重难点专题02反比例函数全章10大类型突破（专项训练）数学人教版九年级下册

重难点专题03反比例函数全章10大类型突破 重难点一、反比例函数的有关概念 1.一般地，形如y=(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数 2.解析式的三种形式 （1)y=（k为常数，k≠0)： (2)xy=k(k为常数，k≠0)： (3)y=k(k为常数，k≠0). 1．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 2．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广西贵港·期中）下列各点中，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·贵州铜仁·月考）已知反比例函数中，当时，随的增大而增大． (1)求的值； (2)试判断点，是否在此函数的图像上； (3)当时，求的取值范围． 重难点二、列反比例函数关系式 1.求实际问题中的函数解析式的关键是根据问题中蕴含的等量关系列出含有两个未知数的等式，然后整理成函数解析式的形式。 2.在实际问题中，自变量的取值一般都是正数，有时还需要它是正整数不要漏写自变量的取值范围. 3.成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系 5．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）矩形面积为20，则长y与宽x的函数关系图象是（     ） A．第一象限的双曲线 B．第一象限的直线 C．第二象限的双曲线 D．全体象限的直线 6．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）某工厂为了提高生产效率，采购了一批新的生产设备．其中用5000元购买单价是元/台的机器台，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知y是x的反比例函数，当时，，则下列关于y与x之间的函数关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·湖南常德·期中）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置．已知一款机器狗的最快移动速度与载重后总质量的函数表达式为，当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 重难点三、反比例函数解析式 (1)确定反比例函数解析式的方法是待定系数法 (2)由于反比例函数的解析式y=中，只有一个待定系数k,因此只需一对对应的x,y的值，即可求出待定 系数k的值，从而确定反比例函数的解析式。 9．（25-26九年级上·广东揭阳·月考）若点，在同一个反比例函数的图象上，则该反比例函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·北京·月考）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，当且时，的取值范围是 ． 11．（25-26九年级上·四川成都·期中）反比例函数的图象经过点、及，则 ． 12．（25-26九年级上·湖南永州·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)判断点是否在这个函数的图象上； (3)当时，求的取值范围． 13．（25-26九年级上·广西梧州·期中）已知与成反比例函数关系，且当时，，求： (1)与的函数关系式； (2)求当时，的值． 重难点四、反比例函数的图象与性质 1.对于反比例函数y=，当k>0时，图象在第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象在第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大； 2.若反比例函数的图象在第一、第三象限，则k>0:若反比例函数的图象在第二、第四象限，则k<0. 14．（25-26九年级上·湖南益阳·期中）已知，则函数和图象大致是（     ）． A．B． C． D． 15．（25-26九年级上·山东烟台·期中）函数的图象大致是（    ） A．B． C． D． 16．（25-26九年级上·湖南常德·期中）已知函数，下列结论中，不正确的是 ． （1）它的图象分布在一、三象限 （2）当时， （3）若点在它的图象上，则也在图象上 （4）点、是图象上的两点，若，则 17．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）小静根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小静的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是_______； (2)下表是y与x的几组对应值． … 0 1 3 4 … … 1 4 4 1 … 表中的________； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象，并写出一个该函数的性质：_______； (4)结合函数图象，点和点在函数的图象上，且成立，则a的取值范围是______． 重难点五、比较函数值的大小 比较反比例函数值大小的方法 (1)直接代入法（或特殊值代入法)：先直接代入已知的横坐标（或代入选取合适的横坐标)，求出对应的纵坐标，再比较函数值的大小 (2)性质法：在同一分支上的点可以通过比较其横坐标的大小来判断函数值的大小：不在同一分支上的点，依据与x轴的相对位置来进行函数值大小的比较 (3)图象法：利用画图象、描点的方法判断函数值的大小 18．（25-26九年级上·广西梧州·期中）已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 19．（2025·浙江·一模）反比例函数的图象上有，，三点，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 20．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知函数的图象上有两个点，，且，两点不重合，有下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 则，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 21．（25-26九年级上·湖南怀化·期中）已知反比例函数为的图象经过点． (1)求k的值． (2)若点也在该函数图象上，求m的值． (3)若点也在反比例函数的图象上，求当时，函数值y的取值范围． 22．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）已知反比例函数（k常数，）． (1)若点在这个函数的图象上，求k的值； (2)若这个函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，求k的取值范围； (3)若，试写出当时x的取值范围． 重难点六、反比例函数比例系数k的几何意义 1.若过反比例函数y=(k≠0)的图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，则两条垂线和x轴、y轴所围 成的矩形的面积为 2.若过反比例函数y=(k≠0)的图象上任意一点作x轴（或y轴)的垂线，并连接该点和原点，则这条 垂线、该点与原点的连线、x轴（或y轴）所围成的三角形的面积为 23．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，过点作平行轴交轴于点，在轴负半轴上取一点，使，连接，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 24．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交于点．双曲线经过，两点，双曲线经过点，则平行四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 25．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，矩形的顶点A，B在x轴正半轴上，反比例函数（k为常数，）的图象经过点D，交于点E，，记的面积为s，若，则k的值为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 26．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）如图，双曲线与矩形的边，分别交于点E，F，且，连接，则的面积是多少？ 27．（2024·江西宜春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，点B恰好也落在反比例函数的图象上，轴于点C，交于点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 28．（2025·河南南阳·三模）小强借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和菱形，点，在轴上，，，以点为圆心，长为半径作，连接． (1)求的值； (2)求的长； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 29．（2025·宁夏·模拟预测）【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，的一边与轴正方向重合，点在射线上；过点作轴于点，的面积是，函数的图象经过点；以点为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点；分别过点，点作轴，轴的平行线，两线相交于点，连接；过点作轴的平行线交线段于点． 【构建联系】 （1）填空：________； 【深入探究】 （2）求证：点在直线上； （3）请写出与的数量关系，并说明理由． 重难点七、反比例函数与一次函数图象问题 若两个函数图象在同一坐标系中，则它们的解析式中相同字母的取值相同. 要判断这两个函数图象在同一坐标系中的大致位置，可以分k>0和k<0两种情况，由k的符号确定图象位置；也可由一个函数的图象在坐标系中的位置，确定字母系数的取值范围，再判断另一个函数的图象画得是否正确，或由这两个函数图象的位置，推导出字母系数的取值范围是否一致 30．（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于，两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 31．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点C，连接交y轴于点D，结合图象判断下列结论，错误的为（    ） A．点A与点B关于原点中心对称 B． C．的周长等于的周长 D． 32．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点，与轴交于点，点C坐标为，连接，若，则（1）点B的坐标为 ；（2）k的值为 ． 33．（24-25九年级下·甘肃武威·阶段练习）若反比例函数与正比例函数的图象没有交点，则的取值范围是 ． 34．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，，为反比例函数图象上的两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接和，图中阴影部分面积的和为，直线与反比例函数的图象交于点，则的值为 ． 重难点八、反比例函数与一次函数综合问题 1.题型特征：已知反比例函数与一次函数的解析式（或交点坐标），求两函数图象与坐标轴围成的图形面积。 2.解题关键：先求两函数的交点坐标、一次函数与坐标轴的交点坐标，再通过“大图形面积 - 小图形面积”计算目标面积。 35．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）如图，一次函数的图象分别交轴，轴于两点，交反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 36．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标： (2)过点的直线与轴交于点，与轴负半轴交于点，若，求的面积： (3)在（2）的条件下，点是反比例函数图象上的一点，且，求点的坐标． 37．（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，；与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，且满足，求点的坐标； (3)我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数上在第四象限的图象上存在点，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”，请直接写出点的坐标． 38．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、点． (1)求一次函数的解析式及面积； (2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围． (3)若点坐标轴上的一点，且满足的面积等于面积的倍，直接写出点的坐标． 重难点九、反比例函数的应用 反比例函数是反映现实生活中两个变量之间的关系的一种重要的数学模型，它在现实生活中有着广泛的 应用，即能根据实际问题中两个变量的关系，建立反比例函数模型，利用反比例函数的知识解决问题. 例如：当路程s一定时，时间t与平均速度V成反比例关系；当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例 关系：当三角形面积是常数S时，三角形的底边长y与这一底边上的高x成反比例关系； 在物理学中，当功W是常数时，力F与物体在力的方向上通过的位移s成反比例关系；当压力F一定时，压强p与受力面积S之问成反比例关系；在某一电路中，保持电压U不变，电流I与电阻R成反比例关系 39．（25-26九年级上·陕西铜川·期中）某种新型材料需先将材料加热到，再进行加工操作．材料停止加热后温度是时间的反比例函数，其图象如图所示． (1)材料停止加热后y与x的函数表达式为________． (2)停止加热后当材料温度不低于时，可以对材料进行加工，那么可以加工的时间有多长？ 40．（25-26九年级上·山东济南·期中）某校后勤处每周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为浅消毒阶段，段为深消毒阶段，且消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）的关系可近似用一次函数刻画，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)_____，消毒效果最高效力是_____； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续分钟达到效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 41．（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 42．（25-26九年级上·重庆·月考）小益在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gão）的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小益记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小 300 200 150 120 100 (1)小益通过分析表格数据发现，是的函数．在如图2所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (2)根据以上数据和图象，直接写出关于的函数表达式（不要求写自变量取值范围）．并判断当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． (3)已知横杆总长为，小益想用的拉力汲水，小益是否能成功？请说明理由． 43．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）阅读与应用：同学们：你们已经知道，即，（当且仅当时取等号） 阅读1：若、为实数，且，， ，，（当且仅当时取等号）． 阅读2：若函数（，，为常数）由阅读1结论可知： 即， 当，即时，（），函数的最小值为 阅读理解上述内容，解答下列问题： (1)问题1：若函数，则______时，函数的最小值为______； (2)问题2：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为，则另一边长为，周长为，求当______时，周长的最小值为______； (3)问题3：求代数式的最小值并写出过程． 44．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图1，在中，为的中点，连接．动点从点出发，沿折线方向运动，速度为每秒1个单位长度，到达点时停止运动；同时动点从点出发，沿方向运动，速度为每秒1个单位长度，到达点时停止运动．设点的运动时间为秒，记为，记为． (1)请直接写出分别关于的函数解析式．并注明自变量的取值范围； (2)在图2所示的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过）． 重难点十、反比例函数与几何压轴问题 1.所有综合题的本质是“通过坐标将函数与几何联动”，按固定步骤拆解： （1）设坐标，标已知：设反比例函数上未知点的坐标或几何图形中关键点的坐标（如矩形顶点、三角形顶点），并用字母表示；同时标记题目中已知的坐标、边长、角度等条件 （2）用几何性质，建等式：根据几何图形的性质（如三角形全等/相似、平行四边形对边相等、矩形对角线相等、菱形四边相等），将“几何关系”转化为“坐标关系”。 （3）列方程，求未知：将坐标关系转化为方程（含k或设的字母），解方程求出k值、点坐标，最终解决问题（如求面积、解析式）。 2.常用辅助线：“作垂线”构造直角三角形或矩形压轴题中几何图形常非特殊位置，需通过辅助线转化为“与坐标轴关联的直角图形”， 过关键点作x轴/y轴的垂线：构造与坐标轴垂直的直角三角形或矩形，将斜向的边长、角度转化为“水平距离（横坐标差）”和“垂直距离（纵坐标差）”，方便用坐标计算。 45．（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点为坐标原点，顶点、分别在轴、轴上，顶点的坐标为．反比例函数的图象与交于点，与交于点．连接，，． (1)若点是的中点，求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)若的面积为，求反比例函数的解析式； (3)在的条件下，点是反比例函数图象上的一点，若是以为底边的等腰三角形，求点的坐标． 46．（25-26九年级上·重庆万州·期中）如图，点为一次函数与反比例函数的图象的交点，点的纵坐标为轴，垂足为，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值． (2)点是反比例函数的图象上的一点，且在点的右侧，连接． ①如图1，连接，，在轴上有两个动点和点，点在点左侧，且，若，求点的坐标，并求出的最小值． ②如图2，过点作于点，若，请直接写出符合条件的点的坐标． 47．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上不与点重合的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，过点作轴的垂线，与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图，将点绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，平面内是否存在一点使得、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 48．（25-26九年级上·湖南湘潭·期中）如图1，矩形在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B坐标为．反比例函数的图象与交于点E，与交于点F．    (1)若点E为中点，求证：； (2)若的面积为，求反比例函数的解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，将沿x轴的正方向平移得到，若线段在内部的长度为3．求点P的坐标． 49．（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）如图1，点是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点．已知直线交坐标轴于点、，连接、． (1) ．反比例函数表达式 ，并求出一次函数的表达式； (2)直接写出当为何值时，． (3)求的面积： (4)如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点，若，求出点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题03反比例函数全章10大类型突破 重难点一、反比例函数的有关概念 1.一般地，形如y=(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数 2.解析式的三种形式 （1)y=（k为常数，k≠0)： (2)xy=k(k为常数，k≠0)： (3)y=k(k为常数，k≠0). 1．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数，反比例函数的形式为，因此指数必须为且系数非零，解答即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴． 故选：C． 2．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的几种形式∶或或的函数是反比例函数． 根据反比例函数或或的形式解答即可． 【详解】解∶A．是反比例函数，故该选项不符合题意； B．是正比例函数，故该选项符合题意； C．是反比例函数，故该选项不符合题意； D．是反比例函数，故该选项不符合题意； 故选∶B． 3．（25-26九年级上·广西贵港·期中）下列各点中，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，通过计算各点的横纵坐标乘积是否等于6，判断点是否在反比例函数图象上． 【详解】解：反比例函数的图象上的点满足， 对于A点，，不在图象上； 对于B点，，不在图象上； 对于C点，，在图象上； 对于D点，，不在图象上． 故选：C． 4．（25-26九年级上·贵州铜仁·月考）已知反比例函数中，当时，随的增大而增大． (1)求的值； (2)试判断点，是否在此函数的图像上； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)点不在此函数图像上；点在此函数图像上； (3) 【分析】本题考查的是反比例函数的定义与性质，掌握反比例函数的定义与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义即可求解； （2）根据待定系数法，把点代入函数的解析式即可求出k的值，再利用代入法判断在不在函数的图像上； （3）分别求出和时的y值，根据函数的增减性判断y的取值范围即可. 【详解】（1）解：∵反比例函数 ∴且 解得：且 又∵随的增大而增大 ∴即 ∴ （2）由（1）可知： ∴由得：，故点不在此函数图像上； 由得：，故点在此函数图像上； （3）∵反比例函数， ∴在每个象限内y随x的增大而增大， 当时，代入反比例函数得； 当时，代入反比例函数得； ∴的取值范围为：. 重难点二、列反比例函数关系式 1.求实际问题中的函数解析式的关键是根据问题中蕴含的等量关系列出含有两个未知数的等式，然后整理成函数解析式的形式。 2.在实际问题中，自变量的取值一般都是正数，有时还需要它是正整数不要漏写自变量的取值范围. 3.成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系 5．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）矩形面积为20，则长y与宽x的函数关系图象是（     ） A．第一象限的双曲线 B．第一象限的直线 C．第二象限的双曲线 D．全体象限的直线 【答案】A 【分析】根据矩形面积公式得出y与x的反比例关系，再结合反比例函数的图象性质判断即可． 【详解】解：∵ 矩形面积=长×宽， ∴ ， 此为反比例函数，图象为双曲线． 又∵ （长和宽均为正数）， ∴ 函数图象仅位于第一象限． 故选：A． 6．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）某工厂为了提高生产效率，采购了一批新的生产设备．其中用5000元购买单价是元/台的机器台，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是从实际问题中整理出反比例函数模型． 根据题意可得，再整理可得与的函数关系式． 【详解】解：由题意可得：， 则， 故选：B． 7．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知y是x的反比例函数，当时，，则下列关于y与x之间的函数关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式．根据反比例函数的定义，设函数式为，代入当时，，进行求出的值，即可作答． 【详解】解：∵y是x的反比例函数， ∴设函数式为， ∵当时，， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 8．（25-26九年级上·湖南常德·期中）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置．已知一款机器狗的最快移动速度与载重后总质量的函数表达式为，当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数的应用，将代入计算即可． 【详解】解：当 时，（m/s）． 故答案为 4． 重难点三、反比例函数解析式 (1)确定反比例函数解析式的方法是待定系数法 (2)由于反比例函数的解析式y=中，只有一个待定系数k,因此只需一对对应的x,y的值，即可求出待定 系数k的值，从而确定反比例函数的解析式。 9．（25-26九年级上·广东揭阳·月考）若点，在同一个反比例函数的图象上，则该反比例函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数定义，设解析式为，代入两点坐标得到方程，解出即可． 【详解】解：设反比例函数点 解析式为， 则，， ， 解得， ， 反比例函数的解析式为， 故选：C． 10．（25-26九年级上·北京·月考）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，当且时，的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，用待定系数法求反比例函数的解析式，理解反比例函数图象和性质是解题的关键．先代入点求出的值，得到反比例函数解析式．由于，函数在第一象限内随的增大而减小，根据或，结合增减性求的取值范围． 【详解】∵函数的图象经过点， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为， ∵，在第一或第三象限内，随的增大而减小， 即：当且时，；当时，． 故答案为：或． 11．（25-26九年级上·四川成都·期中）反比例函数的图象经过点、及，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 （）图象上点的横纵坐标之积为常数 ． 设反比例函数解析式为 ，利用点 求出 ，再代入其他点求出 和 ，最后计算 ． 【详解】解：设反比例函数解析式为 ， 将点 代入得 ， ∴ 反比例函数解析式为 ， 将点 代入得 ， 解得 ， 将点 代入得 ， 解得 ， ∴ ． 12．（25-26九年级上·湖南永州·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)判断点是否在这个函数的图象上； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的解析式为； (2)点在这个函数的图象上； (3)当时，的取值范围是． 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，判断点是否在函数图象上，根据反比例函数的图象和性质求函数值的取值范围． （1）把点的坐标代入，可得，即可得反比例函数的解析式； （2）在中，令，可得的值，与比较，即可判断点是否在这个函数的图象上； （3）在中，分别令，，计算对应的的值，由反比例函数的图象和性质，即可得的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：在中，当时，， ∴点在这个函数的图象上． （3）解：在中， 当时，， 当时，， 又∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，的取值范围是． 13．（25-26九年级上·广西梧州·期中）已知与成反比例函数关系，且当时，，求： (1)与的函数关系式； (2)求当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）设与的函数关系式为，将，代入计算即可得； （2）将代入函数关系式即可得． 【详解】（1）解：由题意，设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， 解得， ∴与的函数关系式为． （2）解：当时，， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以的值为． 重难点四、反比例函数的图象与性质 1.对于反比例函数y=，当k>0时，图象在第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象在第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大； 2.若反比例函数的图象在第一、第三象限，则k>0:若反比例函数的图象在第二、第四象限，则k<0. 14．（25-26九年级上·湖南益阳·期中）已知，则函数和图象大致是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数和一次函数的图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据分析两个函数图象所在象限， 即可选出答案 ． 【详解】解：∵ ， 的图象在一、 三象限， 在一、 二、 四象限， 故选：A． 15．（25-26九年级上·山东烟台·期中）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，函数图象平移规律，熟练掌握反比例函数的图象是解题关键． 根据反比例函数的判断函数的图象经过的象限和增减性，再根据图象平移规律判断即可求解． 【详解】解：， 函数图象经过第二、四象限，且随的增大而增大， 函数的图象为函数的图象向上平移个单位长度． 故选：C． 16．（25-26九年级上·湖南常德·期中）已知函数，下列结论中，不正确的是 ． （1）它的图象分布在一、三象限 （2）当时， （3）若点在它的图象上，则也在图象上 （4）点、是图象上的两点，若，则 【答案】（2）（4） 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．根据反比例函数的图象及性质，逐一判断各选项是否正确． 【详解】函数 是反比例函数，比例系数 ， 选项 (1)：由 时，得反比例函数图象分布在一、三象限，故该说法正确； 选项 (2)：当 时，则或，故该说法错误； 选项 (3)：若点 在图象上，则，可得，所以点 也在图象上，故该说法正确； 选项 (4)：取点 和 ，满足 ，但，不满足 ，故该说法错误； 故答案为：(2) （4）． 17．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）小静根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小静的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是_______； (2)下表是y与x的几组对应值． … 0 1 3 4 … … 1 4 4 1 … 表中的________； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象，并写出一个该函数的性质：_______； (4)结合函数图象，点和点在函数的图象上，且成立，则a的取值范围是______． 【答案】(1) (2) (3)图象关于直线对称 (4) 【分析】本题主要考查二次函数及反比例函数的图象与性质，熟练掌握二次函数及反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据分式有意义的条件可进行求解； （2）把代入函数解析式进行求解即可； （3）根据列表、描点、连线可进行作图，然后根据函数图象可进行求解； （4）根据（3）中函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴函数的自变量x的取值范围是； 故答案为； （2）解：把代入函数得：，即； 故答案为； （3）解：由（2）中表格可作函数图象如下： 由图象可知：该函数的一个性质可以为图象关于直线对称； 故答案为图象关于直线对称； （4）解：由（3）的图象可知：当点和点在函数的图象上，且成立，则可分： 当点A、B在直线的左侧时，则，此时无解； 当点A、B在直线的右侧时，则，解得：； 当点A、B在直线的两侧时，即，解得，则需满足点A到直线的距离比点B到直线的距离更远，则，此时无解； 综上所述：a的取值范围是； 故答案为． 重难点五、比较函数值的大小 比较反比例函数值大小的方法 (1)直接代入法（或特殊值代入法)：先直接代入已知的横坐标（或代入选取合适的横坐标)，求出对应的纵坐标，再比较函数值的大小 (2)性质法：在同一分支上的点可以通过比较其横坐标的大小来判断函数值的大小：不在同一分支上的点，依据与x轴的相对位置来进行函数值大小的比较 (3)图象法：利用画图象、描点的方法判断函数值的大小 18．（25-26九年级上·广西梧州·期中）已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质． 通过直接计算函数值即可比较大小． 【详解】点在上，点在上， ，， ， ． 故选：． 19．（2025·浙江·一模）反比例函数的图象上有，，三点，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出，，的值，再计算和，，并比较大小． 【详解】解：∵ 点，， 在反比例函数图象上， ∴ ，，． ∴ ，． 当时， 若，则； 若，则． 当时， 若，则； 若，则． 无法比较和的大小 ，， ． ． 故选：D． 20．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知函数的图象上有两个点，，且，两点不重合，有下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 则，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质．结论①和②通过代数计算验证；结论③和④通过分析函数在给定范围内的增减性判断． 【详解】解：∵， ∴，． ①：若，则， ∴， ∴不一定成立，例如，，故①错误． ②：若，则， ∴，故②正确． ③：当时， 则且分母增大，函数值减小， 若，则，即， 又， ∴，故③错误． ④：当时， 则且分母绝对值增大，函数值减小， 若，则，即， 又， ∴，故④正确． 综上，②④正确． 故选C． 21．（25-26九年级上·湖南怀化·期中）已知反比例函数为的图象经过点． (1)求k的值． (2)若点也在该函数图象上，求m的值． (3)若点也在反比例函数的图象上，求当时，函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）将点代入解析式，待定系数法求解析式即可求解； （2）将点代入解析式，待定系数法求解析式即可求解； （3）由，随值增大而增大，进而即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数过点， ； （2）解：由（1）函数解析式为， ∵点也在该函数图象上， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴当时，随值增大而增大， ∴当时，，当时，， ∴当时，． 22．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）已知反比例函数（k常数，）． (1)若点在这个函数的图象上，求k的值； (2)若这个函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，求k的取值范围； (3)若，试写出当时x的取值范围． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，待定系数法求反比例函数解析式； （1）把点A的坐标代入关系式即可求出k的值； （2）由反比例函数的增减性可知，y随x的增大而增大，则，即可求出k的范围； （3）当时，确定函数关系式，求出当和时相应的x的值，根据反比例函数的图象和性质，确定x的取值范围. 【详解】（1）解：把点代入反比例函数得：， ∴ 因此k的值为4. （2）解：反比例函数每一支上，y都随x的增大而增大， ∴， ∴. （3）解：当时，反比例函数的关系式为，此时在每个象限内，y随x的增大而减小，如图所示，当时图象都在第三象限， 当时，解得， 当时，解得， ∴x的取值范围为． 重难点六、反比例函数比例系数k的几何意义 1.若过反比例函数y=(k≠0)的图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，则两条垂线和x轴、y轴所围 成的矩形的面积为 2.若过反比例函数y=(k≠0)的图象上任意一点作x轴（或y轴)的垂线，并连接该点和原点，则这条 垂线、该点与原点的连线、x轴（或y轴）所围成的三角形的面积为 23．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，过点作平行轴交轴于点，在轴负半轴上取一点，使，连接，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图像的性质，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． 