3.2.1 双曲线的标准方程-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦双曲线的定义、标准方程及轨迹问题，通过拉链实验情境导入，引导学生观察动点几何条件，结合椭圆定义对比辨析常数与焦距关系，搭建从直观操作到抽象概念的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以情境导学和问题链驱动教学，通过拉链实验培养数学眼光，结合定义辨析题（如射线与双曲线的区别）发展数学思维，利用轨迹问题建模（如动圆圆心轨迹推导）提升数学语言表达能力。实例丰富，如焦点三角形面积计算、方程表示双曲线条件讨论，既助学生深化理解，又为教师提供系统教学方案。

第3章 圆锥曲线与方程 3.2　双曲线 3.2.1　双曲线的标准方程 学习任务 核心素养 1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点) 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点) 1．通过对双曲线概念的学习，培养数学抽象素养． 2．通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升数学运算、逻辑推理及数学抽象等素养． 3.2.1　双曲线的标准方程 做下面一个实验． (1)取一条拉链，拉开一部分． (2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上． (3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线． 试观察这是一条什么样的曲线？ 点M在运动过程中满足什么几何条件？ 必备知识·情境导学探新知 3.2.1　双曲线的标准方程 知识点1　双曲线的定义 文字 语言 平面上到两个定点F1，F2的距离____________为正常数(小于__________)的点的轨迹叫作双曲线 符号 语言 ||PF1|－|PF2||＝正常数(正常数＜|F1F2|) 焦点 两个定点F1，F2 焦距 两个焦点之间的距离|F1F2| 之差的绝对值 |F1F2| 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 思考　1．(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ (2)双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？ [提示]　(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (2)双曲线的右支． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 体验　1．(1)已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的(　　) A．充分条件　　　　　 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)平面内到点F1(6，0)的距离减去到点F2(－6，0)的距离之差等于12的点的集合是(　　) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 (1)B　(2)D　[(1)根据双曲线的定义知甲⇒/ 乙，乙⇒甲，因此甲是乙的必要条件，故选B． (2)设动点为P，则|PF1|－|PF2|＝12＝|F1F2|，点P的轨迹为以F2为端点的一条射线，故选D．] 知识点2　双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) _______________________ a，b，c的关系 c2＝________ ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) F1(0，－c)，F2(0，c) a2＋b2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 思考　2．如何根据双曲线的标准方程判断焦点所在的坐标轴？ [提示]　双曲线的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的系数为正；双曲线的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的系数为正，即“焦点跟着正的跑”．这是判断双曲线焦点所在坐标轴的重要方法． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 体验　2．(1)若双曲线方程为＝1，则其焦点在________轴上，焦点坐标为_______________． (2)已知a＝5，c＝10，焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为 __________． x (6，0)和(－6，0) ＝1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 (1)x　(6，0)和(－6，0)　(2)＝1　[(1)因为方程中x2的系数>0，所以焦点在x轴上，且a2＝16，b2＝20，从而c2＝16＋20＝36，c＝6，故焦点坐标为(6，0)和(－6，0)． (2)由已知得b2＝c2－a2＝75，于是双曲线的标准方程为＝1．] 类型1　双曲线定义的应用 【例1】　若F1，F2是双曲线＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于7，求点M到另一个焦点的距离； (2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 关键能力·合作探究释疑难 3.2.1　双曲线的标准方程 [解]　(1)由双曲线方程知a2＝9，b2＝16，则c2＝25，∴a＝3，b＝4，c＝5． 设|MF1|＝7，则根据双曲线的定义知 ||MF2|－7|＝6，即|MF2|－7＝±6． 解得|MF2|＝13，或|MF2|＝1， 又|MF2|＝1<c－a，则|MF2|＝1不合题意， 因此，点M到另一个焦点的距离为13． (2)由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， 所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64， 所以＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2 ＝×64×＝16． 反思领悟　求双曲线中焦点△PF1F2面积的两种方法 (1)方法一：(先求|PF1|·|PF2|的值) ①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式＝求得面积． (2)方法二：利用公式＝×|F1F2|×|yp|(yp为P点的纵坐标)求得面积． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，二是特别注意|PF1|2＋|PF2|2与|PF1|·|PF2|的关系． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 [跟进训练] 1．(1)已知双曲线C的方程是＝1，其上、下焦点分别是F2，F1，点M在双曲线C上，且|MF1|＝9，则|MF2|等于(　　) A．17 B．1 C．17或1 D．16或1 (2)设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　) A．4 B．8 C．24 D．48 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 (1)A　(2)C　[(1)由双曲线方程知a2＝16，b2＝20，则c2＝36，∴a＝4，b＝2，c＝6． 根据双曲线的定义得||MF2|－9|＝8，即|MF2|－9＝±8， 解得|MF 2|＝17或|MF2|＝1， 又|MF2|＝1<c－a，不合题意，舍去，故选A． (2)由题意得 解得|PF1|＝8，|PF2|＝6． 在△PF1F2中，|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝10， ∴△PF1F2为直角三角形， ∴＝|PF1||PF2|＝24．] 类型2　求双曲线的标准方程 【例2】　【链接教材P131例2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)a＝4，经过点A； (2)与双曲线＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)； (3)过点P，Q且焦点在坐标轴上． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 [解]　(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9．故所求双曲线的标准方程为＝1． (2)双曲线＝1的焦点在x轴， 因此设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)， ∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20．① ∵双曲线经过点(3，2)，∴＝1．② 由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为＝1． (3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0． ∵点P，Q在双曲线上， ∴解得 ∴双曲线的标准方程为＝1． 【教材原题·P131例2】 例2　已知双曲线两个焦点分别为F1(0，－2)，F2(0，2)，并且双曲线经过点P(3，－2)，求该双曲线的标准方程． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 [解]　由于双曲线的焦点在y轴上，故可设它的标准方程为＝1(a>0，b>0)． 已知焦点F1，F2及双曲线上一点P，由双曲线的定义可知 2a＝|PF2|－|PF1|＝－3＝5－3＝2， 因此a＝1． 又因为c＝2，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3． 因此，所求双曲线的标准方程为y2－＝1． 反思领悟　用待定系数法求双曲线方程的步骤 (1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)． (3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 [跟进训练] 2．(1)已知动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)的距离之差等于6，则P点的轨迹方程是(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1(x－3) D．＝1(x≥3) (2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为___________． √ ＝1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 (1)D　(2)＝1　[(1)由题意知|PA|－|PB|＝6，则点P的轨迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线的右支，且2a＝6，c＝5，所以b2＝c2－a2＝52－32＝42＝16， 所以点P的轨迹方程为＝1(x≥3)，故选D． (2)设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)， 将点(4，－2)和(2，2)代入方程得 解得a2＝8，b2＝4， 所以双曲线的标准方程为＝1．] 类型3　方程表示双曲线的条件 【例3】　【链接教材P131例3】 给出方程＝1． (1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围； (2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 [解]　(1)方程表示双曲线，则有(4＋k)(1－k)<0， 即(k＋4)(k－1)>0，解得k>1或k<－4， 因此实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞)． (2)方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有 解得k<－4，因此实数k的取值范围是(－∞，－4)． 【教材原题·P131例3】 例3　已知方程＝1． (1)若方程表示双曲线，求a的取值范围； (2)试说明(1)中的双曲线有共同的焦点． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 [解]　(1)方程表示双曲线，则(4＋a)(5＋a)<0． 解得－5<a<－4． 因此，当－5<a<－4时，方程表示双曲线，且原方程可写为＝1． (2)由(1)可知，双曲线的焦点在y轴上，且c2＝5＋a＋(－4－a)＝1． 所以，方程表示的双曲线的焦点坐标为(0，1)，(0，－1)，显然与方程中的a无关，因此(1)中的双曲线有共同的焦点． 反思领悟　方程表示双曲线的条件 (1)对于方程＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线． (2)对于方程＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 [跟进训练] 3．(1)已知方程＝1表示双曲线，则k的取值范围是________． (2)椭圆＝1与双曲线＝1有相同的焦点，则a＝________． (－1，1)　 1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 (1)(－1，1)　(2)1　[(1)由题意得(1＋k)(1－k)>0，即(k＋1)(k－1)<0， 解得－1<k<1． (2)由双曲线方程知焦点在x轴上且c2＝a＋2(a>0)． 由椭圆方程，知c2＝4－a2， 所以a＋2＝4－a2， 即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)． 因此a的值为1．] 类型4　与双曲线有关的轨迹问题 【例4】　如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程． 尝试与发现 在△ABC中，由2sin A＋sin C＝2sin B能得到什么结论？由此思考动点C满足的条件，进而求出轨迹方程． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 [解]　以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则A(－2，0)，B(2，0)． 由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC的外接圆半径)． ∵2sin A＋sin C＝2sin B， ∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|， 即|AC|－|BC|＝＝2<|AB|． 由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)． 由题意，设所求轨迹方程为＝1(x>a)， ∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6． 即所求轨迹方程为＝1(x>)． 反思领悟　求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种 (1)列出等量关系，化简得到方程； (2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程． 求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 [跟进训练] 4．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 [解]　圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5，0)，半径r1＝1． 圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5，0)，半径r2＝4． 设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|． ∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝． 故动圆圆心M的轨迹方程为＝1． 1．已知F1(－5，0)，F2(5，0)为定点，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a＝3和a＝5时，P点的轨迹分别为(　　) A．双曲线和一条直线 B．双曲线的一支和一条直线 C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支和一条射线 学习效果·课堂评估夯基础 √ 3.2.1　双曲线的标准方程 D　[因为|F1F2|＝10，|PF1|－|PF2|＝2a，所以当a＝3时，2a＝6<|F1F2|，轨迹为双曲线的一支；当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，轨迹为一条射线．] 2．已知双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　) A．　B．　C．　D．(，0) √ C　[将双曲线方程化为标准形式x2－＝1，所以a2＝1，b2＝，于是c＝＝，故右焦点坐标为．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 3．“k>9”是“方程＝1表示双曲线”的(　　) A．充要条件　　　　　 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分又不必要条件 √ B　[当k>9时，9－k<0，k－4>0，方程表示双曲线．当k<4时，9－k>0，k－4<0，方程也表示双曲线．所以“k>9”是“方程＝1表示双曲线”的充分而不必要条件．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 4．已知双曲线＝1(a>0)的一个焦点为F1(5，0)，设另一个焦点为F2，点P是双曲线上的一点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________．(用数值表示) 17或1　[由题意知，双曲线＝1(a>0)的一个焦点为F1(5，0)，所以c＝5，又由a 2＝c2－b2＝25－9＝16，所以a＝4， 因为点P为双曲线上一点，且|PF1|＝9， 根据双曲线的定义可知||PF2|－|PF1||＝2a＝8， 所以|PF2|＝17，或|PF2|＝1．] 17或1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 5．设双曲线与椭圆＝1有共同的焦点，且与椭圆的一个公共点的纵坐标为4，则双曲线的标准方程为__________． ＝1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 ＝1　[由椭圆方程得焦点坐标为(0，±3)，椭圆与双曲线的一个公共点为(，4)． 设所求的双曲线方程为＝1(a>0，b>0)， 则解得 故所求双曲线的标准方程为＝1．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)双曲线是如何定义的？请写出它的标准方程． [提示]　平面上到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为正常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线． 标准方程：＝1(a>0，b>0)和＝1(a>0，b>0)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 (2)方程＝1表示双曲线，则m，n满足的条件是什么？若方程表示焦点在x轴(y轴)上的双曲线，则m，n满足什么条件？ [提示]　①若表示双曲线，则满足mn>0． ②若表示焦点在x轴上的双曲线，则满足 ③若表示焦点在y轴上的双曲线，则满足 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 (3)双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线左支上一点，则|PF1|，|PF2|的最小值分别是多少？ [提示]　|PF1|的最小值为c－a，|PF2|的最小值为a＋c． (4)定义法求双曲线方程时，如何确定点的轨迹是双曲线，还是双曲线的一支？ [提示]　根据条件看是|PF1|－|PF2|＝2a还是||PF1|－|PF2||＝2a， 若|PF1|－|PF2|＝2a或|PF2|－|PF1|＝2a，点的轨迹是双曲线的一支， 若||PF1|－|PF2||＝2a，则点的轨迹是双曲线． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．已知平面内两定点F1(－2，0)，F2(2，0)，下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是(　　) A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4 C．|PF1|－|PF2|＝±5 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4 课时分层作业(二十七)　双曲线的标准方程 54 A　[当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线的定义，所以点P的轨迹是双曲线．故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．已知双曲线＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于 (　　) A．　　　　B．5　　　　C．7　　　　D． D　[根据题意可知，双曲线的标准方程为＝1． 由其焦距为4，得c＝2， 则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 56 3．已知双曲线＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为(　　) A．3或7 B．6或14 C．3 D．7 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[连接ON(图略)，则ON是△PF1F2的中位线， ∴|ON|＝|PF2|，∵||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|＝10， ∴|PF2|＝14或6，∴|ON|＝|PF2|＝7或3．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 57 √ 4．已知双曲线的一个焦点为F1(－，0)，点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的标准方程是(　　) A．－y2＝1 B．x2－＝1 C．＝1 D．＝1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 58 B　[由线段PF1的中点坐标为(0，2)知P(，4)， 设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)， 则有解得 所以双曲线的标准方程为x2－＝1．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 59 √ 5．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和 (－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．－y2＝1 D．x2－＝1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 60 C　[由⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16， 即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 61 二、填空题 6．若曲线C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为__________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (2，＋∞)　[由题意知解得m>2．] (2，＋∞) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 62 7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，线段AB的长为5．若2a＝8，那么△ABF2的周长是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 26　[根据双曲线定义知，|AF2|－|AF1|＝8，|BF2|－|BF1|＝8．所以|AF2|＋|BF2|＝16＋|AF1|＋|BF1|＝16＋|AB|＝16＋5＝21．所以△ABF2的周长是|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26．] 26　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 63 8．如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为__________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 x2－＝1　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 64 x2－＝1　[设双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)． 由题意得B(2，0)，C(2，3)， 所以解得 所以双曲线的标准方程为x2－＝1．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 65 三、解答题 9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程所表示的曲线类型． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 66 [解]　(1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线； (2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k＜0时，方程为＝1，表示焦点在y轴上的双曲线； (4)当0＜k＜1时，方程为＝1，表示焦点在x轴上的椭圆； (5)当k＞1时，方程为＝1，表示焦点在y轴上的椭圆． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 67 10．设声速为k米/秒，在相距10k米的A，B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差为6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　以直线AB为x轴，线段AB的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 68 设炮弹爆炸点的轨迹上的点P的坐标为(x，y)， 则||PA|－|PB||＝6k<10k，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，且2a＝6k，2c＝10k， 从而a＝3k，c＝5k，b2＝c2－a2＝16k2． 所以炮弹爆炸点的轨迹方程为＝1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 69 √ 11．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是(　　) A．双曲线的一支 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 70 A　[设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1(0，0)和O2(4，0)，半径分别为1和2， 由两圆外切的充要条件，得 |MO1|＝r＋1，|MO2|＝r＋2． ∴|MO2|－|MO1|＝1， 又|O1O2|＝4， ∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1)．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 71 12．已知P为双曲线＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心．若＝＋8，则△MF1F2的面积为(　　) A．2 B．10 C．8 D．6 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[设△PF1F2的内切圆的半径为R，由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5．因为＝＋8，所以(|PF1|－|PF2|)R＝8，即aR＝8，所以R＝2，所以＝·2c·R＝10．故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 72 13．已知双曲线C：x2－＝1的左焦点为F1，点Q(0，2)，P是双曲线C右支上的动点，则|PF1|＋|PQ|的最小值等于________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 6 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 73 6　[设双曲线的右焦点为F2，如图，连接PF2，QF2．根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以|PF1|＝|PF2|＋2，所以|PF1|＋|PQ|＝|PF2|＋|PQ|＋2≥|QF2|＋2，而Q(0，2)，F2(2，0)，所以|QF2|＝＝4，所以要求的最小值为6．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 74 14．在△ABC中，A(－5，0)，B(5，0)，点C在双曲线＝1上，则＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ±　[在△ABC中，sin A＝，sin B＝，sin C＝＝，R为△ABC外接圆的半径，∴＝． 又∵|BC|－|AC|＝±8，∴＝±＝±．] ±　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 75 15．已知△ABC的一边的两个顶点B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0)．求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 76 [解]　设顶点A的坐标为(x，y)，则 kAB＝，kAC＝． 由题意，得·＝m， 即＝1(y≠0，m≠0)． 当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 77 当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当－1<m<0时，椭圆焦点在x轴上；当m<－1时，椭圆焦点在y轴上； 当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 $