课时测评21 点到直线的距离-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评21　点到直线的距离 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0间的距离为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：直线3x＋4y－12＝0即直线6x＋8y－24＝0，由题意知，a＝6，故两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0间的距离为＝. 2.(多选)已知A(－2，－4)，B(1，5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为(　　) A.－3 B.3 C.－1 D.1 答案：AB 解析：由题意得＝，解得a＝－3或3. 3.点P(－3，4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是(　　) A.(－2，1) B.(－2，5) C.(2，－5) D.(4，－3) 答案：B 解析：设对称点坐标为(a，b)， 即Q(－2，5). 4.(多选)已知点P为y轴上一点，点P到直线3x－4y＋4＝0的距离为4，则点P的坐标为(　　) A.(0，6) B.(0，－4) C.(0，2) D.(0，0) 答案：AB 解析：设P(0，a)，则＝4， 解得a＝6或a＝－4， 故点P的坐标为(0，6)或(0，－4). 故选AB. 5.l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为(　　) A.x＋2y－3＝0 B.x－2y－3＝0 C.2x－y－1＝0 D.2x－y－3＝0 答案：A 解析：当两条平行直线与AB垂直时，两条平行直线的距离最大， 又kAB＝＝2， 所以＝－， 所以l1的方程为y－1＝－(x－1)， 即x＋2y－3＝0.故选A. 6.已知点R在直线x－y＋1＝0上，M(1，3)，N(3，－1)，则的最大值为(　　) A. B. C. D.2 答案：C 解析：设点M关于直线x－y＋1＝0的对称点为M'， 则 所以M'，又N， 所以＝≤＝. 故选C. 7.分别过点A(－2，1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离d＝　　　　. 答案：5 解析：两条直线的方程分别为x＝－2，x＝3，所以这两条直线间的距离d＝｜3－(－2)｜＝5. 8.与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为　　　　　　　　　. 答案：4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0 解析：设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0. 则＝2， 即｜C－7｜＝10，解得C＝－3或C＝17. 故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0. 9.(10分)已知点A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，求△ABC的面积. 解：设AB边上的高为h，则S△ABC＝｜AB｜·h.｜AB｜＝＝2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离.AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，因此S△ABC＝×2＝5. 10.(13分)求满足下列条件的直线方程： (1)垂直于直线x＋3y－5＝0，且点P(－1，0)到该直线的距离是； (2)在x轴上的截距为1，且A(－2，－1)，B(4，5)两点到该直线的距离相等. 解：(1)设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线l的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知，点P到直线3x－y＋m＝0的距离d＝＝＝， 所以｜m－3｜＝6，即m－3＝±6，得m＝9或m＝－3， 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. (2)法一：显然当直线l⊥x轴时符合要求，此时l的方程为x＝1. 当l的斜率存在时，设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0. 因为点A，B到l的距离相等， 所以＝. 所以｜1－3k｜＝｜3k－5｜，所以k＝1， 所以l的方程为x－y－1＝0. 综上，l的方程为x＝1或x－y－1＝0. 法二：因为点A，B到直线l的距离相等，所以直线l过线段AB的中点或与直线AB平行. 当直线l过线段AB的中点(1，2)时，因为直线l在x轴上的截距为1，所以直线l的方程为x＝1； 当直线l与直线AB平行时，因为kAB＝＝1，所以直线l的斜率也为1，又直线l在x轴上的截距为1，所以直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0. 综上，直线l的方程为x＝1或x－y－1＝0. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.(多选)下列过点(2，2)的直线l中，到两点A(0，－2)，B(8，2)的距离相等的是(　　) A.x＋y－4＝0 B.x＝2 C.2x＋y－6＝0 D.x－2y＋2＝0 答案：AD 解析：显然l的斜率不存在时x＝2不满足题意. 设l：y－2＝k(x－2)，即kx－y＋2－2k＝0. 由条件可知＝，解得k＝或－1. 当k＝时，l∥AB，方程为x－2y＋2＝0； 当k＝－1时，l过AB中点，方程为x＋y－4＝0. 12.已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6，3a＋4b＝1，则的最小值为(　　) A. B. C.1 D. 答案：C 解析：点(m，n)为直线3x＋4y＝6上的动点，点(a，b)为直线3x＋4y＝1上的动点，则的最小值可理解为两动点间距离的最小值，显然最小值即为两平行线间的距离，即＝1. 13.已知直线l：kx－y＋2＝0过定点M，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则｜MP｜的最小值是(　　) A. B. C. D.3 答案：B 解析：直线l：kx－y＋2＝0恒过点(0，2)， 所以M(0，2). 因为点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上， 所以｜MP｜的最小值为点M到直线2x＋y－1＝0的距离， 所以d＝＝＝.故选B. 14.(15分)(2025·江苏连云港高二期中)若不等式＋＋＋≥m对任意的实数x，y恒成立，求m的最大值. 解：设坐标原点为O，建立如图所示的平面直角坐标系. 设P(x，y)，A(6，8)，B(3，0)，C(3，8)，则四边形ACOB为平行四边形，则＋＋ ＋＝｜OP｜＋｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜，而｜OP｜＋｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜≥｜AO｜＋｜BC｜＝10＋8＝18，当且仅当P为平行四边形ACOB的对角线的交点E时等号成立，此时P(3，4).故｜OP｜＋｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜的最小值为18. 因为不等式＋＋＋≥m对任意的实数x，y恒成立，所以m≤18，即m的最大值为18，此时x＝3，y＝4. 15.(17分)已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a＞0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是. (1)求a的值； (2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由. 解：(1)l2的方程即为2x－y－＝0， 所以l1和l2的距离d＝＝， 所以＝. 因为a＞0，所以a＝3. (2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1和l2平行的直线l'：2x－y＋c＝0上， 且＝，即c＝或c＝. 所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0. 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，得 ＝·， 所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0. 因为点P在第一象限， 所以3x0＋2＝0不符合题意. 联立方程 解得x0＝－3，y0＝，应舍去. 联立 解得x0＝，y0＝. 所以P即为同时满足三个条件的点. 学科网（北京）股份有限公司 $