课时测评1 数列的概念及其通项公式-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评1　数列的概念及其通项公式 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.数列4，7，3，4的首项是4 B.数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C.数列1，2，3，…就是数列{n} D.数列中的项不能是三角形 答案：ACD 解析：由数列的相关概念可知，数列4，7，3，4的首项是4，故A正确；同一个数在数列中可以重复出现，故B错误；按一定顺序排列的一列数称为数列，所以数列1，2，3，…就是数列{n}，故C正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确. 2.(2025·吉林长春期中)数列－，3，－3，9，…的一个通项公式是(　　) A.an＝(－1)n(n∈N＋) B.an＝(－1)n(n∈N＋) C.an＝(－1)n＋1(n∈N＋) D.an＝(－1)n＋1(n∈N＋) 答案：B 解析：把数列的前4项统一形式为－，，－，，数列的一个通项公式为an＝(－1)n(n∈N＋). 3.(多选)数列{an}的通项公式为an＝25－2n，在下列各数中，是{an}的项的是(　　) A.1　　　　 B.－1　　　　 C.3　　　　 D.2 答案：ABC 解析：25－2n不可能是偶数，经验证，1，－1，3均是{an}中的项. 4.已知数列－1，，－，…，(－1)n，…，则它的第5项为(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：D 解析：易知，数列的通项公式为an＝(－1)n·，当n＝5时，该项为(－1)5·＝－.故选D. 5.数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的通项公式为(　　) A.an＝(10n－1)，n∈N＋ B.an＝(10n－1)，n∈N＋ C.an＝(1－)，n∈N＋ D.an＝(10n－1)，n∈N＋ 答案：C 解析：因为数列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…的通项公式为1－，而数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的，所以an＝(1－)，n∈N＋. 6.数列{an}的通项公式为an＝则a2a3＝(　　) A.70 B.28 C.20 D.8 答案：C 解析：由通项公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2a3＝20. 7.已知数列2，，2，…的通项公式为an＝，则a4＝　　　　，a5＝　　　　. 答案：　 解析：将a1＝2，a2＝代入通项公式，得 所以an＝，所以a4＝＝，a5＝＝. 8.数列－1，1，－2，2，－3，3，…的一个通项公式为　　　　. 答案：an＝ 解析：注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得 an＝ 9.(10分)写出下列各数列的一个通项公式： (1)4，6，8，10，…； (2)，，，，，…； (3)－1，，－，，…. 解：(1)各项是从4开始的偶数，所以an＝2n＋2，n∈N＋. (2)每一项分子比分母少1，而分母可写成21，22，23，24，25，…，分子分别比分母少1，故所求数列的通项公式可写为an＝，n∈N＋. (3)通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择(－1)n.又第1项可改写成分数－，则每一项的分母依次为3，5，7，9，…，可写成(2n＋1)的形式.分子为3＝1×3，8＝2×4，15＝3×5，24＝4×6，…，可写成n(n＋2)的形式. 所以此数列的一个通项公式为an＝(－1)n·，n∈N＋. 10.(10分)已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)写出此数列的第4项和第6项； (2)－49是不是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68呢？ 解：(1)a4＝3×42－28×4＝－64， a6＝3×62－28×6＝－60. (2)令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)， 所以－49是该数列的第7项； 令3n2－28n＝68，解得n＝－2或n＝， 均不合题意，所以68不是该数列的项. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.设an＝＋＋＋＋…＋(n∈N＋)，则a2等于(　　) A. B.＋ C.＋＋ D.＋＋＋ 答案：C 解析：因为an＝＋＋＋＋…＋(n∈N＋)， 所以a2＝＋＋. 12.已知数列{an}的通项公式为an＝n－，an的最小值为　　　　. 答案：1－ 解析：因为an＝n－＝＝－，易知数列{an}为递增数列，则数列{an}的最小项为a1，即最小值为1－. 13.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝　　　　. 答案：61 解析：f(1)＝1＝2×1×0＋1， f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1， f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1， f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1， 故f(n)＝2n(n－1)＋1. 当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61. 14.(13分)已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋n＋110. (1)20是不是{an}中的一项？ (2)当n取何值时，an＝0. 解：(1)令an＝－n2＋n＋110＝20， 即n2－n－90＝0，所以(n＋9)(n－10)＝0， 所以n＝10或n＝－9(舍)， 所以20是数列{an}中的一项，且为数列{an}中的第10项. (2)令an＝－n2＋n＋110＝0，即n2－n－110＝0， 所以(n－11)(n＋10)＝0，所以n＝11或n＝－10(舍)， 所以当n＝11时，an＝0. 15.(5分)如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为(　　) A.an＝n，n∈N＋ B.an＝，n∈N＋ C.an＝，n∈N＋ D.an＝n2，n∈N＋ 答案：C 解析：因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…， 所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝，…. 16.(17分)在数列{an}中，an＝. (1)求证：此数列的各项都在区间(0，1)内； (2)区间内有没有数列中的项？若有，有几项？ 解：(1)证明：因为an＝＝1－(n∈N＋)， 所以0＜an＜1， 故数列的各项都在区间(0，1)内. (2)令，则＜n2＜2，n∈N＋， 解得n＝1，即在区间内有且只有1项数列中的项，为a1. 学科网（北京）股份有限公司 $