课时测评36 曲线与方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评36　曲线与方程 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.平面内一点M到两定点F1(0，－3)，F2(0，3)的距离之和为10，则M的轨迹方程是(　　) A.＋＝1　　　　　 B.＋＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案：B 解析：平面内一点M到两定点F1(0，－3)，F2(0，3)的距离之和为10＞6， 所以M的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆，且a＝5，c＝3，则b＝4， 椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的方程为＋＝1. 2.已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0，2)，则顶点A的轨迹方程为(　　) A.＋＝1(x≠0) B.＋＝1(y≠0) C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1(y≠0) 答案：A 解析：因为△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0，2)， 所以｜BC｜＝4，｜AB｜＋｜AC｜＝12－4＝8， 所以点A到两个定点的距离之和等于定值， 又8＞4， 所以点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2， 所以b2＝12， 所以椭圆的方程为＋＝1(x≠0). 3.已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点A到F1的距离是2，线段AF2的垂直平分线交AF1于点P，则点P的轨迹方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：C 解析：依题意有｜AP｜＝｜PF2｜，｜AF1｜＝｜AP｜＋｜PF1｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜＝2＞｜F1F2｜＝2， 所以点P的轨迹是以F1(－1，0)，F2(1，0)为焦点的椭圆. 因为2a＝2，2c＝2， 所以a＝，b＝， 故所求点P的轨迹方程是＋＝1. 4.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　) A.圆　　　 B.椭圆　　　 C.线段　　　 D.直线 答案：B 解析：设椭圆的右焦点为F2， 由题意，知｜PO｜＝｜MF2｜，｜PF1｜＝｜MF1｜， 又｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a， 所以｜PO｜＋｜PF1｜＝a＞｜F1O｜＝c， 故由椭圆的定义，可知点P的轨迹是椭圆. 5.设A1，A2是椭圆＋＝1的长轴的两个端点，P1，P2是椭圆上垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案：C 解析：设交点为P(x，y)，A1(－3，0)，A2(3，0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)， 因为A1，P1，P共线， 所以＝，① 因为A2，P2，P共线， 所以＝.② ①×②得＝，③ 因为P1(x0，y0)在椭圆＋＝1上， 所以＋＝1， 所以＝4， 将代入③得＝－＝， 所以P的轨迹方程为－＝1. 6.动圆M与圆M1：(x＋1)2＋y2＝1外切，与圆M2：(x－1)2＋y2＝25内切，则动圆圆心M的轨迹方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.x2＋＝1 答案：B 解析：设动圆的圆心为M(x，y)，半径为R， 动圆与圆M1：(x＋1)2＋y2＝1外切，与圆M2：(x－1)2＋y2＝25内切， 所以｜MM1｜＋｜MM2｜＝1＋R＋5－R＝6， 因为｜MM1｜＋｜MM2｜＞｜M1M2｜＝2， 所以该动圆圆心M的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆，且2a＝6，c＝1， 解得a＝3，根据a，b，c的关系求得b2＝8， 所以椭圆的方程为＋＝1. 7.在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)，B(－2，0)，P是平面内一动点，直线PA，PB的斜率之积为－.则动点P的轨迹C的方程为　　　　　　　. 答案：＋＝1(x≠±2) 解析：设点P的坐标为(x，y)(x≠±2)， 依题意，有×＝－， 化简并整理，得＋＝1(x≠±2). 所以动点P的轨迹C的方程是＋＝1(x≠±2). 8.若动点P(x，y)到点(1，0)的距离与到定直线x＝3的距离之比是，则动点P的轨迹方程是　　　　. 答案：＋＝1 解析：设点P的坐标为(x，y)， 则由题意得＝， 整理得2x2＋3y2＝6，即＋＝1， 所以动点P的轨迹方程是＋＝1. 9.(13分)如图所示，Rt△ABC的顶点坐标A(－2，0)，直角顶点B(0，－2)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点. (1)求边BC所在直线的方程； (2)M为Rt△ABC外接圆的圆心，求圆M的方程； (3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程. 解：(1)因为kAB＝－，AB⊥BC， 所以kCB＝. 所以边BC所在直线的方程为y＝x－2， 即x－y－4＝0. (2)因为边BC所在直线的方程为x－y－4＝0， 令y＝0，得C(4，0). 所以圆心M(1，0). 又因为｜AM｜＝3， 所以圆M的方程为(x－1)2＋y2＝9. (3)因为P(－1，0)，M(1，0)， 且圆N过点P(－1，0)， 所以PN是该圆的半径. 又因为动圆N与圆M内切， 所以｜MN｜＝3－｜PN｜， 即｜MN｜＋｜PN｜＝3＞2. 所以点N的轨迹是以M，P为焦点，长轴长为3的椭圆. 所以a＝，c＝1，b＝＝＝. 所以圆心N的轨迹方程为x2＋y2＝1. 10.(15分)已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程. 解：(1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)， 若点F(2，0)为其右焦点， 则其左焦点为F'(－2，0)， 从而有 解得 又a2＝b2＋c2， 所以b2＝12， 故椭圆C的方程为＋＝1. (2)设P(x0，y0)，Q(x，y)， 因为Q为PF的中点， 所以⇒ 又P是＋＝1上的动点， 所以＋＝1， 即Q点的轨迹方程是＋＝1. (11—14小题，每小题5分，共20分) 11.已知在△ABC中，点A(－2，0)，点B(2，0)，若tan∠CAB·tan∠CBA＝2，则点C的轨迹方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1(x≠±2) C.－＝1 D.＋＝1(x≠±2) 答案：B 解析：设C(x，y)， 则kCA＝，kCB＝， 由tan∠CAB·tan∠CBA＝2， 得×＝2， 即＋＝1， 当x＝±2时，C与A或B重合，不符合题意. 所以点C的轨迹方程为＋＝1(x≠±2). 12.设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为(　　) A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 答案：D 解析：圆心C(－1，0)，半径为5，设点M(x，y)， 因为AQ的垂直平分线交CQ于M， 所以｜MA｜＝｜MQ｜， 又｜MQ｜＋｜MC｜＝5＞｜AC｜＝2， 即｜MA｜＋｜MC｜＞｜AC｜， 由椭圆的定义可得点M的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1， 所以b＝， 故椭圆方程为＋＝1. 13.设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且｜AB｜＝5，＝＋，则点M的轨迹方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：A 解析：设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)， 由＝＋， 可得(x，y)＝(x0，0)＋(0，y0)， 则 因为｜AB｜＝5， 所以＋＝25， 即＋＝1. 14.P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足＝＋，则动点Q的轨迹方程是　　　　　　. 答案：＋＝1 解析：设Q(x，y)， 因为＝＋， 所以＝－＝， 因为P是椭圆＋＝1上的任意一点， 所以＋＝1， 所以＋＝1. 15.(5分)如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是(　　) A.圆 B.一条直线 C.椭圆 D.两条平行直线 答案：C 解析：因为三角形的面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P在以AB为轴线的圆柱面与平面α的交线上，且α与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆. 16.(17分)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明｜EA｜＋｜EB｜为定值，并写出点E的轨迹方程. 解：圆A的方程整理可得(x＋1)2＋y2＝16，点A的坐标为(－1，0)，如图所示， 因为｜AD｜＝｜AC｜， 所以∠ACD＝∠ADC. 因为EB∥AC， 所以∠EBD＝∠ACD， 故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC. 所以｜EB｜＝｜ED｜， 故｜EA｜＋｜EB｜＝｜EA｜＋｜ED｜＝｜AD｜. 又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而｜AD｜＝4， 所以｜EA｜＋｜EB｜＝4. 由题设得A(－1，0)，B(1，0).｜AB｜＝2， 由椭圆定义可得点E的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝4，c＝1， 所以a2＝4，b2＝3， 所以点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0). 学科网（北京）股份有限公司 $