专题05 圆锥曲线解答题汇总9考点（期末真题汇编，四川专用）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题05圆锥曲线解答题汇总 9大高频考点概览 考点01 弦长问题 考点02 面积问题 考点03 定点问题 考点04 定值问题 考点05 点共线问题 考点06 斜率问题 考点07 中点弦问题 考点08 求直线问题 考点09 圆锥曲线与其他知识结合问题 地 城 考点01 弦长问题 1．(24-25高二上·四川乐山普通高中·期末)已知，是双曲线的左右焦点，且两顶点间的距离是4，虚轴长是实轴长的. (1)求双曲线C的离心率； (2)直线与双曲线交于A，B两点，若四边形的面积为，求. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据条件可求的值，进而求双曲线的离心率. （2）根据双曲线的对称性可得三角形的面积为，进而可得点的纵坐标，进而求. 【详解】（1），，，. ，. 双曲线的离心率. （2）直线与双曲线交于A，B两点， 如图： 两点关于原点为O对称，设，. 又，三角形的面积为. ，. 又点在双曲线上，则. 所以， 所以. 2．(24-25高二上·四川自贡·期末)已知椭圆，长轴长为4，离心率为 (1)求椭圆的方程； (2)过点倾斜角为的直线与椭圆相交于、，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求得，进而求得椭圆的方程. （2）求得直线的方程，并与椭圆方程联立，利用弦长公式求得. 【详解】（1）由题意可得，，则， 又， 则， ∴椭圆的方程为. （2）∵直线l过点倾斜角为 ∴直线l的方程为即， 联立，得， 设， 则， ∴ . 3．(24-25高二上·四川达州普通高中·期末)已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标，且离心率. (1)求双曲线的标准方程和渐近线方程； (2)过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意可得的值，再由离心率，可得的值，进而求出的值，由此可求出双曲线的方程以及渐近线方程； （2）由题意得到直线方程，与双曲线方程联立，利用弦长公式计算即可. 【详解】（1）由题意可得，可得，且焦点在轴上， 所以， 所以双曲线的方程为：；渐近线的方程为：； （2）过双曲线右焦点且倾斜角为的直线方程为：， 联立双曲线方程可得：， 所以， 则. 4．(24-25高二上·四川资阳天立学校·期末)已知双曲线：（，）的右焦点为，右顶点为，直线：与轴交于点，且． (1)求的方程； (2)点为上不同于点的动点，直线交轴于点，过作的两条切线，分别交轴于，两点，交轴于，两点． ①证明：是的中点； ②证明：． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的几何性质，分别得出c的取值、的长度表达式，根据题意建立等量关系从而求出a，b，c的值，最终得到双曲线的标准方程. （2）根据题意设出点B坐标，以及过B点与双曲线相切的直线方程，可得P，Q纵坐标表达式，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可得出两条切线斜率的关系，再表示出直线BF方程，可表示出R点坐标，进而结合中点坐标公式证得是的中点；同样可表示出坐标，进而得到各条线段长度表达式，代入后再结合前面的关系得证. 【详解】（1）如图所示， 由右焦点为得， 因为，所以， 若，则，即，无解； 若，则，即，所以， 故的方程为． （2）如图所示， 设，易知过点且与相切的直线斜率存在且不为， 设为，与联立消去整理得 ， 由， 整理得， 设两条切线，的斜率分别为，，则． ①因为，， 直线的方程为，则， 所以， 故是的中点． ②由题意，，，， 所以，， 由，得， 所以， 得证． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于正确表示出题干所述各点的坐标，利用直线与双曲线相切的关系，结合得出两条切线斜率的关系，再表示出各条线段长度，通过化简最终证得题中结论. 地 城 考点02 面积问题 1．(24-25高二上·四川内江·期末)设抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A、B两点. (1)求F的坐标和抛物线C的准线方程； (2)设在抛物线C的准线上，若，求的面积. 【答案】(1)F的坐标为，准线方程为； (2) 【分析】（1）由题意，根据所给抛物线方程进行求解即可； （2）先求出点M的坐标，得到直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理、焦点弦长公式和三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）因为抛物线C的方程为， 所以抛物线C焦点F的坐标为，准线方程为； （2）    因为在抛物线C的准线上，所以，即， 此时，因为，所以，解得， 所以直线l的方程为， 设，， 联立，消去y并整理得， 由韦达定理得， 所以， 因为 则 2．(24-25高二上·四川泸州·期末)已知曲线上的点到直线的距离比到点的距离多． (1)求曲线的方程； (2)设点在曲线上，过点的直线与曲线相切，且与椭圆相交于、两点，求（其中为坐标原点）的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设曲线上的点，根据题意可得出关于、的等式，化简即可得出曲线的方程； （2）求出点的坐标，分析可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，由求出的值，可得出直线的方程，再将直线与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）设曲线上的点，点到直线的距离为， 到点的距离为 已知点到直线的距离比到点的距离多，则， 当时，，移项得：， 两边平方得：， 展开得：，化简，得：； 当时，，即， 整理得，而，等式不成立， 所以曲线的方程为． （2）因为点在曲线上， 将代入曲线方程，得，解得：，所以， 由图可知，直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，即， 联立可得， 所以，，解得， 所以，直线的方程为，即； 设点、， 联立得，， 由韦达定理得：，， 根据弦长公式，这里， 所以 ， 点到直线（即）的距离， 即的面积． 3．(24-25高二上·四川成都·期末)已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之差是1，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知过点的直线与相交于两点，过分别作直线的垂线，垂足为，为的中点． ①证明：； ②设直线与交于点，记的面积分别为，当时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②或． 【分析】（1）设点，根据题目条件直接列式化简求解即可，注意轨迹的完备性. （2）①设直线方程，与抛物线方程联立，韦达定理，利用向量共线的坐标运算证明平行关系； ②通过几何关系得的面积等于的面积的一半，则，又因为，结合韦达定理及，代入化简得，即可得解. 【详解】（1）设点，则， 故，即， 所以的方程为. （2）①由题知，直线斜率存在且不为0，设， 故， 由消去得， 因此恒成立， 从而，故， 又因为， 所以，由三点不共线得成立． ②由①知，，故的面积与的面积相等， 又因为为的中点，所以的面积等于的面积的一半， 即， 又因为， 所以 ， 由①知，， 故， 解得，即．所以直线的方程为或． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 4．(24-25高二上·四川绵阳·期末)已知过点的直线与椭圆：（）交于不同的两点，，椭圆的离心率，且当轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设椭圆的左，右顶点分别为A，，点为椭圆：上任意一点，且直线，分别交椭圆于S，两点，求面积的最大值. 【答案】(1). (2). (3)1 【分析】（1）由题设列出关于的方程组求出即可得解； （2）先由题意得，进而设直线，联立椭圆方程，利用韦达定理求出k即可得解. （3）分直线，斜率存在与不存在情况分析讨论，当直线，斜率均存在时，设直线，分别为和，分别联立椭圆C结合韦达定理求出点，进而可依次求出直线和以及点O到直线的距离d，联立两直线求出点Q，再将点Q代入椭圆得到两直线斜率的关系式，进而根据面积公式结合换元法和一元二次函数性质即可求解. 【详解】（1）由题可得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知直线斜率存在，设直线，设， 则由题意可得 ， 联立， 所以，， 所以，整理得即， 所以直线的方程为即. （3）由（1）椭圆的左，右顶点，椭圆：， ①当直线斜率不存在时，与A重合，直线方程为， 所以，由对称性不妨记为，此时直线方程为即， 联立椭圆：得， 所以此时； ②当直线斜率不存在时，同理可求得； ③当直线，斜率均存在时， 分别设直线，斜率为，则由题可知， 则直线方程为，联立， 所以，即； 直线方程为，联立， 所以，即； 联立，即， 所以，整理得即， 由上， ， 所以直线的方程为，即， 所以原点O到直线的距离为 所以 所以， 令，则， 令，则且， 所以，当且仅当即即即时等号成立. 所以此时面积的最大值为1.    综上所述，面积的最大值为1. 【点睛】关键定睛：解决本题的关键1是联立直线直线，的方程求出点Q，进而将点Q代入椭圆得到两直线斜率的关系式，为简化后面的运算提供工具；关键2是两次巧妙运用换元法将面积公式不断变形为最终的一元二次型，大大简化了运算的难度，从而使得问题可解. 5．(24-25高二上·四川眉山中学校·期末)已知椭圆，短轴长为，且经过点.过左焦点 的直线交于两点，过点与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明:直线过定点，并求定点坐标； (3)设为直线与直线的交点，求面积的最小值. 【答案】(1)； (2)证明见解析，定点； (3). 【分析】（1）根据短轴长及椭圆上点求椭圆参数，即可得方程； （2）设直线，联立椭圆并应用韦达定理求中点坐标，利用垂直关系确定坐标，进而写出直线的方程，即得定点； （3）由，结合（2）及弦长公式求关于m的表达式，最后应用基本不等式求面积的最值. 【详解】（1）由题设，，可得，故. （2）由点B，D在x轴上方，直线l斜率存在且不为0， 设直线，联立椭圆，消去得， 由韦达定理得，且， 则中点，由，则代替m，得， 所以，故， 化简得，则过定点． 当时，取，，则过定点； 当时，取，，则过定点； 综上，直线MN过定点． （3）由点M，N分别为AB，DE的中点， 由 ， 由（2）知， 以代替m，得， 所以， 当且仅当，即时，． 【点睛】关键点点睛：第三问，数形结合得到为关键. 地 城 考点03 定点问题 1．(24-25高二上·四川南充·期末)已知在直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离相等． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的直线与交于两点，连接延长与分别交于两点， ①求面积的最小值； ②求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)① ；②证明见解析 【分析】（1）设点，用坐标表示出题设条件化简即可得； （2）①设直线，不妨令在第一象限，则在第四象限，在第一象限，由韦达定理求得，代入面积后可得最小值； ②设，设直线为，由韦达定理求得，同理得，结合（1）可得，然后设直线为，两样利用韦达定理得，从而得出关系，确定出直线所过定点． 【详解】（1）设点，则由题意可知：， 化简得， 综上可知动点的轨迹方程为：； （2）①根据（1），由题意可设直线， 不妨令A在第一象限，则在第四象限，在第一象限，如图所示， 联立抛物线方程， 显然， 所以 当且仅当时，的最小值 ②设，设直线为， 与抛物线联立有， 显然，同理可得． 所以，又 所以 设直线为 联立得 得． 所以直线为 直线恒过定点 2．(24-25高二上·四川宜宾·期末)已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆的离心率为，过的直线l交椭圆于两点，的周长为． (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点垂直于的直线交椭圆于两点，其中在x轴的上方，设弦的中点分别为． ①求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②直线恒过点 【分析】（1）由已知可得，，可求，进而可得椭圆的方程； （2）①设，，分别与椭圆方程联立方程组，由弦长公式求得，可得，利用换元法可求四边形面积的最小值；②分别求得点，，分的斜率是否存在两种情况求解即可. 【详解】（1）依题意有， 又因为，解得， 所以椭圆的方程为． （2）①设， 则， 联立，得， ， 由弦长公式可得：， 同理可得：， 所以， 令，则， 当时，四边形面积的最小值是； ②， ，用代替m，得， 当，即时，，过点， 当，即时，， ， 当时，，经验证直线过点， 综上，直线恒过点 3．(24-25高二上·四川眉山·期末)已知抛物线（）的焦点为，第一象限内的一点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)直线与抛物线的另一个交点为，求的面积（其中为坐标原点）； (3)斜率分别为，的两条直线都经过点，且与抛物线的另一个交点分别为，，若，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【分析】（1）由抛物线的定义求出的值，由此可得出抛物线的方程； （2）求出点的坐标，进而可求出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，求出点的坐标，利用三角形的面积公式可求得的面积； （3）分析可知，直线不与轴垂直，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，根据斜率公式以及可得出关于、所满足的关系式，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标. 【详解】（1）由抛物线的定义可得，解得， 所以，抛物线的方程为. （2）由在抛物线上，且在第一象限内，所以，，即点， 易知点，所以，直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 联立可得，解得或， 则点、， 所以，. （3）若直线的斜率为零，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，，可得， 由韦达定理可得，， ，同理可得， 因为， 可得，则， 所以，直线的方程为， 由可得， 因此，直线过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 4．(24-25高二上·四川资阳天立学校·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，设点，在中，． (1)求椭圆C的方程； (2)设P，Q为C上异于点A的两动点，记直线AP，AQ的斜率分别为，若，求证：直线PQ过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据，结合椭圆的对称性，求得，即可求得椭圆方程； （2）设出直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，结合的斜率关系，求得对应参数的约束条件，即可求得直线恒过的顶点. 【详解】（1）由题意知， 由 ， ， 椭圆方程为； （2）当直线PQ斜率不存在时，设直线PQ方程为（且） 则 解得，不符合题设； 从而可设直线PQ的方程设为， ， 则有 由 ， （舍）或， 当且仅当时，， ， ∴PQ直线恒过定点. 【点睛】关键点点睛：处理第二问的关键是能够熟练应用韦达定理，合理转化已知条件，从而求得参数之间的关系. 5．(23-24高二上·四川宜宾普通高中·)已知双曲线的渐近线方程为，点在上． (1)求的方程． (2)设是双曲线的左顶点，过点的直线与的右支交于两点，直线分别与直线交于两点.试探究：是否存在定点，使得以为直径的圆过点？若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在定点，或，使得以为直径的圆过点，理由见解析 【分析】（1）由渐近线方程与点在双曲线上待定即可得方程； （2）假设存在定点，满足条件.设，，分别表示直线，令，得坐标，将以为直径的圆过点转化为条件，利用韦达定理代入变形为关系式，不受影响，求值即可. 【详解】（1）由题意可知：，解得， 故双曲线C的方程为： （2）由双曲线的对称性，又点及点均在轴上， 若存在定点，满足以为直径的圆过点，则点在轴上. 故假设存在定点，使得以为直径的圆过点. 双曲线 的左顶点， 由题意知直线不垂直于轴，故设直线的方程为：， 设，， ∴， ，解得， ∴， 由直线与双曲线的右支交于两点， 则，解得. 又直线的方程为，代入， 同理，直线的方程为，代入. 要使以为直径的圆过点，则. ∴， ∴ ， 解得，或 故存在定点，或，使得以为直径的圆过点.    地 城 考点04 定值问题 1．(24-25高二上·四川乐山普通高中·期末)动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数. (1)求动点P的轨迹方程E； (2)过F作斜率不为0的直线与E交于A，B两点， ①过原点O作的平行线与E交于Q点，证明：为定值； ②设点，直线AG与E交于点C，BG与CF交于点D，求点D的纵坐标的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）根据题意，由求解； （2）①设，，分别与椭圆方程联立，由，，求解；②解法一：设，，，根据B，D，G共线，C，D，F共线，得到求解.解法二：由（2）得到，，两式相除得到，然后由，结合B，D，G共线，C，D，F共线得到，再根据点在椭圆上求解. 【详解】（1）解：， . （2）如图所示： ①设，，，则， 联立，得， ，. ，， ， ， 联立，得. . . ②解法一：设，，， ，D，G共线，C，D，F共线， ，， . 由①得，. 同理，. . ，，. ，. 又，当时，点D的纵坐标取得最大值. 解法二：由（2）得，，两式相除可得， 又，整理可得，则. ，同理，. 由B，D，G共线得， 即①， 同理，由C，D，F共线得②， 联立①②可得. 点在椭圆上， 点D的纵坐标取得最大值. 2．(24-25高二上·四川资中县球溪高级中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知是椭圆上的一点，从原点向圆作两条切线分别交于两点． (1)若点在第二象限，且，求和圆的方程； (2)若直线的斜率存在，并分别记为，求证：为定值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）先根据条件，判断出四边形为正方形，再结合正方形的对角线和边长的长度关系，可求点坐标，进而可得和圆的方程. （2）设切线方程为，根据直线与圆相切，可得关于的一元二次方程，利用韦达定理，可得，再结合在椭圆上，可证为定值. 【详解】（1）过作于，于，连接．如图： 由圆的方程，知圆的半径． 由，知． 又因为和圆相切，所以四边形为正方形． 所以． 由，解得． 所以圆的方程为． （2）设过点的圆的切线方程为：，即. 则． 两边同时平方，化简得. 则，为方程的两解. 由韦达定理：. 又因为，所以． 所以，为定值． 3．(24-25高二上·四川成都简阳实验学校（成都石室阳安学校）·期末)已知椭圆的右顶点为，离心率为，过点的直线与交于两点. (1)求椭圆的方程; (2)若的上顶点为，直线的斜率分别为，求证:为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据顶点和离心率，列方程即可求解， （2）联立直线与椭圆方程，即可根据两点斜率公式，结合韦达定理，代入化简即可求解. 【详解】（1）由题意知，解得， 所以的方程为 （2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为：， 由，得， 由判别式，可得， 所以，易得， 所以， 所以 4．(24-25高二上·四川眉山洪雅县·期末)已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）面积的最大值为. 【分析】（1）依据题意列出关于的方程组求出即可得解； （2）（i）依据题意分直线斜率为0时和直线斜率不为0时两种情况结合韦达定理计算分析即可求证；（ii）由（i）先求出，再由面积公式结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意可得椭圆焦点在x轴上，且， 所以椭圆的方程为. （2）（i）证明：由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立， 则， 设，则， 所以， 因为， 所以. 综上，为定值0. （ii）由（i）可得， 所以， 所以 ，当且仅当即时等号成立， 所以面积的最大值为. 地 城 考点05 点共线问题 1．(24-25高二上·四川泸州·期末)已知双曲线的右焦点为，离心率为2，分别为的左，右顶点，A为双曲线上一点，且． (1)求点A的坐标； (2)设点在上． （ⅰ）若点A在第一象限且直线的斜率为－2，求证：直线的斜率之和为定值； （ⅱ）若，过的直线与的两条渐近线分别交于两点，，过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点，若．求证：三点共线． 【答案】(1)点A的坐标为或或或 (2)（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）由题可得双曲线方程，设，由可得 ，然后由点A在双曲线上可得答案； （2）（ⅰ）将直线PQ方程与双曲线方程联立，由韦达定理可得，据此可化简直线的斜率之和，由此可完成证明； （ⅱ）设直线MN方程为，，将直线MN方程与双曲线渐近线方程联立，可得，结合，可得，将直线PG方程代入双曲线方程可得：P的横坐标与Q的横坐标，据此可得，随后可完成证明. 【详解】（1）求双曲线方程及点A的坐标： 已知双曲线右焦点，离心率， 因为在双曲线中（为半焦距），且，所以， 又因为，所以， 则双曲线的方程为； 设，则， 由，可得：，即， 又因为在双曲线上，所以，即， 将代入，得：， 整理，得，解得：， 当时，，即； 当时，，即， 所以点A的坐标为或或或； （2）（ⅰ）证明：直线的斜率之和为定值： 因为点A在第一象限，所以，设直线的方程为， 联立，消去得：， 化简得： 由韦达定理，得：， 直线的斜率，直线的斜率， 则， 因为，代入上式， 得：， 将上式的分子展开，得： ， 整理，得：， 代入， 可得， 即，所以直线的斜率之和为定值； （ⅱ）证明三点共线：双曲线的渐近线方程为， 由题可得直线PQ，MN斜率存在且不为0 设直线MN方程为，设 如图，直线MN与交点为M，与交点为N. 联立，解得：，即， 联立，解得：，即， 则. 由，则 移项并利用平方差公式，可得： . 由题，直线PG斜率为，直线QG斜率为，又， 则， 则，又， 则. 直线PG方程为：， 代入中， 则， 据此可得P的横坐标即， 同理可得Q的横坐标即. 则，. 则. 由，代入，则. 则， 则点G满足直线MN方程，所以G，M，N三点共线. 【点睛】关键点点睛：证明三点共线，通常可利用向量，由向量共线证明三点共线， 也可利用斜率，由两条线段相交且斜率相等完成证明，或类似于本题，利用坐标法完成证明. 2．(24-25高二上·四川眉山洪雅县·期末)已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于A，B两点，点在的准线上，且直线MF的斜率为的面积为1. (1)求抛物线的方程； (2)试问在上是否存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据，结合的坐标即可求解； （2）设的方程为，，联立直线和抛物线方程，将题干斜率条件用坐标表达，结合韦达定理求解； （3）表示出直线AP与BQ的方程，得到交点坐标，结合（2）中的韦达定理求解. 【详解】（1）由题意得，直线方程为：， 令，则，故， 于是，解得（负值舍去）， 故抛物线方程为. （2）设的方程为，，， 由题意得，，即， 可得，通分可得， 联立和抛物线，得到，， 由，代入可得， 整理可得，解得或， 故，满足题意.    （3）由题意，， 则直线，直线 ， 两直线方程相减得到：， 由（2）知，，于是， 即， 即， 即， 于是， 解得， 即直线AP与BQ的交点在一条定直线上    【点睛】关键点睛：解析几何大多数定值问题，会采取设而不求，联立方程后，结合韦达定理整体代入求解，从而简化运算. 地 城 考点06 斜率问题 1．(24-25高二上·四川眉山东坡区眉山育英实验学校·期末)设椭圆的左右焦点分别为，，且过点，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设动直线与坐标轴不垂直，与曲线交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数． ①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标； ②求面积的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析，定点；② 【分析】（1）根据条件建立方程组，直接求出，即可求解； （2）①设直线，联立椭圆方程，得到，由韦达定理得到，，再根据题设可得，即可求解；②将问题转化成，利用①中结果，通过换元得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以，， 所以椭圆方程为. （2）①设直线，由，消得， 设，，所以，， 所以， 因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以， 所以，所以， 即，所以， 因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点． ②由①知，，，且，即， 又 ， 令，则， 所以，当且仅当时取“=”，   所以． 【点睛】 关键点点睛，本题的关键在于（2）中的第②问，利用，从而得到，再令，通过换元得出，再结合基本不等式计算即可得出最值. 2．(24-25高二上·四川仁寿第一中学校南校区·期末)以坐标原点为对称中心，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若点，动点满足，求动点的轨迹所围成的图形的面积； (3)过圆上一点（不在坐标轴上）作椭圆的两条切线.记 的斜率分别为，求证：. 【答案】(1) (2)面积为. (3)证明见解析 【分析】（1）由已知条件列方程组，结合，解出a和b，即可得椭圆的方程； （2）设， 由可得轨迹方程，再求面积即可； （3）过点的直线与椭圆相切，与椭圆方程联立，利用得出的一元二次方程，结合韦达定理化简，进而可求出为定值. 【详解】（1）由题设知椭圆中，得 由得         所以椭圆的方程为； （2）设， 由得 化简得.                                            表示的是以为圆心，为半径的圆，其面积为. （3）设，且 设过点的直线与椭圆相切，联立 化简得             由得         点在直线上，得代入上式 化简得 因为是椭圆的两条切线，所以是上面方程的两根 由韦达定理得.                               由得 所以                                   又 所以. 3．(24-25高二上·四川内江·期末)已知双曲线C：的离心率为2，左、右顶点分别为，过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点. (1)求双曲线C的方程； (2)记直线AP，BP，BQ的斜率分别为，，，求的值； (3)设点，若过P，Q，M三点的圆的圆心恰好在y轴上，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知离心率和顶点求出即可得到方程． （2）设，，再根据直线l与x轴是否重合分类讨论，然后设直线方程，联立方程组，利用韦达定理得到关于和关于参数的关系式，再代入求解即可． （3）因为直线l与双曲线C的右支有两个交点，所以由（2）知，得，求出PQ的长度，再根据若过P，Q，M三点的圆的圆心恰好在y轴上，求解即可． 【详解】（1）因为双曲线C的离心率为2，左、右顶点分别为，， 所以 于是 所以双曲线C的方程为 （2）设，，由1知，点F的坐标为 当直线l与x轴重合时，直线l与双曲线C的右支只有一个交点，不满足题意． 当直线l与x轴不重合时，设直线l：， 由得，故， ， 因为，所以， 因为，， 所以 于是有， 得 （3）因为直线l与双曲线C的右支有两个交点， 所以由（2）知，得. , 且线段PQ的中点坐标为， 所以线段PQ的中垂线所在直线方程为， 于是线段PQ的中垂线交y轴于点， 因为的外心在y轴上，所以的外心为， 外接圆半径，且满足， 即， 得， 令，则 ， 由得，于是， 又，得    【点睛】方法点睛，本题是圆锥曲线综合.在解决直线与圆锥曲线交点问题，一般我们用联立方程组，利用根与系数的关系，得到点的坐标的关系，对代数式进行化简求值即可得到结果. 地 城 考点07 中点弦问题 1．(24-25高二上·四川南充·期末)已知椭圆的左顶点为，上顶点为为坐标原点，的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于两点，的中点坐标为，求直线的方程； (3)如图所示，过点的直线与椭圆交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线交于点．判断点是否为线段的中点，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点为线段的中点，理由见解析 【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可； （2）设，再根据点差法求解即可； （3）方法一：设过点的直线的方程为，联立椭圆方程，得出韦达定理，再证明即可； 方法二：化简可得只需证明：，再设直线的方程为，联立椭圆的方程，构造可得，进而根据韦达定理证明. 【详解】（1）由题可知，得． 所以椭圆的方程为． （2）设，已知RS的中点坐标为，则 所以，所以， 直线的方程为：，即 所以直线的方程为： （3）方法一：点为线段的中点，理由如下：由题知直线的斜率存在，如下图所示： 设过点的直线的方程为，即． 联立，得． 整理得． 由，得． 设， 则 直线的方程为， 令，得点的纵坐标． 直线的方程为， 令，得点的纵坐标． 要证点为线段的中点，只需证明，即 因为 ， 即， 所以点为线段的中点 方法二：要证点为线段的中点，只需证明：． 只需证明： 只需证明：． 设直线的方程为，即． 由得． 整理得 由得 所以 显然，原命题为真． 2．(24-25高二上·四川达州普通高中·期末)已知圆心为的动圆与：外切，与：内切. (1)求的轨迹方程； (2)过点的直线与的轨迹交于，两点，且为线段的中点，求坐标原点关于直线的对称点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据这些关系求出动圆圆心M到两定圆圆心的距离之和为定值，从而根据椭圆的定义确定M的轨迹方程.   （2）利用点差法求出直线AB的斜率，进而得到直线AB的方程，再根据点关于直线对称的性质求出点P的坐标. 【详解】（1）设动圆M的半径为r，的圆心，半径； 的圆心，半径. 圆相内切， 因为动圆M与外切，所以； 动圆M与内切，所以，则. 又. 因为， 根据椭圆的定义，点M的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆. 则，，根据，可得. 所以M的轨迹方程为. （2）设，. 因为A，B在椭圆上，所以. 两式相减得：. 因为N为线段AB的中点，所以，. 则直线AB的斜率. 直线AB的方程为，即. 设点P，则，即. 又中点在直线AB上，所以. 将代入上式得：. 解得，. 所以点P的坐标为. 3．(24-25高二上·四川仁寿县铧强中学·期末)已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与曲线交于两点，且中点为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的定义求解， （2）由点差法得直线斜率后求解， 【详解】（1）由题可知， 则 由椭圆定义知的轨迹是以、为焦点，且长轴长为的椭圆， ∴，∴ ∴的轨迹方程为： （2）设,∵ 都在椭圆上， ∴  ，，相减可得， 又中点为，∴ ， ∴  ，即直线的斜率为， ∴直线的方程为，即, 因为点在椭圆内，所以直线与椭圆相交于两点，满足条件. 故直线的方程为. 地 城 考点08 求直线方程问题 1．(24-25高二上·四川内江第六中学·期末)已知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与该抛物线交于，两点，且． (1)求该抛物线的方程、焦点坐标、准线方程； (2)求所在的直线方程． 【答案】(1)抛物线的方程为，焦点，准线方程为：； (2)或 【分析】（1）根据给定条件求出p值即可求解； （2）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并借助弦长公式求解即得. 【详解】（1） 因点在抛物线方程上，则，所以， 所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为：； （2）显然，直线不垂直y轴，设直线方程为：， 由消去x得：， 设，则有， 因为， 则， 解得，即直线AB：， 所以所在的直线方程：或. 2．(24-25高二上·四川资阳天立学校·期末)椭圆C：过点P（，1）且离心率为，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点． (1)求椭圆C的方程； (2)若面积为3，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，结合韦达定理及，即可求解. 【详解】（1）由已知可得，解得，所以，椭圆的标准方程为. （2）当直线与轴重合时，不符合题意， 设直线的方程为，联立， 可得， ， 设，由韦达定理可得，， 则， 则， 解得， 所以直线的方程为. 3．(24-25高二上·四川凉山州·期末)已知圆锥曲线，左右顶点分别为，过点的直线交曲线于两点（在的左侧）． (1)当离心率时，求的值． (2)当时，是否存在直线使得，若存在，求出直线方程，若不存在说明理由． (3)连接，直线交曲线于另一点，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)或， (2) (3)或或， 【分析】（1）根据离心率的公式，结合焦点的位置即可求解， （2）联立直线与曲线方程得到韦达定理，根据向量垂直的坐标运算可求解或，即可根据斜率公式求解斜率，即可求解直线方程， （3）根据数量积的坐标运算，代入韦达定理，即可求解，根据判别式求解. 【详解】（1）当离心率时，则曲线为椭圆， 当焦点在轴时，此时故，解得， 当焦点在轴时，此时故，解得， 故或， （2）由题意可知：直线有斜率，设直线， 联立与可得， 设，且， 则， ,则， ， 当时，，则， 当时，则， 故，解得或， 由于且，故，（舍去）， 此时或， 故或， 故直线的方程为, （3）由于直线交曲线于两点（在的左侧）， 故直线的斜率一定存在， 联立与可得， 故，且 ,， 故， 故， 即， ， 故， ， 化简可得，由于，故，故， ， 考虑到，故， 故，解得或或， 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 地 城 考点09 圆锥曲线与其他知识结合问题 1．(24-25高二上·四川资中县球溪高级中学·期末)已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．将双曲线上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到曲线．点在上，其横坐标为．再按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与曲线交于另一点，令为关于直线的对称点，记的坐标为． (1)求曲线的方程； (2)求数列的通项公式； (3)求证：． 【答案】(1) (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义得到和坐标的关系，然后代入双曲线方程中，化简即可得到曲线的方程； （2）根据与关于原点对称得到，然后将点代入曲线中，然后结合整理可得，即可得到为等比数列，再利用等比数列的通项公式计算即可； （3）利用斜率公式得到，，然后根据等比数列的性质得到，即可证明平行. 【详解】（1）设双曲线上任意一点，将其绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到点．则即 解得： 又因为．所以， 化简得：， 故曲线的方程为． （2） 将点代入，得 两式相减，得． 所以．又因为． 所以． 又因为，故为首项为，公比为2的等比数列． 所以．进一步可得． （3）因为， ． 又因为在等比数列中，． 所以． 【点睛】方法点睛：求通项的方法： ①公式法：利用等差等比的通项公式计算； ②累加法：； ③累乘法：； ④根据计算； ④构造法：通过构造新数列为等差等比来求通项. 2．(24-25高二上·四川自贡·期末)已知抛物线：（）上横坐标为4的点到焦点的距离为5. (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线C交于两点 ，且（），且为常数，我们把叫做抛物线的弦，若 是弦中点，过作平行于轴的直线交抛物线于点，得到，求证：的面积为定值； (3)在（2）的条件下，再分别过弦、的中点作平行于轴的直线依次交抛物线于点、 ，得到和 ，按此方法继续下去，若设 …,是第次操作时得到的个三角形面积的和，记 试比较与 大小并说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) ，理由见解析 【分析】（1）根据抛物线的定义求，可得抛物线方程. （2）分和两种情况，求的面积，进行判断即可. （3）归纳数列的通项公式，利用等比数列求和公式求和即可. 【详解】（1）依题意得 ，解得.所以抛物线方程为 （2）如图： 若 ，即直线 AB 垂直于x 轴，不妨设 由 又由抛物线对称性可得 又 得 故 若 设直线 AB 方程： 由方程组消去x得 依题意可知， 由已知得 由 得 即 整理得 所以 AB中点 所以点 依题意知 又因为方程（*）上判别式 得 所以 又 所以 又a为常数，故 的面积为定值. （3）依题意得 故 【点睛】关键点点睛：第二问中，一定要分和两种情况讨论. 3．(24-25高二上·四川达州普通高中·期末)2000多年前，古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线.用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的截口曲线是圆；当圆锥的轴与截面所成的角不同时，还可以截得截口曲线为椭圆、双曲线、抛物线；数学家Germinal Dandelin用双球模型进行了证明，并得出如下结论：当圆锥轴截面的顶角为，截面与圆锥的轴所成角为时，则截口曲线的离心率，当截面为椭圆且垂直于轴截面时，截面与轴截面相交所得线段为长轴.（轴截面是过圆锥的轴的平面与圆锥截得的等腰三角形）已知母线长为6的圆锥，轴截面为等边三角形，.   (1)当过的截面截圆锥得到截口曲线是圆时，求圆锥的底面与截面圆之间的部分的体积； (2)过的平面截圆锥得到一个椭圆，截面与交于点，与交于点，为椭圆上一点，与垂直且与圆锥底面平行，. ①判断是否为椭圆的长轴，并说明理由； ②判断是否为椭圆的焦点，并说明理由. 【答案】(1) (2)①是椭圆的长轴；②不是椭圆的焦点； 【分析】（1）依题意求得圆锥的体积以及上半部分小圆锥的体积，相减可求得结果； （2）①利用线面垂直性质以及面面垂直判定定理可证明截面与轴截面垂直，可得结论； ②根据三角形形似以及余弦定理计算可得，再根据右顶点到右焦点的距离即可判断不是椭圆的焦点. 【详解】（1）由母线长为6的圆锥，轴截面为等边三角形可知， 圆锥的底面圆半径为，其高为， 所以圆锥的体积为， 又，所以当过的截面截圆锥得到截口曲线是圆时， 截面圆半径为，高为； 所以上部分小圆锥体积为； 因此圆锥的底面与截面圆之间的部分的体积. （2）①连接并延长交底面于点，如下图所示：    又因为与垂直且与圆锥底面平行， 又平面，平面平面，所以； 因为，所以； 又，，即平面； 因为平面， 所以平面平面，即截面垂直于轴截面， 根据定义：当截面为椭圆且垂直于轴截面时，截面与轴截面相交所得线段为长轴， 因此是椭圆的长轴； ②易知，所以， 易知圆锥轴截面的顶角为，在中，由余弦定理可得： ； 此时满足，即，且； 则椭圆离心率为； 又因为，即，所以； 易知点距离椭圆右顶点较近，设椭圆右焦点为， 则，而， 因此点不是椭圆的焦点. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解圆锥曲线在立体几何中的图形由来，结合椭圆性质以及圆锥几何体的关系，再根据题目信息所提供的定义可判断得出结论. 4．(24-25高二上·四川成都·期末)在直角坐标系中，椭圆的离心率是，点在上，直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)将平面沿轴翻折，使轴正半轴和轴所确定的半平面与轴负半轴和轴所确定的半平面所成二面角的平面角为，且． ①当时，求翻折后三棱锥的体积； ②求翻折后周长的最大值． 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）根据离心率和得，在椭圆上代入解得的值，直接写出椭圆方程； （2）①当时联立方程组解得的坐标，求得的面积，翻折后，建立空间直角坐标系，得，求点到平面的距离即可求得三棱锥的体积； ②翻折前，设，则翻折后，，，联立方程组得韦达定理代入即可得和的最大值，即可得解. 【详解】（1）由题知，，，所以． 又因为在椭圆上，所以． 所以．故椭圆的标准方程为． （2）①翻折前，当时，由，得，即． 由于，故的面积为． 翻折后，建立空间直角坐标系， 则，由得， 故点到平面的距离为． 故三棱锥的体积． ②翻折前，设，由，得，不妨设， 则翻折后，， ． 由消去得． 故恒成立． 故 ，当时取得最大值． 又因为 ，当时取得最大值． 所以翻折后的周长的最大值为， 当时取得最大值． 5．(24-25高二上·四川内江第六中学·期末)在平面直角坐标系中，点，，若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面（如图所示），则称此时点，在空间中的距离为“点，关于轴的折叠空间距离”，记为.   (1)若点，，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，，求，的值； (2)若点，在平面直角坐标系中的坐标分别为，，已知点满足，求点在平面直角坐标系中的轨迹方程； (3)若在平面直角坐标系中，点是椭圆上的点，过点的两条直线，分别交椭圆于，两点，其斜率满足. 证明：当时，为定值，并求出该定值. 【答案】(1)； (2)或 (3)定值为，证明见解析. 【分析】（1）求得在空间中的坐标，，利用定义求解即可； （2）分点在轴的上半平面，点在轴的下半平面两种情况计算可求得结论； （3）分直线与轴垂直与直线不与轴垂直两种情况讨论求解. 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，则点在空间中的坐标分别为，，， ∴； .    （2）由题意可知，点在空间中的坐标为，对点分类讨论， ①当点在轴的上半平面，即时，点在空间中的坐标为， ∴，化简得：， 因此，在平面直角坐标中，点在轴的上半平面的轨迹为以为圆心，以1为半径的半圆. ②点在轴的下半平面，即时，点在空间中的坐标为， 化简得：， ∴点的轨迹方程为：或 （3） ①    当直线与轴垂直时，显然不成立； ②    当直线不与轴垂直时，设直线的方程为：，， 联立方程， ， ∵，∴ 代入韦达定理可得：，即 解得或， 当时， 直线经过点,故舍去 ∴，则，且， 当时, 由得 当过点，；当过点，. ∴点在轴的上半平面，点在轴的下半平面， 点在空间中的坐标分别为， 为定值 【点睛】思路点睛：对空间折叠距离的理解，求得折叠后的点的坐标是关键，平面解析几何的方程思想的应用. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题05圆锥曲线解答题汇总 ☆9大高频考点概览 考点01弦长问题 考点02面积问题 考点03定点问题 考点04定值问题 考点05点共线问题 考点06斜率问题 考点07中点弦问题 考点08求直线问题 考点09圆锥曲线与其他知识结合问题 目 考点01 弦长问题 1.2425高=上四川系山音通高中期末已知F,F,是双曲线C:兰-兰=1a>0,b>0)的左右焦点， 2 且两顶点间的距离是4，虚轴长是实轴长的 (1)求双曲线C的离心率； (2)直线y=kx(k≠0)与双曲线交于A,B两点，若四边形AF1BF2的面积为2V5,求AB. 2.24,25高上四自责期表已知稍圆C:各+片三L,（a>b>0),长轴长为4，离率为，3 2 (1)求椭圆C的方程； (2)过点P 11 3 2’2 倾斜角为π的直线与椭圆C相交于M、N,求MN, 3.(24-25高二上·四川达州普通高中，期末)已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标5,0，且离心率 e= 3 (1)求双曲线的标准方程和渐近线方程： (②过双曲线右焦点且领斜角为好的直线与双自线交于A、B两点，求AL 女家天收别肥双线二客多a>0b>0的看P40一 1/11 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 右顶点为A,直线l:X=1与x轴交于点M,且aAM=AF. (1)求C的方程： (2)点B为l上不同于点M的动点，直线BF交y轴于点R,过B作C的两条切线，分别交y轴于P,Q两点， 交x轴于S,T两点. ①证明：R是PQ的中点： SMSF ②证明： TM TF 目目 考点02 面积问题 1.(24-25高二上四川内江·期末)设抛物线C:y=4x的焦点为F,过F的直线1与抛物线C交于A、B两 点 (1)求F的坐标和抛物线C的准线方程 (2)设M(t,2)在抛物线C的准线上，若MF⊥L,求△MAB的面积. 2.(24-25高二上·四川泸州期末)已知曲线T上的点M到直线x+2=0的距离比到点F1,0的距离多1. ()求曲线Γ的方程： 2)设点Nm,2在曲线T上，过点N的直线与曲线r相切，且与椭圆C:X+少-1相交于P、Q两点，求 43 △OPQ(其中O为坐标原点)的面积. 3.(24-25高二上四川成都期末)己知A,B两点的坐标分别是2,1，-2,1，直线AD,BD相交于点D,且 直线AD的斜率与直线BD的斜率之差是1，记动点D的轨迹为C (1)求C的方程： (2)已知过点F0,1)的直线l1与C相交于M,N两点，过M,N分别作直线l2:y=-1的垂线，垂足为P,Q,R 为PQ的中点， ①证明：MR/UFQ: ②设直线FQ与NR交于点K,记△KMR,△NPQ的面积分别为S1,S2,当S,S,=32时，求直线l1的方程. 82425高上四川路期表巴知过点P1,0的直线与椭圆C:名+三10>6>0)交于不间的扇 点M,N,椭圆C的离心率e= 3 2 且当l⊥x轴时，MN=V3. (1)求椭圆C的方程： 2若PMPN= ， 求直线的方程： 2/11 函学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 3)设椭圆c的左，右顶点分别为4，B点Q为椭圆C,:X+y=1上任意一点，且直线Q4'QB分别 2a22b2 交椭圆C于S,T两点，求△OST面积的最大值. 5.24:25高=上四川眉山中学校制未已知椭圆C:寸+兰=1a>b>0,复轴长为23，且经过威 a b2 3-2 过左焦点F的直线交C于A,B两点，过点F与l垂直的直线交C于D,E两点，其中B,D在x轴上方，MN 分别为AB,DE的中点. (1)求椭圆C的标准方程： (2)证明：直线MN过定点，并求定点坐标： (3)设G为直线AE与直线BD的交点，求△GMN面积的最小值. 目目 考点03 定点问题 1.24-25高二上·四川南充·期末)已知在直角坐标系xOy中，动点P到点F1,0的距离和它到直线x=-1的 距离相等， (1)求动点P的轨迹方程W: (2)过点M2,0的直线与W交于A,B两点，连接AF,BF延长与W分别交于C,D两点， ①求△FAB面积的最小值： ②求证：直线CD恒过定点. 2.2425高=上四川宜宾期未已知描服E:兰+=1(Q>b0)的左右焦点分别为F,人，稀圆的离心 a2 b2 2 率为 ，过F2的直线1交椭圆于A,B两点，△ABF,的周长为42. ()求椭圆E的标准方程； (2)过点F,垂直于AB的直线交椭圆于C,D两点，其中B,D在x轴的上方，设弦AB,CD的中点分别为 M,N. 3/11 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 ①求四边形ACBD面积的最小值； ②判断直线MN是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由. 3.(24-25高二上·四川眉山期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,第一象限内的一点P4,yo 在抛物线C上，且PF=5. (1)求抛物线C的方程； (2)直线PF与抛物线C的另一个交点为Q,求△OPQ的面积（其中O为坐标原点）； (③)斜率分别为冰，k,的两条直线都经过点P,且与抛物线C的另一个交点分别为A,B,若kk,=手求证： 直线AB过定点. 4.24-25商三上四川资阳天立学校期未已知椭圆C:号+=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F,、F2, 4b2 设点A(0,b),在△AF,F2中，∠E,AF,=2 3 (1)求椭圆C的方程： (2)设P,Q为C上异于点A的两动点，记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,若k1+k2=2k1k2,求证：直 线PQ过定点. 5.(2324高=上四川宜宾普通商中)已知双曲线E:兰-兰=10>0，b>0的渐近线方程为y=±53X a2 b2 点2,3在E上. (1)求E的方程. (2)设B是双曲线E的左顶点，过点2,0的直线与E的右支交于P、Q两点，直线BP,BQ分别与直线X= 交于M、N两点.试探究：是否存在定点T,使得以MN为直径的圆过点T？若存在求点T的坐标；若不存 在，请说明理由. 目目 考点04 定值问题 1.(24-25高二上·四川乐山普通高中期末)动点P(x,y)与定点F(-1,0)的距离和P到定直线：x=-2的距 2 离的比是常数2 (1)求动点P的轨迹方程E: 4/11 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (2)过F作斜率不为0的直线1与E交于A,B两点， ①过原点O作的平行线与E交于Q点，证明：飞AFV.V BFV,i i0Q元2 为定值： ②设点G(1,0),直线AG与E交于点C,BG与CF交于点D,求点D的纵坐标的最大值 2.(24-25高二上·四川资中县球溪高级中学期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知Mx,yo是椭圆 之+y=1上的一点从原点0向羽Mx-X+y-y=子作两条切线分别交C手P,Q丙点 C (1)若M点在第二象限，且OP·OO=0,求OM和圆M的方程： (2)若直线OP,OQ的斜率存在，并分别记为k1,k2,求证：k1·k2为定值. + 3.(24-25高二上：四川成都简阳实验学校（成都石室阳安学校）·期末)已知精圆C: Fa+6=1(a>b>0)的 右顶点为A3,0,离心率为 3,过点P3,2的直线I与C交于M,N两点. (1)求椭圆的方程； 1+1 ②)若C的上顶点为B,直线BM,BN的斜率分别为水，k,求证：K+K为定值 4.(24-25高二上四川眉山洪雅县·期末)已知椭圆C的两个焦点F1(-2,0),F2（2,0),过F1点且与坐标轴 不平行的直线1与椭圆C相交于M,N两点，△MNF2的周长等于16. (1)求椭圆C的标准方程： (2)若过点P(一8,0)的直线与椭圆C交于两点A,B,设直线AF1,BF的斜率分别为k1,k2 (i)求证：k1+k2为定值； (ii)求△ABF,面积的最大值. 目目 考点05 点共线问题 5/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 1.(24-25高二上·四川泸州期末)已知双曲线C: x2 y2 a b2 =1a>0,b>0的右焦点为F4,0,离心率为2， A1,A2分别为C的左，右顶点，A为双曲线上一点，且AA,·AA)=48. (I)求点A的坐标： (2)设点Px1,y1,Qx2,y2在C上 (i)若点A在第一象限且直线PQ的斜率为一2，求证：直线AP,AQ的斜率之和为定值： (i)若x1>x2>0,y1>0,过F的直线与C的两条渐近线分别交于M,N两点，PQ/iMN,过P且斜率为 -3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点G,若GM=GN.求证：G,M,N三点共线， 2.(24-25高二上·四川眉山洪雅县·期末)已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，过焦 点F作一条直线交C于A,B两点，点M在C的准线l上，且直线MF的斜率为-1，△OFM的面积为1. (1)求抛物线C的方程； (2)试问在I上是否存在定点N,使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由： (3)过焦点F且与x轴垂直的直线L1与抛物线C交于P,Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上. 目目 考点06 斜率问题 1.24-25高二上四川眉山东坡区眉山育英实验学校，期术设椭圆E:+士=1(a>b>0)的左右焦点分别 a b2 为F,F2,且过点 6 肉心率为号 (1)求椭圆的方程； (2)设动直线与坐标轴不垂直，1与曲线E交于不同的M,N两点，且直线F,M和F,N的斜率互为相反数. ①证明：动直线恒过x轴上的某个定点，并求出该定点的坐标； ②求△OMN面积的最大值。 2.(24-25高二上·四川仁寿第一中学校南校区·期末)以坐标原点为对称中心，焦点在x轴上的椭圆Γ过点 A-2,0,且离心率为 6/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 ()求椭圆T的方程； (2)若点B1,0,动点M满足MA=2MB,求动点M的轨迹所围成的图形的面积； (3)过圆x2+y2=4上一点P(不在坐标轴上)作椭圆T的两条切线l1、12.记OP、11、12的斜率分别为 k0、k1、k2,求证：kgk1+k2=-2. 3.2425高二上四川内江期末已知双曲线C:士-兰=1(a>0,b>0)的离心率为2，左、右顶点分别 a2 b2 为A-2,0,B2,0.过右焦点F的直线1与双曲线C的右支交于P,Q两点. (1)求双曲线C的方程： (2)记直线AP,BP,BQ的斜率分别为k1,k2,k3,求k2k1+k3的值： (3)设点Mt,0(t<0),若过P,Q,M三点的圆的圆心恰好在y轴上，求实数t的取值范围. 考点07 中点弦问题 e5有=上国传在未E加兰片=1a>b0发孩A上8a1O方 标原点，△AOB的面积为 2 2 (1)求椭圆E的方程： (2)若直线交椭圆E于R,S两点，RS的中点坐标为T 求直线的方程： (3)如图所示，过点P-V2,1的直线与椭圆E交于不同的两点C,D,过点C作x轴的垂线分别与直线 AD,AB交于点M,N.判断点N是否为线段CM的中点，说明理由. 2.2425高二上四川达州普通高中期未已知圆心为M的动圆与0C,:X+y-4P=1外切，与。C, 7/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 X2+y+42=81内切. (1)求M的轨迹方程： (2)过点N 35 2’2 的直线与M的轨迹交于A,B两点，且N为线段AB的中点，求坐标原点O关于直线AB的 对称点P的坐标 3.(24-25高二上·四川仁寿县铧强中学期末)已知点F-1,0,圆F2:x-12+y2=16,点Q在圆F2上运 动，QF1的垂直平分线交QF2于点P (1I)求动点P的轨迹C的方程： (2)直线l与曲线C交于M、N两点，且MN中点为1,1，求直线I的方程， 考点08 求直线方程问题 1.(24-25高二上四川内江第六中学期末)已知过点2,2V2的抛物线方程为y2=2pxp>0,过此抛物线 的焦点的直线与该抛物线交于A,B两点，且AB=12 (1)求该抛物线的方程、焦点坐标、准线方程： (2)求AB所在的直线方程. 2.(24-25高二上·四川资阳天立学校期末)椭圆C: 6 +1a≥b>0过点P3,1)且璃心率为 3 F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M,N两点，定点A(一4,0) (1)求椭圆C的方程： (2)若△AMN面积为33，求直线MN的方程. 3.2425高二上四川凉山州期末)已知圆锥曲线C:X+少=1，左右顶点分别为A,A,过点M-2,0 的直线交曲线C于P,Q两点(P在Q的左侧). )当离心率=2时，求的值。 (2)当入=4时，是否存在直线I使得PM⊥PA2,若存在，求出1直线方程，若不存在说明理由. (3)连接OQ,直线OQ交曲线C于另一点R,AR·A2P=-9恒成立，求入的取值范围. 考点09 圆锥曲线与其他知识结合问题 8/11 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 1.(24-25高二上·四川资中县球溪高级中学期末)已知对任意平面向量AB=x,y,把AB绕其起点沿逆时 针方向旋转0角得到向量AP=xcos日-ysin0,xsin0+ycos0,叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角 得到点P.将双曲线C:号号=1止的每点绕华标原点0沿送时针方向旋转好后得到曲线C。点P,在C 22 上，其横坐标为2 再按照如下方式依次构造点Pnn=2,3,…:过Pn-1作斜率为-2的直线与曲线C交 于另一点Qn-1,令Pn为Qn-1关于直线y=x的对称点，记Pn的坐标为xn,ym: (1)求曲线C的方程： (2)求数列xn,yn的通项公式： (3)求证：PnPn+3Pn1Pnt2: 2.(24-25高二上·四川自贡·期末)已知抛物线C:y=2px(p>0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5. (1)求抛物线C的方程： (2)设直线x=y+n与抛物线C交于两点Ax1,y1,Bx2,y2且y1-y2=a(a>0)，且a为常数，我们 把AB叫做抛物线C的弦，若M是弦AB中点，过M作平行于x轴的直线交抛物线C于点D,得到△ABD, 求证：△ABD的面积为定值： (3)在(2)的条件下，再分别过弦AD、BD的中点作平行于x轴的直线依次交抛物线C于点E、F,得到 △ADE和△BDF，按此方法继续下去，若设Q1=SAABD,a2=SAADE+SABDF,…,Qm是第n次操作时得 到的2”1个三角形面积的和，记S,=Q,+0,++a,试比较S与9大小并说明理由。 241 3.(24-25高二上·四川达州普通高中，期末)2000多年前，古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的 方法来研究圆锥曲线.用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的截口曲线是圆；当圆锥的轴与截面所成的 9/11 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 角不同时，还可以截得截口曲线为椭圆、双曲线、抛物线；数学家Germinal Dandelin用双球模型进行了证 明，并得出如下结论：当圆锥轴截面的顶角为2Q,截面与圆锥的轴所成角为β时，则截口曲线的离心率 e=Cos B 当截面为椭圆且垂直于轴截面时，截面与轴截面相交所得线段为长轴.（轴截面是过圆锥的轴的 cosa 平面与圆锥截得的等腰三角形)已知母线长为6的圆锥S0,轴截面SAB为等边三角形，SM=1范 (1)当过M的截面截圆锥得到截口曲线是圆时，求圆锥SO的底面与截面圆之间的部分的体积： (2)过M的平面截圆锥得到一个椭圆E,截面与SO交于点Q,与SA交于点N,R为椭圆E上一点，RQ与 AB垂直且与圆锥底面平行，RQ=4./ ①判断MN是否为椭圆的长轴，并说明理由： ②判断Q是否为椭圆的焦点，并说明理由， B 4.2425商=上：四川成都期末在直角坐标系x0y中，椭圆C:兰+兰=1l0>b>0的离心率是 ,点 33 A 2’-2 在C上，直线l:y=x+m(-1<m<1)与椭圆C相交于M,N两点，与x轴相交于点K. (1)求椭圆C的标准方程； (2)将平面xOy沿x轴翻折，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面与y轴负半轴和x轴所确定的半平面所成二 面角的平面角为0.，且0<0≤乃 ①当9=牙，m=0时，求超折后三枝锥A-OMN的体积： 10/11