课时测评45 二项式系数的性质-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评45　二项式系数的性质 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.下面是(a＋b)n，当n＝1，2，3，4，5，6时展开式的二项式系数表示形式. 借助上面的表示形式，判断λ与μ的值分别是(　　) A.5，9　　 　 B.5，10 　　 C.6，10　　 D.6，9 答案：C 解析：结合题意可得λ＝3＋3＝6，μ＝4＋6＝10，故选C. 2.设二项式的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是(　　) A.第9项 B.第8项 C.第9项和第10项 D.第8项和第9项 答案：A 解析：因为展开式的第5项为T5＝，所以令－4＝0，解得n＝16，所以展开式中系数最大的项是第9项. 3.设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 答案：A 解析：令x＝－1，则原式化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)2＋…＋a11(2－1)11， 所以a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2. 4.已知的展开式中各项系数的和为32，则该二项展开式中系数最大的项为(　　) A.270x－1 B.270x C.405x3 D.243x5 答案：B 解析：令x＝1，得(a－1)5＝32，解得a＝3. 的展开式的通项为Tr＋1＝·(3x)5－r·＝(－1)r·35－r··x5－2r. 当r＝0时，35＝243； 当r＝2时，33·＝270； 当r＝4时，3·＝15. 所以该二项展开式中第3项的系数最大，故该二项展开式中系数最大的项为270x. 5.(多选)已知(ax2＋)n(a＞0)的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是(　　) A.展开式中奇数项的二项式系数和为256 B.展开式中第6项的系数最大 C.展开式中存在常数项 D.展开式中含x15项的系数为45 答案：BCD 解析：由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，即＝，可知n－4＝6，即n＝10， 又展开式的各项系数之和为1 024，即当x＝1时，＝1 024，所以a＝1， 所以二项式为＝， 则二项式系数和为210＝1 024，则奇数项的二项式系数和为×1 024＝512，故A错误； 由n＝10可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大， 因为x2与的系数均为1，则该二项式展开式的二项式系数与系数相同，所以第6项的系数最大，故B正确； 若展开式中存在常数项，由通项Tr＋1＝x2(10－r)可得2(10－r)－r＝0，解得r＝8，故C正确； 由通项Tr＋1＝x2(10－r)可得2(10－r)－r＝15，解得r＝2，所以系数为＝45，故D正确， 故选BCD. 6.二项式(2x＋1)6的展开式中，第5项的系数等于　　　　. 答案：60 解析：因为二项式(2x＋1)6展开式的通项公式Tr＋1＝·(2x)6－r·1r， 所以T5＝(2x)2＝60x2. 7.设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝　　　　　. 答案： 解析：令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n，① 令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n，② ①＋②得3n＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)， 所以a0＋a2＋…＋a2n＝. 8.(4－3x＋2y)n(n∈N＋)展开式中不含y的项的系数和为　　　　. 答案：1 解析：要求(4－3x＋2y)n(n∈N＋)展开式中不含y的项， 只需令y＝0，所以(4－3x＋2y)n(n∈N＋)展开式中不含y的项的系数和即为(4－3x)n展开式的系数和. 令x＝1，得(4－3x)n展开式的各项系数和为(4－3)n＝1. 9.(10分)已知(n∈N＋)的展开式中第7项是常数项. (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 解：(1)展开式的通项为Tr＋1＝xn－r＝， 因为第7项为常数项，所以第7项T7＝ xn－9， 即n＝9. (2)因为n＝9，所以二项式系数最大的项为T5与T6， 即T5＝x3＝x3， T6＝＝－. 10.(10分)(1)已知(1－2x)2n＋1的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为1∶4，求n的值. (2)记(1－2x)2n＋1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n＋1x2n＋1，n∈N＋， ①求｜a0｜＋｜a1｜＋…＋｜a2n＋1｜； ②设ak＝(－2)kbk，求和：1·b0＋2·b1＋3·b2＋…＋(k＋1)·bk＋…＋(2n＋2)·b2n＋1. 解：(1)因为(1－2x)2n＋1的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为1∶4， 所以＝，解得n＝4. (2)①由题意 (1＋2x)2n＋1＝｜a0｜＋｜a1｜x＋…＋｜a2n＋1｜x2n＋1， 令x＝1，得｜a0｜＋｜a1｜＋…＋｜a2n＋1｜＝32n＋1. ②由题意ak＝(－2)k，又ak＝(－2)kbk， 所以bk＝. 所以(k＋1)bk＝(k＋1)＝k＋＝k＋＝＋ ＝(2n＋1)＋，k＞0， 所以1·b0＋2·b1＋3·b2＋…＋(k＋1)·bk＋…＋(2n＋2)·b2n＋1＝1·＋2·＋3·＋…＋(k＋1)·＋…＋(2n＋2)·＝＋(2n＋1)＝22n＋1＋(2n＋1)22n＝(2n＋3)·22n. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为(　　) A.1或3 B.－3 C.1 D.1或－3 答案：D 解析：令x＝0，得a0＝(1＋0)6＝1.令x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6.又a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63， 所以(1＋m)6＝64＝26，所以m＝1或m＝－3. 12.(多选)关于(a－b)11的说法，正确的是(　　) A.展开式中的二项式系数之和为2 048 B.展开式中只有第6项的二项式系数最大 C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D.展开式中第6项的系数最大 答案：AC 解析：(a－b)11的展开式中的二项式系数之和为211＝2 048，故A正确； 因为n＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项(第6项和第7项)的二项式系数相等且最大，故B不正确，C正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，故D不正确.故选AC. 13.已知(1＋x)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是　　　　. 答案：6 解析：(1＋x)n的展开式的各项的系数为其二项式系数，当n＝10时，展开式的第六项的二项式系数最大，故k的最大值为6. 14.(13分)已知的展开式的二项式系数之和为256. (1)求n的值； (2)若展开式中常数项为，求m的值； (3)若(x＋m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况. 解：(1)由二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8. (2)设常数项为第r＋1项，则 Tr＋1＝x8－r＝mrx8－2r. 令8－2r＝0，即r＝4，则m4＝， 解得m＝±. (3)易知m＞0，设第r＋1项系数最大. 则 化简可得≤r≤. 由于只有第6项和第7项系数最大， 所以 所以m只能等于2. 15.(5分)已知(2x－1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则＋＋＋…＋的值为(　　) A.28 B.28－1 C.27 D.27－1 答案：B 解析：设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B. 则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…. 由已知可知：B－A＝38.令x＝－1， 得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n， 即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n， 即：B－A＝(－3)n.所以(－3)n＝38＝(－3)8， 所以n＝8. 由二项式系数的性质可得： ＋＋＋…＋＝2n－＝28－1. 16.(17分)已知展开式的第5项的系数与第3项的系数的比值为30.求： (1)展开式中的所有有理项； (2)n＋6＋36＋…＋6n－1的值； (3)系数的绝对值最大的项. 解：展开式的通项Tr＋1＝)n－r·＝·(－2)r(r＝0，1，…，n)， 由于展开式的第5项的系数与第3项的系数的比值为30，则＝30，化简，得n2－5n－84＝0，解得n＝12或n＝－7(舍去). (1)展开式的通项Tr＋1＝(－2)r·(r＝0，1，2，…，12)，当r＝0，6，12时，为整数，则有理项为T1＝x6，T7＝26x＝59 136x， T13＝212x－4＝4 096x－4. (2)n＋6＋36＋…＋6n－1 ＝＋6＋36＋…＋611 ＝(1＋6＋62＋63＋…＋612)－ ＝×(1＋6)12－ ＝. (3)设第r＋1项的系数的绝对值最大， 因为Tr＋1＝(－2)r·(r＝0，1，2，…，12)， 则 即 解得≤r≤， 所以r＝8， 所以系数的绝对值最大的项为T9＝28＝126 720. 学生用书⬇第131页 学科网（北京）股份有限公司 $