甘肃省平凉市第一中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段性考试数学试题

平凉一中2027届高二第一学期第二次阶段性考试 数学试题 命题人： 审核人： 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间为120分钟. 2.答题前，考生须在答题卡上正确填涂姓名、考号等相关信息， 所有试题均在答题卡上各题对应区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草 稿纸上作答无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.若直线(a十1)x十2y=0与直线x一y=1互相垂直，则实数a的值等于() A.-1 B.0 C.1 D.2 a+li [解析] 1=-1,得a十1=2a,故a=1. [答案]C 2.设双曲线=1a>0,b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为 a2 b2 () A.y=±V2x B.y=±2 C.y=±2x 2 D=号 [解机由题意得b=1,c=V3.∴a=2,∴双曲线的渐近线方程为y=乌，即y=士3 b a 2 [答案]B 3.已知直线1：十y一2一a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( ) A.1 B.-1 C.一2或一1 D.-2或1 [解析由题意可知a≠0，当x=0时，=a叶2当y=0时，x=a叶2，：a+ a’ =a+2, 解得a=一2或u=1 [答案]D 4.已知各项不为0的等差数列{an}满足2一a十212=0，数列{b}是等比数列，且b=a, 则bb1等于() A.16 B.8 C.4 D.2 [解析由等差数列性质得a2十a12=2a,所以4a一=0，又7≠0，所以a=4,b7 =4,由等比数列性质得b3b11=b3=16 [答案]A 试卷第1页，共9页 5.非零不共线向量OA、OB,且2OP=xOA十yOB,若PA=4B(U∈R),则点Qx,)的轨迹 方程是() A.2x+y-2=0B.2x十y-1=0 C.x+2y-2=0D.x+y-2=0 [解析]PA=4B,得OA-OP=1(OB-OA),即OP=(1十)OA-1OB 又2OP=xOA+OB, x=2+21, 消去1得x+y-2=0 y=-22, [答案]D 6.设圆锥曲线的两个焦点分别为F,F2,若曲线T上存在点P满足PF1:FF:PF=4: 3:2,则曲线的离心率等于() A.1或3 B.1 2或2 22 2 C D.2 32 3 (审题)→曲线下可能是椭圆也可能是双曲线 转化)→利用椭圆与双曲线的定义 设|PF1=4t,|FF2=3t,PF2=2(t≠0). 若是椭圆，则|P℉：十|PF2|=2u=6t,此时e 求解 →=合若是双能线则1mHPE=2a 6t 优时==号故A (反思 →本题利用椭圆与双曲线的定义直接求a,c [答案]A 7.已知函数fx)是定义在(0，十∞)上的单调函数，且对任意的正数x,y都有x)=x)十 f),若数列{a}的前n项和为S,且满足Sn+2)=fa)+f3)n∈N,则a为() A.2n1 B.1 C.2n-1 D.n [解析]由题意知fSm+2)=fa)十f3)n∈N .Sn+2=3a,Sn-1+2=3an-10n≥2)， 两式相减得，2a,=3an-1(n≥2)，又n=1时，S1十2=3a1=a+2, a=1,数列a}是首项为1，公比为的等比数列，a=子 [答案]B 8.设P是椭圆+=1上一点，M,V分别是两圆：G+4+2=1和6k一4+2=1上的 259 点，则PM+PN的最小值、最大值分别为() A.9,12 B.8,11 C.8,12 D.10,12 试卷第2页，共9页 [解析] y 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知PA十P =2a=10,连接PA,PB分别与圆相交于M,N两点，此时PM十|PM最小，最小值为PA 十PB一2R=8;连接PA,PB并延长，分别与圆相交于M,N两点，此时PM十PN最大， 最大值为PA+PB+2R=12,即最小值和最大值分别为8,12. [答案]C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对得全部分，部分选对得部分分！ 9.已知等差数列{a}的前n项和为Sn,若a2=-2,a,+a,=8,则下列结论正确的是() A.a =2n-6 B.S =n2-5n C.S,取得最小值时n=3 D.数列{2}不是等比数列 【详解】设等差数列的公差为d,则 a+d=-2 2a+8d=8'解得4=4，d=2, 所以a4=ad-2加6，sw8）i-5n(u克。 2 当n=2或n=3时，Sn有最小值，故A,B正确，C错误； 因为2-224 2。=2=4,所以数列{2}是公比为4的等比数列，故D销误 【答案】AB 10.己知圆C:(x-1)+(y-2)=25,直线1：(2+1)x+(m+1)y-7m-4=0,下列说法正确 的是() A.直线1恒过定点(3,1) B.直线l是否与圆C相交与m的取值有关 C.当直线l被圆C截得的弦最长时，直线1的方程是x+2y-5=0 D.直线I被圆C截得的最短弦长是25 试卷第3页，共9页 【详解】对于A,易知1：(2+1)x+(m+1)y-7m-4=0台n(2x+y-7)+x+y-4=0, 「2x+y-7=0 x=3 (x+y-4=0, 解之得 y=1 即该直线过定点(3,1)，故A正确： 对于B,将(3,1)代入圆的方程(3-1)+(1-2)2=5<25，可知该定点在圆内， 所以直线1必与圆C相交，故B错误： 对于C,显然直线过圆心时，此时弦长最长，易知C(1,2),”=5, 由两点式可知)-1x-3 2-11-3 整理得x+2y-5=0,故C正确； 对于D,当圆心与定点连线垂直于1时，此时弦长最短， 即圆心到直线1的最大距离d=V1-3)+(2-1)2=√5， 所以此时弦长t=2r2-d2=45,故D错误. 【答案】AC 1.设月，分别是双面线C:言芳-a>06>0)的左、右集点，4为双猫线的左顶 点，以耳，为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M,N两点(M在x轴上方，N在x轴下方)， C为双曲线的半焦距，O为坐标原点.则下列命题正确的是() A.点N的坐标为(a,b) B.∠MAN>90° C.若∠MW=120°，则双曲线C的离心率为 3 D.若∠M1V=120,且△AN的面积为25，则双曲线C的方程为号- =1 【详解】 VA 对于A选项，根据题意可得以F,为直径的圆的方程为x2+y2=c2=a2+b2, b 不妨设渐近线方程为y=二x, a 试卷第4页，共9页 x2+y2=c2=d2+b2 联立方程组y=力x ,解得M(a,b),N(-a,-b),故A错误； a 对于B选项，A(-a,0),M(a,b),N(-a,-b), ∴AM=(2a,b),AN=(0,-b), ·.AM·AN=(2ab)(0,-b)=-B<0,则∠MAN>90°，故B正确： 对于C选项，'A(-a,0),M(a,b),N(-a,-b),且∠MAN=120°， :.JAM]=14d+B,AN=Vbi=b,MN=14a+4b=2Va+bi=2c, 所以由余弦定理得，4c2=4a2+b+b-2W4a2+b2.bcos120°， 化简得7a=3c,所以e=S=2,故C正确； 对于D选项，由C得e=S-,AN的面积为25， 则有8a-a2h=25,再由d46=c,解得a=5,b=2, 所以双曲线C的方程为号 =1,故D正确. 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.己知{a}为等比数列，a4十4=2，as6=一8，则4十41o等于 [解析]法一：由题意得 4+a=aq3+a4qf=2, lasac=ang Xag=aig=-8, .:F=-2, 或 21 .a1+40=a4(1+)=-7. la=1 4=一8. a4十a=2, a4=4, 法二：由 as6=a4a=-8 ，解得 a4=-2, 或 a=4 =-2. =-2, 、1 或 2 .a41十a10=a4(1+)=-7. =1 4=-8, [答案]一7 试卷第5页，共9页 13.过点P(-V3,一1)的直线1与圆x2+y2=1有公共点，则直线1的倾斜角的取值范围 是 [解析]法一： 如图，过点P作圆的切线PA,PB,切点为A,B,由题意知OP=2,OA=1,则sina 所以a=309,∠B4=60,故直线1的倾针角的取值花周定/0， 法二：设过点P的直线方程为y=kG十V3)一1，则由直线和圆有公共点知， 3k-1山≤1. V1+2 解得0≤长3故直钱1的倾斜商的取值范圆足0， [答案] 03 14.设直线1与抛物线y2=4x相交于A,B两点，与圆(x-5)2+y2=r2(>0)相切于点M,且 M为线段AB的中点，若这样的直线1恰有4条，则r的取值范围是 [解析]设Ax1,y),B(x2,),M(xo,yo),当直线1斜率不存在时有2条；当1斜率 y=4x1, 存在时，该斜率为k,由 相减得W-8=41-2,即k=1二2=2,6=2又 y2=4x2, x1-x20 1与热场线交于人、B两点。”=士解得=3、玫M8了又点M在数物技开日 内，4o,即毫2.=-5+月=4+是e0,到 k [答案](2,4) 四、解答题：共77分. 15.(本小题13分)己知{a}的各项均为正数的等比数列，{b}是等差数列，且1=b1=1, b2十b3=2a,5-3b2=7. (1)求{a}和{bn}的通项公式： (②)设cn=a,bn,n∈N,求数列{cn}的前n项和. 试卷第6页，共9页 [解析](1)设数列{a}的公比为q,数列{bm}的公差为d,由题意心0，由已知有 2q2-3d=2, 消去d,整理得-2G-8=0.又因为g>0,解得q=2,所以d=2 d-3d=10, 所以数列{a}的通项公式为a=21,所以n∈N;数列{bn}的通项公式为bn=2n一1， n∈N (②)由(1)有cn=(2n-1)21,设{cn}的前n项和为S,则S=1×2°+3×21+5×22+… +(21-3)×2m2+(22-1)×2m1, 2S=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2m1+(21-1)×2,上述两式相减，得 -Sn=1+22+23++2-(21-1)X2"=2+1-3-(2n-1）X2m=-(21-3)×2-3,所 以，Sn=(2-3)2m+3,n∈N. 16.(本小题15分)已知向量m=(N3sim,1),n=(cos,cos 4 4 (1)若mn=1,求cosK+5的值： (2)记x)=n,在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a一c)cosB =bcos C,求函数尤A)的取值范围. 1+cosx [解](a)mn=V3sin产cos+cos=3sim'+1中 =simC+巧+1 4 422 2 2621 mn=1,∴snG+乃=cos+3=1-2sm6+5= 262 262 (2)'.'(2a-c)cos B=bcos C, 由正弦定理得(2sinA一sinC)cosB=sin Bcos C, .2sin Acos B-sinC cos B=sin Bcos C,..2sin Acos B=sin(B+C). a+B+C=元，nB+0=snA0,cosB=:0<B<元 B=0<A<经g+g<5sm+G0. 3’“6262' 26 又网=m计骨+号0=m+冷号 故函数4)的取值范围是（①，分' 试卷第7页，共9页 17.(本小题15分)如图，在圆锥PO中，已知PO=V2,⊙O的直径AB=2,点C在AB上， 且∠CAB=30°，D为AC的中点. (1)证明：AC⊥平面POD; (2)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值. 0 0 [解析](I)证明如图，因为OA=OC,D是AC的中点，所以AC⊥OD. 又PO⊥底面⊙O,ACC底面⊙O,所以AC⊥PO,而OD,PO是平面POD内的两条相交直 线，所以AC⊥平面POD (2)由(I)知，AC⊥平面POD,又ACC平面PAC,所以平面POD⊥平面PAC, 在平面POD中，如图，过O作OH⊥PD于H,则OH⊥平面PAC, 连接CH,则CH是OC在平面PAC上的射影，所以∠OCH是直线OC和平面AC所成的 POOD V 角.在Rt△ODA中，OD=OAsin30=1,在Rt△POD中，OH= 2=12 2 PO2+OD2 12+13 4 在R△OHC中，sim∠OCH=H-2,故直线OC和平面PAC所成角的正弦值为3 0C31 18.(本小题17分)己知点M3,1),直线ax-y+4=0及圆x-1)2+y-2)2=4. (1)求过M点的圆的切线方程； (2)若直线ax一y十4=0与圆相切，求a的值； (3)若直线ar一y十4=0与圆相交于A,B两点，且弦AB的长为2V3,求a的值. [解析](1)圆心C(1,2),半径r=2,当直线的斜率不存在时，方程为x=3. 由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知， 此时，直线与圆相切.当直线的斜率存在时，设方程为y一1=k一3)， 即y+1-3达=0.由腿意知-213=2，解得k子 2+1 ∴.圆的切线方程为y-1=x-3),即3x一4y-5=0. 故过M点的圆的切线方程为x=3或3x一4y一5=0， (2油题意得a-2+4=2,解得a=0或a Na+1 3 (3)圆心到直线m-y叶4=0的距离为a+2,」 a+1 试卷第8页，共9页 四本小题17分)已知椭圆G十1Q>b>0的左、有焦点分别为A,及，离心率为 2且经过点 3, 2 (1)求椭圆G的方程： (2①已知动直线1：y=x十，点M,N是直线1上不同的两点，F,F2在1的两侧，且 FM,FN均与直线l垂直，求△FN的面积； ②过椭圆G内一点T(t,O)作两条不同的直线分别交椭圆G于点A,C和B,D,设直线 AC与BD的斜率分别为k、2,若ATTC=BTTD,证明：k1+k2为定值. [解析1（①依题意，离心率e=C=】,又a=b+c2,所以b=3a a 2 4 3 2在椭圆G上，所以3+4=1，解得心=4b=3 2b2 所以精圆G的方程为+”=1 4"3 (2①设d=EM三12"，=W=1十4 V21 因为直线1：y=x十m的斜率为1，所以△FMN的面积为以FM,MN为邻边的矩形的 面积的一半，其中FM=d,MN=d+d, 所以8MN=d+内-=dd+a确=m-ltr-2咖+中 因为F,乃在1的两侧，故水1，即m<1,整理得S=1一m 2 ②由Tt,0),则直线AC的方程为y=k1(一)，设Ax1,),C2,), 联立直线与椭圆方程，得(3+4)x2一8k十4好-12=0. 则x1十x=,8t 4t2-12 3+4h3'x= 3+4好 则AI=Vx1-)2+=V1+kx1-,同理CT=V1+2一 所以ATTC=(1+)1一02一=(1+)x1x2一t1+x2)+t刊 14ke-12_8f+2l =(1+3+4附3+4=Q+翰3-12 3+4好 又T化，0)为精圆G内一点，所以1，即4，所以3-12<0 4 所以1☑1q=+价02-0网里B7升70=1+2-粉 3+4 3+43 所以1+府=1十 ,解得k好=k经，又直线AC与BD不重合，所以十=0为定值. 3+4行3+4 试卷第9页，共9页平凉一中2027届高二第一学期第二次阶段性考试 数学试题 命题人： 审核人： 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间为120分钟. 2.答题前，考生须在答题卡上正确填涂姓名、考号等相关信息， 所有试题均在答题卡上各题对应区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草 稿纸上作答无效， 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.若直线(a十1)x+2y=0与直线x一y=1互相垂直，则实数a的值等于() A.-1 B.0 C.1 D.2 2。设双浦线。。=1®0，b>0前虑轴长为2，焦距为25，则双南线的商近线方程为 () A.y=±V2x B.y= 2 C.y=±2x D.= 3.已知直线1：十y一2-a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是() A.1 B.-1 C.-2或-1 D.-2或1 4.己知各项不为0的等差数列{a4}满足22一a+212=0,数列{bn}是等比数列，且b,=4, 则bb1等于() A.16 B.8 C.4 D.2 5.非零不共线向量OA、OB,且2OP=xOA+yOB,若A=2AB(1∈R),则点Qx,)的轨迹 方程是() A.2x+y-2=0B.2x+y-1=0C.x+2y-2=0D.x+y-2=0 6.设圆锥曲线I的两个焦点分别为F1,F2,若曲线T上存在点P满足PF1:FF2:PF=4: 3:2,则曲线的离心率等于() B.1 2 C. D.2 3 7.已知函数x)是定义在(0，十∞)上的单调函数，且对任意的正数x,y都有xy)=x)十 ),若数列{a}的前n项和为S,且满足S.十2)=a)+3)n∈N),则a,为() A.2n1 B.1 C.2n-1 D.n 试卷第1页，共6页 8.设P是椭圆+=1上一点，M,N分别是两圆：《十4)2+y2=1和一42+2=1上的 259 点，则PM十PN的最小值、最大值分别为() A.9,12 B.8,11 C.8,12 D.10,12 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对得全部分，部分选对得部分分 9.已知等差数列{a}的前n项和为S.,若a2=-2,a,+a。=8,则下列结论正确的是() A.a =2n-6 B.S =n2-5n C.S,取得最小值时n=3 D.数列{2}不是等比数列 10.己知圆C:(x-1)+(y-2)=25,直线1：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,下列说法正确 的是() A.直线1恒过定点(3,1) B.直线l是否与圆C相交与m的取值有关 C.当直线1被圆C截得的弦最长时，直线l的方程是x+2y-5=0 D.直线1被圆C截得的最短弦长是25 1.设男，万分别足双曲线C:于。=1aQb0)的左、右焦点，A为双前线的左页 点，以耳为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M,N两点(M在x轴上方，N在x轴下方)， c为双曲线的半焦距，O为坐标原点.则下列命题正确的是() A.点N的坐标为(a,b) B.∠MAN>90° C.若∠MAW=120°，则双曲线C的离心率为 3 D.若AMN=120,且△MAN的面积为25，则双曲线C的方程为号号1 试卷第2页，共6页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.己知{4}为等比数列，4十a=2,s6=一8，则4十a1o等于 13.过点P(一V3,一1)的直线1与圆x2+y2=1有公共点，则直线1的倾斜角的取值范围 是 14.设直线1与抛物线y2=4x相交于A,B两点，与圆(x一5)2+y2=2(r>0)相切于点M,且 M为线段AB的中点，若这样的直线I恰有4条，则r的取值范围是 四、解答题：共77分 15.(本小题13分)己知{an}的各项均为正数的等比数列，{bm}是等差数列，且a1=b1=1, b2+b3=2a3,a5-3b2=7. (1)求{an}和{bm}的通项公式： (②)设cn=a.bn,n∈N,求数列{cn}的前n项和. 试卷第3页，共6页 16.(本小题15分》已知向量m=(3sin1),n=(co ，cos25 4 4 )若m=1,求cosk+孕的值： (2)记x)=mn,在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a一c)cosB =bcos C,求函数A)的取值范围. 17.(本小题15分)如图，在圆锥PO中，已知PO=V2,⊙0的直径AB=2,点C在AB上， 且∠CAB=30°，D为AC的中点. (1)证明：AC⊥平面POD: (2)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值. 42G 0 -----B 试卷第4页，共6页 18.(本小题17分)己知点M3,1),直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+0y-2)2=4. (1)求过M点的圆的切线方程； (2)若直线ar一y十4=0与圆相切，求a的值： (3)若直线x一y十4=0与圆相交于A,B两点，且弦AB的长为2V3,求a的值. 试卷第5页，共6页 9,体小题17分)已知椭圆G:十1Q>6>0的左、有焦点分别为，乃，离心率为 2且经过点 s. 2 (1)求椭圆G的方程： (2①已知动直线1：y=x十，点M,N是直线1上不同的两点，F,F2在1的两侧，且 FM,FN均与直线1垂直，求△FN的面积； ②过椭圆G内一点T(t,O)作两条不同的直线分别交椭圆G于点A,C和B,D,设直线 AC与BD的斜率分别为k、2,若ATTC=BT TD,证明：k1十k2为定值. 试卷第6页，共6页