连接，求出，由，得到，则，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵点在函数的图象上，过点作平行轴交轴于点，在轴负半轴上取一点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 24．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交于点．双曲线经过，两点，双曲线经过点，则平行四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数系数的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行四边形的性质得到，因为双曲线经过点，所以可设的坐标是，则的纵坐标是，作，由得到的坐标是，代入双曲线求得的值，然后代入的纵坐标，可得到的横坐标是，根据平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：平行四边形的对角线交于点， ， ∵双曲线经过点， ∴设的坐标是， 则C的纵坐标是， 作， ， ， ， ， 的坐标是， ∵双曲线经过点，代入得： ， ∴反比例解析式为， ∵双曲线经过C点，将C点纵坐标代入得： ， 得：， 即的横坐标是， ， 平行四边形的面积点的纵坐标， 故选：B． 25．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，矩形的顶点A，B在x轴正半轴上，反比例函数（k为常数，）的图象经过点D，交于点E，，记的面积为s，若，则k的值为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．设，先求得，再求得，从而得到方程，即可求得答案． 【详解】解：设， 则， ， ， 令，则， ， ， ，， ， 又， ， 解得或， ， ． 故选：B． 26．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）如图，双曲线与矩形的边，分别交于点E，F，且，连接，则的面积是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的性质，直角坐标系中三角形面积的表示方法，注意双曲线上点的横坐标与纵坐标的积为常数．设，根据题意得，由点F在双曲线上，得，即，E、B两点纵坐标相等，且E点在双曲线上，则，再根据求解． 【详解】解：如图，设点B的坐标为，则点的坐标为． 点在双曲线上， ，解得 点在双曲线上，且纵坐标为， 点的坐标为． 则 ． 27．（2024·江西宜春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，点B恰好也落在反比例函数的图象上，轴于点C，交于点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了反比例函数解析式的求解，直角坐标系中坐标的平移，正比例函数解析式的求解，正确求解出点A的坐标是解决本题的关键． （1）先根据坐标平移表示出点B的坐标，再根据点A与点B均在反比例函数上可求解m的值，进而可知点A与点B的坐标，代入函数解析式即可求解． （2）先求出直线的解析式，再求解出点D的坐标，由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将点向右平移3个单位长度， 此时坐标为， 再向下平移4个单位长度得到点B， 由平移可知． ∵点与均在反比例函数的图象上， ∵，解得． 将代入， 得，解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 把代入，得， ∴直线的解析式为． 又∵，， ∴点D的纵坐标为4． 令，解得， ∴， ∴． 又∵点C到的距离为， ∴． 28．（2025·河南南阳·三模）小强借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和菱形，点，在轴上，，，以点为圆心，长为半径作，连接． (1)求的值； (2)求的长； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了反比例函数及的几何意义，菱形的性质，圆心角与弧的关系等，正确的理解的几何意义是解题关键． 连接交于，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，将代入中即可求解； 利用勾股定理求边长，再根据直角三角形中度角所对的直角边是斜边的一半求解出角度，最后根据弧长公式求解； 先计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合k的几何意义可求出，从而问题即可解答． 【详解】（1）解：如下图所示，连接交于， 四边形是菱形， ，， ， ， 点的坐标是， 将代入到中， 得：， 解得：； （2）解：， 半径为； ， ， ， 由菱形的性质可知，， ， 的长； （3）解：如下图所示， ， ， ， 在菱形中，， ， ， ． 29．（2025·宁夏·模拟预测）【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，的一边与轴正方向重合，点在射线上；过点作轴于点，的面积是，函数的图象经过点；以点为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点；分别过点，点作轴，轴的平行线，两线相交于点，连接；过点作轴的平行线交线段于点． 【构建联系】 （1）填空：________； 【深入探究】 （2）求证：点在直线上； （3）请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（）；（）见解析；（），理由见解析． 【分析】（）由于点是反比例函数的图象上一点，则，根据即可求出的值； （）设，，由轴，轴，则，，求出直线的解析式为，当时，，从而求解； （）连接交于点，证明四边形是矩形，则，，，所以，，故有，由，则可得，则，然后通过平行线的性质即可求解． 【详解】解：（）由于点是反比例函数的图象上一点， 则， 又∵， ∴， 答案：； （）由（）知：， 设，， ∵轴，轴， ∴，， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点在直线上； （），理由如下： 如图，连接交于点， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，等边对等角，矩形的判定与性质，一次函数的性质，平行线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 重难点七、反比例函数与一次函数图象问题 若两个函数图象在同一坐标系中，则它们的解析式中相同字母的取值相同. 要判断这两个函数图象在同一坐标系中的大致位置，可以分k>0和k<0两种情况，由k的符号确定图象位置；也可由一个函数的图象在坐标系中的位置，确定字母系数的取值范围，再判断另一个函数的图象画得是否正确，或由这两个函数图象的位置，推导出字母系数的取值范围是否一致 30．（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于，两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的交点问题，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线与反比例函数图象的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：由题意可知，点与点B关于原点对称， 点的坐标为， 故选：A． 31．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点C，连接交y轴于点D，结合图象判断下列结论，错误的为（    ） A．点A与点B关于原点中心对称 B． C．的周长等于的周长 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一下函数的综合，掌握反比例函数，一次函数与几何图形的交点坐标得到线段的关系是解题的关键． 由反比例函数图形课判定A选项；设，则，可得直线的解析式为，则，分别得到线段的值，结合几何图形面积，周长的计算课判定B，C，D选项，由此即可求解． 【详解】解：∵反比例函数图象关于原点对称，直线与双曲线交于两点， ∴点A与点B关于原点中心对称，故A选项正确，不符合题意； 设，则， ∵轴于点， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴，， ∴B，D选项正确，不符合题意； ∴，，， ∴的周长为， 的周长为， ∴，即的周长不等于的周长，故C选项错误，符合题意； 故选：C ． 32．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点，与轴交于点，点C坐标为，连接，若，则（1）点B的坐标为 ；（2）k的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，勾股定理，解一元二次方程等知识，根据和勾股定理列方程是解题的关键． 利用一次函数的性质和性质，求出点B的坐标为；设点A坐标为，根据得到，解方程并进一步即可得到点A坐标为，利用待定系数法即可求出实数k的值． 【详解】解：当时，，解得， ∴点B的坐标为， 故答案为： ∵点C坐标为， ∴， 设点A坐标为， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴， ∴点A坐标为， ∴， 解得， 故答案为： 33．（24-25九年级下·甘肃武威·阶段练习）若反比例函数与正比例函数的图象没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与正比例函数的交点问题，解题的关键是联立方程，根据方程无实数解的条件确定的取值范围． 联立反比例函数与正比例函数的方程，得到关于的二次方程，根据方程无实数解的条件来确定的取值范围． 【详解】解：联立反比例函数和正比例函数，可得， 进一步变形为， 反比例函数与正比例函数的图象没有交点， 方程无实数解，且， ， 解得：． ∵，则， 综上所述：. 故答案为：． 34．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，，为反比例函数图象上的两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接和，图中阴影部分面积的和为，直线与反比例函数的图象交于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，函数图象上点的坐标特征，完全平方公式的变形运算，由反比例函数比例系数的几何意义可得，即得，得到反比例函数解析式为，再根据函数图象上点的坐标特征可得，，再根据完全平方公式进行变形运算即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∵阴影部分面积的和为， ∴， ∴， ∵反比例函数图象分布在第一象限， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点是两函数图象的交点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 重难点八、反比例函数与一次函数综合问题 1.题型特征：已知反比例函数与一次函数的解析式（或交点坐标），求两函数图象与坐标轴围成的图形面积。 2.解题关键：先求两函数的交点坐标、一次函数与坐标轴的交点坐标，再通过“大图形面积 - 小图形面积”计算目标面积。 35．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）如图，一次函数的图象分别交轴，轴于两点，交反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)6 (3)或 【分析】本题考查待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，已知函数值求自变量值，求一次函数与坐标轴交点，函数与几何结合面积问题，结合图象比较函数大小等． （1）将代入反比例函数解析式得，后将代入中求出点坐标，再将，代入中得出一次函数解析式； （2）令一次函数求出点坐标，继而求出本题答案； （3）结合图象，观察当反比例函数图象低于一次函数图象时即符合题意为本题答案． 【详解】（1）解：由题意得：将代入反比例函数解析式： ，解得：， ∴反比例函数：， ∴将代入中得：， ∴， ∴将，代入： ，解得：， ∴一次函数的解析式：； （2）解：∵一次函数的解析式：， ∴令得：， ∴， ∴， ∴的面积：； （3）解：由图象可知 当时，点左侧和轴与之间符合题意， ∵，， ∴或． 36．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标： (2)过点的直线与轴交于点，与轴负半轴交于点，若，求的面积： (3)在（2）的条件下，点是反比例函数图象上的一点，且，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为；的坐标为 (2) (3)或 【分析】（1）将代入得：，，把代入得反比例函数的表达式为；联立可解得点的坐标为； （2）过作轴于，过作轴交于，由，，，可得，，直线的解析式为，即可得，，故，从而； （3）先根据（2）得出，且，结合已知可得，当在的上方时，构造矩形，根据中点坐标公式得出，再求得直线的解析式，联立求得点的坐标，当在的下方时，作平行四边形，则，同理求得，再得直线的解析式为，联立求得点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得：， ， 把代入得：， 反比例函数的表达式为； 联立， 解得或， 点的坐标为； （2）解：过作轴于，过作轴交于，如图： ， ， ， ，， ， ，， 由，得直线的解析式为， 在中，令得，令得， ，， ， ； （3）解：如图所示， 由（2）可得 ∵， ∴，，, ∴，且 ∵， ∴； 当在的上方时， 作，则四边形是矩形，延长交于点，设交于点， ∴ ∴ 设 ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为 ∴，解得： ∴ 联立 解得：或（舍去） ∴ 当在的下方时，作平行四边形，则 ∴ 同理可得 由，可得直线的解析式为 联立 解得：或（舍去） ∴ 综上所述，或． 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形判定与性质，平行四边形的性质与矩形的性质，勾股定理及其逆定理的应用，分类讨论是解题的关键． 37．（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，；与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，且满足，求点的坐标； (3)我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数上在第四象限的图象上存在点，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或； (3)或． 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）先求出点、坐标，再求出三角形面积继而得到，设点，则，根据面积列出方程解答即可； （3）①当时，过点作，使，过点作轴的平行线交轴于点，作，垂足为，先证明，求出点坐标，得到直线解析式，然后联立直线解析式和反比例函数，即可得到答案；②当时，过点作，使，过点作轴的平行线交轴于点，作，垂足为，连接，交于点，先求得点坐标，接着求得的表达式，然后联立和反比例函数，即可求得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，； ， ∴， ∴，， ∴反比例函数解析式为：， ∵，在直线图象上， ， ∴， ∴一次函数解析式为：； （2）解：如图： 在中，当时，；当时，； ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点，则， ∴， 整理得：， ∴或， ∴或； （3）解：①当时，如图，过点作，使，过点作轴的平行线交轴于点，作，垂足为， ∵， ， ， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 设直线解析式为代入， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得，或（不符合题意，舍去）， ∴； ②当时，过点作，使，过点作轴的平行线交轴于点，作，垂足为，连接，交于点，由①可知， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线为，代入，， ，解得 ∴的解析式为， 联立，解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，分割法求面积，旋转的性质，综合性强，难度大，计算量大，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 38．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、点． (1)求一次函数的解析式及面积； (2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围． (3)若点坐标轴上的一点，且满足的面积等于面积的倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，4 (2)或 (3)，，， 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）将点、的坐标代入反比例函数解析式，即可得出、的值，从而得出点、的坐标，再利用待定系数法计算即可得出一次函数的解析会，计算出直线与轴、轴的交点坐标为、，再由三角形的面积公式即可得解； （2）由，，再结合函数图象即可得解； （3）由题意可得，设，即，再由列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点， 将与坐标代入反比例解析式得：，， 、， 代入一次函数解析式得： ， 解得：，， 则一次函数的解析式为， 当时，，当时，则， 解得， ∴直线与轴、轴的交点坐标为、， ∴； （2）解：∵，， ∴反比例函数值小于一次函数值的的取值范围为或； （3）解：∵， ∴， 设，即， ， ∴， 解得：或， ∴，， 同理可得：，， 综上所述，点的坐标为，，，． 重难点九、反比例函数的应用 反比例函数是反映现实生活中两个变量之间的关系的一种重要的数学模型，它在现实生活中有着广泛的 应用，即能根据实际问题中两个变量的关系，建立反比例函数模型，利用反比例函数的知识解决问题. 例如：当路程s一定时，时间t与平均速度V成反比例关系；当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例 关系：当三角形面积是常数S时，三角形的底边长y与这一底边上的高x成反比例关系； 在物理学中，当功W是常数时，力F与物体在力的方向上通过的位移s成反比例关系；当压力F一定时，压强p与受力面积S之问成反比例关系；在某一电路中，保持电压U不变，电流I与电阻R成反比例关系 39．（25-26九年级上·陕西铜川·期中）某种新型材料需先将材料加热到，再进行加工操作．材料停止加热后温度是时间的反比例函数，其图象如图所示． (1)材料停止加热后y与x的函数表达式为________． (2)停止加热后当材料温度不低于时，可以对材料进行加工，那么可以加工的时间有多长？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用、待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法，明确时长等于交点横坐标的差是解题的关键． （1）设反比例函数的解析式为，把代入解析式列式计算确定k值即可； （2）将代入得到，即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 故答案为：； （2）解：当时，； 故加工的时长为． 40．（25-26九年级上·山东济南·期中）某校后勤处每周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为浅消毒阶段，段为深消毒阶段，且消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）的关系可近似用一次函数刻画，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)_____，消毒效果最高效力是_____； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续分钟达到效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】(1)， (2) (3)有效 【分析】（）利用待定系数法可求出，再把代入一次函数解析式可求出消毒效果最高效力； （）利用待定系数法解答即可求解； （）分别把代入一次函数和反比例函数解析式求出的值，进而求出持续时长即可判断求解； 本题考查了一次函数和反比例函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴消毒效果最高效力是， 故答案为：，； （2）解：当时，设与之间的函数关系式为， 把代入，得， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （3）解：把代入，得， 解得； 把代入，得， 解得； ∴持续时长为， ∴本次消毒有效． 41．（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】(1)函数图像见解析， (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图像，正确得出反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据表格中的数据，描点，连线即可得函数图像．根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）当时，，求解即可； （3）设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：描点并连线，函数图像如图所示． 由图像可得y与x之间是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为：． （2）解：当时，代入得，， 解得， ∴当砝码质量为时，托盘B与点O的距离是． （3）解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离， 由题意得：， 解得． ∴在移动前托盘B中的砝码质量为． 42．（25-26九年级上·重庆·月考）小益在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gão）的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小益记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小 300 200 150 120 100 (1)小益通过分析表格数据发现，是的函数．在如图2所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (2)根据以上数据和图象，直接写出关于的函数表达式（不要求写自变量取值范围）．并判断当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． (3)已知横杆总长为，小益想用的拉力汲水，小益是否能成功？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，当的长增大时，拉力减小 (3)小益不能成功 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式． （1）将表格中的数值在平面直角坐标系中描出各点，将所描出的点用平滑的曲线连接起来就得到这个函数的图象； （2）根据反比例函数的性质即可得到答案； （3）根据横杆总长为，，得出的长，求出此时需要的拉力的值，再与进行比较，即可判断． 【详解】（1）解：如图所示． （2）根据表中数据，可发现与的乘积为定值300， 关于的函数表达式为：． 当的长增大时，拉力减小，理由如下： 、都是正数， ∴这条曲线是反比例函数的一支， ， ∴在第一象限内，随的增大而减小， 即当的长增大时，拉力减小． （3）横杆总长为，， ，即． 当时，， ， 小益不能成功． 43．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）阅读与应用：同学们：你们已经知道，即，（当且仅当时取等号） 阅读1：若、为实数，且，， ，，（当且仅当时取等号）． 阅读2：若函数（，，为常数）由阅读1结论可知： 即， 当，即时，（），函数的最小值为 阅读理解上述内容，解答下列问题： (1)问题1：若函数，则______时，函数的最小值为______； (2)问题2：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为，则另一边长为，周长为，求当______时，周长的最小值为______； (3)问题3：求代数式的最小值并写出过程． 【答案】(1)4，6 (2)2，8 (3)；过程见解析 【分析】本题是反比例函数题，函数极值的确定方法，读懂材料是解本题的关键，难点是理解和运用材料得到的结论解决问题． （1）由阅读2得到时，函数取最小值； （2）同（1）方法时周长取到最小值； （3）先将处理成，同（1）的方法得出结论； 【详解】（1）解：由阅读2知，时，即时，函数的最小值是， 答案为4，6； （2）解：由阅读2知，时，周长为的最小值是， 故答案为2，8； （3）解：， ∴当时，即时，最小值是． 44．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图1，在中，为的中点，连接．动点从点出发，沿折线方向运动，速度为每秒1个单位长度，到达点时停止运动；同时动点从点出发，沿方向运动，速度为每秒1个单位长度，到达点时停止运动．设点的运动时间为秒，记为，记为． (1)请直接写出分别关于的函数解析式．并注明自变量的取值范围； (2)在图2所示的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过）． 【答案】(1)； (2)画图见解析，函数的一条性质：当时，取得最大值 (3)时x的取值范围为或 【分析】此题考查了动点问题的函数图象，一次函数和反比例函数的图象和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）如图所示，过点B作交于点E，过点A作交于点F，勾股定理求出，求出，然后利用等面积法求出，然后分和两种情况讨论，分别求出，然后利用面积公式即可求出； （2）根据列表，描点，然后用平滑的线连接即可画出图象，进而求得函数的一条性质； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作交于点E，过点A作交于点F， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴当时，点在线段上，如图， 根据题意得，， ∴； 当时，点P在线段上，如图， ∴， ∴； 综上所述，； 根据题意得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：列表如下： 画图如下： 函数的一条性质：当时，取得最大值3； （3）解：由图象可得，当和时，函数图象在函数图象得下面， ∴时x的取值范围为或． 重难点十、反比例函数与几何压轴问题 1.所有综合题的本质是“通过坐标将函数与几何联动”，按固定步骤拆解： （1）设坐标，标已知：设反比例函数上未知点的坐标或几何图形中关键点的坐标（如矩形顶点、三角形顶点），并用字母表示；同时标记题目中已知的坐标、边长、角度等条件 （2）用几何性质，建等式：根据几何图形的性质（如三角形全等/相似、平行四边形对边相等、矩形对角线相等、菱形四边相等），将“几何关系”转化为“坐标关系”。 （3）列方程，求未知：将坐标关系转化为方程（含k或设的字母），解方程求出k值、点坐标，最终解决问题（如求面积、解析式）。 常用辅助线：“作垂线”构造直角三角形或矩形压轴题中几何图形常非特殊位置，需通过辅助线转化为“与坐标轴关联的直角图形”， 2.过关键点作x轴/y轴的垂线：构造与坐标轴垂直的直角三角形或矩形，将斜向的边长、角度转化为“水平距离（横坐标差）”和“垂直距离（纵坐标差）”，方便用坐标计算。 45．（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点为坐标原点，顶点、分别在轴、轴上，顶点的坐标为．反比例函数的图象与交于点，与交于点．连接，，． (1)若点是的中点，求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)若的面积为，求反比例函数的解析式； (3)在的条件下，点是反比例函数图象上的一点，若是以为底边的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】根据点的坐标为和矩形的性质把点、的坐标写出来，根据平面直角坐标系中中点坐标的公式求出点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的解析式求出点的坐标； 设点的坐标为，则反比例函数的解析式为，根据反比例函数的解析式可知点的坐标为，根据的面积为，可得方程，解方程求出的值即可得到点的坐标为，利用待定系数法求出反比例函数的解析式； 根据是以为底边的等腰三角形，可知，设点的坐标为，利用勾股定理可得，解方程可得，把点的坐标代入反比例函数的解析式中求出即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：四边形是矩形，顶点的坐标是， 点的坐标是，点的坐标是， 又点是的中点， 点的坐标为， 把点代入反比例函数， 可得：， 反比例函数的解析式为， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 反比例函数的解析式为，点的坐标为； （2）解：设点的坐标为， 则有， 把点的坐标代入反比例函数， 可得：， 反比例函数解析式为， 当时，， 解得：， 点的坐标为， 如下图所示，过点作轴， ，， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为， 把点代入反比例函数得， 的面积为3，反比例函数的解析式为； （3）解：点的坐标是，点的坐标是， 是以为底边的等腰三角形， ， 设点的坐标为， ， ， 解得：， 又点在反比例函数上， ， 解得：， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、勾股定理，解决本题的关键是根据反比例函数的解析式把点的坐标表示出来，再根据三角形的面积公式列方程． 46．（25-26九年级上·重庆万州·期中）如图，点为一次函数与反比例函数的图象的交点，点的纵坐标为轴，垂足为，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值． (2)点是反比例函数的图象上的一点，且在点的右侧，连接． ①如图1，连接，，在轴上有两个动点和点，点在点左侧，且，若，求点的坐标，并求出的最小值． ②如图2，过点作于点，若，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点的坐标，代入反比例函数解析式计算即可； （2）①过点作轴于点，先求出点，，可得到，从而得到，设点的坐标为，则，再由，求出的值，即可求解；因为，若求 的最小值，即求 的最小值加 ，将 向左平移 个单位得 ，则，作 关于 轴的对称点 ，则，故，则 的最小值为，用勾股定理求解即可； ②过点作交延长线于点，过作于点，证明，可得，用表示出点的坐标，代入反比例函数解析式计算，得到答案． 【详解】（1）解：对于， 当时，， 解得：， 点， 把点代入得： ， 解得：； （2）解：①如图，过点作轴于点， 对于， 当时，，当时，， 点，， ，， 轴，点．， ，， ， ， ， ∵在反比例函数上， ∴设点的坐标为，则， ∵P，M在为上， ， ， ∴， ， 即， 解得：或（舍去）， 点的坐标为； ∵，若求 的最小值，即求 的最小值加 ， 将 向左平移 个单位得 ，则， 作 关于 轴的对称点 ，则， 故， 当三点共线时， 最小，最小值为； 作，由勾股定理得： ， ∴ 的最小值为 ； ②如图2，过点作交延长线于点，过作交的延长线于点， ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ，， ∵在直线上， ∴设， ， ， ， 点是反比例函数的图象上的一点， ， 解得：，， 点在点的右侧， 点的坐标为． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质和图象、全等三角形的判定和性质、一次函数的性质和图象，对称求距离和最短，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 47．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上不与点重合的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，过点作轴的垂线，与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图，将点绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，平面内是否存在一点使得、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】利用正比例函数的解析式求得的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的表达式； 设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点的坐标即可； 如图，过点作轴，过点作于，过点作于，则，证明≌，则，，设，表示，根据点在反比例函数的图象上，代入列方程可得的值，分三种情况：①当是的对角线时，如图，连接，交于点，②当是的对角线时，如图，③当是的对角线时，如图，即可解答 【详解】反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点， ， ， ， 把坐标代入得，， ， 反比例函数的表达式为； 如图，设点，则， 点在反比例函数图象上， ， 整理得：， 解得负值已舍去， ； 如图，过点作轴，过点作于，过点作于，则， 由旋转得：，， ， ， ， ≌， ，， 设， ， ，， ， 即， 点在反比例函数的图象上， ， 解得：舍，， ，； 分三种情况： ①当是的对角线时，如图，连接，交于点， 是的中点，是的中点， ， 是菱形， ，， 的中点的坐标为， ， ； ②当是的对角线时，如图， ， 不可能是菱形， 此种情况不符合题意； ③当是的对角线时，如图， ， 不可能是菱形， 此种情况不符合题意； 综上， 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质与判定、菱形的性质、一元二次方程的解法等知识点，关键是数形结合的思想． 48．（25-26九年级上·湖南湘潭·期中）如图1，矩形在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B坐标为．反比例函数的图象与交于点E，与交于点F．    (1)若点E为中点，求证：； (2)若的面积为，求反比例函数的解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，将沿x轴的正方向平移得到，若线段在内部的长度为3．求点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)反比例函数解析式为 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）由矩形的性质可得，则根据点坐标可得，则可证明四边形为正方形，得到，，可求出点的坐标．则．证明△△，即可证明． （2）根据列式求解即可； （3）由（2）易得，，可求出直线解析式为，直线解析式为，直线解析式为；设，由平移的性质可得，，，则平移方式为向右平移个单位长度，则，可得直线的解析式为，直线解析式为，直线解析式为；再分当与交于，与交于，当与交于，与交于，分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵E为的中点， ∴，即， 把点E坐标代入中，得， 即， ∵， ∴当时，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴反比例函数解析式为； （3）解：由（2）知，反比例函数解析式为； ∵点B坐标为， ∴，， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为． 同理可得直线解析式为，直线解析式为． 设，由平移的性质可得，，， 则平移方式为向右平移m个单位长度，则， ∴直线的解析式为，直线解析式为， 直线解析式为．    ①当与交于G，与交于H， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴，， ∴，解得， ∴． ②当与交于K，与交于H， 同理可得，， ∴，解得， ∴． 综上，若线段在内部的长度为3，则点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 49．（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）如图1，点是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点．已知直线交坐标轴于点、，连接、． (1) ．反比例函数表达式 ，并求出一次函数的表达式； (2)直接写出当为何值时，． (3)求的面积： (4)如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点，若，求出点的坐标． 【答案】(1)1；； (2) (3) (4)的坐标为或 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、一次函数与反比例函数的综合以及一元二次方程的求解等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）把点的坐标代入函数解析式即可求出，再把点的坐标代入函数解析式即可求出，根据待定系数法求出直线的解析式； （2）根据函数图象即可解答； （3）先得点的坐标，然后利用三角形面积的和差求解即可； （4）设点的坐标为，用含的式子表示出，然后利用建立关于的方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：将的坐标代入，得． 反比例函数的解析式为． 将的坐标代入，得． 把和代入，得：， 解得：， 故直线的解析式为：， （2）解：由（1）知和， 结合图象可得，当时，． （3）解：令，，令，， ， ． （4）解：设点的坐标为，则点F的坐标为， ． ，， ， 整理得：． 解得：， 的坐标为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $