7 2.4 点到直线的距离-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

本讲义围绕点到直线的距离这一核心，从数轴两点距离入手，通过特殊到一般的问题链，引导学生用勾股定理推导平面两点距离公式，再结合坐标法和向量法探究点到直线距离公式，进而将平行线间距离转化为点到直线距离，最后拓展至对称问题，形成完整知识链。 资料以问题驱动构建知识，通过直角三角形推导、向量法论证等培养逻辑推理和数学运算素养，如判断三角形形状例题强化知识应用。课中任务分层助力教师高效授课，课后对点练与测评帮助学生巩固公式应用，查漏补缺。

2.4　点到直线的距离 学习目标 1.掌握两点间的距离公式并会应用，提升直观想象、数学运算的核心素养. 2.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，发展数学运算与逻辑推理素养. 3.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用. 4.理解两条平行线间的距离公式的推导. 5.会求两条平行直线间的距离. 任务一　两点之间的距离公式 问题1.在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 提示：｜AB｜＝｜xA－xB｜. 问题2.已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离？ 提示：(1)当P1P2与x轴平行时，｜P1P2｜＝｜x2－x1｜； (2)当P1P2与y轴平行时，｜P1P2｜＝｜y2－y1｜； (3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt △P1QP2中， ｜P1P2｜2＝｜P1Q｜2＋， 所以｜P1P2｜＝ . 即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离｜P1P2｜＝. 1.已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离公式｜AB｜＝. 2.原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离｜OP｜＝ . 已知△ABC的三个顶点A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状. 解：法一：因为｜AB｜＝＝＝2， ｜AC｜＝ ＝＝2， 又｜BC｜＝ ＝＝2， 所以｜AB｜2＋｜AC｜2＝｜BC｜2，且｜AB｜＝｜AC｜， 所以△ABC是等腰直角三角形. 法二：因为kAC＝＝， kAB＝＝－， 所以kAC·kAB＝－1， 所以AC⊥AB. 又｜AC｜＝ ＝＝2， ｜AB｜＝ ＝＝2， 所以｜AC｜＝｜AB｜， 所以△ABC是等腰直角三角形. 计算两点间距离的方法 1.对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则｜P1P2｜＝. 2.对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解. 对点练1.若点M到x轴和到点N(－4，2)的距离都等于10，则点M的坐标为　　　　　　. 答案：(2，10)或(－10，10) 解析：由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为±10. 设点M的坐标为(xM，±10). 由两点间距离公式，得｜MN｜＝＝10或｜MN｜＝＝10， 解得xM＝－10或xM＝2， 所以点M的坐标为(2，10)或(－10，10). 任务二　点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)的距离公式：d＝. (1)点P(－1，2)到直线2x＋y－10＝0的距离为　　　　. (2)已知坐标平面内两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值等于　　　　. 答案：(1)2　(2)－6或 解析：(1)由点到直线的距离公式得 ＝2. (2)依题意得＝， 所以｜3m＋5｜＝｜m－7｜， 所以3m＋5＝m－7或3m＋5＝7－m， 所以m＝－6或m＝. 点到直线的距离的求解方法 1.求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可. 2.若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程(组)即可. 对点练2.(多选)若点P(3，a)到直线x＋y－4＝0的距离为1，则a的值为(　　) A.　　　B.－　　　C.　　　D.－ 答案：AD 解析：由题意得＝＝1， 解得a＝或a＝－. 学生用书⬇第58页 任务三　两条平行直线间的距离 问题3.已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？ 提示：根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上取任一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离. 问题4.怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离？ 提示：在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离即d＝， 因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上， 所以Ax0＋By0＋C1＝0， 即Ax0＋By0＝－C1， 因此d＝＝＝. 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝. (1)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为(　　) A.1 B. C. D.2 (2)求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离. 答案：(1)B 解析：(1)由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公式， 得｜AB｜＝＝. (2)由题意，将l2的方程化为3x＋5y＋＝0， 所以d＝＝＝. 求两条平行直线间距离的两种方法 1.转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求. 2.公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 对点练3.(1)已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是(　　) A.1 B.2 C. D.4 (2)已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则直线l的方程是　　　　　　. 答案：(1)A　(2)2x－y＋1＝0 解析：(1)由两条直线平行可得＝，解得m＝24. 则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0， 由两条平行直线间的距离公式得d＝＝1. (2)法一：由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0， 于是有＝， 即｜c－3｜＝｜c＋1｜，解得c＝1， 则直线l的方程为2x－y＋1＝0. 法二：由题意知l必介于l1与l2中间， 故设l的方程为2x－y＋c＝0， 则c＝＝1. 则直线l的方程为2x－y＋1＝0. 任务四　对称问题 已知直线l：x＋2y－2＝0，试求： (1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标； (2)直线l关于点A(1，1)对称的直线方程. 解：(1)设点P关于直线l的对称点为P'(x0，y0)，则线段PP'的中点在直线l上，且PP'⊥l. 所以 解得 即P'点的坐标为. (2)设直线l关于点A(1，1)的对称直线为l'，则直线l上任一点P2(x1，y1)关于点A的对称点P2'(x，y)一定在直线l'上，反之也成立. 由 将(x1，y1)代入直线l的方程得x＋2y－4＝0， 即直线l'的方程为x＋2y－4＝0. 有关对称问题的2种主要类型 1.中心对称 (1)点P(x，y)关于点(a，b)的对称点P'(x'，y')满足 (2)直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. 学生用书⬇第59页 2.轴对称 (1)点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为A'(m，n)，则有 (2)直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 对点练4.求点P(－3，4)关于直线4x－y－1＝0的对称点的坐标. 解：设对称点坐标为(a，b)， 则 即所求对称点的坐标是(5，2). 1.两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于(　　) A.3 B.7 C. D. 答案：C 解析：3x＋4y－2＝0可变形为6x＋8y－4＝0，则两平行线间的距离为d＝＝. 2.若点(4，0)到直线y＝x＋的距离为3，则m的值为(　　) A.－1 B.31 C.－1或－31 D.－1或31 答案：C 解析：将直线方程y＝x＋化成一般式为4x－3y＋m＝0， 由题意可知3＝，解得m＝－1或m＝－31. 3.已知点A(a＋2，b＋2)，B(b－a，－b)关于直线4x＋3y－11＝0对称，则实数a，b的值分别为(　　) A.－1，2 B.4，－2 C.2，4 D.4，2 答案：D 解析：因为点A，B关于直线4x＋3y－11＝0对称，所以kAB＝，即＝　①，又AB的中点在直线4x＋3y－11＝0上，所以2(b＋2)＋3＝11　②，由①②，得故选D. 4.已知A，B，C，则△ABC是(　　) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 答案：A 解析：因为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，所以｜AB｜＝＝2，｜AC｜＝5，｜BC｜＝，所以｜AB｜2＋｜BC｜2＝｜AC｜2，所以△ABC是直角三角形.故选A. 5.与直线2x＋y＋1＝0平行且距离等于的直线方程为　　　　　　　　. 答案：2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0 解析：设与直线2x＋y＋1＝0平行的直线方程为2x＋y＋C＝0， 由两平行直线间的距离公式得＝.所以｜C－1｜＝1.所以C＝0或C＝2.故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0. 课时测评21　点到直线的距离 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0间的距离为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：直线3x＋4y－12＝0即直线6x＋8y－24＝0，由题意知，a＝6，故两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0间的距离为＝. 2.(多选)已知A(－2，－4)，B(1，5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为(　　) A.－3 B.3 C.－1 D.1 答案：AB 解析：由题意得＝，解得a＝－3或3. 3.点P(－3，4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是(　　) A.(－2，1) B.(－2，5) C.(2，－5) D.(4，－3) 答案：B 解析：设对称点坐标为(a，b)， 即Q(－2，5). 4.(多选)已知点P为y轴上一点，点P到直线3x－4y＋4＝0的距离为4，则点P的坐标为(　　) A.(0，6) B.(0，－4) C.(0，2) D.(0，0) 答案：AB 解析：设P(0，a)，则＝4， 解得a＝6或a＝－4， 故点P的坐标为(0，6)或(0，－4). 故选AB. 5.l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为(　　) A.x＋2y－3＝0 B.x－2y－3＝0 C.2x－y－1＝0 D.2x－y－3＝0 答案：A 解析：当两条平行直线与AB垂直时，两条平行直线的距离最大， 又kAB＝＝2， 所以＝－， 所以l1的方程为y－1＝－(x－1)， 即x＋2y－3＝0.故选A. 6.已知点R在直线x－y＋1＝0上，M(1，3)，N(3，－1)，则的最大值为(　　) A. B. C. D.2 答案：C 解析：设点M关于直线x－y＋1＝0的对称点为M'， 则 所以M'，又N， 所以＝≤＝. 故选C. 7.分别过点A(－2，1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离d＝　　　　. 答案：5 解析：两条直线的方程分别为x＝－2，x＝3，所以这两条直线间的距离d＝｜3－(－2)｜＝5. 8.与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为　　　　　　　　　. 答案：4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0 解析：设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0. 则＝2， 即｜C－7｜＝10，解得C＝－3或C＝17. 故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0. 9.(10分)已知点A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，求△ABC的面积. 解：设AB边上的高为h，则S△ABC＝｜AB｜·h.｜AB｜＝＝2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离.AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，因此S△ABC＝×2＝5. 10.(13分)求满足下列条件的直线方程： (1)垂直于直线x＋3y－5＝0，且点P(－1，0)到该直线的距离是； (2)在x轴上的截距为1，且A(－2，－1)，B(4，5)两点到该直线的距离相等. 解：(1)设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线l的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知，点P到直线3x－y＋m＝0的距离d＝＝＝， 所以｜m－3｜＝6，即m－3＝±6，得m＝9或m＝－3， 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. (2)法一：显然当直线l⊥x轴时符合要求，此时l的方程为x＝1. 当l的斜率存在时，设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0. 因为点A，B到l的距离相等， 所以＝. 所以｜1－3k｜＝｜3k－5｜，所以k＝1， 所以l的方程为x－y－1＝0. 综上，l的方程为x＝1或x－y－1＝0. 法二：因为点A，B到直线l的距离相等，所以直线l过线段AB的中点或与直线AB平行. 当直线l过线段AB的中点(1，2)时，因为直线l在x轴上的截距为1，所以直线l的方程为x＝1； 当直线l与直线AB平行时，因为kAB＝＝1，所以直线l的斜率也为1，又直线l在x轴上的截距为1，所以直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0. 综上，直线l的方程为x＝1或x－y－1＝0. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.(多选)下列过点(2，2)的直线l中，到两点A(0，－2)，B(8，2)的距离相等的是(　　) A.x＋y－4＝0 B.x＝2 C.2x＋y－6＝0 D.x－2y＋2＝0 答案：AD 解析：显然l的斜率不存在时x＝2不满足题意. 设l：y－2＝k(x－2)，即kx－y＋2－2k＝0. 由条件可知＝，解得k＝或－1. 当k＝时，l∥AB，方程为x－2y＋2＝0； 当k＝－1时，l过AB中点，方程为x＋y－4＝0. 12.已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6，3a＋4b＝1，则的最小值为(　　) A. B. C.1 D. 答案：C 解析：点(m，n)为直线3x＋4y＝6上的动点，点(a，b)为直线3x＋4y＝1上的动点，则的最小值可理解为两动点间距离的最小值，显然最小值即为两平行线间的距离，即＝1. 13.已知直线l：kx－y＋2＝0过定点M，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则｜MP｜的最小值是(　　) A. B. C. D.3 答案：B 解析：直线l：kx－y＋2＝0恒过点(0，2)， 所以M(0，2). 因为点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上， 所以｜MP｜的最小值为点M到直线2x＋y－1＝0的距离， 所以d＝＝＝.故选B. 14.(15分)(2025·江苏连云港高二期中)若不等式＋＋＋≥m对任意的实数x，y恒成立，求m的最大值. 解：设坐标原点为O，建立如图所示的平面直角坐标系. 设P(x，y)，A(6，8)，B(3，0)，C(3，8)，则四边形ACOB为平行四边形，则＋＋ ＋＝｜OP｜＋｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜，而｜OP｜＋｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜≥｜AO｜＋｜BC｜＝10＋8＝18，当且仅当P为平行四边形ACOB的对角线的交点E时等号成立，此时P(3，4).故｜OP｜＋｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜的最小值为18. 因为不等式＋＋＋≥m对任意的实数x，y恒成立，所以m≤18，即m的最大值为18，此时x＝3，y＝4. 15.(17分)已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a＞0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是. (1)求a的值； (2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由. 解：(1)l2的方程即为2x－y－＝0， 所以l1和l2的距离d＝＝， 所以＝. 因为a＞0，所以a＝3. (2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1和l2平行的直线l'：2x－y＋c＝0上， 且＝，即c＝或c＝. 所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0. 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，得 ＝·， 所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0. 因为点P在第一象限， 所以3x0＋2＝0不符合题意. 联立方程 解得x0＝－3，y0＝，应舍去. 联立 解得x0＝，y0＝. 所以P即为同时满足三个条件的点. 学科网（北京）股份有限公司 $