2 1.1　第2课时　数列的递推公式、单调性及an 和Sn 的关系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

本高中数学讲义聚焦数列的递推公式、单调性及aₙ与Sₙ的关系，构建“概念引入—方法探究—性质应用”的学习支架，从递推公式的累加法累乘法求通项，到作差法判断单调性，再到分段处理aₙ与Sₙ关系及数列最值求解，形成完整知识链。 以智力测试数列实例引入培养数学抽象，通过累加法推导过程强化逻辑推理，结合aₙ与Sₙ关系计算提升数学运算。课中例题解析与方法总结辅助教师高效授课，课后分层测评助力学生查漏补缺，实现核心素养与知识技能的融合。

第2课时　数列的递推公式、单调性及an 和Sn 的关系 学习目标 1.通过日常生活和数学中的实例，理解数列的递推公式和数列的单调性，培养数学抽象的核心素养. 2.能根据递推公式求出数列的前几项，了解用累加法、累乘法求通项公式，增强逻辑推理的核心素养. 3.会用an与Sn的关系求通项公式，提升数学运算的核心素养. 任务一　数列的递推公式 问题.观察某次智力测试中的一道题：数列：1，3，6，10，15，…中数字出现的规律是： a2－a1＝3－1＝2，a3－a2＝6－3＝3，a4－a3＝10－6＝4，a5－a4＝15－10＝5，… (1)你能写出该数列的第8个数吗？ (2)你能用an＋1与an的一个数字表达式描述该数列相邻两项之间的关系吗？ 提示：(1)36　(2)an＋1－an＝n＋1 如果数列{an}的任一项an＋1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示，即an＋1＝f(an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件. 角度一　由递推公式求数列的某指定项 已知数列{an}中，a1＝1，且满足an＝3an－1＋(n∈N＋，且n＞1)，写出数列{an}的前5项. 解：由题意，得a2＝3a1＋，而a1＝1， 所以a2＝3×1＋＝. 同理a3＝3a2＋＝10，a4＝3a3＋＝，a5＝3a4＋＝91. 学生用书⬇第5页 由递推公式求数列的某指定项的方法 　　根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式. 对点练1.已知数列{an}满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则此数列的第5项是　　　. 答案：255 解析：因为a1＝0，所以a2＝4a1＋3＝3，a3＝4a2＋3＝15，a4＝4a3＋3＝63，a5＝4a4＋3＝255. 角度二　由递推公式求数列的通项公式 (1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N＋，求通项公式an； (2)设数列{an}中，a1＝1，an＝(1－)an－1(n≥2)，求通项公式an. 解：(1)因为an＋1－an＝， 所以a2－a1＝； a3－a2＝； a4－a3＝； … an－an－1＝. 以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋ ＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－. 所以an＋1＝1－，所以an＝－(n≥2). 又因为n＝1时，a1＝－1，符合上式， 所以an＝－(n∈N＋). (2)因为a1＝1，an＝(1－)an－1(n≥2)， 所以＝，an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝. 又因为n＝1时，a1＝1，符合上式，所以an＝(n∈N＋). 　　由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即： 1.累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式； 2.累乘法：当＝g(n)时，常用an＝··…··a1求通项公式. 对点练2.若a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2)，求数列{an}的通项公式. 解：因为anan－1＝an－1－an，所以－＝1. 所以＝＋(－)＋(－)＋…＋(－) ＝2＋＝ n＋1. 所以＝n＋1，所以an＝(n≥2).又因为n＝1时，a1＝，符合上式，所以an＝(n∈N＋). 对点练3.若a1＝2，an＋1＝3an(n∈N＋)，写出数列的前5项，猜想an并证明. 解：由a1＝2，an＋1＝3an，得： a2＝3a1＝3×2， a3＝3a2＝3×3×2＝32×2， a4＝3a3＝3×32×2＝33×2， a5＝3a4＝3×33×2＝34×2， …， 猜想：an＝2×3n－1， 证明如下：由an＋1＝3an得＝3. 因此可得＝3，＝3，＝3，…，＝3. 将上面的n－1个式子相乘可得···…·＝3n－1. 即＝3n－1，所以an＝a1·3n－1， 又a1＝2，故an＝2·3n－1. 任务二　数列的单调性 名称 含义 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1＞an 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项an＋1＜an 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 常数列 各项都相等的数列 已知函数f(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N＋). (1)求证：an＞－2； 学生用书⬇第6页 (2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？ 解：(1)证明：因为f(x)＝＝＝－2＋， 所以an＝－2＋.因为n∈N＋，所以an＞－2. (2)数列{an}为递减数列.理由如下： 因为an＝－2＋， 所以an＋1－an＝(－2＋)－(－2＋) ＝－＝＜0， 即an＋1＜an，所以数列{an}为递减数列. 　　用作差法判断数列的单调性关键是判断符号，为此，一般要对差式进行通分，因式分解等变形；若用作商法则要特别注意分母的符号. 对点练4.已知数列{an}的第n项可以表示为，n∈N＋，试判断数列的增减性. 解：因为{an}的第n项为，所以{an}的第n＋1项为.因为－＝－ ＝ ＝＝＞0， 所以＞，所以数列{an}的第n＋1项大于第n项， 故数列{an}是递增数列. 任务三　数列{an}的前n项和 1.定义 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2.数列的前n项和公式 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 3.an与Sn的关系 an＝ [微提醒]　(1)注意等式成立的条件.(2)一定要检验n＝1时，S1是否满足首项.(3)若Sn与an的关系式较复杂，可分别写出Sn与Sn－1，然后作差求得. 已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an. 解：因为Sn＝2n2－30n， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当n≥2时，an＝Sn－＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 验证当n＝1时上式成立， 所以an＝4n－32，n∈N*. 学生用书⬇第7页 [变式探究](变条件)将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an. 解：因为Sn＝2n2－30n＋1， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27， 当n≥2时，an＝Sn－ ＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32. 当n＝1时不符合上式. 所以an＝ 由Sn求通项公式an的步骤 对点练5.已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an. (1)Sn＝； (2)Sn＝3n－2. 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝， 当n≥2时，an＝Sn－＝－＝， 又a1＝适合上式， 所以an＝. (2)当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－＝(3n－2)－(－2)＝2×， 又a1＝1不适合上式， 所以an＝ 任务四　数列的最值 已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·，n∈N＋.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由. 解：法一：an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)·＝， 当n＜9时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an； 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n＞9时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an. 则a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…， 故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×. 法二：根据题意，令 即 解得9≤n≤10. 又n∈N＋，则n＝9或n＝10.故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×. 求数列最值的方法 1.函数的单调性法：令an＝f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项. 2.不等式组法：先假设有最大(小)项.不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值. 对点练6.已知数列an＝n2－6n＋5，则该数列中最小项的序号是(　　) A.3　　　　 B.4　　　　 C.5　　　　 D.6 答案：A 解析：因为an＝(n2－6n＋9)－4＝(n－3)2－4， 所以当n＝3时，an取得最小值. 学生用书⬇第8页 1.在数列{an}中，an＝，则{an}(　　) A.是常数列　　　　 B.不是单调数列 C.是递增数列 D.是递减数列 答案：D 解析：在数列{an}中，an＝＝1＋，由反比例函数的性质得{an}是递减数列. 2.数列{an}满足an＋1＝1－，且a1＝2，则a2 021的值为(　　) A.　　　　 B.－1　　　　 C.2　　　　 D.1 答案：A 解析：a2＝，a3＝－1，a4＝2，a5＝，a6＝－1，a7＝2，依此类推知a2 021＝ . 3.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝(　　) A.2＋ln n B.2＋(n－1)ln n C.2＋nln n D.1＋n＋ln n 答案：A 解析：因为在数列{an}中，an＋1－an＝ln＝ln， 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝ln＋ln＋…＋ln＋2 ＝ln＋2＝2＋ln n.故选A. 4.(双空题)已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn＝n2＋n(n∈N*)，则S3＝　　　　，数列{an}的通项公式an＝　　　　. 答案：12　2n 解析：由Sn＝n2＋n，所以S3＝9＋3＝12.当n＝1时，a1＝S1＝1＋1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，当n＝1时，得a1＝2成立，所以an＝2n. 课时测评2　数列的递推公式、单调性及an和Sn的关系 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.数列－11，－20，－27，…，n2－12n，…是(　　) A.递增数列　　　　　　　　 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 答案：D 解析：该数列从第2项起，第n项与第n－1项的差为(n2－12n)－[(n－1)2－12(n－1)]＝2n－13，所以该数列的前6项单调递减，从第6项往后单调递增，故选D. 2.已知数列{an}满足an＝4an－1－2(n≥2，n∈N＋)，且a1＝1，则此数列的第5项是(　　) A.6　　　　 B.86　　　　 C.22　　　　 D.63 答案：B 解析：由递推公式，得a2＝2，a3＝6，a4＝22，a5＝86. 3.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的一个通项公式是(　　) A.an＝n B.an＝n＋1 C.an＝2n D.an＝2n－1 答案：D 解析：由题a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15，经验证，an＝2n－1. 4.如图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两点之间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图有化学键(　　) A.6n个 B.(4n＋2)个 C.(5n－1)个 D.(5n＋1)个 答案：D 解析：由题中图形知，各图中“短线”个数依次为6，6＋5，6＋5＋5，…，若把6看作1＋5，则上述数列为1＋5，1＋2×5，1＋3×5，…，于是第n个图形有(5n＋1)个化学键.故选D. 5.(多选)若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1(n＞3)，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法正确的是(　　) A.Tn无最大值 B.an有最大值 C.T2 025＝4 D.a2 025＝2 答案：BCD 解析：因为a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1(n＞3)， 所以a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，…， 因此数列{an}是周期为6的周期数列，an＋6＝an， 所以an有最大值2，a2 025＝a3＝2， 又因为T1＝1，T2＝2，T3＝4，T4＝4，T5＝2，T6＝1，T7＝1，T8＝2，…， 所以{Tn}是周期为6的周期数列，Tn＋6＝Tn， 所以Tn有最大值4，T2 025＝T3＝4.故选BCD. 6.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是(　　) A.an＋1＝an＋n，n∈N＋ B.an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2 C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋，n≥2 D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2 答案：B 解析：由题中图形知，a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，a4＝a3＋4，所以an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2，故选B. 7.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n(n∈N＋)，则a4＝　　　　. 答案：13 解析：当n＝1时，a2＝a1＋1×2＝3， 当n＝2时，a3＝a2＋2×2＝3＋4＝7， 当n＝3时，a4＝a3＋3×2＝7＋6＝13. 8.已知在数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N＋)，则a9＝　　　. 答案： 解析：a1a2…a8＝82，① a1a2…a9＝92，② ②÷①得，a9＝＝. 9.(10分)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，求数列{an}的通项公式. 解：由条件＝，分别令n＝1，2，3，…，n－1，代入上式得n－1个等式，即＝，＝，＝，…，＝. 将以上各式等号两边分别相乘，得···…·＝×××…×， 所以＝. 又因为a1＝，所以an＝. 10.(10分)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6. (1)设bn＝an＋1－an，求数列{bn}的通项公式； (2)求n为何值时an最小. 解：(1)由an＋2－2an＋1＋an＝2n－6， 得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2n－6， 所以bn＋1－bn＝2n－6. 当n≥2时，bn－bn－1＝2(n－1)－6， bn－1－bn－2＝2(n－2)－6， … b3－b2＝2×2－6， b2－b1＝2×1－6， 累加得bn－b1＝2(1＋2＋…＋n－1)－6(n－1) ＝n(n－1)－6n＋6＝n2－7n＋6. 又b1＝a2－a1＝－14， 所以bn＝n2－7n－8. (2)由bn＝(n－8)(n＋1)， 得an＋1－an＝(n－8)(n＋1). 所以当n＜8时，an＋1＜an； 当n＝8时，a9＝a8； 当n＞8时，an＋1＞an. 所以当n＝8或n＝9时，an的值最小. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N＋)，则a2 021的值为(　　) A.2 B.1 C. D. 答案：C 解析：an·an＋2＝an＋1(n∈N＋)， 由a1＝1，a2＝2，得a3＝2， 由a2＝2，a3＝2，得a4＝1， 由a3＝2，a4＝1，得a5＝， 由a4＝1，a5＝，得a6＝， 由a5＝，a6＝，得a7＝1， 由a6＝，a7＝1，得a8＝2， 由此推理可得数列{an}是一个周期为6的周期数列， 所以a2 021＝a336×6＋5＝a5＝. 12.设是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意的n∈N＋，均有an＋k＜an，则称是间隔递减数列，k是的间隔数.已知an＝－n2＋tn＋9，若是间隔递减数列，且最小间隔数是4，则t的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由题意可得，an＋k－an＝－＋t＋9－＝k－k2＜0对任意的n∈N＋成立， 则存在k≥4，使k－k2＜0成立，且存在k≤3，使k－k2≥0成立. 因为k是正整数，所以t－2－4＜0，且t－2－3≥0，解得5≤t＜6.故选D. 13.(多选)数列{an}的通项公式为an＝n＋，则(　　) A.当a＝2时，数列{an}的最小值是a1＝a2＝3 B.当a＝－1时，数列{an}的最小值是a1＝0 C.当0＜a＜4时，a不是数列{an}中的项 D.当a＜2时，{an}为递增数列 答案：ABCD 解析：当a＝2时，an＝n＋，由f(x)＝x＋的单调性及a1＝3，a2＝3，可知A正确；当a＝－1时，an＝n－，显然是递增数列，故最小值为a1＝0，B正确； 令an＝n＋＝a，得n2－na＋a＝0，当0＜a＜4时，Δ＝a2－4a＜0，故方程无解，所以a不是数列{an}中的项，C正确；若{an}是递增数列，则an＋1＞an，即n＋1＋＞n＋，得a＜n2＋n，又n2＋n≥2，所以a＜2，D正确.故选ABCD. 14.(13分)已知数列满足2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝n，求数列的通项公式. 解：因为2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝n(n∈N＋)①， 所以2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n－1an－1＝n－1②， ①－②得2nan＝1(n≥2)，即an＝， 当n＝1时，a1＝，满足an＝，所以an＝. 15.(5分)雪花曲线是一种模样古怪的曲线，但它是真实存在的.这条曲线可以从一个等边三角形开始来画.你可以想象，有一位可爱的小天使正在画雪花曲线，她把一个蓝色的等边三角形的每边分成相同的三份，再在中间的那个三分之一上向外画出一个粉红色的等边三角形，这样一来就做成了一个六角星，六角星的每一条边再向外画一个绿色等边三角形，…，以此类推. 设第n个雪花曲线的边数为an，则a3＝　　　　，an＋1与an的关系是　　　　. 答案：48　an＋1＝4an 解析：a1＝3，a2＝3×4＝12，a3＝3×42＝48，…，an＋1＝4an. 16.(17分)已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记bn＝3n－λ，若数列{bn}为递增数列，求实数λ的取值范围. 解：(1)法一：因为2Sn＝(n＋1)an， 所以2Sn＋1＝(n＋2)an＋1， 所以2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an， 即nan＋1＝(n＋1)an，所以＝， 所以＝＝…＝＝1， 所以an＝n. 法二：因为2Sn＝(n＋1)an， 所以2Sn＋1＝(n＋2)an＋1， 所以2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an， 即nan＋1＝(n＋1)an，所以＝， 所以当n≥2时，an＝a1···…·＝1×××…×＝n. 又a1＝1也满足an＝n， 所以数列{an}的通项公式为an＝n. (2)由(1)知bn＝3n－λn2， 由bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1)， 因为数列{bn}为递增数列， 所以2·3n－λ(2n＋1)＞0，即λ＜. 令cn＝，则＝·＝＞1， 所以{cn}为递增数列，所以λ＜c1＝2， 即λ的取值范围为(－∞，2). 学科网（北京）股份有限公司 $