3.1.1椭圆及其标准方程【八大考点+八大题型】讲义-2025-2026学年高二上学期数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册）

本讲义聚焦椭圆及其标准方程核心知识点，系统梳理椭圆定义（平面内到两定点距离和为常数且大于焦距）、标准方程（焦点在x轴和y轴的形式及a,b,c关系），以及求轨迹方程的直译法（四步一回头），构建从概念到应用的完整知识支架。 资料特色在于题型设计全面，涵盖定义求方程、最值问题等八个题型，例题与变式题选自多地期中月考题，贴合教学实际。通过分层练习培养学生数学眼光（从几何条件抽象轨迹）、数学思维（推理a,b,c关系），课中辅助教师高效授课，课后助力学生针对性练习，查漏补缺。

3.1.1椭圆及其标准方程 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：椭圆的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|. 知识点二：椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 知识点三：求轨迹方程的方法、直译法——“四步一回头”， 四步：（1）建立适当坐标系，设出动点M的坐标；        （2）写出适合条件的点M的集合；        （3）将 “翻译”成代数方程； （4）化简代数方程为最简形式. 【题型归纳】 题型一：利用椭圆的定义求方程 【例1】．（25-26高二上·河北邢台·期中）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断点的轨迹是椭圆，再确定的值，确定椭圆的标准方程. 【详解】因为动点的坐标满足方程， 即点到点和的距离之和为6，且. 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，所以. 所以点的轨迹方程为：. 故选：C 【变式1】．（25-26高二上·山西·期中）已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质以及椭圆的定义可判断的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求解其方程. 【详解】圆的圆心，半径为， 由题意可知，又点是圆上的点，则， 且，则， 由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，，， 则点的轨迹方程； 故选：B. 【变式2】．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知M为圆P：上的一个动点，定点，线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点，则N点的轨迹方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到，且，结合椭圆的定义，得到点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 由，可得， 因为线段的垂直平分线交线段于点，可得， 则， 结合椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆， 其中，可得，则， 所以点的轨迹方程为. 故选：C. 题型二：椭圆的最值问题 【例2】．（25-26高二上·广西柳州·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义可得出，分析可知当点为射线与椭圆的交点时，取最小值，即可得解. 【详解】由椭圆方程可知， 且焦点在x轴上，则，    因为，可知点在椭圆内， 又因为，即， 则， 当且仅当点为射线与椭圆的交点时，等号成立， 所以的最小值为2． 故选：A． 【变式1】．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当 M、 N、 E共线时取等号），结合，求得的最小值． 【详解】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点，且, 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， 又因 ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 因,，则， 故的最小值， 故选：B 【变式2】．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（  ） A．5 B．5 C． D．4 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可得，然后化简，要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据圆外一点到圆上一点距离的最大值即可得到结果. 【详解】根据椭圆方程可得：， 所以， 故点为椭圆的焦点，设另一个焦点为， 设圆的圆心为，其半径为， 所以，所以， 要求的最大值，即求的最大值， 因为，所以当三点共线时，的值最大为，而的最大值为， 所以的最大值为. 故选：B. 题型三：椭圆的焦点三角形周长问题 【例3】．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若A是上一动点，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件求得，结合椭圆的定义求得的周长. 【详解】在椭圆C中，， 由椭圆的定义可得， 则的周长为. 故选：C 【变式1】．（25-26高二上·广西玉林·期中）已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是（    ） A．16 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义即可求出. 【详解】因为椭圆方程为，所以， 由椭圆的定义得：， 所以，所以的周长是16. 故选：A 【变式2】．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知是椭圆的两个焦点，过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆定义直接求解即可. 【详解】 由椭圆方程知：椭圆长轴长； 由椭圆定义知：， 的周长为. 故选：C. 题型四：椭圆的焦点三角形面积问题 【例4】．（25-26高二上·天津东丽·期中）已知P为椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，，则△的面积值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理和面积公式可得答案. 【详解】由题意，焦距为，平方可得， 由余弦定理可得， 两式相减可得， 所以△的面积为. 故选：C 【变式1】．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理，可求焦半径，从而可求三角形面积. 【详解】 由题意知：， 再由余弦定理得： 代入得：， 解得：，则的面积是, 故选：D. 【变式2】．（25-26高二上·云南玉溪·期中）已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在椭圆上且，则三角形的面积为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用椭圆定义，结合余弦定理即可求三角形面积. 【详解】 由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：， 故选：A. 题型五：根据方程表示椭圆求参数问题 【例5】．（25-26高二上·重庆·月考）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程的形式，列出不等式组，即可求解. 【详解】由方程表示椭圆，则满足，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【变式1】．（25-26高二上·重庆·月考）方程表示椭圆，则n的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】由于方程表示椭圆，所以，解得或． 故选：B． 【变式2】．（25-26高二上·河南·月考）已知方程表示椭圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的标准方程识别求解即可． 【详解】由方程表示椭圆， ，解得． 故选：C． 题型六：椭圆的标准方程的求法 【例7】．（25-26高二上·福建莆田·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距是4，且经过点； (2)与椭圆有相同的焦点，且经过点 (3)经过，两点 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）求出焦点坐标，根据椭圆的定义求出，即可求解； （2）根据已知椭圆方程写出所求椭圆的焦点坐标，再由椭圆的定义求得解； （3）设所求的椭圆方程为，代入点的坐标求解. 【详解】（1）由题意知，且焦点坐标分别为，. 由，得， 可得，所以. 又焦点在轴上，所以所求椭圆的标准方程为. （2）椭圆的焦点坐标为，则所求椭圆的焦距为， 所求椭圆过点， ， ，， 椭圆的标准方程为. （3）设所求的椭圆方程为. 把，两点代入， 得：，解得，， 椭圆方程为. 【变式1】．（25-26高二上·湖南湘潭·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，焦点在轴上； (2)椭圆上一点到其两焦点的距离之和为10 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆的标准方程为，结合求解即可； （2）设椭圆的标准方程为，结合椭圆的定义利用求解即可. 【详解】（1）设焦点在轴上的椭圆标准方程为， 由,,得. 因此标准方程为，即. （2）由焦点、，可知焦点在轴上，且； 设椭圆的标准方程为， 由“点到两焦点的距离之和为10”，可知，即. 由，得， 因此标准方程为. 【变式2】．（25-26高二上·湖南常德·月考）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，焦距为，且经过点 (2)经过点两点． (3)过且与有相同的焦点； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 依题可得，将代入方程中得， 又，， 故， 所以椭圆的标准方程为． （2）设方程为 则，解得，则所求椭圆方程为 （3）由方程可知，其焦点的坐标为，即． 则， 设所求椭圆方程， 因为椭圆过点，代入方程得， 解得（舍去），， 故椭圆的标准方程为. 题型七：与椭圆有关的轨迹问题 【例7】．（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】的圆心为，半径，的圆心为，半径，由动圆与圆内切，设动圆半径为，求出，动圆与圆外切，求出，则有为定值，结合椭圆的定义得解. 【详解】 的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 动圆与圆内切，设动圆半径为，， 动圆与圆外切，， ，， ，动圆的轨迹是以为焦点的椭圆， ，， 动圆的轨迹方程为. 故选：C. 【变式1】．（25-26高二上·福建·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，，且满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，故，再根据向量关系整理代换即可得答案. 【详解】由题，设， 因为，所以， 因为，， 所以，即，代入得. 所以点的轨迹方程为. 故选：D 【变式2】．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，点在的延长线上，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据已知建立点坐标之间的关系，利用相关点法求解可得. 【详解】因为点在的延长线上，且，所以为的中点， 设，则，由中点坐标公式得， 因为点在曲线，所以， 即点的轨迹方程为. 故选：D      题型八：椭圆方程的综合问题 【例8】．（25-26高二上·广东深圳·期中）椭圆的中心为原点，左顶点为，左、右焦点分别为，，短轴长为6，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）由（1）和结论，利用椭圆的定义、余弦定理、三角形的面积公式求解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，，而， 解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，由（1）及椭圆的定义，得， 由余弦定理得， 因此， 所以的面积. 【变式1】．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的点. (1)若点在第一象限内，且，求点的坐标； (2)若，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由可得P点在一个圆上，联立椭圆方程可得点的坐标； （2）由椭圆的定义知，再结合条件可得焦点三角形三边长，由余弦定理和同角关系可求出，再由面积公式，即可求解. 【详解】（1）因，所以在以原点为圆心，以为半径的圆上，即在上.如图，    联立，消去x得，解得（负值舍去），（负值舍去）. 所以点的坐标为. （2）因为椭圆上的点，由椭圆的定义得，，又， 所以，. 在中，由余弦定理得. 再由同角三角函数关系式可得，， 所以. 故的面积为. 【变式2】．（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点. (1)若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程； (2)若，且的面积为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据焦距可以求解的值，然后再将点代入椭圆方程中，进而通过解方程求解，的值； （2）由的面积求解的值，再结合椭圆的定义和余弦定理进行求解即可. 【详解】（1）已知，所以得：，即， 由于点在椭圆上，将其代入椭圆方程， 可得：，即， 又因为，即. 联立，整理得：，解得：或（舍） 所以，故椭圆的标准方程为. （2）因为，所以的面积， 则，根据椭圆定义可得：. 根据余弦定理可得：， 整理得：， 代入得：，即，即得：. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二上·贵州·期中）椭圆上一点到的左､右焦点的距离之和为（    ） A．25 B．50 C．10 D．20 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆可得，得， 所以到的左､右焦点的距离之和为. 故选：D 2．（25-26高二上·广东·期中）如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．且 【答案】D 【分析】根据给定条件，由椭圆焦点位置列出不等式求解即得. 【详解】由方程表示焦点在轴上的椭圆，得，解得且， 所以实数的取值范围是且. 故选：D 3．（25-26高二上·重庆·月考）设F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】设椭圆右焦点，利用椭圆的定义转化线段差为线段和，结合图形及点到线的距离公式计算即可. 【详解】由，， 设为该椭圆的右焦点，则，所以， 于是， 显然当，P，A三点共线， 且PA与直线垂直时，有最小值， 最小值为. 故选：A． 4．（25-26高二上·广东·期中）已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图可得，即，所以动点的轨迹为椭圆，再设椭圆的标准方程，求出其中的参数即可得到动点的轨迹方程. 【详解】如图，分别过点做直线的垂线，垂足分别为， 则，切点为, ，，是中点， 是梯形的中位线，， 又圆C的方程为，， ，， 即，动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设该椭圆的方程为， 则， ， 动点的轨迹方程为. 故选：A 5．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且.弦过点，则的周长为（   ） A．10 B．20 C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义求解. 【详解】因为，所以，解得， 由椭圆方程知，所以，解得，即. 所以的周长为， 故选：D. 6．（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解. 【详解】如图，由已知可设，则， 由椭圆的定义有． 在中，由余弦定理推论得． 在中，由余弦定理得，解得． 所求椭圆方程为. 故选：D． 7．（25-26高二上·江西南昌·期中）已知点，椭圆上两点，满足，则当点横坐标的绝对值最大，的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】设，由得将，代入椭圆方程，消元得到关于的二次函数，根据二次函数性质，当时，最大。 【详解】设，由，得： 即有又，在椭圆上，那么， 将代入可得：， 两式相减得：， 即，由可得， 两式相加，解得， 则， ， 即有时，有最大值4，即点横坐标的绝对值最大. 故选：D. 8．（25-26高二上·贵州·期中）已知椭圆，设为原点，若点在直线上，点在椭圆上，且，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出两点的坐标，利用向量垂直的条件得出坐标间的关系，用距离公式表示出，消元后建立的函数关系，利用基本不等式求出最小值． 【详解】由题意，设点的坐标分别为，，其中． 因为，所以，得，即，又， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， ，即线段长度的最小值为. 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高二上·辽宁鞍山·期中）已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．面积的最大值为3 C．的最大值为 D．满足是直角三角形的点P有4个 【答案】AC 【分析】根据椭圆的方程确定椭圆的，由定义可得，，结合椭圆焦点三角形的几何性质逐项分析就可得答案. 【详解】椭圆中，，则， 由椭圆的定义得，， 对于A，若，则， 由余弦定理得：，所以，故A错误； 对于B，因为，又， 所以，故面积的最大值为，故B正确； 对于C，，又， 所以，故C正确； 对于D，由于时，，则，即的最大角为， 故满足使得是直角三角形的点P有4个，如下图： 使得是直角三角形的点P有2个，使得是直角三角形的点P有2个，如下图： 综上，满足是直角三角形的点P共有8个，故D不正确. 故选：AC. 10．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的两个焦点分别为是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（   ） A．的周长为12 B．的面积最大值为 C．的最大值为16 D．存在点，使得 【答案】AC 【分析】利用椭圆的定义判断A，利用椭圆的性质结合三角形面积公式判断B，根据椭圆的定义结合基本不等式分析判断C，可知点在以为直径的圆上，分析椭圆与圆的交点情况判断D即可. 【详解】由椭圆方程可知：， 则. 对于A，的周长为，故A正确； 对于B，由三角形面积公式得， 结合椭圆性质得，当在椭圆上顶点和下顶点时，最大， 则的面积最大值为，故B错误， 对于C，因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为16，故C正确； 对于D，作出符合题意的图形， 若存在点，使得，可知点在以为直径的圆上， 但，可知圆与椭圆没有交点， 故不存在点，使得，故D错误. 故选：AC 11．（25-26高二上·河南·月考）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（    ） A． B． C．7 D． 【答案】AD 【分析】根据椭圆定义，可得，，分别讨论、和三种情况，求得各个长度，代入面积公式，即可得答案. 【详解】设为坐标原点，则，， 当时，，， 所以的面积为； 当时，， 所以的面积为. 同理，当时，的面积为. 故选：AD. 12．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）椭圆的标准方程为，，为椭圆的左、右焦点，点．的内切圆圆心为，与，，分别相切于点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由点在椭圆上，根据，可判定A错误；由椭圆的定义得，结合，列出方程，求得的值，可判定C正确；由切线的性质，结合，可判定D正确；结合， 列出方程，求得的值，可判定B正确. 【详解】对于A，由椭圆，可得，则， 所以，又由点在椭圆上， 所以的面积为，所以A错误； 对于C，如图所示，连接，由椭圆的定义得， 因为的内切圆的圆心为，所以内切圆的半径为， 由， 所以， 所以，所以C正确； 对于D，由， 所以 ，所以，所以D正确； 对于B，因为， 所以， 因为，所以，解得，所以B正确. 故选：BCD. 三、填空题 13．（25-26高二上·浙江·期中）椭圆左右焦点为，，椭圆上点满足，则 ． 【答案】/ 【分析】利用椭圆定义得，又，可求出. 在中利用余弦定理可得解. 【详解】因为椭圆，所以，点在椭圆上，所以， 又，所以， 在中，，， 故答案为： 14．（25-26高二上·重庆·月考）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过点，两点，则椭圆的方程为 【答案】 【分析】利用待定系数法可求椭圆的方程. 【详解】由已知设椭圆的方程为， 因为椭圆过点，两点， 所以，解得， 则椭圆的方程为. 故答案为：. 15．（2025高二上·重庆·专题练习）已知椭圆C：，，是椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上的动点，若内切圆的面积为，则 . 【答案】/0.6 【分析】设.先求出内切圆的半径，并利用表示出的面积，在中，由余弦定理求出，并根据三角形面积公式列出等式，得到，结合求出即可. 【详解】设内切圆的半径为，则有，解得. 由椭圆C：可知. 设，在中，由余弦定理可知 ， 即， 即， 即，所以. 因为的面积， 即，即， 解得①.因为②，且， 所以由①②解得，即. 故答案为： 16．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】结合椭圆的定义，利用余弦定理求夹角余弦值，即可求数量积. 【详解】由椭圆方程可得：，    由余弦定理得： ， 又因为，所以， 所以， 故答案为： 17．（25-26高二上·天津和平·期中）已知为椭圆：上任意一点，为椭圆的左焦点，为圆：上任意一点，则的最小值为 【答案】 【分析】利用椭圆的定义，将转化为，结合图形，得最小值. 【详解】在椭圆中，，，则，即点， 设其右焦点为， 如图，为椭圆上任意一点，则， 又因为为圆上任意一点，圆心，半径为， . 当且仅当共线且在之间时等号成立． 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 18．（25-26高二上·河南·期中）已知为椭圆上的两点，的左､右焦点分别为． (1)求的方程； (2)若过点的直线（不与轴重合）与交于两点，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入即可求解， （2）根据椭圆的定义即可求解. 【详解】（1）由题意得可得故椭圆的方程为． （2）根据椭圆的定义，得， 所以的周长为． 19．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知椭圆左右焦点分别为，，P为C上的动点，且. (1)求； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据椭圆的定义，解得即可； （2）首先求出，从而得到，结合（1）、，利用余弦定理求出，即可求出，再由面积公式计算可得. 【详解】（1）椭圆，则， 所以，又， 所以. （2）由，得，所以. 如下图所示： 由（1）可知，， 所以. 则， 故的面积为. 20．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知圆过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点是圆上的动点，点，线段AQ的垂直平分线交于点，求动点的轨迹方程. 【答案】(1).（或） (2) 【分析】（1）先求出直线BC的中垂线方程，联立方程组求出圆心坐标，利用两点间距离公式求出半径即可； （2）根据几何性质得出，结合椭圆的定义可求方程. 【详解】（1）由题意得，的中点坐标为，， 故直线BC的中垂线方程为，即， 由，得，则圆心 ， 又圆的半径， 所以圆的方程为.（或） （2）由线段AQ的垂直平分线交于点知，， 由（1）知，      所以， 由椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设其方程为，则，即， 则， 故动点的轨迹方程为. 21．（25-26高二上·河南南阳·月考）在平面直角坐标系中，已知点，，，点的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知，求的最大值； (3)若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以的轨迹是以，为左、右焦点的椭圆， 设轨迹的方程为，则，， 可得，， 所以轨迹C的方程为． （2）设点，则，又， 所以， 而，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为． （3）因为，所以． 由，可得， 由的面积． 22．（25-26高二上·黑龙江绥化·月考）已知一动圆C与圆外切，与圆内切， (1)求动圆圆心C的轨迹方程. (2)设动圆圆心轨迹上的点为P，定点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由圆的圆心为，半径为 圆的圆心为，半径为， 设动圆圆心为，半径为， 因为圆与圆相外切，与圆相内切，则，， 两式相加，可得 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 可得，则， 所以椭圆的轨迹方程为. （2）解：由（1）知，椭圆的方程为，可得左焦点，且， 又由椭圆的定义，可得，即， 所以, 如图所示，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1椭圆及其标准方程 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：椭圆的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|. 知识点二：椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 知识点三：求轨迹方程的方法、直译法——“四步一回头”， 四步：（1）建立适当坐标系，设出动点M的坐标；        （2）写出适合条件的点M的集合；        （3）将 “翻译”成代数方程； （4）化简代数方程为最简形式. 【题型归纳】 题型一：利用椭圆的定义求方程 【例1】．（25-26高二上·河北邢台·期中）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·山西·期中）已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知M为圆P：上的一个动点，定点，线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点，则N点的轨迹方程为（    ）    A． B． C． D． 题型二：椭圆的最值问题 【例2】．（25-26高二上·广西柳州·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．0 D． 【变式1】．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（  ） A．5 B．5 C． D．4 题型三：椭圆的焦点三角形周长问题 【例3】．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若A是上一动点，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·广西玉林·期中）已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是（    ） A．16 B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知是椭圆的两个焦点，过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 题型四：椭圆的焦点三角形面积问题 【例4】．（25-26高二上·天津东丽·期中）已知P为椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，，则△的面积值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·云南玉溪·期中）已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在椭圆上且，则三角形的面积为（   ） A． B． C．1 D．2 题型五：根据方程表示椭圆求参数问题 【例5】．（25-26高二上·重庆·月考）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·重庆·月考）方程表示椭圆，则n的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【变式2】．（25-26高二上·河南·月考）已知方程表示椭圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型六：椭圆的标准方程的求法 【例7】．（25-26高二上·福建莆田·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距是4，且经过点； (2)与椭圆有相同的焦点，且经过点 (3)经过，两点 【变式1】．（25-26高二上·湖南湘潭·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，焦点在轴上； (2)椭圆上一点到其两焦点的距离之和为10 【变式2】．（25-26高二上·湖南常德·月考）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，焦距为，且经过点 (2)经过点两点． (3)过且与有相同的焦点； 题型七：与椭圆有关的轨迹问题 【例7】．（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·福建·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，，且满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，点在的延长线上，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型八：椭圆方程的综合问题 【例8】．（25-26高二上·广东深圳·期中）椭圆的中心为原点，左顶点为，左、右焦点分别为，，短轴长为6，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，，求的面积． 【变式1】．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的点. (1)若点在第一象限内，且，求点的坐标； (2)若，求的面积. 【变式2】．（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点. (1)若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程； (2)若，且的面积为，求的值. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二上·贵州·期中）椭圆上一点到的左､右焦点的距离之和为（    ） A．25 B．50 C．10 D．20 2．（25-26高二上·广东·期中）如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．且 3．（25-26高二上·重庆·月考）设F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 4．（25-26高二上·广东·期中）已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且.弦过点，则的周长为（   ） A．10 B．20 C． D． 6．（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江西南昌·期中）已知点，椭圆上两点，满足，则当点横坐标的绝对值最大，的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（25-26高二上·贵州·期中）已知椭圆，设为原点，若点在直线上，点在椭圆上，且，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·辽宁鞍山·期中）已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．面积的最大值为3 C．的最大值为 D．满足是直角三角形的点P有4个 10．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的两个焦点分别为是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（   ） A．的周长为12 B．的面积最大值为 C．的最大值为16 D．存在点，使得 11．（25-26高二上·河南·月考）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（    ） A． B． C．7 D． 12．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）椭圆的标准方程为，，为椭圆的左、右焦点，点．的内切圆圆心为，与，，分别相切于点，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（25-26高二上·浙江·期中）椭圆左右焦点为，，椭圆上点满足，则 ． 14．（25-26高二上·重庆·月考）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过点，两点，则椭圆的方程为 15．（2025高二上·重庆·专题练习）已知椭圆C：，，是椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上的动点，若内切圆的面积为，则 . 16．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足，则的值是 ． 17．（25-26高二上·天津和平·期中）已知为椭圆：上任意一点，为椭圆的左焦点，为圆：上任意一点，则的最小值为 四、解答题 18．（25-26高二上·河南·期中）已知为椭圆上的两点，的左､右焦点分别为． (1)求的方程； (2)若过点的直线（不与轴重合）与交于两点，求的周长． 19．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知椭圆左右焦点分别为，，P为C上的动点，且. (1)求； (2)求的面积. 20．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知圆过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点是圆上的动点，点，线段AQ的垂直平分线交于点，求动点的轨迹方程. 21．（25-26高二上·河南南阳·月考）在平面直角坐标系中，已知点，，，点的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知，求的最大值； (3)若，求的面积． 22．（25-26高二上·黑龙江绥化·月考）已知一动圆C与圆外切，与圆内切， (1)求动圆圆心C的轨迹方程. (2)设动圆圆心轨迹上的点为P，定点，求的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $