专题02 相似三角形 重点复习必备知识+重难题型+分层验收（期末复习讲义）九年级数学上学期沪科版

专题02 相似三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 比例线段与相似图形 能理解比例线段的定义和运用比例的性质对比例进行化简，并求出线段的长度，能够识别相似图形 基础必考点，常出现在小题，选择或者填空 相似三角形的判定与性质 能够利用相似三角形的判定定理证明两个三角形相似，能够利用相似三角形的性质求角度和线段的长度等有关的计算。 考查的重点和难点，通常与其他几何知识进行考察，多作为工具解决几何问题。 图形的位似变换 能够理解位似变换的概念和性质，能够做出位似图形。 多以选择题或作图题的形式进行考察，难度较小。 知识点01 比例线段 1.线段的比的定义：两条线段的比是两条线段的长度之比． 2.比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段.其中a、b、c、d叫组成比例的项；a、d叫比的外项，b、c叫比的内项，当比的内项相等时，即或a：b=b：d，线段 b 叫做线段a和d的比例中项. 3.比例的性质： （1）基本性质： （2）变形： 核心内容： （3）合、分比性质： ·拓展：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如： （4）等比性质：如果， 那么. ·拓展：根据等比的性质可推出，如果，则. （5）黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. ·易错点： ① (叫做黄金分割值). 简记为： ②一条线段的黄金分割点有两个. ·拓展：作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： ①经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. ②连接AD，在DA上截取DE=DB. ③在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. （6）平行线分线段成比例定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． 知识点02 相似三角形 1.相似多边形的的概念： 若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。 2.相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例. （2）相似多边形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方. 3.相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似用符号“∽”，读作“相似于”. 4.相似三角形的判定方法： 1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2）两个三角形相似的判定定理： ①三边成比例的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③两角分别相等的两个三角形相似． ④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似. 5.相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 6.相似三角形的实际应用 （1）利用影长测量物体的高度． ①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． ②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）． ①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形． ②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点03 图形的位似变换 1.位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心. 常见的位似图形： 2.画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.） 3.位似图形的性质： （1）位似图形的对应顶点的连线所在直线相交于一点； （2）位似图形的对应边互相平行或者共线. （3）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. （4）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k. 题型一 成比例线段的判断 解｜题｜技｜巧 1.判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可； 2.成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成（即：），而不能写成. 【典例1】（25-26九年级上·广西贵港·期中）下列各组线段中，能成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】现有四条线段，长度按从短到长的顺序分别为．若这四条线段是成比例线段，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 题型二 比例的性质运用 解｜题｜技｜巧 准确运用比例的性质对条件或所求的式子进行先化简，再求值； （1）基本性质： （2）变形： 核心内容： （3）合、分比性质： 【典例1】（25-26九年级上·山西晋中·期中）若，且，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·湖南永州·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型三 由平行判断成比例的线段 解｜题｜技｜巧 运用平行线分线段成比例定理判断成比例的线段时，应准确区分平行线和被截线。 【典例1】如图，，则下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知中，D、E分别是边反向延长线上的点，下列各式中，能判断出的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如下图，已知与交于点O，则下列比例式中不成立的是（   ） ①    ②    ③    ④ A．① B．② C．③ D．④ 题型四 由平行截线求相关线段的长或比值（跨章节/学科题型） 解｜题｜技｜巧 根据平行线分线段成比例定理及推论，得出比例式，再根据比例的基本性质，进行化简和转化，进而求出有关线段的长或比值。 【典例1】（25-26九年级上·陕西铜川·期中）如图，，直线a，b与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【变式1】（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知 ，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 【变式2】（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，在中，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型五 黄金分割 解｜题｜技｜巧 要熟记黄金分割的概念和黄金分割比的比值。 【典例1】（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，则下列两条线段的比等于黄金比的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知线段，点P是它的黄金分割点，，则的长度为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山东青岛·期中）黄金分割（比值约为）具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处点恰好是横画的黄金分割点（），若横画的长为，则的长为（    ）（结果保留到） A． B． C． D． 题型六 利用相似三角形的判定定理来证明两个三角形相似 解｜题｜技｜巧 判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： 1.条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； 2.两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； 3.两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； 4.条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例． 【典例1】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）已知：如图，是直角三角形斜边上的中线，，交的延长线于点．求证：． 【变式1】（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 【变式2】如图，已知，，，，，． (1)求的长； (2)求证：． 题型七 相似三角形的性质运用 解｜题｜技｜巧 1.先根据相似三角形的判定定理证明两三角形相似； 2.再跟利用相似三角形的性质得出比例式或角相等，进而进行求解； 3.有时在解较为复杂的题目时，可能要证明2组或3组三角形相似才能解决问题。 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知四边形对角线，交于点E，点F是上一点，连结，且． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【变式1】已知：如图，在中，，，垂足为． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【变式2】（25-26九年级上·陕西铜川·期中）如图，四边形是平行四边形，交于点F，交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型八 位似图形的识别 解｜题｜技｜巧 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心. 【典例1】如图，点的坐标为，与是位似图形，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 题型九 位似图形的作图 解｜题｜技｜巧 画位似图形的步骤： 1.确定位似中心,找原图形的关键点. 2.确定位似比. 3.以位似中心为端点向各关键点作射线. 4.顺次连结各截取点，即可得到要求的新图形. 【典例1】如图，在的网格图中，三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出沿轴正方向平移4个单位长度所得到的； (2)以原点为位似中心，将（1）中的放大为原来的3倍得到，请在第一象限内画出，并直接写出的面积． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于y轴对称的图形，并写出的坐标______； (2)以原点O为位似中心，在x轴上方画出的位似图形，使它与的相似比为，并写出对应点的坐标______； (3)用无刻度的直尺在网格中画出的角平分线，D点在上，保留作图痕迹． 【变式2】如图，已知O是坐标原点，M，N的坐标分别为，． (1)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似，所作新图形与原图形的相似比为； (2)分别写出M，N的对应点P，Q的坐标； (3)求的面积． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，选项中的阴影三角形与相似的为（     ） A． B． C． D． 2.（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 3.（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若，则的值为 ． 4.（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，已知，P是上一点，连接，要使，只需添加条件 ．（只要写出一种合适的条件） 5．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，在中，是边上一点，． (1)求证：； (2)若，，的面积为5，求的面积． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，，则为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25·吉林长春·期末）如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，四边形是正方形，E是上一点，，，则 ． 4．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图，在中，，已知B，C在线段上，且线段，则的长为 ． 5．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，点D、E、F分别在等边的三边上，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·吉林长春·中考真题）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ． 4．（2025·山西·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为 ． 5．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，平分，求的长． 6．（2025·四川乐山·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相似三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 比例线段与相似图形 能理解比例线段的定义和运用比例的性质对比例进行化简，并求出线段的长度，能够识别相似图形 基础必考点，常出现在小题，选择或者填空 相似三角形的判定与性质 能够利用相似三角形的判定定理证明两个三角形相似，能够利用相似三角形的性质求角度和线段的长度等有关的计算。 考查的重点和难点，通常与其他几何知识进行考察，多作为工具解决几何问题。 图形的位似变换 能够理解位似变换的概念和性质，能够做出位似图形。 多以选择题或作图题的形式进行考察，难度较小。 知识点01 比例线段 1.线段的比的定义：两条线段的比是两条线段的长度之比． 2.比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段.其中a、b、c、d叫组成比例的项；a、d叫比的外项，b、c叫比的内项，当比的内项相等时，即或a：b=b：d，线段 b 叫做线段a和d的比例中项. 3.比例的性质： （1）基本性质： （2）变形： 核心内容： （3）合、分比性质： ·拓展：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如： （4）等比性质：如果， 那么. ·拓展：根据等比的性质可推出，如果，则. （5）黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. ·易错点： ① (叫做黄金分割值). 简记为： ②一条线段的黄金分割点有两个. ·拓展：作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： ①经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. ②连接AD，在DA上截取DE=DB. ③在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. （6）平行线分线段成比例定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． 知识点02 相似三角形 1.相似多边形的的概念： 若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。 2.相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例. （2）相似多边形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方. 3.相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似用符号“∽”，读作“相似于”. 4.相似三角形的判定方法： 1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2）两个三角形相似的判定定理： ①三边成比例的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③两角分别相等的两个三角形相似． ④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似. 5.相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 6.相似三角形的实际应用 （1）利用影长测量物体的高度． ①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． ②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）． ①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形． ②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点03 图形的位似变换 1.位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心. 常见的位似图形： 2.画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.） 3.位似图形的性质： （1）位似图形的对应顶点的连线所在直线相交于一点； （2）位似图形的对应边互相平行或者共线. （3）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. （4）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k. 题型一 成比例线段的判断 解｜题｜技｜巧 1.判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可； 2.成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成（即：），而不能写成. 【典例1】（25-26九年级上·广西贵港·期中）下列各组线段中，能成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、由可知，四条线段成比例，符合题意； B、由可知，四条线段不能成比例，不符合题意； C、由可知，四条线段不能成比例，不符合题意； D、由可知，四条线段不能成比例，不符合题意； 故选：A． 【变式1】现有四条线段，长度按从短到长的顺序分别为．若这四条线段是成比例线段，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】解：∵有四条线段，长度按从短到长的顺序分别为．且这四条线段是成比例线段， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【详解】解：A、，四条线段不是成比例线段，故A不符合题意； B、，四条线段不是成比例线段，故B不符合题意； C、，四条线段是成比例线段，故C符合题意； D、，四条线段不是成比例线段，故D不符合题意． 故选：C． 题型二 比例的性质运用 解｜题｜技｜巧 准确运用比例的性质对条件或所求的式子进行先化简，再求值； （1）基本性质： （2）变形： 核心内容： （3）合、分比性质： 【典例1】（25-26九年级上·山西晋中·期中）若，且，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ，且， ∴ ，故选项A正确。 对于选项B：由得，即（∵ ），故B错误。 对于选项C：由得，则， ∴ ，故C错误。 对于选项D：由，设，（），则， ∴ ，故D错误。 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·湖南永州·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ， 又 ∵ ， ∴ ． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ ， ∴ 设 , （其中 ）， ∴ ， ∴ ， 故选：A 题型三 由平行判断成比例的线段 解｜题｜技｜巧 运用平行线分线段成比例定理判断成比例的线段时，应准确区分平行线和被截线。 【典例1】如图，，则下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴， 故选：C ． 【变式1】已知中，D、E分别是边反向延长线上的点，下列各式中，能判断出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， D、E分别是边反向延长线上的点， A、若，能判定，符合题意； B、若，不能判定，不符合题意； C、若，不能判定，不符合题意； D、若，不能判定，不符合题意； 故选：A． 【变式2】如下图，已知与交于点O，则下列比例式中不成立的是（   ） ①    ②    ③    ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【详解】解：， ，， ，， 故不成立的为：②， 故选：． 题型四 由平行截线求相关线段的长或比值（跨章节/学科题型） 解｜题｜技｜巧 根据平行线分线段成比例定理及推论，得出比例式，再根据比例的基本性质，进行化简和转化，进而求出有关线段的长或比值。 【典例1】（25-26九年级上·陕西铜川·期中）如图，，直线a，b与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知 ，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴． 故选：D ． 【变式2】（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，在中，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ， ， 设，则， ， 故选：D． 题型五 黄金分割 解｜题｜技｜巧 要熟记黄金分割的概念和黄金分割比的比值。 【典例1】（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，则下列两条线段的比等于黄金比的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：假设，则， ∵， ∴根据勾股定理得， 根据画图可得，，， A. ，不是黄金比，不符合题意； B. ，不是黄金比，不符合题意； C. ，不是黄金比，不符合题意； D. ，是黄金比，符合题意； 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知线段，点P是它的黄金分割点，，则的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点P是它的黄金分割点，， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·山东青岛·期中）黄金分割（比值约为）具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处点恰好是横画的黄金分割点（），若横画的长为，则的长为（    ）（结果保留到） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴． 故选B． 题型六 利用相似三角形的判定定理来证明两个三角形相似 解｜题｜技｜巧 判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： 1.条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； 2.两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； 3.两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； 4.条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例． 【典例1】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）已知：如图，是直角三角形斜边上的中线，，交的延长线于点．求证：． 【详解】证明：，． ． 是直角三角形斜边上的中线， ． ．． 又， ． ． 【变式1】（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 【详解】证明：∵点D，E，F分别是，，的中点， ∴，，， 即， ∴． 【变式2】如图，已知，，，，，． (1)求的长； (2)求证：． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 题型七 相似三角形的性质运用 解｜题｜技｜巧 1.先根据相似三角形的判定定理证明两三角形相似； 2.再跟利用相似三角形的性质得出比例式或角相等，进而进行求解； 3.有时在解较为复杂的题目时，可能要证明2组或3组三角形相似才能解决问题。 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知四边形对角线，交于点E，点F是上一点，连结，且． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【详解】（1）证明：已知四边形对角线，交于点E，， ∴， ∴， ∵，，且， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 答：长为18． 【变式1】已知：如图，在中，，，垂足为． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ，， ， ， ． 【变式2】（25-26九年级上·陕西铜川·期中）如图，四边形是平行四边形，交于点F，交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， 即 ∴或（不符合题意，舍去）． 答：的长为． 题型八 位似图形的识别 解｜题｜技｜巧 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心. 【典例1】如图，点的坐标为，与是位似图形，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作直线交直线于点， ∴点的坐标为，与是位似图形， ∴位似中心的坐标为． 故选：C 【变式1】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 综上分析可知：与成位似图形有3个． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ， ， 与的相似比是， 与的周长比是， 故选：． 题型九 位似图形的作图 解｜题｜技｜巧 画位似图形的步骤： 1.确定位似中心,找原图形的关键点. 2.确定位似比. 3.以位似中心为端点向各关键点作射线. 4.顺次连结各截取点，即可得到要求的新图形. 【典例1】如图，在的网格图中，三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出沿轴正方向平移4个单位长度所得到的； (2)以原点为位似中心，将（1）中的放大为原来的3倍得到，请在第一象限内画出，并直接写出的面积． 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求； （2）解：如图所示：，，即为所求， 的面积． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于y轴对称的图形，并写出的坐标______； (2)以原点O为位似中心，在x轴上方画出的位似图形，使它与的相似比为，并写出对应点的坐标______； (3)用无刻度的直尺在网格中画出的角平分线，D点在上，保留作图痕迹． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，． （2）解：如图所示，即为所求，． （3）解：如图所示，即为所求． 理由：由矩形的性质可得：， ∵， ∴平分． 【变式2】如图，已知O是坐标原点，M，N的坐标分别为，． (1)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似，所作新图形与原图形的相似比为； (2)分别写出M，N的对应点P，Q的坐标； (3)求的面积． 【详解】（1）解：连接并延长至、，使，，连接得到，则即为所求； （2）解：∵位似中心在原点，与的相似比，且在轴左侧， ∴将、的坐标分别乘以得到、的坐标， ∴，； （3）解： ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，选项中的阴影三角形与相似的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设小正方形的边长为1，则有：， A选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； B选项中，三边长依次为，所以，所以这两个三角形相似； C选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； D选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； 故选B． 2.（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：令， ． 故选：A． 3.（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4.（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，已知，P是上一点，连接，要使，只需添加条件 ．（只要写出一种合适的条件） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由题意得：， ∴若添加时，则可根据“两组角对应相等的两个三角形相似”判定； 若添加时，则可根据“两组角对应相等的两个三角形相似”判定； 若添加（）时，则可根据“两组对应边成比例且它们的夹角也相等的两个三角形相似”判定； 故答案为（答案不唯一）． 5．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，在中，是边上一点，． (1)求证：； (2)若，，的面积为5，求的面积． 【详解】（1）解：，， （2）解：，， ， ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（24-25·吉林长春·期末）如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ， 即 故选：B． 3．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，四边形是正方形，E是上一点，，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图，在中，，已知B，C在线段上，且线段，则的长为 ． 【答案】 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得， ， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，点D、E、F分别在等边的三边上，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为4． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·吉林长春·中考真题）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由折叠可得：，， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴，，， ∴，故D错误，符合题意， 故选：D． 2．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵正方形沿折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 故选：D. 3．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ． 【答案】16 【详解】解：设矩形中，（）．   ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形．   ∵ 四边形是矩形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，又是等腰直角三角形， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ . 则. 矩形面积 ∵ 二次函数中，，图象开口向下， 当时，取最大值．   最大值. 故答案为：． 4．（2025·山西·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交延长线于点，过作于点，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得：， ∴，解得：， 即， ∴， 故答案为：． 5．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，平分，求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵对角线的垂直平分线是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：如图， ∵平分， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（2025·四川乐山·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 【详解】[问题初探] 解：设，，则． ， ∴， 解得：，（舍）， ∴， ∴黄金比为； [问题再探] 解：如图，点即为的黄金分割点： [知识迁移] 证明：∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，，， ∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴； [延伸拓展] 证明：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴点是的黄金分割点． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $