名师划重点-第12-14章 全等三角形&勾股定理&数据的收集与表示-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学上册期末必刷卷（华东师大版·新教材）河南专版

兴·八年级·数学·上册 而溶范侧 第12章全等三角形 章节知识导图 命题、定义、定理与证明 “SSA”“AAA”均不能判定两个三角形全等 全等三角形的判定：边边边(SSS)、边角边(SAS)、 角边角(ASA)、角角边(AAS)、斜边直角边(HL) 只适用于直角三角形 性质：①轴对称性；②“等边对等角”③“三线合一” 等腰三角形 判定：“等角对等边” 指等腰三角形底边上的高、中线 及顶角的平分线重合 性质：三边相等；三个角相等，并且每一个角都为60° 全等 判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一 三角形 等边三角形 个角是60°的等腰三角形是等边三角形 互递命题与互逆定理 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个 端，点的距离相等.如图，PD⊥AB,AD=BD, ∴.PA=PB. 线段垂直 平分线 性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的，点 逆命题与 在线段的垂直平分线上.如图，PA=PB, A 逆定理 .点P在线段AB的垂直平分线上 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离 相等.如图，：OP平分∠AOB,PD⊥OB,PE ⊥OA,∴.PD=PE. E 角平分线 性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离 相等的，点在角的平分线上.如图，：PD⊥OB PE⊥OA,PD=PE,.OP平分∠AOB. 常考方法摸型 1.“一线三等角”全等模型 类型 线三垂直（特殊）》 一线三等角（一般） 条件 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BD⊥直线 在△ABC中，AB=AC,A、D、E三点都在直 m,垂足为，点D,CE⊥直线m,垂足为点E 线m上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC C B B 图示 m -m DAE 结论 DE=BD+CE DE =BD+CE 2.角平分线与添加的辅助线构建相关模型 E A EA C 图示 E p B 0 02 B 04 FB OC平分∠AOB, OC平分∠AOB, OC平分∠AOB, OC平分∠AOB,分别在 条件 PE⊥OA,PF⊥OB EF⊥OC于点P PE∥OB OA、OB上取，点E、F, 使OF=OE 结论 PE =PF, △OEP≌△OFP(ASA), △EOP为等腰三角形 △OEP≌△OFP(SAS) △OEP≌△OFP(AAS) △OEF为等腰三角形 3 河洛芸熙·期末老试必刷卷 和将艺侧 3.用尺规作三角形 如图，已知△ABC,求作一个三角形，使它与△ABC有公共顶点C,并且与△ABC 条件 全等 B C 依据 SSS SAS ASA D AED 图示 B B B (1)分别以点B、C (1)延长AC,在AC (1)延长BC,在BC的延 (1)延长BC,在BC的延长线 为圆心，BA、CA的 的延长线上截取 长线上截取CB,=BC;(2) 上截取CB,=BC;(2)以，点C 长为半径画孤，两 CA2=AC;(2)延长 以点C为顶点，CB3为 为顶点，CB4为一边，作 孤在边BC的另一 BC,在BC的延长 一边，作∠B,CD= ∠B,CD=∠ACB;(3)以点 步骤 侧交于点A; 线上截取CB2= ∠B; B4为顶点，B4C为一边， (2)连结AB,A1C BC;(3)连结 (3)在射线CD上截取 作∠CB4E=∠B,B,E交 A2B2. CA3=BA;（4)连结 CD于点A4 AsB3. 第13章 勾股定理 章节知识导图 ·前提是在直角三角形中，要分清直角边和斜边 A 内容：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则a+b2=c b 勾股定理 验证方法：通过面积转化证明勾股定理 ~体现了数形结合思想 内容：如图，在△ABC中，若a+b=c2 则△ABC是直角三角形，且∠C=90° ·判定一个三角形是直角三角形 勾股定理 勾股数：①三个数都是正整数；②两个 的逆定理 勾股定理 较小数的平方和等于最大数的平方 勾股定理及其逆定理的应用：最短路径问题 常见的勾股数有3,4,5；5,12,13； 求几何图形的面积、有关航海、梯子的实际问题 6,8,10;7,24,25;8,15,17 反证法：假设结论的反面正确→推理出与基本事实 定理、定义、已知条件矛盾→否定假设，原结论正确 常考方法模型 1.验证勾股定理的模型 朱入青方 b a 青青出 (1) (2) 方格纸验证 赵爽弦图 刘徽的“青朱出入图” 加菲尔德总统证法 毕达哥拉斯拼图 4 兴·八年级·数学·上册 而溶言侧 2.利用勾股定理求阴影部分的面积 当以直角三角形的三边为边向外作等腰直角三角形、半圆形、等边三角形以及正方形时，以 两直角边为边（或直径）所作的图形的面积和等于以斜边为边（或直径）所作的图形的面积 常见图形及结论如下： S 作等腰直角三角形 作等边三角形 作半圆形 S阴影=S直角三角形 S5=S1+S2+S3+S4 S3=S1+S2 S3=S1+S2 S3=S1+S2 3.解决几何图形中的折叠问题时，常常根据折叠的性质将已知量和未知量转化到同一个直角 三角形中，再利用勾股定理列方程求解即可.常见的折叠勾股模型如下： b ■ (a-x)2+b2=x2 (a-x)2=b2+x2 (a-x)2=b2+x2 C (a-x)2+b2=x2 (c-b)2+x2=(a-x)2 4.求立体图形中最短路径问题 类型 示例 展开图 BB, ①B ②B2 ③B 圆柱 A A ① ② ③ 底面周长 D A BC 长方体 ① ③ ③ 已知长、宽、高三边，最短路径= √最长边2+（中长边+最短边）2 5 河洛芸熙·期末考试必刷卷 和将艺侧 (续表) B 阶梯 最短路径=√阶梯宽+（水平距离+垂直距离）尸 (1)将立体图形沿侧面展开，使得两点在同一平面上；(2)构造直角三角形，通过勾股定 解题方法 理求解 第14章数据的收集与表示 章节知识导图 方法：问卷调查法、实地调查法、试验法、媒体查询法等 数据的收集 步骤： (1)明确调查问题；(2)确定调查对象；（3)选择调查 方法；（4)展开调查；（5)记录结果；（6)得出结论 列统计表 方法 绘统计图 数据的表示 作用：利用统计图表传递信息 数据的收集 与表示 统计表 频数分布 特点：将统计数据等距地分成相连的若干组，直方图 直方图 的长条之间没有空隙 作用：可以直观地显示数据的分布情况 用整个圆代表所研究的总体，用圆中各个扇形 统计图表 特点： 代表组成总体的各个部分，扇形圆心角的大小 的选择 扇形统计图 反映出各个组成部分的数量占总体数量的百分比 作用：清晰地呈现总体中各部分所占百分比的多少 特点：用宽度相同的条形的高低或长短来表示数据特征 条形统计图 作用：直观地反映出数据的数量特征 特点：用折线表示数量的变化规律 折线统计图 作用：以折线的起伏直观地反映出数量随时间所发生的 相应变化 6