课时测评22 圆的标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评22　圆的标准方程 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2) 为直径的圆的方程为(　　) A.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B.(x－1)2＋(y－1)2＝2 C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D.(x－1)2＋(y－1)2＝8 答案：B 解析：线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)的两端点坐标为(0，2)，(2，0)，则线段AB的中点坐标为(1，1)，｜AB｜＝2，故圆心坐标为(1，1)，半径为＝， 所以以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 2.下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的外部的是(　　) A.(0，2) B.(3，3) C.(－2，2) D.(4，1) 答案：B 解析：由(0－1)2＋(2＋2)2＜25，知(0，2)在圆内； 由(3－1)2＋(3＋2)2＞25，知(3，3)在圆外； 由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25，知(－2，2)在圆上； 由(4－1)2＋(1＋2)2＜25，知(4，1)在圆内，故选B. 3.方程｜x－1｜＝表示的曲线是(　　) A.一个圆 B.两个半圆 C.两个圆 D.半圆 答案：A 解析：方程｜x－1｜＝两边平方得｜x－1｜2＝()2，即(x－1)2＋(y＋1)2＝1，所以方程表示的曲线为一个圆，故选A. 4.方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圆(　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于直线x－y＝0对称 D.关于直线x＋y＝0对称 答案：D 解析：易得圆心C(－a，a)，即圆心在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称，故选D. 5.圆心在直线x＋y＝0上，且与x轴交于点A(－3，0)和B(1，0)的圆的方程为(　　) A.(x＋1)2＋(y－1)2＝5 B.(x－1)2＋(y＋1)2＝ C.(x－1)2＋(y－1)2＝5 D.(x＋1)2＋(y－1)2＝ 答案：A 解析：由题意得圆心在直线x＝－1上，又圆心在直线x＋y＝0上，所以圆心M的坐标为(－1，1).又A(－3，0)，半径r＝｜AM｜＝＝. 则圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝5. 6.过点A(1，－2)，B(－1，4)且周长最小的圆的方程为　　　　　　　. 答案：x2＋(y－1)2＝10 解析：当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB的中点(0，1)，半径r＝｜AB｜＝，则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10. 7.若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是　　　　. 答案：(－1，1) 解析：因为点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则(2a)2＋[(a＋1)－1]2＜5，解得－1＜a＜1. 8.若圆C的半径为1，圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为　　　　　　　. 答案：x2＋(y－1)2＝1 解析：因为点(1，0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(0，1)，所以圆C的圆心为点C(0，1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1. 9.(10分)已知△ABC的三个顶点分别为A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)，求其外接圆P的方程. 解：设外接圆P的标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题意得 解得即外接圆P的方程为 (x－1)2＋(y－2)2＝100. 10.(13分)求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点A(5，2)，B(3，－2)的圆的标准方程. 解：法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则 所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10. 法二：因为圆过A，B两点， 所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上. 由于线段AB的中点坐标为(4，0)，kAB＝＝2， 所以线段AB的垂直平分线方程为y＝－(x－4). 由即圆心为(2，1)， r＝＝， 所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11. 已知圆C经过A(0，0)，B(2，0)，且圆心在第一象限，△ABC为等腰直角三角形，则圆C的方程为(　　) A.(x－1)2＋(y－1)2＝4 B.(x－)2＋(y－)2＝2 C.(x－1)2＋(y－1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－2)2＝5 答案：C 解析：因为圆心在弦AB的垂直平分线上，所以可设C(1，m)，且△ABC为等腰直角三角形，所以｜AC｜＝＝.因为m＞0，所以m＝1，所以圆心坐标为(1，1)，圆的半径为，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 12.圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是　　　　. 答案：1＋ 解析：圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x－y＝2的距离为＝，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋. 13.若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为　　　　. 答案：1 解析：设P(x，y)，且点P在圆(x＋5)2＋(y－12)2＝142上，则圆心C(－5，12)，r＝14，x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2＝｜OP｜2.又｜OP｜的最小值是r－｜OC｜＝14－13＝1，所以x2＋y2的最小值为1. 14.(15分)已知圆C经过点A(－1，0)和B(3，4)，且圆心C在直线x＋3y－15＝0上. (1)求圆C的标准方程； (2)设点Q(－1，m)(m＞0)在圆C上，求△QAB的面积. 解：(1)依题意知所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x＋3y－15＝0的交点. 因为AB的中点为(1，2)，直线AB的斜率为1， 所以AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)， 即y＝－x＋3. 由即圆心C(－3，6). 所以半径r＝＝2. 故所求圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40. (2)因为点Q(－1，m)(m＞0)在圆C上， 所以m＝12或m＝0(舍去)，所以Q(－1，12)， 易得｜AQ｜＝12，点B到直线AQ的距离为4， 所以△QAB的面积S＝×｜AQ｜×4＝×12×4＝24. 15.(17分)已知圆C的圆心坐标为C(x0，x0)且过定点P(4，2). (1)求圆C的方程； (2)当x0为何值时，圆C的面积最小？并求出此时圆C的标准方程. 解：(1)由题意，设圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝r2(r≠0).因为圆C过定点P(4，2). 所以(4－x0)2＋(2－x0)2＝r2(r≠0). 所以r2＝2－12x0＋20.所以圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2－12x0＋20. (2)因为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2－12x0＋20＝＋2， 所以当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小， 此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2. 学生用书⬇第62页 学科网（北京）股份有限公司 $