8 2.5.1 圆的标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

　 第2章　 2.5　圆的方程 2.5.1　圆的标准方程 学习目标 1. 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆 的标准方程，培养逻辑推理的核心素养. 2. 能根据所给条件求圆的标准方程，提升数学运算的核心素养. 3. 能够判断点与圆的位置关系并能解决相关问题，提升直观想象、数学运算的核心素养. 任务一　圆的标准方程 1 任务二　点与圆的位置关系 2 任务三　求圆的标准方程 3 随堂评价 4 内容索引 课时测评 5 任务一　圆的标准方程 返回 问题1.圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 提示：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 确定圆的因素：圆心和半径， 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. 问题导思 问题2.已知圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？ 提示：设圆上任一点M(x，y)，则｜MA｜＝r，由两点间的距离公式，得＝r， 化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径 新知构建 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＝r2 (1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为_________ ___________. 典例1 因为圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切， 所以该圆的半径为5， 所以该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. (x＋5)2＋ (y＋3)2＝25 (2)以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程是__________ ____________. 因为AB为直径， 所以AB的中点(1，2)为圆心， ｜AB｜＝＝5为半径， 所以该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25. (y－2)2＝25 (x－1)2＋ 规律方法 直接法求圆的标准方程的策略 　　确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等. 对点练1.求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)； 解：r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， 所以圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8. (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4). 解：设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， 所以b＝0或b＝－8，所以圆心为(0，0)或(0，－8)， 又r＝5， 所以圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. 返回 任务二　点与圆的位置关系 返回 (1)已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是 A.点P在圆C内 B.点P在圆C外 C.点P在圆C上 D.无法确定 √ 由题意，得a＋b＝1，ab＝－， 所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2＜8， 所以点P在圆C内. 典例2 (2)已知点P(2，1)和圆C：＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝__________.若点P在圆C外，则实数a的取值范围为________________. 　a＜－6或a＞－2 －2或－6 由题意，得＋(y－1)2＝1， 当点P在圆C上时，＋(1－1)2＝1 ， 解得a＝－2或－6. 当点P在圆C外时，＋(1－1)2＞1， 解得a＜－6或a＞－2. 规律方法 判断点与圆的位置关系的两种方法 1.几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小. 2.代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断. 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)， 设d＝｜PC｜＝. 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 对点练2.已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为_______. [0，1) 由题意知 即解得0≤a＜1. 返回 任务三　求圆的标准方程 返回 典例3 求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程. 解：法一：(待定系数法) 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则有 即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 法二：(几何法) 由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0. 因为弦的垂直平分线过圆心， 所以由 即圆心坐标为(4，－3)， 半径为r＝＝5. 即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 规律方法 求圆的标准方程的两种方法 1.几何法：利用平面几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程. 2.待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程. 对点练3.过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是 A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C.(x－1)2＋(y－1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 法一：因为kAB＝＝－1，线段AB的中点坐标为(0，0). 所以线段AB的垂直平分线的方程为y＝x. 由 所以圆心坐标为(1，1)，半径为2， 所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. √ 法二：本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线x＋y－2＝0上，排除B，D； 根据点B(－1，1)在圆上，排除A. 返回 随堂评价 返回 1.以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为 A.(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B.(x＋2)2＋(y＋1)2＝4 C.(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝16 √ 以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16. 2.点P(1，3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是 A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定 √ 3.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的标准方程是 A.x2＋(y－2)2＝1 B.x2＋(y＋2)2＝1 C.(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝1 √ 法一：(直接法) 设圆的圆心为C(0，b)，则＝1， 所以b＝2，所以圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1. 法二：(数形结合法) 作图(如图)，根据点(1，2)到圆心的距离为1，易知 圆心为(0，2)， 故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1. 4.(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为____________________. 因为点M在直线2x＋y－1＝0上，所以设点M为(a，1－2a).又因为点(3，0)和(0，1)均在☉M上，所以点M到两点的距离相等且为半径R，所以＝＝R，a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，所以M(1，－1)，R＝.所以☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. (x－1)2＋(y＋1)2＝5 返回 课时测评 返回 1.以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2) 为直径的圆的方程为 A.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B.(x－1)2＋(y－1)2＝2 C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D.(x－1)2＋(y－1)2＝8 线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)的两端点坐标为(0，2)，(2，0)，则线段AB的中点坐标为(1，1)，｜AB｜＝2，故圆心坐标为(1，1)，半径为＝， 所以以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y －1)2＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的外部的是 A.(0，2) B.(3，3) C.(－2，2) D.(4，1) √ 由(0－1)2＋(2＋2)2＜25，知(0，2)在圆内； 由(3－1)2＋(3＋2)2＞25，知(3，3)在圆外； 由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25，知(－2，2)在圆上； 由(4－1)2＋(1＋2)2＜25，知(4，1)在圆内，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.方程｜x－1｜＝表示的曲线是 A.一个圆 B.两个半圆 C.两个圆 D.半圆 √ 方程｜x－1｜＝两边平方得｜x－1｜2＝()2，即(x－1)2＋(y＋1)2＝1，所以方程表示的曲线为一个圆，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圆 A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于直线x－y＝0对称 D.关于直线x＋y＝0对称 易得圆心C(－a，a)，即圆心在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.圆心在直线x＋y＝0上，且与x轴交于点A(－3，0)和B(1，0)的圆的方程为 A.(x＋1)2＋(y－1)2＝5 B.(x－1)2＋(y＋1)2＝ C.(x－1)2＋(y－1)2＝5 D.(x＋1)2＋(y－1)2＝ √ 由题意得圆心在直线x＝－1上，又圆心在直线x＋y＝0上，所以圆心M的坐标为(－1，1).又A(－3，0)，半径r＝｜AM｜＝＝. 则圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.过点A(1，－2)，B(－1，4)且周长最小的圆的方程为________________. 当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB的中点(0，1)，半径r＝｜AB｜＝，则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10. x2＋(y－1)2＝10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是__________. 因为点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则(2a)2＋[(a＋1)－1]2＜5，解得－1＜a＜1. (－1，1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.若圆C的半径为1，圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________________. 因为点(1，0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(0，1)，所以圆C的圆心为点C(0，1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1. x2＋(y－1)2＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.(10分)已知△ABC的三个顶点分别为A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)，求其外接圆P的方程. 解：设外接圆P的标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题意得 解得即外接圆P的方程为 (x－1)2＋(y－2)2＝100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.(13分)求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点A(5，2)，B(3，－2)的圆的标准方程. 解：法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则 所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 法二：因为圆过A，B两点， 所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上. 由于线段AB的中点坐标为(4，0)，kAB＝＝2， 所以线段AB的垂直平分线方程为y＝－(x－4). 由即圆心为(2，1)， r＝＝， 所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. 已知圆C经过A(0，0)，B(2，0)，且圆心在第一象限，△ABC为等腰直角三角形，则圆C的方程为 A.(x－1)2＋(y－1)2＝4 B.(x－)2＋(y－)2＝2 C.(x－1)2＋(y－1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－2)2＝5 √ 因为圆心在弦AB的垂直平分线上，所以可设C(1，m)，且△ABC为等腰直角三角形，所以｜AC｜＝＝.因为m＞0，所以m＝1，所以圆心坐标为(1，1)，圆的半径为，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是______. 圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x－y＝2的距离为＝，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋. 1＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为_____. 设P(x，y)，且点P在圆(x＋5)2＋(y－12)2＝142上，则圆心C(－5，12)，r＝14，x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2＝｜OP｜2.又｜OP｜的最小值是r－ ｜OC｜＝14－13＝1，所以x2＋y2的最小值为1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.(15分)已知圆C经过点A(－1，0)和B(3，4)，且圆心C在直线x＋3y－15＝0上. (1)求圆C的标准方程； 解：依题意知所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x＋3y－15＝0的交点. 因为AB的中点为(1，2)，直线AB的斜率为1， 所以AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)， 即y＝－x＋3. 由即圆心C(－3，6). 所以半径r＝＝2. 故所求圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)设点Q(－1，m)(m＞0)在圆C上，求△QAB的面积. 解：因为点Q(－1，m)(m＞0)在圆C上， 所以m＝12或m＝0(舍去)，所以Q(－1，12)， 易得｜AQ｜＝12，点B到直线AQ的距离为4， 所以△QAB的面积S＝×｜AQ｜×4＝×12×4＝24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.(17分)已知圆C的圆心坐标为C(x0，x0)且过定点P(4，2). (1)求圆C的方程； 解：由题意，设圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝r2(r≠0).因为圆C过定点P(4，2). 所以(4－x0)2＋(2－x0)2＝r2(r≠0). 所以r2＝2－12x0＋20.所以圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2－12x0＋20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)当x0为何值时，圆C的面积最小？并求出此时圆C的标准方程. 解：因为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2－12x0＋20＝＋2， 所以当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小， 此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 2.5　圆的方程 返回 $