3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本高中数学讲义聚焦抛物线的简单几何性质，通过类比椭圆、双曲线的研究方法，系统梳理范围、对称性、顶点、离心率等核心性质，构建“定义探究-性质归纳-应用拓展”的学习支架，衔接解析几何知识脉络。 以问题驱动引导学生抽象几何本质，结合图形分析与实例计算（如正三角形内接抛物线问题），培养数学抽象、直观想象与数学运算素养。课中助力教师分层教学，课后通过对点练与测评帮助学生巩固应用，查漏补缺。

3.3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　抛物线的简单几何性质 学习目标 1.了解抛物线的简单几何性质，培养数学抽象的核心素养. 2.能利用抛物线的几何性质解决相关问题，培养直观想象、数学运算的核心素养. 任务一　抛物线的简单几何性质 问题.类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2＝2px(p＞0)的哪些几何性质，如何研究这些性质？ 提示：　1.范围 当x＞0时，抛物线y2＝2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x 的值增大时，｜y｜的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.抛物线是无界曲线. 2.对称性 观察图象，不难发现，抛物线 y2 ＝ 2px(p＞0)关于 x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫作抛物线的轴.抛物线只有一条对称轴. 3.顶点 抛物线和它的对称轴的交点叫作抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是坐标原点 (0，0). 4.离心率 抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率.用e表示，e＝1. 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点坐标 O(0，0) 离心率 e＝1 学生用书⬇第94页 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程. 解：椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上， 所以抛物线的对称轴为x轴， 所以设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0). 因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3， 所以p＝6， 所以抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x， 其准线方程分别为x＝－3和x＝3. 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 1.开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负. 2.关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. 3.定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 对点练1.边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　) A.y2＝x　　　　　　 B.y2＝－x C.y2＝±x D.y2＝±x 答案：C 解析：设抛物线方程为y2＝ax(a≠0). 又A(取点A在x轴上方)， 则有＝±a，解得a＝±， 所以抛物线方程为y2＝±x. 任务二　抛物线的几何性质的应用 (1)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长. (2)已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，若｜OA｜＝｜OB｜，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程. 解：如图所示， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝2px1，＝2px2. 又｜OA｜＝｜OB｜， 所以＋＝＋， 即－＋2px1－2px2＝0， 整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0. 因为x1＞0，x2＞0，2p＞0， 所以x1＝x2，由此可得｜y1｜＝｜y2｜， 即线段AB关于x轴对称， 由此得∠AOx＝30°， 所以y1＝x1，与＝2px1联立， 解得y1＝2p. 所以｜AB｜＝2y1＝4p， 即这个三角形的边长为4p. (2)如图，设点A(x0，y0)， 由题意可知点B(x0，－y0)， 因为F是△AOB的垂心， 所以AF⊥OB，所以kAF·kOB＝－1， 即·＝－1. 所以＝x0， 又因为＝2px0， 所以x0＝2p＋＝. 所以直线AB的方程为x＝. 利用抛物线的性质可以解决的问题 1.对称性：解决抛物线的内接三角形问题. 2.焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. 3.范围：解决与抛物线有关的最值问题. 4.焦点弦：解决焦点弦问题. 对点练2.(1)(多选)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在抛物线C上，｜MF｜＝5，若y轴上存在点A(0，2)，使得·＝0，则p的值可以为(　　) A.2　　　　 B.4　　　　 C.6　　　　 D.8 (2)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是　　　　. 答案：(1)AD　(2)4 解析：(1)由题意可得，以MF为直径的圆过点(0，2)， 设点M(x，y)，由抛物线定义知｜MF｜＝x＋＝5，可得x＝5－. 因为圆心是MF的中点， 所以根据中点坐标公式可得， 圆心横坐标为＝， 由已知可知圆半径也为， 据此可知该圆与y轴相切于点A(0，2)， 故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4， 即点M， 代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0， 所以p＝2或p＝8. (2)由抛物线方程可知F(1，0)，准线l的方程为x＝－1.如图，设A(x0，y0)，过A作AH⊥x轴于H， 在Rt△AFH中，｜FH｜＝x0－1， 由∠AFO＝120°得∠AFH＝60°，故y0＝｜AH｜＝(x0－1)， 所以点A的坐标为(x0，(x0－1))，将此代入抛物线方程可得3－10x0＋3＝0， 解得x0＝3或x0＝(舍)， 所以点A的坐标为(3，2)， 故S△AKF＝×(3＋1)×2＝4. 学生用书⬇第95页 1.对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是(　　) A.开口向上，焦点为(0，1) B.开口向上，焦点为 C.开口向右，焦点为(1，0) D.开口向右，焦点为 答案：B 解析：由抛物线y＝4x2， 得抛物线标准形式为x2＝，2p＝， 故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为. 2. (多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　) A.y2＝8x　　　　　　　 B.y2＝－8x C.x2＝8y D.x2＝－8y 答案：CD 解析：设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py(p＞0)，2p＝8，p＝4. 所以抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y. 3.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：设抛物线的焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，｜PF｜＝｜PO｜，又F，所以x0＝，所以＝，所以y0＝±. 4.已知抛物线y2＝2px(p＞0)，直线x＝m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1＋y2＝　　　　. 答案：0 解析：因为抛物线y2＝2px(p＞0)关于x轴对称，x＝m与x轴垂直，故y1＝－y2， 即y1＋y2＝0. 课时测评34　抛物线的简单几何性质 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若｜AB｜＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　) A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 答案：A 解析：由题意知，线段AB所在的直线方程为x＝1， 抛物线的焦点坐标为， 则焦点到直线AB的距离为1－＝. 2.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0的圆心的抛物线的方程是(　　) A.y＝3x2或y＝－3x2 B.y＝3x2 C.y2＝－9x或y＝3x2 D.y＝－3x2或y2＝9x 答案：D 解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝1，圆心为(1，－3)，由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0).把(1，－3)代入得9＝2p或1＝6p， 所以p＝或p＝，所以y2＝9x或x2＝－y. 3.若双曲线－＝1(p＞0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.4 答案：C 解析：双曲线的方程可化为－＝1，所以双曲线的左焦点为. 又因为抛物线的准线为x＝－， 由题意得－＝－，解得p＝4. 4.若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案：A 解析：由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1， 因为抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2， 则P(3，±2)， 所以点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4， 所以点P到抛物线的焦点F的距离为4. 5.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为(　　) A.2 B.1 C. D. 答案：A 解析：曲线的方程可化为(x－2)2＋y2＝9， 其表示圆心为(2，0)，半径为3的圆， 又抛物线的准线方程为x＝－， 所以由抛物线的准线与圆相切得2＋＝3，解得p＝2. 6.(多选)点M(1，1)到抛物线y＝ax2的准线的距离为2，则a的值可以为(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：AB 解析：抛物线y＝ax2的准线方程为y＝－， 因为点M(1，1)到抛物线y＝ax2的准线的距离为2， 所以＝2，解得a＝或a＝－. 7.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为　　　　. 答案：－ 解析：因为点A(－2，3)在抛物线C的准线上， 所以＝2，所以p＝4. 所以抛物线的方程为y2＝8x，则焦点F的坐标为(2，0). 又A(－2，3)，根据斜率公式得kAF＝＝－. 8.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则｜FN｜＝　　　　. 答案：6 解析：如图，过点M作MM'⊥y轴，垂足为M'，｜OF｜＝2， 因为M为FN的中点，｜MM'｜＝1， 所以M到准线距离d＝｜MM'｜＋＝3， 所以｜MF｜＝3，所以｜FN｜＝6. 9.(13分)若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且｜AM｜＝，｜AF｜＝3，求此抛物线的标准方程. 解：设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)， 设A(x0，y0)，由题意知M. 因为｜AF｜＝3，所以y0＋＝3， 因为｜AM｜＝，所以＋＝17， 所以＝8，代入方程＝2py0得， 8＝2p，解得p＝2或p＝4. 所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y. 10.(15分)已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且｜AF｜＋｜BF｜＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6，0)，求抛物线的方程. 解：设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)， 则其准线方程为x＝－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为｜AF｜＋｜BF｜＝8， 所以x1＋＋x2＋＝8，即x1＋x2＝8－p. 因为Q(6，0)在线段AB的中垂线上， 所以｜QA｜＝｜QB｜， 即＝， 又＝2px1，＝2px2， 所以(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0. 因为AB与x轴不垂直，所以x1≠x2. 故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4. 从而抛物线方程为y2＝8x. (11—14小题，每小题5分，共20分) 11.设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为(　　) A.(2，±2) B.(1，±2) C.(1，2) D.(2，2) 答案：B 解析：设A(x，y)，则y2＝4x，①　F(1，0)，x＞0， 又＝(x，y)，＝(1－x，－y)， 所以·＝x－x2－y2＝－4.② 由①②可解得x＝1，y＝±2，故A点坐标为(1，±2). 12.已知P是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若｜PF｜＝2，∠PFO＝，则抛物线C的方程为(　　) A.y2＝6x B.y2＝2x C.y2＝x D.y2＝4x 答案：A 解析：过P向x轴作垂线，设垂足为Q， 因为∠PFO＝，｜PF｜＝2， 所以｜PQ｜＝，｜QF｜＝1，P， 将P点的坐标代入y2＝2px，得p＝3，故C的方程为y2＝6x. 13.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且｜MF｜＝4｜OF｜，△MFO 的面积为4，则抛物线方程为(　　) A.y2＝6x B.y2＝8x C.y2＝16x D.y2＝x 答案：B 解析：设M(x1，y1)， 则由｜MF｜＝4｜OF｜得x1＋＝4×， 即x1＝p，则＝3p2， 则｜y1｜＝p，则S△OMF＝××p＝4，解得p＝4，即抛物线的方程为y2＝8x. 14.抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝　　　　　. 答案：6 解析：抛物线的焦点坐标为F，准线方程为y＝－. 将y＝－－＝1得｜x｜＝.要使△ABF为等边三角形，则tan ＝＝＝，解得p2＝36，p＝6. 15.(5分)如图，已知P为抛物线y2＝4x上的动点，过P分别作y轴与直线x－y＋4＝0的垂线，垂足分别为A，B，则｜PA｜＋｜PB｜的最小值为　　　　. 答案：－1 解析：抛物线的准线方程是x＝－1， 又根据抛物线的几何性质知， 抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离， 所以｜PA｜＋｜PB｜＝｜PF｜＋｜PB｜－1，｜PF｜＋｜PB｜的最小值就是点F到直线x－y＋4＝0的距离， 又点F到直线的距离d＝＝， 所以｜PA｜＋｜PB｜的最小值是－1. 16.(17分)已知抛物线y2＝8x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围； (2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，｜OA｜＝｜OB｜，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长. 解：(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，x≥0. (2)假设A点在x轴上方，如图所示，由｜OA｜＝｜OB｜可知AB⊥x轴，垂足为点M， 又焦点F是△OAB的重心， 则｜OF｜＝｜OM｜. 因为F(2，0)， 所以｜OM｜＝｜OF｜＝3， 所以M(3，0). 故设A(3，m)， 代入y2＝8x得m2＝24， 所以m＝2或m＝－2， 所以A(3，2)，B(3，－2)， 所以｜OA｜＝｜OB｜＝， 所以△OAB的周长为2＋4. 学科网（北京）股份有限公司 $