单元检测卷(一)　数列-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

本讲义聚焦数列核心知识点，系统涵盖等差数列的通项公式、前n项和公式及性质，等比数列的定义、运算及应用，从基础运算到《周髀算经》日影问题等实际情境，再到“和等比数列”新定义拓展，构建递进式学习支架。 资料亮点在于基础与创新融合，如第4题结合古代数学情境培养数学眼光，第11题新定义辨析提升推理能力，解答题联系实际强化模型意识。课中助教师检测学情，课后分题型解析帮助学生查漏补缺，巩固知识盲点。

单元检测卷(一)　数列 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.等差数列{an}中，a3＝2，a5＝7，则a7＝(　　) A.10 B.20 C.16 D.12 答案：D 解析：因为{an}是等差数列， 所以d＝＝，所以a7＝2＋4×＝12. 2.已知{an}，{bn}均为等差数列，且a1＋b1＝1，a2＋b2＝3，则a2 020＋b2 020＝(　　) A.4 043 B.4 041 C.4 039 D.4 037 答案：C 解析：数列{an＋bn}是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以a2 020＋b2 020＝1＋2 019×2＝4 039，故选C. 3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，d＝2，则当Sn取最小值时，n等于(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 答案：A 解析：依题意an＝a1＋(n－1)d＝2n－13，由2n－13≤0得n≤＝6.5，由于n∈N＋，所以n＝6时，Sn取最小值. 故选A. 4.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺，则谷雨这一天的日影长度为(　　) A.5.5尺 B.4.5尺 C.3.5尺 D.2.5尺 答案：A 解析：设等差数列{an}，首项为a1，公差为d， 根据题意得a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31.5， S9＝9a1＋36d＝85.5， 解得a1＝13.5，d＝－1， 所以a9＝a1＋8d＝5.5. 故选A. 5.设等差数列{an}前n项和为Sn，等差数列{bn}前n项和为Tn，若＝.则＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为＝，所以＝＝， 因为Sn是等差数列{an}的前n项和，Tn是等差数列{bn}的前n项和， 所以S9＝＝9a5，T9＝＝9b5， 则＝＝，＝，故选B. 6.已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝15，且＋＋＝，则a2＝(　　) A.2 B. C.3 D. 答案：C 解析：因为S1＝a1，S3＝3a2，S5＝5a3，所以＋＋＝＋＋＝.因为a1a2a3＝15，所以＝＋＋＝，所以a2＝3.故选C. 7.设数列{an}的首项a1＝1，且满足a2n＋1＝2a2n－1＋1，a2n＝a2n－1＋1，则数列{an}的前20项和为(　　) A.2 032 B.2 033 C.4 082 D.4 086 答案：C 解析：由a2n＋1＝2a2n－1＋1得a2n＋1＋1＝2(a2n－1＋1)，所以数列{a2n－1＋1}为等比数列，首项为2，又数列{a2n－1}的前10项恰为数列{an}的前20项中的奇数项， 其和为－10＝2 036， 又a2n＝a2n－1＋1，由数列{a2n－1＋1}为等比数列，所以数列{an}的前20项中的偶数项和为 ＝2 046， 则S20＝2 036＋2 046＝4 082. 故选C. 8.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N＋，满足＝28，＝，则数列{an}的公比为(　　) A. B. C.2 D.3 答案：D 解析：设等比数列公比为q， 当q＝1时，＝2≠28，不符合题意； 当q≠1时，因为＝28，所以·＝1＋qm＝28， 得qm＝27，又因为＝，所以qm＝， 由＝27，得m＝3， 所以q3＝27，所以q＝3，故选D. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知等比数列{an}的公比q＝－，等差数列{bn}的首项b1＝12，若a9＞b9且a10＞b10，则以下结论正确的有(　　) A.a9·a10＜0 B.a9＞a10 C.b10＞0 D.b9＞b10 答案：AD 解析：因为等比数列{an}的公比q＝－， 所以a9和a10异号，所以a9a10＝(－)＜0，故A正确； 但不能确定a9和a10的大小关系，故B不正确； 因为a9和a10异号，且a9＞b9，a10＞b10， 所以b9和b10中至少有一个数是负数， 又因为b1＝12＞0，所以d＜0，所以b9＞b10，故D正确；所以b10一定是负数，即b10＜0，故C不正确.故选AD. 10.在公比为整数q的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是(　　) A.q＝2 B.数列{Sn＋2}是等比数列 C.S8＝510 D.数列{lg an}是公差为2的等差数列 答案：ABC 解析：因为a1＋a4＝18，a2＋a3＝12且公比q为整数， 所以a1＋a1q3＝18，a1q＋a1q2＝12， 所以a1＝2，q＝2或q＝(舍去)，故A正确； Sn＝＝2n＋1－2，所以S8＝510，故C正确； 所以Sn＋2＝2n＋1，故数列{Sn＋2}是等比数列，故B正确； 而lg an＝lg 2n＝nlg 2，故数列{lg an}是公差为lg 2的等差数列，故D错误.故选ABC. 11.设Sn为数列{an}的前n项和，若(n∈N＋)等于一个非零常数，则称数列{an}为“和等比数列”.下列命题正确的是(　　) A.等差数列可能为“和等比数列” B.等比数列可能为“和等比数列” C.非等差等比数列不可能为“和等比数列” D.若正项数列{an}是公比为q的等比数列，且数列{ln an}是“和等比数列”，则q＝ 答案：ABD 解析：若等差数列的公差为0，则＝＝2是非零常数，则此数列为“和等比数列”，A对； 若等比数列的公比为1，则＝＝2是非零常数，则此数列为“和等比数列”，B对； 若数列{an}满足an＝，则＝1是非零常数，它既不是等差数列又不是等比数列，但它是“和等比数列”，C错； 正项数列{an}是公比为q的等比数列，所以an＝a1·qn－1， 则ln an＝ln(a1qn－1)＝ln a1＋ln(qn－1)＝ln a1＋(n－1)ln q， 故数列{ln an}是首项为ln a1，公差为ln q的等差数列，又数列{ln an}是“和等比数列”， 则＝ ＝ ＝2＋ ＝2＋ 又2＋为非零常数，则＝0，即2ln a1＝ln q，即q＝，D对，故选ABD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上) 12.已知数列{an}为等差数列，a1，a2，a5成公比不为1的等比数列，且a9＝4，则公差d＝　　　　. 答案： 解析：由数列{an}为等差数列，a1，a2，a5成公比不为1的等比数列，可得a1a5＝，即a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，且d≠0， 化简得2a1＝d， 由a9＝4，可得a1＋8d＝4， 解方程可得a1＝，d＝. 13.已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N＋.若a3＝16，S20＝20，则an＝　　　　，S10＝　　　　. 答案：22－2n　110 解析：设{an}的首项，公差分别是a1，d，则 所以an＝a1＋(n－1)d＝20－2(n－1)＝22－2n. S10＝10×20＋×(－2)＝110. 14.数列{an}的前n项和为Sn，定义{an}的“优值”为Hn＝，现已知{an}的“优值”Hn＝2n，则an＝　　　　，Sn＝　　　　. 答案：n＋1　 解析：由题意a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n， 所以n≥2时，a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)·2n－1， 两式相减得：2n－1an＝n·2n－(n－1)·2n－1＝(n＋1)·2n－1，an＝n＋1， 又a1＝2，满足an＝n＋1， 所以an＝n＋1， Sn＝＝. 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝26，a1，a3，a11成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列的前n项和为Tn，证明：Tn＜. 解：(1)由a1，a3，a11成等比数列，得a1a11＝，又S4＝26. 所以 又d≠0，所以a1＝2，d＝3. 所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1. (2)证明：Sn＝na1＋d＝2n＋＝＋， ＝＝＝， Tn＝ ＝＜. 16.(15分)Sn为正项数列{an}的前n项和.已知＋an＝2Sn＋2. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和. 解：(1)由＋an＝2Sn＋2，① 可知＋an－1＝2Sn－1＋2，② ②－①，得(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0， 由an＞0，得an－an－1＝1. 又＋a1＝2a1＋2，解得a1＝－1(舍去)或a1＝2. 所以{an}是首项为2，公差为1的等差数列，通项公式为an＝n＋1. (2)由an＝n＋1可知 bn＝＝＝－， 设数列{bn}的前n项和为Tn， 则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝－＋－＋…＋－ ＝－＝. 17.(15分)已知公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝＋n，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：(1)设数列{an}的公差为d， 因为a1，a3，a9成等比数列，所以＝a1a9， 所以(1＋2d)2＝1×(1＋8d)， 所以d＝0(舍)或d＝1， 所以an＝n. (2)令bn＝＋n＝2n＋n， 所以Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝(21＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(2n＋n) ＝(21＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋2＋3＋…＋n) ＝＋＝2n＋1－2＋. 所以Sn＝2n＋1－2＋. 18.(17分)在①an＋1＝，②为等差数列，其中，＋1，成等比数列，③＋＋＋…＋＝这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答补充完整的题目. 已知数列{an}中，a1＝1，　　　　. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝anan＋1，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：Tn＜. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解：若选条件①： (1)易知an≠0，因为an＋1＝， 所以－＝3. 又＝1， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列， 所以＝3n－2，所以an＝. (2)证明：由(1)可知，bn＝ ＝－)， 所以Tn＝［(1－)＋(－)＋…＋(－)］＝(1－)＝－＜， 故Tn＜. 若选条件②： (1)设数列的公差为d，则＝1＋d，＋1＝2＋2d，＝1＋5d， 因为，＋1，成等比数列， 所以(2＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d＝3或d＝－1. 当d＝－1时，＝1＋d＝0，此时，＋1，不能构成等比数列，所以d＝3， 所以＝1＋3(n－1)＝3n－2， 所以an＝. (2)证明：由(1)可知，bn＝ ＝－)， 所以Tn＝［(1－)＋(－)＋…＋(－)］＝(1－)＝－＜， 故Tn＜. 若选条件③： (1)由＋＋＋…＋＝知， 当n≥2时，＋＋＋…＋＝， 两式相减，得＝－＝3n－2， 所以an＝(n≥2)，当n＝1时，a1＝1也适合上式， 所以an＝. (2)证明：由(1)可知，bn＝ ＝－)， 所以Tn＝［(1－)＋(－)＋…＋(－)］＝(1－)＝－＜， 故Tn＜. 19.(17分)某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，A型车床为企业创造的价值逐年减少(以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年).若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50％.现用an(n∈N*)表示A型车床在第n年创造的价值(单位：万元). (1)求数列{an}的通项公式； (2)记Sn为数列{an}的前n项和，Tn＝，企业经过成本核算，若Tn＞100，则继续使用A型车床，否则更换A型车床，试问该企业须在第几年年初更换A型车床？ 解：(1)依题意得，a1，a2，…，a6构成首项a1＝250，公差d＝－30的等差数列， 故an＝280－30n(1≤n≤6，n∈N*). 依题意得，a7，a8，…，an(n≥7，n∈N*)构成首项a7＝a6＝50，公比q＝的等比数列， 故an＝50×(n≥7，n∈N*). 于是an＝(n∈N*). (2)由(1)得{an}是单调递减数列， 得数列{Tn}也是单调递减数列. 当1≤n≤6，n∈N*时，Sn＝＝n(265－15n)，则Tn＝＝265－15n，T6＝175＞100， 所以Tn＞100. 当n≥7，n∈N*时，Tn＝＝ ＝， 当n＝11时，T11＞104；当n＝12时，T12＜96. 所以当n≥12，n∈N*时，恒有Tn＜96. 故该企业需要在第12年年初更换A型车床. 学生用书⬇第41页 学科网（北京）股份有限公司 $