专题9 勾股定理的运用与证明-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学上册期末必刷卷（华东师大版·新教材）河南专版

河洛芸熙·期末考试必刷卷 和将艺侧 政专题 专题9勾股定理的运用与证明 满分：60分得分： 紧扣课程标准根据最新教材编写 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1.(9分)正方形网格中的每个小正方形的边长都为1，每个小格的顶点叫做格点.若三角形的 三个顶点都在格点上，则这个三角形叫做格点三角形 (1)如图1，通过计算判断格点△ABC是否是直角三角形； (2)如果△MWP三边的长分别为√10，√5，√13，请利用图2的正方形网格，画出相应的格点 △MNP,并直接写出△MNP的面积为 B 图1 图2 2.[教材P141第8题改编](10分)如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2,CD=3, DA=1. (1)求∠DAB的度数； (2)求四边形ABCD的面积 30 兴·八年级·数学·上册 而移言侧 3.[无锡市](9分)如图，在△ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的平分线，AC的垂直平分线交AD 于点E,交AC于点F,连结BE (1)求证：AE=BE; (2)若AB=AC=5,BC=6,求△ABE的周长 4.(10分)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，直角边AC在射线OP上，直角顶点C与射线端 点0重合，AC=4,BC=3. (1)求AB的长； (2)如图2，向右匀速移动Rt△ABC,在移动的过程中，Rt△ABC的直角边AC在射线OP上 匀速向右运动，移动的速度为1个单位长度/秒，移动的时间为t秒，连结OB.Rt△ABC在移 动的过程中，能否使△OAB为直角三角形？若能，请求出的值；若不能，请说明理由 ·向右移动 O(C) P 图1 图2 31 河洛芸熙·期末考试必刷卷 和粥艺侧 5.[郑州市](10分)用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的大正方形，中间也是一个正 方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a、b(a<b),斜边长为c (1)请利用图1求证：a2+b2=c2; (2)如图2，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH. 若该图形的周长为80，OB=5,求该图形的面积. O/D B 图1 图2 6.可新考法综合与实践(12分)学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角 形纸片和一张长方形纸片，进行如下操作 操作一：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4.如图1，将直角边AC沿直线AD折叠，使它 落在斜边AB上，点C与点E重合，请求出CD的长； 操作二：如图2，在长方形ABCD中，AB=10,BC=6,在BC边上取一点P,将△DPC沿直线 DP折叠，点C恰好与AB边上的点E重合，求BP的长 图1 图2 32河洛芸照·期末考试必刷卷 河派苍四 专题8全等三角形与等腰三角形的性质与判定 ·.∠DAC=∠ECB.在△ADC和△CEB中， 1.解：(1)证明：在△ABC中，AB=AC,∴.∠B=∠C.(1分) ∠ADC=∠CEB, :DE⊥BC,.∠B+∠BFE=90°，∠C+∠D=90°.(2分) ∠DAC=∠ECB,.∴.△ADC≌△CEB(AAS) (4分) ∴.∠BFE=∠D..∠BFE=∠AFD, AC=CB. ∠D=∠AFD.AD=AF,△ADF是等腰三角形 (2).AD⊥CE,BE⊥CE,.∠ADC=∠CEB=90° (5分) ∠CBE+∠ECB=90°. (5分) (2)点F为AB的中点，AF=BF (6分) :∠ACB=90°，.∠ECB+∠ACD=90°. 由(1)知，AD=AF,.BF=AF=AD=13. (8分) ·∠ACD=∠CBE 2.解：(1)①60°②BD=CE ∠ADC=∠CEB, (4分) (2)∠BEC=90°，BD=CE. 在△ADC和△CEB中，{∠ACD=∠CBE, (5分) LAC=CB. 理由如下： ∴.△ADC≌△CEB(AAS)..AD=CE=2.5,CD=BE. ·.·△ABC和△ADE均为等腰直角三角形， (8分) ..AB=AC,AD=AE.:∠BAC=∠DAE=90° .BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8 (10分) .·.∠ADE=∠AED=45°，∠BAC-∠DAC=∠DAE- 5.解：任务一：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ∠DAC,即∠BAD=∠CAE..'.△ABD≌△ACE(SAS). 三角形任意两边之和大于第三边 (4分) (8分) 任务二：证明：如图，延长AD至点 .BD=CE,∠ADB=∠AEC=180°-∠ADE=135° F,使DF=AD,连结CF ·.∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90 (10分) 由(I),得△BDA≌△CDF (3)2 (12分) .·.BA=CF,∠BAD=∠CFD.(6分) 解析)如图，过点C作OC的垂线，交OB于 AB∥CF.∠ACF+∠BAC=180, 点D. :∠BAC=90°，.∠ACF=∠BAC=90. ∠DC0=∠ACB=∠AOB=90°， AC=CA,△ABC≌△CFA(SAS). (8分) .∴.∠DCO-∠ACD=∠ACB-∠ACD 即∠ACO=∠BCD. A=BCAD=2f=BC (10分) .·∠BAC+∠ABO+∠CBD=90°. 专题9勾股定理的运用与证明 ∠BAC+∠AB0+∠CAO=90°， 1.解：(1)由图知AB=√+2=5，AC=√+4=√7， .∴.∠CAO=∠CBD..AC=BC, BC=√/32+32=18，.AB+AC2=22,BC2=18.(2分) ·.△CAO≌△CBD(ASA). AB2+AC2≠BC2. ∴.C0=CD,AO=BD=2. 格点△ABC不是直角三角形. (4分) .∴.OD=OB-BD=2,△OCD为等腰直角三角形 (2)如图，格点△MNP即为所求 (7分) 20C2=0D2=4.0C2=2. N 3.证明：(1).·△ACD和△BCE均为等边三角形， AC=CD,CB=CE,∠DCA=∠BCE=60°. (1分) .∴.∠DCA+∠DCE=∠BCE+∠DCE,即∠ACE=∠DCB. 在△ACE和△DCB中， AC=DC. 3.5 (9分) ∠ACE=∠DCB,'.△ACE≌△DCB(SAS). (4分) 2.解：(1)如图，连结AC .CE=CB :∠B=90°，AB=BC=2, .AE BD. (5分) 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 (2)由(1)知，△ACE≌△DCB.∴.∠MEC=∠NBC. (6分) AC=√AB2+BC=W22+22=√⑧， (2分) ∠DCA=∠BCE=60°，.∴.∠ECM=60° 又.CD=3,DA=1, .·∠BCN=∠ECM=60°，CB=CE,∠NBC=∠MEC .AC2 DA2 CD. ∴.△BCW≌△ECM(ASA)..∴.CN=CM. (8分) ∴.△ACD是直角三角形，∠CAD=90°， (4分) :CM=CV,∠ECM=60°，∴.△CMN是等边三角形. AB=BC,∠B=90°， ·∠MNC=60°.：∠BCE=∠MNC=60°，∴.MW∥AB. ·.∠BAC=45° (10分) :∠DAB=∠CAD+∠BAC=90°+45°=135°. (6分) 4.解：(1)证明：AD⊥DE,BE⊥DE,.∠ADC=∠CEB=90. (1分) (25m=56m+5m=7×2x2+7x1×8= .·∠ACB=90°，∴.∠ACD+∠ECB=90°，∠DAC+∠ACD=90°. (2分) 2* 21 (10分) 5 杂·八年级·数学·上册 而派言四 3.解：(1)证明：如图，连结EC 在Rt△DBE中，由勾股定理，得x2+22=(4-x)2. 解得x=号D的长为号 (6分) 操作二：在长方形ABCD中，DC=AB=10,AD=BC=6. 根据折叠的性质，得DE=DC=10.在Rt△ADE中， D 由勾股定理，得AE=√DE-AD=8. (8分) :AB=AC,AD是∠BAC的平分线，.AD垂直平分BC .BE=AB-AE=2.设BP=y,则PE=PC=6-y 点E在AD上，BE=EC (2分) 在Rt△BPE中，∠B=90°，由勾股定理，得y2+22=(6- :AC的垂直平分线交AD于点E,AE=EC 8 (11分) ·.AE=BE (4分) y)已.解得y= (2)由(I),得BD=2BC,LADB=∠ADC=909 P的长为号 (12分) ·BC=6,.BD=3 试卷1南阳市 ∴.在Rt△ABD中， 一 、选择题 由勾股定理，得AD=√AB2-BD=4. (5分) 题号12345678910 设AE=BE=x. 答案ACAD BD C B DD 在Rt△BDE中，由勾股定理，得BD2+DE=BE, 9.D 解析).·∠CDE+∠CED+∠DCE=180°，∠DCE= 即32+(4-x)2=x2. 40°，∴.∠CDE+∠CED=140° -总即能=能= 81 (7分) AE=AC,BC=BD,∠AEC=∠ACE,∠BCD=∠BDC. ∴.∠ACB=∠ACE+∠BCD-∠DCE=∠CED+∠CDE △AE的周长为AB+BE+AB=5+爱+客-华 ∠DCE=100°.故选D. (9分) 10.D解析》由题千中第1个图的作图痕迹，可知射线OP 4.解：(1).∠ACB=90°，AC=4,BC=3, 为∠AOB的平分线；由题干中第2个图的作图痕迹，可知 ·在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=BC+AC= OP是CD的垂直平分线.：OP⊥CD,OC=OD,∴.∠COP= √32+4=5. ∠DOP.·.射线OP为∠AOB的平分线.由题干中第3 (4分) 个图的作图痕迹，可知OA=OB,OD=OC.∴.AC=BD. (2)能使△OAB为直角三角形 (5分) .·∠AOD=∠BOC,.△OAD≌△OBC(SAS)..∠OAD= 当△OAB为直角三角形时，只有∠OBA=90°. ∠OBC.:AC=BD,∠APC=∠BPD,·.△APC≌△BPD 在Rt△OBC中，由勾股定理，得OB2=OC2+BC=t2+32. (AAS)...AP=BP.OA=OB,OP=OP,.·.△OAP≌ (7分) 在Rt△AB0中，由勾股定理，得A0=OB2+AB2, △OBP(SSS).∴∠AOP=∠BOP.∴.射线OP为∠AOB的 平分线.由题干中第4个图的作图痕迹，可知∠ACP= 即(t+4)2=2+32+5.解得1=9 4 (9分) ∠AOB,CO=CP,∴.CP∥OB,∠COP= 当=？时，△01B为直角三角形 ∠CPO..∠CPO=∠BOP..∠COP= (10分) ∠BOP.∴.射线OP为∠AOB的平分线.如 5.解：(1)证明：S小正方形=(b-a)2=b-2ab+a2,S小正方形= 图，设题干中第5个图中的OA、OB的垂O c-4×2ab=e2-2ab,即8-2ab+d2=c2-2ab, 直平分线交于点E,连结AE、BE.由作图 痕迹，可知OA=OB,OE=AE=BE..△OAE兰△OBE a2+2=2 (4分) (SSS).∴.∠AOP=∠BOP.∴.射线OP为∠AOB的平分线. (2)由题意，得AB+BC=80÷4=20. 综上所述，射线OP为∠AOB的平分线的有5个.故选D. 设AH=BC=x,则AB=20-x (5分) 二、填空题 :OH=OB=5,∴在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB2+ 11.两直线平行，内错角相等（答案不唯一） 0A2=AB,即53+(5+x)2=(20-x)2.解得x=7,即AH=7. 12.213.18 (8分) 14.84解析》如图，过点A作AD⊥BC于点D,设BD=x里， ∴.0A=OH+AH=5+7=12 则CD=(14-x)里 ·该图形的面积为2×5×12×4=120. (10分) AB BD =AD =AC CD2, .132-x2=152-(14-x)2 6.解：操作一：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4, 解得x=5.∴.BD=5里 .AB=√3+4=5.由折叠的性质，得AE=AC=3,CD= ·.AD=√AB2-BD=132-5 DE,∠AED=∠C=90. 12(里). ∴.∠BED=90°，BE=AB-AE=5-3=2 (3分) 设CD=x,则DE=x,BD=4-x. S=2BC·AD= 2×14×12=84(平方里). 6