第26章 二次函数（复习讲义）数学华东师大版九年级下册

该初中数学二次函数复习讲义以表格对比、框架梳理等工具系统构建知识体系，涵盖定义、图象性质、平移、表达式及与一元二次方程关系等核心内容，通过几何直观呈现开口方向、对称轴等性质，突出重难点内在联系，培养抽象能力与空间观念。 讲义亮点在于17类分层题型设计，从基础概念辨析到综合应用，如利用篱笆围花圃的实际问题培养模型意识，特殊三角形存在性问题发展推理能力。例题配变式练习，基础题巩固知识，提升题拓展思维，助力教师精准教学与学生自主复习。

第26章 二次函数（复习讲义） 1.理解掌握二次函数的定义和一般形式. 2. 掌握二次函数的基本性质，学会如何画出二次函数的图象，并能够找出它的对称轴和顶点坐标，通过图象研究和理解二次函数的性质，包括开口方向、增减性等. 3.理解二次函数与一元二次方程的关系，能够结合图象，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，并能够利用这种联系解决实际问题. 4.应用二次函数解决实际问题能够运用二次函数的对称性解决一些复杂的数学问题，如分析函数值的大小以及求线段和差最值的问题. ●一、二次函数的定义及一般形式 1、二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 2、二次函数的结构特征 （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. （2）a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． （3）二次项系数不为0. 3、二次函数的一般形式 y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 【注意】必须化为一般式，才可确定a、b、c，二次项的系数a≠0，b、c没有条件限制. 4、二次函数的取值范围 一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． ●二、二次函数的图象与性质 二次函数 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 在对称轴左边，x↗ y↘在对称轴右边，x↗ y↗ 在对称轴左边，x↗ y↗在对称轴右边，x↗ y↘ ●三、 二次函数图象的平移 ●四、二次函数的表达式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法. 交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0，其中x1，x2还图象与x轴的两个交点的横坐标）； ●五、二次函数与一元二次方程的关系 1、 当二次函数 y＝ax2+bx+c的图象和 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y = 0 时自变量 x 的值，即一元二次方程 ax2+bx+c= 0 的根. 2、二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根 两个不相等的实数根x1，x2 两个相等实数根x1=x2＝- 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 3、二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 a＞0 a＜0 有两个交点x1,x2 （x1＜x2）  y＜0，x1＜x＜x2. y＞0，x2＜x或x＜x1 . y＞0，x1＜x＜x2. y＜0，x2＜x或x＜x1. 有一个交点x0 y＞0，x0 之外的所有实数；y＜0，无解 y＜0，x0 之外的所有实数；y＞0，无解 没有交点 y＞0，所有实数； y＜0，无解 y＜0，所有实数； y＞0，无解 ●六、二次函数的应用 1、二次函数的应用包括以下两个方面： (1) 用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题 (即最值问题)； (2) 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． 2、一般步骤： (1) 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系； (2) 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围； (3) 利用二次函数的图象及性质解决实际问题； (4) 检验结果的合理性，是否符合实际意义； (5) 作答. 题型一 二次函数的概念 【例1】（24-25九年级上·河南濮阳·期中）下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·广东江门·期中）下列函数中，不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）下列函数中，是二次函数的有（   ） ①；②；③；④．⑤ A．个 B．个 C．个 D．个 题型二 由二次函数的定义求字母的值 【例2】（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）若函数是关于的二次函数．则常数的值是（    ） A．1 B． C．2 D．2或 【变式2-1】（2025九年级下·贵州广西·专题练习）若是二次函数，则的值是 ． 【变式2-2】（24-25九年级上·重庆合川·期中）若是关于的二次函数，则的值为 ． 题型三 二次函数的性质 【例3】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于两点，则下列说法正确的是（   ） A． B．点的坐标为 C．函数的最小值为 D．当时，随的增大而减小 【变式3-1】（2025·四川成都·模拟预测）关于x的二次函数，下列说法错误的是（   ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 【变式3-2】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知二次函数（为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 24 8 0 3 15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象不经过第四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图像的对称轴是直线 题型四 二次函数的图象共存问题 【例4】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A．B．C．D． 【变式4-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【变式4-2】（2025·湖南长沙·三模）已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． 题型五 利用二次函数的性质比较函数值的大小 【例5】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数也在此二次函数图像上，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25九年级上·广东惠州·期中）已知抛物线上的两点，，如果，那么下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·四川广元·三模）已知二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，在抛物线上，则 （填“”“”或“”）． 题型六 待定系数法求二次函数的解析式 【例6】若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为（　　） A．y＝x2+4x﹣3 B．y＝﹣x2+4x﹣3 C．y＝﹣x2﹣4x﹣3 D．y＝﹣x2+4x+3 【变式6-1】（24-25八年级下·上海·期末）已知一抛物线的形状与的形状相同，对称轴为，且与x轴的两交点之间的距离为2，则此抛物线的解析式是 ． 【变式6-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知二次函数的与的部分对应值如表： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 0 ．．． (1)求这个二次函数表达式； (2)判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 题型七 二次函数与一元二次方程 【例7】已知抛物线与坐标轴有三个交点，则k的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 【变式7-1】（2024•崂山区一模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴方程为x＝﹣1，图象与x轴相交于点（1，0），则方程cx2+bx+a＝0的根为（　　） A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2 D．x1＝﹣1，x2 【变式7-2】（2024•犍为县模拟）若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　） A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 题型八 二次函数与不等式 【例8】（2024•郸城县三模）如图，一次函数y＝x+a和二次函数y＝x2+bx的图象交于点A（﹣3，0）和点B，则x+a＞x2+bx的解集是（　　） A．x＞1 B．x＞1或x＜﹣3 C．﹣3＜x D．﹣3＜x＜1 【变式8-1】（2024春·湖北黄石·九年级黄石市有色中学校考开学考试）如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（    ） A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．的解是或 【变式8-2】（2024春•鼓楼区校级期末）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3 题型九 二次函数的多结论问题 【例9】（24-25九年级上·全国·期中）如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 【变式9-1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④；⑤若点和点都在抛物线上，则．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式9-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③方程的两根和为1；④若，则，⑤点，在抛物线上，且当时，；其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十 二次函数的性质求最值 【例13】（2025·浙江宁波·模拟预测）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．12 D． 【变式10-1】（2025·江苏苏州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（其中m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（    ） A．最大值4 B．最大值7 C．最小值4 D．最小值7 【变式10-2】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（    ） A．或5 B．或5 C．或7 D．或7 题型十一 二次函数的平移 【例11】（2025·山西吕梁·三模）将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知二次函数的图象过点，图象向左平移2个单位后的对称轴是y轴，向下平移1个单位后与x轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 ． 题型十二 由实际问题列二次函数的解析式 【例12】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25九年级上·广东江门·期中）两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2024春·山东青岛·九年级统考期末）如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是_________________． 题型十三 二次函数的实际应用 【例13】（2024秋•抚松县期末）如图，现有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为9m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD．设AB的长为x米． （1）若要围成面积为36m2的花圃，则AB的长为多少米？ （2）当AB的长为多少米时，长方形花圃ABCD的面积最大？最大面积为多少？ 【变式13-1】（23-24九年级上·辽宁大连·期中）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时（所示），桥下水面宽度为，拱顶距水面． (1)在如图所示的直角坐标系中，求该抛物线的解析式； (2)突遇暴雨，当水面上涨时（所示），水面宽度减少了多少？ (3)雨势还在继续，一满载防汛物资的货船欲通过此桥，已知该船满载货物时浮在水面部分的横截面可近似看成是宽，高的矩形．那么当水位又上涨了m时，此船是否可以通过，说明理由． 【变式13-2】（2024春·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）2022年卡塔尔世界杯足球赛开战，很多商家都紧紧把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量（个）与销售单价（元）满足如图所示的一次函数关系． (1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？ (3)当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 题型十四 二次函数与新定义问题 【例14】（2024春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（2024春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（    ） A． B． C．1 D．﹣1 【变式14-2】（2024春·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）． (1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值； (2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围． 题型十五 二次函数与线段、周长、面积问题 【例15】（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，抛物线过，两点，直线交抛物线于点，点的横坐标为，是线段上的动点． (1)求直线及抛物线的解析式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段的长度l与m的关系式，m为何值时，最长？ 【变式15-1】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． (3)点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． 【变式15-2】（25-26九年级上·湖北·期中）如图1，二次函数．的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点G，与交于点H，点P为对称轴l上一动点，其纵坐标设为m． ①若动点P在线段上(点P不与点G，H重合)，轴与交于点D，轴与抛物线交于点E，轴与直线l交于点F．求四边形周长的最大值； ②若点A绕点P旋转后的对应点恰好在抛物线上，求m的值． 题型十六 二次函数与特殊三角形的存在性问题 【例16】如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点Q．    (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式16-1】（2024春·辽宁盘锦·九年级校考期中）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一个点，对称轴与直线交于点，抛物线顶点为．    (1)求抛物线的解析式； (2)在第三象限内，为抛物线上一点，以、、为顶点的三角形面积为3，求点的横坐标； (3)点是对称轴上的一动点，是否存在某一点使、、为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；不存在，说明理由． 【变式16-2】（2024•黔东南州一模）抛物线y＝ax2+bx经过点（1，﹣1），现将一块等腰直角三角板ABC（∠ACB＝90°）按照如图的方式放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A、C坐标分别为（0，2）、（﹣1，0）．B点在抛物线y＝ax2+bx图象上． （1）求点B的坐标： （2）求抛物的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 题型十七 二次函数与特殊四边形的存在性问题 【例17】（2024春·山东东营·九年级校考期末）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为线段上的一动点（不与B、C重合），轴，且交抛物线于点M，交x轴于点N，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点E，使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式17-1】（2025·湖北·二模）如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【变式17-2】（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点D，过点P作于点E，过点E作轴于点F，求出的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十八 二次函数与角度问题 【例18】（23-24九年级下·上海·阶段练习）抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点为顶点． (1)求点及点的坐标． (2)连接，，抛物线的对称轴与轴交于点． 若线段上一点，使，求点的坐标． 若第一象限抛物线上一点，作，交直线于点，使，求点的坐标． 【变式18-1】（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）如图，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，是抛物线上的一点，连接． (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)求的面积； (3)在第一象限内的抛物线上是否存在点P，使，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式18-2】（2024春·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，连接，若平分，求点P的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十九 二次函数与相似三角形存在性问题 【例19】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)点在轴上，直线将的面积分成两部分，请求出点的坐标； (3)如图，作轴于点，点是上方的抛物线上一点，是上一点，是否存在点使得与相似？若存在，请直接写出坐标；若不存在，请说明理由． 【变式19-1】（2025·海南·三模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点，直线交轴于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是第三象限内抛物线上的一个动点，作轴交于点． ①求线段的最大值及此时点的坐标； ②是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式19-2】（25-26九年级上·上海·期中）已知：如图，抛物线的图像开口向上，与轴交于点、（在的左边），与轴交于点，顶点为，，且. (1)求抛物线的对称轴和函数解析式； (2)把抛物线的图像先向左平移3个单位，再向下平移个单位得到抛物线，记顶点为，并与轴的交于点，求抛物线的函数解析式； (3)在（2）的基础上，点是轴上一点，当与相似时，求点的坐标. 题型二十 二次函数与其它问题 【例20】（25-26九年级上·湖北黄石·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，该抛物线的顶点为，点为该抛物线上一动点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点在线段上方抛物线上运动，点，连接，，若，求的值． (3)①当该抛物线在点与点之间（包含点与点）的部分最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求的取值范围，并写出这个定值； ②当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，，当时，直接写出的取值范围或者的值． 【变式20-1】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，顶点为，点，连接，，，求证：； (3)当时，的取值范围是，且，求的值； (4)已知直线，且与抛物线交于，两点（点在点的左侧）．当直线在直线下方运动时，作直线与直线交于点，在直线运动的过程中，点的横坐标是否是一个定值，若是，请直接写出点的横坐标；若不是，请说明理由． 【变式20-2】（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）交轴于点，交轴于点，点坐标为，点为抛物线的顶点，点为抛物线上一动点，且点的横坐标为． (1)求该抛物线的表达式及点D的坐标． (2)当点E在抛物线对称轴的右侧时，连接．若，求m的值． (3)以点E为中心，构造正方形，且位于y轴上（点M在点N的下方）． ①设正方形的面积为S，求S与m之间的函数表达式； ②当点E在抛物线对称轴的左侧，且抛物线与正方形的边只有2个交点时，直接写出S的取值范围． 基础巩固通关测 1．（24-25九年级上·四川泸州·期末）关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，，1 C．，4，1 D．，4， 2．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知是二次函数，且函数图象有最高点，求的值（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东江门·期中）点；点，点都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）关于抛物线，给出下列说法， 其中正确的说法有（   ） ①抛物线开口向下，顶点是原点；②当时，y随x的增大而减小；③当时，；④若是该抛物线上两点，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于轴对称，且它们的顶点相距4个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为，则的值是（    ） A．或 B．1 C． D．或 7．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知直线交抛物线于点，交抛物线于点，下列结论：①若，则，②若，则，③若，则，④若，则；其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为6，则最后输出函数y的值为 　 　 ． 9．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，已知二次函数 的图象如图所示，则这个二次函数的关系式为 ． 10．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 11．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）二次函数（a为常数）的图象不经过第三象限，当时，y的最大值为，则a的值是 ． 12．（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 能力提升进阶练 13．（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A与原点重合，点B在x轴的正半轴上，点D在y轴的正半轴上，抛物线经过点、． (1)求抛物线的对称轴及点D的坐标； (2)请证明：该抛物线一定经过点； (3)若，将抛物线向右平移m个单位后，使得新抛物线恰好经过点C，求m的值和新抛物线的解析式． 14．（2024•横山区二模）某校为举办毕业典礼，搭建了一个近似于抛物线形的毕业拱门，如图1所示．图2为该拱门的示意图，OA是垂直于水平地面的柱子，拱门的另一端在水平地面上的点B处，拱门到水平地面的高度y（m）与到柱子OA的水平距离x（m）满足函数关系式y＝ax2+x+c（a，c为常数，a≠0），已知OA＝3m，OB＝6m． （1）请求出图2中抛物线的函数表达式； （2）从柱子OA上的点C处拉一条横幅到拱门的点D处，CD∥OB，若CD＝4AC，小华的身高是1.65m，请问拉上横幅后小华不弯腰是否能通过该拱门？ 15．（2024春·山西晋城·九年级校考期末）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点Q．    (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 16．（25-26九年级上·福建莆田·期中）如图1，抛物线过点，点，与y轴交于点C．M是抛物线上任意一点． (1)求抛物线的解析式、直接写出直线解析式． (2)如图1，设M的横坐标为m（），连接，交于点D，连接，设的面积为，的面积为，求的最大值． (3)当时，求点M的坐标 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章 二次函数（复习讲义） 1.理解掌握二次函数的定义和一般形式. 2. 掌握二次函数的基本性质，学会如何画出二次函数的图象，并能够找出它的对称轴和顶点坐标，通过图象研究和理解二次函数的性质，包括开口方向、增减性等. 3.理解二次函数与一元二次方程的关系，能够结合图象，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，并能够利用这种联系解决实际问题. 4.应用二次函数解决实际问题能够运用二次函数的对称性解决一些复杂的数学问题，如分析函数值的大小以及求线段和差最值的问题. ●一、二次函数的定义及一般形式 1、二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 2、二次函数的结构特征 （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. （2）a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． （3）二次项系数不为0. 3、二次函数的一般形式 y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 【注意】必须化为一般式，才可确定a、b、c，二次项的系数a≠0，b、c没有条件限制. 4、二次函数的取值范围 一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． ●二、二次函数的图象与性质 二次函数 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 在对称轴左边，x↗ y↘在对称轴右边，x↗ y↗ 在对称轴左边，x↗ y↗在对称轴右边，x↗ y↘ ●三、 二次函数图象的平移 ●四、二次函数的表达式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法. 交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0，其中x1，x2还图象与x轴的两个交点的横坐标）； ●五、二次函数与一元二次方程的关系 1、 当二次函数 y＝ax2+bx+c的图象和 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y = 0 时自变量 x 的值，即一元二次方程 ax2+bx+c= 0 的根. 2、二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根 两个不相等的实数根x1，x2 两个相等实数根x1=x2＝- 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 3、二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 a＞0 a＜0 有两个交点x1,x2 （x1＜x2）  y＜0，x1＜x＜x2. y＞0，x2＜x或x＜x1 . y＞0，x1＜x＜x2. y＜0，x2＜x或x＜x1. 有一个交点x0 y＞0，x0 之外的所有实数；y＜0，无解 y＜0，x0 之外的所有实数；y＞0，无解 没有交点 y＞0，所有实数； y＜0，无解 y＜0，所有实数； y＞0，无解 ●六、二次函数的应用 1、二次函数的应用包括以下两个方面： (1) 用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题 (即最值问题)； (2) 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． 2、一般步骤： (1) 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系； (2) 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围； (3) 利用二次函数的图象及性质解决实际问题； (4) 检验结果的合理性，是否符合实际意义； (5) 作答. 题型一 二次函数的概念 【例1】（24-25九年级上·河南濮阳·期中）下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，逐一验证各选项即可． 【详解】A．，分母含，是分式函数而非整式，不符合二次函数定义； B．，若，则变为一次函数，不一定是二次函数； C．展开得，为一次函数； D．展开得，符合（），是二次函数． 故选：D． 【变式1-1】（24-25九年级上·广东江门·期中）下列函数中，不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的的识别，根据二次函数的定义（形如，），逐一判断各选项是否为二次函数即可． 【详解】A．，符合的形式（），是二次函数； B．，展开后为，最高次项为，系数为2，是二次函数； C．，符合的形式（），是二次函数． D．，展开后为，化简后为一次函数，不是二次函数． 故选D． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）下列函数中，是二次函数的有（   ） ①；②；③；④．⑤ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般式为，根据给定的函数依次分析． 【详解】①，符合二次函数的一般式，是二次函数； ②，由于不是整式，不是二次函数； ③，是一次函数，不是二次函数； ④，函数中的最高次数是，不满足二次函数最高次数是的条件，不是二次函数； ⑤，当时，不是二次函数； 故选：A． 题型二 由二次函数的定义求字母的值 【例2】（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）若函数是关于的二次函数．则常数的值是（    ） A．1 B． C．2 D．2或 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义，列出关于的方程和不等式是解题的关键．根据二次函数的定义即可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解： 是关于的二次函数， ， 解得：． 故选：B． 【变式2-1】（2025九年级下·贵州广西·专题练习）若是二次函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的定义：一般地，形如是常数，）的函数，叫做二次函数；根据二次函数的定义分析即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25九年级上·重庆合川·期中）若是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（    其中a、b、c为常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 二次函数的性质 【例3】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于两点，则下列说法正确的是（   ） A． B．点的坐标为 C．函数的最小值为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据所给函数图象，可得出的的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题． 【详解】解：A．根据函数图象可知，函数图象开口向下，故，说法错误，不符合题意； B．图象与轴交于，关于对称，所以，说法正确，符合题意； C．由抛物线的解析式可知对称轴，故当时，取得最大值，说法错误，不符合题意； D．当时，随的增大而增大，说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式3-1】（2025·四川成都·模拟预测）关于x的二次函数，下列说法错误的是（   ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，由题意得，函数图象的对称轴是直线；若，则当时，y的值随x值的增大而增大，若，则当时，y的值随x值的增大而减小；由题意可知函数图象一定经过点，当时，根据，可知函数图象与x轴一定有两个交点，即可得出答案． 【详解】解：函数图象的对称轴是直线， 故A选项正确，不符合题意； 若，则当时，y的值随x值的增大而增大，若，则当时，y的值随x值的增大而减小， 故B选项不正确，符合题意； 将代入，得， ∴函数图象一定经过点， 故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴当时，， ∴此时函数图象与x轴一定有两个交点， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 【变式3-2】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知二次函数（为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 24 8 0 3 15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象不经过第四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图像的对称轴是直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据即可判断选项A正确；根据二次函数的顶点在第四象限，增减性和对称性即可判断选项B错误、选项C错误；选项D错误． 【详解】解：将点和和代入二次函数 得：， 解得， 则二次函数的解析式为． A、因为，所以函数图象的开口向上，则此项正确，符合题意； B、顶点在第四象限，图象经过第四象限，错误，不符合题意； C、当时随增大而增大，则此项错误，不符合题意； D、图象的对称轴是直线，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 题型四 二次函数的图象共存问题 【例4】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象．根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断． 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； B、由抛物线可知，由直线可知，故本选项错误； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项正确； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，但抛物线顶点不在直线上，故本选项错误． 故选：C． 【变式4-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的综合判断； 分别根据一次函数和二次函数的图象，判断出a，c与0的大小关系，看是否矛盾即可． 【详解】解：A、一次函数的图象与y轴交于负半轴，；二次函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误； B、一次函数的图象过一、二、四象限，，；二次函数的图象开口向上，顶点为，在第四象限，，，故B正确； C、二次函数的对称轴为，在y轴右侧，故C错误； D、一次函数的图象过一、二、三象限，；抛物线的顶点在第四象限，，相矛盾，故D错误； 故选：B． 【变式4-2】（2025·湖南长沙·三模）已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系、二次函数的开口方向、对称轴、与轴交点的判定方法是解题的关键．先根据一次函数图象确定、的符号，再据此分析二次函数的开口方向、对称轴位置和与轴交点情况，从而判断二次函数图象． 【详解】解：从一次函数的图象来看， 图象从左到右上升， ； 图象与轴交点在正半轴，即当时，， ． 对于二次函数： ， 二次函数图象开口向上，排除、选项； 对称轴为， ，， ，即对称轴在轴右侧； 当时，，即二次函数与轴交点在负半轴． 综上，符合条件的是选项． 故选： ． 题型五 利用二次函数的性质比较函数值的大小 【例5】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数也在此二次函数图像上，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据函数解析式得到对称轴为直线，然后根据点M、N、K离对称轴的远近求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，，， ∴， ∴K点离对称轴最远，N点离对称轴最近，且距离对称轴越远，函数值越大， ∴． 故选：B． 【变式5-1】（24-25九年级上·广东惠州·期中）已知抛物线上的两点，，如果，那么下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与性质．根据抛物线解析式求得对称轴，根据开口方向可知当时，随的增大而增大，据此即可求解． 【详解】解：∵图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大，， ∵，在抛物线上，， ∴． 故选：A． 【变式5-2】（2025·四川广元·三模）已知二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，在抛物线上，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线的解析式为，再利用二次函数图象的性质可得出答案． 【详解】解：， ∵二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵关于轴对称的点为 ∵， ∴， 故答案为：． 题型六 待定系数法求二次函数的解析式 【例6】若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为（　　） A．y＝x2+4x﹣3 B．y＝﹣x2+4x﹣3 C．y＝﹣x2﹣4x﹣3 D．y＝﹣x2+4x+3 【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+1，将点B（1，0）代入解析式即可求出a的值，从而得到二次函数解析式． 【详解】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+1， 将B（1，0）代入y＝a（x﹣2）2+1得， a＝﹣1， 函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1， 展开得y＝﹣x2+4x﹣3． 故选：B． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，知道二次函数的顶点式是解题的关键． 【变式6-1】（24-25八年级下·上海·期末）已知一抛物线的形状与的形状相同，对称轴为，且与x轴的两交点之间的距离为2，则此抛物线的解析式是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据题意确定与x轴的交点坐标，设出抛物线解析式为，根据抛物线的形状与抛物线相同即可确定a的值，从而求出解析式． 【详解】解：∵对称轴是直线，且与x轴的两交点之间的距离为2， ∴由对称性可知，与x轴的交点分别为，， 设抛物线解析式为， ∵抛物线的形状与抛物线相同， ∴， ∴抛物线解析式为， 即抛物线解析式为或． 【变式6-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知二次函数的与的部分对应值如表： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 0 ．．． (1)求这个二次函数表达式； (2)判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在函数的图象上 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质． （1）将和代入计算即可； （2）当时，判断是否等于即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和， ， 解得 ； （2）解：点在函数的图象上． 理由：当时，， 点在函数的图象上． 题型七 二次函数与一元二次方程 【例7】已知抛物线与坐标轴有三个交点，则k的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】由-1≠0知，抛物线与y轴有一个非原点的交点（0，-1），故抛物线与x轴有两个不同的交点，即方程kx2+2x-1=0有两个不同的实根，再判断△即可． 【详解】解：由-1≠0知，抛物线与y轴有一个非原点的交点（0，-1），故抛物线与x轴有两个不同的交点，即方程kx2+2x-1=0有两个不同的实根 ∴△=4+4k＞0即k＞-1， 因为二次项的系数不能为0 ∴k＞-1且， 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线与函数的关系，利用一元二次方程的判别式来判断抛物线与坐标轴的交点个数，做题时要认真分析，找到它们的关系． 【变式7-1】（2024•崂山区一模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴方程为x＝﹣1，图象与x轴相交于点（1，0），则方程cx2+bx+a＝0的根为（　　） A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2 D．x1＝﹣1，x2 【分析】根据抛物线的对称性由抛物线与x轴的一个交点为（1，0）且对称轴为直线x＝﹣1，得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），从得出答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1， 则抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝1，x2＝﹣3，可得a+b（）+c（）2＝0， 设t，可得ct2+bt+a＝0， ∴t1＝1，t2， 由上可得，方程cx2+bx+a＝0的两个根为x1＝1，x2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点，掌握抛物线与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是解题的关键． 【变式7-2】（2024•犍为县模拟）若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　） A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 【分析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围． 【详解】解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点 ∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0 ∴k＞﹣1 ∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数 ∴k≠0 则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0． 故选：C． 【点睛】考查二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断． 题型八 二次函数与不等式 【例8】（2024•郸城县三模）如图，一次函数y＝x+a和二次函数y＝x2+bx的图象交于点A（﹣3，0）和点B，则x+a＞x2+bx的解集是（　　） A．x＞1 B．x＞1或x＜﹣3 C．﹣3＜x D．﹣3＜x＜1 【分析】先求得a和b的值，联立求得点B的坐标，然后观察函数图象即可求解． 【详解】解：由题意可得0＝﹣3+a和0＝（﹣3）2﹣3b， 解得a＝3和b＝3， ∴一次函数和二次函数的解析式分别为y＝x+3和y＝x2+3x， 联立得x2+3x＝x+3，解得x＝﹣3或x＝1， 当x＝1时，y＝4， ∴B（1，4）， 观察图象可得，当﹣3＜x＜1时，一次函数的图象位于二次函数图象的上方， ∴不等式x+a＞x2+bx的解集为﹣3＜x＜1， 故选：D． 【点睛】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【变式8-1】（2024春·湖北黄石·九年级黄石市有色中学校考开学考试）如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（    ） A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．的解是或 【答案】D 【分析】根据函数图象可知，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x<2或>4；方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或．据此即可求解． 【详解】解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x<2或>4；故A、B、C不符合题意； 方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数与不等式，方程的联系，利用图象法求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【变式8-2】（2024春•鼓楼区校级期末）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3 【分析】根据抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，可得直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c交于点A1（3，y1），B1（﹣1，y2）两点，根据图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点， 图象如图所示， 当﹣1≤x≤3时，ax2+c≥﹣kx+m， ∴ax2+kx+c≥m的解集是﹣1≤x≤3， 故选：D． 【点睛】本题考查利用函数图象解一元二次不等式及根据对称性求交点，解题关键是找到y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c交于点． 题型九 二次函数的多结论问题 【例9】（24-25九年级上·全国·期中）如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据抛物线开口向上，可得，再由抛物线对称轴为直线，可得，，②正确．再由，可得，①正确．再根据抛物线的对称性可得抛物线经过，从而得到时，，③错误．再根据二次函数的对称性可得，④错误，即可求解． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线 ， ，则，所以②正确； 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； 时，， ， ③错误； 点与点关于对称轴对称， ，所以④错误． 故选：A． 【变式9-1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④；⑤若点和点都在抛物线上，则．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数对称轴，以及与轴交点情况，即可判断①；利用二次函数对称轴列式变形即可判断②；利用二次函数的最值情况即可判断③，利用抛物线对称性和增减情况即可判断④，利用二次函数增减情况即可判断⑤． 【详解】解：①由图知，对称轴在轴右侧， ， 函数图象与轴交于正半轴， ， ， 故①正确； ②函数图象对称轴为， 则， 故②正确； ③函数图象开口向下， 则当时，函数取得最大值， 即为任意实数，则 为任意实数，则， 故③正确； ④函数图象与轴正半轴交点小于， 函数图象与轴负半轴交点大于， 即时，， 当时，， 则， 故④错误； ⑤若点和点都在抛物线上， ， 则， 故⑤错误； 综上所述，正确结论的个数有3个； 故选：B． 【变式9-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③方程的两根和为1；④若，则，⑤点，在抛物线上，且当时，；其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②由根与系数的关系可得出，由代入即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④． ⑤当点和关于对称轴对称时，解得m，若点A和点B向左移动时结合对称轴左侧的递减性，以及即可得到m的取值范围． 【详解】解：①函数图象开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧， 、异号， ， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ，故①错误； ②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， 时，， ， ， ， ， ∵， ，故②正确； ③设方程的两根为和， ∴， ， ∴，故③错误． ④， ∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得， ， ， ， ， ， ， 故④正确； ⑤点，在抛物线上， 当时，，解得， ∵， ∴，则⑤正确； 故选：C． 题型十 二次函数的性质求最值 【例13】 （2025·浙江宁波·模拟预测）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．12 D． 【答案】D10 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．把点代入求出t的值，即可得到，然后根据m的取值范围得到最值求差解题即可． 【详解】解：， ， 解得：或 (舍去)， ， ， ∴抛物线的对称轴为直线：， ， ， 当时，有最大值，， 当时，有最小值， ， ∴函数的最大值与最小值的差为， 故选：D． 【变式10-1】 （2025·江苏苏州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（其中m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（    ） A．最大值4 B．最大值7 C．最小值4 D．最小值7 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把代入得出，结合对称轴在y轴的右侧，得，则在时，最小值，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数（其中m为常数）的图像经过点， ∴， ∴， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴对称轴为直线 ∴， ∴， 则二次函数，且 ∴开口向上，对称轴为直线， ∴在时，最小值， 把代入， 得， ∴该二次函数有最小值7， 故选：D 【变式10-2】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（    ） A．或5 B．或5 C．或7 D．或7 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的最值问题，熟练将二次函数解析式化为顶点式，再根二次函数的性质分两种情况解答是解题关键．． 二次函数开口向下，顶点为，最大值为13．由于要求区间内最大值为4（小于13），故对称轴不在区间内，即区间完全在对称轴左侧或右侧．分两种情况讨论：①区间在左侧时，最大值在右端点取得；②区间在右侧时，最大值在左端点取得．分别解方程求t，并验证区间条件． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，为最高点， ①当时，抛物线随的增大而增大， ∴当，即，函数有最大值4， ∴， 解得，或（舍去，） ∴； ②当时，抛物线随的增大而减小， ∴当时，即函数有最大值4， ∴， 解得，或（舍去） ∴； 综上，的值为或5， 故选A． 题型十一 二次函数的平移 【例11】（2025·山西吕梁·三模）将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减的法则是解题的关键． 根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”逐步求解． 【详解】将抛物线向左平移3个单位所得抛物线解析式为：，即； 再向下平移2个单位为：，即， 故选：A． 【变式11-1】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与平移变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简单易懂．根据平移确定出抛物线的顶点在新坐标系中的坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线不动，而把x轴、轴分别向上、向右平移2个单位长度， 在新坐标系中抛物线的顶点坐标为， 在新坐标系下抛物线的解析式为， 故选：B． 【变式11-2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知二次函数的图象过点，图象向左平移2个单位后的对称轴是y轴，向下平移1个单位后与x轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 ． 【答案】或 【分析】考查了二次函数的性质、图象平移规律以及解析式的求解方法，熟练掌握二次函数的性质及图图象平移规律是解题的关键； 由图象向左平移2个单位后的对称轴是y轴，向下平移1个单位后与x轴只有一个交点，可得抛物线的顶点为，用顶点式表示出二次函数的关系式，把代入即可求得所求的二次函数解析式． 【详解】解：∵图象向左平移2个单位后的对称轴是y轴，向下平移1个单位后与x轴只有一个交点， ∴抛物线的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象过点， ∴， ∴此二次函数的解析式为或． 题型十二 由实际问题列二次函数的解析式 【例12】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意可得今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为，即可求解． 【详解】解：根据题意，今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为， ∴该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为， 故选：C． 由二次函数的定义可得，四个选项中，只有C选项中的函数是二次函数， 故选：C． 【变式12-1】（24-25九年级上·广东江门·期中）两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数关系式，求出另一个正方形的边长为，再由正方形面积公式计算即可得解，求出另一个正方形的边长为是解此题的关键． 【详解】解：∵其中一个正方形的边长为， ∴其中一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的边长为， ∵第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为， ∴面积之和为， 故选：C． 【变式12-2】（2024春·山东青岛·九年级统考期末）如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是_________________． 【答案】 【分析】由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式． 【详解】解：由题意可得： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是根据题意，找到所求量的等量关系，此题主要利用了长方形的面积公式解题． 题型十三 二次函数的实际应用 【例13】（2024秋•抚松县期末）如图，现有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为9m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD．设AB的长为x米． （1）若要围成面积为36m2的花圃，则AB的长为多少米？ （2）当AB的长为多少米时，长方形花圃ABCD的面积最大？最大面积为多少？ 【分析】（1）设AB为x米，则BC为（24﹣3x），利用长方体的面积公式列方程，即可求出x即AB的长． （2）根据题意得y＝x（24﹣3x），再配方变为顶点式，根据x的取值范围求得围成的花圃的最大面积． 【详解】解（1）设AB＝x米， 根据题意得：x（24﹣3x）＝36， 解得：x1＝2，x2＝6， 又∵24﹣3x≤9， ∴x≥5， ∴x1＝2舍去， ∴x＝6， 答：AB的长为6米； （2）根据题意得：y＝x（24﹣3x）， ∴y＝﹣3x2+24＝﹣3（x﹣4）2+48， ∵a＝﹣3＜0，且x≥5在对称轴直线x＝4右侧， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝5时，y有最大值，y最大值＝﹣3×（5﹣4）+48＝45， 答：当AB的长为5米时，长方形花圃ABCD的面积最大，最大面积为45平方米． 【点睛】主要考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，本题的关键是垂直于墙的有三道篱笆． 【变式13-1】（23-24九年级上·辽宁大连·期中）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时（所示），桥下水面宽度为，拱顶距水面． (1)在如图所示的直角坐标系中，求该抛物线的解析式； (2)突遇暴雨，当水面上涨时（所示），水面宽度减少了多少？ (3)雨势还在继续，一满载防汛物资的货船欲通过此桥，已知该船满载货物时浮在水面部分的横截面可近似看成是宽，高的矩形．那么当水位又上涨了m时，此船是否可以通过，说明理由． 【答案】(1) (2)水面宽度减少 (3)此船可以通过，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用以及二次函数图像上的点的坐标特征： （1）根据题意设出抛物线的解析式，然后将点的坐标代入即可求得结果； （2）水位上涨，则此时纵坐标为，然后将代入抛物线，可得到点D的横坐标，即可得到结果； （3）根据水位上涨分别得到水面的宽度，然后将船的宽度代入解析式，得到高度，看是否可以通过即可； 结合函数图像及二次函数图像上点的坐标特征找到关于的一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 根据题意得，， 将点，代入解析式中， 可得，，解得， ∴解析式为； （2）解：∵水面上涨至， ∴，， 抛物线过，，可得， 解得， ∴ ∴， ∴水面宽度减少； （3）解：此船可以通过，理由如下： 当水位又上涨了m时，此时拱顶距水面m， 将代入， 得到， 此时水面宽为， ∵， ∴宽度可以让船通过； ∵船宽， ∴将代入， 解得， ∵， ∴高度可以让船通过； ∴此船可以通过． 【变式13-2】（2024春·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）2022年卡塔尔世界杯足球赛开战，很多商家都紧紧把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量（个）与销售单价（元）满足如图所示的一次函数关系． (1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？ (3)当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)， (2)70元 (3)当吉祥物“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元 【分析】(1)设，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式，再根据销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，即可求得x的取值范围； (2)根据题意即可列出一元二次方程，解方程即可求解； (3)设每天获得的利润为元，根据题意即可求得二次函数，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设， 把点，分别代入解析式，得 ， 解得： ∴， 销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍， 自变量的取值范围是：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不合题意，舍去， 答：每个吉祥物“拉伊卜”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元； （3）解：设每天获得的利润为元，根据题意得： ∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为，销售单价不得高于72元， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值， ， 答：当吉祥物“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元． 【点睛】本题考查了一次函数及二次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数解析式及方程是解决本题的关键． 题型十四 二次函数与新定义问题 【例14】（2024春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解． 【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为， 将代入得， 将代入得， 设，，如图， 联立与，得方程， 即 抛物线与直线有两个交点， ， 解得， 当直线和直线与抛物线交点在点A，上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得， 把代入得， ， 解得， ． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象与正比例函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解． 【变式14-1】（2024春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（    ） A． B． C．1 D．﹣1 【答案】B 【分析】根据函数的对称轴和互异二次函数的特点计算即可； 【详解】由题可知：此函数的横坐标与纵坐标互为相反数，且对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），设此函数为， ∴，解得：， ∴此函数的二次项系数为； 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，准确计算是解题的关键． 【变式14-2】（2024春·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）． (1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值； (2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据“不动点”定义，建立方程求解即可； （2）根据不动点的定义求出函数，再根据判别式计算即可． 【详解】（1）解：依题意把点代入解析式， 得，化简得：，解得：； （2）解：设点是函数的一个不动点， 则有，化简得，， 关于的方程有实数解， ，解得：． 【点睛】本题考查了二次函数与新定义“不动点”应用，涉及解一元二次方程、一元二次方程根的情况与判别式等知识，解题的关键是理解并利用新定义解决问题． 题型十五 二次函数与线段、周长、面积问题 【例15】（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，抛物线过，两点，直线交抛物线于点，点的横坐标为，是线段上的动点． (1)求直线及抛物线的解析式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段的长度l与m的关系式，m为何值时，最长？ 【答案】(1)，直线的解析式为 (2)当时，线段的长度有最大值 【分析】本题考查二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得点坐标，再次根据待定系数法，可得直线的解析式； （2）根据平行于轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得：， ∴拋物线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：∵在线段上， ∴， ∴， ∴， ∴ 即， ∴当时，线段的长度有最大值． 【变式15-1】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． (3)点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，最大值为 【分析】（1）根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式； （2）利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为直线，作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q，此时取最小值，求出直线的解析式，即可解答； （3）由题得，过点P作轴的垂线，交于点，求出直线的解析式，则，求出，根据，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q， 则，， 此时取最小值， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴； （3）解：∵P点的横坐标为m， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 则， ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，熟练运用分类讨论的思想是解题的关键． 【变式15-2】（25-26九年级上·湖北·期中）如图1，二次函数．的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点G，与交于点H，点P为对称轴l上一动点，其纵坐标设为m． ①若动点P在线段上(点P不与点G，H重合)，轴与交于点D，轴与抛物线交于点E，轴与直线l交于点F．求四边形周长的最大值； ②若点A绕点P旋转后的对应点恰好在抛物线上，求m的值． 【答案】(1) (2)①6，②，，2，3 【分析】（1）将点代入即可求得解析式； （2）①可得四边形为矩形，．求出解析式．由抛物线的对称轴l的解析式为，得，．得．由得．四边形的周长．得当时，四边形周长的最大值为6．②过点作于点Q，证明，得，当点A绕点P顺时针旋转时，．得解得或，当点A绕点P逆时针旋转90°时，．得解得或，即得． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为． （2）解：①∵轴，轴，轴，直线轴， ∴四边形为矩形， ∴． 对， 令，则， ∴． 设解析式为, 把代入，得， 解得， ∴． ∵， ∴抛物线的对称轴l的解析式为， ∴， ∴． ∵点P在线段上(点P不与点G，H重合)， ∴． ∴． ∴四边形的周长． ∵，， ∴当时，周长有最大值6， 即四边形周长的最大值为6． ②过点作于点Q， 则， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, 当点A绕点P顺时针旋转时，， ∴ ∵轴， ∴． ∵点在抛物线上， ∴ ∴ 解得或 当点A绕点P逆时针旋转90°时，， ∴ ∴． ∴ ∴ 解得或 综上，，，2，3． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，矩形判定和性质，二次函数与线段周长综合，等腰直角三角形性质，旋转性质，分类讨论，是解题的关键． 题型十六 二次函数与特殊三角形的存在性问题 【例16】如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点Q．    (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在一点P，当点P的横坐标为时，为等腰三角形 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，设，则，则，由此即可求出答案； （3）先证明，则当为等腰三角形，只存在这一种情况，设，则，则，解方程即可． 【详解】（1）解：把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 把，代入中得， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵轴，轴， ∴， ∴当为等腰三角形，只存在这一种情况， 设，则， 同理可得， 又∵， ∴， 解得或， ∴存在一点P，当点P的横坐标为时，为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 【变式16-1】（2024春·辽宁盘锦·九年级校考期中）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一个点，对称轴与直线交于点，抛物线顶点为．    (1)求抛物线的解析式； (2)在第三象限内，为抛物线上一点，以、、为顶点的三角形面积为3，求点的横坐标； (3)点是对称轴上的一动点，是否存在某一点使、、为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，和 【分析】（1）先由直线的解析式为，求出它与轴的交点，与轴的交点的坐标，再将，两点坐标代入，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）设第三象限内的点的坐标为，运用配方法求出抛物线的对称轴和顶点的坐标，再设抛物线的对称轴与轴交于点，连接，再根据，列出关于的方程，解方程求出的值，进而得出点的坐标； （3）设点坐标为，先由，两点坐标运用勾股定理求出，再分两种情况讨论：①若，根据勾股定理列出关于的方程，求出值，得出点坐标；②若，同①可求出对应的点坐标，进而得出结果． 【详解】（1） 与轴的交点，与轴的交点的坐标， 当时，，即点的坐标为， 当时，，即点的坐标为， 将，代入， 得， 抛物线的解析式为 （2）如图1，设第三象限内的点的坐标为，    则，. ， 对称轴为直线，顶点的坐标为， 设抛物线的对称轴与轴交于点，连接，则，. 直线的解析式为， 当时，， 点坐标为. ， 以、、为顶点的三角形面积为3时，， 解得：，（舍去）， 当时， 点的坐标为； （3）设点坐标为， ， 分两种情况 ①如图2，    若， 则，即， ， 点的坐标为； ②如图3，    若， 则，即 点的坐标为； 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题型，运用待定系数法求抛物线的解析式，函数图像上的点的坐标特征，抛物线的顶点坐标和三角形面积的求法，直角三角形性质和勾股定理，其中利用面积的和差表示出和分类讨论是解本题的关键． 【变式16-2】（2024•黔东南州一模）抛物线y＝ax2+bx经过点（1，﹣1），现将一块等腰直角三角板ABC（∠ACB＝90°）按照如图的方式放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A、C坐标分别为（0，2）、（﹣1，0）．B点在抛物线y＝ax2+bx图象上． （1）求点B的坐标： （2）求抛物的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意，过点B作BD⊥x轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标； （2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式； （3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案． 【详解】解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D． ∵∠BCD+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°， ∴∠BCD＝∠CAO， 又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC， ∴△BCD≌△CAO（AAS）， ∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2， ∴点B的坐标为（﹣3，1）； （2）抛物线y＝ax2+bx经过点（1，﹣1），点B（﹣3，1）， 则， 解得， 所以抛物线的解析式为yx2x； （3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形： ①若以点C为直角顶点； 则延长BC至点P1，使得P1C＝BC，得到等腰直角三角形△ACP1， 过点P1作P1M⊥x轴， ∵CP1＝BC，∠MCP1＝∠BCD，∠P1MC＝∠BDC＝90°， ∴△MP1C≌△DBC（AAS）， ∴CM＝CD＝2，P1M＝BD＝1， ∵OC＝1， ∴OM＝1， ∴P1（1，﹣1）； ②若以点A为直角顶点； 则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2＝AC，得到等腰直角三角形△ACP2， 过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO， ∴NP2＝OA＝2，AN＝OC＝1， ∴点P2（2，1）， ③以A为直角顶点的等腰Rt△ACP的顶点P有两种情况．即过点A作直线L⊥AC，在直线L上截取AP＝AC时，点P可能在y轴右侧，即现在解答情况②的点P2； 点P也可能在y轴左侧，即还有第③种情况的点P3．因此，然后过P3作P3G⊥y轴于G，同理：△AGP3≌△CAO， ∴GP3＝OA＝2，AG＝OC＝1， ∴P3为（﹣2，3）； 经检验，点P1（1，﹣1）与在抛物线yx2x上，点P2（2，1）点P3（﹣2，3）都不在抛物线yx2x上． 综上，存在，点P的坐标为（1，﹣1）． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，本题综合性强，能力要求极高．解题的关键是利用分类讨论，数形结合的数学思想方法． 题型十七 二次函数与特殊四边形的存在性问题 【例17】 （2024春·山东东营·九年级校考期末）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为线段上的一动点（不与B、C重合），轴，且交抛物线于点M，交x轴于点N，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点E，使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标是或或 【分析】（1）根据题意将，两点的坐标代入即可求出解析式； （2）求出直线的解析式，设点坐标为，则点坐标为，可表示出的长，则的面积，可用表示出来，根据二次函数的性质可求出面积的最大值和点的坐标； （3）分三种不同的情况进行讨论，利用平行四边形的性质及平移规律即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将代入，得， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， 将和代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点坐标为，则点坐标为， ， ， 当时，的面积最大， 此时点的坐标为； （3）解：存在， 由（2）得：， ， 对称轴为直线， 当四边形为平行四边形时， 则，， ，， ， ， ， 将代入，得， ； 当四边形为平行四边形时， 则，， ， ， ， 将代入，得， ； 当四边形为平行四边形时， 则，， ， ， ， 将代入，得， ， 存在点使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标是或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，用函数的思想求最值，平行四边形的性质等，解题的关键是能够根据题意利用平移规律进行分类讨论求出存在的点的坐标． 【变式17-1】（2025·湖北·二模）如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值是，此时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由抛物线对称轴是直线，可求出，再根据点的坐标为，求出，即可求解； （2）连接，设，则，可得，再求出点，，得到，，，由可得，根据二次函数的性质可得答案； （3）求出直线的解析式为，设，，则，，由知，，是菱形的一组对边；分两种情况：①当、为对角线时，、的中点重合，且，②当、为对角线时，、的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴是直线， ， ， 点的坐标为， ， ， 二次函数的解析式为； （2）解：如图，连接， 设，则， ， 在中，令，则，令，则， 解得：或， ，， ，， ， ， ， ， 当时，四边形的面积取最大值，四边形面积的最大值是，此时； （3）解：在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设，，则，， ， 当以、、、为顶点的四边形是菱形时，，是一组对边； ①当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（此时、与重合，舍去）或， ； ②当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（舍去）或 或， 或； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形、四边形面积，菱形性质及应用，一次函数的图象与性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 【变式17-2】（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点D，过点P作于点E，过点E作轴于点F，求出的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)H点的坐标为或或或 【分析】（1）设顶点式，展开得，解方程求出a即可得到抛物线解析式； （2）根据题意推出，为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出的表达式，从而建立起的函数表达式，最终利用函数法求最值； （3）先通过勾股定理求出N点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算H的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 即， ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）知， 当时，， ， ， 是等腰直角三角形，， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ， P是抛物线上位于直线上方的一个动点，点P作轴交于点D， 设，则， ，其中， 如图，延长交于点G，则， 由题意可得是等腰直角三角形， ， ， ， 当时，取最大值，此时； （3）解：平移后的函数解析式为， 将与联立，得 ， 解得两条抛物线交点M的坐标为， 如图，以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设， ，，， ， ， 解得， 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 同理，以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设， ， ， 解得，即， 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得 ； 如图，以为对角线，作交对称轴于，可构造矩形，设， ， ， 解得，，即，， 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 综上可知，H点的坐标为或或或 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，用函数法求线段和最值问题，二次函数图象和性质，矩形性质等知识点，是一道关于二次函数综合题和压轴题，综合性强，难度较大；熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 题型十八 二次函数与角度问题 【例18】（23-24九年级下·上海·阶段练习）抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点为顶点． (1)求点及点的坐标． (2)连接，，抛物线的对称轴与轴交于点． 若线段上一点，使，求点的坐标． 若第一象限抛物线上一点，作，交直线于点，使，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为， 点的坐标为 (2)点的坐标为．点的坐标为 【分析】（1）令，解一元二次方程，确定点的坐标；将抛物线的解析式配方写成顶点式即可确定顶点的坐标． （2）根据抛物线解析式得到点、点的坐标．连接，过点作于，由勾股定理得出、的长，通过边角关系证明为直角三角形，分别延长、，与轴相交于点，． 根据两组角对应相等的两三角形相似证明，根据相似三角形对应边成比例得到，即，运用待定系数法求出直线和直线的解析式，联立两个解析式解方程组，即可求出点的坐标． 设交轴于点，过点作轴于点，先证明，由相似三角形对应边成比例得出．设，再证明，均为等腰直角三角形，然后用含的代数式表示点的坐标，将其代入抛物线解析式中，求出的值，进而得到点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点（点在点左侧）， 当时，，解得或， 点的坐标为． ， 顶点的坐标为； （2）解：抛物线与轴交于点， 点坐标为， ， ，， 对称轴为直线， 点的坐标为． 如图，连接，过点作于， 则点坐标为， 点的坐标为； ， ，， ， 为直角三角形． 分别延长、，与轴相交于点，． ， ， ， ， 又， ， ， 即， ，即， 设直线的解析式为， 则有： ，解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 则有： ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得， 点的坐标为；   如图，点在第一象限抛物线上，设交轴于点，过点作轴于点． ∵，，， ， ， ，， ， ， 即， ． 设，则， ， 轴， ， 为等腰直角三角形， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 将点代入抛物线， 得到，解得 或（舍去）， ． 所以，当时，点的坐标为． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质，熟练应用各知识点是解题的关键． 【变式18-1】（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）如图，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，是抛物线上的一点，连接． (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)求的面积； (3)在第一象限内的抛物线上是否存在点P，使，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】（1）点代入，解方程即可得抛物线解析式． （2）设抛物线的对称轴与直线交于点，与轴交于点，作于点，求出，直线的解析式，求出，由计算即得； （3）假设存在符合题意的点，过点P作轴于点M，求出直线的解析式，得，根据，可得，得，得，解方程，即可求得P点坐标． 【详解】（1）解：（1）∵抛物线与轴交于点， ，解得， ∴抛物线的解析式为， ∵． ∴顶点． （2）解：如图，由（1）知，， ∴抛物线的对称轴为直线， 设对称轴与直线交于点，与轴交于点，作于点， 点在抛物线上，且横坐标为， ∴代入中，得， ，， 设直线的解析式为，∵， ∴， 解得：，∴直线， 令，得，∴． ， ， 即的面积为； （3）假设存在满足条件的点，作轴于点，直线与轴交于点． 设直线的解析式为,把，代入，得 , ∴， ∴（舍去），， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 轴， ， ∴， 又， ， ． ， 化简，得， 解得或0（舍） 由（2）知当时，， ． 即在第一象限内的抛物线上存在点，使． 【点睛】本题综合考查了二次函数与一次函数的综合应用．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，与三角形面积问题综合，等腰三角形的判定和性质，与角度问题综合，是解题的关键． 【变式18-2】（2024春·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，连接，若平分，求点P的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用角平分线的性质和平行线的性质作轴，交于点Q，交x轴于点E，可证得，求的解析式为，设点P的横坐标为t，则有，，，求出，，由求得t值即可解答； （3）将绕点O顺时针方向旋转，至，可得，，则，求出过点的直线的解析式为，与抛物线联立方程组求得交点；再过C作轴，过B作轴，与交于点F，则四边形为正方形，作关于的对称点G，点G在上，作直线，则直线与抛物线的交点也满足条件，则，与点D重合，则可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵点、在抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：作轴，交于点Q，交x轴于点E，如图1所示： ∵轴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， 将代入，， ∴的解析式为， 设点P的横坐标为t，则有，，，， ∴，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （3）解：存在，或． 当时，，则， ∴，则， 将绕点O顺时针方向旋转，至，如图2所示： 则，， ∴ 由题意知，直线过点， 设直线的解析式为， 将，，代入，得：， 解得：， ∴直线BP的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 此时使； 如图2所示，过C作轴，过B作轴，与交于点F，则四边形为正方形， 作关于的对称点G，则点G在上且， ∴，与点D重合， 作直线，则， ∴直线与抛物线的交点也满足条件， ∵点在抛物线上， ∴． 综上，抛物线上存在点P，使，点P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程、二次函数与几何变换（旋转和轴对称）、正方形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，会利用数形结合思想和正确添加辅助线求解是解答的关键． 题型十九 二次函数与相似三角形存在性问题 【例19】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)点在轴上，直线将的面积分成两部分，请求出点的坐标； (3)如图，作轴于点，点是上方的抛物线上一点，是上一点，是否存在点使得与相似？若存在，请直接写出坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为； (2)或； (3)N；N 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式是，把二次函数整理成顶点坐标式，可得：，根据解析式可得点的坐标； （2）作点、三等分线段，根据平行线分线段成比例定理可知点、的横坐标是、，用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式可得点、的坐标，用待定系数法求出、的解析式，根据解析式求出点的坐标； （3）设点的坐标是，作，延长交于点，过点作，利用相似三角形的性质可知，点的坐标是，点的坐标是，利用待定系数法求出的解析式，根据点在直线上，即可求出点的坐标；作，作，可证，利用勾股定理求出的长度，根据全等三角形的性质可知的长度，利用相似三角形的性质即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式是； 把二次函数的解析整理，可得：， 抛物线的顶点的坐标为； （2）解：如下图所示，点、是线段的三等分点， 过点作，， 则， ， ， ， 点、的横坐标分别是、， 设直线的解析式是， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时，可得：， 当时，可得：， 点的坐标是，点的坐标是， 点和点在直线上， 直线与轴的交点坐标是， 即点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时，可得：， 解得：， 直线与轴的交点坐标是， 即点的坐标是， 综上所述，点的坐标是或； （3）解：点的坐标或， 设点的坐标是， 如下图所示，作，延长交于点，过点作， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ，， ， ， ， ， 点的坐标是， ， ， 在和中，， ， ， 点的坐标是， 即点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点，的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 整理得：， 解得：，(与点重合，舍去)， 当时，， 则， 点的坐标是； 如下图所示，作，作， 则， 当时，， 点的坐标是， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， 解得：， 点的横坐标是， 把代入， 可得：， 点的坐标是， 综上所述，点的坐标或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质． 【变式19-1】（2025·海南·三模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点，直线交轴于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是第三象限内抛物线上的一个动点，作轴交于点． ①求线段的最大值及此时点的坐标； ②是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，；②存在，或 【分析】题目主要考查二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，最值问题，理解题意，熟练掌握二次函数的相关性质是解题关键． （1）根据题意利用待定系数法即可确定函数解析式； （2）①设，则，其中，确定，即可求解； ②根据待定系数法确定直线的解析式为，得出点的坐标为，分别过点、作轴于点轴于点，由，得，然后分两种情况讨论：I．当时，，II．当时，，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 得 解得 该抛物线的表达式为； （2）①当时，， ∴， 设直线的解析式是：， 则，解得：， ∴直线的解析式是：， 如图1，设，则，其中， 则， 当时，线段有最大值，为，， 此时点的坐标为． ②存在，理由如下： ， 使用待定系数法同理可得：直线的解析式为． 令，则， 点的坐标为． ， ，且， ． 如图1，分别过点、作轴于点轴于点． 由，得， ∴． 分两种情况讨论： I．当时，， 即， 解得，满足， 此时点的坐标为． II．当时，， 即， 解得，满足，此时，点的坐标为． 综上所述，存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似， 点的坐标为或． 【变式19-2】（25-26九年级上·上海·期中）已知：如图，抛物线的图像开口向上，与轴交于点、（在的左边），与轴交于点，顶点为，，且. (1)求抛物线的对称轴和函数解析式； (2)把抛物线的图像先向左平移3个单位，再向下平移个单位得到抛物线，记顶点为，并与轴的交于点，求抛物线的函数解析式； (3)在（2）的基础上，点是轴上一点，当与相似时，求点的坐标. 【答案】(1)对称轴为直线， (2) (3)点的坐标为或． 【分析】（1）先根据坐标轴公式代数进行计算，得对称轴为直线，结合，得，又因为，所以，再运用待定系数法进行求解抛物线的函数解析式，即可作答． （2）先把化为顶点式，得顶点为，结合平移的性质得，把代入，故，即可作答． （3）先分别得出，，，，，，结合与相似进行分类讨论，当时，把数值带入进行计算，或当时，把数值带入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴对称轴为直线， ∵与轴交于点、（在的左边）， ∴ ∴， ∵， ∴， 即， 把，分别代入， 得， 解得， ∴， （2）解：由（1）得， ∴，即顶点为， ∵把抛物线的图像先向左平移3个单位，再向下平移个单位得到抛物线，记顶点为， ∴， 即， 依题意把代入， 得 解得， ∴，． （3）解：由（1）得， 由（2）得，，， ∵点是轴上一点， ∴设， 则， 记对称轴与的交点为T，连接 ∴ ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 过点M作轴， ∴ ∵，， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴， 即， ∵与相似， ∴当时， ∴， ∴， ∴ 解得，或， 当时，如图所示的点， 此时，不符合题意，故舍去； ∴， 即点的坐标； 当时， ∴， ∴， ∴ 解得，或， 当时，如图所示的点， 此时，不符合题意，故舍去； ∴， ∴即点的坐标； 综上：点的坐标为或． 【点睛】本题考查了勾股定理，二次函数的几何综合，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象性质，平移的规律，把一般式化为顶点式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型二十 二次函数与其它问题 【例20】（25-26九年级上·湖北黄石·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，该抛物线的顶点为，点为该抛物线上一动点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点在线段上方抛物线上运动，点，连接，，若，求的值． (3)①当该抛物线在点与点之间（包含点与点）的部分最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求的取值范围，并写出这个定值； ②当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，，当时，直接写出的取值范围或者的值． 【答案】(1) (2) (3)①，4；② 【分析】（1）把点，代入计算后可得该抛物线的解析式； （2）过点P作轴于点G，根据对称轴为直线，，得，得，，由,得，由，得，得，得，即得； （3）①根据图像可得抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为4时的点P的位置，从而确定m的取值范围；②分，，三种情况讨论满足时，m的取值范围． 【详解】（1）解：把点，代入抛物线上， ∴ 解： ∴抛物线的解析式为：． （2）解：过点P作轴于点G，连接， ∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵, ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）或． （3）解：①∵， ∴， ∴点C的纵坐标为4， ∵点P为该拋物线上一点，其横坐标为m， ∴点P纵坐标， 当时，最高点为点A，最低点为点P， ∴最高点和最低点的纵坐标之差为， 不是定值，不符合题意； 当时，最高点为点C，最低点为点A， ∴最高点和最低点的纵坐标之差为4，是定值，符合题意； 当时，最高点为点C，最低点为点A，点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值4， 当时，最高点为点C，最低点为点P， ∴最高点和最低点的纵坐标之差为，不是定值，不符合题意； 综上所述，当时，该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，这个定值为4； ②解：当时，最高点为点C，最低点为点P， ∴，， ∵， ∴， 解得或：（不合题意）； 当时，最高点为点P，最低点为点B， ∴，， ∴， 解得或（舍去）， 当时，最高点为点B，最低点为点P, ∴，， ∴， 解得：或，不合题意． 综上所述，m的取值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，点到坐标轴的距离，二次函数与三角形面积综合，二次函数与线段周长综合，轴对称的性质，分类讨论，是解题的关键． 【变式20-1】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，顶点为，点，连接，，，求证：； (3)当时，的取值范围是，且，求的值； (4)已知直线，且与抛物线交于，两点（点在点的左侧）．当直线在直线下方运动时，作直线与直线交于点，在直线运动的过程中，点的横坐标是否是一个定值，若是，请直接写出点的横坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)在直线运动的过程中，点的横坐标是一个定值，为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点D作轴于M，交于N，求出，则可求出直线解析式为；再求出，得到，则可证明，进而可证明，得到；求出，可证明，得到，则； （3）求出当时，，当时，；当时，在满足的条件下，函数的最小值为，最大值为，当时，在满足的条件下，函数的最小值为，函数的最大值为，据此建立方程讨论求解即可； （4）求出直线的解析式为；设直线的解析式为，联立得；设，，则可求出；求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，求出点H的横坐标即可得到结论． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）证明：如图所示，过点D作轴于M，交于N， 在中，当时，， 解得或， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； ∵抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； 在中，当时，， 当时，； ∵， ∴当时，在满足的条件下，函数的最小值为，最大值为， ∴， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，在满足的条件下，函数的最小值为，且， ∴函数的最大值为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，； （4）解：设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵， ∴可设直线的解析式为， 联立得； 设，， ∴，即 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立得， 解得， ∴点H的横坐标为， ∴在直线运动的过程中，点的横坐标是一个定值，为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，利用分类讨论的思想和数形结合的思想求解是解题的关键． 【变式20-2】（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）交轴于点，交轴于点，点坐标为，点为抛物线的顶点，点为抛物线上一动点，且点的横坐标为． (1)求该抛物线的表达式及点D的坐标． (2)当点E在抛物线对称轴的右侧时，连接．若，求m的值． (3)以点E为中心，构造正方形，且位于y轴上（点M在点N的下方）． ①设正方形的面积为S，求S与m之间的函数表达式； ②当点E在抛物线对称轴的左侧，且抛物线与正方形的边只有2个交点时，直接写出S的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①②或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及抛物线表达式求解、顶点坐标计算、几何图形与抛物线的交点问题等，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，结合几何图形的特点构建方程或利用图形性质分析求解． （1抛物线交轴于点，代入抛物线表达式求出，进而确定抛物线表达式；再通过将抛物线表达式化为顶点式，得出顶点D的坐标； （2）先求出抛物线与轴交点坐标，通过作辅助线构造等面积的三角形，确定相关直线的表达式特点，代入已知点求出直线表达式，进而求解m的值； （3）①根据点E是正方形中心目正方形顶点在y轴上的特点，确定正方形边长与点E坐标的关系，从而得出面积S与m的函数表达式；②先明确点E在抛物线对称轴左侧的取值范围，再分情况讨论正方形不同位置时与抛物线的交点个数，求出临界状态下m的值，进而得到S的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点， ， 将代入， 得，解得， ∴该抛物线的表达式是． ， ； （2）令，解得， ， ， 如图（1），过点作轴于点，则， ， 过点作，交轴于点，连接， 则（即三：与同底等高）， 过点作于点，则， ， ， ， 由，可求得直线的表达式为， 故可设直线的表达式为， 将代入，得， 令，解得（不符题意，舍去），， ； （3）解：①∵点是正方形的中心，位于轴上， ∴正方形的边长为， ； ②∵点位于抛物线对称轴的左侧，∴． ∴， ∴（两点间的垂直距离为）． 随着逐渐减小，分析如下： 当边位于点的上方时，如图，此时抛物线与正方形的边有2个交点， 当点位于边上时，如图，此时抛物线与正方形的边有3个交点， 此时，解得（舍去）， ， 当边位于点下方，且在点上方时，如图，此时抛物线与正方形的边有4个交点， 当点与点重合时，如图，此时抛物线与正方形的边有3个交点， 此时，解得（舍去）． 当边位于点下方时，如图，此时抛物线与正方形的边有2个交点， 综上分析可知，当或时， 抛物线与正方形的边只有2个交点， ， 或． 基础巩固通关测 1．（24-25九年级上·四川泸州·期末）关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，，1 C．，4，1 D．，4， 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如（、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，4，． 故选：C． 2．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知是二次函数，且函数图象有最高点，求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义及图象的性质，根据二次函数的定义和开口方向的条件，即可确定k的值． 【详解】解：∵是二次函数，且函数图象有最高点， ∴二次函数图象开口向下， ∴，且， 解得：，且 或 ， ∴， 则的值为． 故选：D． 3．（24-25九年级上·广东江门·期中）点；点，点都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数解析式分别计算各点的纵坐标，再比较大小关系即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点；点，点都在二次函数的图象上， ∴，，， ∴，， 故选：A． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为； ∴； 故选C． 5．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）关于抛物线，给出下列说法， 其中正确的说法有（   ） ①抛物线开口向下，顶点是原点；②当时，y随x的增大而减小；③当时，；④若是该抛物线上两点，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质． 根据二次函数的特点可解答①；再根据是在对称轴的右侧，由增减性可得解答②；然后根据自变量取值求出函数值，再结合最大值可判断③；最后根据关于对称轴对称的点的特点解答④即可． 【详解】解：抛物线的开口向下，顶点在原点，所以①正确； 当时，函数值y随着x的增大而减小，所以②正确； 当时，，当时，， 所以当时，， 故③不正确； ∵点在抛物线上，可知这两个点关于对称轴对称，且对称轴是y轴， ∴，即， 所以④正确， 综上所述，正确的有3个． 故选：C． 6．（24-25九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于轴对称，且它们的顶点相距4个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为，则的值是（    ） A．或 B．1 C． D．或 【答案】D 【分析】该题考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．将已知抛物线化为顶点式，确定顶点坐标，根据对称性得到另一条抛物线的顶点坐标，利用顶点间距离建立方程求解． 【详解】解：将抛物线化为顶点式：， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∴关于轴对称的另一条抛物线的顶点坐标为． ∵它们的顶点相距4个单位长度， ∴， ∴或， 解得或． ∴的值为或， 故选：D． 7．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知直线交抛物线于点，交抛物线于点，下列结论：①若，则，②若，则，③若，则，④若，则；其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、因式分解、不等式的性质，利用作差法比较的大小关系是解题的关键．由抛物线经过点可得，同理可得，利用因式分解的知识得到，再利用不等式的性质逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：抛物线经过点， ， 同理可得：， ， 若，则，， ，即，故①正确； 若，则，， ，即，故②不正确； 若，则，， ，即，故③正确； 若，则，而无法判断的正负性，故无法判断与的大小关系，故④不正确； 综上所述，其中正确的是①③，有2个． 故选：B． 8．如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为6，则最后输出函数y的值为 　 　 ． 【答案】42． 【分析】把x＝6代入x（x+1），如果结果大于15就输出，如果结果不大于15，就再算一次． 【详解】解：当x＝6时， x（x+1）＝6×（6+1）＝6×7＝42＞15， ∴输出因变量y＝42． 故答案为：42． 9．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，已知二次函数 的图象如图所示，则这个二次函数的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与轴的交点问题，以及由对称轴求对称点，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键． 先根据对称轴求出抛物线与轴另一个交点坐标，再根据待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】解：由图象可得对称轴为直线，抛物线与轴一个交点为， ∴抛物线与轴另一个交点为， 将点，分别代入， 则， 解得， ∴这个二次函数的关系式为， 故答案为：． 10．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入， 得， 即顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 整理得， 则， ∴， ∴ 故答案为：或． 11．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）二次函数（a为常数）的图象不经过第三象限，当时，y的最大值为，则a的值是 ． 【答案】2． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先求出二次函数的对称轴，根据图象不经过第三象限，得到的符号，根据增减性，得到当时，函数有最大值，进而求出a的值即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线，当时，， ∴图象过原点， 又∵二次函数（a为常数）的图象不经过第三象限， ∴， ∴图象上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵当时，y的最大值为， ∴当时，， 解得． 故答案为：2． 12．（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用“k型全等”求得B点的坐标，代入即可求解，构造全等三角形解题是关键． 【详解】解：过B作轴于E，过A作轴于D， 在等腰直角三角形中，，则， ∵A、B两点的横坐标分别为1和， ∴，， ∵点A、B在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 整理， 解得：或（舍去）， ∴b的值为2， 故答案为：2． 能力提升进阶练 13．（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A与原点重合，点B在x轴的正半轴上，点D在y轴的正半轴上，抛物线经过点、． (1)求抛物线的对称轴及点D的坐标； (2)请证明：该抛物线一定经过点； (3)若，将抛物线向右平移m个单位后，使得新抛物线恰好经过点C，求m的值和新抛物线的解析式． 【答案】(1)对称轴是直线， (2)见解析 (3)当时，或当时， 【分析】（1）根据二次函数的性质可求出抛物线的对称轴；令可求出点D的坐标； （2）根据二次函数的对称性即可求解； （3）求出点B坐标，得出函数解析式，化为顶点式，表示出平移后的解析式，然后根据新抛物线恰好经过点C，即可求解． 【详解】（1）解：的对称轴是直线． ∵当时，， ∴； （2）解：∵对称轴是直线， ∴关于对称轴对称的点为， ∴该抛物线一定经过点； （3）解：∵四边形是矩形，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 把代入，得 ， ∴， ∴， ∵抛物线向右平移m个单位， ∴平移后的解析式为， ∵新抛物线恰好经过点， ∴， 解得或， 当时，． 当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的平移，矩形的性质，数形结合是解答本题的关键． 14．（2024•横山区二模）某校为举办毕业典礼，搭建了一个近似于抛物线形的毕业拱门，如图1所示．图2为该拱门的示意图，OA是垂直于水平地面的柱子，拱门的另一端在水平地面上的点B处，拱门到水平地面的高度y（m）与到柱子OA的水平距离x（m）满足函数关系式y＝ax2+x+c（a，c为常数，a≠0），已知OA＝3m，OB＝6m． （1）请求出图2中抛物线的函数表达式； （2）从柱子OA上的点C处拉一条横幅到拱门的点D处，CD∥OB，若CD＝4AC，小华的身高是1.65m，请问拉上横幅后小华不弯腰是否能通过该拱门？ 【分析】（1）根据OA＝3m，OB＝6m．将c＝3，B（6，0）代入y＝ax2+x+3中，从而求出函数解析式； （2）设点D的坐标为（a，a2+a+3），从而表示出CD＝a，ACa2+a，再根据CD＝4AC，列出关于a的方程解答即可． 【详解】解：（1）由题意知：OA＝3m，OB＝6m． ∴c＝3，B（6，0）， 将B点坐标代入y＝ax2+x+3中， 得：36a+6+3＝0， 解得：a， ∴函数关系式为：yx2+x+3； （2）设点D的坐标为（a，a2+a+3）， ∴CD＝a，AC＝3﹣（a2+a+3）a2﹣a， ∵CD＝4AC， ∴a＝4（a2﹣a）， 解得：a＝5， ∴52+5+3＝1.75，﹣ ∵1.75＞1.65， ∴拉上横幅后小华不弯腰能通过该拱门． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，正确列出函数关系式是解答本题的关键． 15．（2024春·山西晋城·九年级校考期末）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点Q．    (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在一点P，当点P的横坐标为时，为等腰三角形 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，设，则，则，由此即可求出答案； （3）先证明，则当为等腰三角形，只存在这一种情况，设，则，则，解方程即可． 【详解】（1）解：把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 把，代入中得，∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵轴，轴， ∴， ∴当为等腰三角形，只存在这一种情况， 设，则， 同理可得， 又∵， ∴， 解得或， ∴存在一点P，当点P的横坐标为时，为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 16．（25-26九年级上·福建莆田·期中）如图1，抛物线过点，点，与y轴交于点C．M是抛物线上任意一点． (1)求抛物线的解析式、直接写出直线解析式． (2)如图1，设M的横坐标为m（），连接，交于点D，连接，设的面积为，的面积为，求的最大值． (3)当时，求点M的坐标 【答案】(1)抛物线的解析式为：；直线的解析式为： (2)见解析 (3)M的坐标为或 【分析】（1）利用两点式求抛物线的表达式，进而得出直线的解析式； （2）先用表示出，再利用配方法求出最值； （3）分M在直线下方，M在直线上方两种情况讨论，分别求出M点的坐标即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 则， 则，解得， ∴抛物线的解析式为：， 直线的解析式为：； （2） ∵， ∴当时取得最大值2； （3）①当M在直线下方时， 作点A关于y轴的对称点D， 由对称可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点M在直线上， ∵， ∴， 设直线的解析式为：， 将、代入得：解得：， ∴直线的解析式为：， 联立方程得：， 解得： (舍去），， 将代入，得， ∴； ②当M在直线上方时， 作点D关于直线的对称点， ∴， ∴， ，(由①得)，， ∴， ∴点M在直线上， 设直线的解析式为：， 将、代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立方程得：， 解得： (舍去），， 将代入，解得， ∴， 综上所述M的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，的最值，角度问题(二次函数综合)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $