专项突破01 三角形的内角与外角（期末复习-知识回顾+8个重难点培优题型+真题演练 共31题）-2025-2026学年人教版数学八年级上册精讲练

该初中数学讲义通过知识梳理系统构建“三角形的内角与外角”单元体系，将三角形内角和定理、直角三角形性质及判定、三角形外角定义及性质等核心知识点，以框架图形式呈现定义、性质与判定逻辑，清晰展现重难点分布及内在联系。 讲义亮点在于“知识回顾+题型培优+真题演练”三阶设计，8种题型如折叠角度问题（题型4）培养空间观念，外角性质证明题（题型8）发展推理意识，分层练习兼顾基础与拔高。真题演练助力学生自主复习，教师可依此实施精准教学，提升复习效率。

专项突破01 三角形的内角与外角 （知识回顾+8种重难点培优题型+真题演练 共31题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：三角形的内角和 1 知识点梳理02：直角三角形的性质及判定 2 知识点梳理03：三角形的外角 2 重点难点 培优讲练 3 题型1 三角形内角和定理的证明 3 题型2 与平行线有关的三角形内角和问题 4 题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题 8 题型4 三角形折叠中的角度问题 11 题型5 三角形内角和定理的应用 13 题型6 直角三角形的两个锐角互余 15 题型7 锐角互余的三角形是直角三角形 19 题型8 三角形的外角的定义及性质 21 期末真题 实战演练 23 知识点梳理01：三角形的内角和 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 知识点梳理02：直角三角形的性质及判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 知识点梳理03：三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 题型1 三角形内角和定理的证明 【精讲】（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）在学习了“三角形的内角和等于180°”的知识后，老师让同学们用不同的方法说明这个结论是正确的．聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．请你帮他完成解题过程吧． 【答案】见详解 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．由平行线的性质得出，，，，等量代换可得出，再根据平角的定义得出，等量代换可得出． 【规范解答】证明：在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F． ∵， ∴，， ∵ ∴，， ∴, ∵， ∴． 【变式】（24-25七年级下·陕西西安·期末）小刚同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程：在的边上任取一点，过点作交于点，作交于点以下是他的推理过程，请你在横线上补充其推理过程或理由． 因为 所以 ______（理由：两直线平行同位角相等） （理由：______） 因为 所以 ______（理由：______） ______（理由：______） 因为 ______ 所以． 【答案】；两直线平行，内错角相等 ；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同位角相等； 【思路引导】本题考查了平行线的性质，牢记各平行线的性质定理是解题的关键．由，利用平行线的性质，可得出，，由，利用平行线的性质，可得出，，结合，即可得出． 【规范解答】解：因为 所以理由：两直线平行，同位角相等 理由：两直线平行，内错角相等 因为 所以理由：两直线平行，同位角相等 理由：两直线平行，同位角相等 因为 所以． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，两直线平行，同位角相等，． 题型2 与平行线有关的三角形内角和问题 【精讲】（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，到原点的距离为m，点B属于第三象限的一点，且m，n满足时，回答以下问题． (1)_______，_______． (2)连接，，求三角形的面积； (3)已知线段长度为10，若点P从点A出发，在射线上运动（点P不与点A和点B重合） ①如图2，若点P在线段上运动时，过点P作射线轴，且点E在点P的右侧，请直接：出，，的数量关系； ②如图3，若点P的速度为每秒3个单位，在点P运动的同时，点Q从点O出发，以每秒2个位的速度沿x轴负半轴运动，连接、，是否存在某一时刻t，使三角形的面积是三角形的面积的2倍．若存在，请求出t值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6， (2)18 (3)①；②值为或，点坐标为或 【思路引导】（1）利用算术平方根和平方的非负性求解即可； （2）求出，，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）①根据平行线的性质和三角形内角和直接得到结论； ②过点作于，利用的面积可求出的长，分点在线段上和延长线上两种情况，根据点、点的速度用表示出、的长，根据列方程求出值即可得答案． 【规范解答】（1）∵ ∴， ∴，； （2）∵， ∴， ∴ ∴三角形的面积 （3）①，理由如下： 如图：    ∴， ， ； ②如图，过点作于， ∵，， ∴， 解得：，   当点在线段上时， ∵点的速度为每秒3个单位，点的速度为每秒2个单位， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵点在轴负半轴上， ∴点坐标为； 如图，当点在延长线上时，    ∵点的速度为每秒3个单位，点的速度为每秒2个单位， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴点坐标为， 综上所述：存在某一时刻t，使的面积是的面积的2倍，值为或，点坐标为或． 【考点剖析】本题属于三角形的综合题，主要考查了算术平方根非负数的性质，平行线的性质，三角形内角和定理以及三角形面积的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造平行线，运用分类讨论的思想计算求解． 【变式】（2025·安徽滁州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由，，，则，，又，则，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【规范解答】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题 【精讲】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，，，，，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，I是BC的中点．下列说法：①；②；③；④其中正确的说法是（   ） A．①②③④ B．②③ C．②④ D．①②③ 【答案】B 【思路引导】本题考查了三角形的高、中线及角平分线，三角形内角和等基本概念与定理，理解这些基本概念并灵活运用是关键；由三角形中线平分三角形的面积可判断①；利用同角的余角相等的性质可判断②；利用三角形内角和及角平分线的定义可判定③；利用面积相等求得的长，从而可判断④； 【规范解答】解：∵BE是中线， ∴， ∵I是BC的中点， ∴， ∴ ∴，故①错误； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵CF是的平分线， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误， 故正确的有②③； 故选：B． 【变式】（25-26八年级上·山西朔州·期中）综合与实践 【材料准备】量角器、三角尺、直尺、铅笔． 【操作过程】仁仁画了图①所示的图形，在中，，平分，于点，尝试取了几组，的特殊值，并量得的度数，得到表中几组对应值． 的度数 的度数 的度数 【结论探究】 （1）若，，则的度数为_____； （2）试探究，与之间的数量关系，并说明理由； 【变式应用】 （3）仁仁继续研究，在图①中，其他条件不变，若把“于点”改为“是线段上一点，于点”，如图②，请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）． 【思路引导】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）由表中的数据，可得． （2）由表中的数据，可猜想．结合已知条件，根据三角形内角和定理、角平分线的定义、直角三角形两锐角互余， 角的和差关系说明理由即可． （3）过点作，由，得．推出即可． 【规范解答】解：（1）由表格可知：， ∴当，时，； （2）． 理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． （3）； 过点作，由（2）可知：， ∵， ∴， ∴． 题型4 三角形折叠中的角度问题 【精讲】（25-26八年级上·陕西榆林·月考）如图，将沿直线折叠，使顶点的对应点落在边上，此时直线与边，分别相交于点，．若，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了三角形内角和定理、折叠的性质、平角的定义，由折叠的性质可知，，，，根据平角的定义可得：，因为可得：，根据三角形内角和定理可以求出，所以可得，再利用平角的定义可以求出． 【规范解答】解：由折叠的性质可知，，，， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， . 【变式】（25-26八年级上·天津河西·月考）如图，在中，点在上，，现将中的折过去，使顶点落在点处，为折痕，且交于点，若，则的大小为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查折叠的性质，分为在外和在内两种情况，利用角的和差求出的度数，然后根据折叠求出，然后根据角的和差解答即可． 【规范解答】解：当在外时，， 由折叠可得， ∴； 当在内时，， 由折叠可得， ∴； 综上所述的度数为或， 故答案为：或． 题型5 三角形内角和定理的应用 【精讲】（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了三角形内角和定理，连接，由三角形内角和定理得出，，由对顶角相等得出，再由三角形内角和定理得出，然后等量代换即可得出答案． 【规范解答】解：连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 故选：A 【变式】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式； (3)如图，若，判断，的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【思路引导】此题主要考查了平行线的性质及其判定、平角的定义，三角形内角和，角平分线的定义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练． （1）利用四边形的内角和和平角的定义推导即可； （2）利用角平分线的定义，四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可； （3）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答． 【规范解答】（1）解：四边形的内角和为， ， 和是四边形的外角， ，， ， ； （2）解：． 理由：如图1，连接BD，    由（1）有，， 、分别平分四边形的外角和， ， ， ， 在中，， 在中，，， ， ， ， ． 故答案为； （3）解：． 理由：如图，过点作，    则， ， 由（1）知， ， ， 又、分别平分和， ， ， 又， ， ， 又， ． 题型6 直角三角形的两个锐角互余 【精讲】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”． (1)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，______． (2)如图，在中，，若AD平分，试说明是“准互余三角形”． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的性质，理解准互余三角形定义是解题关键． （1）根据题意求出，根据内角和即可求解； （2）根据角平分线和外角的性质即可解答． 【规范解答】（1）解： 为“准互余三角形”， ，和是“准互余角”， ， 根据内角和可得； 故答案为：； （2）证明：平分， ， 是的外角，， ， ， 是“准互余三角形”． 【变式】（24-25七年级下·广东广州·月考）如图，，的平分线交于点，． (1)证明：； (2)如图1，点在的反向延长线上，连接交于点，若，求证：平分． (3)如图2，射线上有点，满足，过点作．若过点作于点，请猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或，理由见解析 【思路引导】（1）根据平行线的性质可得，再结合角平分线的定义，即可求证； （2）根据三角形内角和定理可得，从而得到，再结合三角形内角和定理可得，然后根据，即可求证； （3）设，则，然后分两种情况：若点P在线段上；若点P在线段的延长线上，结合三角形内角和定理以及平行线的性质解答即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分． （3）解：或，理由如下： ∵， ∴可设，则， 若点P在线段上，如图， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； 若点P在线段延长线上，如图， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，和的数量关系为或． 【考点剖析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 题型7 锐角互余的三角形是直角三角形 【精讲】（25-26七年级上·山东东营·月考）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了直角三角形的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法． 根据各选项角的度数的关系求出角，逐项进行判断即可． 【规范解答】解：①∵， ∴， ∴为直角三角形， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴， ∴为直角三角形， 故②正确，符合题意； ③∵， ∴，， ∴不是直角三角形， 故③错误，不符合题意； ④∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形， 故④正确，符合题意； ⑤∵， ∴， ∴不是直角三角形， 故⑤错误，不符合题意； 综上，符合题意的选项为①②④， 故选：C． 【变式】（25-26八年级上·河北·月考）在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】本题考查三角形内角和的应用和直角三角形的判断．根据三角形内角和为，逐一分析各条件是否能推导出三角形中存在一个直角． 【规范解答】解：①： 由内角和得，解得，故为直角三角形． ②： 总份数为，最大角，故为直角三角形． ③： 变形得，则，故为直角三角形． ④： 设，则．由，解得，故为直角三角形． 综上，四个条件均成立， 故选：D． 题型8 三角形的外角的定义及性质 【精讲】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，，平分交于点D，P是上一点（不与点D重合），过点P作于点E． (1)如图1，当，且点P与点A重合时，求的度数； (2)如图2，当是锐角三角形，且点P与点A不重合时，过点A作于点F，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的有关计算，三角形外角的定义以及直角三角形的两个锐角互余等知识． （1）由已知条件得出，由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义得出，由三角形外角的定义和性质得出，再由直角三角形的两个锐角互余即可得出． （2）根据题意可知，进而可得出，，，根据三角形外角的定义可知，平行线的性质可得，根据角平分线的定义得出，进而可得出答案． 【规范解答】（1）解：， ， ， AD平分， ， ， ， ， ． （2）解：，， ， ，，， ∴，， ∵平分， ， ∴， ． 【变式】（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是 ．    【答案】/35度 【思路引导】本题主要考查三角形内角和及外角，角平分线等知识点，熟练掌握基本知识是解题关键； 由“8字形”结论可知， ，结合，得到，再由角平分线得到，，最后代入计算即可． 【规范解答】解：由“8字形”结论得到， ， ∵，， ∴， ∴， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为： ． 1．（23-24七年级下·四川广安·期末）如图，在中，，，平分，交于D，，交于E，则的大小是（ ）   A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质求解即可得． 【规范解答】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，把含有角的直角三角板的斜边放在直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，根据三角形外角的定义和性质求解即可． 【规范解答】解：把含有角的直角三角板的斜边放在直线上， 则， 故选A 3．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，，，是边上一点，连接．将沿折叠后，点落到点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【规范解答】解：∵，， ∴， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．（21-22八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理，连接，根据三角形内角和定理可知，因为，可得：，即可求出． 【规范解答】解：如下图所示，连接， ， ， 在中，， ， 知，，， ， ， ． 故选： C． 5．（23-224八年级上·辽宁丹东·期末）下列命题是真命题的有（   ） （1）如果，，那么 （2）直角三角形的两个锐角互余 （3）两条直线被第三条直线所截，内错角相等 （4）两点之间，线段最短 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了平行线的传递性、直角三角形的性质、内错角的性质以及线段的基本事实，熟练掌握相关知识是解题的关键． 依次判断每个命题的真假，根据真命题的个数确定答案． 【规范解答】解：（1）∵平行于同一条直线的两条直线互相平行，且， ∴，故该命题是真命题． （2）直角三角形的两个锐角互余，故该命题是真命题． （3）两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，而原命题中两条直线不一定平行，故该命题是假命题． （4）两点之间，线段最短是基本事实，故该命题是真命题． 综上，真命题有（1）（2）（4），共个， 故选：C． 6．（24-25八年级上·广东广州·月考）如图，在中，D是边上一点，，，，则的度数为 ． 【答案】/48度 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，设，由三角形外角的性质可得出，在中，利用三角形内角和定理可求出的值，再将其代入中即可求出结论． 【规范解答】解：设， 则， 在中，， 即， 解得， ， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图：三角形中，两个外角的平分线交于点D，度，则的度数 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的性质，掌握外角的性质是解题的关键；根据三角形的内角和定理可得，根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理和外角的性质求解即可． 【规范解答】解：， ， 两个外角的平分线交于点D， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·浙江湖州·月考）如图，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，则 ． 【答案】/62度 【思路引导】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键． 先分别求出与的度数，即可求得的度数． 【规范解答】解：∵， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，直线，直角三角尺的锐角顶点A，C分别在直线，上，点在直线之间，． （1）当时， ； （2）如图2，在线段上取一点，过点作直线，若射线平分，且满足，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟知平行线的性质是解题关键． （1）易得，根据平行线的性质求得，则； （2）设，则，由角平分线的定义可得，由平行线的性质得，于是求得，在三角形中，利用三角形内角和定求解即可． 【规范解答】解：（1）由题意可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）设，则， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，中，，，将其折叠，使点 A 落在边上点处，折痕为，则的度数为 ． 【答案】/10度 【思路引导】本题考查了折叠的性质，正确运用外角的性质是解题关键． 先根据直角三角形两锐角互余求得，再由翻折的性质可知最后根据三角形外角的性质求解． 【规范解答】解：， ， ， . 故答案为：. 11．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，是的平分线，是边上的高，若，，求的度数 【答案】 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和的性质，解决本题的关键是求解的度数． 由，且是的平分线，可得，再由高线可得垂直即，由三角形内角和即可求解的度数，进而即可得解． 【规范解答】解：∵由，且是的平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则的度数为． 12．（18-19七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在中，，，将沿直线方向向右平移得到． (1)试求出的度数； (2)若，，请求出的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查平移的性质，直角三角形两锐角互余,掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余求得的度数，根据平移可得，对应角相等，由的度数可得的度数； （2）根据平移可得，对应点连线的长度相等，由的长可得的长． 【规范解答】（1）解：在中，，， ， 由平移得，； （2）解：由平移得，， ，， ， ． 13．（20-21七年级上·湖北武汉·期末）定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，则的度数为__________； (2)如图，是直角三角形，． ①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由； ②若点是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数． 【答案】(1) (2)①是“准互余三角形”；②的度数是或 【思路引导】本题考查了直角三角形的性质，理解新定义，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）根据“准互余三角形”可知，，即可得解； （2）①根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，符合定义，即可得解； ②分两种情况讨论，和，分别求出，再根据直角三角形的性质即可得解． 【规范解答】（1）解：是“准互余三角形”，， ， ； （2）解：①是“准互余三角形”，理由如下：如下图， 是的平分线， ， ， ， ， 是“准互余三角形”； ②如图， 由题意得：， 是“准互余三角形”， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 综上所述，的度数是或． 14．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质，三角形有关的线段： （1）由三角形外角的定义及性质可得再由三角形内角和定理结合对顶角相等得出 最后再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）由角平分线的定义可得 再由三角形内角和定理计算即可得解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∴． 15．（19-20八年级上·广东佛山·期末）阅读下面的材料，并解决问题． (1)已知在中，，图1﹣3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1， ；如图2， ；如图3， ； 如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． (2)如图5，点O是两条内角平分线的交点，求证：． (3)如图6，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数． 【答案】(1)，，，； (2)证明见解析 (3) 【思路引导】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键． （1）由的度数，在中，可得与的和，又、是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案； （2）由的度数，在中，可得与的和，又、是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论； （3）先分别求出与的度数，即可求得的度数． 【规范解答】（1）解：如图1， ，， ， ，分别平分和 ， ， ， 如图2， 是的外角， ， ，分别平分和， ，， 是的外角， ， ， 如图3， 是的外角， ， 平分，平分， ，， ， ， 如图4， ，的三等分线交于点，， ，， 平分，平分， 平分， ， ， ， 故答案为：，，，； （2）证明：平分，平分， ，， ； （3）解：是△的外角， ， ，， ， 、是的三等分线， ，， ， 是的平分线， ， ． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破01 三角形的内角与外角 （知识回顾+8种重难点培优题型+真题演练 共31题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：三角形的内角和 1 知识点梳理02：直角三角形的性质及判定 2 知识点梳理03：三角形的外角 2 重点难点 培优讲练 3 题型1 三角形内角和定理的证明 3 题型2 与平行线有关的三角形内角和问题 4 题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题 5 题型4 三角形折叠中的角度问题 6 题型5 三角形内角和定理的应用 7 题型6 直角三角形的两个锐角互余 8 题型7 锐角互余的三角形是直角三角形 9 题型8 三角形的外角的定义及性质 9 期末真题 实战演练 10 知识点梳理01：三角形的内角和 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 知识点梳理02：直角三角形的性质及判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 知识点梳理03：三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 题型1 三角形内角和定理的证明 【精讲】（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）在学习了“三角形的内角和等于180°”的知识后，老师让同学们用不同的方法说明这个结论是正确的．聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．请你帮他完成解题过程吧． 【变式】（24-25七年级下·陕西西安·期末）小刚同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程：在的边上任取一点，过点作交于点，作交于点以下是他的推理过程，请你在横线上补充其推理过程或理由． 因为 所以 ______（理由：两直线平行同位角相等） （理由：______） 因为 所以 ______（理由：______） ______（理由：______） 因为 ______ 所以． 题型2 与平行线有关的三角形内角和问题 【精讲】（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，到原点的距离为m，点B属于第三象限的一点，且m，n满足时，回答以下问题． (1)_______，_______． (2)连接，，求三角形的面积； (3)已知线段长度为10，若点P从点A出发，在射线上运动（点P不与点A和点B重合） ①如图2，若点P在线段上运动时，过点P作射线轴，且点E在点P的右侧，请直接：出，，的数量关系； ②如图3，若点P的速度为每秒3个单位，在点P运动的同时，点Q从点O出发，以每秒2个位的速度沿x轴负半轴运动，连接、，是否存在某一时刻t，使三角形的面积是三角形的面积的2倍．若存在，请求出t值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】（2025·安徽滁州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题 【精讲】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，，，，，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，I是BC的中点．下列说法：①；②；③；④其中正确的说法是（   ） A．①②③④ B．②③ C．②④ D．①②③ 【变式】（25-26八年级上·山西朔州·期中）综合与实践 【材料准备】量角器、三角尺、直尺、铅笔． 【操作过程】仁仁画了图①所示的图形，在中，，平分，于点，尝试取了几组，的特殊值，并量得的度数，得到表中几组对应值． 的度数 的度数 的度数 【结论探究】 （1）若，，则的度数为_____； （2）试探究，与之间的数量关系，并说明理由； 【变式应用】 （3）仁仁继续研究，在图①中，其他条件不变，若把“于点”改为“是线段上一点，于点”，如图②，请直接写出，与之间的数量关系． 题型4 三角形折叠中的角度问题 【精讲】（25-26八年级上·陕西榆林·月考）如图，将沿直线折叠，使顶点的对应点落在边上，此时直线与边，分别相交于点，．若，则的度数为 ． 【变式】（25-26八年级上·天津河西·月考）如图，在中，点在上，，现将中的折过去，使顶点落在点处，为折痕，且交于点，若，则的大小为 ． 题型5 三角形内角和定理的应用 【精讲】（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式； (3)如图，若，判断，的位置关系，并说明理由． 题型6 直角三角形的两个锐角互余 【精讲】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”． (1)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，______． (2)如图，在中，，若AD平分，试说明是“准互余三角形”． 【变式】（24-25七年级下·广东广州·月考）如图，，的平分线交于点，． (1)证明：； (2)如图1，点在的反向延长线上，连接交于点，若，求证：平分． (3)如图2，射线上有点，满足，过点作．若过点作于点，请猜想和的数量关系，并说明理由． 题型7 锐角互余的三角形是直角三角形 【精讲】（25-26七年级上·山东东营·月考）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式】（25-26八年级上·河北·月考）在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型8 三角形的外角的定义及性质 【精讲】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，，平分交于点D，P是上一点（不与点D重合），过点P作于点E． (1)如图1，当，且点P与点A重合时，求的度数； (2)如图2，当是锐角三角形，且点P与点A不重合时，过点A作于点F，若，求的度数． 【变式】（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是 ．    1．（23-24七年级下·四川广安·期末）如图，在中，，，平分，交于D，，交于E，则的大小是（ ）   A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，把含有角的直角三角板的斜边放在直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，，，是边上一点，连接．将沿折叠后，点落到点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（21-22八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知，，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（23-224八年级上·辽宁丹东·期末）下列命题是真命题的有（   ） （1）如果，，那么 （2）直角三角形的两个锐角互余 （3）两条直线被第三条直线所截，内错角相等 （4）两点之间，线段最短 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25八年级上·广东广州·月考）如图，在中，D是边上一点，，，，则的度数为 ． 7．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图：三角形中，两个外角的平分线交于点D，度，则的度数 ． 8．（25-26八年级上·浙江湖州·月考）如图，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，则 ． 9．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，直线，直角三角尺的锐角顶点A，C分别在直线，上，点在直线之间，． （1）当时， ； （2）如图2，在线段上取一点，过点作直线，若射线平分，且满足，则 ． 10．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，中，，，将其折叠，使点 A 落在边上点处，折痕为，则的度数为 ． 11．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，是的平分线，是边上的高，若，，求的度数 12．（18-19七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在中，，，将沿直线方向向右平移得到． (1)试求出的度数； (2)若，，请求出的长． 13．（20-21七年级上·湖北武汉·期末）定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，则的度数为__________； (2)如图，是直角三角形，． ①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由； ②若点是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数． 14．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 15．（19-20八年级上·广东佛山·期末）阅读下面的材料，并解决问题． (1)已知在中，，图1﹣3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1， ；如图2， ；如图3， ； 如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． (2)如图5，点O是两条内角平分线的交点，求证：． (3)如图6，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $