2 3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

本讲义聚焦椭圆的简单几何性质，系统梳理范围、对称性、顶点、离心率等核心知识点，构建从标准方程观察图形性质到利用性质求解方程、分析离心率的学习支架，衔接椭圆定义与应用。 资料通过问题引导图形观察培养直观想象，对比焦点位置差异发展推理能力，结合例题与分层练习强化数学运算与模型观念，如离心率与椭圆扁平程度关系的探究。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、弥补盲点。

3.1.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 学习目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单的几何性质，培养直观想象、数学运算的核心素养. 2.能利用椭圆的简单几何性质求标准方程，提升数学运算的核心素养. 任务一　椭圆的几何性质 问题.观察椭圆＋＝1(a＞b＞0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 提示：范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点； 顶点：A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b). 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a且 －b≤y≤b －b≤x≤b且 －a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 长轴长＝2a，短轴长＝2b 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 ｜F1F2｜＝2c 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0) 离心率 e＝(0＜e＜1) [微提醒]　(1)椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置. (2)已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点. 学生用书⬇第80页 (3)椭圆的离心率e的大小反映椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆. 已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上. (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质. 解：(1)由椭圆C1：＋＝1可得a＝10，b＝8，c＝6，焦点在x轴上，故其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝. (2)椭圆C2：＋＝1，其中a＝10，b＝8，c＝6，焦点在y轴上， 性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10； ②对称性：关于x轴、y轴、原点对称； ③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)； ④焦点：(0，6)，(0，－6)； ⑤离心率：e＝. 用标准方程研究几何性质的步骤 1.将椭圆方程化为标准形式； 2.确定焦点位置； 3.求出a，b，c； 4.写出椭圆的几何性质. 注意：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c而应是a，b，c的两倍. 对点练1.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为(　　) A.(±13，0) B.(0，±10) C.(0，±13) D.(0，±) 答案：D 解析：由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±). 对点练2.椭圆＋＝1与椭圆＋＝1(k＜9)的(　　) A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 答案：C 解析：椭圆＋＝1的长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为. 椭圆＋＝1(k＜9)的长轴长为2，短轴长为2， 焦距为2＝8，离心率为 . 因此两个椭圆的焦距相等，故选C. 任务二　利用几何性质求椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)短轴长2，离心率e＝； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 解：(1)由2b＝2，e＝＝，得b2＝5，＝，a2＝9. 当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1； 当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (2)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0). 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且｜OF｜＝c，｜A1A2｜＝2b. 所以c＝b＝3.所以a2＝b2＋c2＝18. 故所求椭圆的方程为＋＝1. 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： 1.确定焦点位置； 2.设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； 3.根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等 对点练3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：D 解析：因为椭圆C的右焦点为F(1，0)，所以椭圆的焦点在x轴上，c＝1，又离心率e＝＝，故a＝2，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆C的方程为＋＝1. 对点练4.已知椭圆G的中心为坐标原点O，F，B分别为椭圆G的右焦点和短轴端点，点O到直线BF的距离为，若过点F且垂直于椭圆长轴的弦长为2，则椭圆G的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：C 解析：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知可得＝，＝2，结合a2＝b2＋c2，解得a＝4，b＝2.故选C. 学生用书⬇第81页 任务三　椭圆的离心率 (1)若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C.　　　D. (2)已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为　　　　. 答案：(1)A　(2) 解析：(1)如图，△BF1F2是正三角形， 因为在Rt△OBF2中，｜OF2｜＝c，｜BF2｜＝a，∠OF2B＝60°， 所以cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝，故选A. (2)依题意可得2c≥2b，即c≥b. 所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2， 即2c2≥a2，e2＝，所以e≥， 又因为0＜e＜1， 所以椭圆离心率的取值范围是. 求椭圆离心率及范围的两种方法 1.直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解，若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解. 2.方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围. 对点练5.设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈(，1)，则实数k的取值范围是　　　　　　　　　. 答案：(0，3)∪(，＋∞) 解析：当k＞4时，c2＝k－4，由条件知＜＜1，解得k＞；当0＜k＜4时，c2＝4－k，由条件知＜＜1，解得0＜k＜3.综上，实数k的取值范围为(0，3)∪(，＋∞). 1.椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) A.5，3， B.10，6， C.5，3， D.10，6， 答案：B 解析：椭圆可变形为＋＝1，所以a＝5，b＝3，所以长轴长为10，短轴长为6，e＝＝. 2.已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：因为a2＝4＋22＝8，所以a＝2，所以e＝＝＝. 3.焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.x2＋＝1 答案：A 解析：依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝＝，故所求椭圆的标准方程是＋＝1. 4.在①离心率e＝，②椭圆C过点，③△PF1F2面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，解答下列问题. 设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，已知椭圆C的短轴长为2，　　　　，求椭圆C的方程. 解：选①，由题意可得 所以所求椭圆C的方程为＋＝1. 选②，由题意可得 所以所求椭圆C的方程为＋＝1. 选③，由题意可得 解得 所以所求椭圆C的方程为＋＝1. 课时测评28　椭圆的简单几何性质 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.椭圆9x2＋25y2＝225上的点P(x，y)的横、纵坐标的范围分别为(　　) A.｜x｜≤3，｜y｜≤5 B.｜x｜≤，｜y｜≤ C.｜x｜≤5，｜y｜≤3 D.｜x｜≤，｜y｜≤ 答案：C 解析：椭圆的标准方程为＋＝1，故｜x｜≤5，｜y｜≤3. 2.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为(　　) A.(－3，0) B.(－4，0) C.(－10，0) D.(－5，0) 答案：D 解析：因为圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(3，0)，所以c＝3.又b＝4，所以a＝＝5.因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的左顶点为(－5，0). 3.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)和直线l：＋＝1，若过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：已知过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，且直线l的斜率为－，则＝，又b2＋c2＝a2，所以e＝＝. 4.(多选)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长为8，离心率为，则此椭圆的标准方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：AB 解析：因为a＝4，e＝， 所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7. 因为焦点的位置不确定， 所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1. 5.从椭圆的长轴的一个端点看短轴的两个端点的视角为60°，那么此椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为椭圆的长轴为A1A2，B为短轴一端点， 所以∠CA2B＝60°， 所以b＝a， 即3b2＝a2， 又a2－c2＝b2， 所以2a2＝3c2， 解得e＝＝. 故选B. 6.若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为　　　　. 答案： 解析：因为焦点在y轴上，所以0＜m＜2，a＝，c＝. 所以e＝＝，所以m＝. 7.比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则　　　　更扁(填序号). 答案：① 解析：x2＋9y2＝36化为标准方程为＋＝1，故离心率e1＝＝；＋＝1的离心率e2＝，因为e1＞e2，故①更扁. 8.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的长轴长为　　　　，其标准方程是　　　　　　　　　. 答案：8　＋＝1 解析：已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍， 可得 所以可得a＝4，2a＝8. 所以＋＝1为椭圆的标准方程. 9.(10分)(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6，0)，(6，0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程. 解：(1)因为c＝＝，焦点在x轴上， 所以所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0). 设所求椭圆的方程为 ＋＝1(a＞b＞0). 因为e＝＝，c＝， 所以a＝5，b2＝a2－c2＝20， 所以所求椭圆的方程为＋＝1. (2)因椭圆的焦点在x轴上， 设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 因为2c＝8，所以c＝4， 又a＝6，所以b2＝a2－c2＝20. 所以椭圆的方程为＋＝1. 10.(13分)已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标. 解：椭圆方程可化为＋＝1， 由m＞0，易知m＞， 所以a2＝m，b2＝. 所以c＝＝. 由e＝，得 ＝，解得m＝1， 所以椭圆的标准方程为x2＋＝1. 所以a＝1，b＝，c＝. 所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1， 两焦点坐标分别为 F1，F2， 顶点坐标分别为A1(－1，0)，A2(1，0)， B1，B2. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.(多选)如图，两个椭圆＋＝1，＋＝1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，下列四个判断中正确命题为(　　) A.P到F1(－4，0)，F2(4，0)，E1(0，－4)，E2(0，4)四点的距离之和为定值 B.曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称 C.曲线C所围区域面积必小于36 D.曲线C总长度不大于6π 答案：BC 解析：逐一考查所给的说法： 考虑点P不是交点的情况，若点P在椭圆＋＝1上，P到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和为定值，到E1(0，－4)，E2(0，4)两点的距离之和不为定值，故A错；两个椭圆关于直线y＝x，y＝－x均对称，曲线C关于直线y＝x，y＝－x的均对称，故B正确；曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故C正确；曲线C所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长6π，故D错误.故选BC. 12.如图，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为　　　　，短轴长为　　　　，离心率为　　　　. 答案：8 cm　12 cm　 解析：由题图知短轴长等于底面直径12 cm，长轴长为＝8(cm)，则c2＝(4)2－62＝12， 所以c＝2，所以离心率e＝＝. 13.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为　　　　. 答案：6 解析：由题意，F(－1，0)，设点P(x0，y0)，则有＋＝1，解得＝3，因为＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)， 所以·＝x0(x0＋1)＋ ＝x0(x0＋1)＋3＝＋x0＋3. 此二次函数对应的拋物线的对称轴为 x0＝－2. 因为－2≤x0≤2. 所以当x0＝2时，·＋2＋3＝6. 14.(15分)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率. 解：根据椭圆的对称性，不妨设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，左、右焦点坐标分别为F1(－c，0)，F2(c，0). 依题意设点A坐标为，则点B坐标为 ，所以｜AB｜＝. 由△ABF2是正三角形得2c＝，即b2＝2ac. 又因为b2＝a2－c2，所以a2－c2－2ac＝0，两边同除以a2，得＋2·－＝0，即e2＋2e－＝0，解得e＝＝. 15.(17分)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶. (1)求椭圆C的方程； (2)设点M(m，0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当｜｜最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围. 解：(1)由题意知 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)设P(x0，y0)，且＋＝1， 所以｜｜2＝(x0－m)2＋ ＝－2mx0＋m2＋12＝－2mx0＋m2＋12＝(x0－4m)2－3m2＋12.所以｜｜2为关于x0的二次函数，开口向上，对称轴为4m.由题意知，当x0＝4时，最小，所以4m≥4，所以m≥1. 又点M(m，0)在椭圆长轴上， 所以1≤m≤4. 学生用书⬇第82页 学科网（北京）股份有限公司 $