y与x的函数关系式是， ∴将代入，得， ∴将代入，得， ∴， ∴能够对玻璃进行加工时长为， 故C选项符合题意； 将代入得，， ∴， ∴玻璃从降至室温需要的时间为， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的应用，读懂函数图像，获取信息是解决本题的关键． 二、填空题 7．（25-26九年级上·四川成都·期中）反比例函数的图象经过点、及，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 （）图象上点的横纵坐标之积为常数 ． 设反比例函数解析式为 ，利用点 求出 ，再代入其他点求出 和 ，最后计算 ． 解：设反比例函数解析式为 ， 将点 代入得 ， ∴ 反比例函数解析式为 ， 将点 代入得 ， 解得 ， 将点 代入得 ， 解得 ， ∴ ． 8．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流是电阻的反比例函数，其图像如图所示．当电流时， Ω． 【答案】12 【分析】本题考查了反比例函数的应用，从实际问题中整理出反比例函数模型是解决此类问题的关键． 用点M的坐标求出反比例函数的解析式，再把电流代入求出电阻，即可作答． 解：设， ∵， ∴， ∴， ∴． 则 当时，电阻， 故答案为：12 9．（2025·甘肃定西·模拟预测）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，线段交反比例函数的图象于点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活应用k的几何意义． 根据反比例函数k的几何意义和的面积为的面积减去的面积即可解决问题． 解：∵轴，点A是反比例函数的图象上一点， 点B是反比例函数的图象上一点， ∴， ∴， 故答案为：2． 10．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，函数与（不为零）的图象相交于点，，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 根据反比例函数与一次函数的交点问题解答即可． 解：函数与（不为零）的图象相交于点，， 关于x的不等式的解集是：或． 故答案为：或． 11．（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，熟练掌握图象法确定不等式的解集是关键．利用图象法确定不等式的解集即可． 解：由图象可知，不等式的解集为：或． 故答案为：或． 12．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）将的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的新双曲线与直线相交于两点，其中一个交点的横坐标为，另一个交点的纵坐标为，则 ． 【答案】 【分析】根据“左加右减，上加下减”得平移后解析式，与一次函数联立方程，由根与系数关系得出与的关系式，套入所求代数式即可得出结果． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，联立方程得交点坐标，本题的关键是利用了根与系数的关系得出、的关系． 解：根据题意，平移后反比例函数解析式为：， 和一次函数联立得：， 整理得：， 由根与系数的关系得：， 有一根是，则， ， 当时，， ， ． 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26九年级上·湖南永州·期中）已知反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）判断点是否在这个函数的图象上； （3）当时，求的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；（2）点在这个函数的图象上；（3）当时，的取值范围是． 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，判断点是否在函数图象上，根据反比例函数的图象和性质求函数值的取值范围． （1）把点的坐标代入，可得，即可得反比例函数的解析式； （2）在中，令，可得的值，与比较，即可判断点是否在这个函数的图象上； （3）在中，分别令，，计算对应的的值，由反比例函数的图象和性质，即可得的取值范围． 解：（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：在中，当时，， ∴点在这个函数的图象上． （3）解：在中， 当时，， 当时，， 又∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，的取值范围是． 14．（2025·贵州铜仁·三模）如图是反比例函数，的图象，点为图象上的一点，且轴，轴，垂足分别为点、点，、分别交的图象于点、点． （1）当点的横坐标为1时，求点、点的坐标； （2）在（1）的条件下，求的面积． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为；；（2） 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）先求得点的坐标，由轴，可求得点的坐标，由轴，得到点的纵坐标为，据此求解即可； （2）由（1）得，，同理点的坐标为，求得，，根据三角形面积公式求解即可． 解：（1）解：∵点的横坐标为1， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的纵坐标为， 当时，，， ∴点的坐标为； （2）解：由（1）得，，同理点的坐标为， ∴，， ∴． 15．（2025·青海西宁·三模）如图，直线与反比例函数相交于，两点，与轴相交于点． （1）分别求直线和反比例函数对应的函数表达式； （2）连接，求的面积． （3）直接写出当时，关于的不等式的解集． 【答案】（1）直线的函数解析式为，反比例函数的解析式为；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解决问题． （2）结合点和点的坐标及三角形的面积公式即可解决问题． （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 解：（1）解：由题知， 将点和点代入得， ， 解得， 所以直线的函数解析式为． 将点坐标代入得， ， 所以反比例函数的解析式为． （2）∵， ∴中边上的高线长为2， ∵， ∴， ∴的面积为：． （3）由， 解得：，， ∴点的横坐标为． 直线：和反比例函数交于，B两点， 当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， ∴不等式的解集为． 16．（2022·河南南阳·三模）如图，已知点在y轴上，在x轴上，以为边在第一象限内作正方形，此时反比例函数在第一象限内的图象恰好经过点C，D． （1）直接写出：点D的坐标， ； （2）将正方形绕点B按顺时针方向旋转，当点C的对应点落在x轴上时，判断点D的对应点是否落在反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）点D的坐标为，2；（2）没有，见分析 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及了全等三角形的判定与性质、旋转等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）作轴，证即可求解； （2）根据题意作图，可求出的坐标为：，据此即可验证； 解：（1）解：作轴，如图所示： 由题意得：， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； ∵反比例函数在第一象限内的图象经过点D． ∴； （2）解：如图所示： ∵， ∴； 由旋转可知：； ∴， ∴的坐标为：； ∵， ∴点D的对应点不落在反比例函数的图象上． 【能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知点在反比例函数的图象上，则下列不在此反比例函数图象上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质（反比例函数上点的横纵坐标乘积为定值），解题的关键是先确定的值，再验证点的横纵坐标乘积是否等于． 先由点代入反比例函数得，再分别计算各选项点的横纵坐标乘积，判断是否等于，乘积不等于的点即为不在图象上的点． 解：已知点在反比例函数上，代入得 ， ∴， 反比例函数为． 选项A：点，计算，满足，在此图象上； 选项B：点，计算，满足，在此图象上； 选项C：点，计算，不满足，不在此图象上； 选项D：点，计算，满足，在此图象上． 因此，不在此反比例函数图象上的点是C． 故选：C． 2．（2025·江苏淮安·二模）已知关于x的方程（m、n为常数，且）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．一个实数根 B．两个实数根 C．三个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，反比例函数的图象与方程等知识，把关于x的方程（m、n为常数，且），看作是两个函数设，，利用两个函数的交点的个数即可解答． 解：∵x的方程（m、n为常数，且）， ∴， 设，， ①当，时，如图1，两个函数有一个交点，即关于x的方程有一个实数根； ②当，时，如图2，两个函数有一个交点，即关于x的方程有一个实数根； ③当，时和当 ，时，两个函数有一个交点，即关于x的方程有一个实数根； 故选：A． 3．（25-26九年级上·贵州铜仁·阶段练习）若双曲线与直线一定有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题、直接开方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一次函数与反比例函数交点问题是解题的关键． 联立与得，利用双曲线与直线一定有交点，则方程有解，再利用根的判别式求解即可． 解：由题意可得：， 化简为：， ∵双曲线与直线一定有交点， ∴方程有解， 又∵双曲线中， ∴，解得：． 故选：A． 4．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，过点作平行轴交轴于点，在轴负半轴上取一点，使，连接，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图像的性质，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． 连接，求出，由，得到，则，即可解答． 解：连接，如图 ∵点在函数的图象上，过点作平行轴交轴于点，在轴负半轴上取一点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 5．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）函数与在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图像和系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据反比例函数与一次函数图像与系数的关系逐项判断即可． 解：一次函数中，，故与y轴交于负半轴， ∴只能选B或C选项， 当一次函数过一、三象限时，，反比例函数应该过一、三象限 ∴C选项错误， 故选：B． 6．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为6，曲线是双曲线的一部分，已知点的横坐标为6，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点与点均在该波浪线上，分别过、两点向轴作垂线段，垂足为和两点，则四边形的面积是（   ）． A．10 B． C． D．15 【答案】B 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，根据变化规律求出点，点的坐标是解决问题的关键．根据一次函数可求出点、的坐标，进而确定反比例函数的关系式，利用平移所引起的坐标变化规律，可求出点，点的坐标，再根据梯形的面积公式可求出答案． 解：当时，， ， 当时，即， ， ， 又点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为， 当时，， 点， 当时，， 点， 由图象的平移可得， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， 又，， ， ，， ， ， 故选：B． 二、填空题 7．（25-26九年级上·四川成都·期中）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为 ，，，， 则 ，，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，先根据点，求出反比例函数的解析式，再代入其他点的横坐标求出对应的纵坐标，最后比较大小，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 解：设反比例函数的解析式为， 将点代入得， ∴解析式为， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）在恒温下，气体对汽缸壁的压强p（）与汽缸内气体体积V（）的函数关系如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 mL． 【答案】20 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，涉及从图象中获取信息、待定系数法确定函数关系式，数形结合，熟练掌握待定系数法确定函数关系式是解决问题的关键． 根据题意压强p与汽缸内气体体积V成反比例函数，设，代入点可得，再求两种气压下对应气体体积即可求解． 解：由图可知，气体对汽缸壁的压强p（）与汽缸内气体体积V（）成反比例函数关系， 设， ∵函数图象过点， ∴，解得， ∴， 当时，，解得， 当时，，解得， ， 气体体积压缩了L． 故答案为：20． 9．（25-26九年级上·四川内江·期中）如图，直线与反比例函数的图象的一部分交于点，与轴、轴分别交于点、，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合．熟练掌握一次函数的性质，待定系数法求反比例函数的解析式以及平行线分线段成比例定理，求出点A的坐标是解题的关键． 过点A作轴于点，设点，表示出，求出，然后根据平行线分线段成比例定理列式计算，求出x得到A点坐标即可解决问题． 解：如图，过点A作 轴于点M，设点， 则，， 当时，； 当时，即． 解得：． ∴． ∴，． ， ∴． 即． 解得． ∴． ∴． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点A，D分别在函数，的图象上，点B，C在x轴上．若四边形ABCD为矩形，点D在第一象限，点E在线段AD上，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义，由的几何意义可得，再结合三角形的面积公式可得答案． 解：∵点A、D分别在函数、的图象上， ∴， ∴， 故答案为： 11．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，一次函数（k、b为常数，且）和反比例函数的图象交于A、B两点，利用函数图象直接写出不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查根据反比例函数和一次函数的交点情况写不等式的解集，根据图象得到A、B两点的坐标，再根据坐标得出不等式的解集即可． 解：由图象可知：，， 不等式的解集是：或； 故答案为：或． 12．（24-25八年级下·山东·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，点坐标规律探索，依次求出各点的坐标，观察出每 3 次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出、、、、、，从而得到每 3 次变化为一个循环组依次循环，用 2025除以 3 ，根据商的情况确定出即可． 解：当时，的横坐标与的横坐标相等为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 由上可知，个为一组依次循环， ， ， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26九年级上·山东泰安·期中）正比例函数的图像与反比例函数相交于两点，其中点的坐标为． （1）分别写这两个函数的表达式． （2）求不等式的解集． 【答案】（1），；（2）或 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的图象及性质，熟练掌握正比例函数和反比例函数的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式； （2）通过正比例函数和反比例函数图象的位置关系，找出正比例函数在反比例函数图象上方时对应的的取值范围． 解：（1）把点代入，得， 解得， 把点代入，得， 解得， 则正比例函数表达式为，反比例函数表达式为． （2）正比例函数的图像与反比例函数相交于两点， 、两点关于原点对称， B点坐标为， 不等式的解集为：或． 14．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，且与轴和轴分别交于点和点． （1）求一次函数与反比例函数关系式及点D的坐标； （2）连接，已知为反比例函数图象上一点，且，求点的坐标． 【答案】（1），，点的坐标为；（2）点的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中可求出m的值，把点A和点C的坐标代入一次函数解析式中可求出a、b的值，再联立两个函数解析式可得交点D的坐标； （2）根据一次函数解析式求出点B坐标，根据可求出点P的纵坐标，据此可得答案． 解：（1）解：把点代入得：， 反比例函数解析式为， 把点，代入得： ， 解得， 一次函数的解析式为， 联立两个解析式得， 解得或， 点的坐标为； （2）解：对于，当时，， 点， 点， ． ， ， ， ， 点的坐标为或． 15．（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，与反比例函数的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，纵坐标为2． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，，求四边形的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数解析式为；（2）10 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图象与性质是关键． （1）把点的坐标代入反比例函数解析式中，求得的值，即可求得反比例函数解析式；由、的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）点在反比例函数的图象上，纵坐标为2，则可求得点的横坐标，利用四边形的面积等于， 面积的和即可求解． 解：（1）解：点的坐标为，且在反比例函数的图象上， ，即． 反比例函数的解析式为． 设直线的解析式为， 把、两点坐标分别代入得：，解得， 即直线的解析式为． （2）解：点在反比例函数的图象上，纵坐标为2， ，解得：．     ． ∵直线的解析式为， ∴， 由题意知，， ． 16．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在矩形中，，，点为边上的三等分点（），动点从点出发，沿折线运动（不与、重合）．点的运动速度为每秒2个单位长度，设点运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； （2）若函数，请在平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2）． 【答案】（1）；（2）见分析，函数的性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）；（3）或 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数与反比例函数图象的性质； （1）分两种情况当时和当时，写出一次函数解析式即可； （2）画出、函数图像并根据函数的图像写出一条函数的性质即可； （3）根据两个函数图像及交点坐标位置，直接写出不等式解集即可． 解：（1）解： ∵矩形，，， ∴，， ∵点为边上的三等分点（）， ∴， ∵点的运动速度为每秒2个单位长度， ∴在上运动的时间为：秒， 在上运动的时间为：秒， 当时，， 当时，， ∴； （2）解：函数、的图象如图： 函数的性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3）解：由两个函数图像可知，当时的取值范围为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 6.3 反比例函数的应用 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 【知识点一】求反比例函数的解析式 1 【题型1】反比例函数位置与K值关系 1 【小结归纳】 2 【知识点二】实际问题与反比例函数 2 【题型 2】用反比例函数解决实际问题 2 【小结归纳】 3 【知识点三】反比例函数与几何综合 3 【题型3】反比例函数与几何综合 4 【知识点四】一次函数与反比例函数图象综合判断 5 【题型4】一次函数与反比例函数图象综合判断 5 【知识点五】一次函数与反比例函数图象交点问题 6 【题型5】一次函数与反比例函数图象综合比较大小 6 【题型6】一次函数与反比例函数图象实际应用 7 【题型7】一次函数与反比例函数图象实际应用 8 【知识点六】一次函数与反比例函数的其他综合应用 10 【题型8】一次函数与反比例函数图象实际应用 10 二．同步练习​ 11 【基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 11 【能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 15 一.知识梳理与题型分类精析 【知识点一】求反比例函数的解析式 解题步骤：（1）设反比例函数解析式为；（2）确定函数图象上一个已知点的坐标；（3）代入已知点的坐标，求出K的值；（4）写出解析式，结合实际问题写出自变量取值范围。 【题型1】反比例函数位置与K值关系 【例题1】（2025·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则 ． 【变式1】（2025·云南楚雄·三模）若点关于轴对称的点在反比例函数（）的图象上，则这个函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【变式2】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，已知反比例函数的图象经过的顶点B，的面积为3，则反比例函数的表达式为 ． 【变式3】点A（m，n）是双曲线上一点，且m、n是一元二次方程的两根，则双曲线的解析式为 ． 【小结归纳】 （1）k 的符号确定象限分布：k 正一三，k 负二四"；（2）易错点：忽略的限制，或混淆象限坐标的正负关系；（3）应用技巧：遇到点在反比例函数图象上的问题，优先利用建立关系。 【知识点二】实际问题与反比例函数 核心思路：建立数学模型，将实际问题中的变量关系转化为反比例函数关系，再利用函数性质求解。 解题步骤：（1）审题分析：找出题目中两个相关联的变量，利用乘积为定值判断其是否成反比例关系；（2）设函数解析式：设，其中x，y为 对应实际问题中的变量；（3）求 k 值：根据题目给出的一组实际数据，代入求出 k；（4）检验作答：验证结果是否符合实际情境，规范书写答案。 【题型 2】用反比例函数解决实际问题 【例题2】 【变式1】（2025九年级上·山东·专题练习）学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到即停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A．水温从升高到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．早晨8点接通电源从开始加热，可以保证当天上午喝到不超过的水 D．在单次加热—降温的过程中，水温不低于的时间为 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）2025年湖南某城市引入了智能交通管理系统，该系统通过实时监控交通流量来优化信号灯的配时．假设某条主干道的交通流量Q（单位：辆/小时）与车辆的平均速度v（单位：千米/小时）之间的关系可以用反比例函数来描述．已知当车辆的平均速度为40千米/小时，交通流量Q为1200辆/小时．如果交通管理部门希望将交通流量控制在1000辆/小时以内，车辆的平均速度应至少达到 千米/小时． 【小结归纳】 已知两个对称点均在反比例函数图象上，可利用对称点坐标关系，结合 列方程求解； 解题的关键：对称点的横纵坐标乘积相等并且等于 k。 【知识点三】反比例函数与几何综合 核心思路：结合反比例函数性质（k 的几何意义）和几何图形面积、周长、坐标特征，建立函数与几何的联系。 解题关键与步骤：（1）掌握 k 的几何意义：过双曲线上任意一点作 x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，所得直角三角形面积为|k|；（2）分析几何图形：若涉及面积：利用图形面积公式，结合 k 的几何意义建立等式求 k 或点坐标；若涉及坐标：通过图形的对称性（如关于原点对称）、线段关系（如中点、平行）求双曲线上点的坐标，进而求 k；（3）辅助线构造：必要时作 x 轴、y 轴垂线，将不规则图形转化为规则图形（矩形、三角形），利用 k 的几何意义解题。 【题型3】反比例函数与几何综合 【例题3】（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，四边形是正方形，曲线在第一象限经过点，则双曲线的解析式为 ． 【变式1】（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为8，则的值为（   ） A．4 B．8 C．16 D．24 【变式2】（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点．连接，求点到线段的距离 ． 【变式3】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积V（）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）． （1）求出这个函数的解析式； （2）当气球体积为时，气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了完全起见，气球的体积应满足什么条件？ 【变式3】（25-26九年级上·陕西铜川·期中）如图，点，在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为C，连接，． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）若点P是反比例函数图象上一点，且，请求出点P的坐标． 【知识点四】一次函数与反比例函数图象综合判断 核心思路：根据一次函数和反比例函数中系数k，b，m符号，判断图象所在象限；或根据图象位置，反推系数符号。 【题型4】一次函数与反比例函数图象综合判断 【例题4】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）在同一平面直角坐标系中，当时，一次函数与反比例函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级上·山东·专题练习）关于x的函数和在同一坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【知识点五】一次函数与反比例函数图象交点问题 核心思路：整合前五种题型的解题方法，结合图象性质、方程思想、数形结合思想，解决较复杂的计算、比较、决策类问题。 常见题型及解题步骤： 1. 比较函数值大小 思路：结合图象，找出两个函数图象的交点横坐标，以交点为分界点，划分自变量取值范围，判断同一范围内两个函数值的大小关系； 【题型5】一次函数与反比例函数图象综合比较大小 【例题5】（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知点、都在反比例函数的图象上，且满足，比较的大小． 【变式1】（2023·湖北武汉·模拟预测）如果反比例函数的图象经过点、，，且，那么和的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能比较 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）正比例函数与反比例函数的图象经过点、两点，、．若．点在反比例函数上．比较大小： ． 2. 实际应用中的决策问题 思路：将实际问题中的两个变化量分别用一次函数和反比例函数表示，通过比较函数值、求交点等方式解决决策问题（如 “选择哪种方案更省钱”）； 【题型6】一次函数与反比例函数图象实际应用 【例题6】（25-26九年级上·山东东营·月考）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： （1）求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ （3）当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【变式1】（2023·河北保定·一模）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【变式2】（2023·山东青岛·二模）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是 分钟．    3. 与几何图形结合的综合计算 思路：融合一次函数、反比例函数的交点问题与几何图形的面积、周长计算，先求函数解析式，再求交点坐标，最后结合几何性质求解； 【题型7】一次函数与反比例函数图象实际应用 【例题7】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于，两点，与轴、轴分别交于点，，已知点的坐标为，点的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点是第四象限反比例函数图象上一点，当的面积为时，求点的坐标； （3）反比例函数的图象上是否存在一点．使得，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点是射线上一点，过点作轴于点，以为边在其右侧作正方形，过点的双曲线交边于点，则的值为（    ）    A． B． C． D．1 【变式2】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与反比例函数的图象交于点． （1） ； （2）过点作轴于点，以为边向下作正方形，与轴重合，则 ． 【知识点六】一次函数与反比例函数的其他综合应用 【题型8】一次函数与反比例函数图象实际应用 【例题8】（2025·甘肃临夏·二模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点． （1）点D的坐标为________； （2）不等式的解集是________； （3）已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积． 【变式1】（24-25八年级下·全国·单元测试）已知函数的图象如图所示．给出下列结论： ①两函数图象的交点的坐标为； ②当时，； ③； ④当逐渐增大时，随的增大而增大，随的增大而减小． 其中，正确的是（   ）． A．①② B．② C．①④ D．①③④ 【变式2】（24-25八年级下·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数和的图象如图所示．已知矩形的边，分别在轴正半轴和轴正半轴上，分别交，于点，，分别交，于点，，直线与轴交于点，连结．若，，则的面积为 ．    二．同步练习​ 【基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知y是x的反比例函数，当时，，则下列关于y与x之间的函数关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河南信阳·期中）如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）与物距（蜡烛到小孔的距离）x（单位：）成反比例关系，当时，，则y关于x的关系式是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴于点C．若，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．2 5．（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于，两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·河北保定·一模）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 二、填空题 7．（25-26九年级上·四川成都·期中）反比例函数的图象经过点、及，则 ． 8．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流是电阻的反比例函数，其图像如图所示．当电流时， Ω． 9．（2025·甘肃定西·模拟预测）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，线段交反比例函数的图象于点，则的面积为 ． 10．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，函数与（不为零）的图象相交于点，，则关于x的不等式的解集是 ． 11．（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则不等式的解集是 ． 12．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）将的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的新双曲线与直线相交于两点，其中一个交点的横坐标为，另一个交点的纵坐标为，则 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·湖南永州·期中）已知反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）判断点是否在这个函数的图象上； （3）当时，求的取值范围． 14．（2025·贵州铜仁·三模）如图是反比例函数，的图象，点为图象上的一点，且轴，轴，垂足分别为点、点，、分别交的图象于点、点． （1）当点的横坐标为1时，求点、点的坐标； （2）在（1）的条件下，求的面积． 15．（2025·青海西宁·三模）如图，直线与反比例函数相交于，两点，与轴相交于点． （1）分别求直线和反比例函数对应的函数表达式； （2）连接，求的面积． （3）直接写出当时，关于的不等式的解集． 16．（2022·河南南阳·三模）如图，已知点在y轴上，在x轴上，以为边在第一象限内作正方形，此时反比例函数在第一象限内的图象恰好经过点C，D． （1）直接写出：点D的坐标， ； （2）将正方形绕点B按顺时针方向旋转，当点C的对应点落在x轴上时，判断点D的对应点是否落在反比例函数的图象上，并说明理由． 【能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知点在反比例函数的图象上，则下列不在此反比例函数图象上的点是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏淮安·二模）已知关于x的方程（m、n为常数，且）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．一个实数根 B．两个实数根 C．三个实数根 D．没有实数根 3．（25-26九年级上·贵州铜仁·阶段练习）若双曲线与直线一定有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，过点作平行轴交轴于点，在轴负半轴上取一点，使，连接，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 5．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）函数与在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为6，曲线是双曲线的一部分，已知点的横坐标为6，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点与点均在该波浪线上，分别过、两点向轴作垂线段，垂足为和两点，则四边形的面积是（   ）． A．10 B． C． D．15 二、填空题 7．（25-26九年级上·四川成都·期中）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为 ，，，， 则 ，，的大小关系为 ． 8．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）在恒温下，气体对汽缸壁的压强p（）与汽缸内气体体积V（）的函数关系如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 mL． 9．（25-26九年级上·四川内江·期中）如图，直线与反比例函数的图象的一部分交于点，与轴、轴分别交于点、，若，则的值为 ． 10．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点A，D分别在函数，的图象上，点B，C在x轴上．若四边形ABCD为矩形，点D在第一象限，点E在线段AD上，则的面积为 ． 11．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，一次函数（k、b为常数，且）和反比例函数的图象交于A、B两点，利用函数图象直接写出不等式的解集是 ． 12．（24-25八年级下·山东·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·山东泰安·期中）正比例函数的图像与反比例函数相交于两点，其中点的坐标为． （1）分别写这两个函数的表达式． （2）求不等式的解集． 14．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，且与轴和轴分别交于点和点． （1）求一次函数与反比例函数关系式及点D的坐标； （2）连接，已知为反比例函数图象上一点，且，求点的坐标． 15．（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，与反比例函数的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，纵坐标为2． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，，求四边形的面积． 16．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在矩形中，，，点为边上的三等分点（），动点从点出发，沿折线运动（不与、重合）．点的运动速度为每秒2个单位长度，设点运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； （2）若函数，请在平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $