预习02 随机变量及其分布列（六大考点）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

预习02 随机变量及其分布列 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过具体的实例，了解离散型随机变量的概念； 2．通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列； 3．掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质 知识点一、随机变量 1.随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示． 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 2.离散型随机变量分布列的概念及性质 ①离散型随机变量的分布列的概念 设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 ()的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列. X … … P … … 有时也用等式表示X的分布列． ②离散型随机变量的分布列的性质 （1）(i＝1，2，…，n)；（2）． 知识点二、两点分布的分布列 若随机变量的分布列为两点分布列,就称服从两点分布或分布,并称为成功概率. 考点一：随机变量的概念 例1．下列变量中，不是随机变量的是 (填序号). ①下一个交易日上证收盘指数； ②标准大气压下冰水混合物的温度； ③明日上课某班(共50人)请假同学的人数； ④小马登录QQ找小胡聊天，设X＝. 变式1-1．（多选）抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为，则“”表示的试验结果是（ ） A．第一枚6点，第二枚2点 B．第一枚5点，第二枚1点 C．第一枚2点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚1点 变式1-2．下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由． (1)北京机场一年中每天运送乘客的数量； (2)北京某中学办公室一天中接待家长来访人数； (3)2020年除夕收看春节联欢晚会的人数． 变式1-3．写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果． (1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数； (2)从分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和． 考点二：离散型随机变量的判定及理解 例2．下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由． (1)某机场一年中每天运送乘客的数量； (2)某单位办公室一天中接到电话的次数； (3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； (4)一瓶果汁的容量为. 变式2-1．下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（    ） ①某食堂在中午半小时内进的人数；    ②某元件的测量误差； ③小明在一天中浏览网页的时间；    ④高一2班参加运动会的人数； A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 变式2-2．（多选）抛掷两颗骰子各一次，记第一颗骰子掷出的点数与第二颗骰子掷出的点数的差为X，则“”表示的试验的结果有（　　） A．第一颗为5点，第二颗为1点 B．第一颗大于4点，第二颗也大于4点 C．第一颗为6点，第二颗为1点 D．第一颗为6点，第二颗为2点 变式2-3．指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由. (1)从10张已编好号码的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出的卡片的号数； (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球和黑球的个数； (3)某林场的树木最高达30m，则此林场中树木的高度； (4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差. 考点三：分布列的性质应用 例3．下表是离散型随机变量的概率分布，则常数a的值是（   ） 3 4 5 6 A． B． C． D． 变式3-1．若随机变量X的分布列如下： 1 2 3 4 0.1 0.4 0.3 则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 变式3-2．设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 变式3-3．已知某个离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.3 0.1 则的最小值为 . 考点四：求离散型随机变量的分布列 例4．某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10元的价格全部处理完．店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量（单位：十盒），获得如下数据： 日销售量/十盒 7 8 9 10 天数 8 12 16 4 假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．记每两天中销售草莓的总盒数为X（单位：十盒），求X的分布列． 变式4-1．密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7名成员参加密室逃脱游戏，其中3名资深玩家，4名新手玩家，甲为新手玩家. (1)在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为；若是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概率； (2)甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和②.密室①有2个门，密室②有3个门（每个门都可以双向开），甲在每个密室随机选择1个门出去，若走出密室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为，求的分布列. 变式4-2．为落实素质教育，促进学生全面发展，某校着重组织社团文化建设，对“心理协会”与“摄影协会”两个社团增设选修课学分，增设学分分别为0.5分和1分，现有一新生进入这两个社团的概率分别为0.7和0.6，求该新生获得社团选修课学分分数的分布列． 变式4-3．某校高三年级拟派出甲､乙､丙三人去参加校运动会跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中 (1)甲､乙､丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲､乙､丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求的值； (3)在（2）的条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列. 考点五：两点分布 例5．已知X服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 变式5-1．若服从两点分布，，则为（    ） A．0.32 B．0.34 C．0.66 D．0.68 变式5-2．已知是一个离散型随机变量，分布列如下表，则常数的值为 ． 0 1 变式5-3．已知随机变量X服从两点分布，且，，那么 . 考点六：利用随机变量的分布列求概率 例6．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 若随机变量，则等于（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 变式6-1．某次乒乓球比赛的规则为：双方轮流发球，每人发一个球后交换发球权，先得11分的一方获胜，同时规定，双方比分达到（未达到时）后，先多得2分的一方获胜，双方比分达到后，先多得1分的一方获胜.甲、乙两人进行比赛，比分达到，下一次由甲发球，用表示结束比赛还需要发球的次数，已知甲、乙两人比赛时发球方得分的概率均为，则 . 变式6-2．设是不等式的解集，整数． (1)设“使得成立的有序数组”为事件，“使得成立的有序数组”为事件．写出事件A包含的样本点． (2)设，写出随机变量X的分布列，求． 变式6-3．（多选）已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．某袋中装有大小相同的10个红球，5个黑球．每次随机抽取1个球，若取到黑球，则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为（    ） A． B． C． D． 2．随机变量的分布列如下（为常数）： 0 1 2 0.3 则（   ） A．0.6 B．0.7 C．0.9 D．1.2 3．已知随机变量满足，，其中为常数，则（    ） A． B． C． D． 4．一校园公用电话在某时刻恰有个学生正在使用或等待使用该电话的概率为，根据统计得到，其中为常数，则在该时刻没有学生正在使用或等待使用该电话的概率为（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 5．已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 若离散型随机变量，则（    ）． A． B． C． D． 6．已知抛物线的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，，在这些抛物线中，记随机变量，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下面给出四个随机变量，其中是离散型随机变量的为（　　） A．高速公路某收费站在未来1小时内经过的车辆数X B．一个沿直线进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y C．某景点7月份每天接待的游客数量 D．某人一生中的身高X 8．有一组样本数据，添加一个数形成一组新的数据，且，则新的样本数据（    ） A．众数是1的概率是 B．极差不变的概率是 C．第25百分位数不变的概率是 D．平均值变大的概率是 三、填空题 9．给出下列四个命题： ①30秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量； ②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量； ③一条河流每年的最大流量是随机变量； ④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量． 其中正确命题的序号是 ． 10．某盒中有12个大小相同的球，分别标号为，从盒中任取3个球，记为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量的概率是 ． 11．甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．则比赛停止时已打局数为6的概率是 ． 四、解答题 12．北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： (1)甲测试合格的概率； (2)甲答对的试题数X的分布列. 13．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m (1)求的分布列； (2)求． 14．某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得分．已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功． (1)求至少回答正确一个问题的概率； (2)求这位同学回答这三个问题的总得分的分布列． 15．第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中男子100米比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，其中． (1)甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大？ (2)在的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为，求的分布列． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习02 随机变量及其分布列 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过具体的实例，了解离散型随机变量的概念； 2．通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列； 3．掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质 知识点一、随机变量 1.随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示． 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 2.离散型随机变量分布列的概念及性质 ①离散型随机变量的分布列的概念 设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 ()的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列. X … … P … … 有时也用等式表示X的分布列． ②离散型随机变量的分布列的性质 （1）(i＝1，2，…，n)；（2）． 知识点二、两点分布的分布列 若随机变量的分布列为两点分布列,就称服从两点分布或分布,并称为成功概率. 考点一：随机变量的概念 例1．下列变量中，不是随机变量的是 (填序号). ①下一个交易日上证收盘指数； ②标准大气压下冰水混合物的温度； ③明日上课某班(共50人)请假同学的人数； ④小马登录QQ找小胡聊天，设X＝. 【答案】② 【详解】根据随机变量的定义可知，①③④是随机变量，标准大气压下冰水混合物的温度为,所以不是随机变量，所以②不是随机变量. 故答案为：② 变式1-1．（多选）抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为，则“”表示的试验结果是（ ） A．第一枚6点，第二枚2点 B．第一枚5点，第二枚1点 C．第一枚2点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚1点 【答案】AB 【详解】因为表示第一枚骰子的点数和第二枚骰子的点数之差， 所以满足的可以是：第一枚点，第二枚点；第一枚点，第二枚点， 故选：AB. 变式1-2．下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由． (1)北京机场一年中每天运送乘客的数量； (2)北京某中学办公室一天中接待家长来访人数； (3)2020年除夕收看春节联欢晚会的人数． 【答案】(1)随机变量，理由见解析 (2)随机变量，理由见解析 (3)不是随机变量，理由见解析 【详解】（1）北京机场一年中每天运送乘客的数量可能为，是随机变化的，因此是随机变量. （2）北京某中学办公室一天中接待家长来访人数，是随机变化的，因此是随机变量. （3）2020年除夕收看春节联欢晚会的人数是确定的，是不可变的，因此不是随机变量. 变式1-3．写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果． (1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数； (2)从分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）设所需要的取球次数为，则． 表示“第1次就取到白球”，表示前次取到的均是红球，第次取到白球，． （2）设所取卡片上的数字之和为，则． 表示“取出标有1，2的两张卡片”； 表示“取出标有1，3的两张卡片”； 表示“取出标有2，3或1，4的两张卡片”； 表示“取出标有2，4或1，5的两张卡片”； 表示“取出标有3，4或2，5或1，6的两张卡片”； 表示“取出标有2，6或3，5的两张卡片”； 表示“取出标有3，6或4，5的两张卡片”； 表示“取出标有4，6的两张卡片”； 表示“取出标有5，6的两张卡片”． 考点二：离散型随机变量的判定及理解 例2．下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由． (1)某机场一年中每天运送乘客的数量； (2)某单位办公室一天中接到电话的次数； (3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； (4)一瓶果汁的容量为. 【答案】(1)是随机变量，也是离散型随机变量，理由见解析 (2)是随机变量，也是离散型随机变量，理由见解析 (3)是随机变量，也是离散型随机变量，理由见解析 (4)是随机变量，但不是离散型随机变量，理由见解析 【详解】（1）某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． （2）某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． （3）明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． （4）由于果汁的容量在498mL~502mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量,是连续性随机变量. 变式2-1．下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（    ） ①某食堂在中午半小时内进的人数；    ②某元件的测量误差； ③小明在一天中浏览网页的时间；    ④高一2班参加运动会的人数； A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【答案】D 【详解】对于①，某食堂在中午半小时内进的人数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；对于②，某元件的测量误差不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量； 对于③，小明在一天中浏览网页的时间不能一一列举出来，故③不是离散型随机变量；对于④，高一2班参加运动会的人数可以一一列举出来，故④是离散型随机变量； 故选：D. 变式2-2．（多选）抛掷两颗骰子各一次，记第一颗骰子掷出的点数与第二颗骰子掷出的点数的差为X，则“”表示的试验的结果有（　　） A．第一颗为5点，第二颗为1点 B．第一颗大于4点，第二颗也大于4点 C．第一颗为6点，第二颗为1点 D．第一颗为6点，第二颗为2点 【答案】ACD 【详解】因为， 所以选项ACD符合题意， 对于选项B：第一颗大于4点，可以是5点，6点， 第二颗也大于4点，可以是5点，6点， 因为， 所以本选项不符合题意， 故选：ACD 变式2-3．指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由. (1)从10张已编好号码的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出的卡片的号数； (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球和黑球的个数； (3)某林场的树木最高达30m，则此林场中树木的高度； (4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【详解】（1）只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片的号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义． （2）从10个球中任取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球； 3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义． （3）林场树木的高度是一个随机变量，它可以取内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量． （4）实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量． 考点三：分布列的性质应用 例3．下表是离散型随机变量的概率分布，则常数a的值是（   ） 3 4 5 6 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，解得， 故选：C. 变式3-1．若随机变量X的分布列如下： 1 2 3 4 0.1 0.4 0.3 则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【详解】由题可得，解得． 由，可得或4， 则（或）． 故选：B 变式3-2．设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】根据题意，随机变量的分布列为，， 则有，解可得. 故选：A. 变式3-3．已知某个离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.3 0.1 则的最小值为 . 【答案】15 【详解】由分布列性质可知，，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为15. 故答案为： 考点四：求离散型随机变量的分布列 例4．某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10元的价格全部处理完．店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量（单位：十盒），获得如下数据： 日销售量/十盒 7 8 9 10 天数 8 12 16 4 假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．记每两天中销售草莓的总盒数为X（单位：十盒），求X的分布列． 【答案】分布列见解析 【详解】日销售量为7盒、8盒、9盒、10盒的概率依次为，，，， 根据题意可得X的所有可能取值为14，15，16，17，18，19，20， 则， ，， ，， ，， 所以X的分布列为 X 14 15 16 17 18 19 20 P 变式4-1．密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7名成员参加密室逃脱游戏，其中3名资深玩家，4名新手玩家，甲为新手玩家. (1)在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为；若是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概率； (2)甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和②.密室①有2个门，密室②有3个门（每个门都可以双向开），甲在每个密室随机选择1个门出去，若走出密室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）7人中随机选择2人，共有种情况，其中含甲的情况有种， 6种情况中，甲和资深玩家对抗的情况有3种，和同级的玩家对抗情况有3种， 则甲和资深玩家对抗并获胜的概率为， 和同级的玩家对抗并获胜的概率为， 故在该游戏环节中，获胜者为甲的概率为； （2）设为甲在密室①，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率， 为甲在密室②，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率， 考虑，需考虑甲直接从号门走出密室或者进入密室②且最终从密室①走出密室， 故①， 考虑，则甲从号门进行密室①，且从密室①走出密室， 故②， 联立①②，可得， 所以，故， 故分布列如下： 1 2 变式4-2．为落实素质教育，促进学生全面发展，某校着重组织社团文化建设，对“心理协会”与“摄影协会”两个社团增设选修课学分，增设学分分别为0.5分和1分，现有一新生进入这两个社团的概率分别为0.7和0.6，求该新生获得社团选修课学分分数的分布列． 【答案】答案见解析 【详解】设“该新生获得社团选修课学分分数”为，则的可能取值为． 所以； ； ；． 所以的分布列为： 0 0.5 1 1.5 0.12 0.28 0.18 0.42 变式4-3．某校高三年级拟派出甲､乙､丙三人去参加校运动会跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中 (1)甲､乙､丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲､乙､丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求的值； (3)在（2）的条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列. 【答案】(1)甲； (2)； (3)分布列见解析. 【详解】（1）甲进入决赛的概率为，乙进入决赛的概率为， 丙进入决赛的概率为，而，则， 所以甲进入决赛的可能性最大. （2）甲､乙､丙三人中恰有两人进入决赛的概率为 ， 整理可得，而，所以. （3）依题意，甲､乙､丙进入决赛的概率分别为， 随机变量的可能取值有， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 考点五：两点分布 例5．已知X服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，则． 故选：. 变式5-1．若服从两点分布，，则为（    ） A．0.32 B．0.34 C．0.66 D．0.68 【答案】B 【详解】依题意可得， ， 所以 故选：B. 变式5-2．已知是一个离散型随机变量，分布列如下表，则常数的值为 ． 0 1 【答案】 【详解】由离散型随机变量分布列的性质知， ，解得， 故答案为：. 变式5-3．已知随机变量X服从两点分布，且，，那么 . 【答案】 【详解】由题意可知，解得. 故答案为：. 考点六：利用随机变量的分布列求概率 例6．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 若随机变量，则等于（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【详解】因为，所以. 故选：A. 变式6-1．某次乒乓球比赛的规则为：双方轮流发球，每人发一个球后交换发球权，先得11分的一方获胜，同时规定，双方比分达到（未达到时）后，先多得2分的一方获胜，双方比分达到后，先多得1分的一方获胜.甲、乙两人进行比赛，比分达到，下一次由甲发球，用表示结束比赛还需要发球的次数，已知甲、乙两人比赛时发球方得分的概率均为，则 . 【答案】 【详解】由题意知的所有可能取值为. 当时，甲的胜负情况为“胜胜”或“负负”，故. 当时，甲的胜负情况为“胜负胜胜”“胜负负负”“负胜胜胜”或“负胜负负”， 故. 则. 故答案为：. 变式6-2．设是不等式的解集，整数． (1)设“使得成立的有序数组”为事件，“使得成立的有序数组”为事件．写出事件A包含的样本点． (2)设，写出随机变量X的分布列，求． 【答案】(1)答案见解析 (2)分布列见解析， 【详解】（1）由，解得． 故 整数m，且 A包含的事件为，，，，． 整数m，且 B包含的事件为、、、、、． （2）由于m的所有不同取值为，1，0，1，2，3 故的所有不同取值为0，1，4，9． ，， ，． 故X的分布列为： X 0 1 4 9 P 变式6-3．（多选）已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】根据题意，随机变量的分布列为， 则有，解得， 则， ． 故选：ABC 一、单选题 1．某袋中装有大小相同的10个红球，5个黑球．每次随机抽取1个球，若取到黑球，则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】第一次取到黑球，则放回1个球；第二次取到黑球，则放回2个球……共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故. 故选：C 2．随机变量的分布列如下（为常数）： 0 1 2 0.3 则（   ） A．0.6 B．0.7 C．0.9 D．1.2 【答案】C 【详解】依题意，，解得， 所以. 故选：C 3．已知随机变量满足，，其中为常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，解得，则， 所以. 故选：A 4．一校园公用电话在某时刻恰有个学生正在使用或等待使用该电话的概率为，根据统计得到，其中为常数，则在该时刻没有学生正在使用或等待使用该电话的概率为（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】B 【详解】， ，即. 故选：B. 5．已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 若离散型随机变量，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由分布列的性质可知： 解得 ， 由 ， 等价于 ，由表可知 ； 故选：A. 6．已知抛物线的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，，在这些抛物线中，记随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于抛物线的对称轴在y轴左侧， 所以，即a，b同号且均不为零，c可取中的任意值， 所以共有种不同的情况． 因为， 所以的取值范围是， 其中的可能情况为且，所以， 的可能情况为且，所以， 的可能情况为且，所以， 所以． 故选：A． 二、多选题 7．下面给出四个随机变量，其中是离散型随机变量的为（　　） A．高速公路某收费站在未来1小时内经过的车辆数X B．一个沿直线进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y C．某景点7月份每天接待的游客数量 D．某人一生中的身高X 【答案】AC 【详解】对于选项A：收费站在未来1小时内经过的车辆数X有限，且可一一列出，是离散型随机变量，故A正确 对于选项C：某景点7月份每天接待的游客数量有限，且可一一列出，是离散型随机变量，故C正确； 对于选项B、D，都是某一范围内的任意实数，无法一一列出，不符合离散型随机变量的定义，故B、D错误． 故选：AC. 8．有一组样本数据，添加一个数形成一组新的数据，且，则新的样本数据（    ） A．众数是1的概率是 B．极差不变的概率是 C．第25百分位数不变的概率是 D．平均值变大的概率是 【答案】ABD 【详解】由题意知， 则，， ，， 对于A，众数是1，说明添加的数为1，则，A正确； 对于B，极差不变，说明添加的数， 则极差不变的概率是，B正确； 对于C，由于， 故原数据和新数据的第25百分位数均为第2个数， 只要添加的数不为0，原数据和新数据从小到大排列后，第二个数相同，都为1， 故第25百分位数不变的概率是，C错误； 对于D，原样本数据的平均值为， 平均值变大，则添加的数要大于2，即， 故平均值变大的概率是，D正确， 故选：ABD 三、填空题 9．给出下列四个命题： ①30秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量； ②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量； ③一条河流每年的最大流量是随机变量； ④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量． 其中正确命题的序号是 ． 【答案】①②③④ 【详解】由随机变量定义可以直接判断①②③④都是正确的． 故答案为：①②③④. 10．某盒中有12个大小相同的球，分别标号为，从盒中任取3个球，记为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量的概率是 ． 【答案】 【详解】从12个球中任取3个球有种不同的方法， 1到12中能被3整除的有；除3余1的有；除3余2的有， 取出的3个球的标号之和被3除余2的情况有： ①标号被3除余数为1的球2个和标号被3整除的球1个有； ②标号被3除余数为1的球1个和标号被3除余数为2的球2个有； ③标号被3除余数为2的球1个和标号被3整除的球2个有， 则． 故答案为：. 11．甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．则比赛停止时已打局数为6的概率是 ． 【答案】 【详解】分别记为甲、乙、丙在第局获胜，则. 由已知，可取. 表示事件“甲胜丙胜乙胜甲胜丙胜丙胜”或“乙胜丙胜甲胜乙胜丙胜丙胜”或“甲胜丙胜乙胜甲胜丙胜乙胜”或“乙胜丙胜甲胜乙胜丙胜甲胜”， 所以. 故答案为：. 四、解答题 12．北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： (1)甲测试合格的概率； (2)甲答对的试题数X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）设甲测试合格为事件A，则. （2）甲答对的试题数X可以为0，1，2，3， ，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 13．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m (1)求的分布列； (2)求． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【详解】（1），故， 的可能取值为、、、， ，， ，， 故其分布列为： 0 1 2 3 0.1 0.3 0.3 0.3 （2）由，可得， 故. 14．某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得分．已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功． (1)求至少回答正确一个问题的概率； (2)求这位同学回答这三个问题的总得分的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）设至少回答正确一个问题为事件，则； （2）这位同学回答这三个问题的总得分的所有可能取值为，，，，，， 所以，， ，， ，， 随机变量的分布列是 0 10 20 30 40 15．第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中男子100米比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，其中． (1)甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大？ (2)在的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为，求的分布列． 【答案】(1)乙 (2)分布列见解析 【详解】（1）甲进入决赛的概率为，乙进入决赛的概率为， 丙进入决赛的概率为， 因为，所以， 所以乙进入决赛的概率最大， 所以乙进入决赛的可能性最大． （2）当时，丙进入决赛的概率为， 所以甲、乙、丙三人进入决赛的概率分别为， 根据题意，得到随机变量的可能取值为0，1，2，3， 可得； ，， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$