10 3.4　曲线与方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦“曲线与方程”，涵盖概念、坐标法及定义法、相关点代入法、直接法求轨迹方程。通过任务驱动搭建支架，先辨析曲线与方程关系，再结合典例落实方法，衔接圆锥曲线知识，逐步深化解析几何思想。 其亮点在于以核心素养为导向，通过典例（如辨析曲线与方程的纯粹性和完备性）、规律方法总结（如定义法步骤）培养逻辑推理、数学运算和直观想象能力。采用“概念-典例-练习-测评”闭环设计，学生能系统掌握方法，教师可提升教学针对性和效率。

3.4　曲线与方程 　 第3章　圆锥曲线与方程 学习目标 1.理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本 方法. 2.理解曲线与方程的概念，了解求曲线方程的几种常用方法，通过求曲线的方程，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的核心 素养. 任务一　曲线的方程、方程的曲线 1 任务二　定义法求轨迹方程 2 任务三　相关点代入法求轨迹方程 3 课时测评 6 内容索引 随堂评价 5 任务四　直接法求轨迹方程 4 任务一　曲线的方程、方程的曲线 返回 1.曲线与方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是______________； (2)以______________为坐标的点都是曲线上的点. 此时，这个方程叫作曲线的方程；这条曲线叫作方程的曲线. 2.坐标法 确定曲线的方程后，通过研究方程的性质而得到曲线的几何性质，我们称这种研究几何的方法为坐标法.基于坐标法，我们将几何问题转化为代数问题来解决，这也是解析几何的核心思想. 新知构建 这个方程的解 这个方程的解 (1)已知“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是 A.方程f(x，y)＝0的曲线是C B.方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C C.f(x，y)＝0是曲线C的方程 D.以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 典例1 √ “曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A，C，D都不正确，B正确. (2)“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2”的 A.充分不必要条件　　　 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 因为y＝－2≤0，而y2＝4x中y可正可负，所以点M在曲线y2＝4x上，但M不一定在y＝－2上.反之点M在y＝－2上时，一定在y2＝4x上. 规律方法 判定曲线和方程的对应关系的两个关注点 1.曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性； 2.以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性. 注意：只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线. 对点练1．分析下列曲线上的点与相应方程的关系. (1)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系； 解：与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5. (2)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系. 解：第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上.因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0. 返回 任务二　定义法求轨迹方程 返回 一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程. 解：将定圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62， 这时，已知圆的圆心坐标为B(－2，0)，半径为6，如图， 设动圆圆心M的坐标为(x，y)， 由于动圆与已知圆相内切，设切点为C. 所以已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离， 即｜BC｜－｜MC｜＝｜BM｜，而｜BC｜＝6， 所以｜BM｜＋｜CM｜＝6， 典例2 又｜CM｜＝｜AM｜，所以｜BM｜＋｜AM｜＝6， 根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2，0)和点A(2，0)为焦点，线段AB的中点O(0，0)为中心的椭圆. 所以a＝3，c＝2，b＝， 所以所求圆心的轨迹方程为＋＝1. 规律方法 　　观察几何图形，根据几何图形的直观性质得到动点轨迹的几何属性，由曲线的定义直接得到动点轨迹的方程.注意要检验是否有要删除的点. 对点练2．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为(－4，0)，(4，0)，C 为动点，且满足sin B＋sin A＝sin C，求点C的轨迹. 解：由sin B＋sin A＝sin C， 可知b＋a＝c＝10(a，b，c分别为角A，B，C的对边)， 即｜AC｜＋｜BC｜＝10，满足椭圆的定义. 令椭圆方程为＋＝1， 则a'＝5，c'＝4⇒b'＝3， 则轨迹方程为＋＝1(x≠±5)，图形为椭圆(不含左、右顶点). 返回 任务三　相关点代入法求轨迹方程 返回 点B是椭圆＋＝1上的动点，A(2a，0)为定点，求线段AB的中点M的轨迹方程. 解：设动点M的坐标为(x，y)，B点坐标为(x0，y0)，则由M为线段AB的中点，可得 ⇒即点B的坐标可表示为(2x－2a，2y). 又点B(x0，y0)在椭圆＋＝1上， 所以＋＝1，从而有＋＝1. 整理得动点M的轨迹方程为＋＝1. 典例3 规律方法 相关点代入法求轨迹方程的一般步骤 1.建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0). 2.找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0. 3.将x0，y0代入其所在的曲线方程. 4.化简方程得所求方程. 对点练3．已知P(－4，－4)，Q是椭圆x2＋2y2＝16上的动点，M是线段PQ上的点，且满足，则动点M的轨迹方程是 A.(x－3)2＋2(y－3)2＝1 B.(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1 C.(x＋1)2＋2(y＋1)2＝9 D.(x－1)2＋2(y－1)2＝9 √ 设动点M(x，y)，Q(m，n)， 因为， 所以 又Q(m，n)在椭圆x2＋2y2＝16上， 故16(x＋3)2＋32(y＋3)2＝16， 即(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1. 返回 任务四　直接法求轨迹方程 返回 已知在平面直角坐标系中，动点M到定点(－，0)的距离与它到定直线l：x＝－的距离之比为常数. (1)求动点M的轨迹Γ的方程； 解：设动点M(x，y)， 由已知可得， 即x2＋2x＋3＋y2＝， 化简得＋y2＝1， 即所求动点M的轨迹Γ的方程为＋y2＝1. 典例4 (2)设点A，若P是(1)中轨迹Γ上的动点，求线段PA的中点B的轨迹 方程. 解：设点B(x，y)，点P(x0，y0)， 由 由点P在轨迹Γ上，得＋＝1， 整理得＋4＝1， 所以线段PA的中点B的轨迹方程是＋4＝1. 规律方法 　　求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立平面直角坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(x，y)，轨迹方程就是x，y之间的等式，关键是找到等量关系，然后用x，y表示. 对点练4．已知平面上两定点M(0，－2)，N(0，2)，P为一动点，满足·＝｜｜·｜｜.求动点P的轨迹C的方程. 解：设P(x，y). 由已知＝(x，y＋2)，＝(0，4)，＝(－x，2－y)， 得·＝4y＋8，｜｜·｜｜＝4， 因为·＝｜｜·｜｜， 所以4y＋8＝4，整理得 x2＝8y. 即动点P的轨迹C的方程为x2＝8y. 返回 随堂评价 返回 1.在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，｜AB｜＋｜AC｜＝6，则顶点A的轨迹方程是 A.＋＝1(x≠±3)　　 B.＋＝1(x≠±2) C.＋＝1(x≠±3) D.＋＝1(x≠±2) √ 在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，｜AB｜＋｜AC｜＝6＞｜BC｜＝4， 则顶点A的轨迹满足椭圆的定义，a＝3，c＝2，b＝， 所以顶点A的轨迹方程是＋＝1(x≠±3). 2.在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，.当点P在圆上运动时，点M的轨迹方程是__________. 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)， 则点D的坐标为(x0，0)， 因为，所以 因为点P在x2＋y2＝4上，所以＋＝4，所以x2＋＝4， 所以点M的轨迹方程是＋＝1. ＋＝1 3.到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是___________. 由点P满足｜PA｜＝｜PB｜，可知点P的轨迹为点A(2，－3)和B(4，－1)的垂直平分线. 所以由中点坐标公式得AB的中点为(3，－2)，kAB＝＝1， 所以其垂直平分线的斜率为－1. 所以点P的轨迹方程是y＋2＝－(x－3)，即x＋y－1＝0. x＋y－1＝0 4.已知点A(－1，0)，B(1，0).曲线C上任意一点P满足－＝4(｜｜－｜｜)≠0.则曲线C的轨迹是_____. 椭圆 由－＝4(｜｜－｜｜)≠0， 得｜｜＋｜｜＝4，且4＞｜AB｜. 故曲线C的轨迹是椭圆. 返回 课时测评 返回 1.平面内一点M到两定点F1(0，－3)，F2(0，3)的距离之和为10，则M的轨迹方程是 A.＋＝1　　　　　 B.＋＝1 C.－＝1 D.－＝1 平面内一点M到两定点F1(0，－3)，F2(0，3)的距离之和为10＞6， 所以M的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆，且a＝5，c＝3，则b＝4， 椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的方程为＋＝1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0，2)，则顶点A的轨迹方程为 A.＋＝1(x≠0) B.＋＝1(y≠0) C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1(y≠0) 因为△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0，2)， 所以｜BC｜＝4，｜AB｜＋｜AC｜＝12－4＝8， 所以点A到两个定点的距离之和等于定值， 又8＞4， 所以点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2， 所以b2＝12， 所以椭圆的方程为＋＝1(x≠0). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点A到F1的距离是2，线段AF2的垂直平分线交AF1于点P，则点P的轨迹方程是 A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 √ 依题意有｜AP｜＝｜PF2｜，｜AF1｜＝｜AP｜＋｜PF1｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜＝2＞｜F1F2｜＝2， 所以点P的轨迹是以F1(－1，0)，F2(1，0)为焦点的椭圆. 因为2a＝2，2c＝2， 所以a＝，b＝， 故所求点P的轨迹方程是＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是 A.圆　　　 B.椭圆　　　 C.线段　　　 D.直线 设椭圆的右焦点为F2， 由题意，知｜PO｜＝｜MF2｜，｜PF1｜＝｜MF1｜， 又｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a， 所以｜PO｜＋｜PF1｜＝a＞｜F1O｜＝c， 故由椭圆的定义，可知点P的轨迹是椭圆. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.设A1，A2是椭圆＋＝1的长轴的两个端点，P1，P2是椭圆上垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为 A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.－＝1 √ 设交点为P(x，y)，A1(－3，0)，A2(3，0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)， 因为A1，P1，P共线， 所以，① 因为A2，P2，P共线， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以.② ①×②得，③ 因为P1(x0，y0)在椭圆＋＝1上， 所以＋＝1， 所以＝4， 将代入③得＝－， 所以P的轨迹方程为－＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.动圆M与圆M1：(x＋1)2＋y2＝1外切，与圆M2：(x－1)2＋y2＝25内切，则动圆圆心M的轨迹方程是 A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.x2＋＝1 √ 设动圆的圆心为M(x，y)，半径为R， 动圆与圆M1：(x＋1)2＋y2＝1外切，与圆M2：(x－1)2＋y2＝25内切， 所以｜MM1｜＋｜MM2｜＝1＋R＋5－R＝6， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为｜MM1｜＋｜MM2｜＞｜M1M2｜＝2， 所以该动圆圆心M的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆，且2a＝6，c＝1， 解得a＝3，根据a，b，c的关系求得b2＝8， 所以椭圆的方程为＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)，B(－2，0)，P是平面内一动点， 直线PA，PB的斜率之积为－.则动点P的轨迹C的方程为________________. 设点P的坐标为(x，y)(x≠±2)， 依题意，有×＝－， 化简并整理，得＋＝1(x≠±2). 所以动点P的轨迹C的方程是＋＝1(x≠±2). ＋＝1(x≠±2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若动点P(x，y)到点(1，0)的距离与到定直线x＝3的距离之比是，则动点P的轨迹方程是__________. 设点P的坐标为(x，y)， 则由题意得， 整理得2x2＋3y2＝6，即＋＝1， 所以动点P的轨迹方程是＋＝1. ＋＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(13分)如图所示，Rt△ABC的顶点坐标A(－2，0)，直角顶点B(0，－2)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点. (1)求边BC所在直线的方程； 解：因为kAB＝－，AB⊥BC， 所以kCB＝. 所以边BC所在直线的方程为y＝x－2， 即x－y－4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)M为Rt△ABC外接圆的圆心，求圆M的方程； 解：因为边BC所在直线的方程为x－y－4＝0， 令y＝0，得C(4，0). 所以圆心M(1，0). 又因为｜AM｜＝3， 所以圆M的方程为(x－1)2＋y2＝9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程. 解：因为P(－1，0)，M(1，0)， 且圆N过点P(－1，0)， 所以PN是该圆的半径. 又因为动圆N与圆M内切， 所以｜MN｜＝3－｜PN｜， 即｜MN｜＋｜PN｜＝3＞2. 所以点N的轨迹是以M，P为焦点，长轴长为3的椭圆. 所以a＝，c＝1，b＝. 所以圆心N的轨迹方程为x2＋y2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(15分)已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点. (1)求椭圆的标准方程； 解：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)， 若点F(2，0)为其右焦点， 则其左焦点为F'(－2，0)， 从而有 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得 又a2＝b2＋c2， 所以b2＝12， 故椭圆C的方程为＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程. 解：设P(x0，y0)，Q(x，y)， 因为Q为PF的中点， 所以⇒ 又P是＋＝1上的动点， 所以＋＝1， 即Q点的轨迹方程是＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11.已知在△ABC中，点A(－2，0)，点B(2，0)，若tan∠CAB·tan∠CBA＝2，则点C的轨迹方程为 A.＋＝1 B.＋＝1(x≠±2) C.－＝1 D.＋＝1(x≠±2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设C(x，y)， 则kCA＝，kCB＝， 由tan∠CAB·tan∠CBA＝2， 得×＝2， 即＋＝1， 当x＝±2时，C与A或B重合，不符合题意. 所以点C的轨迹方程为＋＝1(x≠±2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 12.设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为 A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆心C(－1，0)，半径为5，设点M(x，y)， 因为AQ的垂直平分线交CQ于M， 所以｜MA｜＝｜MQ｜， 又｜MQ｜＋｜MC｜＝5＞｜AC｜＝2， 即｜MA｜＋｜MC｜＞｜AC｜， 由椭圆的定义可得点M的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，且2a＝5， c＝1， 所以b＝， 故椭圆方程为＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且｜AB｜＝5，＋，则点M的轨迹方程为 A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)， 由＋， 可得(x，y)＝(x0，0)＋(0，y0)， 则 因为｜AB｜＝5， 所以＋＝25， 即＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足＋，则动点Q的轨迹方程是___________. ＋＝1 设Q(x，y)， 因为＋， 所以＝－， 因为P是椭圆＋＝1上的任意一点， 所以＋＝1， 所以＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是 A.圆 B.一条直线 C.椭圆 D.两条平行直线 因为三角形的面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P在以AB为轴线的圆柱面与平面α的交线上，且α与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明｜EA｜＋｜EB｜为定值，并写出点E的轨迹方程. 解：圆A的方程整理可得(x＋1)2＋y2＝16，点A的坐标为(－1，0)，如图 所示， 因为｜AD｜＝｜AC｜， 所以∠ACD＝∠ADC. 因为EB∥AC， 所以∠EBD＝∠ACD， 故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC. 所以｜EB｜＝｜ED｜， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 故｜EA｜＋｜EB｜＝｜EA｜＋｜ED｜＝｜AD｜. 又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而｜AD｜＝4， 所以｜EA｜＋｜EB｜＝4. 由题设得A(－1，0)，B(1，0).｜AB｜＝2， 由椭圆定义可得点E的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且 2a＝4，c＝1， 所以a2＝4，b2＝3， 所以点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 3.4　曲线与方程 返回 $