期末复习02全等三角形讲义(知识梳理+题型精讲+备考通关)2025-2026学年人教版八年级数学上册

期末复习 02全等三角形讲义 1.全等三角形的性质 2.三角形全等的判定（一）：SSS 判定定理 3.三角形全等的判定（二）：SAS 判定定理 4.全等三角形性质与 SAS 判定的综合应用 5.三角形全等的判定（三）：ASA 与 AAS 判定定理 6.直角三角形全等的判定：HL 判定定理 7.全等三角形性质与 HL 判定的综合应用 8.全等三角形判定综合：添加条件证全等 9.全等三角形综合应用问题 10.尺规作图：作一个角等于已知角 11.尺规作图：作角的平分线 12.角平分线的性质定理 13.角平分线的判定定理 14.角平分线性质的实际应用 【知识点01】全等三角形的定义 全等三角形的定义是：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形。 两个关键细节需要注意： 1.“完全重合” 的含义：不仅形状相同（对应角相等），还要大小相同（对应边相等），二者缺一不可； 2.对应关系：重合时互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。 【知识点02】全等三角形的性质(必考细节) 对应边相等：若△ABC≌△DEF，则 AB=DE，BC=EF，AC=DF 对应角相等：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F 对应线段相等：对应中线（如 AD、DG）、对应高（如 BE、EH）、对应角平分线（如 CF、FJ）长度相等 衍生结论：周长相等、面积相等 易错提醒: 必须强调 “对应” 二字，非对应边、非对应角不一定相等。例如△ABC≅△DEF中，AB的对应边是DE，而非DF，不能直接得出AB=DF。 【知识点03】三角形全等的判定定理(分情况细化) 1. SSS（边边边）判定 条件：三边对应相等（注意 “对应”，非任意三边） 常考场景：已知三边长度证全等；尺规作角（作一个角等于已知角的依据） 2. SAS（边角边）判定 条件：两边及其夹角对应相等（注意 “夹角”，若为 “两边及其中一边的对角”，则不成立，如 SSA 是假命题） 易错点：区分 “夹角” 与 “对边”，避免误用 SSA 3. ASA（角边角）判定 条件：两角及其夹边对应相等 4. AAS（角角边）判定 条件：两角及其中一角的对边对应相等 与 ASA 的关系：AAS 可由 ASA 结合三角形内角和定理推导得出 5. HL（斜边、直角边）判定 条件：斜边和一条直角边对应相等 适用：仅直角三角形（普通三角形不适用） 注意：需先明确三角形是直角三角形（标注直角符号或说明∠X=90°） 【知识点04】尺规作图(全等相关.操作+依据) 1.作一个角等于已知角 步骤：① 以已知角顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角两边于两点； ② 以新作角顶点为圆心，同长为半径画弧，交一边于一点 ③ 以该点为圆心，已知角上两弧交点的距离为半径画弧，两弧交点与顶点连线即为所求角； 依据：SSS 2.作已知角的平分线 步骤：① 以角顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角两边于两点； ② 分别以这两点为圆心，大于两点距离一半的长度为半径画弧，两弧交于角内部一点； ③ 连接顶点与该点，即为角平分线； 依据：SSS 【知识点05】角平分线的定理(全等推导的核心应用) 1.角平分线的性质定理 内容：角平分线上的点到角的两边的距离相等（距离指 “垂线段长度”） 几何表达：若 OP 平分∠AOB，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，则 PD=PE 证明依据：AAS（△OPD≌△OPE） 2.角平分线的判定定理 内容：到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 几何表达：若 PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，且 PD=PE，则点 P 在∠AOB 的平分线上 证明依据：HL（直角三角形）或 AAS（普通三角形） 3.角平分线的实际应用 场景：距离最短、面积计算、路径规划（如 “在区域内找一点到三边距离相等”→ 角平分线交点） 【知识点06】综合题型考点(结合细节) 1.添加条件证全等 类型：已知部分边 / 角，补充一个条件（如已知两边，补充夹角→SAS；已知两角，补充夹边→ASA） 易错：避免补充重复条件（如已知 SS，补充第三边或夹角均可，但需符合判定） 2.全等性质 + 判定的综合 流程：先证三角形全等（用判定）→ 再用全等性质得对应边 / 角相等 常考：线段和差（如 AB=CD+EF）、角度计算（如∠A=∠B+∠C） 3.多三角形全等的连锁证明 场景：先证△ABC≌△DEF，再用其结论证△AGH≌△DIJ 题型1.全等三角形的性质 【典例】如图，，点在边上，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由，得，，然后通过线段和差即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：． 【跟踪专练1】如图，一段笔直的道路上有，，三个地点依次排列，道路同侧有两座建筑，分别是形状的公园和形状的广场，已知．测量得，则从点经点到点的拐弯角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，可得，，再根据平角的定义求解． 【详解】解：，，， ，， 点在同一条直线上， ， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，中，，，，点从出发．以的速度沿向运动，设运动时间为秒，当从开始运动的同时，从出发以的速度，沿向运动，当与全等时，的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由题意可得，，则，分两种情况：①当时，，；当时，，，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，， ， 当时，，， ，， 解得，； 当时，，， ，， 解得，； 综上所述，当或时，与全等， 故答案为：或． 题型2.三角形全等的判定(一):SSS判定定理 【典例】如图，若，，则，判定的根据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键．由，，，则可依据判定，由此可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故选：B． 【跟踪专练1】三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据网格的特点结合全等三角形的判定定理画图求解即可． 【详解】解：如图所示，都是与全等的格点三角形， ∴除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有3个， 故答案为：3． 【跟踪专练2】在中国的传统建筑中，房梁通常采用三角形结构，工匠通过确保三角架全等来保证结构的稳定．如图，该房梁的三角架可抽象成，，为边上的中线，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法． 根据证明即可． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 题型3.三角形全等的判定(二):SAS判定定理 【典例】如图，和相交于O点，若，用“”证明还需（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，“”需满足两边及夹角相等，由此可解． 【详解】解：和中，，， 用“”证明还需， 故选：B． 【跟踪专练1】如图:，欲证，则可增加的条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 由结合全等三角形的判定定理，即可找出需添加条件，结合图形利用角的计算即可得出添加可证出． 【详解】解：添加， ∵， ∴． 又∵， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，．，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为．设点Q的运动速度为，若使得与全等．x的值为 ． 【答案】1或1.5 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键．根据全等三角形的判定得出两种情况，求出每种情况的值即可． 【详解】解：要使△与△全等，有两种情况： ①， 点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．设点的运动速度为， ； ②，， 时间为秒， 即， 所以的值是1或1.5， 故答案为：1或1.5． 题型4.全等三角形性质与SAS判定的综合应用 【典例】图2是图1折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．撑开后的折叠凳宽度，则 ． 【答案】36 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，以及三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定方法和性质定理．利用定理判定，再利用全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵O是和的中点， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：36． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，，动点P从点B沿边向点C运动，速度为，同时点Q从点C沿射线方向运动．当点Q运动速度为 时，和可能全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据题意，分类讨论：当，，时；当，，时；根据全等三角形的性质，行程问题的数量关系即可求解． 【详解】解：分以下两种情况讨论： 如图所示， 当，，时，， ， 点运动的时间为秒， 点运动的速度为； 如图所示， 当，，时，， ， 点运动的时间为秒， 点运动的速度为； 综上所述，点运动速度为或． 故答案为：或． 【跟踪专练2】在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，测得，圆形容器的壁厚是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）是解题的关键． 先证明三角形全等，得出的长度，再根据与的关系求出壁厚． 【详解】解：在和中， ∵，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴壁厚为， 故选：． 题型5.三角形全等的判定(三)ASA与AAS判定定理 【典例】．在和中，，，要用“”证明，则补充的这个条件是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据“”，已知一个“”和“”，找出与“”相邻的另一个“”即可． 【详解】解：已知，， 要用“”证明， 则补充的这个条件是， 故选：B． 【跟踪专练1】小明不慎将三角形模具打碎成三块（如图），他想配一块与原来完全相同的模具，下列说法正确的是（　 ） A．带第一块即可 B．带第三块即可 C．两块都要带 D．两块都不用带 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的唯一性，解决此题的关键是熟练掌握三角形全等的方法；第三块包含了两个确定的角及其夹边，根据三角形判定方法角边角即可得到答案； 【详解】解：第三块的玻璃包含了原来三角形玻璃的两个角及其夹边，根据三角形的判定角边角即可知另一个三角形与其全等，根据全等三角形的唯一性，带第三块即可； 故选：B． 【跟踪专练2】如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60cm，当淇淇从水平位置垂直上升15cm时，嘉嘉离地面的高度是 cm． 【答案】45 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点O作地面于点G，则，证明，得出，即可推出结果 【详解】如图，过点O作地面于点G，则， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴嘉嘉离地面的高度是． 故答案为：45． 题型6.直角三角形全等的判定:HL判定定理 【典例】如图，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据题意可得，由可根据定理可证明，即可解答． 【详解】解：∵， ， 在和中，， ， 则的依据是． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，，能保证成立条件有（   ） ； ； ； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形全等的判定条件，掌握直角三角形全等的判定条件是解答本题的关键． 根据直角三角形全等的判定条件逐个判断即可解答． 【详解】解： 根据直角三角形全等的判定条件“”，即斜边和一条直角边对应相等， 和满足定理“”， ①满足AAS定理可证明 故选：C． 【跟踪专练2】如图，，，，射线，点和分别在线段和射线上运动，且．当 时，与全等． 【答案】3或4 【分析】本题考查证明三角形全等，掌握相关知识是解决问题的关键．因为且，所以若使与全等，只需当时， 此时，或当时，此时，据此解答即可． 【详解】解：， ， ， 若使与全等， 只需①当时， 此时， ②当时，此时， 故答案为：3或4． 题型7.全等三角形性质与HL判定的综合应用 【典例】如图，，垂足为，是上的一点，，连接、，且．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由已知得，再证明即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，两点分别在线段和过点且垂直于的射线上运动，．当 时，才能使与全等． 【答案】5或10 【分析】本题考查了根据三角形全等的判定方法，由，需再找两个边对应相等即可； 分类讨论：，求解两种情况下的长即可完成解答. 【详解】解：和中， ，， 要使与全等， 只有：和两种情况． 当时，． 当时，． 故答案为：或． 【跟踪专练2】如图所示，于点于点，，则的长是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定（）和全等三角形的性质（对应边相等），关键点是找到两个三角形全等的条件，其中对应边写错或看混是易错点；根据已知的垂直，和两边相等，得到两个直角三角形全等，从而利用对应边相等，计算的长即可． 【详解】解：∵， ∴和为直角三角形． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：． 题型8.全等三角形判定综合:添加条件证全等 【典例】如图，C是的中点，且，请添加一个条件 ，使得． 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键． 要使，已知，，再根据三角形全等的判定方法，进行求解即可． 【详解】解：∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴添加或或， 可分别根据判定． 故答案为：（或，答案不唯一）． 【跟踪专练1】在和中，若，则下列补充条件中不能判定全等的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是熟练掌握等全等判定方法． 结合已知边角，依据三角形全等判定规则，判断补充条件是否符合判定要求，进而确定不可判定全等的选项． 【详解】解：A、，，， ，能判定全等，此选项不符合题意； B、，，， ，能判定全等，此选项不符合题意； C、，，，不能判定，此选项符合题意； D、，，， ，能判定全等，此选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，已知． （1）若用“”证明，还需添加条件 ． （2）若用“”证明，还需添加条件 ． （3）若用“”证明，还需添加条件 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． （1）要判定，已知是公共角，具备了一组边、一组角相等，根据可添加； （2）要判定，已知是公共角，具备了一组边、一组角相等，根据可添加； （3）要判定，已知是公共角，具备了一组边、一组角相等，根据可添加． 【详解】解：（1）添加， 在和中， ， ∴； （2）添加， 在和中， ， ∴； （3）添加， 在和中， ， ∴； 故答案为：；；． 题型9.全等三角形综合应用问题 【典例】如图，已知中，，D是的中点，于E，于F，则图中全等三角形共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，先把单独的两个全等三角形的对数找完，再找由两个三角形组合的全等的大三角形的对数，最后找由三个小三角形组合的全等的大三角形的对数即可． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∵是公共边， ∴， ∴，， ∵于E，于F， ∴， ∴，， 综上所述，共有3对全等三角形， 故选：C． 【跟踪专练1】如图， 已知，，， 点C， E， D， F共线． 下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决此题的关键是合理的利用全等三角形的性质；先判断三角形全等，根据三角形的全等判断A和B正确，再运用三角形的内角和定理可以判断出D正确，无法判断出C正确，故得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故A正确； 又∵，， ∴， ∴，， 故B正确； ∵， 又∵，， ∴， 故D正确； 无法判断，∴无法判断， 故无法判断出C； 故选∶C． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且，若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 延长至点G，使得，证明，得到，，进而得出，再证明得到，即可解答． 【详解】解：延长至点G，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 题型10.尺规作图:作一个角等于已知角 【典例】如图，尺规作，作图痕迹中弧是以点为圆心，以 长为半径所画的弧． 【答案】/ 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，根据尺规作角的方法，得到弧是以点为圆心，以长为半径的弧，作答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：作图痕迹中弧是以点为圆心，以长为半径所画的弧， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，点C在的边上，小明用尺规作出了．他写出了以下作图过程：①以C为圆心，长为半径画，交于点M；②作射线，则；③以M为圆心，长为半径画弧，交于点D；④以O为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F．但他写的顺序排乱了，请你帮他确定正确的顺序是 ．（填序号即可） 【答案】④①③② 【分析】本题考查作图—基本作图，熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键． 根据作一个角等于已知角的作图方法可得答案． 【详解】解：由题意知，正确的顺序是： ④以O为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F ①以C为圆心，长为半径画，交于点M； ③以M为圆心，长为半径画弧，交于点D； ②作射线，则． 故答案为：④①③②． 【跟踪专练2】如图，用尺规作出了，其作图依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：由作法可知：，， ， ． 故选：A． 题型11.尺规作图:作角平分线 【典例】观察如图所示的尺规作图痕迹，则线段是的（    ） A．中线 B．高线 C．中垂线 D．角平分线 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规基本作图，掌握角平分线的尺规作图方法是解题的关键． 根据角平分线的尺规作图的作法即可解答． 【详解】解：由作图过程可得：线段是的角平分线． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，在中，某同学用尺规作图的方法在上作出点D，点E在上，于点F，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查尺规作图作角平分线，三角形内角和定理及四边形内角和定理，掌握是角平分线是解题的关键． 由尺规作图可知平分，得到，再由三角形内角和定理及四边形内角和定理求解即可． 【详解】由尺规作图可知，平分， ， ， ， 又， ， 在四边形中， ， ， ． 故选：C． 【跟踪专练2】某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示的作图痕迹如下，其中，射线为的平分线的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查角平分线的性质和证明，选择适当条件证明三角形全等进而证明是解题关键． ①由图可知，，，，据此证明即可． ②由图可知，，垂直平分，据此证明即可． ③由图可知，，，，依次证明， ，即可． ④由图可知，，，据此证明即可． 【详解】解：①有图可知， ， ， ， 射线是的角平分线； ②由图可知， ，， ， ， ， 射线是的角平分线； ③由图可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 射线是的角平分线； ④由图可知， ， ， ， ， ， ， 射线是的角平分线． 故答案为：①②③④． 题型12.角平分线的性质定理 【典例】如图，是的平分线，于点E，，，则的长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，过作于，根据角平分线的性质得到，再根据求的长． 【详解】解：过作于， ∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在中，，，的平分线交于点D，过点D作于点E，于点F，若，则的面积是 ． 【答案】70 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积计算，根据角平分线的性质得到，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵的平分线交于点D，，， ∴， ∵，， ∴ ， 故答案为：70． 【跟踪专练2】如图，射线平分，点D在射线上，于点P，，Q是上一点，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质与三角形面积公式，解题的关键是利用角平分线上的点到角两边的距离相等，确定阴影三角形的高．根据角平分线性质得点到的距离等于，再结合三角形面积公式计算阴影部分面积． 【详解】解：∵射线平分，点在上，， ∴点到的距离等于． 阴影部分为，其面积为． 故答案为：． 题型13.角平分线的判定定理 【典例】如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形角平分线的性质，熟练掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解题的关键． 根据“到三角形三边距离相等的点的性质”，结合三角形特殊点的定义来判断凉亭位置． 【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴该点是三条角平分线的交点， 故选：． 【跟踪专练1】如图，是内一点，且点到三边，，的距离相等，即，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的判定定理可得是的角平分线，是的角平分线，然后根据角平分线的定义可得，，最后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是内一点，且点到三边，，的距离相等，即， ∴是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，已知点分别是的三边上的点，，，且，则的值是 ． 【答案】/84度 【分析】本题考查了三角形面积公式、角平分线的判定与性质，作于，于，由三角形面积公式得出，从而得出平分，再由角平分线的性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，于， ，，，，， ， ，， 平分， ， 故答案为：． 题型14.角平分线的实际应用 【典例】王岗社区是由，，三条路围成的小型社区，社区准备修建一个电动车充电点现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在（ ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两边的距离相等，而根据题意可得充电点到三条路的距离相等，故充电点应该建在三个角的角平分线的交点处． 【详解】解：∵充电点到三条路的距离相等， ∴充电点应该建在三个角的角平分线的交点处， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE=DF=4，再利用三角形面积公式和S△ADB+S△ADC=S△ABC得到×4×7+×4×AC=26，然后解一次方程即可． 【详解】解：作DF⊥AC于F，如图， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF=4， ∵S△ADB+S△ADC=S△ABC， ∴×4×7+×4×AC=26， ∴AC=6， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题． 【跟踪专练2】三条公路两两相交，要在该平面内修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离都相等，则满足条件的加油站可以建 处． 【答案】4/四 【分析】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． 根据角平分的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论． 【详解】解：∵三条公路两两相交，要求加油站到这三条公路的距离都相等，    ∴加油站在角平分线的交点处，画出加油站位置如图所示，共4处． 故答案为：4． 1．刺绣是中国古老的手工技艺之一，已经有2000多年的历史，下列是几组刺绣作品图片，其中是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的定义，熟悉掌握全等图形的识别是解题的关键．根据全等图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．两图大小不一样，故不是全等图形，故A错误； B．两图大小形状一样，故是全等图形，故B正确； C．两图形状不一样，故不是全等图形，故C错误； D．两图大小不一样，故不是全等图形，故D错误． 故选：B． 2．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．周长相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应边相等 【答案】D 【详解】本题考查全等三角形的定义、全等三角形的性质等知识点，掌握全等三角形要求形状和大小完全相同是解题的关键． 根据全等三角形的定义和性质逐项判断即可． 【分析】解：A．形状相同的三角形大小可能不相等，不不一定全等，该选项错误，不符合题意； B．面积相等的三角形不一定全等，故该选项错误，不符合题意； C．周长相等的三角形不一定全等，故该选项错误，不符合题意； D．全等三角形的对应边相等，故该选项正确，符合题意． 故选D． 3．如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是 （填全等理由） 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法：、、、、（仅用于直角三角形全等的判定）．据此判断即可． 【详解】解：由作图知：，， 在和中， ， ∴， ∴判定的依据是． 故答案为：． 4．在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示，这种画图方法的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 故答案为：． 5．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与相交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线与相交于点D，若，则的面积是（　　）． A．120 B．100 C．60 D．30 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质定理、三角形的面积等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解题的关键． 利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到点D到的距离为的长，即点D到的距离为8，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：由作法得：平分， ∴点D到和的距离相等，即点D到的距离为的长， ∴点D到的距离为8， ∴的面积． 故选：C． .6．如图，点A，点B，点C，点D均在格点上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质， 由题意可得：，，即可证明，从而得出，根据三角形的外角可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， , ， ， ． 故选：C． 7．如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为 ．    【答案】/35度 【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质、平行线的判定及性质、角平分线的性质等知识，能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定和平行线的性质及判定是解题的关键．连接，，结合尺规作图，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，可知，然后根据角平分线的定义，即可获得答案． 【详解】解：连接，，    由作图可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 8．已知，中，，，是边中线，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．延长到点E，使，连接，由可证，可得，由三角形三边关系可得． 【详解】解：如图，延长到点E，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵中，， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 9．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 10．如图，．点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为t（）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为 时，有与全等． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质， 设点Q的运动速度为，分两种情况讨论：若，则，即；②若，则，即；分别求出x即可． 【详解】解：设点Q的运动速度为， ∵，． ∴与全等分两种情况： （1）若， 则， 即， 解得：； （2）若， 则， 即， 解得：. 综上所述，x的值为2或时，与全等. 故答案为：2或． 11．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 12．如图，P是等边外一点，把BP绕点B顺时针旋转60°到，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接AP，根据同角的余角相等可得∠ABP=∠CBP1，然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP1全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=CP1，连接PP1，根据旋转的性质可得△PBP1是等边三角形，然后求出∠AP1P是直角，再利用勾股定理用PA表示出PP1，由等边三角形的三条边相等，代入整理即可得解． 【详解】解：如图，连接AP， ∵BP绕点B顺时针旋转60°到BP1， ∴BP=BP1，∠ABP+∠ABP1=60°， 又∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠CBP1+∠ABP1=60°， ∴∠ABP=∠CBP1， 在△ABP和△CBP1中， ∵， ∴△ABP≌△CBP1（SAS）， ∴AP=P1C， ∵P1A：P1C=1：2， ∴AP=2P1A， 连接PP1，则△PBP1是等边三角形， ∴∠BP1P=60°，PP1=PB， ∵∠AP1B=150°， ∴∠AP1P=150°-60°=90°， ∴△APP1是直角三角形， 设P1A=x，则AP=2x， 根据勾股定理，PP1=x， 则PB=x， ∴PB：P1A=x：x=：1． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形以及直角三角形，把P1A、P1C以及P1B长度转化到同一个直角三角形中是解题的关键． 13．如图，点B、F、C、E在一条直线上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，先证明，再由平行线的性质得到，据此可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 14．如图，在四边形中，，连接，过点作于点，边、的延长线交于点，且，．求证：是的平分线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，先根据证明，得出，然后根据角平分线的判定即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， 又，， ∴是的平分线． 15．秋千运动不仅是一项精彩的竞赛运动，更能够锻炼人的意志，培养勇敢精神．如图为小英某次荡秋千的侧面示意图，已知秋千绳长，当秋千位于位置时，过点作于点，测得，当秋千位于位置时，，求此时点到的水平距离（于点E）的长． 【答案】 【分析】本题考查了余角的性质，全等三角形的判定与性质，根据余角的性质证出，然后根据证明，根据全等三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又 ∴， 即点到的水平距离（于点E）的长为． .16．如图，，点B的对应点D在边上． (1)求证：平分； (2)若点A，B，E在同一条直线上，且，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的定义及三角形内角和定理． （1）根据全等三角形的性质得到相关角的关系，再结合角平分线的定义进行证明即可； （2）设，则，先根据全等三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理列出方程解出x的值，最后再利用全等三角形的性质推出的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴，即平分． （2）解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．证明：全等三角形对应角的平分线相等． 我们在证明文字命题时，通常应遵循这样的步骤： （1）首先，要弄清命题的条件和结论，那么这个命题的 条件是：____________； 结论是：____________． （2）其次，要结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形． 如图①所示，线段是的角平分线，请用尺规作图，作出图②中的角平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （3）最后，结合所画图形和这个命题的条件和结论写出已知和求证，并进行证明． 已知：如图，______≌______，线段，分别是和的角平分线． 求证：____________． 证明：（要求：证明时写清每一步推理的依据．） 【答案】（1）三角形全等；对应角的平分线相等；（2）图见解析；（3），，证明见解析 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．根据证明全等三角形是解决问题的关键． （1）根据命题判断条件与结论即可； （2）利用基本作图作的平分线即可； （3）根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：（1）这个命题的 条件是：三角形全等， 结论是：对应角的平分线相等； 故答案为：三角形全等；对应角的平分线相等； （2）如图所示： （3）已知：如图，，线段，分别是和的角平分线． 求证：， 故答案为：，； 证明：（已知）， （全等三角形的性质） 线段，分别是和的角平分线（已知）， （角平分线的定义） （等量代换）， ， （全等三角形的性质）． 18．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题． 某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习： 已知在四边形中，，，分别是直线，上的点． （1）如图，若，，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为__________． （2）如图，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组的同学们先猜想线段，，之间的数量关系，然后借助第（1）问中研究问题的思路和方法进行探讨，发现有以下两种证明方法： 方法1：延长至点，使得，先证与的全等，再证与的全等，可得到线段，，的之间的数量关系． 方法2：在上截取，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系． 请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明． （3）如图，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）  （2）   （3） 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等和对应边相等进行推导变形． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）如图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，再判定，可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图 1，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）如图2，， 理由如下： 在上截取，连接， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）结论：． 理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 即， ． 19．综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 【答案】（1）；（2）①，或，；②． 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质可知，所以，根据即可求出运动的时间； ①当与全等时，有两种情况，一种情况是，即；另一种情况是，即时．根据对应相等的线段的长度求出运动时间的值，再根据运动的时间和路程求出即可； ②根据三角形的面积公式，可得：，可以求出的长度，即点的运动路程，根据点的运动路程和速度求出运动时间，根据运动的时间和点运动的路程的长度求出值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）①解：若， ，， ， ， ， ， ， ， 若， ，， ， ， ， ； 综上所述：，或，； ②解：如下图所示，连接，过点作于，过点作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习02全等三角形讲义 1.全等三角形的性质 2.三角形全等的判定（一）：SSS 判定定理 3.三角形全等的判定（二）：SAS 判定定理 4.全等三角形性质与 SAS 判定的综合应用 5.三角形全等的判定（三）：ASA 与 AAS 判定定理 6.直角三角形全等的判定：HL 判定定理 7.全等三角形性质与 HL 判定的综合应用 8.全等三角形判定综合：添加条件证全等 9.全等三角形综合应用问题 10.尺规作图：作一个角等于已知角 11.尺规作图：作角的平分线 12.角平分线的性质定理 13.角平分线的判定定理 14.角平分线性质的实际应用 【知识点01】全等三角形的定义 全等三角形的定义是：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形。 两个关键细节需要注意： 1.“完全重合” 的含义：不仅形状相同（对应角相等），还要大小相同（对应边相等），二者缺一不可； 2.对应关系：重合时互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。 【知识点02】全等三角形的性质(必考细节) 对应边相等：若△ABC≌△DEF，则 AB=DE，BC=EF，AC=DF 对应角相等：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F 对应线段相等：对应中线（如 AD、DG）、对应高（如 BE、EH）、对应角平分线（如 CF、FJ）长度相等 衍生结论：周长相等、面积相等 易错提醒: 必须强调 “对应” 二字，非对应边、非对应角不一定相等。例如△ABC≅△DEF中，AB的对应边是DE，而非DF，不能直接得出AB=DF。 【知识点03】三角形全等的判定定理(分情况细化) 1. SSS（边边边）判定 条件：三边对应相等（注意 “对应”，非任意三边） 常考场景：已知三边长度证全等；尺规作角（作一个角等于已知角的依据） 2. SAS（边角边）判定 条件：两边及其夹角对应相等（注意 “夹角”，若为 “两边及其中一边的对角”，则不成立，如 SSA 是假命题） 易错点：区分 “夹角” 与 “对边”，避免误用 SSA 3. ASA（角边角）判定 条件：两角及其夹边对应相等 4. AAS（角角边）判定 条件：两角及其中一角的对边对应相等 与 ASA 的关系：AAS 可由 ASA 结合三角形内角和定理推导得出 5. HL（斜边、直角边）判定 条件：斜边和一条直角边对应相等 适用：仅直角三角形（普通三角形不适用） 注意：需先明确三角形是直角三角形（标注直角符号或说明∠X=90°） 【知识点04】尺规作图(全等相关.操作+依据) 1.作一个角等于已知角 步骤：① 以已知角顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角两边于两点； ② 以新作角顶点为圆心，同长为半径画弧，交一边于一点 ③ 以该点为圆心，已知角上两弧交点的距离为半径画弧，两弧交点与顶点连线即为所求角； 依据：SSS 2.作已知角的平分线 步骤：① 以角顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角两边于两点； ② 分别以这两点为圆心，大于两点距离一半的长度为半径画弧，两弧交于角内部一点； ③ 连接顶点与该点，即为角平分线； 依据：SSS 【知识点05】角平分线的定理(全等推导的核心应用) 1.角平分线的性质定理 内容：角平分线上的点到角的两边的距离相等（距离指 “垂线段长度”） 几何表达：若 OP 平分∠AOB，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，则 PD=PE 证明依据：AAS（△OPD≌△OPE） 2.角平分线的判定定理 内容：到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 几何表达：若 PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，且 PD=PE，则点 P 在∠AOB 的平分线上 证明依据：HL（直角三角形）或 AAS（普通三角形） 3.角平分线的实际应用 场景：距离最短、面积计算、路径规划（如 “在区域内找一点到三边距离相等”→ 角平分线交点） 【知识点06】综合题型考点(结合细节) 1.添加条件证全等 类型：已知部分边 / 角，补充一个条件（如已知两边，补充夹角→SAS；已知两角，补充夹边→ASA） 易错：避免补充重复条件（如已知 SS，补充第三边或夹角均可，但需符合判定） 2.全等性质 + 判定的综合 流程：先证三角形全等（用判定）→ 再用全等性质得对应边 / 角相等 常考：线段和差（如 AB=CD+EF）、角度计算（如∠A=∠B+∠C） 3.多三角形全等的连锁证明 场景：先证△ABC≌△DEF，再用其结论证△AGH≌△DIJ 题型1.全等三角形的性质 【典例】如图，，点在边上，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，一段笔直的道路上有，，三个地点依次排列，道路同侧有两座建筑，分别是形状的公园和形状的广场，已知．测量得，则从点经点到点的拐弯角的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，中，，，，点从出发．以的速度沿向运动，设运动时间为秒，当从开始运动的同时，从出发以的速度，沿向运动，当与全等时，的值为 ． 题型2.三角形全等的判定(一):SSS判定定理 【典例】如图，若，，则，判定的根据是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有 个． 【跟踪专练2】在中国的传统建筑中，房梁通常采用三角形结构，工匠通过确保三角架全等来保证结构的稳定．如图，该房梁的三角架可抽象成，，为边上的中线，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 题型3.三角形全等的判定(二):SAS判定定理 【典例】如图，和相交于O点，若，用“”证明还需（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图:，欲证，则可增加的条件是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，．，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为．设点Q的运动速度为，若使得与全等．x的值为 ． 题型4.全等三角形性质与SAS判定的综合应用 【典例】图2是图1折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．撑开后的折叠凳宽度，则 ． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，，动点P从点B沿边向点C运动，速度为，同时点Q从点C沿射线方向运动．当点Q运动速度为 时，和可能全等． 【跟踪专练2】在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，测得，圆形容器的壁厚是（   ） A． B． C． D． 题型5.三角形全等的判定(三)ASA与AAS判定定理 【典例】在和中，，，要用“”证明，则补充的这个条件是（   ）． A． B． C． D． .【跟踪专练1】小明不慎将三角形模具打碎成三块（如图），他想配一块与原来完全相同的模具，下列说法正确的是（　 ） A．带第一块即可 B．带第三块即可 C．两块都要带 D．两块都不用带 【跟踪专练2】如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60cm，当淇淇从水平位置垂直上升15cm时，嘉嘉离地面的高度是 cm． 题型6.直角三角形全等的判定:HL判定定理 【典例】如图，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，，能保证成立条件有（   ） ； ； ； A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪专练2】如图，，，，射线，点和分别在线段和射线上运动，且．当 时，与全等． 题型7.全等三角形性质与HL判定的综合应用 【典例】如图，，垂足为，是上的一点，，连接、，且．若，，则的长为 ． 【跟踪专练1】如图，在中，，两点分别在线段和过点且垂直于的射线上运动，．当 时，才能使与全等． 【跟踪专练2】如图所示，于点于点，，则的长是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 题型8.全等三角形判定综合:添加条件证全等 【典例】如图，C是的中点，且，请添加一个条件 ，使得． 【跟踪专练1】在和中，若，则下列补充条件中不能判定全等的是(   ) A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知． （1）若用“”证明，还需添加条件 ． （2）若用“”证明，还需添加条件 ． （3）若用“”证明，还需添加条件 ． 题型9.全等三角形综合应用问题 【典例】如图，已知中，，D是的中点，于E，于F，则图中全等三角形共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【跟踪专练1】如图， 已知，，， 点C， E， D， F共线． 下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且，若，，则的面积是 ． 题型10.尺规作图:作一个角等于已知角 【典例】如图，尺规作，作图痕迹中弧是以点为圆心，以 长为半径所画的弧． 【跟踪专练1】如图，点C在的边上，小明用尺规作出了．他写出了以下作图过程：①以C为圆心，长为半径画，交于点M；②作射线，则；③以M为圆心，长为半径画弧，交于点D；④以O为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F．但他写的顺序排乱了，请你帮他确定正确的顺序是 ．（填序号即可） 【跟踪专练2】如图，用尺规作出了，其作图依据是（   ） A． B． C． D． 题型11.尺规作图:作角平分线 【典例】观察如图所示的尺规作图痕迹，则线段是的（    ） A．中线 B．高线 C．中垂线 D．角平分线 【跟踪专练1】如图，在中，某同学用尺规作图的方法在上作出点D，点E在上，于点F，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示的作图痕迹如下，其中，射线为的平分线的有 ． 题型12.角平分线的性质定理 【典例】如图，是的平分线，于点E，，，则的长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【跟踪专练1】如图，在中，，，的平分线交于点D，过点D作于点E，于点F，若，则的面积是 ． 【跟踪专练2】如图，射线平分，点D在射线上，于点P，，Q是上一点，，则图中阴影部分的面积为 ． 题型13.角平分线的判定定理 【典例】如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【跟踪专练1】如图，是内一点，且点到三边，，的距离相等，即，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知点分别是的三边上的点，，，且，则的值是 ． 题型14.角平分线的实际应用 【典例】王岗社区是由，，三条路围成的小型社区，社区准备修建一个电动车充电点现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在（ ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【跟踪专练1】如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【跟踪专练2】三条公路两两相交，要在该平面内修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离都相等，则满足条件的加油站可以建 处． 1．刺绣是中国古老的手工技艺之一，已经有2000多年的历史，下列是几组刺绣作品图片，其中是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．周长相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应边相等 3．如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是 （填全等理由） 4．在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示，这种画图方法的依据是 ． 5．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与相交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线与相交于点D，若，则的面积是（　　）． A．120 B．100 C．60 D．30 .6．如图，点A，点B，点C，点D均在格点上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为 ．    8．已知，中，，，是边中线，则的取值范围是 9．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 10．如图，．点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为t（）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为 时，有与全等． 11．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 12．如图，P是等边外一点，把BP绕点B顺时针旋转60°到，已知，，则（    ） A． B． C． D． 13．如图，点B、F、C、E在一条直线上，，．求证：． 14．如图，在四边形中，，连接，过点作于点，边、的延长线交于点，且，．求证：是的平分线． 15．秋千运动不仅是一项精彩的竞赛运动，更能够锻炼人的意志，培养勇敢精神．如图为小英某次荡秋千的侧面示意图，已知秋千绳长，当秋千位于位置时，过点作于点，测得，当秋千位于位置时，，求此时点到的水平距离（于点E）的长． .16．如图，，点B的对应点D在边上． (1)求证：平分； (2)若点A，B，E在同一条直线上，且，求的度数． 17．证明：全等三角形对应角的平分线相等． 我们在证明文字命题时，通常应遵循这样的步骤： （1）首先，要弄清命题的条件和结论，那么这个命题的 条件是：____________； 结论是：____________． （2）其次，要结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形． 如图①所示，线段是的角平分线，请用尺规作图，作出图②中的角平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （3）最后，结合所画图形和这个命题的条件和结论写出已知和求证，并进行证明． 已知：如图，______≌______，线段，分别是和的角平分线． 求证：____________． 证明：（要求：证明时写清每一步推理的依据．） 18．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题． 某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习： 已知在四边形中，，，分别是直线，上的点． （1）如图，若，，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为__________． （2）如图，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组的同学们先猜想线段，，之间的数量关系，然后借助第（1）问中研究问题的思路和方法进行探讨，发现有以下两种证明方法： 方法1：延长至点，使得，先证与的全等，再证与的全等，可得到线段，，的之间的数量关系． 方法2：在上截取，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系． 请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明． （3）如图，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 19．综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $