课时测评30 双曲线的标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评30　双曲线的标准方程 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为(　　) A.－＝1　　　　　　　 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案：B 解析：2a＝｜－｜ ＝4， 所以a＝2， 又c＝6， 所以b2＝c2－a2＝36－20＝16. 所以双曲线的标准方程为－＝1. 2.已知方程＋＝1表示双曲线，则m的取值范围是(　　) A.(－1，＋∞) B.(2，＋∞) C.(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.(－1，2) 答案：D 解析：因为方程＋＝1表示双曲线， 所以(m－2)(m＋1)＜0， 解得－1＜m＜2， 所以m的取值范围是(－1，2). 3.若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　) A.　　　　　　 B. C. D.(，0) 答案：B 解析：将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1， 所以a2＝1，b2＝，所以c2＝a2＋b2＝，所以c＝， 故右焦点坐标为. 4.(多选)双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(　　) A.17　　　　 B.7　　　　 C.22　　　　 D.2 答案：CD 解析：设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2， 则a＝5，b＝3，c＝， 设P为双曲线上一点，不妨令｜PF1｜＝12(12＞a＋c＝5＋)， 所以点P可能在左支，也可能在右支， 由｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝10，得｜12－｜PF2｜｜＝10， 所以｜PF2｜＝22或2. 所以点P到另一个焦点的距离是22或2. 5.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长｜AB｜＝m，则△ABF2的周长为(　　) A.4a B.4a－m C.4a＋2m D.4a－2m 答案：C 解析：不妨设｜AF2｜＞｜AF1｜， 由双曲线的定义，知｜AF2｜－｜AF1｜＝2a，｜BF2｜－｜BF1｜＝2a， 所以｜AF2｜＋｜BF2｜＝(｜AF1｜＋｜BF1｜)＋4a＝m＋4a， 于是△ABF2的周长l＝｜AF2｜＋｜BF2｜＋｜AB｜＝4a＋2m. 6.已知双曲线－＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为(　　) A.3或7 B.6或14 C.3 D.7 答案：A 解析：设F2是双曲线的右焦点， 连接ON(图略)，ON是△PF1F2的中位线， 所以｜ON｜＝｜PF2｜， 因为｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝4，｜PF1｜＝10， 所以｜PF2｜＝14或6， 所以｜ON｜＝｜PF2｜＝7或3. 7.焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，－3)，且Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为　　　　　　. 答案：－＝1 解析：设焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)(c＞0)， 则由QF1⊥QF2，得·＝－1， 所以·＝－1，所以c＝5. 设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 因为双曲线过点P(4，－3)， 所以－＝1， 又因为c2＝a2＋b2＝25， 所以a2＝16，b2＝9. 所以双曲线的标准方程为－＝1. 8.设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点.若P在双曲线上，且·＝0，则｜＋｜的值为　　　　. 答案：2 解析：由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为 F1(－，0)，F2(，0). 设点P(x，y)， 则＝(－－x，－y)，＝(－x，－y). 因为·＝0，所以x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10. 所以｜＋｜＝＝＝2. 9.(13分)在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程. 解：因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝， 所以设｜PN｜＝3k，｜PM｜＝4k，则｜MN｜＝5k. 由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4. 所以｜PN｜＝12，｜PM｜＝16，｜MN｜＝20. 以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立平面直角坐标系，如图所示. 设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0). 由｜PM｜－｜PN｜＝4， 得2a＝4，a＝2，a2＝4. 由｜MN｜＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100， 所以b2＝c2－a2＝100－4＝96， 故所求方程为－＝1(x＞2). 10.(15分)如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)若P是双曲线左支上的点，且｜PF1｜·｜PF2｜＝32，试求△F1PF2的面积. 解：(1)F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点， 则a＝3，b＝4，c＝5， 设点M到另一个焦点的距离为m， 由双曲线定义可知｜m－16｜＝2a＝6， 解得m＝10或m＝22， 即点M到另一个焦点的距离为10或22. (2)P是双曲线左支上的点，｜PF2｜－｜PF1｜＝2a＝6， 则｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜＋｜PF1｜2＝36， 代入｜PF1｜·｜PF2｜＝32， 可得｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝36＋2×32＝100， 即｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2＝100， 所以△F1PF2为直角三角形， 所以＝｜PF1｜·｜PF2｜＝×32＝16. (11—14小题，每小题5分，共20分) 11.设椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于(　　) A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 答案：B 解析：设｜PF1｜＝d1，｜PF2｜＝d2， 则d1＋d2＝2，① ｜d1－d2｜＝2，② ①2＋②2，得＋＝18. ①2－②2，得2d1d2＝6. 而c＝2， 所以cos∠F1PF2＝. 12.双曲线x2－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P满足∠F1PF2＝60°，则｜PF1｜·｜PF2｜等于(　　) A.1 B.4 C.7 D.9 答案：B 解析：在双曲线x2－y2＝1中，a＝b＝1，c＝， 设P在右支上，则｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝2， 因为∠F1PF2＝60°， 在△PF1F2中，由余弦定理可得｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜cos 60° ＝(｜PF1｜－｜PF2｜)2＋｜PF1｜｜PF2｜， 即4c2＝4a2＋｜PF1｜·｜PF2｜， 即｜PF1｜·｜PF2∣＝4c2－4a2＝4b2＝4. 13.动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是(　　) A.双曲线的一支 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 答案：A 解析：设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2， 由两圆外切的充要条件，得 ｜MO1｜＝r＋1，｜MO2｜＝r＋2. 所以｜MO2｜－｜MO1｜＝1， 又｜O1O2｜＝4， 所以动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1). 14.(多选)已知点P在双曲线C：－＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有(　　) A.点P到x轴的距离为 B.｜PF1｜＋｜PF2｜＝ C.△PF1F2为钝角三角形 D.∠F1PF2＝ 答案：BC 解析：因为双曲线C：－＝1，所以c＝＝5.又因为＝·2c｜yP｜＝×10×｜yP｜＝20，所以｜yP｜＝4，所以选项A错误； 将｜yP｜＝4代入C：－＝1得－＝1，即｜xP｜＝.由对称性，不妨取P的坐标为，可知｜PF2｜＝＝.由双曲线定义可知｜PF1｜＝｜PF2｜＋2a＝＋8＝，所以｜PF1｜＋｜PF2｜＝＋＝，所以选项B正确； 由对称性，对于点P，在△PF1F2中，｜PF1｜＝＞2c＝10＞｜PF2｜＝.且cos∠PF2F1＝＝－＜0，则∠PF2F1为钝角，所以△PF1F2为钝角三角形，选项C正确； 由余弦定理得 cos∠F1PF2＝＝≠，∠F1PF2≠，所以选项D错误. 15.(5分)已知P为双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心.若＝＋8，则△MF1F2的面积为(　　) A.2 B.10 C.8 D.6 答案：B 解析：设△PF1F2的内切圆的半径为R， 由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5. 因为＝＋8， 所以(｜PF1｜－｜PF2｜)R＝8，即aR＝8， 所以R＝2， 所以＝·2c·R＝10. 16.(17分)如图所示，已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中，c＝2a，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，＝12，求双曲线的标准方程. 解：由题意得｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a， 在△F1PF2中，由余弦定理得 cos 60°＝ ＝， 所以｜PF1｜·｜PF2｜＝4(c2－a2)＝4b2. 所以＝｜PF1｜｜PF2｜·sin 60°＝2b2·＝b2. 所以b2＝12，b2＝12. 由c＝2a，c2＝a2＋b2，得a2＝4. 所以双曲线的标准方程为－＝1. 学生用书⬇第87页 学科网（北京）股份有限公司 $