专题04 圆锥曲线小题汇总22考点（期末真题汇编，四川专用）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04圆锥曲线小题汇总 ☆22大高频考点概览 考点01椭圆焦点三角形的周长 考点02椭圆焦点三角形的其他问题 考点03椭圆上的点到焦点距离及最值问题 考点04椭圆的标准方程 考点05方程表示椭圆求参数 考点06椭圆的离心率 考点07椭圆离心率的取值范围 考点08椭圆的几何特征 考点09直线与椭圆的位置关系及弦长 考点10椭圆的中点弦 考点11双曲线的焦点三角形 考点12双曲线的定义与标准方程 考点13双曲线的离心率 考点14方程表示双曲线求取值范围 考点15双曲线的渐近线 考点16双曲线的几何性质 考点17直线与双曲线的位置关系 考点18抛物线定义的理解 考点19抛物线的定义与标准方程 考点20和差最值问题 考点21直线与抛物线相交弦长问题 考点22定点定值问题 目目 考点01 椭圆焦点三角形的周长 1.425有=上四训成都别实经学校（成者石室用安学使）期末已知箱日若长一1的左，右点 2516 分别为F1、F2,点P是椭圆上一点（与点F1、F2不共线），则△PF,F的周长为() A.20 B.18 C.16 D.14 2宝选0425商三上四川内江期末已知箱飘C兰+号-=1的、右生点分别为不P,.直线y=松交 椭圆C于A、B两点，P为椭圆C上的一动点，则() A.当k≠0时，四边形F,AFB的周长为定值8 B.当△PF1F为直角三角形时，S△PFE,=3 C.当直线PA,PB的斜率都存在时，其斜率之积为一3 1/16 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 D. 当直线PF,与PF2的斜率之差为2时，SAPp,r,= 17-3 8 考点02 椭圆焦点三角形的其他问题 1.24-25高二上-四川成都期末)已知P为椭圆C:+y=1上一点，F,F,分别是椭圆C的左、右焦点 841 若点P的横坐标为2，则△PF,F2的面积为() A.3 B.22 C.23 D.4 324高三上四川德阳期末设F、F是椭圆C：文+y=1的两个焦点，点P在C上，若△PFE 为直角三角形，则△PF1F的面积为() A.3 B.3 C.3或1 2 0.1或 2 3.2425高=上四川仁寿县韩强中学期末椭圆丈+之=1的焦点F,万，点P为其上的动点，当 94 ∠FPF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是() A.( 55 5’5 B(25,25,c.38535 5 D 5’5 5 (-625,65) 55 4.2425高二上四川内江第六中学期末)已知FF,是椭圆父+少=1的两个焦点，P是桶圆上一点， 2449 3PE=4PF'则△PF,E,的面积等于（) A.24 B.26 C.222 D.242 多法2425高四自贡期闲尼知随圈名+合1，F,P为左，右焦点，0为原点 稀图上一点，c0s∠F,PR,= 5’下列说法正确的是() A.满足条件的P点总共有4个 B.SAF,PF:-4 C.PO=3 D.PF1·PF2=6 2/16 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 目目 考点03 椭圆上的点到焦点距离及最值问题 1.Q425高=上因作寿基锋强中学期衣若情圆C:子+号=1的左，右焦点分别为P、F,点P为桶 4+ 3 圆C上一动点，则下列说法中不正确的是() A.当点P不在x轴上时，△PF1F,的周长是6 B.当点P不在x轴上时，△PF,F面积的最大值为3 C.存在点P,使PF1⊥PF2 D.PF的取值范围是1,3 2.Q4-25高二上：四川仁寿县韩强中学期木已知点M在椭圆+广=1上运动，点N在圆x2+y-1?=1 189 上运动，则MN的最大值为() A.1+19 B.1+2V5 C.5 D.6 (多选)2425高三上四E寿第一中学校南校区期木尼知椭圆C:石5+片三1，上，F,分别为它的 右焦点，点P是椭圆上一个动点，下列结论中正确的有() A.点P到右焦点的距离的最大值为9 B.焦距为10 C.点P到原点的距离的最大值为5 4 D.椭圆的离心率为 考点04 椭圆的标准方程 1.(24-25高二上·四川资阳天立学校期末)已知圆C1:(x+32+y=81和C2:(x-3?+y2=1,若动圆P与 这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M,则M的方程为() A. D.t公=1 167 259 2516 169 2.(24-25高二上·四川绵阳·期末)已知M0,-4,Q是圆C:x2+y-42=100上一动点，线段MQ的垂直 平分线交线段CQ于点P,则动点P的轨迹方程为() A+-1 2516 3/16 函学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 c.+=1 D.-X=1 259 2516 3.(24-25高二上·四川眉山东坡区眉山育英实验学校·期末)2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使 用长征六号运载火箭，成功将天平三号A01、B01、B02卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道， 发射任务获得圆满成功该卫星主要用于地面雷达设备标校和RCS测量，为地面光学设备成像试验和低轨 空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号A01 卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点 距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号A01卫星 运行的轨迹方程可为() A.+2=1 98 x2 x2 C. 1.3523.35-1 十 D 3.52121 十 近地点 母 远地点 4.(24-25高二上四川眉山仁寿县部分学校期末)已知椭圆的焦距是8，椭圆上的某点到两个焦点的距离之 和等于16，则椭圆的标准方程是一· 5.(24-25高二上，四川达州普通高中·期末)与双曲线x2-8y2=8有共同焦点，且经过点0,4的椭圆的标准 方程是■ 考点05 方程表示椭圆求参数 1·(②425高二上：四川眉山仁寿县部分学校期末若方程，X 十 =1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数 2-kk+2 k的取值范围是() A.-0,2 B.-2,2 C.-2,0 D.0,2 2.(24-25高三上四川眉山洪雅县期末已知椭圆，X一+y =1的焦点在y轴上，且焦距为4，则m=( 11-mm-3 ) 4/16 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A.5 B.6 C.9 D.10 3。（多选)4,25高二上四川资中县球溪高级中学期末)记方程X+y =1所表示的曲线为C,则下 6-tt-2 列命题正确的是() A.曲线C可能为圆 B.曲线C可能为等轴双曲线 C.若t<2,则C为焦点在x轴上的双曲线 D.若5<t<6,则C为焦点在y轴上的椭圆 4.(多选)(24-25高二上四川资中县球溪高级中学·期末)已知曲线C:x2c0s(+y2=1.则下列说法中正 确的是() A.若=0°，则C是单位圆 B.若0°<a<90°，则C是焦点在x轴上的椭圆 C.若=90°，则C是平行于y轴的两条直线 D.若90°<a≤180°，则C是双曲线且渐近线方程为y=±-coS&x 考点06 椭圆的离心率 1.(24-25高二上·四川凉山州·期末)已知椭圆。 名+1a>b>0西题D0关于限点对张E通 圆的右焦点，PF,交椭园E于点MQF,⊥MF,QF,=3MF,则椭圆E的离心率为（） A.3 2 B. c.5 3 2 2 D.810 4 2.(24-25高二上·四川资阳天立学校期末)北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运 会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.某校一个数学兴趣小组为了给奥运献礼，从 网上查找了鸟巢的有关资料，制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，但 扁平程度相同的椭圆，已知小椭圆的长轴长为30cm,短轴长为15cm,大椭圆的长轴长为60cm,则大椭圆 的短轴长为()cm A.30 B.20 C.30R3 D.20R3 5/16 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专2425高四川汽州确吧知痛圆C+芳1Q>b>0的左，右焦点分别为P,R,点P,Q在一 C上，若PO=3PF2,且∠PQF1=∠PF,Q,则椭圆C的离心率为() A 3 1 3 B. 3 C.2 D. 2 42425高上四自责第一中学校期末已痴椭圆C:之+1(a>b>0)，F、F,为椭圆的左右 焦点，A为椭圆上一点，连接AF1并延长交椭圆于另一点B,若AF=2AF,BF2=3BF1,则椭 圆C的离心率为一 5.(24-25高二上四川绵阳期末)已知过双曲线C: 之-X1(Q>0,b>0)右焦点F的直线L,与C的左， 右两支分别相交，且这两个交点的中点为M,满足OM=O(0为坐标原点)若直线的斜率为弓， 则该双曲线的离心率e=(一， 目目 考点07 椭圆离心率的取值范围 1.(多选)(23-24高二上·四川绵阳·期末)设椭圆C1: x.y =1(a1>b,>0)与双曲线C2: =1 a b a吃b (a2>0,b2>0)有相同的左右焦点且分别为F1,F2,离心率分别为e1,e2.设C1与C2在第一象限内的交 点为P,且满足OP=PF2,则下列说法正确的是() A.a=a2 B.PF=a+a2C.PF1⊥PF2 D.e1e2=2 6/16 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 2.(24-25高二上·四川眉山中学校·期末)已知F,F是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，P是它们的一个公 11 共点，且PB,上P5,若C和C,的离心率分别为c,e,则。，十。的取值范围是一 3.(24-25高二上四川资阳天立学校期末)已知离心率为e1的椭圆C1:2 :之+y=1(a>b>0)和离心率为e2 a bi 的双曲线C2: -少=16b,>02有公共的焦点，其中F为左焦点，P是C,与C,在第一象限的公共点.线 a,b 段PF1的垂直平分线经过坐标原点，则2e+e的最小值为一· 考点08 椭圆的几何特征 1.24-25高二上：四川眉山东坡区眉山育英实验学校期末已知椭圆C:父+y=1,则椭圆的焦距为( 42 ) A.2 B.22 C.6 D.2R6 2.(24-25高二上·四川巴中期末)已知点集21=(，22=（分别表示曲线T1、T2,若T1、T2有四个公共点， 则a的取值范围() A.-2,2 B.-2,-1U1,2 C.(-0∞，-1U1,+∞ D.-2,-1U1,2 3.多流)425高上成都期末设O为坐标原点，P为椭圆℃：+y5双曲线 C2:x2-y=1在第一象限的公共点，F1,F2分别是椭圆C1的左、右焦点，则() A.C1与C2的焦点相同 B.PF-PF2=2 C.PF=3 D.OP=92 目目考点09 直线与椭圆的位置关系及弦长 1.(24-25高二上四川南充期末)已知两定点M-1,0,N1,0,若某直线上存在点P,使PM+PN=4, 7/16 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 则该直线称为“L型直线”，给出下列直线，其中是“L型直线”的是() ①x+2y-4=0:②x-3=0:③x-y-3=0;④3x-y-6=0 A.①③ B.①② C.③④ D.①④ 2.2425高上四自页第一中学校期宋已知椭圆C:司+行2二1(a>6>0的离心率为 2 且过点 2 p受 ),动直线l:y=kx+m交椭圆C于不同的两点A、B,且OA·OB=0(O为坐标原点)，则 3m2-2k2=元- 3.2425高二上四川E寿县等强中学期末村已知F,F,为椭圆C:X+上=1的两个焦点，P,Q为C上 164 关于坐标原点对称的两点，且PQ=F,F2,则四边形PF1QF2的面积为一 考点10 椭圆的中点弦 1.24,25高二上·四川眉山洪雅县期未已知椭圆C: 72+X之10<b<62,过点P2,1且斜率为-1的 直线与C相交于A,B两点，若P恰好是AB的中点，则椭圆C上一点M到焦点F的距离的最小值为() A.6 B.6V2-6 C.6-23 D.62+6 2.24-25高=上四川自页期末已知椭圆C:+=1过点P1,1的直线与椭圆C交于A、B两点，P为 1612 线段AB的中点，则直线AB的斜率为() A.3 -4 B. 4 3 C.3 5 D.5 3 3.(24-25高二上·四川眉山东坡区眉山育英实验学校·期末)已知双曲线 =1与直线y=x-1相交于A, B两点，其中AB中点的横坐标为 2 3 则该双曲线的离心率为一 考点11 双曲线的焦点三角形 1.2425高二上四川眉山中学校期末)M是双曲线-二=1上一点，点F,F,分别是双曲线左右焦点， 412 8/16 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 若MF=5,则MF=元() A.9或1 B.1 C.9 D.9或2 2.(多选)(24-25高二上·四川眉山洪雅县·期末)已知A0,4,B-3,0，C3,0点P满足PB-PC=4. 则() A.点P的轨迹为双曲线 B.直线x+y=0上存在满足题意的点P C.黄足时-号的点P共有0个 D.△PAB的周长的取值范围是14，+∞ 3.(24-25高二上·四川资中县球溪高级中学期末)如图，在纸上画一个半径为2的圆O,再取一定点P, OP=4,将纸片折起，使圆周通过P,然后展开纸片，得到一条折痕1（为了看清楚，可把直线画出来） 这样继续下去，得到若干折痕，这些折痕围成的轮廓构成曲线C.若点M在曲线C上，且OM⊥PM,则 △OPM的面积为 O。 目目 考点12 双曲线的定义与标准方程 1.(21-22高二上·四川宜宾·期末)与圆x2+y2=1和圆x2+y2-10y+21=0都外切的圆的圆心在() A.一个圆上 B.一个椭圆上 C.双曲线的一支上 D.一条抛物线上 2.(23-24高二上·四川绵阳·期末)如图，定圆O的半径为定长r,A是圆O外一个定点，P是圆0上任意一点. 线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q,当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是() A.射线 B.椭圆 C.双曲线 D.圆 9/16 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 3.2425高二上四川眉山东坡区眉山育英实验学校期末已知双曲线C:Y广-1(a>0,b>0的一条渐 a2 b2 近线方程是y= 3X,实轴的长度为23，则双曲线C的标准方程为() A. 3y2=1 c号苦-i D.=1 23 4.2425高=上四川眉山中学校：期米已知点P为双曲线号兰=1a>0,b>0右支上一点，F,F分 别为双曲线的左右焦点，且F,F上=仁，I为△PF,F的内心，若S6F=Same+ASA1B,则入的值 a 为() A.1+2/2 B.23-1 C.2+1 D.V2-1 2 目目 考点13 双曲线的离心率 1.(24-25高二上·四川南充·期末)若双曲线经过点22,1，且它的两条渐近线方程是y=±x,则双曲线 2 的离心率是() A.5 B.95 2 C.5 D.5 2.(24-25高二上：四川成都：期末)已知双曲线C:X-少 言长=1a>0,b>0的右焦点为F海近找为，5过 10/16 专题04圆锥曲线小题汇总 22大高频考点概览 考点01 椭圆焦点三角形的周长 考点02 椭圆焦点三角形的其他问题 考点03 椭圆上的点到焦点距离及最值问题 考点04 椭圆的标准方程 考点05 方程表示椭圆求参数 考点06 椭圆的离心率 考点07 椭圆离心率的取值范围 考点08 椭圆的几何特征 考点09 直线与椭圆的位置关系及弦长 考点10 椭圆的中点弦 考点11 双曲线的焦点三角形 考点12 双曲线的定义与标准方程 考点13 双曲线的离心率 考点14 方程表示双曲线求取值范围 考点15 双曲线的渐近线 考点16 双曲线的几何性质 考点17 直线与双曲线的位置关系 考点18 抛物线定义的理解 考点19 抛物线的定义与标准方程 考点20 和差最值问题 考点21 直线与抛物线相交弦长问题 考点22 定点定值问题 地 城 考点01 椭圆焦点三角形的周长 1．(24-25高二上·四川成都简阳实验学校（成都石室阳安学校）·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点（与点、不共线），则的周长为（   ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】C 【分析】根据椭圆定义求解出焦点三角形的周长. 【详解】因为椭圆方程为，所以， 所以，所以， 故选：C. 2．(多选)(24-25高二上·四川内江·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线交椭圆C于A、B两点，P为椭圆C上的一动点，则（    ） A．当时，四边形的周长为定值8 B．当为直角三角形时， C．当直线PA，PB的斜率都存在时，其斜率之积为 D．当直线与的斜率之差为2时， 【答案】ACD 【分析】由题意，根据椭圆的定义即可判断A；当时，求出点P的坐标，代入三角形面积公式中即可判断B；设出A，B，P的坐标，结合斜率公式即可判断C；将直线与的斜率之差表述出来，结合点P在椭圆上，可得，代入三角形面积公式中即可判断D. 【详解】 对于A：因为椭圆，所以，，，即，， 则四边形的周长为，正确； 对于B：当时，设， 因为点P在椭圆上，解得，取，则，错误； 对于C：因为直线交椭圆C于A，B两点，所以A，B两点关于原点对称， 设，，， 因为，两式相减并整理得， 因为，，所以，正确； 对于D：易知，， 所以，整理得， 因为点P在椭圆上，所以，解得， 则，正确． 故选：ACD 地 城 考点02 椭圆焦点三角形的其他问题 1．(24-25高二上·四川成都·期末)已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．若点的横坐标为，则的面积为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】有题意点的横坐标为，代入椭圆方程即可计算点的纵坐标，由即可得解. 【详解】因为，所以，又因为点的横坐标为，所以， 所以点的纵坐标为，所以. 故选：C. 2．(23-24高二上·四川德阳·期末)设、是椭圆：的两个焦点，点P在C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．或1 D．1或 【答案】D 【分析】分析确定直角顶点后位置，当焦点（或）为直角，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】由已知，若是直角三角形，则直角顶点可能是点P， ; 若是直角三角形，则直角顶点可能是焦点（或）为直角顶点， 此时（或），. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分类讨论得出直角位置，结合椭圆定义得出面积计算即可； 3．(24-25高二上·四川仁寿县铧强中学·期末)椭圆的焦点F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（    ） A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，） 【答案】C 【解析】设P（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠F1PF2是钝角推断出PF12+PF22＜F1F22代入P坐标求得x和y的不等式关系，求得x的范围． 【详解】解：设P（x，y），由椭圆方程得椭圆焦点坐标为为F1（﹣，0），F2（，0）， 且∠F1PF2是钝角⇔⇔（x+）2+y2+（x﹣）2+y2＜20 ⇔x2+5+y2＜10⇔x2+4（1﹣）＜5⇔x2＜．所以． 故选：C． 【点睛】结论点睛：本题考查椭圆的标准方程的应用，中，为锐角，为直角，为钝角． 4．(24-25高二上·四川内江第六中学·期末)已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，，则的面积等于（    ） A．24 B．26 C． D． 【答案】A 【解析】由定义可得，结合条件求出即可求出面积. 【详解】由椭圆方程可得焦点在轴上，，，， 由椭圆定义可得， 又，则可解得， ，满足，则， . 故选：A. 5．（多选）(24-25高二上·四川自贡·期末)已知椭圆 为左，右焦点. O为原点，P为椭圆上一点， 下列说法正确的是 （    ） A．满足条件的P点总共有4个 B．=4 C．|PO|=3 D． 【答案】ABD 【分析】由题设求出，设 再在焦点中，运用余弦定理结合椭圆的定义得到求得即可判断B；设P（x₀，y₀），由=4得代入椭圆方程得从而，故P点共有4个，可判断A、C，求得 即可判断D, 【详解】 由题意得，，设 则 在中，由余弦定理得，， 即 ，即 ，解得 故B项正确； 设P（x₀，y₀）， 代入椭圆方程得， 解得 则 故C项错误； 由故P点共有4个，故A项正确； 对于D， 故D项正确. 故选：ABD. 地 城 考点03 椭圆上的点到焦点距离及最值问题 1．(24-25高二上·四川仁寿县铧强中学·期末)若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（    ） A．当点P不在x轴上时，的周长是6 B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C．存在点P，使 D．的取值范围是 【答案】C 【分析】根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A；当点位于上下顶点时，面积的最大即可判断选项B；当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大与比较即可判断选项C；当点为椭圆的左右顶点时取得最值，即可判断选项D. 【详解】由椭圆方程可知，，从而． 对于选项A；根据椭圆定义，，又，所以的周长是 ，故选项A正确； 对于选项B：设点，因为，则． 因为，则面积的最大值为，故选项B正确； 对于选项C：由椭圆性质可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大． 此时，，又， 则为正三角形，， 所以不存在点，使，故选项C错误； 对于选项D：由椭圆的性质可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时； 当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，故选项D正确． 故选：C. 【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论 以椭圆 上一点 和焦点为顶点的中，若，则 （1）焦点三角形的周长为； （2）当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大； （3），当时，即点为椭圆短轴的一个端点时取最大值，为； （4）. 2．(24-25高二上·四川仁寿县铧强中学·期末)已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据圆的性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可. 【详解】解：设圆的圆心为，则， 设，则， 所以 ，当且仅当时取得最大值， 所以． 故选：B． 3．（多选）(24-25高二上·四川仁寿第一中学校南校区·期末)已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．点到右焦点的距离的最大值为9 B．焦距为 C．点到原点的距离的最大值为5 D．椭圆的离心率为 【答案】ACD 【分析】由椭圆方程求得，然后根据椭圆的性质求解判断． 【详解】由椭圆方程知，，则， 点是椭圆上一个动点，点到右焦点的距离的最大值为，A正确； 焦距是，B错误； 点到原点的距离的最大值为5，C正确； 离心率为，D正确． 故选：ACD． 地 城 考点04 椭圆的标准方程 1．(24-25高二上·四川资阳天立学校·期末)已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设动圆半径为.根据圆与圆的位置关系可得，，再利用椭圆的定义得到该动圆圆心的轨迹为椭圆，进而可求得方程. 【详解】圆：和：的圆心和半径分别为， 由可知圆内含于圆内. 设动圆半径为， 由题意可得，， 两式相加可得， 故点P的轨迹为以为焦点的椭圆，其中， 所以， 所以椭圆方程为. 故选：C. 2．(24-25高二上·四川绵阳·期末)已知，是圆：上一动点，线段的垂直平分线交线段于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义来求得正确答案. 【详解】由于线段的垂直平分线交线段于点， 所以， 所以点的轨迹是椭圆， 且，则， 所以的轨迹方程为. 故选：C 3．(24-25高二上·四川眉山东坡区眉山育英实验学校·期末)2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号卫星运行的轨迹方程可为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，，进而可求，即可得椭圆方程. 【详解】根据椭圆的定义，设长轴长为2a，焦距为2c， 由题可知，，即万千米， 因为天平三号卫星，运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径为0.65万千米， 则，可得万千米，因此， 所以椭圆的方程为. 故选：A. 4．(24-25高二上·四川眉山仁寿县部分学校·期末)已知椭圆的焦距是8，椭圆上的某点到两个焦点的距离之和等于16，则椭圆的标准方程是 ． 【答案】或 【分析】由焦距、椭圆定义可知，进而写出椭圆标准方程，注意焦点分别在x、y轴两种情况. 【详解】由题设，，则，而， 所以椭圆的标准方程是或. 故答案为：或 5．(24-25高二上·四川达州普通高中·期末)与双曲线有共同焦点，且经过点的椭圆的标准方程是 . 【答案】 【分析】首先要将双曲线方程化为标准形式，求出焦点坐标.已知椭圆过点，可代入方程求出相关参数. 【详解】双曲线方程可化为. 可得，则，所以双曲线的焦点坐标为. 设椭圆方程为（）， 因为椭圆与双曲线有共同焦点，所以，则. 又因为椭圆经过点，将代入椭圆方程可得，即. 把代入，可得. 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 地 城 考点05 方程表示椭圆求参数 1．(24-25高二上·四川眉山仁寿县部分学校·期末)若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的标准方程判断求解． 【详解】由题意，解得， 故选：C． 2．(24-25高二上·四川眉山洪雅县·期末)已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则（   ） A．5 B．6 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据要求列出方程和不等式，然后求解出的值即可. 【详解】因为表示焦点在轴上且焦距为的椭圆， 所以，解得， 故选：C. 3．（多选）(24-25高二上·四川资中县球溪高级中学·期末)记方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（    ） A．曲线可能为圆 B．曲线可能为等轴双曲线 C．若，则为焦点在轴上的双曲线 D．若，则为焦点在轴上的椭圆 【答案】ACD 【分析】易知当时，曲线为圆，即A正确，假设曲线为等轴双曲线，但方程无解，可得假设不成立，即B错误；再根据双曲线标准方程定义可判断C正确，又利用椭圆标准方程可得D正确. 【详解】对于A，易知当时，即时，曲线方程为， 也即，表示圆，即A正确； 对于B，若曲线可能为等轴双曲线可知，显然此方程无解， 因此曲线不可能为等轴双曲线，即B错误； 对于C，若，可知，方程可化为， 此时为焦点在轴上的双曲线，即C正确； 对于D，若，可得，且， 所以为焦点在轴上的椭圆，即D正确. 故选：ACD 4．（多选）(24-25高二上·四川资中县球溪高级中学·期末)已知曲线．则下列说法中正确的是（   ） A．若，则是单位圆 B．若，则是焦点在轴上的椭圆 C．若，则是平行于轴的两条直线 D．若，则是双曲线且渐近线方程为 【答案】ABD 【分析】根据的取值范围，将曲线化为标准方程，进而进行判断即可. 【详解】对于A：当时，，曲线：，表示以为圆心，以1为半径的单位圆，故A正确； 对于B：当时，，，曲线：，表示焦点在轴上的椭圆，故B正确； 对于C：当，，曲线： 或，表示平行于轴的两条直线，故C错误； 对于D：当时，，曲线：，表示焦点在轴上的双曲线，且其渐进性方程为：，故D正确. 故选：ABD 地 城 考点06 椭圆的离心率 1．(24-25高二上·四川凉山州·期末)已知椭圆上两点、关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆的左焦点为，不妨设，根据题意分析可得，，结合勾股定理可得，即可得离心率. 【详解】设椭圆的左焦点为，连接， 不妨设，则， 因为，且，可知为矩形， 则，， 又因为，， 即， 可得，，则， 在中，， 即，解得， 可得，则， 即，可得， 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 2．焦点三角形的作用 在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 2．(24-25高二上·四川资阳天立学校·期末)北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．某校一个数学兴趣小组为了给奥运献礼，从网上查找了鸟巢的有关资料，制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，但扁平程度相同的椭圆，已知小椭圆的长轴长为30cm，短轴长为15cm，大椭圆的长轴长为60cm，则大椭圆的短轴长为（    ）cm A．30 B．20 C． D． 【答案】A 【分析】根据大小椭圆的扁平程度相同即离心率相同，可得大、小椭圆的短轴长与长轴长的比值相等，结合已知条件列方程求大椭圆的短轴长. 【详解】由题设，大小椭圆的离心率相同，又， ∴大、小椭圆的短轴长与长轴长的比值相等， 设大椭圆的短轴长为2b，则有， ∴，即大椭圆短轴长为30cm. 故选：A． 3．(24-25高二上·四川泸州·期末)已知椭圆的左，右焦点分别为，点在上，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用椭圆的定义求出各边长，利用余弦定理得到方程，即可求出离心率. 【详解】    由，可得在同一条直线上， 设，则， 由椭圆的定义， 则 因为，则即，解得， 所以 在中，， 在中，， 则，化简得，即,解得：. 故选：B. 4．(24-25高二上·四川自贡第一中学校·期末)已知椭圆：（），、为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由题意，，结合椭圆定义可将这些长度以及用同一个参数表示，然后分别在在、中，对利用余弦定理，结合离心率公式化为其次方程即可得解. 【详解】如图所示： 由题意，，， 所以不妨设， 而由椭圆定义有， 所以， 所以， 在中，由余弦定理有， 在中，由余弦定理有， 交叉相乘得，即，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决问题的关键在于表示出以及，然后利用余弦定理即可顺利得解. 5．(24-25高二上·四川绵阳·期末)已知过双曲线：（，）右焦点的直线，与的左，右两支分别相交，且这两个交点的中点为，满足（为坐标原点）.若直线的斜率为，则该双曲线的离心率 . 【答案】/ 【分析】由点斜式设出直线方程，直曲联立，表示出韦达定理，再由中点坐标公式求出点的坐标，然后由两点间距离公式表示出，再由离心率的齐次式可得； 【详解】设， 因为直线的斜率为且过右焦点，所以设其方程为， 联立，消去可得， 显然，即， ， ， ， 所以， 因为，即，即， 化简整理可得， 所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于能够用韦达定理结合中点坐标公式表示出点的坐标. 地 城 考点07 椭圆离心率的取值范围 1．（多选）(23-24高二上·四川绵阳·期末)设椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的左右焦点且分别为，，离心率分别为，.设与在第一象限内的交点为，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设，根据椭圆、双曲线的定义求得，进而判断AB；由，结合向量相关知识可得，进而判断CD. 【详解】设，，    则，解得，即，故B正确； 显然，可得，故A错误； 因为， 则， 且， 即，整理得， 则，即，故D正确； 因为不恒为0， 所以不一定垂直，故C错误； 故选：BD. 2．(24-25高二上·四川眉山中学校·期末)已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，不妨令焦点在轴，设出椭圆和双曲线的方程，根据垂直关系得到，然后结合三角函数，利用换元法表示出，结合辅助角公式即可求出最终结果. 【详解】由题意不妨设双曲线方程为， 椭圆方程为，， 则，，， 则，， 又，则， 化简可得，即， 设，，则， 设，，， 因为，， 所以， 即，解得， 则 ， 又，则， 所以，， 即的取值范围是.      故答案为： 3．(24-25高二上·四川资阳天立学校·期末)已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线 有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设为右焦点，由题意，，利用椭圆和双曲线的性质有，最后用均值不等式即可求解． 【详解】设为右焦点，半焦距为，，， 为中点，线段的垂直平分线经过坐标原点，为中点，则， 由，， 则，，，所以，从而有， 故， 当且仅当，即时取等，所以的最小值为. 故答案为：． 【点睛】思路点睛： 关于离心率问题，可以根据条件得到关于a，c的齐次式，设，，利用椭圆和双曲线的性质有，，结合，得到，利用基本不等式求的最小值即可． 地 城 考点08 椭圆的几何特征 1．(24-25高二上·四川眉山东坡区眉山育英实验学校·期末)已知椭圆，则椭圆的焦距为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程可得出该椭圆的焦距. 【详解】对于椭圆，，，则，故该椭圆的焦距为. 故选：B. 2．(24-25高二上·四川巴中·期末)已知点集，分别表示曲线、，若、有四个公共点，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简曲线、的方程，分析可知，数形结合可知点在曲线外，且点在曲线内，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】对于曲线，当时，该曲线的方程可化为，即， 当时，该曲线的方程可化为，即. 曲线的方程即为，即为， 当时，曲线的方程为，此时，两曲线只有一个公共点，不合乎题意， 所以，，如下图所示： 由图可知，只需点在曲线外，且点在曲线内， 所以，，解得或. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于化简两曲线的方程，抓住关键点与曲线的位置关系，列不等式（组）求解. 3．（多选）(24-25高二上·四川成都·期末)设为坐标原点，为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，分别是椭圆的左、右焦点，则（    ） A．与的焦点相同 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据椭圆和双曲线的方程可确定焦点判断A；利用椭圆、双曲线定义可判断BC；判断为直角，可判断D. 【详解】对于A，椭圆的焦点坐标为，双曲线的焦点坐标也为，，A正确； 对于B，对于双曲线，其实半轴长，P点在双曲线右支上， 则，B正确； 对于C，对于椭圆，有，结合， 则，C错误； 对于D，结合C的分析可得，则， 即为直角，故，D正确， 故选：ABD 地 城 考点09 直线与椭圆的位置关系及弦长 1．(24-25高二上·四川南充·期末)已知两定点，若某直线上存在点，使，则该直线称为“型直线”，给出下列直线，其中是“型直线”的是（    ） ①；②；③；④ A．①③ B．①② C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义得出点的轨迹是以为焦点的椭圆，然后将“型直线”的判定问题转化为直线与椭圆是否有公共点的问题. 【详解】由题意可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆方程为， 且，则， 所以椭圆方程为， 对于①，把代入并整理得， ，因为， 所以方程有一个解， 该直线称为“型直线”，故①正确； 对于②，把代入得，，无解， 所以直线不是“型直线”，故②错误； 对于③，把代入并整理得， ，因为， 所以方程无解， 所以直线不是“型直线”，故③错误； 对于④，把代入并整理得， ，因为， 所以方程有两个解， 该直线称为“型直线”，故④正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：将“型直线”的判定问题转化为直线与椭圆是否有公共点的问题. 2．(24-25高二上·四川自贡第一中学校·期末)已知椭圆的离心率为，且过点，动直线交椭圆于不同的两点、，且（为坐标原点），则 ． 【答案】2 【分析】先待定系数法求解椭圆方程，联立直线与椭圆方程消元得关于x的二次方程，再由韦达定理得根与系数的关系，将转化为坐标等式，代入韦达定理关系式，则求出系数式的值. 【详解】∵椭圆的离心率为， ∴，即①， 又椭圆过点，②， 联立①②解得，， ∴椭圆的方程为． 将直线代入椭圆方程化简得． 由题意知，， 设，， 则(*) ，， 将*式代入得 ， 则. 故答案为：2. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系的应用，熟练弦长、斜率、向量、面积等几何问题的代数坐标化． 3．(24-25高二上·四川仁寿县铧强中学·期末)已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解. 【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点， 且，所以四边形为矩形， 设，则， 所以， ，即四边形面积等于. 故答案为：. 地 城 考点10 椭圆的中点弦 1．(24-25高二上·四川眉山洪雅县·期末)已知椭圆，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到焦点的距离的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】由点差法结合已知可得，进而求出，根据椭圆上一点到焦点的距离的最小值为求得结果. 【详解】设，则， 两式作差得，即，即①， 因为点恰好是的中点，所以， 又因为直线的斜率为， 将它们代入①式得，解得， 又，则， 所以椭圆上一点到焦点的距离的最小值为． 故选：B． 2．(24-25高二上·四川自贡·期末)已知椭圆过点的直线与椭圆交于、两点，为线段的中点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法可求出直线的斜率. 【详解】设点、，由题意可得， 若的斜率不存在时，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 由题意可得，两式相减得， 即 0，所以 所以，即直线的斜率为. 故选：A. 3．(24-25高二上·四川眉山东坡区眉山育英实验学校·期末)已知双曲线与直线相交于，两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】根据点差法可求的关系，从而可求离心率. 【详解】设，中点为，则，故， 因为，故， 所以，而， 故，故，故， 故答案为： 地 城 考点11 双曲线的焦点三角形 1．(24-25高二上·四川眉山中学校·期末)是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（    ） A．9或1 B．1 C．9 D．9或2 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义即可求解. 【详解】是双曲线上一点，所以，所以， 由双曲线定义可知， 所以或者，又，所以， 故选：C 2．（多选）(24-25高二上·四川眉山洪雅县·期末)已知，，点P满足．则（    ） A．点P的轨迹为双曲线 B．直线上存在满足题意的点P C．满足的点P共有0个 D．的周长的取值范围是 【答案】BCD 【分析】由，，则再根据双曲线的定义可得点的轨迹方程是双曲线的右支判断A,联立方程组计算判断B,根据点到渐近线的距离判断C，转化的周长为，再结合三点共线判断D. 【详解】因为，， 所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支， 所以，故， 所以的轨迹方程为，双曲线的右支，故A错误； 联立，解得（舍去）， 所以直线上存在满足题意的点，故B正确； 双曲线的渐近线方程为， 则点到渐近线的距离， 所以满足的点共有0个，故C正确； 因为即左焦点， 而， 因为，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的周长的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是转化的周长为，再结合当三点共线时取得最小值. 3．(24-25高二上·四川资中县球溪高级中学·期末)如图，在纸上画一个半径为2的圆，再取一定点，，将纸片折起，使圆周通过，然后展开纸片，得到一条折痕（为了看清楚，可把直线画出来）.这样继续下去，得到若干折痕，这些折痕围成的轮廓构成曲线.若点在曲线上，且，则的面积为 . 【答案】3 【分析】设点关于直线的对称点为点，延长交直线于点，根据对称性分可知，进而结合勾股定理求面积. 【详解】解：设点关于直线的对称点为点，延长交直线于点， 由题意可知，点在圆上，直线为线段的垂直平分线，则， 可得， 可知点的轨迹是以点、为焦点的双曲线，靠近点的一支， 因为， 若，则，可得， 即，可得， 所以的面积为. 故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：根据题意结合对称性分析可知，则的轨迹是以点、为焦点的双曲线，靠近点的一支，进而可得面积. 地 城 考点12 双曲线的定义与标准方程 1．(21-22高二上·四川宜宾·期末)与圆和圆都外切的圆的圆心在（    ） A．一个圆上 B．一个椭圆上 C．双曲线的一支上 D．一条抛物线上 【答案】C 【分析】设动圆的半径为，然后根据动圆与两圆都外切得，再两式相减消去参数，则满足双曲线的定义，即可求解. 【详解】设动圆的圆心为，半径为，而圆的圆心为，半径为1； 圆的圆心为，半径为2． 依题意得，则， 所以点的轨迹是双曲线的一支． 故选：C． 2．(23-24高二上·四川绵阳·期末)如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（    ）   A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 【答案】C 【分析】连接、，由题意可得，所以，根据双曲线的定义，即可得答案. 【详解】连接、，如图所示：    因为为的垂直平分线，所以， 所以为定值， 又因为点在圆外，所以， 根据双曲线定义，点的轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线. 故选：C. 3．(24-25高二上·四川眉山东坡区眉山育英实验学校·期末)已知双曲线的一条渐近线方程是，实轴的长度为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用给定条件结合双曲线的性质求解双曲线方程即可. 【详解】因为双曲线实轴的长度为， 所以，因为双曲线的一条渐近线方程是， 所以，解得，故双曲线的标准方程为，故A正确. 故选：A 4．(24-25高二上·四川眉山中学校·期末)已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，且，为的内心，若， 则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的内切圆半径为，由，得到，结合双曲线的定义，求得，再由，得到，即可求解. 【详解】设的内切圆半径为，因为， 所以，可得， 因为点为双曲线右支上一点， 所以，可得，解得， 又因为，可得，整理得， 即，解得或（舍去）. 故选：D. 地 城 考点13 双曲线的离心率 1．(24-25高二上·四川南充·期末)若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】首先根据题意判定双曲线的焦点所在的轴，由此设出双曲线的标准方程，然后根据渐近线方程得到双曲线基本量的关系，进而得到离心率. 【详解】因为， 所以点在两渐近线的右侧， 双曲线的中心在原点，焦点在轴上， 故可设双曲线的标准方程为， 渐近线方程为， 结合已知渐近线方程为得， 故双曲线的离心率. 故选：A. 2．(24-25高二上·四川成都·期末)已知双曲线的右焦点为，渐近线为，过且垂直于的直线分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】作出图形，计算出、，设，则，利用二倍角的正切公式求出的值，由可求得离心率的值. 【详解】如下图所示： 双曲线的渐近线方程为，则到直线的距离为， 因为，则，故， 由勾股定理可得， 设，则， 则， 因为，整理可得， 则，解得. 故选：A. 3．(24-25高二上·四川自贡·期末)设为双曲线（）的左右焦点，O为坐标原点，P为C的一条渐近线上一点，且成等差数列，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数量积的运算律得，进而，求得，，，利用它们成等差列式平方化简得，即可得解. 【详解】由得， 即，又P为C的一条渐近线上一点，不妨取渐近线， 所以，又，则， 因为成等差数列， 所以，即， 又因为，所以即， 所以，所以， 所以. 故选：B    4．(24-25高二上·四川宜宾·期末)双曲线的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，为半径的圆与C的右支相交于两点，若的一个内角为，则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，又因为的一个内角为，即有为等腰三角形，，运用双曲线的定义和离心率公式，计算即可得到所求． 【详解】如图，设左焦点为，圆于x轴的另一个交点为B， ∵的一个内角为， ∴，, ， 在中，由余弦定理可得． ， 故答案为：． 5．(24-25高二上·四川资中县球溪高级中学·期末)已知双曲线的一条渐近线与圆交于两点，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据弦长得到圆心到渐近线的距离，然后利用点到直线的 列等式，整理得到离心率. 【详解】 设圆的圆心为，则，半径， 因为，所以圆心到渐近线的距离为， 由双曲线方程可得一条渐近线方程为，整理得， 则，整理得. 故答案为：. 地 城 考点14 方程表示双曲线求取值范围 1．(24-25高二上·四川内江·期末)若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，求解关于的一元二次不等式得答案． 【详解】解：方程表示双曲线， ，解得或 的取值范围是 故选：D. 2．（多选）(24-25高二上·四川达州普通高中·期末)已知焦点在轴上的椭圆，左焦点，右焦点，为椭圆上且不在轴上的一点，则下列说法正确的是（   ） A．的取值范围是 B．当焦距为4时，离心率为 C．当离心率为时，的周长为 D．当长轴长为时，的面积最大值为4 【答案】CD 【分析】根据椭圆方程以及几何性质可得AB错误，由焦点三角形周长计算可得C正确，根据面积最大值的表达式可得D正确. 【详解】对于A，因为椭圆的焦点在轴上，因此可得，即A错误； 对于B，当焦距为4时可得，即，可得，所以； 因此离心率为，即B错误； 对于C，结合B选项可得，； 所以的周长为，即C正确； 对于D，当长轴长为时可得，又，所以 的面积最大值为，即D正确. 故选：CD 地 城 考点15 双曲线的渐近线 1．(24-25高二上·四川自贡·期末)双曲线 的两条渐近线所成的锐角为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的性质得出渐近线的方程，再利用两角差的正切公式进行求解． 【详解】解：双曲线的两条渐近线方程为， 则两条渐近线所成的锐角的正切为： ， 则有所求锐角为． 故答案为：． 2．（多选）(24-25高二上·四川眉山中学校·期末)设双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由焦点在x轴上和渐近线方程，求出，由焦点在y轴上和渐近线方程，求出，从而求出离心率. 【详解】当焦点在x轴上，所以，故离心率. 当焦点在y轴上，所以，故离心率. 故选：AC 3．(24-25高二上·四川安岳中学·期末)若直线l过点，且与双曲线过第一和第三象限的渐近线互相垂直，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线方程写出其渐近线方程，根据两直线垂直求出直线的斜率，由点斜式即得的方程. 【详解】 如图，由可知双曲线过第一和第三象限的渐近线方程为：， 直线l与之垂直，则直线l的斜率为， 又直线l过点，故直线l的方程为，即. 故选：B. 4．（多选）(24-25高二上·四川内江第六中学·期末)已知双曲线的焦距为12，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的焦距，求得，再求渐近线方程即可. 【详解】因为双曲线的焦距为，所以，解得， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 5．(24-25高二上·四川乐山普通高中·期末)已知P是双曲线上一点，过点P分别作C的两条渐近线的垂线，垂足为A，B，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设渐近线的倾斜角为，由，可得，即，设，可得，可得，结合对勾函数的单调性求解. 【详解】设渐近线的倾斜角为，则， ，，， 设，则， 则， ， ，， 的取值范围是. 故答案为：. 地 城 考点16 双曲线的几何性质 1．（多选）(24-25高二上·四川自贡·期末)函数 的图象为双曲线，下列关于该双曲线的说法正确的是（   ） A．焦距长为 B．实轴长为 C．对称轴为 D．离心率为2 【答案】BC 【分析】根据双曲线的概念，分析双曲线的性质，逐项判断即可. 【详解】如图：    由图可知，双曲线的渐近线方程为 ，对称轴为， 因为双曲线的渐近线互相垂直，所以双曲线为等轴双曲线. 点，为双曲线的顶点，所以，即双曲线的实轴长为； 所以虚轴长，所以 ，所以. 所以： 对A：双曲线的焦距：，故A错误； 对B：实轴长，故B正确； 对C：双曲线的对称轴为：，故C正确； 对D：双曲线的离心率为：，故D错误. 故选：BC 2．（多选）(24-25高二上·四川眉山东坡区眉山育英实验学校·期末)已知双曲线C:，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线实轴长为6 B．双曲线虚轴长为1 C．双曲线离心率为 D．双曲线焦点到渐近线的距离为1 【答案】AD 【分析】根据双曲线方程，讨论基本的双曲线的性质. 【详解】由双曲线方程可知，，，所以，所以实轴长，虚轴长，离心率 渐近线方程为，焦点坐标为，所以焦点到渐近线的距离，故AD正确，BC错误. 故选：AD 3．(24-25高二上·四川泸州·期末)已知双曲线的焦距为，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的焦距可求得的值. 【详解】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，则，，， 所以，，解得. 故答案为：. 地 城 考点17 直线与双曲线的位置关系 1．（多选）(24-25高二·四川雅安·期末)在平面直角坐标系中，已知两定点，动点满足直线与直线的斜率之积为，记的轨迹为，则下列描述正确的是（    ） A．当时，曲线是以原点为圆心，半径为1的圆 B．当时，点所在曲线的焦点在轴上 C．当时，过点的直线与曲线至少有一个公共点 D．当时，直线与曲线有两个不同公共点，则 【答案】BD 【分析】设，根据题意先求得点的轨迹方程，再逐项判断即可. 【详解】设，由题知， 即点的轨迹方程为. 当时，点的轨迹方程为， ∴曲线是以原点为圆心，半径为1的圆除去两定点，故选项A错误； 当时，点的轨迹方程可化为，故曲线是焦点在轴上的双曲线，除去两定点，故选项B正确； 联立方程组，消去并整理得. ∵直线与曲线有两个不同公共点， . ，恒成立，，故选项D正确； 当时，点的轨迹方程可化为，故曲线是除去两定点的椭圆或者圆. 当时，点的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆除去两定点，此时直线与曲线至少有一个公共点； 当时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，左、右顶点分别为，，此时点在椭圆内，直线与曲线至少有一个公共点； 当时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，左、右顶点分别为，，此时点在椭圆外，直线与曲线的位置关系不确定. 故选项C错误. 判断选项C的法二：易知当直线斜率为0时，直线与曲线有两个交点. 当直线斜率不为0时，设直线的方程为， 联立方程组，消去并整理得. ，，， 由于不一定成立，故选项C错误. 故选：BD. 2．(24-25高二上·四川仁寿第一中学校南校区·期末)若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】直线过，根据渐近线斜率可得到取值范围. 【详解】当直线与双曲线的渐近线平行时，， 此时直线与双曲线的其中一支有一个交点， 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点， 可得直线一定在两渐近线之间， 则k的取值范围为. 故答案为：. 3．(23-24高二上·四川绵阳南山中学实验学校·期末)已知直线与双曲线无公共交点，则C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与双曲线无公共点，结合直线与渐近线的位置关系，列不等式求解即可. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为， 因为直线与C无公共点，所以，即， 所以，又，所以C的离心率的取值范围为. 故选：D.    地 城 考点18 抛物线定义的理解 1．(24-25高二上·四川达州普通高中·期末)抛物线上一点与焦点的距离等于6，且在第一象限内，则的坐标是 . 【答案】 【分析】根据抛物线定义，有抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离，我们可以根据这个性质来求出点的横坐标，再代入抛物线方程求出纵坐标. 【详解】因为抛物线上一点到焦点的距离等于，根据抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离，准线方程为，所以点到准线的距离为. 设点的横坐标为，则，即，解得. 把代入抛物线方程，得到，因为点在第一象限，所以. 故点的坐标为. 故答案为：. 2．(24-25高二上·四川凉山州·期末)已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，结合焦半径公式即可求解. 【详解】由于抛物线的准线方程为，抛物线上点到直线的距离为5， 故点到直线的距离为4，故， 故选：B 3．(24-25高二上·四川内江第六中学·期末)抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知点F为抛物线C：（）的焦点，从点F出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点，若入射光线和反射光线所在直线都与圆E：相切，则p的值是 . 【答案】 【分析】根据点斜式求解入射光线的方程，进而根据点到直线的距离公式求解. 【详解】当时，，故入射光线经过和，， 故入射光线的方程为，化简得， 圆心为，半径为， 所以， 而，故，，解得. 故答案为： 地 城 考点19 抛物线的定义与标准方程 1．(24-25高二上·四川眉山中学校·期末)已知点，，直线的斜率为，直线的斜率为，若，则点的轨迹为不包含，两点的（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】设，根据已知条件列方程，化简后求得正确答案. 【详解】设，其中， 则，即， 所以， 所以点的轨迹为不包含，两点的抛物线. 故选：D 2．(24-25高二上·四川资阳天立学校·期末)已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入点可得，即可得抛物线方程为，进而可得准线方程. 【详解】因为点在抛物线上，则， 可得抛物线，即， 可知，且焦点在y轴正半轴上， 所以抛物线的准线方程为. 故选：D. 地 城 考点20 和差最值问题 1．(24-25高二上·四川泸州·期末)已知为抛物线上的动点，为的焦点，若点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作，垂足为点，由抛物线的定义可得，结合图形可知，当、、三点共线时，即当时，取最小值，即可得解. 【详解】易知抛物线的焦点为，准线为， 过点作，垂足为点，如下图所示： 由抛物线的定义可得，则， 结合图形可知，当三点共线时，即当时，取最小值， 且最小值为，因此，的最小值为. 故答案为：. 2．(24-25高二上·四川宜宾·期末)已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离等于1，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，借助双曲线求出抛物线焦点的坐标，再结合抛物线定义及几何意义求解最值作答. 【详解】双曲线的渐近线，右焦点， 依题意，解得，因此抛物线的焦点也为， 所以，解得，所以抛物线的方程为，其准线为， 由，消去并整理得：，， 即直线与抛物线相离， 过点作于点交抛物线于点， 过作于点，交直线于点， 则有 ， 在抛物线上任取点，过作于点，作于点， 交准线于点，连，如图， 显然，， 当且仅当点与点重合时取等号， 所以抛物线上一动点到直线和的距离之和的最小值为. 故选：D. 【点睛】思路点睛：涉及抛物线上的点到定点与到焦点距离和或到定直线与准线距离和的最小值问题，利用抛物线定义转化求解即可. 3．（多选）(24-25高二上·四川仁寿第一中学校南校区·期末)过抛物线C:的焦点的直线与C相交于，两点，直线PQ的倾斜角为，则（ ） A．的最小值为4 B．若，则 C．若，则的最小值为3 D．面积的最小值为2 【答案】ACD 【分析】设直线，联立直线方程和抛物线方程后消元结合最小弦长可求的值，再逐项判断后可得正确的选项. 【详解】由可得； 由题设有，直线的斜率不为零，故设直线， 则由，可得，， 所以，所以 而， 当且仅当时等号成立，故，故A正确； 若，则，故，故的斜率为，其倾斜角为或，故B错误； 若，则过作准线的垂线，垂足为，连接， 则，当且仅当三点共线时等号成立， 故的最小值为3，故C正确；， 当且仅当时等号成立，故面积的最小值为2，故D成立. 故选：ACD. 4．（多选）(24-25高二上·四川资阳天立学校·期末)泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点到点的距离比到直线的距离小1.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（    ） A．点的轨迹曲线是线段 B．是“最远距离直线” C．过点的直线与点的轨迹交于、两点，则以为直径的圆与轴相交 D．过点的直线与点的轨迹交于、两点，则的最小值为 【答案】BC 【分析】由题意可知动点到点的距离等于到直线的距离，所以可知点的轨迹是以为焦点的抛物线，求出轨迹方程，然后逐个分析判断即可. 【详解】因为点，直线，动点到点的距离比到直线的距离小1， 所以动点到点的距离等于到直线的距离， 所以点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线， 所以抛物线方程为， 对于A，点的轨迹是抛物线，所以A错误， 对于B，由，得，解得， 所以直线与抛物线相交于点， 所以是“最远距离直线”，所以B正确， 对于C，设过点的直线为，， 由，得， 所以， 所以， 所以， 所以以为直径的圆的半径为， 因为圆心到轴的距离为， 所以以为直径的圆与轴相交，所以C正确， 对于D， ， 所以D错误， 故选：BC 地 城 考点21 直线与抛物线相交弦长问题 1．(24-25高二上·四川凉山州·期末)过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，与抛物线的准线交于点，若是的中点，满足，且、、成等差数列，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据焦点弦公式可得，即可根据中项关系，结合图形中的相似可得，即可求解，根据点斜式即可求解直线方程. 【详解】如图：设直线的斜率为正，设，且， 则，故， 故抛物线方程为， 过点作准线的垂线，作准线的垂线， 则,,故是的中点， 由于、、成等差数列，则, 故, 因此,故， 因此,因此, 此时直线方程为， 当斜率为正且时，此时，不符合题意， 根据对称性可知，当直线斜率为负时，方程为， 综上可得直线方程为 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据焦点弦公式以及中点关系可得p=2，根据等差中项，结合相似即可求解。 2．（多选）(24-25高二上·四川安岳中学·期末)已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上第一象限的点，且，过点的直线与交于两点，圆，则（    ） A． B．若，则直线倾斜角的正弦值为 C．若的面积为6，则直线的斜率为 D．过点作圆的两条切线，则两切点连线的方程为 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的定义、弦长、面积、圆的切线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，则，则，故，故A正确； 设直线，联立则， 设，则， 故.， 解得，则直线倾斜角的正弦值为，故B错误； ，解得， 则直线的斜率为，故C正确； 由上述分析可知，， 圆可化为，圆心，半径， 易知为其中一条切线，切点为，且两切点连线与垂直， ，两切点连线的斜率为， 故两切点连线为， 即，故D正确. 故选：ACD    【点睛】方法点睛： 联立方程法求交点：通过设定直线方程并联立抛物线方程，得到交点的坐标表达式．这是求解涉及两条曲线交点时的基本方法． 面积与斜率的关系：在C选项的分析中，利用三角形面积公式推导出直线的斜率，通过面积与几何图形特性的关系有效求解参数． 圆的切线与切点方程：在D选项的分析中，使用圆的标准方程，通过作切线与圆心的垂直关系，找到切点并确定切线方程． 3．(24-25高二上·四川安岳中学·期末)设抛物线：的焦点为，过点作斜率为的直线与抛物线交于，两点，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理、抛物线的定义及，联立即可求得的值． 【详解】设方程为， 由， 消去得， 则有①， 由得， 即②， 由①②解得 ， 故选：A 4．（多选）(24-25高二上·四川资阳天立学校·期末)设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（　　） A． B．以线段为直径的圆必与准线相切 C．线段的长为定值 D．线段的中点到轴的距离为定值 【答案】AD 【分析】根据题意，求得抛物线及焦点，结合抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解.， 【详解】对于A中，由抛物线的准线为，可得，解得， 所以抛物线的焦点为 且，所以A正确； 对于B中，如图，当线段过焦点时，过作， 取的中点作，可得， 此时以线段为直径的圆与准线相切， 因为直线不一定过抛物线的焦点，则不一定成立，故B错误. 对于C中，设， 由抛物线得的定义得，所以， 当直线过原点时，设，则，此时，可得， 当直线为时，可得，不妨设，可得， 所以的长不是定值，所以C错误； 对于D中，由，则线段的中点到轴的距离为，所以D正确. 故选：AD. 地 城 考点22 定值定点问题 1．(24-25高二上·四川南充·期末)已知椭圆的左，右焦点分别为，经过的直线与椭圆交于两点，且的周长为．则椭圆的方程为 ；若在轴上存在一定点，使得过点的任意直线与椭圆相交于两点，都有为定值，则定点坐标为 ． 【答案】 【分析】由的周长为，确定即可求解第一空，对于第二空，设、、，直线方程为，结合椭圆方程联立得到： ，通过，即可求解； 【详解】由已知，， 易知的周长为，所以，又， 解得， 椭圆的方程为． 设、、， 当直线不为轴时的方程为， , 联立椭圆方程得：． ，， 又， 所以 当且仅当， 即时（定值） 即在x轴上存在点使得为定值， 此时的坐标为或， 当点的坐标为， 直线为x轴时，， 此时， 当点的坐标为， 直线为x轴时，， 此时， 所以定点坐标为. 【点睛】关键点点睛：为定值，需满足. 2．(24-25高二上·四川南充·期末)已知动点是双曲线上的点，点是的左，右焦点，是双曲线的左，右顶点，下列结论正确的是（    ） A．若，则的面积为8 B．点到两渐近线的距离之积为 C．点在双曲线的右支时，的最大值为 D．设的面积为，则为定值 【答案】AD 【分析】根据双曲线的定义，结合勾股定理即可求解，由面积公式即可求解A；根据点到直线的距离公式即可求解B；根据双曲线定义得，即可消元，结合对勾函数的性质求解C；根据和差角的正切公式，结合斜率公式以及面积公式即可求解D. 【详解】对A：因为双曲线，故可得， 当时，， 故，则,故A正确； 对B：设点，则，又双曲线渐近线为， 故到两渐近线的距离之积为.故B错误； 对C：因为，故可得， 故, 因为，故在单调递增， 则当时，取最大值，故C错误； 对D：不妨设点在轴上方，则， 则， 又，， 故，又， 故；当点在轴下方时，同理可得. 故D正确. 故选：AD.    【点睛】关键点点睛：， 又，，结合双曲线方程化简. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $