3 3.1.2 第2课时 椭圆方程及其性质的应用-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦椭圆方程及其性质的应用，涵盖直线与椭圆的位置关系、相交弦问题及最值问题。通过复习椭圆定义与标准方程导入，搭建从基础性质到综合应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以逻辑推理和数学运算为核心，通过例题解析（如直线与椭圆位置关系的判别式应用）、规律方法总结（如点差法解中点弦问题）及分层练习（对点练、随堂评价），培养学生解决问题的思维。学生能提升运算与推理能力，教师可直接利用系统内容提高教学效率。

　 第3章　 3.1　椭圆 3.1.2　椭圆的简单几何性质 第2课时 椭圆方程及其性质的应用 学习目标 1. 了解椭圆在实际生活中的应用. 2. 进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养. 应用一　直线与椭圆的位置关系 1 应用二　直线与椭圆的相交弦问题 2 应用三　与椭圆有关的最值(范围)问题 3 随堂评价 4 内容索引 课时测评 5 应用一　直线与椭圆的位置关系 返回 已知椭圆C：＋y2＝1. (1)若(，n)在椭圆内，求实数n的取值范围； 解：因为(，n)在椭圆内， 所以＋n2＜1，解得－＜n＜. 所以n的取值范围是. 典例1 (2)m为何值时，直线y＝x＋m与椭圆C相交、相切、相离？ 解：由得5x2＋8mx＋4m2－4＝0， Δ＝64m2－4×5×(4m2－4)＝16(4m2－5m2＋5)＝16(5－m2). 当Δ＝16(5－m2)＞0，即－＜m＜时，直线与椭圆相交； 当Δ＝16(5－m2)＝0，即m＝±时， 直线与椭圆相切； 当Δ＝16(5－m2)＜0，即m＞或m＜－时，直线与椭圆相离. 规律方法 直线与椭圆位置关系的判断方法 对点练1.若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，求m的取值范围. 解：因为直线y＝kx＋1过定点A(0，1).由题意知，点A在椭圆＋＝1内或椭圆上. 所以＋≤1，所以m≥1.又椭圆焦点在x轴上，所以m＜5， 故m的取值范围为[1，5). 返回 应用二　直线与椭圆的相交弦问题 返回 典例2 已知椭圆＋＝1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点. (1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度； 解：由已知可得直线l的方程为 y－2＝(x－4)， 即y＝x.由 可得x2－18＝0，若设A(x1，y1)，B(x2，y2). 则x1＋x2＝0，x1x2＝－18. 于是｜AB｜＝ ＝ ＝＝×6＝3， 所以线段AB的长度为3. (2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程. 解：法一：易知直线l的斜率存在，不妨设为k，则其方程为y－2＝k(x－4). 联立 消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0. 若设A(x1，y1)，B(x2，y2). 则x1＋x2＝， 由于AB的中点恰好为P(4，2)， 所以＝＝4， 解得k＝－，且满足Δ＞0. 这时直线的方程为y－2＝－(x－4). 即y＝－x＋4. 法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有 两式相减得＋＝0. 整理得kAB＝＝－， 由于P(4，2)是AB的中点， 所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4. 于是kAB＝－＝－， 于是直线AB的方程为y－2＝－(x－4)， 即y＝－x＋4. 规律方法 1.直线与椭圆相交弦长的求法 (1)直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点距离公式求弦长. (2)弦长公式：当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式. 2.解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. 规律方法 (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的两个不同的点， M(x0，y0)是线段AB的中点，则 由①－②， 得－)＋－)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－. 对点练2. 已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，求直线AB的方程. 解：设点A(x1，y1)，B(x2，y2). 因为M(2，1)为AB的中点， 所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又A，B两点在椭圆上， 则＋4＝16，＋4＝16， 两式相减，得(－)＋4(－)＝0， 于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. 所以＝－＝－＝－，即kAB＝－. 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 经检验，所求直线满足题意. 对点练3.椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q，且｜PQ｜＝，求椭圆方程. 解：因为e＝，所以b2＝a2，所以椭圆方程为x2＋4y2＝a2. 与x＋2y＋8＝0联立消去y，得2x2＋16x＋64－a2＝0， 由Δ＞0得a2＞32，由弦长公式得10＝×[64－2(64－a2)]，所以a2＝36，b2＝9.所以椭圆方程为＋＝1. 返回 应用三　与椭圆有关的最值(范围)问题 返回 典例3 (1)已知椭圆C：＋x2＝1的离心率为，P为椭圆C上的一个动点，定点A，则的最大值为 A. B.2 C. D.3 √ 因为椭圆C：＋x2＝1，所以椭圆的离心率e＝＝＝，又b2＝1，则a2＝2，所以椭圆方程为＋x2＝1.设椭圆上一动点P(x0，y0)，则＝2－2，所以＝＝＝＝，因为－1≤x0 ≤1，所以当x0＝1时，取最大值2.故选B. (2)已知F是椭圆＋＝1的左焦点，P是此椭圆上的动点.①若A(1，1)是一定点，则｜PA｜＋｜PF｜的最大值为_________；②若M(3，3)是一定点，则｜PM｜＋｜PF｜的最大值为_________. 6＋ 6＋ 设椭圆的右焦点为F2，①根据椭圆的定义：｜PA｜ ＋｜PF｜＝｜PA｜＋2a－｜PF2｜，所以｜PA｜＋ ｜PF｜取得最大值时，即｜PA｜－｜PF2｜最大， 如图①所示.｜PA｜＋｜PF｜≤2a＋｜AF2｜＝6＋ ＝6＋，当P，A，F2共线且F2在A，P之间时取得最大值.所以｜PA｜＋｜PF｜的最大值为6＋﹒ ②根据椭圆的定义：｜PM｜＋｜PF｜＝｜PM｜＋2a －｜PF2｜，所以｜PM｜＋｜PF｜取得最大值时，即 ｜PM｜－｜PF2｜最大，如图②所示.｜PM｜＋｜PF｜ ≤2a＋｜MF2｜＝6＋＝6＋，当 P，M，F2共线且F2在P，M之间时取得最大值.所以｜PM｜＋｜PF｜的最大值为6＋﹒ 规律方法 求与椭圆有关的最值、范围问题的方法 1.定义法：利用定义转化为几何问题处理. 2.数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解. 3.函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围. 对点练4.(1)点P为椭圆＋＝1上任意一点，F1，F2分别为左、右焦点，则·的最大值为 A.2 B.3 C.4 D.不存在 √ 设P(x，y)，F1(－1，0)，F2(1，0)，所以·＝(－1－x，－y)·(1－x，－y)＝x2＋y2－1＝x2＋3－x2－1＝x2＋2(－2≤x≤2)，所以当x＝±2时，取到最大值，最大值为3.故选B. (2)在椭圆＋＝1上求一点M，使点M到直线x＋2y－10＝0的距离最大时，点M的坐标为____________. 设直线x＋2y＋b＝0与椭圆＋＝1相切，联立方程得25y2 ＋16by＋4b2－36＝0①，因为直线与椭圆相切，所以Δ＝(16b)2－4×25(4b2－36)＝0，得b＝±5，结合直线与椭圆的位置关系，当b＝5时，x＋2y＋5＝0与x＋2y－10＝0的距离最大，最大距离为3，把b＝5代入①得，25y2＋80y＋64＝(5y＋8)2＝0，得y＝－，代入x＋2y＋5＝0，得x＝－，所以点M的坐标 为(－，－). 返回 随堂评价 返回 1.已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为 A.1 B.1或2 C.2 D.0 √ 因为直线过定点(3，－1)且＋＜1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点. 2.直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是________________. 由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0. 又因为直线与椭圆有两个公共点， 所以Δ＝(4m)2－4m(m＋3)＝16m2－4m2－12m ＝12m2－12m＞0， 解得m＞1或m＜0. 又因为m＞0且m≠3，所以m＞1且m≠3. (1，3)∪(3，＋∞) 3.过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________. 过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入＋＝1，得＋＝1，解得y2＝，即y＝±，所以最短弦的长为2×＝3. 4，3 4.已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F2，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长. 解：因为直线AB过椭圆＋＝1的右焦点F2(1，0)，且斜率为2， 所以直线AB的方程为y＝2(x－1)， 即2x－y－2＝0. 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程组 消去y得3x2－5x＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝0. 所以｜AB｜＝ ＝ ＝ ＝＝. 返回 课时测评 返回 1.若点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是 A.－＜a＜ B.a＜－或a＞ C.－2＜a＜2 D.－1＜a＜1 由题意知＋＜1. 解得－＜a＜. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为 A. B. C. D. √ 椭圆的左焦点F1(－，0)，kAB＝，故直线AB：y＝(x＋)，由消去y整理得7x2＋12x＋8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝. 由弦长公式得｜AB｜＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 A.3 B.2 C.2 D.4 √ 设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)， 由得(a2＋3b2)y2＋8b2y＋16b2－a2b2＝0.由Δ＝0及c＝2，可得a2＝7，所以2a＝2.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是 A. B. C.∪ D.∪ √ 由得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0. 当Δ＝16(16k2－5)＞0，即k＞或k＜－时，直线与椭圆有两个公共点，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点是M(－4，1)，则椭圆的离心率是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设直线x－y＋5＝0与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，直线AB的斜率k＝＝1. 由 得＋＝0， 所以＝－＝1，所以＝， 故椭圆的离心率e＝＝＝.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.直线y＝x＋m(m∈R)被椭圆2x2＋y2＝2截得的线段的中点的横坐标为，则中点的纵坐标为______. 由消去y并整理得3x2＋2mx＋m2－2＝0， 设线段的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－， 所以－＝，解得m＝－， 由截得的线段的中点在直线y＝x－上，得中点的纵坐标y＝－＝－. － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.椭圆x2＋2y2＝2与直线y＝x＋m交于A，B两点，且｜AB｜＝，则实数m的值为______. ±1 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得3x2＋4mx＋2m2－2＝0， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， ｜AB｜＝｜x1－x2｜ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ＝ ＝ ＝. 解得m2＝1，即m＝±1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则椭圆的离心率为_____，若过点F2且垂直于长轴的直线与椭圆交于两点，其中一点为A，则｜F1A｜＝_____. 由题意，可得a＝2，b＝，则c＝1，所以椭圆的离心率e＝＝.过点F2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A，所以｜AF2｜＝＝.由椭圆的定义，可知｜F1A｜＝2a－｜AF2｜＝4－＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.(10分)已知椭圆有两个顶点A(－1，0)，B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，若｜CD｜＝，求直线l的方程. 解：因为椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 由已知得b＝1，c＝1，所以a＝. 所以椭圆方程为＋x2＝1. 当直线l垂直于x轴时CD＝2，与题意不符， 故设直线l的方程为y＝kx＋1，联立椭圆方程，化简 得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝－. ｜CD｜＝· ＝， 由已知得＝， 解得k＝±. 所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.(13分)已知直线l：y＝x－，椭圆C：x2＋4y2＝4. (1)求证：直线l与椭圆C有两个交点； 解：证明：由 消去y得5x2－4x－3＝0. 所以Δ＝(－4)2－4×5×(－3)＝76＞0， 所以直线l与椭圆C有两个交点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求连接这两个交点所成线段的长. 解：设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由(1)知x1＋x2＝，x1·x2＝－， 所以｜AB｜＝ ＝· ＝· ＝· ＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x＜0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a＞b＞c＞0).如图所示，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为 A.，1 B.，1 C.5，3 D.5，4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意知，a2－b2＝c2＝｜OF0｜2＝＝， b2－c2＝｜OF1｜2＝＝， 所以b2＝c2＋＝＋＝1，b＝1. 所以a2＝b2＋c2＝1＋＝，a＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.(多选)椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是 A.kAB·kOM＝－1 B.若点M坐标为(1，1)，则直线l的方程为2x＋y－3＝0 C.若直线l的方程为y＝x＋1，则点M坐标为(，) D.若直线l的方程为y＝x＋2，则｜AB｜＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则两式相减，得＋ ＝0，即·＝－2，即kAB·kOM＝－2.对于A，kAB·kOM＝－2≠－1， 所以A不正确；对于B，由kAB·kOM＝－2，M(1，1)，得kAB＝－2，所以直线l的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B正确；对于C，若直线l的方程为y＝x＋1，M(，)，则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2， 所以C不正确；对于D，由得3x2＋4x＝0，解得x＝0或x＝－， 所以｜AB｜＝×｜－－0｜＝，所以D正确.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.椭圆＋＝1(a＞b＞0)短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，若该三角形内切圆的半径为，则该椭圆的离心率为_____. 由椭圆＋＝1(a＞b＞0)短轴的一个端点和两个焦点所构成的三角形面积S＝bc，周长为2a＋2c.由题意可得S＝bc＝(2a＋2c)·，得a＋c＝5c，所以e＝＝，因此该椭圆的离心率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.(15分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1和F2，离心率e＝，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4. (1)求椭圆C的标准方程； 解：由题意，得 解得 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)设A，B是直线l：x＝2上的不同两点，若·＝0，求｜AB｜的最小值. 解：由(1)知，F1，F2的坐标分别为F1(－，0)，F2(，0)，设直线l：x＝2上A，B两点的坐标分别为A(2，y1)，B(2，y2)， 则＝(－3，－y1)，＝(－，－y2). 由·＝0得y1y2＋6＝0，即y2＝－. 不妨设y1＞0，则｜AB｜＝｜y1－y2｜＝y1＋≥2，当y1＝，y2＝－时取等号，所以｜AB｜的最小值是2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.(17分)已知点A，B的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2. (1)求动点M的轨迹方程； 解：设M(x，y). 因为kAM·kBM＝－2，所以·＝－2(x≠±1)， 化简得2x2＋y2＝2(x≠±1). 即点M的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x≠±1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若过点N的直线l交动点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程. 解：设C(x1，y1)，D(x2，y2). 当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x＝，易知此时线段CD的中点不是N，不符合题意. 当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y－1＝k，将点C(x1，y1)，D(x2，y2)的坐标代入2x2＋y2＝2(x≠±1)得2＋＝2，① 2＋＝2，② ①－②整理得k＝＝－＝－＝－1， 故直线l的方程为y－1＝－， 即所求直线l的方程为2x＋2y－3＝0. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 3.1　椭圆 返回 $