5.1.1从算式到方程（第1课时 方程的概念与列方程）教学设计2025-2026学年人教版七年级数学上册

教学设计 一、课程基本信息 学科 数学 年级 七年级 学期 秋季 课题 5.1.1从算式到方程 （第1课时 方程的概念与列方程） 课时 1课时 章节 第五章 一元一次方程 5.1.1从算式到方程 教材 义务教育教科书 数学 七年级 上册 人民教育出版社 2024 二、教材与课标分析 教材分析：本节课从实际问题出发，通过比较算术方法与方程方法的差异，引导学生认识用字母表示未知数并根据相等关系列方程的必要性，实现从算式到方程的思维转变。本节内容与前面所学的代数式、代入求值及后续一元一次方程紧密相连，既是对代数思维的深化，也为后续学习方程应用和函数知识打下基础。通过建立方程模型解决实际问题，帮助学生发展抽象能力、逻辑推理能力和数学建模意识，实现从算术到代数的关键过渡，是初中方程与不等式学习的重要起点。 课标分析：根据《义务教育数学课程标准(2022年版)》要求，本课"从算式到方程"属于"数与代数"领域中的"方程与不等式"主题。课标要求通过实际问题情境引导学生理解方程的本质，掌握用字母表示数的方法，能够从实际问题中抽象出方程模型。重点培养学生建立方程思想，体会从算式到方程的思维跨越。通过解决实际问题，发展学生抽象能力、模型观念、应用意识的核心素养。 三、学情分析 1.知识基础：学生在小学已接触过用字母表示数和最简单的方程，具备用逆运算思维求解简单方程的经验。 2.思维障碍：学生习惯于算术方法的逆向思维（从结果倒推），对于设未知数、用未知数参与运算、寻找相等关系的正向思维（从条件顺推）感到陌生和不适应，可能会认为“方程比算式更繁琐”。 3.兴趣与能力：七年级学生思维活跃，对生活中的数学问题有兴趣，但抽象概括能力和数学建模能力尚在初步培养阶段。 四、教学目标 1.知识与技能： (1)理解方程的概念，能准确识别方程。 (2)能找出简单问题中的已知数和未知数，并分析具体情境中的相等关系。 (3)能用字母表示未知数，并利用相等关系列出方程。 2.过程与方法： (1)经历从实际问题中抽象出数学问题的过程，体会方程在解决实际问题中的优越性。 (2)通过对比“算术方法”和“方程方法”，完成从算式到方程的思维转变。 3.情感态度价值观： (1)通过用方程解决实际问题，感受方程作为刻画现实世界数量关系有效模型的应用价值，初步建立方程思想、模型观念、符号意识。 (2)感受数学与生活的联系，增强数学应用意识，提升数学学习兴趣。 五、教学重难点 教学重点：方程的概念；从实际问题中寻找相等关系并列出方程。 教学难点：完成从算术思维到代数思维的转变。 六、教学准备 教材、多媒体课件、学习任务单 七、教学过程 教学环节 时间min 主要师生活动 设计意图 新课导入 3 趣味猜数游戏 游戏环节：“请你在心里想一个任意自然数，把它乘2，再加上5，告诉我最后的结果是多少。我能立马知道你心里想的数是几。” 学生说出结果（如：15）。教师迅速回答：“你心里想的数是5！” 可以重复两三次，激发学生的好奇与疑问。 揭秘过程：“老师并不是会读心术，而是用了我们今天要学的数学工具——方程。设你想的数为x，那么‘乘2，再加5’就是2x + 5，而你告诉我的结果是15。所以，整个过程可以表示为：2x + 5 = 15。解这个式子，就能找到x。” “方程是个非常强大的数学工具，是揭示事物内在关系、解决“黑箱”问题的利器。这节课我们就来开始学习方程。” 以游戏形式开场，瞬间抓住学生注意力，活跃课堂气氛，吸引学生对新课方程的好奇与探究。 新知探究 22 章节引言问题： 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发．甲队从距大本营 1 km 的一号营地出发，每小时行进 1.2 km；乙队从距大本营 3 km 的二号营地出发，每小时行进 0.8 km．多长时间后，甲队在途中追上乙队？ 追问1 如何用小学算术方法解决这个问题？ 学生：甲队追上乙队所用的时间=乙队和甲队的路程差÷乙队和甲队的速度差 即（3-1）÷（1.2-0.8）=5（小时） 追问2 是否有新方法解决这个问题？ 引入方程这个新方法 追问3 此题中哪些是已知量，哪些是未知量？继续思考，甲队追上乙队时，他们距大本营的路程之间有什么关系? 学生：路程=速度×时间 已知量：速度、出发时甲队乙队距离大本营的路程 甲队1.2km/h; 乙队0.8km/h 出发时甲队距离大本营的路程：1km 出发时乙队距离大本营的路程：3km 未知量：甲队追上乙队用的时间、甲队追上乙队时的路程 甲队追上乙队时，甲队和乙队距离大本营的路程相等，甲队追上乙队时甲队乙队行进时间相同 追问4 如果把两队行进的时间用字母x表示，你能把刚分析的未知量和相等关系用含x的式子表示出来吗？ 学生：设甲队用x小时追上了乙队 追上时甲队距大本营的路程：1.2x+1 追上时乙队距大本营路程：0.8x+3 追上时甲队距大本营路程=追上时乙队距大本营路程 即1.2x+1=0.8x+3 师：经过本章解方程的学习，我们能算出x=5，也就是5个小时甲队追上了乙队。我们用字母表示未知数，根据问题中的相等关系列出方程，也解决了这个实际问题。 师：咱们再来看两个实际问题，你能找出相等关系，并用一个含有未知数的等式来表示吗？ 问题1 用买3个大水杯的钱，恰好能买4个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多5元 ，两种水杯的单价各是多少元？ 学生：已知量：大水杯的单价比小水杯的单价多5元 未知量：大水杯单价、小水杯单价 相等关系：3个大水杯的钱=4个小水杯的钱 设大水杯的单价为x元，则小水杯的单价为（x-5）元，根据3个大水杯的钱=4个小水杯的钱 可列等式：3x=4(x-5) 师：由这个含有未知数的等式可以求出大水杯的单价20元，进而可以求出小水杯的单价15元。 问题２ 图5.1.1 是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪念币,其面积是4000mm2， 长和宽的比为8:5（即宽是长的）．这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？ 学生：设这枚纪念币的长为x mm，则这枚纪念币的宽为x mm，面积为x2 mm2 已知这枚纪念币的面积是4000mm2 可列等式：x2=4000 师：由这个含有未知数的等式可以求出这枚纪念币的长是80mm，进而可以求出纪念币的宽50mm。 追问1 对于问题1，你还能列出其他的等式吗？能不能换一个未知量用字母来表示呢？ 学生：对于问题1，还可以设小水杯的单价为x元，则大水杯的单价为（x+5）元， 根据3个大水杯的钱=4个小水杯的钱 可列等式：3（x+5）=4x 由这个含有未知数的等式可以求出小水杯的单价15元，进而可以求出大水杯的单价20元。 教师补充：一个问题中，相等关系可能不止一个，未知数的设法也不止一个，列出的等式也不是唯一的。选取不同的未知数或不同的相等关系，列方程解方程在难易程度上是有差别的。咱们可以多做尝试，找到最佳解题办法。 追问2 回顾并总结我们刚用方程解决实际问题是怎么做的，关键是什么？ 学生：先分析实际问题中的已知量、未知量、数量关系，再设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式。 关键是要找到问题中的的相等关系。 师：强调方程的本质是等式，英文equation。 追问3 观察一下这几个式子1.2x+1=0.8x+3、3x=4(x-5)、x2=4000有什么特点，你能总结一下什么是方程吗？ 学生：都含有未知数x，都含有等号=，未知数x的指数不一定是1 教师补充：含有未知数的等式叫作方程。要素一，含有未知数（一般用x表示，也可以是其他字母表示）；要素二，是等式（有等号=），这两个要素缺一不可。同时具备这两个要素的式子就是方程，不同时具备这两个要素的式子就不是方程。 学生自主阅读教材112页方程的定义、溯源栏目、和小黄框未知数内容，谈谈自己的感想。 追问4 问题1、问题2，你能用算式方法解决吗？对比算式法和方程法各有什么特点？ 学生：问题1，列算式的方法： 买3个大水杯的钱恰好能买4个小水杯 把这个钱数看成12份，则大水杯单价为4份，小水杯单价为3份 每份：5÷（4-3）=5（元） 大水杯单价：5×4=20（元），小水杯单价：5×3=15（元） 问题2，不容易列算式计算 学生：算式没有未知数，只能用已知的数一步一步算。方程不仅有已知的数还含有未知数，根据相等关系直接列含未知数的等式。 有些复杂问题，不能或不容易列算式，方程更简便。 教师补充：算术方法不含有未知数，列式时需要对问题进行逆向思考，需要“脑筋急转弯”；方程则是正向理解题意，思维直接，我们把关注点放在了寻找不变的等量关系上，然后用数学符号把它表达出来。列出方程，问题就解决了一大半。 方程就像是个模型，建立出方程模型，我们就像掌握了解决问题的“万能钥匙”。从算式到方程是数学的一大进步。 用算术和方程解决同一个问题，方便对比方程的优越性。 引导学生分析题目中的已知未知和数量关系，找到相等关系。 引入用字母表示未知数，根据相等关系列出等式（方程），初步体会数不只是以前学的具体数，还可以是用符号代表的未知数。 通过两个实际问题，学生实际体验找相等关系，用字母表示未知数，列方程的过程。 引导学生改变未知数的设法，列出其他等式。对于实际问题，方程不唯一，要多尝试，找到最佳解题办法。 总结用方程解决实际问题的步骤以及关键。 学习方程的概念。 了解数学史，提高数学文化素养，增强民族自豪感和学习方程 的兴趣。 对比算式法和方程法，体会方程的优越性，强化模型观念。 新知巩固 15 1.概念辨析 判断下面几个式子是不是方程，并说出原因。 （1）2x+1 （2）2x+1=7 （3）2+3=5 （4）x2+x-12=0 （5）y=1 （6）2a+b=9 （7）2x+1＞7 学生：（2）（4）（5）（6）是方程。 （1）不是方程，它不是等式。 （3）不是方程，它没有含未知数。 （7）不是方程，它不是等式。 教师补充：含有未知数的等式是方程。咱们今后会学到各种各样的方程。 （2）（5）是一元一次方程 （4）是一元二次方程 （6）是二元一次方程 2. 列方程练习 根据下列问题，设未知数并列出方程 ： (1)某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ (2)如图 5.1.2, 一块正方形绿地沿某一方向加宽５ｍ,扩大后的绿地面积是500m2， 求正方形绿地的边长。 教师出示问题，布置任务，学生以小组为单位进行合作讨论，学生代表展示讨论结果，教师补充完善。 学生讨论任务： 1.设未知数并列出方程。 2.解释未知数 x 及方程左右两边所代表的含义。 3.尝试设不同的未知数，根据不同的相等关系列方程，感受各个方法之间存在的差异。 4.总结归纳列方程解决实际问题的一般方法。 学生：解：（1）设这所学校学生总数为x，则女生人数为0.52x，男生人数为（1-0.52）x 根据“女生比男生多80人”， 列得方程：0.52x -（1-0.52）x=80 方法二：设这所学校学生总数为x，则女生人数为0.52x，男生人数为（0.52x-80） 根据“女生占全体学生数的52%”， 列得方程：0.52x -80=（1-0.52）x 方法三：设这所学校男生人数为x，则女生人数为（x+80），全校人数为（2x+80） 根据“女生占全体学生数的52%”， 列得方程：x+80=0.52（2x+80） 此法为间接设未知数，解得的x是男生人数，问题要求的全校人数须用（2x+80）再次计算。 教师补充：方法一和方法二，直接设未知数，设的未知数x是同一个（都是设全校人数为x），但根据不同的相等关系（“女生比男生多80人”“女生占全体学生数的52%”）可以列出不同的方程，最终计算结果相同，x=2000，全校2000人。方法三，间接设未知数，问题问的全校人数，设的是男生人数为x，表示出全校人数（2x+80），根据相等关系“女生占全体学生数的52%”列得方程。但务必注意，间接设未知数求出x并没有解决问题，必须多算一步求出问题答案。这个方程求出来的x=960是男生人数，问题要求的全校人数须用2x+80=2000再次计算。 学生：解：（2）设正方形绿地的边长为x m，则扩大后绿地面积为（x2+5x）m2， 根据“扩大后的绿地面积是500m2”， 列得方程：x2+5x=500 教师补充：列方程解决实际问题的一般方法： 分析实际问题中的数量关系，用字母表示未知数，利用其中的相等关系列出方程，把实际问题抽象成方程问题来解决。这个过程可以表示如下： 强调“建模思想”，而不仅仅是“求解”。 反复强化列方程的“三步曲”： 第一步：设元（未知数）：把问题中未知的量用字母表示。 第二步：找相等关系：这是最核心、最困难的一步。引导学生从关键词（“是”、“等于”、“比...多/少”）、基本数量关系（路程=速度×时间、总价=单价×数量）中寻找。 第三步：列出方程：用代数式表示相等关系。 告诉学生：“列出方程，问题就解决了一大半。” 让学生把重心放在建立方程模型上。 强化方程概念，有未知数、是等式，缺一不可。（4）（5）（6）也是方程，为后续学一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程做好铺垫。 学生讨论，学生展示，教师补充，不仅是检验学生对新知的掌握程度，也是发挥学生主观能动性、增强学生自信心。 强化方程的本质是等式，找到相等关系是关键。 学生小组合作讨论，尝试取不同未知数不同相等关系列方程，鼓励一题多解，加深学生对方程的理解，引入直接设未知数和间接设未知数，为后续学习做好铺垫。 归纳总结列方程解决实际问题的一般方法。 检验与强化学生学习成果，查缺补漏。 课堂小结 5 一.知识梳理： 师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题： 1.通过今天的学习，你学到了哪些新的数学知识？ 学生：学会了方程的概念，含有未知数的等式是方程。学会了从实际问题中寻找相等关系并列出方程。 2.我们解决实际问题的方法有什么新的变化？ 学生：从算式到方程，用字母表示未知数根据相等关系列出方程，建立方程模型来解决。 3.列方程解决实际问题的步骤是什么（列方程三步曲）？关键是什么？ 学生：设未知数 → 找相等关系 → 列方程。关键是找相等关系。 二.思想渗透： 教师总结升华：今天，我们迈出了从“算术”王国走向“代数”王国的第一步。算术思维是对具体的数字直接计算，得到一个具体的答案。代数思维是用符号建立模型，得到一个通用的公式或解决方案。算术思维就像看到一棵棵具体的树，而代数思维是看到整个森林的布局和规律。方程不仅是个强大的数学工具，更是一种思想。它告诉我们，面对复杂问题时，可以先找到一个平衡点（相等关系），搭建模型，然后围绕它来解决问题。这种方程思想、建模思想和符号意识，将陪伴我们整个中学数学乃至更远的学习旅程。从算式到方程，是数学的一大进步。同学们要尽快转为代数思维，初步建立方程思想、建模思想和符号意识. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心： 理解方程的概念和从实际问题中寻找相等关系并列出方程。教师进行思想渗透，引导学生完成从算式到方程，从算术到代数的思维转换。初步建立方程思想、模型思想和符号意识。 课后任务 必做题： 1.教材第113页练习1，2,3题，第118页至119页习题5.1第5,6，7,8题。 2.阅读教材第142页阅读与思考《初步认识数学模型》． 选做题： 1.教材第119页习题5.1第9,10题。 2.了解丢番图的墓志铭的故事，你能列方程解开丢番图的年龄谜题吗？ 练习设计分层，满足不同学生需求。 练习巩固基础，阅读加深对数学模型的了解，丢番图年龄谜题提升学生对数学与方程的兴趣。 八、板书设计 5.1.1从算式到方程（第1课时） 一.方程：含有未知数的等式是方程。 例：3x=4(x-5) （含有未知数，是等式，缺一不可） 方程的本质是等式。找相等关系是关键。 二.列方程的三部曲： 设元（未知数） → 找相等关系 → 列方程 三.思想： 方程思想、模型观念、符号意识 从算式到方程，算术思维 → 代数思维 九、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $