第六章 3 反比例函数的应用-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

3反比例函数的应用 要点提示 用反比例函数解决实际问题的一般步骤：()审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系： (2)根据常量与变量之间的关系，设出西数关系式，待定系数用宇丹表示：(3)由题目中的已知条件列出方程，求出 待定系数：(4)写出函数关系式，同时确定自变量的取值范围；(5)运用反比例函数的图象和性质解决实际问题。 O1固县础念…… 一2x十m的表达式 (2)当OD=1时，求线段BC的长 知识点1反比例函数的实际应用 1.一定质量的氧气，它的密度p(单位：kg/m3) 与体积V(单位：m3)可看作反比例函数关 系.当V=10m3时，p=1.43kg/m3.若V= 2m3时，则p= ( A.1.43kg/m3 B.2.86kg/m3 C.7.15kg/m3 D.14.3kg/m 2.跨物理学科某蓄电池的电压为48V,使用 此蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单 位：n)的函数表达式为I-袋当R=12n 时，I的值为 A 知识点2反比例函数与一次函数的综合应用 3.如图，一次函数y1=kx十b (k1>0)的图象与反比例函 数=(k2>0)的图象相 卜易错点忽略实际问题中自变量的取值 范围致错 交于A,B两点，点A的横坐 第3题圈 5.某学校要种植一块面积为100m2的矩形 标为1，点B的横坐标为一2.当y<y时，x 草坪，要求两边长均不小于5m,则草坪的 的取值范围是 ( 一边长y(单位：m)随另一边长x(单位：m) A.x<-2或x>1 的变化而变化的图象大致是 B.x<-2或0<x<1 C.-2<x<0或x>1 D.-2<x<0或0<x<1 4.如下图，反比例函数y=冬(x<0)与一次函 数y=-2x十m的图象交于点A(一1,4)， BC⊥y轴于点D,分别交反比例函数与一次 函数的图象于点B,C (1)求反比例函数y=冬与一次函数y= 上册第六鼻 02提能力 …念O3拓思维心… 6.如图所示的是某公园水上滑梯的侧面示意图， 9已知反比例函数y一各和一次函数y=2x十 其中BC段可看成是双曲线的一部分.建立如 图所示的平面直角坐标系，其中四边形AOEB b,其中一次函数的图象经过点A(一1，一3) 为矩形，OA=5m,AB=2m,CD-1m,则B,C 和B(1,m),反比例函数图象经过点B. 两点之间的水平距离DE为 ( (1)求反比例函数的表达式和一次函数的表 A.5 m B.6 m C.7m D.8m 达式 (2②如下图，若直线y=一x十号交x轴于点 C,交y轴于点D,P为反比例函数y=盘女 0 第6题周 第7题图 >0)图象上的一点，过点P作y轴的平行线 7.如图，一块砖的A,B,C三个面的面积之比 交直线CD于点E,作x轴的平行线交直线 为5：3：1.已知压强的计算公式为p=5: CD于点F.在该反比例函数图象上是否存 在点P,使△PFE≌△OCD?若存在，求点 其中p是压强，F是压力，S是受力面积.如 P的坐标：若不存在，请说明理由. 果A,B,C三个面分别向下在地上，地面所 受压强分别为p1,p2,pg,那么1,2，的 大小关系为 (用“<” 连接). 8.(2024盐城)如下图，小明在草稿纸上画了某 反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形 直尺放在上面.请根据图中信息，求： (1)反比例函数表达式. (2)点C坐标. B -3 数学九年级BS版将x=1,y=4和x=2,y=3代入上式，得 4=46一6， 1 -得 一4' ka=-3 y与x之间的函数表达式为yx+1D-,即 1 +2+ 1 2反比例函数的图象与性质 第1课时反比例函数的图象 1.B2.m>-1 3.解：(1)4-6-2 (2)图象如图所示. 4.C5.y=8 6解：由题意，得m5一1，① m十1<0.② 由①，得m=士2， 由②@，得m<-1, 六m的值为一2，函数表达式为y=一1 x 7.C8.B9.k>k>k 10.解：(1)：AB∥x轴，A(1,1),点B在反比例函数y= (>0)的图象上B8,. 同理可得，C1,3,D行3小， AB=2,CD-号 2)AB=3CD.理由如下： :Aa,）,AB∥x轴，底B在反比例函数y= >0)的图象上， 3a,） 同理可得，ca,)D(号) AB-2a.cD-号a .3CD=2a,.AB=3CD. 11.解：(1)，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y -是(>0)的图象交于点A(1,m), x .把A(1,m)代人y=x+2,得m=1+2=3 A(1,3). A,3代人y-兰得太1X3-3 点A的坐标为(1,3)，反比例函数的表达式为y 3 x (2公当y=2-1时，解得x=3, 点B的坐标为(3,1) 如图，过点B作BD∥x轴交直线 AC于点D, 当y=x+2=1时，解得x=-1, 点D的坐标为(-1,1)，.BD= 3-(-1)=4, SAe=SaAm+5SAam-号BD·%= 2 1×4×3 =6. 第2课时反比例函数的性质 1.D2.B3.m<3 4条：由感海 ,.m=一2 5B6A7y-至8B9.C10.c1.号 12.(1)-2<k<0 (2)2 13.解：(1)①x≠1 ②当x>1时，y随x的增大而减小（答案不难一） 《②公将y一二的图象先向右平移1个单位，厚向上平 移2个单位（答案不唯一）. (3)y=x十2的图象如图所示. 10 456 根据图象可知，不等式名十2≤x十2的解集为 -1≤x<1或x≥2. 3反比例函数的应用 1.C2.43.B 4解：D:反比例面数=皇（红<0）的图象过点 A(-1,4). ∴.k=4×(-1)=-4, 六反比例函数的表达式为y=一4 把(-1,4)代人y=-2x+m,得4=-2×(-1)十m, 187 上册参考答案 解得m=2, 一次函数的表达式为y=一2x十2 (2)对于y-兰，当y-1时，-1-1，解得x=-4, ,点B的横坐标为一4： 对于y=-2x+2,当y=1时，一2x十2=1，解得x 是，“底C的横坐标为经 故线段BC-号-(-)-号 5.C6.D7.<P<p 8.解：(1)由题图可知，点A的坐标为（一3,2）. 设反比例函数的表达式为)一女(：≠0. :点A在反比例函数y一的图象上， .k=-3X2=-6, “反比例函数表达式为y=一6 (2)设OA所在直线的函数表达式为y=k'x('≠0). 把点A(-3,2)代入y=x中，得一3=2，解得= -号，∴0A所在直线的函数表达式为y=一号 由题图可知，OA所在直线向上平移3个单位长度得 到BC所在直线， BC所在直线的函数表达式为y=一号x+3. 根据题意，得-6=一2 x+3, 解得戏=6，=一2： 3 :点C在第二象限， “点C的坐标为(-号4)】 9.解：(1)将(-1，-3)，(1，m)分别代入y=2x十b,得 2十=-3解得-1， 2+b=7m, m=1, 即一次函数的表达式为y-2x一1，点B的坐标为(1， 1). 将1,1D代入y一会得1-会，解得发=2， 郎反比例函数的表达式为—】 (2)不存在.理由如下： 设点P的坐标为4，)》 由题意，得C(分0），D0,号），即oc-0D=号 将=：代人=-得y号- 即E女，号- 将)=}代入y=-x计2得x=号}，即F(合 },》PE=-(合- 188 数学九年级BS版 若存在△PFE≌△OCD, 题PE=0D-3,即}-(}-)- 化简，得-t+1=0, △=8-4ac=(-1)2-4=-3<0, .-t+1=0无实根， ,∴.不存在点P使得△PFE2△OCD. 本章小结 1.C2.A 3解：①)：反比例函数y=产(k≠0)的图象经过点 A(-3,-6), “-6-气g解得=18，则这个函数的表达式为y 18 (2)点B(4,号)在这个函数的图象上，点C2,-5)不 在这个函数的图象上， 4.B5.A 6.解：a):直线y=x+b与反比例函数y=车(x>0)的 图象交于点A(2,3), 2+6-38-号 ,b=1,0=6, ,直线AB的表达式为y=x十1，反比例函数的表达 式为y-(x>0. (2),直线AB的函数表达式为y=x+1,.B(0,1). :BC∥x轴， 点C的纵坐标为1，BC与x轴的距离为1. 令至-1，得x=6BC-6. 如图，过点A作AD LBC于点D, 则AD=3-1=2, 1 Sa=zBC·AD= ×6×2 =6. 0 7.解：(1)设线段OA的表达式为y一kx,把(5,10)代入， 得10=5k,.k=2,则线段OA的表达式为y=2x(0≤ x≤5). 设反比例函数的表达式为y=”,将(15,9)代入，得m =15×9=135,则反比例函数的表达式为y=135(x≥ 15). (2)此次消毒工作有效。 理由：将y=4代人y=2x,得4=2x,解得x=2. 将y=4代人y=135,得4=135，解得x=33.75. x 33.75-2=31.75>30, 此次消毒工作有效