课时测评25 圆与圆的位置关系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评25　圆与圆的位置关系 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.圆O1：x2＋y2－4y＋3＝0和圆O2：x2＋y2－16y＝0的位置关系是(　　) A.相离 B.相交 C.相切 D.内含 答案：D 解析：因为r1＝1，r2＝8，｜O1O2｜＝＝6，则｜O1O2｜＜r2－r1，所以两圆内含. 2.圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为(　　) A.(1，0)和(0，1) B.(1，0)和(0，－1) C.(－1，0)和(0，－1) D.(－1，0)和(0，1) 答案：C 解析：由 解得 所以两圆的交点坐标为(－1，0)和(0，－1). 3.圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则(　　) A.E＝－4，F＝8 B.E＝4，F＝－8 C.E＝－4，F＝－8 D.E＝4，F＝8 答案：C 解析：由题意联立两圆方程 得4x＋Ey－4－F＝0，则＝－1，＝1，解得E＝－4，F＝－8，故选C. 4.已知点M在圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4上，点N在圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上，则｜MN｜的最大值是(　　) A.5 B.7 C.9 D.11 答案：C 解析：由题意知圆C1的圆心C1(－3，1)，半径r1＝2，圆C2的圆心C2(1，－2)，半径r2＝2.因为两圆的圆心距d＝＝5＞r1＋r2＝4，所以两圆外离，从而｜MN｜的最大值为5＋2＋2＝9.故选C. 5.(多选)已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　) A.(x－5)2＋(y－7)2＝25 B.(x－5)2＋(y－7)2＝17 C.(x－5)2＋(y＋7)2＝9 D.(x－5)2＋(y＋7)2＝25 答案：CD 解析：设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则＝4＋1，所以(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则＝4－1，所以(x－5)2＋(y＋7)2＝9. 6.若圆x2＋y2－2x＋10y＋1＝0与x2＋y2－2x＋2y－m＝0相交，则m的取值范围是　　　　　　　. 答案：(－1，79) 解析：分别将两圆的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y＋5)2＝25，(x－1)2＋(y＋1)2＝m＋2.由两圆相交，得｜5－｜＜4＜5＋，解得－1＜m＜79. 7.圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0公共弦所在的直线方程为　　　　　　　　　；公共弦长为　　　　. 答案：2x＋y－15＝0　2 解析：x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x＋y－15＝0， 圆x2＋y2＝50的圆心(0，0)到2x＋y－15＝0的距离d＝3， 因此公共弦长为2＝2. 8.以(3，－4)为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程是　　　　　　　　　　　　　　　. 答案：(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169 解析：圆x2＋y2＝64的圆心为(0，0)，半径r'＝8， 所以圆心距d＝＝5， 设所求圆半径为r，则｜r－r'｜＝d， 所以｜r－8｜＝5， 所以r＝3或r＝13. 所以圆的方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169. 9.(10分)若圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2ay－6＝0的公共弦的弦长为，求a. 解：两圆的公共弦所在直线的方程为：x2＋y2－1－x2－y2－2x－2ay＋6＝0，化简得：2x＋2ay－5＝0，圆心(0，0)到直线2x＋2ay－5＝0的距离d＝， 又公共弦长的一半为，所以1＝d2＋，即1＝＋， 解得a＝±2. 10.(13分)a为何值时，圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0，满足下列位置关系. (1)外切；(2)相交. 解：将两圆方程写成标准方程 C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4. 所以两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3；C2(－1，a)，r2＝2. 所以r1＋r2＝5，｜r1－r2｜＝1. 设两圆的圆心距为d， 则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5. (1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2. (2)当1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25时，两圆相交，此时－5＜a＜－2或－1＜a＜2. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.已知圆M：(x－a)2＋y2＝4(a＞0)与圆N：x2＋(y－1)2＝1外切，则直线x－y－＝0被圆M截得的线段的长度为(　　) A.1 B. C.2 D.2 答案：D 解析：由题意，知＝2＋1＝3，a＞0，所以a＝2，圆心M(2，0)到直线x－y－＝0的距离d＝＝1，所以直线x－y－＝0被圆M截得的线段的长度为2＝2，故选D. 12.过圆x2＋y2－x－y－2＝0与圆x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程是　　　　　　　. 答案：x2＋y2－x＋y＋2＝0 解析：设所求圆方程为(x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0，将(3，1)代入得λ＝－.故所求圆的方程为x2＋y2－x＋y＋2＝0. 13.若☉O：x2＋y2＝5与☉O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为　　　　. 答案：4 解析：如图所示， 在Rt△OO1A中， OA＝，O1A＝2， 所以OO1＝5， 所以AC＝＝2. 所以AB＝4. 14.(15分)已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2，1). (1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线方程； (2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且｜AB｜＝2，求圆O2的方程. 解：(1)由已知得O1(0，－1)，O2(2，1)， 则｜O1O2｜＝2.因为两圆外切， 所以｜O1O2｜＝r1＋r2， 所以r2＝｜O1O2｜－r1＝2－2， 故圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－8. 两圆的方程相减， 即得两圆内公切线的方程为x＋y＋1－2＝0. (2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝. 圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程： 4x＋4y＋－8＝0.① 作O1H⊥AB，则｜AH｜＝｜AB｜＝， ｜O1H｜＝＝＝. 即圆心(0，－1)到直线①的距离为＝， 得＝4或＝20， 故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20. 15.(17分)已知动点P与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离的比为. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)已知圆Q的圆心为Q(t，t)(t＞0)，且圆Q与x轴相切，若圆Q与曲线C有公共点，求实数t的取值范围. 解：(1)设P(x，y)， 则｜AP｜＝2｜OP｜，即｜AP｜2＝4｜OP｜2， 所以(x－3)2＋y2＝4(x2＋y2)， 整理得(x＋1)2＋y2＝4. 所以动点P的轨迹C的方程为(x＋1)2＋y2＝4. (2)因为点Q的坐标为(t，t)(t＞0)，且圆Q与x轴相切，所以圆Q的半径为t，所以，圆Q的方程为(x－t)2＋(y－t)2＝t2. 因为圆Q与圆C有公共点，又圆Q与圆C的两圆心距为｜CQ｜＝ ＝， 所以｜2－t｜≤｜CQ｜≤2＋t， 即(2－t)2≤2t2＋2t＋1≤(2＋t)2， 解得－3＋2≤t≤3. 所以实数t的取值范围是[－3＋2，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $