4.2.2 随机变量及其事件的联系、离散型随机变量的分布列同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

4.2.2 随机变量及其事件的联系、离散型随机变量的分布列 一、单选题 1．5件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（    ） A．取到产品的件数 B．取到正品的概率 C．取到次品的件数 D．取到次品的概率 【详解】对于A，5件产品中有3件次品，从中任取2件，取到产品的件数是一个常量不是变量， BD也是一个定值，而C中取到次品的件数可能为0、1、2是随机变量.故选：C 2．一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数的可能取值为（    ） A．1，2，3，…，6 B．0，1，2，…，6 C．0，1，2，…，5 D．1，2，3，…，5 【详解】由试验次数的含义可知，至少试验一次才可能刚好打开， 如果第五次依然没有打开，此时不管开锁是否成功，都能确定能开锁的钥匙. 所以的所有可能取值为：.故选：D. 3．下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 P A． B． C． D． 【详解】由题意可得：，解得， 所以．故选：B. 4．一次考试选择题每题5分，设某学生答对的选择题数为随机变量X，选择题得分为随机变量Y，已知，则的值为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.3 D．0.4 【详解】根据题意知，，所以．因为，所以，所以．故选：D． 5．离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则等于（   ） A． B． C． D． 【详解】由题知，解得，所以， 又，故选：B. 6．已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．或 【详解】因为随机变量服从两点分布，所以.. 整理得，解得，. 当时，，； 当时，，故不合题意. 综上，可得.故选：A. 7．下列结论不正确的是（    ） A．若事件与互斥，则 B．若事件与相互独立，则 C．如果分别是两个独立的随机变量，那么 D．若随机变量的方差，则 【详解】由已知，选项A，若事件与互斥，则，故该选项错误； 选项B，若事件与相互独立，则，故该选项正确； 选项C，若分别是两个独立的随机变量，那么，故该选项正确； 选项D，若随机变量的方差，则，故该选项正确；故选：A. 8．甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】随机变量可能的取值为. . ， 故的分布列为： 2 3 故 因为，故，而，故A、B错误. 而， 令，因为， 故，此时， 必成立，故C错误，D正确.故选：D. 二、多选题 9．下列变量是离散型随机变量的是（    ） A．某水位监测站所测水位在这一范围内变化，该水位监测站所测水位H B．抛掷一枚硬币直到出现正面为止，需要的抛掷次数 C．在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数 D．方程的实根个数 【详解】对于A，因为水位在内变化，不能一一举出，故不是离散型随机变量，故A错误； 对于B，需要抛掷次数可以一一举出，所以是离散型随机变量，故B正确； 对于C，做对选择题第11题的人数可以一一举出，所以是离散型随机变量，故C正确； 对于D，方程的实根有2个，是确定的值，不是随机变量，故D错误.故选：BC. 10．已知随机变量的分布列为： 若，则实数的值可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】由随机变量的分布列可知，随机变量的可能取值为，，，， 的分布列为： ， ， ， ， 用表格表示为 ∴对于A，时，，故选项A错误； 对于B，时，，故选项B正确； 对于C，时，，故选项C正确； 对于D，时，，故选项D正确.故选：BCD. 11．已知互不相等的正实数，是的任意顺序的一个排列，定义随机变量X，Y满足（    ） A． B． C． D． 【详解】1，2，3，4的全排列共有（种）． 由题意知，当或时，； 当或或或时，． 所以满足的排列有 ，共8种， 所以， 故A，C，D正确，B错误．故选：ACD 三、填空题 12．已知随机变量服从两点分布，且，设，那么 . 【详解】由题意可得，. 故答案为：. 13．现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1～6），连续投掷两次，记分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量，则的值为 . 【详解】连续投掷两次质地均匀的正方体骰子，则总共有种情况， 时，两次投掷点数相差，共有种情况，， 故，故答案为： 14．某旅游品生产厂家要对生产产品进行检测，后续进行产品质量优化．产品分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，设其级别为随机变量，且优秀、良好、合格、不合格四个等级分别对应的值为1、2、3、4，其中优秀产品的数量是良好产品的数量的两倍，合格产品的数量是良好产品的数量的一半，不合格产品的数量与合格产品的数量相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，则 ． 【详解】根据题意可知：优秀产品的数量是良好产品数量的两倍，即， 合格产品的数量是良好产品数量的一半，即， 不合格产品的数量等于合格产品数量，即， 因为所有产品的总数量是固定的，可以根据以上条件计算各个等级产品的概率： ，，，， 其中表示良好产品的占比， 因此应该满足以下条件：，解得， 因此：，，，． 就是取到2，3或4的概率之和： ， 因此，即抽取的产品质量大于优秀的概率为0.5．故答案为：0.5． 四、解答题 15．某商店试销某种商品20天，获得如下数据： 日销售量／件 0 1 2 3 频数 1 5 9 5 2 3 试销结束后，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，将频率视为概率．记为第二天开始营业时该商品的数量，求的分布列．（假设该商品的日销售量的分布规律不变） 【详解】根据题意，存量少于2件，则当天进货补充至3件，所以取值为2或3， ，即卖出1件，概率为， ，即卖出件，概率为， 所以分布列为 16．某职业技能资格考试包含三个模块，规定前两个模块至少有一个合格才能继续参加第三个模块，否则考试结束.已知考生小王完成前两个模块合格的概率均为，且前两个模块考试结果互不影响.若前两个模块都合格，则第三个模块合格的概率为，若前两个模块仅有一个合格，则第三个模块合格的概率为. (1)求小王能参加第三个模块的概率； (2)记为小王考试合格的模块数，求的分布列和期望. 【详解】（1）设“小王能参加第三个模块”， 所以. （2）由题意知，随机变量的可能取值为. ，，， . 用表格表示的分布列，如表所示： 0 1 2 3 所以. 17．甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球． (1)从甲箱中随机摸出3个球，求这3个球中恰有2个红球的概率； (2)先从甲箱中随机摸出1个球，再从乙箱中随机摸出1个球，求这两次摸出的球中红球个数的分布列； (3)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球，求摸到红球的概率． 【详解】（1）由题意，这3个球中恰有2个红球的概率为. （2）由题意，的所有取值为， 则，，， 则的分布列为： 0 1 2 （3）从甲箱中摸红球：掷到点数为1或2的概率为，再从甲箱中摸到红球的概率为， 故从甲箱中摸到红球的概率为； 从乙箱中摸红球：掷到点数为3，4，5，6的概率为，再从乙箱中摸到红球的概率为， 故从乙箱中摸到红球的概率为； 综上所述：摸到红球的概率为. 18．某社团共有12名成员，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3人．现从中随机抽选2人参加数学知识问答． (1)若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率； (2)若恰好抽选了 1名男生与1名女生，求这2人都是高二学生的概率； (3)若逐个抽选，求在第一次抽选到男生的条件下第二次也抽到男生的概率； (4)若恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与均值． 【详解】（1）若逐个抽选，恰好第一个抽选的是男生的概率为男生在成员总人数中所占的比率，即； （2）记事件为恰好抽选了 1名男生与1名女生，事件为这2人都是高二学生.由题知男生总共5人，女生总共7人. 则，由条件概率可得： . （3）对于“在第一次抽选到男生的条件下第二次也抽到男生”的概率，可采用缩小样本空间的方法， 计算从去掉1个男生后的4个男生中抽取1人的方法数，除以从去掉1个男生后的11人中抽取1人的方法总数的比值， 即得其概率为. （4）因为恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，可能的情况包含“1名高一男学生与1名高二男学生” 、 “1名高一男学生与1名高二女学生”、 “1名高一女学生与1名高二男学生”、“1名高一女学生与1名高二女学生”. 抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，则的可能取值为0和2. 则，， 则的分布列为： 0 1 则均值为. 19．夏辰广场乒乓球场上，乒乓飞舞，明星老师带领班上同学组织班内友谊比赛，拿过来一盘乒乓球，盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球），每局比赛从盒中随机取1个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中使用过的球即成为旧球. (1)求两局比赛后盒中恰有3个新球的概率; (2)设三局比赛后盒中新球的个数为，求的分布列. 【详解】（1）因两局比赛后盒中恰有3个新球，两局第一次取到了旧球，第二次取到了新球或第一次取到了新球，第二次取到了旧球. 两次取球总情况数为，第一次取到了旧球，第二次取到了新球或第一次取到了新球，第二次取到了旧球的情况数为，则相应概率为： . （2）三局比赛后盒中新球的个数可能为1，2，3，4.三局比赛取球包含种情况， 当三局比赛后剩1个新球时，那么第一次取新球，第二次取新球，第三次取新球， 因每次取完新球放回变旧球，所以共种情况； 当三局比赛后剩2个新球时，那么第一次取新球，第二次取新球，第三次取旧球， 或者第一次取新球，第二次取旧球，第三次取新球， 或者第一次取旧球，第二次取新球，第三次取新球， 因每次取完新球放回变旧球，所以共种情况； 当三局比赛后剩3个新球时，那么第一次取新球，第二次取旧球，第三次取旧球， 或者第一次取旧球，第二次取新球，第三次取旧球， 或者第一次取旧球，第二次取旧球，第三次取新球， 因每次取完新球放回变旧球，所以共种情况； 当三局比赛后剩4个新球时，那么第一次取旧球，第二次取旧球，第三次取旧球， 因每次取完新球放回变旧球， 所以共种情况；；； ；； 则分布列如下： 1 2 3 4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.2 随机变量及其事件的联系、离散型随机变量的分布列 一、单选题 1．5件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（    ） A．取到产品的件数 B．取到正品的概率 C．取到次品的件数 D．取到次品的概率 2．一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数的可能取值为（    ） A．1，2，3，…，6 B．0，1，2，…，6 C．0，1，2，…，5 D．1，2，3，…，5 3．下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 P A． B． C． D． 4．一次考试选择题每题5分，设某学生答对的选择题数为随机变量X，选择题得分为随机变量Y，已知，则的值为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.3 D．0.4 5．离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则等于（   ） A． B． C． D． 6．已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．或 7．下列结论不正确的是（    ） A．若事件与互斥，则 B．若事件与相互独立，则 C．如果分别是两个独立的随机变量，那么 D．若随机变量的方差，则 8．甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列变量是离散型随机变量的是（    ） A．某水位监测站所测水位在这一范围内变化，该水位监测站所测水位H B．抛掷一枚硬币直到出现正面为止，需要的抛掷次数 C．在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数 D．方程的实根个数 10．已知随机变量的分布列为： 若，则实数的值可能是（    ） A． B． C． D． 11．已知互不相等的正实数，是的任意顺序的一个排列，定义随机变量X，Y满足（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知随机变量服从两点分布，且，设，那么 . 13．现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1～6），连续投掷两次，记分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量，则的值为 . 14．某旅游品生产厂家要对生产产品进行检测，后续进行产品质量优化．产品分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，设其级别为随机变量，且优秀、良好、合格、不合格四个等级分别对应的值为1、2、3、4，其中优秀产品的数量是良好产品的数量的两倍，合格产品的数量是良好产品的数量的一半，不合格产品的数量与合格产品的数量相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，则 ． 四、解答题 15．某商店试销某种商品20天，获得如下数据： 日销售量／件 0 1 2 3 频数 1 5 9 5 试销结束后，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，将频率视为概率．记为第二天开始营业时该商品的数量，求的分布列．（假设该商品的日销售量的分布规律不变） 16．某职业技能资格考试包含三个模块，规定前两个模块至少有一个合格才能继续参加第三个模块，否则考试结束.已知考生小王完成前两个模块合格的概率均为，且前两个模块考试结果互不影响.若前两个模块都合格，则第三个模块合格的概率为，若前两个模块仅有一个合格，则第三个模块合格的概率为. (1)求小王能参加第三个模块的概率； (2)记为小王考试合格的模块数，求的分布列和期望. 17．甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球． (1)从甲箱中随机摸出3个球，求这3个球中恰有2个红球的概率； (2)先从甲箱中随机摸出1个球，再从乙箱中随机摸出1个球，求这两次摸出的球中红球个数的分布列； (3)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球，求摸到红球的概率． 18．某社团共有12名成员，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3人．现从中随机抽选2人参加数学知识问答． (1)若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率； (2)若恰好抽选了 1名男生与1名女生，求这2人都是高二学生的概率； (3)若逐个抽选，求在第一次抽选到男生的条件下第二次也抽到男生的概率； (4)若恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与均值． 19．夏辰广场乒乓球场上，乒乓飞舞，明星老师带领班上同学组织班内友谊比赛，拿过来一盘乒乓球，盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球），每局比赛从盒中随机取1个球作为比赛用球，该局比赛结束后放回盒中使用过的球即成为旧球. (1)求两局比赛后盒中恰有3个新球的概率; (2)设三局比赛后盒中新球的个数为，求的分布列. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $